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第三章 时域瞬态响应分析
3.1 典型输入信号
3.2 一阶系统的瞬态响应
3.3 二阶系统的瞬态响应
3.4 时域分析性能指标
3.5 高阶系统的瞬态响应
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入
信号的作用下,其输出信号随时间的变化情况。
控制系统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应
两部分组成。
瞬态响应:系统在某一典型信号输入作用下,其系
统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态
响应也称动态响应或过渡过程或暂态响应。
稳态响应:系统在某一典型信号输入的作用下,当
时间趋于无穷大时的输出状态,稳态响应有时也称
为静态响应。
3.1 典型输入信号
分析瞬态响应,选择典型输入信号,有如下优点
1) 数学处理简单,在给定典型信号作用下,易确
定系统的性能指标, 便于系统分析和设计;
2) 在典型信号作用下的瞬态响应,往往可以作为
分析系统在复杂信号作用下的依据;
3) 便于进行系统辨识,确定未知环节的参数和传
递函数。
常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、
加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
1)阶跃函数
0 0( )
0
( )
tr t
a t
aR s
s
a
t
)(tr
0
这意味着t=0 时突然加到系统上的一个幅值不
变的外作用。
在第2章中讲过的幅值a =1的阶跃函数,称为单
位阶跃函数,用1(t)来表示。
一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为
评价系统动态性能指标的依据。
2)斜坡函数
2
0 0( )
0
( )
tr t
at t
aR s
s
表示在t =0时刻开始,以恒定速度 a 随时间变
化的函数,也称为速度函数。
在第2章中讲过的当a =1的斜坡函数,称为单位
斜坡函数。
t
)(tr
0
a
1
3)加速度函数
2
3
0 0( )
0
2( )
tr t
at t
aR s
s
表示在t =0时刻开始,以恒定加速度随时间变
化的函数,也称为抛物线函数。
在第2章中的当a=1/2的加速度函数,称为单位
加速度函数。
t
)(tr
0
4)脉冲函数
0
0 0 0
( )lim 0
( )
t t
r t at
R s a
或
当a=1时的脉冲函数,称为单位脉冲函数,记
为δ(t)。
当系统输入为单位脉冲函数时,其输出响应称
为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于1,
因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
a
t
)(tr
0
5)正弦函数
2 2
0 0( )
sin 0
( )
tr t
a t t
aR s
s
正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种
典型外作用,系统在正弦函数作用下的响应,即频
率响应。
( )r t
0
2
t
a
211 1 1
2t t t t t t
积分 积分 积分
求导 求导 求导
各函数之间的关系
究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统,需
要参照系统正常工作时的实际情况。
系统的输入量是突变的,采用阶跃信号。如室温
调节系统。
系统的输入量是随时间等速变化,采用斜坡信号
作为实验信号。
系统的输入量是随时间等加速变化,采用抛物线
信号。
系统为冲击输入量,则采用脉冲信号。
系统的输入随时间往复变化时,采用正弦信号。
3.2 一阶系统的瞬态响应
能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系
统,它的典型形式为一阶惯性环节。
0 ( ) 1( )
( ) 1i
X sG s
X s Ts
闭环极点(特征根):-1/T
一个积分环节,如果加上单位负反馈,
会成为一个惯性环节。
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
1( ) 1( ) ( )i ix t t X s
s
1
1Ts
( )ix t ( )ox t单位阶跃输入为
输出为 0
1 1( ) ( ) ( )
1
1 1 1
11
iX s G s X sTs s
T
s Ts ss
T
单位阶跃响应为 )0(1)(1
0
tetxt
T
1/T
xo(t)=1-e-t/T x0(t)
0
1
t T 2T 3T 4T
63
.2%
86
.5%
95
.0%
98
.2%
1) 一阶惯性系统总是稳定的,无振动;
2) 经过时间T,曲线上升到0.632的高度,反过,
用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间,即
是惯性环节的时间常数;
3) 经过时间3T~4T,响应曲线达稳定值的95%~
98%,可以认为其调整过程已经完成,故一般取
调整时间(3~4)T ;
4) 在t=0处,响应曲线的切线斜率为1/T。
特点
ln[1-xo(t)] 与时间t 成线性关系
判别系统是否为惯性环节
测量惯性环节的时间常数
1
1
1ln[1 (
)
)
( 1
(
]
)
1
o
tT
o
tT
o
x t e
e x t
t x tT
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
2
1( ) 1( ) ( )i ix t t t X s
s
1
1Ts
( )ix t ( )ox t
单位斜坡输入为
单位阶跃响应为
输出为 0 2
2
1 1( ) ( ) ( )
1
1
1
iX s G s X sTs s
T T
s ss
T
)0()(1
0
tTeTttxt
T
1 1
( ) ( ) ( ) [ ] (1 )
( )
t tT T
i oe t x t x t t t T Te T e
t e T
,
误差:
输入为斜坡函数时, 一阶系统存在稳态误差T 。
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
( ) ( ) ( ) 1i ix t t X s
1
1Ts
( )ix t ( )ox t
单位斜坡输入为
单位阶跃响应为 1
0
1( ) ( 0)
tTx t e t
T
输出为 0 ( ) ( ) ( )
11
11
iX s G s X s
T
Tss
T
T
10.368
T
2
1
T斜率
/1( ) t T
ox t eT
输 入 输 出 1
1
11
( ) ( )
( ) 1( ) ( ) 1
1( ) ( ) ( )
tT
i t
tT
i
tT
i
x t t x t t T Te
x t t x t e
x t t x t eT
三种响应关系 三种输入关系
1
1
( )1( ) [ ] ( )
( )( ) [1( )] ( )
tdx tdt t x t
dt dt
dx tdt t x t
dt dt
一阶系统三种典型输入信号及响应关系
积分时间常数由零初始条件确定
线性定常系统的重要性质
系统对输入信号导数的响应,等于系统对该输
入信号响应的导数。
系统对于输入信号积分的响应,等于系统对该
输入信号响应的积分,积分时间常数则由零输出
的初始条件确定。
注意:性质只适用于任何线性定常系统,不适用
于线性时变系统和非线性系统。
3.3 二阶系统的瞬态响应
能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
二阶系统总包含两个贮能元件,能量在两个元件之
间相互转换,引起系统具有往复振荡的趋势 。如
RLC网络就是一个典型的二阶系统。
2
2 2
2 2
( )( )
( )
2
1 =
2 1
o
i
n
n n
X ss
X s
s s
T s T s
—阻尼比
—无阻尼自然频率 n
特征方程的根(闭环极点)
2
1,2 1n np
显然,特征根的性质取决于阻尼比的大小,
而特征根在复平面的分布决定系统的性能。
2
1,21
n np j
特征根位于s平面的左半部
(1)0 < ξ < 1(欠阻尼)一对实部为负的共轭复根
21 n
n
1p
2p
1,2 np
特征根相等,且位于s平
面的负实轴上
(2) ξ = 1(临界阻尼)两相等的负实根
n1p
2p
1,2
2 1n n
p
特征根不相等,且位于s
平面的负实轴上
(3) ξ > 1(过阻尼)两不相等的负实根
1p
2p
2 1n n
2 1n n
1,2 np j
特征根共轭纯虚根,位于
s平面的虚轴上
(4) ξ = 0(无阻尼)一对共轭纯虚根
n1p
2pn
2
1,2
2
1,21
1
0
1n n
n n
p
p j
(-1<
(
)
)或
特征根位于s平面的右半部
(5)ξ < 0(负阻尼)两根实部为正
21n
n
1p
2p
1p 2p
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
2
1,21
n np j
1)0 < ξ < 1(欠阻尼)一对实部为负的共轭复根
2
2 2
2 2 2 2 2 2
1( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
n
o i
n n
n n
n n n n
X s s X ss s s
s
s s s
)sin1
(cos1)(2
0 ttetx dd
tn
21 nd —阻尼自振频率 式中
2
2 1sin 1 cos arctan
令
02
( ) 1 sin( )1
nt
d
ex t t
21 nd —阻尼自振频率
特点:无稳态误差,
呈现出以ωd为角
频率衰减振荡;衰
减的快慢由ξ和ωn
决定;振幅随 ξ减
小而加大。
1,2 np
2) ξ = 1(临界阻尼)两相等的负实根
2 2
22 2
( )( )
( ) 2o n n
i n n n
X ss
X s s s s
2
0 2
2
1( ) ( ) ( )
1 1
ni
n
n
n n
X s s X sss
s s s
)0(1)(
tetetxtt
nonn
)1(1 te n
tn
特点:单调上升,无振荡,无超调,无稳态误差。
( ) 1 (1 )nt
o nx t e t
1,2
2 1n n
p
3) ξ > 1(过阻尼)两不相等的负实根
2
2 2( )
( 1)( 1)
n
n n n n
ss s
2 2 2 2
2
2 2
1 1
2( 1 1) 2( 1 1)
2 2
( 1)( 1)
1( )
1
1 1
n
n n n n
o
n n n n
s sX s
s
s s s
2
2
( 1)
2 2
( 1)
2 2
1( ) 1
2( 1 1)
1
2( 1 1) ( 0)
n
n
t
o
t
x t e
e t
特点:单调上升,
无振荡,过渡过程
时间长,无稳态误
差。
1,2 np j
4) ξ = 0(无阻尼)一对共轭纯虚根
2 2
2 2 2 2
( )( )
( ) 2o n
i n n
X ss
X s s s s
2
0 2 2 2 2
1 1( ) ( ) ( ) n
i
n n
sX s s X s
s s s s
0( ) 1 cos
nx t t
0( ) 1 cos
nx t t
特点:无阻尼的等幅振荡,振荡频率ωn。
ωn—无阻尼固有频率
2
1,2
2
1,21
1
0
1n n
n n
p
p j
(-1<
(
)
)或
5)ξ < 0(负阻尼)两根实部为正
02
0( ) 1 (cos sin ) 1
nt
d dx t e t t
(-1< )
2
2
( 1)
2 2
( 1)
2 21
1( ) 1
2( 1 1)
1
2( 1 1)
n
n
t
o
t
x t e
e
( )
正
正
正
-1<ξ < 0,振荡发散 ξ < -1,单调发散
上述五种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、
临界阻尼、过阻尼系统和负阻尼。其阻尼系数、特
征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示:
单位阶跃响应 极点位置 特征根 阻尼系数
单调上升 两个互异负实根
单调上升 一对负实重根
衰减振荡 一对共轭复根(左半平面)
等幅周期振荡 一对共轭虚根 无阻尼,0 njs 2,1
欠阻尼,1o 2
2,1 1 nn js
临界阻尼,1 )(2,1 重根ns
过阻尼,1 12
2,1 nns
发散振荡 一对共轭复根(右半平面)
1 0, 负阻尼 2
2,1 1 nn js
单调发散 两个互异正实根 1 ,负阻尼 12
2,1 nns
02
0 ( ) 1 (cos sin )1
nt
d dx t e t t
(-1< )
正 2
2
( 1)
2 2
( 1)
2 2
1 1
( ) 12( 1 1)
1
2( 1 1)
n
n
t
o
t
x t e
e
( )
正
正
0( 0) ( ) 1 cos
nx t t
2
2
( 1)
2 2
( 1)
2 2
1 1
( ) 12( 1 1)
1
2( 1 1)
n
n
t
o
t
x t e
e
( )负
负
( 1) ( ) 1 (1 )nt
o nx t e t
20 1 sin( )
1(0 1) ( )
nt
d
etx t
结论
1)二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性
ξ < 0 时,阶跃响应发
散,系统不稳定。
ξ = 0 时,等幅振荡。
0<ξ<1时,有振荡,ξ
愈小,振荡愈严重,但响应愈快。
ξ ≥ 1 时,无振荡、无超调,过渡过程长。
2)ξ一定时, ωn越大,瞬态响应分量衰减越迅速,
系统能够更快达到稳态值,响应的快速性越
好。
3)工程中除了一些不允许产生振荡的应用,如指
示和记录仪表系统等,通常采用欠阻尼系统,
且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间,使系统有比
较理想的响应曲线,瞬态响应时间短,且系统
振荡适度。以保证系统的快速性同时又不至于
产生过大的振荡。
ζ≈0.7 时调节时间最短(称为最佳阻尼比)
3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应
阻尼系数 时 间 响 应 函 数(t ≥0)
无阻尼,0
欠阻尼,1o
临界阻尼,1
过阻尼,1
0( ) cosn nx t t
2( ) sin
1
ntno dx t e t
2( ) nn
to tx t e
2 2) )( 1 ( 1
2( )
2 1( ) n nt tn
ox t e e
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应
阻尼系数 时 间 响 应 函 数(t ≥0)
无阻尼,0
欠阻尼,1o
临界阻尼,1
过阻尼,1
0
1( ) sin n
n
x t t t
2
2
2 12)
2 1( ) sin( arctan
n
n
t
o d
d
ex t t t
2 2( ) n n
n n
t t
o tx t t e e
2
2
2 2)
2
2 2)
2
( 1
( 1
2 2 1 12
2 1
2 2 1 1
2 1
( ) n
n
n n
n
to
t
x t t e
e
2.4 时域分析性能指标
动态过程与稳态过程
在输入信号的作用下,控制系统的时间响应由
动态过程与稳态过程两部分组成。
动态过程又称为过渡过程或瞬态过程,指时间
响应从初始状态到最终状态的过程。
稳态过程就是系统的最终状态,即时间趋于无
穷大时的时间响应。
动态性能与稳态性能
在单位阶跃输入信号的作用下,描述控制系统
时间响应的指标,称为系统的性能指标。
描述动态过程的性能指标,称为系统的动态性
能指标。主要有:上升时间tr,峰值时间tp,调节
时间ts,超调量Mp,振荡次数N等。
描述稳态过程的性能指标,称为系统的稳态性
能指标。主要有:稳态误差。
2.4.1 时域性能指标
峰值时间tp:响应曲线从零上升到第一个峰值所
需时间。
调整时间ts:响应曲线到达并保持在允许误差范
围(稳态值的±2%或±5%)内所需的时间。
上升时间tr:(1)响应曲线从零时刻出发首次到
达稳态值所需时间。(2)对无超调系统,响应曲线
从稳态值的10%上升到90%所需的时间。
延迟时间td:响应曲线从0上升到稳态值50%所需
的时间。
最大超调量σp:响应曲线的最大峰值与稳态值
之差。通常用百分数表示:
振荡次数N:在调整时间ts内系统响应曲线的振
荡次数。实测时,可按响应曲线穿越稳态值次数的
一半计数。
( ) ( )( ) 100
( )
o p o
p
o
x t xM % %
x
xo(t)
0.95 ( )o
x ess
0 tr
ts
1.05 ( )ox
tr:上升时间
tp:峰值时间
:
( ) ( )( ) 100
( )
o p o
p
o
x t x% %
x
超调量
ts:调节时间
t
tp
ess:稳态误差
1
误差带Δ=5%
超调量
( )ox
2.4.2 二阶欠阻尼系统的时域性能指标
2
2
( ) 1 (cos sin )1
1 sin( ) , 01
n
n
t
o d d
t
d
x t e t t
et t
2
21arctan 1d n
,
二阶系统在欠阻尼时是输出响应为:
2
nn2,1 1js
系统极点为
j
d
n 0
s2
s1 ×
×
n
极点位置与阻尼角
响应曲线从零到第一次达到稳态值所经过时间。
当t=tr时, ( ) 1o rx t
2
2
11 1 sin arctan
1
n rt
rd
et
21 0 0n rte
21sin arctan 0rd
t
1)上升时间tr
21arctanrdt
2
2
11arctan
1
1 ( )
r
n
d
t
由此可见,当ξ 一定时,tr与ωn 成反比;
当ωn一定时,tr 随ξ增大而增大。
指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所
需要的时间。令 得: 0)(0
dt
tdx
0)cos(1
)sin(1 22
pd
t
d
pd
tn te
tepn
pn
tan)tan(
n
d
pd t nt pd
21p
d n
t
当ξ 一定时,tp 与ωn成反比;
当ωn一定时,tp 随ξ 增大而增大。
2)峰值时间tp
j
d
n 0
s2
s1 ×
×
n
极点位置与阻尼角
3)最大超调量Mp
将tp 代入输出xo(t)得:
2
2 2
2
2
1 1
1(%)
( ) ( ) ( ) 1
1 ( 1 cos sin ) 11
100%
nd
n
n
p o p o o p
d d
d
p
d
M x t x x t
e
e
e
e
最大超调量Mp只与阻尼比有关,越大,则Mp
越小。ξ = 0.4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。
1 0
0 100%
p
p
σ
σ
4)调整时间ts
瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值%允许
误差范围内的最小时间。
即当 t >= ts 时, )()()( ooo xxtx
通常由响应曲线的一对包络线近似计算。
xo(t)在整个瞬态响应过
程中总包络在这对曲线内,同时包络线对称于稳态分量。 0
2 ( ) 1 sin( )
1
nt
d
ex t t
n
2
e1
1
t
- xo(t)
t 0
1
T 2T 3T
nζω
1T
n
2
e1
1
t
-
包络线方程为: 2
( ) 11
nteh t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o o
o o
x t x x
h t x x
代入
有
2( 0.05 0.02)
1
n ste
为 或
2
2
ln ln 11 1ln
1s s
n n
t t
2ln ln 1s
n
t
当ξ较小时,取 11 2
j
d
n 0
s2
s1 ×
×
n
极点位置与阻尼角
当阻尼比ξ 一定时,无阻尼自振角频率ωn 越大,则调整
时间ts 越短,系统响应越快。当ξ 较大时,前面两式的近似度
降低。
当ωn 一定时,变化ξ 求ts 的极小值,可得当ξ = 0.707 左
右时,系统单位阶跃响应的调整时间ts 最短,即响应最快。
5)振荡次数N
调节时间ts内响应曲线振荡的次数。
05.0,3
02.0,4
t
n
ns
21
22
nd
dT
02.0,12
05.0,15.1
2
2
d
s
T
tN
02.0,Mln
2
05.0,Mln
5.1
N
p
p
N 仅与ξ 有关。ξ 越
大,N越小,系统
平稳性越好。
二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
增加ξ 降低振荡,减小超调量Mp和振荡次数N。
系统快速性降低,tr、tp 增加。
ξ 一定,ωn越大,系统响应快速性越好, tr、tp、
ts 越小。
Mp 、N仅与ξ 有关,而tr、tp、ts与ξ 、ωn有关,
通常根据允许的最大超调量来确定ξ 。 ξ 一般选
择在0.4 ~ 0.8之间,然后再调整ωn以获得合适的
瞬态响应时间。
结论
小 结
对于欠阻尼二阶系统,极点的阻尼角(阻尼比)
决定响应的平稳性;阻尼比(阻尼角)一定时,极点与虚轴的距离决定响应的快速性。
j
d
n 0
s2
s1 ×
×
n
极点位置与阻尼角
【例】 图(a)所示为一机械系统,当在质量M上施
加8.9N的阶跃力后,其位移的时间响应曲线如图
(b)所示,试求系统的质量M、弹簧刚度K和粘性阻
尼系数B。
(a) 机械系统 (b) 时间响应曲线
2
2
o o
o i
d x t dx tM B Kx t f t
dt dt
2
2 2 22
1 1 1
2
o n
i n n
KX s M
B KF s Ms Bs K K K s ss s
M M
【解】根据牛顿第二定律,可得:
在零初始条件下进行拉氏变换,整理后得:
此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联。
21 0.0029
0.030.6pM e
由
22( ) 1.96 ( / )
1p
d n
n ras dt s
由
根据拉氏变换的终值定理,有
0 0
20
lim lim lim
1 8.9 lim 0.03
8.9 297( / )
0.03
o o it s s
s
x t sX s sG s F s
sMs Bs K s
K N m
2 2
29777.3( )
1.96
2 2 0.6 1.96 77.3 181.8( / )
n
n
KM Kg
B M Nm s
3.5 高阶系统的瞬态响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性
环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这
些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组
成。对于一般单输入—单输出的线性定常系统,其
传递函数可表示为
1
1 1
1
1 1
1
1 1
2 2
1 1
( ) ( )
( )
( ) = ( 2 )
( ) ( 2 )
m m
o m m
n n
i n n
m m
m m
q r
i j j j
i j
x s k s b s b s b
x s s a s a s a
k s b s b s bm n q r n
s p s s
,
输入为单位阶跃时,其响应函数: 1
1 1
2 2
1 1
( ) ( )1( )
( )( ) ( 2 )
m m
o m mo q r
ii j j j
i j
x s k s b s b s bx s
x s ss s p s s
如果其极点互不相同: 2
0
2 2 21 1
( ) 1( )
( ) ( 1 )
q rj j j j j ji
o
i ji j j j j
sx s
s s p s
经拉氏反变换,得: 2
0
1 1
2
( ) cos( 1 )
sin 1 )
j ji
j j
q rtp t
i j j l
i j
rt
j j l
j
c t e e t
e t
可见,一般高阶系统瞬态响应是由一些一阶惯
性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当
所有极点均具有负实部时,系统稳定。
类似于低阶系统,高阶系统的极点的位置决定
系统响应的基本形态。
极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡
极点位于右半复平面 发散
极点位于左半复平面 收敛
在收敛的情况下,收敛速度取决于极点与虚轴的距离,收敛的平稳性基本取决于极点与负实轴的夹角(零点也有影响)
1)主导极点 当部分极点与虚轴的距离远小于其他极点时,称其为主导极点,
当某些非主导极点距离虚轴大于4~6倍主导极点距虚轴的距离时,这些非主导极点的影响一般可以忽略。
j
0
s平面
s2
s1 ×
×
×
×
×
主导极点
j
0
s平面
s1 ×
×
×
主导极点
时间常数<<1(非主导极点对应的时间常数)
5 1( )
( 1)( 5) 1G s
s s s
例:
1 1( )
( 1)(0.2 1) 1G s
s s s
或
近似前后的单位阶跃响应曲线
xo(t)
近似
xo(t)
2 2 2
10 1( )
( 1)( 5 10) 1G s
s s s s s s
例:
0
s平面
s2
s1 ×
×
-0.5
0.87
×
-2.5
1.94
×
s3
s4
一般情况下,与虚
轴距离是其他极点与虚
轴距离的4-6倍及以上
的极点可略去。
xo(t)
近似
xo(t)
2)零点与主导极点:
当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴的
距离时,这样的零点可以忽略。 2
2 2
10( 10 29) 1( )
29( 1)( 10) ( 1)
s sG s
s s s s s
例:
0.87 ×
-0.5
2
0
s2
s1
×
×
z1
z2
-5 -10
s3
-2
xo(t)
近似
xo(t)
3)偶极子
相距很近的一对零极点叫作偶极子。
远离原点的偶极子,其影响可略;接近原点
的偶极子其影响必须考虑。
2
2
2 2
a (s a δ)G(s)
a δ (s a)(s s )
a
例:
讨论不同位置偶极子对系统响应的影响
0
s2
s1 ×
×
× 偶极子
1
-1
s1
0
s2
×
×
×
偶极子
1
-1
-0.2
-0.21
0
s2
s1 ×
×
×
偶极子
1
-1 -2
-2.1 2
2
1.8182 2.2 (1)
2 2 2
2 ?
2 2
(s )G(s)
(s )(s s )
s s
2
2
1.8182 0.22(2)
0.2 2 2
2 ?
2 2
(s )G(s)
(s )(s s )
s s
0
s2
s1 ×
×
×
偶极子
1
-1
-0.02
-0.022
2
2
1.8182 0.022(3)
0.02 2 2
2 ?
2 2
(s )G(s)
(s )(s s )
s s
2.0,2a
xo(t)
近似
xo(t)
情况(1)时的单位阶跃响应曲线
情况(2)时的单位阶跃响应曲线
xo(t)
近似
xo(t)
02.0,2.0a
情况(3)时的单位阶跃响应曲线
xo(t)
近似
xo(t)
002.0,02.0a
作业:3-1,3-6,3-12(3)(4),3-20
对于高阶的复杂系统,为了简化分析和设计,常常需要将高阶系统转化为低阶系统,而“主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概念则是高阶系统低阶化的主要依据。 在第7章根轨迹法中还将进一步介绍。