第一章计算问题 - m.jl.offcn.comm.jl.offcn.com/dl/2019/0726/20190726112016808.pdf400 -6300 999 1报名专线：中公教育学员专用资料学员专用请勿外泄第一章

1 中公教育学员专用资料报名专线：400-6300-999

学员专用请勿外泄

第一章计算问题

第一节等差数列

二、能力训练

1.【答案】33。解析： 7a = 1a +（7-1）×5=33。

2.【答案】18。解析：由连续偶数可知，数列的公差为 2，由 15a = 8a +（15-8）×2，

可得8a =18。

3.【答案】3，22。解析： 8a = 3a +（8-3）×d，即 22=7+5d，则 d=3；该数列前 15

项的中项为 15+1

2

a= 8a =22。

4.【答案】10，22，27。解析： na = 1a +（n-1）×d，即 47=2+（n-1）×5，解得 n=10；

该数列的中间两项分别为 10

2

a= 5a =2+（5-1）×5=22， 10

+12

a= 6a =22+5=27。

1.【答案】255。解析：根据 nS =2

1 ）（ naan ，可得 15S =

15 31

2

（3 ）=255。

2.【答案】230。解析：根据 nS =n1a +

2

1）（ nnd，则 10S =10×5+

2

11010 ）（ ×4=230。

3.【答案】132。解析：根据等差数列中项求和公式，可得 11S =11× 11 1

2

a =11× 6a

=11×12=132。

4.【答案】175。解析：根据等差数列中项求和公式，可得 14S =14× 7 8

2

a a=175。

利用等差数列通项公式求解

利用等差数列求和公式求解



三、解题训练

1.【答案】B。解析：方法一，由题可知 d=2，n=25， 25a =80，根据 25a =1a +（25-1）

×2，得1a =32，再根据 nS =

2

1 ）（ naan ，可得 25S =

2

803225 ）（ =1400。

方法二，根据 25a = 13a +（25-13）×2，得 13a =56，根据中项求和公式可得 25S =25×

13a =25×56=1400。

2.【答案】B。解析：每天的营业额组成公差为 100 的等差数列，10 月共有 31 天，

即该等差数列项数为 31，第 15 项为 5000，16 日的营业额为中项，则 16 日的营业额为

5000+100=5100 元，根据等差数列中项求和公式，则该商店 10 月份的总营业额为

5100×31=158100 元，选 B。

3.【答案】D。解析：第 2 层到第 17 层每层缴纳的电梯费构成公差为 10 的等差数

列，第 2 层到第 17 层共有 16 层，中间两层为第 9 层和第 10 层。根据等差数列中项求

和公式，这两层缴费之和为 1904÷8=238 元，则第 9 层交费为（238-10）÷2=114 元，则

第 7 层交费为 114-20=94 元，选择 D。

第二节比例计算

二、能力训练

1.【答案】3∶2。

2.【答案】9∶8。

3.【答案】3∶8。

请将下列表述转化为最简比例



1.【答案】2∶3∶6。解析：题干中比例关系如下表：

甲乙丙

2 3

1 2

按照乙统一比例，将乙统一为 3 份，

甲乙丙

2 3

1×3=3 2×3=6

因此甲、乙、丙三组人数之比为 2∶3∶6。

2.【答案】4∶5。解析：题干中比例关系如下表：

技术类非技术类

原来 2 5

现在 1 2

加入技术类人才前后，非技术类员工人数不变，因此根据非技术类员工统一比例，

统一为 10 份，

技术类非技术类

原来 2×2=4 5×2=10

现在 1×5=5 2×5=10

因此原来和现在的技术类员工人数之比为 4∶5。

3.【答案】4∶3∶3。解析：分析可得题干中比例关系如下表：

甲乙丙总

2 3 5

3 10

根据总数统一比例，将其统一为 10 份，如下

甲乙丙总

2×2=4 3×2=6 5×2=10

3 10

请根据题干表述寻找不变量，并据此统一比例



因此甲、乙、丙三个社区的人数之比为 4∶3∶（6-3）=4∶3∶3。

1.【答案】160，480。解析：根据题干比例关系，将甲、乙、丙分别设为 3 份、4

份和 5 份，3 份对应 120 个零件，即 1 份对应 120÷3=40 个零件，则乙有 4 份，共 4×40=160

个零件，三人共加工了 3+4+5=12 份，共加工了 12×40=480 个零件。

2.【答案】10，14。解析：根据题意可设男、女职工人数分别为 5 份和 2 份，两者

相差 3 份，对应 6 人，即 1 份对应 2 人，因此男职工有 5×2=10 人，共有（5+2）×2=14

人。

3.【答案】20 千米/小时。解析：根据题意可设甲、乙的速度分别为 3 份和 4 份，

两者和为 7 份，对应 140，即 1 份对应 20，甲、乙的速度差为 1 份，对应 20。

三、解题训练

1.【答案】C。解析：由题得，2

1橘子=

3

1苹果，则橘子∶苹果=2∶3，如下

橘子苹果香蕉

2 3

5 2

两个比例中均存在苹果，据此统一比例，将苹果统一为 3×5=15 份，则可得

橘子苹果香蕉

2×5=10 3×5=15

5×3=15 2×3=6

即橘子、苹果、香蕉的重量之比为 10∶15∶6，共 10+15+6=31 份，对应 620 千克，

即 1 份对应 20 千克，苹果比香蕉多 15-6=9 份，共多 9×20=180 千克。

通过份数与实际量对应，计算下列各题



2.【答案】B。解析：根据“某车间女员工人数占员工总数的7

3”，可知原先女∶

总=3∶7，则女∶男=3∶（7-3）=3∶4；调走男员工后，女∶男=6∶5。如下

女男

调走男员工前 3 4

调走男员工后 6 5

男员工调走前后，女员工的数量并未改变，据此统一比例，将其统一为 6 份，则可

得

女男

调走男员工前 3×2=6 4×2=8

调走男员工后 6 5

由此可得男员工变化前后的数量比为 8∶5，相差 8-5=3 份，对应 21 名，即 1 份对

应 7 名，则车间现在有男员工 5×7=35 名。

3.【答案】B。解析：由题可得甲∶总=1∶5，乙∶总=1∶4，丙∶总=1∶3，根据

总量统一比例，将总量统一为 60 份，则甲∶乙∶丙∶丁=12∶15∶20∶（60-12-15-20）

=12∶15∶20∶13，则丁造林 13 份，对应 3900 亩，即 1 份对应 3900÷13=300 亩，因此

甲队造林亩数为 12×300=3600 亩。

4.【答案】C。解析：根据题干可知，比例关系如下：

甲乙丙总

1 2 3

2 1

分析发现，可根据乙和丙的投资和统一比例，将其统一为 6，如下：

甲乙丙总

1×3=3 2×3=6 3×3=9

2×2=4 1×2=2

因此甲∶乙∶丙=3∶4∶2，又知按投资额分配收益，则收益之比与投资额之比相

同，甲与丙相差 1 份，对应 2 万元，故乙应得收益为 4×2=8 万元。



第三节鸡兔同笼

二、解题训练

1.【答案】D。解析：

问题一：如下表，题干给出两个主体：鸡、兔，两种属性：头和脚，已知指标数和

指标总数，求鸡和兔的各自数量。

鸡兔指标总数

头的数量 1 1 35

脚的数量 2 4 94

问题二：设全是鸡，则有 35×2=70 只脚，故实际有（94-70）÷（4-2）=12 只兔子，

有 35-12=23 只鸡。

2.【答案】B。解析：

问题一：如下表，题干给出两个主体：大瓶、小瓶，两种属性：瓶子个数和可装水

量，已知指标数和指标总数，求大瓶和小瓶的数量差，即需要求出大瓶和小瓶的各自数

量，是鸡兔同笼问题。

大瓶小瓶指标总数

瓶子个数 1 1 52

可装水量 5 1 100

问题二：设都是 1 千克的瓶子，将装水 52 千克，现在多装了 100-52=48 千克，每

个大瓶比小瓶多装 4 千克，所以大瓶有 48÷4=12 个，小瓶有 52-12=40 个，相差 28 个。

3.【答案】C。解析：

问题一：如下表，题干给出两个主体：答对的题和答错的题，两种属性：题数和得

分，已知指标数和指标总数，求答对的题的数目，是鸡兔同笼问题。

对错指标总数

题数 1 1 18

得分 6 -1 94

问题二：对比第 1、2 题，区别在于此题中答错的得分为负值。



问题三：设 18 题全部答对，应得 18×6=108 分，每答错一题比答对一题少得 6+1=7

分，则答错了（108-94）÷7=2 道，故他答对了 18-2=16 道。

4.【答案】A。解析：做出一个合格零件得 10 元，做出一个不合格零件损失 10+5=15

元，若 12 个零件都合格，那么这个人可以得到 12×10=120 元，可现在只得了 90 元，

说明做了（120-90）÷15=2 个不合格的零件。

第四节不定方程

二、能力训练

1.【答案】5x+4y=98。

2.【答案】37x+20y=271。

3.【答案】3x+7y+z=32，4x+10y+z=43。

1.【答案】B。解析：3x 和 33 都能被 3 整除，则 7y 能被 3 整除，即 y 能被 3 整除，

结合选项，选择 B。

2.【答案】C。解析：2x 为偶数、21 为奇数，则 5y 是奇数，故 5y 尾数只能为 5，

2x 尾数为 6，结合选项只能选 C。

3.【答案】C。解析：方法一，第一个方程×3-第二个方程×2，可得 x+y+z=10。

方法二，令 y=0，则有

434

323

zx

zx，解得

1

11

z

x，故 x+y+z=11+0-1=10，选 C。

三、解题训练

1.【答案】D。解析：设大盒数量为 x，小盒数量为 y，则 23x+16y=500，由于 16、

500 均是 4 的倍数，则 23x 也是 4 的倍数，即 x 是 4 的倍数，排除 A、C，代入 B、D

可得，x=12、y=14 符合题意，故选择 D。

求解下列各题

根据下列各题表述找到并列出等量关系式



2.【答案】D。解析：设需要红色文件袋 x 个、蓝色 y 个，则有 7x+4y=29，4y 为

偶数，29 为奇数，则 7x 为奇数，x 为奇数。排除 B、C，代入 A、D 可得，x=1，y 不

是整数；x=3，y=2，满足题意，故选 D。

3.【答案】D。解析：设大包装盒有 x 个，小包装盒有 y 个，则 12x+5y=99，其中

x、y 之和为十多个。5y 的尾数只能是 5、0，对应的 12x 的尾数只能为 4 或者 9，而 12x

为偶数，故尾数只能为 4。此时，只有 x=2 或者 x=7 时满足这一条件。

当 x=2 时，y=15，x+y=17，正好满足条件，y-x=13；

当 x=7 时，y=3，x+y=10，不符合条件。

综上所述，只能选择 D。

4.【答案】C。解析：方法一，设木匠加工 1 张桌子、1 张椅子、1 张凳子所用时间

分别为 x、y、 z 小时，根据题意，有

②2284

①1042

yx

zx，①×2+②，得

4x+8z+4x+8y=10×2+22，即 8x+8y+8z=42，则所求为 42÷8×10=52.5 小时。

方法二，假设木匠加工 1 张桌子的用时为 0，则加工 1 张凳子用 10÷4=2.5 小时，

加工 1 张椅子用 22÷8=2.75 小时，则所求为 10×（0+2.5+2.75）=52.5 小时。



第二章行程问题

第一节普通行程

二、能力训练

1.【答案】50 秒。解析：在火车头上找一个质点 M，火车全车经过大桥实际走过

的距离为车长与桥长的和，所求为（800+150）÷19=50 秒。

2.【答案】59 米。解析：因为甲乙的速度是相同的，所以甲乙之间的距离始终保持

不变。设甲乙之间的距离是 x 米，则现在甲距离起点的距离是（20+x）米。当乙行驶

到甲现在的位置时，甲乙都向前行进了 x 米，这时候甲距离起点（20+2x）米。20+2x=98，

解得 x=39。所以甲现在距离起点 20+39=59 米。

起点乙 x米

AC D B

A D B

甲20米

乙x米

甲

98米

3.【答案】（1）V甲>V丙 >V乙；（2）甲丙所在跑道直径的另一端；（3）30。解

析：

（1）经过 20 分钟，甲超过乙一圈，说明 V甲>V乙，又过 10 分钟，甲超过丙一圈，

说明 V甲>V丙，用时比甲超过乙长，说明 V丙 >V乙，故 V甲>V丙 >V乙；

A B

M M



（2）甲 20 分钟可超过乙一圈，所以又跑 10 分钟之后，甲此时可再超过乙半圈即

共超了 1 圈半，此时甲超过丙一圈，故乙与甲丙此时分别位于跑道直径的两端；

（3）结合（1）、（2）可知，经过 30 分钟丙超过乙半圈，故再过 30 分钟，丙将

超过乙一圈。

三、解题训练

☆例题 1☆

【答案】7:52。解析：

问题一：行程图略。

问题二：t，S 和 v。

问题三：求甲从 A 到 B 的时间，应该用 AB 距离除以甲增加后的速度。AB 距离是

知道的，所以关键在于甲的速度。甲原先速度等于 480÷20=24 米/分钟。甲增速之后的

速度是 24+16=40 米/分钟。所以甲增速之后从 A 到 B 的时间是 480÷40=12 分钟。所以

甲在 7:52 到达 B 地。



随堂练习

【答案】B。解析：


问题二：S，v 和 t。

问题三：设骑车原速度为每分钟 v 米。由题意得，30v=10（v+50）+2000，解得 v=125，

则所求为 125×30×2=7500 米=7.5 千米。

☆例题 2☆

【答案】A。解析：

问题一：S 不变；反比关系。

问题二：列车的速度比为 3∶5，时间比为 5∶3。

问题三：运行速度提升前后时间差 2 份，对应 48 分钟，即每份 24 分钟。提速后用

时 24×3=72 分钟（1.2 小时），A、B 距离为 250×1.2=300 千米。

随堂练习

【答案】C。解析：

问题一：S 不变；反比关系。

问题二：提速9

1后，提速前后速度比为 9∶10，用时比为 10∶9；准点抵达用时为

10 份，则提速后用 9 份时间，提前 1 份的时间到达，对应 20 分钟。所以原速行驶要

10×20=200 分钟。

问题三：同理，提速3

1后，提速前后速度比为 3∶4，用时比为 4∶3。提前 200÷4=50

分钟到达。



第二节相遇追及

二、能力训练

（1）甲、乙同时出发，相向而行，经过一段时间同时到达同一地点，即甲、乙相

遇，此过程属于相遇问题，AB 即甲 30 分钟行驶的路程，为 10 千米；BC 即乙 30 分钟

行驶的路程，为 7 千米；AC 为甲、乙相遇走的路程和，为 10+7=（20+14）×0.5=17 千

米。

（2）甲、乙同时出发同向而行，甲的出发地在乙之后，经过一段时间甲、乙同时

到达同一地点，即甲追上了乙，此过程属于追及问题，AC 即甲 1 小时行驶的路程，为

20 千米；BC 即乙 1 小时行驶的路程，为 14 千米；AB 为甲、乙的路程差即相同时间内

甲比乙多走的距离，也是甲乙开始时相距的距离，为 20-14=（20-14）×1=6 千米。

三、解题训练

☆例题☆

【答案】500，50。解析：


问题二：S，v 与 t；t，S 与 v。

问题三：两人用 5 分钟共走了 A、B 两地的距离，则有（55+45）×5=500 米；若两

人同时同向而行，甲需要追乙 500 米，追及的时间为 500÷（55-45）=50 分钟。

随堂练习

乙甲

A B C

乙甲

A B C





问题二：S，v与 t。

问题三：求相遇时行驶的距离，已知各自的速度，需求出相遇时间，从客车出发到

两车相遇，路程和为 530-50×1=480千米。

问题四：480÷（70+50）=4小时，客车相遇时行驶了 4×70=280千米，货车行驶了

530-280=250千米。

2.【答案】A。解析：

问题一：

问题二：当甲返回 A 地再去追乙的时候，乙已经跑了 1 小时，所以追及的路程是

45×1=45千米，甲追乙所花时间为 45÷（60-45）=3小时。

问题三：A、B两地的路程为 3×60=180千米。

3.【答案】C。解析：此题所求是路程差，需要知道速度差和时间，本质上是追及问题。

甲、乙的速度差为 1-0.6=0.4米/秒，故 5分钟（300秒）内甲比乙多游了 0.4×300=120米。

实战演练

1.【答案】B。解析：去时所用时间为 40÷60=3

2小时，回程速度为去时的

3

2，则

回程所用时间为去时的2

3，为

3

2×

2

3=1小时，则行驶时间为 1

3

2小时，总时间为 4小

时，则装运货物时间为 23

1小时，则本题所求为 2

3

1÷1

3

2=1.4倍，选择 B。

2.【答案】B。解析：方法一，从 A 到 C所用时间为 1 小时，则从 C 到 B 也为 1

小时，即 8点到达 B，则从 B到 C为 2小时。由从 C到 B和从 B到 C所需时间可知，

下坡速度是上坡速度的 2倍，分别设为 2x和 x，则从 C到 A 速度为 x+1，时间为 1.5

乙

30分钟

甲



小时。根据路程相等可知 2×x=1.5×（x+1），得 x=3 米/秒，则 A、B 之间距离为

2×60×60×6=43200 米，即 43.2 千米，故本题答案为 B。

方法二，由方法一可知，小周上坡时从 B 到 C 所需时间为 2 小时，从 C 到 A 所需

时间为 1.5 小时，故 BC 和 CA 两段的速度比为 1.5∶2=3∶4，1 份对应 1 米/秒，故 A、

B 两地距离为 4×3600×1.5×2=43200 米，即 43.2 千米，选 B。

3.【答案】A。解析：设 A 车速度为 x 米/秒，B 车速度为 y 米/秒，则有

6120

300420

2430

300420

=y=x

=x+y=

，解得 x=15。15 米/秒=15×3.6 千米/小时=54 千米/小时。



第三章工程问题

第一节普通工程

二、解题训练

☆例题 1☆


问题一：根据题意可知，生产相同的产品时，甲工厂所需时间比乙工厂少 10 天。

问题二：设甲工厂每天加工产品 x 件，则甲完成任务需要x

480天，乙需要

4

480

x天，

所以x

480+10=

4

480

x，选择 C。

随堂练习


问题一：题目中存在两个等量关系，第一个是原计划生产零件所需天数比实际多 4

天；第二个是原计划生产的零件个数比实际少 80 个；

问题二：设工厂原计划生产零件 x 个，则有100

x-

120

80x=4，解得 x=2800。

问题三：设原计划生产天数为 x，则原计划的生产量为 100x，可列出下列式子：

100x+80=120（x-4），解得 x=28，即原计划要生产 28 天，故原计划生产零件

100x=100×28=2800 个。选 C。

☆例题 2☆

【答案】C。解析：题目要求工作总量，需要知道工作效率和时间。工作总量不变，

时间和效率成反比；已知时间和效率差，可用比例法求解。前后时间之比=18∶12=3∶

2，可得前后效率之比=2∶3，则由题意可得 1 份对应 8 个零件，2 份就是 16 个零件，

所以零件总数=16×18=288 个。



随堂练习


问题一：根据题意可知，按原效率工作 30 天后剩余的工作量是不变量，时间与效

率成反比；

问题二：工作效率提高 20%，原效率与现在的效率比为 5︰6；

问题三：根据问题一、二可知，剩下的工作原定时间与现在的时间之比为 6∶5；

问题四：剩下的工作原定 150-30=120 天完成，对应 6 份，则 1 份对应 20 天，现在

所需时间比原定少 1 份，即节省 1 份的时间，为 20 天。

第二节多者合作

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】B。解析：所求为时间，时间=工作效率工作量

，需要知道工作总量和甲、乙

的工作效率，均未知。时间为定值，若工作量改变则效率随之改变，即工作量的值不影

响计算结果，可设特值求解。设工作量为 30，则甲、乙的效率分别为 3 和 2，则甲乙合

作，需要 30÷（3+2）=6 天。

随堂练习

【答案】C。解析：设工作总量为 30，则甲的工作效率为 1，乙、丙效率和为 2，

三人效率和是 1+2=3。故三人共同完成需要 30÷3=10 天。

☆例题 2☆

【答案】C。解析：所求为时间，时间=工作效率工作量

，需要知道工作总量和三个工

程队的工作效率，均未知。题干已知效率比，据此设甲、乙、丙的工作效率分别为 3、



4、5，则 A 工程的工作量为 3×25=75，B 工程的工作量为 5×9=45，完成这两项工程共

需要（75+45）÷（3+4+5）=10 天。

随堂练习

【答案】A。解析：设甲、乙、丙的效率分别为 2、3、4，则甲、丙合作 3 天完成

（2+4）×3=18，完成总工作量的3

2，则工作量的

3

1为 18÷2=9，因此乙用时 9÷3=3 天，

故共用 3+3=6 天。

☆例题 3☆

【答案】A。解析：要求后来增加的机器数，已知开始使用的机器台数，即求 2 天

后剩余的工作量需要的机器台数，因为投入的机器数 =

每台机器的工作效率工作时间工作量

，需要知道工作量和每台机器的效率，均未知。

根据题意可知，每台机器的效率都相同，即任意两台机器的效率比为 1∶1，因此可设

每台机器的效率为 1，3 台机器工作 2 天后，剩余工作量为 3×1×（10-2）=24，剩余用

时 10-2-2=6 天，因此剩余工作量的总工作效率为 24÷6=4，即相当于 4 台机器，需要再

投入 4-3=1 台机器。

随堂练习

【答案】D。解析：设原来每台机器的效率是 1，则改造后为 1.05。剩余 7 天剩余

的工程量为 36×7，此时的效率为 40×1.05，所以还需要05.140

736

=6 天。

实战演练

1.【答案】D。解析：工作效率提高后，原工作效率与现在的工作效率之比为 1∶

1.4=5∶7，则所需时间比为效率的反比 7∶5，节省 2 份时间，对应 30 分钟，则 1 份时

间对应 15 分钟，则原计划抄完剩下的5

3需要 15×7=105 分钟，则原计划抄完这份报告

共需 105÷3×5=175 分钟，这份报告共有 175×30=5250 字。



2.【答案】A。解析：设工作总量为 240（40、48、60 的最小公倍数），则甲、乙、

丙的工作效率分别为 6、5、4，甲工作 4 个小时完成 4×6=24，剩余都是由乙、丙合作

完成需要（240-24）÷（5+4）=24 小时，即乙一共投入了 24 小时。

3.【答案】A。解析：设 B 工程队的效率为 1，A 工程队的效率为 2，则总工作量

为（1+2）×6=18。按原来的时间完成，B 工程队完成了 1×2×（6-1）=10，则 A 工程队

需要工作（18-10）÷（2×2）=2 天，所求为 6-2=4 天。

4.【答案】B。解析：记三个工作组每天的效率分别为甲、乙、丙，根据题意可知，

3（甲+乙）+7（乙+丙）=7（甲+乙+丙），即 3 乙=4 甲，又 2 乙=甲+丙。设乙每天的

效率为 4，则甲、丙每天的效率分别为 3、5。B 工程总量为 10×5=50，若由甲、乙合作，

所需时间为 50÷（3+4）=7……1，即需要 7 天多。故本题选 B。

5.【答案】B。解析：设每台挖掘机每小时的工作量为 1，则工期还剩 8 天时，工

程剩余量为 80×（10+8）×10=14400。要想按期完成，平均每天需工作 14400÷（80+70）

÷8=12 小时，平均每天需要多工作 12-10=2 小时。



第四章利润问题

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】A。解析：根据题意可知，这款时装的进价为 240÷（1+20%）=200 元，

售价 300 元时，利润为 300-200=100 元，则利润率为 100÷200×100%=50%。故本题选 A。

随堂练习

1.【答案】C。解析：根据题意可知，该葛粉的售价为 20×（1+52%）=30.4 元，则

定价为 30.4÷（1-20%）=38 元，故本题选 C。

2.【答案】A。解析：由题可知每台电冰箱的获利是 210 元，即售价-进价=210 元；

设这种冰箱的进价是 x 元，则有 x（1+15%）×0.9-x=210，解得 x=6000。

☆例题 2☆

【答案】D。解析：所求为利润率=（售价-进价）÷进价×100%，而进价未知，售

价可用进价表示，则进价的具体值对结果没影响，可设任意值；为方便计算，设进价为

100，则打折前的售价为 100×（1+200%）=300，打折后的售价为 300×0.6=180，所求利

润率为（180-100）÷100×100%=80%。

随堂练习

【答案】A。解析：要求两件商品各出售一件时的利润率，需要知道两件商品各自

的售价和成本，而售价又可以用成本表示，则成本的具体值对最终的结果没有影响，可

设为任意值。为方便计算，设每件成本为 100，则两件商品各售出一件时售价分别为 125、

87，和为 125+87=212，成本为 200，利润率为（212÷200-1）×100%=6%。



实战演练

1.【答案】B。解析：该批汉堡包总成本为 4.5×200×10=9000 元。全卖完的 6 天销

售额为 10.5×200×6=12600 元；其余 4 天的销售额为 10.5×（200-25）×4=7350 元。共赚

了 12600+7350-9000=10950 元。

2.【答案】C。解析：根据题意，8 月赚的钱正好与 9 月亏的钱抵消。设这批夏装

的单件进价为 x 元，则有（1.6-1）x×200=15000，解得 x=125。故本题选 C。

3.【答案】B。解析：设成本为 x 万元，则有 x（1+50%）×0.8×（1-5%）=x+7，解

得 x=50，即该艺术品的成本为 50 万元。答案选 B。

4.【答案】A。解析：设收购价为 100 元，则第一次以 100×（1+30%）=130 元卖出，

后以 130×90%=117 元回收，最后又以 100 元卖出。则此过程中一共获利 13 元，利润率

为 13%。

5.【答案】C。解析：设去年成本为 100，则今年成本为 100×（1-15%）=85。设去

年的利润率为 x%，则今年的利润率为（x+24）%，根据售价不变，得 100×（1+x%）

=85×[1+（x+24）%]，解得 x=36，可知去年利润率为 36%。



第五章排列组合问题

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】8 种。解析：抽到质数的情况分别为 2、3、5、7、11、13、17、19。

题干特征：问法明确，有多少种不同的方法/方式/情况……

考查本质：是一种计数问题。

随堂练习【答案】是；是；否；是。

☆例题 2☆

（1）【答案】13。解析：根据不同交通方式分类讨论：共有 4+6+3=13 种不同的

方法。

（2）【答案】10。解析：从 5 元的个数入手分类讨论：

第一类：2 张 5 元、0 张 2 元、0 张 1 元，1 种方法；

第二类：1 张 5 元，2 元可能有 2、1、0 张，3 种方法；

第三类：没有 5 元，2 元可能有 5、4、3、2、1、0 张，6 种方法。

所以共有 10 种支付方法。

（3）【答案】6。解析：先从 3 件上衣中选一件有 3 种选法，再从 2 条裤子中选一

条有 2 种选法，分步用乘法原理，共有 3×2=6 种选法。

（4）【答案】1024。解析：每名同学在四个课外活动小组中可任报一个，即每一

步有 4 种方法，根据分步计数原理，不同的报名方法共有 4×4×4×4×4= 54 =1024 种。

随堂练习 1.【答案】B。解析：

问题一：小王需要在可供选择的宾馆中选一家住宿；能解决。

问题二：每一类选法都可完成这件事情，故需分类。

问题三：共有 7+5+3=15 种。




问题一：此题需确定身份证号码的后 4 个数字，若只确定其中 1 个数并不能完成这

件事。

问题二：分步，先选出倒数第二位的数字，再依次选出倒数第三位和倒数第四位的

数字。

问题三：先选出倒数第二位的数字，不能是 1，有 4 个数可选；倒数第三位不能和

倒数第二位一样，也有 4 个数可选；倒数第四位不能和倒数第三位一样，也有 4 个数可

选。

问题四：共有 4×4×4=64 种可能。

3.【答案】D。解析：设置一个由 0 到 9 这 10 个数字组成的 4~6 位密码，有 3 类办

法：第一类办法是设置 4 位密码；第二类办法是设置 5 位密码；第三类办法是设置 6

位密码。

第一类：设置 4 位密码，每一位上都可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取一个，有 10

种取法。根据分步乘法计数原理，四位密码的个数是 10×10×10×10= 410 ；

同理，第二、三类办法可以设置 5、6 位密码的个数分别为 510 、 610 。

根据加法原理，设置由数字 0 到 9 组成的 4~6 位密码的个数是 410 + 510 + 610 。

☆例题 3☆

（1）a.【答案】 4

10A 。解析：选出这 4 人有顺序要求，要排跑第几棒，改变顺序对

结果有影响，是排列，则共有 4

10A 种不同的安排方法。

b.【答案】 3

5A 。解析：选出这 3 人有顺序要求，站队位置不同，顺序对结果有影

响，是排列，因此结果数为 3

5A 。

c.【答案】 58C 。解析：选这 5 人没有顺序要求，先选后选对参加培训这一结果无

影响，是组合，则共有 5

8C 种不同的选法。

d.【答案】 3

5C 。解析：5 盆红花是不相同的，选出的 3 盆没有顺序要求，顺序对

结果无影响，是组合，因此结果数为 3

5C 。



（2）解析： 3

6A 6×5×4=120； 4

4A 4×3×2×1=24；3

3

3

63

6A

AC =20； 2

2C 1；

2112

672

7

C ； 21

12

672

7

5

7

CC 。

随堂练习 1.【答案】C。解析：

问题一：分步，可先选肉类，再选蔬菜，最后选点心。

问题二：组合。

问题三：分步相乘，所求为 1

4

2

4

1

3 CCC =72。


问题一：分类，按照灯的数量可分为一盏、两盏、三盏和四盏四类。

问题二：有影响，排列数。

问题三：一盏时为 1

4A 种，两盏时为 2

4A 种，三盏时为 3

4A 种，四盏时为 44A 种。共

有 1

4A +2

4A +3

4A +4

4A =64 种不同的信号。

3.【答案】D。解析：根据题意，情况有两类，分别是做对 3 道选择题 1 道证明题

和做对 1 道选择题 2 道证明题。因此一共有 242

3

1

4

1

3

3

4 CCCC 。

☆例题 4☆

【答案】48；48；72；108。解析：

（1）数字 1 有特殊要求，则先排数字 1，有 2 种，再排其余数字，有 4

4A =24 种，

因此所求为 2×24=48 种。

（2）2 个偶数必须相邻，则将 2 个偶数捆绑在一起看成 1 个数，与剩余的 3 个数

进行排列，有 4

4A =24 种，2 个偶数可以互换顺序，有 2

2A =2 种，故所求为 24×2=48 种。

（3）先排 3 个奇数，有 3

3A =6 种，再从奇数形成的 4 个空位里选 2 个将偶数放入，

有 2

4A =12 种，因此所求为 6×12=72 种。

（4）数字 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数共有 5

5A =120 个，万位和千位

没有奇数的五位数有 3

3

2

2 ×AA =12 个，因此所求为 120-12=108 个。

随堂练习



1.【答案】B。解析：

问题一：优限法；科技书有限制条件。

问题二：先排科技书，有 1

2C 种排法，再排其他书，有 5

5A 种排法，根据乘法原理，

共有 2×120=240 种不同的摆放顺序。


问题一：捆绑法；女生必须相邻。

问题二：有影响。

问题三：3 名女生必须站在一起，将其作为一个整体。女生这个整体与其余 5 个男

生一起排列，一共有 43203

3

6

6 AA 种站法。可根据能被 3 和 4 整除直接选 D。


问题一：捆绑法；所有数学书相邻，所有外语书也相邻。

问题二：有影响。

问题三：数学书和外语书都必须排在一起，所以将 4 本数学书和 3 本外语书分别看

作为一个整体。这两个整体与其余 3 本语文书一起排列，一共有 17280AAA 3

3

4

4

5

5 种

排法。

问题四：因为 4 本数学书相同，3 本外语书相同，总的方法数为 5

5A =120。


问题一：插空法，题干要求 2 名男员工不能坐在一起。

问题二：先将女员工排好，有 3

3A 种排法；再将 2 名男员工插空，且 2 名男员工之

间有顺序，有 2

4A 种选法。所以不同的座次安排共有 3

3A ×2

4A =72 种。


方法一：

①包含：甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙都不参加。

②甲乙中有一人参加，有 3

6

1

2CC 种选法；甲乙都不参加，有 4

6C 种选法。

③所求为 3

6

1

2CC +4

6C =55 种。

方法二：

①甲乙同时参加。



②甲、乙两人同时参加，共有 C2

6 =15 种。

③总共的选派方法有 C4

8 =70 种，本题所求为 70-15=55 种。

实战演练

1.【答案】C。解析：满足题意的组合共计 6 种，如下：

5升 2升 1升

1 2 0

1 1 2

1 0 4

0 3 3

0 2 5

0 1 7

2.【答案】B。解析：首先考虑三个部门的出场顺序，有 3

3A =6 种；其次考虑每个

部门选手的出场顺序，分别有 3

3A =6 种， 2

2A =2 种， 4

4A =24 种。则不同参赛顺序的种

数为 6×6×2×24=72×24，计算结果显然大于 1000，小于 5000，故此题答案为 B。

3.【答案】B。解析：要求最后播放奥运广告，则奥运广告有位置要求，需用优限

法，且两个奥运广告不相邻，需用插空法。先从奥运广告中选择 1 个，放在最后播放，

有 2 种选择，再将 3 个商业广告进行排序， 3

3A =6 种播放方式，最后在 3 个商业广告形

成的 3 个空中放入另一个奥运广告，有 3 种放法。综上，不同的播放方式共有 2×6×3=36

种。

4.【答案】D。解析：根据题意，政治理论课需要选择 5 门，一共有 565

8 C 种情

况。专业技能课选择一共有 101505014

5

3

5

2

5

4

5

5

5 CCCCC 种情况，因此

一共有 56×101=5656 种选择。选择 D 项。

5.【答案】D。解析：选取 3 颗棋子，至少有一颗黑子的对立面是全部都为白子。

全部都为白子的情况共有 3

8C 种，任选 3 颗棋子的情况共有 3

12C 种， 3

12C -3

8C =220-56=164

种。



第六章概率问题

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】5

2；

5

2；

10

3；

5

3；

10

9。解析：

（1）任取 1 本书，取到每本书的可能性是相同的，为等可能事件。书的总数为 5

本，即为总事件数；编号为偶数的有 2 本，即为满足条件的方法数，故所求为5

2；

（2）任意取 2 本书，总事件数为 2

5C 种。编号恰好相邻有 4 种，即为（1、2）、

（2、3）、（3、4）、（4、5），所求为 2

5

4

C=

5

2；


5C 种。编号均为奇数有 2

3C 种，所求为2

5

2

3

C

C=

10

3；


5C 种。编号是一个奇数一个偶数的有 1

3C ×1

2C 种，

所求为2

5

1

2

1

3

C

CC =

5

3；

（5）方法一，任意取 2 本书，总事件数为 2

5C 种。所求事件为两本书至少有一本

的编号为奇数，有两种情况，其中一本编号为奇数一本编号为偶数或者两本的编号均为

奇数，所求事件数为 1

3C ×1

2C +2

3C 。所求为2

5

2

3

1

2

1

3

C

CCC =

10

9。

方法二，任意取 2 本书，总事件数为 2

5C 种。所求事件为至少有 1 本书编号为奇数，

其对立事件为 2本书的编号均为偶数，对立事件数为 2

2C =1种。故所求概率为1- 2

5

1

C=

10

9。



随堂练习 1.【答案】B。解析：员工周一至周日选择连续两天参加联谊会共有 6 种情况，员

工周五至周日选择连续两天参加联谊会共有 2 种情况，则所求概率为6

2=

3

1。

2.【答案】B。解析：从 5+3=8 人中任选 2 人，没有顺序要求，总事件数是 2

8C 种。

所求事件为选的 2 人恰有 1 人会唱歌，有 1

5C ×1

3C 种。因此所求概率为2

8

1

3

1

5

C

CC=

28

15。

3.【答案】D。解析：总事件是从 5 个人中选 3 个录取，没有顺序要求，总事件数

为 3

5C =10。所求事件为甲、乙两人至少有 1 人被录用，其对立事件是甲、乙两人都未

被录用，录取了其余 3 人，对立事件数为 1。则所求概率为 1-10

1=

10

9。

☆例题 2☆

【答案】C。解析：小明每次抛币之间相互没有影响，且每次字面向上的概率是2

1，

所求概率为）（）（2

1-1

2

1 22

3 C =8

3。

随堂练习 1.【答案】C。解析：每天是否下雨之间相互没有影响，且每天下雨的概率是相同

的，属于独立重复试验，所求概率为 31

4 4.06.0 C =0.1536，故选 C。

2.【答案】C。解析：甲赢得比赛有两种情况：一是前两局连胜，概率为 0.8 2 =0.64；

二是前两局一胜一负、第三局获胜，概率为 C1

2×0.8×0.2×0.8=0.256，故甲获胜概率为

0.64+0.256=0.896。

实战演练

1.【答案】C。解析：掷 3 颗骰子，出现的点数情况共有 6×6×6=216 种，三个点数

之和为 4，只能是 1+1+2，有 3 种情况，即（1、1、2）、（1、2、1）、（2、1、1），

故所求概率为216

3=

72

1，选择 C。



2.【答案】C。解析：设原有职员 x 人，则有x

14-

2

12

x=3%，解得 x=50。则选派

的两人都是女职员的概率为2

48

2

12

C

C=

188

11≈

17

1≈6%，故本题答案为 C。

3.【答案】D。解析：从 8 个球中选取 4 个球，有 4

8C =70 种不同的可能。选取的 4

个球颜色相同，只有同为红球和同为白球 2 种，其他情况下都会有两种颜色，则选取的

4 个球包含两种颜色的概率为 1-70

2=

35

34。

4.【答案】B。解析：方法一，若小张固定了座位，剩下 39 个座位小李可以选，小

李要和小张坐在同一排，只能在小张坐的那一排剩余的 7 个位置上选，故两人坐在同一

排的概率都是39

7，不到 18%，选择 B。

方法二，小张、小李随机入座共有 2

40A 种不同的方式，每排 40÷5=8 个座位，他们

两人坐在同一排有（ 1

5C ×2

8A ）种可能，则所求概率为2

40

2

8

1

5

A

AC =

39

7=17.X%。故本题

选 B。

5.【答案】B。解析：第七局甲队获胜，前六局甲队胜三局，因此所求概率为

6.04.06.0 333

6 C ≈0.166，在 10%~20%之间。



第七章极值问题

第一节和定最值

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】（1）19；（2）3。解析：存在和，和为 29。（1）要使分得最多的部门

分得电脑最多，且每个部门分的数量互不相同，则其他部门分得的数量应尽可能少，依

次为 1、2、3、4，故分得电脑最多的部门最多分得 29-1-2-3-4=19 台。（2）要使分得

最少的部门分得最少，且每个部门分的数量互不相同，则其他部门分得的数量应尽可能

多，从大到小依次为 8、7、6、5，故分得电脑最少的部门最少分得 29-8-7-6-5=3 台。

随堂练习

1.【答案】B。解析：存在和，和为 14×7=98，求 7 个正整数中最大的数最大，则

其他数尽可能的小，最小四个数分别为 1、2、3、4，第二、三大数依次为 19、18，所

以最大数的最大值是 98-1-2-3-4-19-18=51。

2.【答案】A。解析：和为 183，求效率最慢的工人一小时最少完成多少个零件，

则让其他 7 名工人一小时完成的零件数尽可能多，依次为 27、26、25、24、23、22、

21，所以所求为 183-24×7=15。

☆例题 2☆

【答案】（1）7；（2）6；（3）7。解析：

（1）已知技术部分得的数量最多，要使技术部分得最少，且每个部门分的数量互

不相同，则其他部门分得的数量应尽可能多，即 5 个部门分得的数量尽可能接近。

21÷5=4……1，则 5 个部门分别分得 6、5、4、3、2，剩余的 1 台只能分给技术部，故

技术部最少分 7 台。



（2）要使技术部分得最少，且每个部门分的数量互不相同，则其他部门分得的数

量应尽可能多，即 6 个部门分得的数量尽可能接近。21÷6=3.5，则 6 个部门分别分得 6、

5、4、3、2、1，故技术部最少分 6 台。

（3）要使技术部分得最少，且每个部门分的数量互不相同，则其他部门分得的数

量应尽可能多，即 4 个部门分得的数量尽可能接近。21÷4=5……1，则 4 个部门分别分

得 7、6、4、3，剩余的 1 台分给分得数量第三多的部门，即 4 个部门分别分得 7、6、5、

3，故技术部最少分 7 台。

随堂练习

1.【答案】B。解析：要想抽调人数最多的专业抽调人数最少，则其他专业抽调的

人数要尽可能的多，也就是人数均分。256÷7=36……4，利用平均数构造数列为 39、38、

37、36、35、34、33，剩余的 4 人依次分给第一~四多的专业各 1 人，所以抽调人数最

多的专业最少抽调了 39+1=40 人。

2.【答案】A。解析：要想分数最低的得分最多，则其他同学的得分应尽可能的少，

513÷6=85.5，成绩从高到低依次为 88、87、86、85、84、83，所以分数最低的最多得

了 83 分。

3.【答案】B。解析：方法一，若要体重最重的女生体重最少，则需让其他女生体

重尽可能重，又体重最轻的重 54 公斤，故设体重最重的女生体重最少为 x 公斤，则其

余 3 名女生体重最重依次为 x-1，x-2，x-3，即 x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+54=58×5，

解得 x=60.5，因 x 为整数，故体重最重的最少为 61 公斤。

方法二，要想体重最重的女生体重尽量少，则让其余 4 名女生的体重尽量重，则这

5 名女生的体重应尽可能接近，因互不相等，则可构成等差数列，根据 5 名女生的平均

体重 58 公斤构造等差数列，从重到轻依次为 60、59、58、57、56，最轻的理论上是 56

公斤，实际上是 54 公斤，理论比实际多了 2 公斤，多的 2 公斤只能给最重的两人，因

此最重的最轻为 60+1=61 公斤。

4.【答案】C。解析：要求数量最多的最少分得的数量，则其他部门分得的数量尽

可能的多，即数量构成等差数列，结合平均值，8 个部门分得的笔记本数量依次为 254、

253、252、251、249、248、247、246，数量最少的部门最多分 245 本，比数列中对应

数字少 1 本，则第五多的部门多 1 本，所以数量最多的技术部最少分了 254 本。



☆例题 3☆

【答案】5。解析：

问题一：存在和，和为 21，求第三大的最大值。

问题二：若要分得电脑第三多的部门分得的电脑数量最多，则其他部门分得的电脑

数量应尽可能少。

问题三：分得电脑第五和第四的最少依次为 1 和 2 台，此时剩余 21-1-2=18 台，剩

余部门分得的电脑数量尽可能接近，构成等差数列。18÷3=6，由此可得第一、二、三

多的分得电脑依次为 7、6、5 台，因此所求为 5 台。

随堂练习

1.【答案】D。解析：为使排名第三的同学得分最少，就应使其他同学得分多。即

令前两名同学分别得 100 分和 99 分，则剩下的三名同学的总分为 95×6-100-99-86=285

分；第四、五名的同学和第三名的同学的分数差距应该尽可能小，即均相差 1 分，

285÷3=95 分，当第三、四、五名同学分别得 96、95、94 分时满足条件。应选择 D。

2.【答案】B。解析：20 人的总分是 20×88=1760 分，不及格的人数为 20×（1-95%）

=1 人，则他的分数最高为 59 分；前 9 名的总分最多是 100+99+……+92=864 分，所以

剩下 10 人的分数之和是 1760-59-864=837 分。第 11 名到第 19 名的成绩应该与第 10 名

的成绩相差尽可能少，即均相差 1 分，837÷10=83……7，可构造数列为 88、87、86、

85、84、82、81、80、79、78，剩余的 7 分依次分给第 10、11、15~19 名，即第 10 名

到第 19 名的成绩分别为 89、88、86、85、84、83、82、81、80、79，故排名第十的人

最低考了 89 分。

第二节最不利原则

二、能力训练

1.解析：

问题一：至少从中取出 3 个球，同黑或者同白可使 3 个球颜色相同；

问题二：至少从中取出 2×2+1=5 个球才能保证有 3 个球的颜色相同。



2.解析：

问题一：至少从中取出 5 个球，同黑或者同白可使 5 个球颜色相同；

问题二：至少从中取出 3+2×4+1=12 个球才能保证有 5 个球的颜色相同。

三、解题训练

1.【答案】A。解析：最不利情况是每个颜色的球都取出 5 个，此时再任取一个球

即可，则所求为 3×5+1=16。

2.【答案】C。解析：{4，30}，{6，28}，{8，26}，{10，24}，{12，22}，{14，

20}，{16，18}，这 7 组的和均为 34，此时还剩{2}，最不利情况是从和为 34 的每组中

任取 1 个，再取出未凑成对的 2，此时再任取 1 个即可满足题意，故所求为 7+1+1=9

个数。

3.【答案】C。解析：四项培训中选两项参加，共有 2

4C =6 种选法，要保证至少有

5 名党员参加的培训完全相同，根据最不利原则至少需要有 4×6+1=25 名党员。

实战演练

1.【答案】C。解析：100 块糖分给 10 名小朋友，平均每人分 10 块。要想数量最

多的小朋友分的最少，则其他小朋友分得数量尽量多，即数量均分。利用平均数 10 构

造等差数列，这列数依次为 15、14、13、12、11、9、8、7、6、5，所以分得数量最多

的小朋友至少分得 15 块糖。

2.【答案】D。解析：要使第二多的小组的人数尽量多，则其他小组的人数应尽可

能少，人数最少的四个小组的人数和最少为 10+11+12+13=46，剩余两个小组的人数为

120-46=74，则第二多的小组的人数最多为 74÷2-1=36 人。

3.【答案】B。解析：运用最不利原则，考虑最坏情况。当拿出中兴公司的 2109

项专利、松下公司的 2109 项专利、华为公司的 1831 项专利之后，再任取一项专利，能

保证拿出的专利一定有 2110 项是同一公司申请的专利。2109+2109+1831+1=6050，即

为本题所求。



4.【答案】C。解析：取 1 个文件夹的情况有 4 种，取 2 个文件夹的情况有 4+C2

4=10

种，共有 14 种情况。考虑最不利原则，每种情况都有 2 人取到，再多一人就能保证有

3 人取到完全一样的文件夹，则至少应该有 2×14+1=29 人去取。



第八章容斥问题

二、解题训练

☆例题 1☆

【答案】A。解析：文氏图略。设既通过理论考试又通过上机考试的人数为 x，根

据两者容斥公式有 34+32-x+4=40，解得 x=30，有 30 人通过考试。

随堂练习 1.【答案】B。解析：根据容斥原理可知，这天至少有 150+90-20=220 位病人，选

择 B。

2.【答案】D。解析：如下图，88 人有手机，15 人有手机没电脑，则 88-15=73 人

既有手机又有电脑，已知 76 人有电脑，所以有电脑没手机的有 76-73=3 人。

☆例题 2☆

【答案】B。解析：设三个项目都没有参加的有 x 名，利用三者容斥公式得

18=8+10+12-4-6-5+2+x，解得 x=1。

随堂练习 1.【答案】B。解析：设 A、B、C 三者重叠的面积为 x，根据容斥原理可得

36×3-7-6-9+x=88，解得 x=2。

2.【答案】A。解析：设三项全合格的建筑防水卷材产品有 x 种，根据容斥原理可

得，8+10+9-7-2×1+x=52，解得 x=34。

3. 【答案】 A 。解析：设三种上网方式都使用的人数有 x ，则

1258+1852+932-352-x=3542，解得 x=148。

手机电脑

88 15 76

？



☆例题 3☆

【答案】40，9。解析：

问题一：若要两种课程同时都选的人数最多，则选修文学的 40 人同时也选择了数

学，此时两科都选的人数最多，最多为 40 人；

问题二：根据容斥极值公式可得，两种课程都选的学生至少有 69+40-100=9 人。

随堂练习 1.【答案】D。解析：根据容斥极值公式，所求为 580+575+604-2×620=519。

2.【答案】C。解析：若想全勤人数占全厂最多，则第一季度的 80%的人，在第二

季度、第三季度、第四季度都全勤，此时全年全勤的人最多，占 80%。根据容斥极值

公式，最少占全厂的 80%+85%+95%+90%-100%×3=50%。

实战演练

1.【答案】C。解析：参加开幕式（3 的倍数）有[100÷3]=33 人，参加闭幕式（5

的倍数）有[100÷5]=20 人，既参加开幕式又参加闭幕式（既是 3 的倍数又是 5 的倍数）

有[100÷3÷5]=6 人，设既不参加开幕式又不参加闭幕式的有 x 人，由容斥原理可得，

33+20-6+x=100，解得 x=53。

2.【答案】C。解析：根据题干，设两天活动都报名参加的人数为 1 份，则只参加

周日活动的人数为 2 份，报名参加周日活动的共有 1+2=3 份，从而报名参加周六活动

的人数为 3×2=6 份，只参加周六活动的人数为 6-1=5 份，报名参加活动的总人数为只参

加周六+只参加周日+两天都参加=5+1+2=8 份。根据有 80%的职工报名参加，即参加的

人数∶未参加的人数=80%∶（1-80%）=8∶2，则未报名参加活动的人数为 2 份，是只

报名参加周六活动的人数的 2÷5×100%=40%。

3.【答案】C。解析：如图，会且只会一种语言的有 2+2+1=5 人。

1

1

2 3

英语

2 1 法语德语

2



4. 【答案】 D 。解析：根据容斥原理可得，回收的问卷共有

179+146+246-24-2×115+52=369 份，因此这次调查共发出 369÷90%=410 份问卷。

5.【答案】A。解析：任务绩效考核达到良好且群众满意度指标及格的至多有 35

人，所以任务绩效考核达到良好而群众满意度指标不及格的至少有 40-35=5 人。任务绩

效考核达到良好且群众满意度指标及格的至少有 40+35-50=25 人，则任务绩效考核达到

良好而群众满意度指标不及格的至多有 40-25=15 人。综上，选择 A。



第九章几何问题

第一节平面几何

二、能力训练

1.【答案】9。解析：

不等边三角形：只有 1 种。

等边三角形：有 3 种。

等腰不等边三角形：如果以 7 为腰，则可以 3 或者 5 为底；如果以 5 为腰，则可以

3 或者 7 为底；如果以 3 为腰，那么只可以 5 为底。所以共有 5 种。

综上一共是 9 种。

2.【答案】（1）5，12，6；（2）12；（3）1∶ 3 ∶2；（4）1∶1∶ 2 。

3.【答案】（1）3，6π，9π；（2）等边，4

39 ；（3）直角，2

39 ；（4）6+2π，

3π；（5）36，18。

三、解题训练

☆例题 1☆

【答案】B。解析：根据题意，老王风筝的高度为 60×sin6

=60×

2

1=30 米，老侯为

50×sin4

=50×

2

2≈35.35 米，老黄为 40×sin

3

=40×

2

3≈34.64 米，故老侯的风筝放的

最高。

随堂练习



1.【答案】B。解析：分析题干可知，DE 垂直于 AB 并平分 AB，如下图。根据有

一个角为 30°的直角三角形的三边关系，可得 AB=6÷2

3=4 3 ，AD=

2

1AB=2 3 ，

△ADE 也是有一个角为 30°的直角三角形，则 DE=AD×3

3=2 3 ×

3

3=2。

2.【答案】D。解析：摩天轮匀速旋转一周需要 2 分钟，则 40 秒可以旋转3

1圆周，

对应圆心角 120°，如下图所示，其中直角三角形的一个角为 30°，小浩所在位置比圆

心高 5 米，圆心距离地面的高度为 10.1 米，小浩与地面距离为 15.1 米，选择 D。

☆例题 2☆

【答案】C。解析：如下左图所示，甲某身高及其影子构成直角三角形1A 1B 1C ，

其中1A 1C =1.8， 1A 1B =0.9。如下右图所示，电线杆及其影子构成直角梯形 ABED，其

中，AB=7，BE=1，BC∥DE，故 CD=BE=1。

△ABC∽△1A 1B 1C ，所以

AB

AC

BA

CA

11

11 ，得 AC=14。所以电线杆的高度为

AD=AC+CD=14+1=15 米。



随堂练习

1.【答案】D。解析：在梯形中，上底与下底平行，可得△AOB∽△COD，其面积

之比等于对应边 AO、CO 之比的平方，为 1∶4。△AOB 与△BOC 可看成两个等高的

三角形，面积之比等于底 AO、CO 之比，为 1∶2。显然△AOD 与△BOC 面积相等。

设△AOB 面积为 1，则梯形面积为 1+2+2+4=9。故所求为 9∶1。

2.【答案】C。解析：设池塘的边长为 2x 米，则 DH 的长度为 x 米，AC 的长度为

3+2x+4=2x+7。因为 DG∥BC，则△ADH 与△ABC 相似，则有BC

DH=AC

AH，即

90

x=

7x2

3

，解得 x=10，则池塘的边长为 2×10=20 米。

第二节立体几何

二、解题训练

☆例题☆

【答案】D。解析：假设原正方体的棱长为 1，则原正方体的表面积为 6。截去 20%

后，得到的长方体的高为 1×（1-20%）=0.8，则长方体的表面积为 1×1×2+1×0.8×4=5.2，

则所求为6

25.=

15

13。

随堂练习



1.【答案】B。解析：圆锥形铝块的体积为3

1×π× 220 ×27=3600π，原来圆柱形铝块

的体积为 π× 230 ×20=18000π，因此新的圆柱形铝块的体积为 3600π+18000π=21600π，

其高为 21600π÷（π× 215 ）=96 厘米。

2.【答案】C。解析：正八面体的体积公式没有学过，但由图中可以看出，将正八

面体拆解为两个完全相同的四棱锥，而每个棱锥的体积 V=3

1Sh，高度 h 正好为正方体

边长的一半，即 3 厘米，现在只需要求棱锥的底面积 S。

将棱锥的底面单独拿出来看，如下图所示：

棱锥底面积正好等于正方体底面积的一半，即为 6×6÷2=18 平方厘米。因此每个棱

锥的体积为3

1×18×3=18 立方厘米，正八面体体积为 18×2=36 立方厘米。因此选择 C。

实战演练

1.【答案】A。解析：显然切割的正方形面积越大，弃去不用的部分面积越小，如

图所示，切一个边长为 16 厘米的正方形，剩下的长方形长为 16 厘米，宽为 8 厘米，可

切出两个半径为 4 厘米的圆，故本题选 A。

2.【答案】B。解析：5 2 +12 2 =13 2 ，则三角形是直角三角形。如图所示，设最大

的正方形边长为 x，最大的圆半径为 y。则有（5-x）∶x=5∶12，解得 x=17

60；5-y+12-y=13，

解得 y=2，则圆的直径为 4。故本题选 B。



3.【答案】D。解析：如下图，M 为无人机所在位置，过 A、B、C 三点的圆的圆

心为 O，则 MO⊥平面 ABC，MO 即为无人机的空中高度，也即所求。因为△ABC 为

直角三角形，则 O 为斜边也即最长边 BC 的中点。在直角△MOC 中，MC=500，OC=300，

根据勾股定理 MO=400，选择 D。

4.【答案】D。解析：正四面体的 4 个面均为等边三角形，且每个棱长均相等，其

表面积等于其中一个等边三角形面积的 4 倍。△GHM 与△DEF 的面积比为 1∶4，同理

△DEF 与△ABC 的面积比为 1∶4，则△GHM 与△ABC 的面积比为 1∶16。正四面体

P-ABC 的表面积是三角形 ABC 面积的 4 倍，故所求比例为 1∶（16×4）=1∶64。

5.【答案】D。解析：该正方体每个面面积为 18÷6=3 平方厘米，按题干要求切割，

截面面积是每个面的 2 倍，增加了 2×3 2 =6 2 平方厘米。要使拼完后的大三棱柱

表面积最大，则重合的面应该最小，可知重合面为切割形成的等腰三角形时减少的表面

积最少。所求为 18+6 2 -3=15+6 2 ，选 D。



第十章函数图像问题

二、解题训练

☆例题 1☆


问题一：将 P 的运动分为两段，B 为拐点，AB 是一段，BC 是一段。

问题二：当 P 在 AB 上运动，即 0≤x≤2时，△ADP 的面积 y=2

1×AD×AP=x。

问题三：当 P 在 BC 上运动，即 2<x≤4 时，△ADP 以 AD 为底，此时的高相当于

AD 与 BC 的两线段的距离，为 2，因此△ADP 的面积 y =2

1×2×2=2。

问题四：由问题二、三可知，当 P 在 AB 上运动，即 0≤x≤2时，△ADP 的面积 y=x，

图像是过原点，斜率为 1 的线段；当 P 在 BC 上运动，即 2<x≤4时，△ADP 的面积 y=2，

是个常数，图像是水平线段。

☆例题 2☆

【答案】B。解析：

问题一：根据面包车可乘坐 10 人，可知当人数为整 10 的倍数时，函数图像出现跳

跃。

问题二：设参加人数为 x，平均每名学生的春游费用支出为 y，因此

当 1≤x≤10时，y=x

250+40，

当 10<x≤20时，y=x

500+40，

当 20<x≤30时，y=x

750+40，

……

问题三：由问题二可知，每段区间上的函数为反比例函数，单调递减，故选 B。



实战演练

1.【答案】A。解析：设甲生产线 1 小时的产量为 5，则乙生产线 1 小时的产量为 1。

根据甲、乙每小时的产量及产量差整理表格如下：

T（总生产时间） 1 2 3 4 5 ……

甲产量 5 5 5 5 10 ……

乙产量 1 2 3 4 5 ……

L（产量之差） 4 3 2 1 5 ……

根据题意可知，每 4 个小时为一个循环，每个循环的前 1 个小时，甲、乙产量的差

距均会扩大 4，即 L 的斜率应为 4；后 3 个小时，甲、乙产量的差距以每小时减少 1 变

化，即 L 的斜率应为-1。结合选项可知，只有 A 项符合。

2.【答案】D。解析：由于甲的速度为乙的 2 倍，根据正三角形特点，则甲走到顶

点时，乙正好走到底边中点，且在此之前甲乙连线始终垂直于底边，距离= 3 vt，其

中 v 为乙的速度，可知距离随时间按一次函数呈直线变化。甲从顶点到底边的过程，甲

乙距离则逐渐减小。两人将同时到达底边右侧点，此后的过程与从 A 点出发情况相同，

出现循环。根据“先增大后减小，按直线变化、出现循环”这些特点确定本题答案为 D。

3.【答案】C。解析：所有获奖的人可以是来自于同一个分公司，即 Y 的上限等于

X，由此排除 A；获奖人数最多的分公司获奖人数不应小于获奖总人数的3

1，且为整数，

下表列出了 X 为部分确定值时，Y 的下限值：

由上表可知，Y 的下限的取值呈阶梯形分布，排除 B、D，确定本题答案为 C。

4.【答案】B。解析：当 0≤x≤2时，AD=PD=x，这个范围内△ADP的面积y=2

1×AD×PD=

2

12x ，是开口向上的一元二次函数，排除 A、D；当 2<x≤4 时，AD=x，DP=DB=4-x，

此时△ADP 的面积 y=2

1×AD×PD=

2

1x×（4-x）=-

2

12x +2x，是开口向下的一元二次函

数，排除 C，选择 B。

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