嘉義縣第 54屆國民中小學科學展覽會

作品說明書

科 別：數學科

組 別：國中組

作品名稱：眼明手快-印度式數學法速算法應用

關鍵詞：印度式數學、速算法、乘法公式

編號：

眼明手快

印度式數學速算法應用

壹、研究動機

在數學老師的課堂上，我們發現老師總是能快速地心算出一連串複雜的數學式子，令我

們大感好奇，下課後，我們問老師他是怎麼辦到的，老師告訴我們：[這些式子除了可以用經

驗來得出答案，還可以用<印度式數學心算法>來算]，這個神祕又古老的印度式數學心算法讓

我們十分好奇，便決定以它作為研究主題

貳、研究目的

在這次的研究中，我們想了解為何這種看似簡單甚至是國小程度的算式算法，為何能解

出國中甚至更高層次的問題，不同的問題，解法會一樣嗎?在這些解法中，是否隱藏了未知的

公式?還是只是掰出來的?推導的式子是否可以做更深的運用?或是整個<印度式數學>其實是

幾個萬用公式加以延伸?為了瞭解,我們決定把所有國中程度的問題與解題整理出來，以找出<

印度式數學>背後的奧秘.

參、研究設備及器材

一、紙、筆、黑板

二、國中數學第三冊課本

三、參考書籍

肆、 研究過程及方法

一、老師幫忙找尋適合中學生研究的相關參考書籍，我們找了三本有關印度數學的書做

研究，在老師的介紹與導讀下，我們才發現，印度數學真的是十分的有趣，也更加吸引

我們想一窺他的速算秘密的奧妙。

二、為了完成研究，我們決定分頭進行，我們分配了每個人的研究工作:

(一)、許劭綸同學負責研究<一百以內之任意數相乘>;

(二)、陳冠亘同學負責<十一到十九的平方值計算>;

(三)、方文志同學負責<接近一百的數的平方值速算>

三、我們在數學課上常把自己研究出來的式子或想法與同學討論，並請教老師相關問題，同

學彼此間互相切磋砥礪，逐漸完成了研究。

四、在研究的過程中，我們發現這些參考書籍都只有教我們速算口訣，沒有解釋為什麼可以

這樣算?我們想到了是否可運用國民中學數學第三冊課本裡的乘法公式來證明，而這些課

本上所學的乘法公式是否可成為很棒的工具去解釋我們所研究出來的印度式數學。

五、為了證明這些速算法，我們又埋頭進行<以乘法公式推導印度式數學速算法>。

六、隨著公式一個個被挖掘我們思考印度式數學是否可以運用到所有的二位數相乘的題目呢?

為了證明這一點，我們再次投入研究中,繼續發掘印度數學的博奧精深。

伍、研究結果

一、11~19任意數相乘之研究

白話口訣 實例：14×12＝

（1）百位數和十位數部份：

第一個數加上第二數個位

（2）個位數部份：兩數的個位數相乘

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)14+2＝16 (2) 4*2 = 8

(3)16 8

二、21~29任意數相乘之研究

白話口訣 實例：24×28＝

（1）百位數和十位數部份：

第一個數加上第二數個位乘以二

（2）個位數部份：兩數的個位數相乘

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)（24+8）2＝64 (2) 4*8 = 32

(3)6 4

3 2

6 7 2

三、41～49的數的平方之研究

白話口訣 實例：43×43＝

（1）千位數和百位數部份：

50減掉兩倍與五十差的數除以二

（2）十位數部份和個位數部份：

與五十差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)50-43＝7 (3)7*7＝49

(2)（50-7*2）÷2＝18

( 4)18 49

四、51～59的數的平方之研究

白話口訣 實例：56×56＝

（1）千位數和百位數部份：

50加上兩倍與五十差的數除以二

（2）十位數部份和個位數部份：

與五十差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)56-50＝6 (3)7*7＝36

(2)（50+6*2）÷2＝31

( 4)31 36

五、91～99的數的平方之研究

白話口訣 實例：94*94＝

（1）千位數和百位數部份：

100減掉兩倍與一百差的數

（2）十位數部份和個位數部份：

與一百差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)100-94＝6 (3)6*6＝36

(2)（100-6*2）＝88

( 4)88 36

六、101～109的數的平方之研究

白話口訣 實例：109*109＝

（1）千位數和百位數部份：

100加上兩倍與一百差的數

（2）十位數部份和個位數部份：

與一百差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)109-100＝9 (3)9*9＝81

(2)（100+9*2）＝118

( 4)118 81

陸、討論

一、11~19任意數相乘之討論

白話口訣 實例：14×12＝

（1）百位數和十位數部份：

第一個數加上第二數個位

（2）個位數部份：兩數的個位數相乘

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)14+2＝16 (2) 4*2 = 8

(3)16 8

一般式推導

1 a ×1 b

= 100 + 10 a + 10b + a b

=〔( 100 + 10 a ) ＋ 10b 〕+ a b

= 10〔( 10 + a )＋ b〕+ a b

幾何圖形推導

100

10 a

10

b 10b

10a

ab

從十位

開始

第一個數加

第二個數個位

各位數相乘

二、21~29任意數相乘之討論

白話口訣 實例：24×28＝

（1）百位數和十位數部份：

第一個數加上第二數個位乘以二

（2）個位數部份：兩數的個位數相乘

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)（24+8）2＝64 (2) 4*8 = 32

(3)6 4

3 2

6 7 2

一般式推導

2 a ×2 b

= 400 + 20 a + 20b + a b

=〔(400 + 20 a ) ＋ 20b 〕+ a b

= 20〔( 20 + a )＋ b〕+ a b

幾何圖形推導

400

20 a

20

b 20b

20a

ab

從十位

開始

第一個數加

第二個數個位

各位數相乘

三、41～49的數的平方之討論

白話口訣 實例：43×43＝

（1）千位數和百位數部份：

50減掉兩倍與五十差的數除以二

（2）十位數部份和個位數部份：

與五十差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)50-43＝7 (3)7*7＝49

(2)（50-7*2）÷2＝18

( 4)18 49

一般式推導

4 a ×4 a

= 2500 – 50*2（50 –4 a） +（50 –4 a）（50 –4 a）

= （50 - 2 （50 –4 a） ）50 +（50 –4 a）（50 –4 a）

= （50- 2（50 –4 a））÷ 2*100 + （50 –4 a）（50 –4 a）

幾何圖形推導

從百位

開始

50 減掉兩倍與五

十差的數除以二

各位數相乘

4 a*4 a

4 a 50-4 a

4 a

（50-4 a）4 a

（50-4 a） 4 a

（50-4 a）

（50-4 a）

50-4 a

四、51～59的數的平方之討論

白話口訣 實例：56×56＝

（1）千位數和百位數部份：

50加上兩倍與五十差的數除以二

（2）十位數部份和個位數部份：

與五十差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)56-50＝6 (3)7*7＝36

(2)（50+6*2）÷2＝31

( 4)31 36

一般式推導

5 a ×5 a

= （50 + a）（50 + a）

= 2500 + 100 a + a*a

= （50 + 2 a ）50 + a* a

= （50 + 2 a）÷ 2*100 + a *a

幾何圖形推導

從百位

開始

50 加上兩倍與五

十差的數除以二

各位數相乘

2500

50 a

50

50a

50a

a*a

a

五、91～99的數的平方之討論

白話口訣 實例：94*94＝

（1）千位數和百位數部份：

100減掉兩倍與一百差的數

（2）十位數部份和個位數部份：

與一百差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)100-94＝6 (3)6*6＝36

(2)（100-6*2）＝88

( 4)88 36

一般式推導

9 a ×9 a

= 10000 - 2*100（100 – 9 a）+（100 – 9 a）（100 – 9 a）

= 〔100 - 2（100 – 9 a）〕100 +（100 – 9 a）（100 – 9 a）

幾何圖形推導

從百位

開始

100 加上兩倍與一

百差的數除以二

各位數相乘

9 a*9 a

9 a

100-9 a

9 a

（100-9 a）9 a

（100-9 a） 9 a

（100-9 a） （100-9 a）

100-9 a

六、101～109的數的平方之討論

白話口訣 實例：109*109＝

（1）千位數和百位數部份：

100加上兩倍與一百差的數

（2）十位數部份和個位數部份：

與一百差的數的平方

（3）綜合(1)(2)式得到解答

(1)109-100＝9 (3)9*9＝81

(2)（100+9*2）＝118

( 4)118 81

一般式推導

10 a ×10 a

= （100 + a）（100 + a）

= 10000 + 200 a + a*a

= （100 + 2 a ）100 + a* a

幾何圖形推導

從百位

開始

50 加上兩倍與五

十差的數除以二

各位數相乘

10000

100 a

100

100a

100a

a*a

a

七、歸納討論

11~19 任意數相乘、21~29 任意數相乘、31~39 任意數相乘、41~49 任意數相

乘…………………91~99 任意數相乘到 101～109 任意數相乘

一般式推導

n a ×n b

= 100 n*n+ 10 n*a + 10 n * b + a b

=〔( 100 n*n + 10 n* a ) ＋ 10 n*b 〕+ a b

= 10n〔( 10 n + a )＋ b〕+ a b

幾何圖形推導

100 n*n

10n a

10 n

b 10 n*b

10 n*a

ab

從十位

開始

第一個數加

第二個數個位

乘以十位數字

各位數相乘

柒、結論

11～109 任意數相乘

一般式推導

n a ×m b

= 100 n*m+ 10 m*a + 10 n * b + a b

=〔( 100 n*m + 10 m* a ) ＋ 10 n*b 〕+ a b

= 10〔m( 10 n + a )＋ n*b〕+ a b

幾何圖形推導

捌、參考資料及其他

王擎天(民 101)。印度數學。新北市:漢湘。

Vali Nasser(民 99)。國高中生印度式數學竅門。新北市：稻田。

Pradeep Kumar(民 98)。印度吠陀數學速算法。新北市:世茂。

100 n*m

10 n a

10 m

b 10 n*b

10 m*a

ab

從十位

開始

第一個數乘以

第二個數的十

位數字 加上

第二個數個位

乘以第一個數

的十位

各位數相乘