第五章电路的频率响应 - Xidian第五章电路的频率响应西安电子科技大学. 电路系统第7-2 页前一页下一页退出本章电路中传输的电信号往往不是单一频率的正弦量。如无线电通信、

西安电子科技大学.电路系统

5.1频率响应和网络函数

一、网络函数

二、频率响应

5.2 一阶电路\二阶电路的频率响应

一、一阶电路

二、二阶电路

5.3 串联谐振电路

一、RLC串联谐振电路

二、频率响应

5.4并联谐振电路

一、 RLC并联谐振电路

二、实用RLC并联谐振电路

三、复杂并联谐振电路

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第五章电路的频率响应

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电路中传输的电信号往往不是单一频率的正弦量。如无线电通信、电视等传输的语言、音乐、图象信号，都是由许多频率的正弦分量组成。本章讨论在不同频率信号激励下电路的传输特性。

动态电路中，由于容抗和感抗都是频率的函数，因此不同频率的正弦激励作用于电路时，即使激励的振幅和初相相同，响应的振幅和初相也随之而变。

例1如图正弦稳态电路，R = 1kΩ，C = 1μF，当uS(t) = 10cos(103t)V时，uC(t) = ?

当uS(t) = 10cos(2×103t)V时，uC(t) = ? SU CU

R

Cj

1

解1

1C S

j CU U

Rj C

一、网络函数

5.1频率响应和网络函数一、网络函数

3

11

01 1 1S S

U Ujj CR


①当uS(t) = 10 cos(103t)V时，

3 110 0 , 10 / , 7.07 45 V

1 1Sm Cm Sm

U V rad s U Uj

uC(t) = 7.07 cos(103t- 45°)V

②当uS(t) = 10 cos(2× 103t)V时，

3 110 0 , 2 10 / , 4.47 63.4 V

2 1Sm Cm S

U V rad s U Uj

uC(t) = 4.47 cos(2×103t – 63.4 °)V

电路的响应随激励频率而变化的特性称为电路的频率特性。

通常用网络函数(Network function)描述。

5.1 频率响应和网络函数一、网络函数

例1如图正弦稳态电路，R = 1kΩ，C = 1μF，当uS(t) = 10cos(103t)V时，uC(t) = ?

当uS(t) = 10cos(2×103t)V时，uC(t) = ? SU CU

R

Cj

1

解


网络函数(Network function)的定义：def

( )F

YH j

响应相量

激励相量SU CU

R

Cj

11

( )1

C

S

UH j

U j CR

网络函数一般是ω的复函数，可写为

( )( ) ( ) e

jH j H j

|H(jω)|称为电路的幅频特性(amplitude response)；

θ(ω)称为相频特性(phase response)；

合称电路的频率特性(频率响应）。

二、频率响应

5.1 频率响应和网络函数一、网络函数


2

1( )

1

H j

CR

( ) arctan( )CR

1

0.707

0 ωω C

(a)

|H(jω)|

ω0

-45°

-90°

θ(ω)

(b)

ω C

电路对低频信号有较大输出，而对高频分量有抑制作用，称为低通电路

通常将|H(jω)|/Hmax > 0.707的频率范围称为电路的通带；而将|H(jω)|/Hmax < 0.707的频率范围称为止带或阻带；

边界角频率ωC称为截止角频率。当ω=ωC时，电路的输出功率是最大功率的一半，故ωC也称半功率点频率。

5.1 频率响应和网络函数二、频率响应

1( )

1

C

S

UH j

U j CR

一阶RC串联


2

max

( ) 1 10.707

21C

H j

H CR

解得 ωC= 1/(RC)

按通带、止带分类，滤波电路分为：

低通、高通、带通、带阻和全通滤波电路。

0 ωω C

(a)

|H(jω)|

通带止带

0 ωω C

(b)

|H(jω)|

通带止带

0 ωω C1

(c)

|H(jω)|

通带止带止带

ω C2 0 ωω C1

(d)

|H(jω)|

通带止带通带

ω C2 0 ω(e)

|H(jω)|

通带

5.1 频率响应和网络函数二、频率响应

2

1( )

1

H j

CR

Hmax =1


一阶电路和二阶电路是常用的两类重要电路。它通常是构成高阶电路的基本单元模块。

一阶电路按频率响应可分为：低通、高通和全通三种类型。

0( ) C

C

H j Hj


一阶低通电路网络函数典型形式为：

j( )

C

H j Hj

一阶高通电路网络函数典型形式为：

0

j( ) C

C

H j Hj

一阶全通电路网络函数典型形式为：

5.2一阶段路和二阶电路的频率响应


一阶电路和二阶电路是常用的两类重要电路。它通常是构成高阶电路的基本单元模块。

1一阶低通电路

一阶电路按频率响应可分为：低通、高通和全通三种类型。

0( ) C

C

H j Hj


一阶低通电路网络函数典型形式为

1

( )1

C

S

U j CH j

UR

j C

例如图RC电路，若以电容电压

作输出，其频率响应为C

U

一、一阶电路

5.2一阶段路和二阶电路的频率响应一一阶电路

C

Cj

1

1RC

jRC

C

RSU

CU

RU


C

RSU

CU

RU

例如图RC电路，若以电阻电压作输出，其网络函数为RU

( )1

R

S

U RH j

UR

j C

j( )

C

H j Hj

2 一阶高通电路

一阶高通电路网络函数典型形式为：


1

j CR

j CR

1C

j j

jj

RC


0

j( ) C

C

H j Hj

3一阶全通电路

一阶全通电路网络函数典型形式为：

C

C

R

R 2U1U

+ +

--

例如图RC电路，若以为输入，以为输出,根据分压公式1U

2U

2

1

1( )

1

U j RCH j

U j RC

2 11

RU U

Rj C



1

1

1

j CU

Rj C

1

1

1

j RCU

j RC

1

1

jRC

jRC


二阶电路按频率响应可分为：低通、高通、带通、带阻和全通

五种类型，其网络函数的典型形式为

2

0

02 20

0

( )

( )

H j H

j jQ

低通函数

2

2 20

0

j( )

( )

H j H

j jQ

（）高通函

二、二阶电路

5.2一阶段路和二阶电路的频率响应二二阶电路


4一阶RL 电路

一阶RL电路



L

RSU

LU

RU以电感电压为输出，高通函数

以电阻电压为输出，低通通函数

( ) R

S

U RH j

U R j L

( ) L

S

U j LH j

U R j L


2 2

0

02 20

0

j( )

( )

H j H

j jQ

（）带阻函数

2 20

0

02 20

0

j ( )

( )

( )

jQ

H j H

j jQ

（）

全通函数

0

02 20

0

j

( )

( )

QH j H

j jQ

（）

带通函数



0U

CR

SU

CR0

U

0

1

1

( )1

1

1

S

Rj C

RU j C

H jU

Rj C

Rj C

Rj C

电路为带通电路 ω0=1/(RC)，Q= 1/3，H0 = 1/3

例如图双RC电路，若以电容电压作输出，其网络函数为


2

2

3

1

3 3 1

jRC

j jRC RC


0

02 20

0

( )

jQ

H j H

j jQ

将分子、分母同除以jωω0/Q，整理得

0

0

0

( )

1

HH j

jQ

其幅频特性与相频特性为

0

2

2 0

0

( )

1

HH j

Q

0

0

arctan Q

带通电路的幅频特性与相频特性

ω0 ω0

1/3

|H(jω)|

ω0 ω

θ(ω)π/2

-π/2

可见，幅频的最大值发生在ω0

处， ω0称为中心角频率。



通频带

当|H(jω)|下降到其最大值的0.707倍时，对应的频率称为截止频率，用ωC1、 ωC2表示。

2max

2 0

0

( ) 1 1

21 C

C

H j

H

Q

0

0

1C

C

Q

解得

2 2

1 2

0 0

1 1 1 11 1

2 2 2 2

C C

Q Q Q Q



ωC1< ω < ωC2的频率范围为通带。

通带的宽度称为带宽或通频带，用B表示。

0

2 1(rad/ s)

C CB

Q

0 ( )f

B HzQ

或


通频带


电路谐振的概念

5.3 串联谐振电路

谐振(resonant)现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态

。谐振电路主要是利用它对频率的选择性。谐振电路由于其

良好的选频特性，在通信和电子技术中得到广泛应用。

典型电路有

RLC串联谐振

RLC并联谐振

双调谐电路


rLC串联电路的总阻抗

1Z r j L

C

= r +jX

由实际电感线圈、电容器串联组成的电路，称为串联谐振电路。如图r反映损耗的等效电阻，一般电容器损耗很小，可以忽略不计。

ωL

C

1

CLX

1

ωω 0

0

0

10X L

C

LC

10

00

0

0

电路呈容性

电路呈阻性

电路呈感性

电压相量图怎么画？？

一、RLC二阶串联谐振电路5.3 串联谐振电路

1 RLC串联谐现象

uS

L

C

r

uLur

uC

i


uS

L

C

r

uLur

uC

i

即随着频率的变化，阻抗的虚部随之变化，当频率ω改变到某值ω0时会使X = 0，此时电路发生了串联谐振。 ω0称为谐振角频率。

阻抗的模值最小，电流最大。

电流 S SU U

IZ r jX

0

1

LC 0

1

2f

LC


1 RLC串联谐现象

电路呈阻性，电压、电流同相，电流有效值最大。串联回路中总电压与总电流同相时，称电路发生了串联谐振（电压谐振）。这时的频率称为串联谐振频率


2串联谐振电路的几个属性参数

（1）谐振角频率：

0 0

1 1/

2rad s f Hz

LC LC

或谐振频率

（2）特性阻抗：电路谐振时电路的感抗和容抗在量值上相等

0

0

1 LL

C C

（3）品质因数：电路的特性阻抗与回路的电阻的比值

0

0

1L C LQ

r r r Cr

这三个参数只取决于电路元件的参数值，而与外界因素无关，故它们是客观反映谐振电路基本属性的重要参数。



3 谐振电路品质因数的物理意义

谐振电路的品质因数概念是电感线圈、电容器品质因数概念的扩展。实际电感、电容除储存能量外，都存在一定能量消耗。作为储能元件应用，希望元件的储能与耗能之比要大。将这一比值称为元件的品质因数。用来衡量元件质量的好坏。

def

2Q 储能的最大值

一周期内的耗能

作为储能元件，希望它的储能与耗能之比要大，从功率的角度，希望无功功率与消耗功率之比要大，用品质因数来表示这一性质。



（1）电感线圈通过的电流为

i L

r

2 cosi I t

电感的储能

2 2 21( ) cos

2L

w t Li LI t

其最大储能为 LI2，

一周期内线圈电阻r的耗能为 I2 rT，故

2

2

22

L

f L LLIQ

I rT r r




2

2

22

C

f C CCUQ CR

U GT G G

C Ru

2 cosu U t

电容的储能

2 2 21( ) cos

2C

w t Cu CU t

其最大储能为 CU2

一周期内电容电阻R的耗能为 (U2/R)T，故

（2）电容器设其上电压为




（3）rLC串联谐振当用电感线圈与电容器组成串联谐振电路时，通常电容器的损

耗作用相对线圈来说可以忽略不计。

电路发生谐振时，设电流0 0 0

2 cosi I t

电感的储能为

0

0 0

0 0

0 0

c0 0 0

0 0

190

2 cos( 90 ) 2 sin( )

C

IU j I V

C C

I Iu t t

C C

，

故

2

0

1

LC

2 2 2

0 0 0 0

1( ) cos ( )

2L L

w t Li LI t



i0 Lr

C


谐振电路的总储能

w0(t) = wL0(t) + wC0(t) = LI02 = CU0

2 (常数)

当电感储能最大时电容储能为零, 反之成立.

故谐振电路谐振时的品质因数

2def0 0

2

0 0 0

12 2

LI LQ

I rT r Cr

谐振电路储能最大值

一周期内消耗能量


i0 Lr

C


（3）rLC串联谐振电容的储能为

2

2 2 2 20

0 0 0 0 0

0

1( ) sin ( ) sin ( )

2C C

Iw t Cu C t LI t

C


4串联谐振特点

0 0 0

0

11 . ( )Z r jX r j L r

C

阻抗的模值最小。

0

0

(2). S SU U

IZ r

0 0

S

r S

UU rI r U

r

电流与电源电压同相，电流模值最大。

w0 w0

r

|Z|

w0 w0

II0

000 0 0

S

L S S

U LU I j L j L j U jQU

r r

0 0

0 0 0

1 1 1S

C S S

UU I j U jQU

j C r j C Cr

(3). 元件上电压

谐振时，电感电压和电容电压模值相等，均为激励电压的Q倍数，但相位相反，相互抵消

电阻电压达到最大值



二、RLC串联谐振电路的频率响应

Lr

CSU

I

以电流为响应，网络函数为I

1( )

1( )S

IH j

Ur j L

C

0

02 20

0

( )

( )

( ) ( )

jQ

H j H

j jQ

带通函数

二、RLC二阶串联谐振电路频率响应5.3 串联谐振电路

0

0 0

0

0

1 /

11

1 1

1

r

Lj

r LC

rjQ

0 0

1 1H

r LC


由幅频特性可见，谐振电路对频

率具有选择性，其Q值越高，电

路的选择性越好。但带宽则越窄。

当w=w0时，电路发生了谐振，幅

频特性处于最大值。

0 (rad/ s)BQ

串联谐振电路的通频带为

ω0

|H(jω)|/H0

1

0.707

ω0 ωC2ωC1

Q1 <Q2 <Q3

使电路发生谐振的方法：

（1）调电源频率（实验室常用）

（2）调电路参数C（实际接收电路常用）



实际中，Q值一般可达几十或几百，谐振时电感电容上的电压可达激励电压的几十或几百倍。所以串联谐振又称为电压谐振。

串联谐振时电容电感短路

通频带 0 0

0

(rad/ s)r

BLQ L

r

0

02 20

0

0

0 0

( )

( )

( ) ( )

1 1,

jQ

H j H

j jQ

LH Q

r rLC

频率响应



一种实用电路

(1) 收音机输入回路

(2)等效电路

1u

2u

3u

C

L

r

1 2 3, ,u u u 等表示不同频率的各广播电台在

天线上感应的信号电压。

f00f 1f

C 0f

陕西音乐台98.8MHz 陕西交通广播91.6MHz

央广音乐95.5MHz 央广之声95.5MHz

三、二阶串联谐振电路示例5.3 串联谐振电路


例1一rLC串联谐振电路，L = 50μH，C = 200pF，回路品质因数Q = 50，电源电压US = 1mV。求电路的谐振频率、谐振时的回路电流I0、电容电压UC0和带宽B。

解6

06 12

1 11.59 10 1.59MHz

2 2 50 10 200 10f

LC

6

12

1 1 50 1010

50 200 10

Lr

Q C

3

0

100.1

10

SU

I mAr

3

050 10 50

C SU QU mV

6

30 1.59 1031.8 10 31.8

50

fB Hz kHz

Q

5.3 串联谐振电路三、二阶串联谐振电路示例


例2一rLC串联谐振电路，已知uS(t) = 100cosω0t (mV) ，C =400pF，r上消耗的功率为5mW，电路的通频带B= 4×104rad/s。求L、ω0和UCm0。

解2 2

1 1

2 2

rm Sm

r

U UP

r r

2

32

3

100 101

2 2 5 10

Sm

r

Ur

P

0 0,L r

Q Br Q L

4

125

4 10

rL H

B

7

06 12

1 110 /

25 10 400 10rad s

LC

7 6

0 10 25 10250

1

LQ

r

3

0250 100 10 25

Cm SmU QU V

5.3 串联谐振电路三、二阶串联谐振电路示例


串联谐振电路适用于信号源内阻较小的情况，如果信号源内阻较大，将使电路的品质因数Q值过低，使谐振特性显著变坏，这种情况下应采用并联谐振电路。

1 GCL并联谐振

G LC

SI GI CI LI

U并联GCL电路与rLC串联电路为对偶电路。

并联电路总导纳为1

Y G j C G jBL

当电纳B = 0时，并联电路两端电压与激励同相，称发生并联谐振。

0

0

10B C

L

0 0

1 1/

2rad s f Hz

LC LC

或

5.4 并联谐振电路一、RLC二阶并联谐振电路


特性阻抗 0

0

1 LL

C C

品质因数（根据电容器）

;R

无单位

通频带

0 1(rad/ s)

GB

Q C RC

2 并联谐振电路的几个属性参数



2

22

CUQ

U GT 0

0

0

=C R

CRG L


3 并联谐振的特点

0 0 0

0

1 11 . ( )Y G jB G j C G

L R

导纳的模值最小

0

0

1Z R

Y 阻抗的模值最大

0

(2) S

S

IU RI

Y 端电压与电流源电流同相，端电压模值最大。

0

1(3)

G S SI GU G I I

G

0

0 0C S S

CI j CU j I jQI

G

0

0 0

1L S S

RI j U j I jQI

L L

并联谐振时，电容电流和电感电流的模值均为IS的Q倍。所以并联谐振又称为电流谐振。若以端电压U为响应，其网络函数也是带通函数。



1 实用简单RLC并联谐振电路

实际工程的谐振电路。通常谐振电路的Q值较高(Q>>1)，并且工作在谐振频率附近。

r

L

C

SI

总导纳

2 2 2 2

1

( ) ( )

LrY j C j C

r j L r L r L

当回路的品质因数Q较高，即r2<<(ωL)2时，上式可近似为

2

1 1( ) ( )

( )

rY j C G j C

L L L

在谐振频率附近，即ω≈ ω0

2 2

0

1

( ) ( )

r r CrG

R L L L

LC

SI

RCr

L

5.4 并联谐振电路二、实用RLC并联谐振电路

LR

Cr


2 实用简单并联谐振电路等效


r

L

CL

CR

LR

Cr

Lr

CR

0

0

1 1=

LLQ

r r C r Cr

0

0

R C RQ R CR

L L

并联回路的R越大，相当于串联回路中的r越小，从而Q越大反之，Q越小


0

1

LC

谐振阻抗0

LZ R

Cr

品质因数0

0

RQ CR

L

若r <<ω0L，则

3 实用简单并联谐振电路参数为


0L

r


例如图US = 12V，RS = 60kΩ;并联谐振电路的L =54μH，C = 90pF，r = 9 Ω;负载为阻容并联电路，RL = 60kΩ,CL= 10pF。若整个电路对电源频率谐振，求谐振频率f0、U和有载QL。

C

RS

CL RL

L

r

U

SU

解进行等效

SI

RS

C

L

R0 CL RL

3

120.2

60 10

S

S

S

UI mA

R

6

0 12

54 1060

100 10 9

LR k

Cr

总电阻R’= RS//R0//RL = 20k Ω

总电容C’= C + CL = 100pF

3 3' 0.2 10 20 10 4

SU I R V

12

3

6

' ' 100 10' 20 10 27.2

54 10L

R CQ R

L

0

6 12

1 12.17

2 ' 2 54 10 100 10f MHz

LC




rLC串联 RLC并联实用简单并联

谐振角频率

ω0

特性阻抗

ρ

谐振阻抗

Z0

品质因数

Q

特点

LC

10

C

L

CL

0

0

1

rZ 0 RZ 0 Cr

LRZ 0

rQ

RQ

rQ

0

0 0

I

L C SU U QU

回路电流最大

电压谐振

0

0 0

U

L C SI I QI

端电压最大

电流谐振近似为并联处理

最大端电压 0U



5.4 并联谐振电路三、复杂并联谐振电路

r1 r2

jX1 jX2

Is

高Q时，

1 1 2 2

1 1Y

r jX r jX

2 2

1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )Y j

X X X X G jB

发生谐振时B=010 20

10 20 10 20

1 10

X XB

X X X X

双电感电路和双电容的并联谐振电路，考虑损耗时，可等效为一般形式

10 200X X

1 复杂并联谐振电路

L1

L2

C

Is

M

C1

C2

L

Is

1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1( ) ( )

X Xj

r X r X r X r X



若互感M=0，10 0 1

X L 20 0 2

0

1X L

C

0 1 0 2

0

10L L

C

0

1 2

1

( )L L C

若互感M不等于00

1 2

1

( +2 )L L M C

①对于双电感电路

支路L2和C也能发生串联谐振，若M=0，其谐振角频率为

0

2

1L

L C

0


L1

L2

C

Is

M

10 200X X



②对于双电容电路

10

0 1

1X

C 20 0 2

0 2

1X L

C

0

0 2 0 1

1 10L

C C

0

1

LC

1 2

1 2

C CC

C C

支路L和C2也能发生串联谐振，其谐振角频率为

0

2

1C

LC

0


C1

C2

L

Is

10 200X X



谐振时X10=-X20，两支路电抗大小相等符号相反。当Q较高时，两支路谐振电流也几乎大小相等，相位相反。可看做是回路电流

C1

C2L

Z0m

Z0

0I

10I 20

I

1U

U

L1

L2

C

Z0m

M0

I

10I

20I Z0

1U

U

0 10 20-I I I

双电感和双电容电路实际上是将电感或电容1分为2，将信号源或者负载皆在一部分电感或者电容上，以便电路匹配。

由电流的近似关系，L1端电压和L2端电压同相，U1和U也同相

由电流的近似关系，C1端电压和C2端电压同相，U1和U也同相

1define U

mU

2 复杂并联谐振接入系数



2 复杂并联谐振接入系数

C1

C2L

Z0m

Z0

0I

10I 20

I

1U

U

L1

L2

C

Z0m

M0

I

10I

20I Z0

1U

U

0 10 20-I I I

流过L1和L2 (C1和C2）的是同一回路电流

10

10

define Xm

X

回路中与同性质的总电抗

①对于双电感电路 ②对于双电容电路

若互感M=0，

若互感M不等于0

1 1

1 2 1 2( ) ( )

L Lm

L L L L

1

1 2( 2M)

L Mm

L L

全耦合 1

1 2N

Nm

N

1 1

1

1

C Cm

C

C

1 1

1 2

C CC

C C



3 复杂并联谐振电阻等效

若LC回路两端阻抗为(实用简单并联谐振关系）

0

LZ

Cr

总电阻r=r1+r2, r1和r2分别为支路1和支路2的电阻

支路1端口向内的视入阻抗为Z0m，二者吸收功率相等

2 2

1

0 0m

U U

Z Z

2

2 21

0 0 02=

m

U LZ Z m Z m

U Cr

启示：为了使回路谐振阻抗和信号源内阻(或负载)相匹配，可以不改变谐振回路的元件参数值，而通过改变变换系数m来实现

L1

L2

C

Z0m

m0

I

10I

20I Z0

1U

U



3 复杂并联谐振电阻等效

例电阻r接在电感L的抽头或者C1上，接入系数m将a和b图中的电阻r

变换到LC回路的两端

1

2 2

'

U U

r r

L

r

U

1U

m

谐振时，电阻r的吸收功率和r’的吸收功率相等

如果把LC两段的电阻r’变换到接入系数为m处的电阻r

1

2

2 2

1'

Ur r r

U m

2'r m r

r

m

C2

C1

1U

L U

L U

C'r



4 复杂并联谐振电源等效

例如果信号源接在电抗处，将其变换到LC回路的两端

'

1 SSU I UI

L

U

1U

m

C1

C2

SI

谐振时阻抗为纯电阻性，U和Is同相，U’和Is’也同相；谐振时功率相等原理

如果把LC两段的电阻Is’变换到接入系数为m处的电流源

' 1

S S S

UI I mI

U

'1SS

I Im

L

m

C2

C1

U

1U

SI

LU

C

'

sI


实际应用

收音机中频放大电路)1(

CCV

等效电路)2(

sIiR

CL

LRr

进一步等效)3(

'

sI'

iR 0R '

LRLC

'

L 2

2

LR

Rm

'

1s sI m I

为接入系数）21 ,( mm

0

L LR Q Q

Cr C

'

2

1

i

i

RR

m


具体参考5.4-2

1

2

m

m



4 复杂并联谐振电源等效

例图中的滤波器能够阻止信号的基波频率至负载RL，同时能够使10次谐波通至负载RL上，C=0.01uF, 基波角频率w0=105，求电感L1和L2

L2

LR

iu

C

L1

0u

解：基波不能通过，说明局部谐振（L1和C）谐振阻抗无穷大，导致断路。

十次谐波通过，说明L1和C并联再和L2串联组合对10次谐波产生了谐振此时谐振阻抗为零，组合相当于短路

1

1=

L C

1 2 5 2 6

1 1= = 0.01

10 0.01 10L H

C

（）

2

1

1j10 + 0

1+j10

j10

L

CL

2

101L H

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