信号処理特論第9回音場再現の基礎 · 信号処理特論第9回音場再現の基礎小山 ... 音場に関する逆問題は，信号処理，波動論，最適化，数値解析など，様々

信号処理特論第９回音場再現の基礎

小山翔一 (Shoichi Koyama)

東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻

June 19, 2018

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はじめに音場再現の基礎 ⇒ 音場逆問題の基礎

逆問題（Inverse problem）入力を与えて出力を求める問題を順問題（Direct problem），その逆に出力を既知として入力を推定する，あるいは入出力の関係性を推定する問題を逆問題（Inverse problem）と呼ぶ．

音場に関する逆問題は，信号処理，波動論，最適化，数値解析など，様々な分野の理論を駆使しており，応用も様々．

1 物理音響学 – 再考まずは順問題（音場の物理的な性質）をおさらい．

2 音場の計測・解析マイクロフォンなどのセンサ情報を用いて音場の様々なパラメータを推定する問題．

3 音場の合成複数のスピーカを用いて音を空間的に合成する問題．計測と表裏一体の関係とも見れる．

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Overview

1 物理音響学 – 再考波動方程式と Helmholtz方程式音場の境界値積分表現波数領域表現と Fourier音響学

2 音場の計測・解析マイクロフォンアレイによる指向性制御音響ホログラフィ音場再構成

3 音場の合成音場再現問題とは波面合成法波面再構成フィルタ法高次アンビソニックス多点音圧制御法

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波動方程式とHelmholtz方程式 (1)

波動方程式粘性のない等方性流体中の位置 r，時刻 tにおける音圧 p(r, t)は，以下の波動方程式に従う．

∇2p(r, t)− 1

c2∂2p(r, t)

∂t2= 0 (1)

ただし，∇2は Laplace作用素，cは音速．

Helmholtz方程式定常状態を仮定し，上式を周波数領域で表現した式を Helmholtz方程式と呼ぶ．

∇2p(r, ω) + k2p(r, ω) = 0 (2)

ただし，ωは周波数，k = ω/cは波数．4 / 76


Helmholtz方程式の導出には，p(r, t)に関する以下のフーリエ変換を考える．

p(r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞p(r, ω)e−iωtdω (3)

p(r, ω) =

∫ ∞

−∞p(r, t)eiωtdt (4)

※ ここで信号処理において一般的な Fourier変換の定義とは逆に，t → ωが Fourier逆変換となっていることに注意．（理由は後述）また，

F−1

[∂p(r, t)

∂t

]= −iωp(r, ω) (5)

より，波動方程式の両辺を Fourier逆変換（t → ω）することでHelmholtz方程式が求まる．

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Helmholtz方程式（再掲）以降，周波数領域の音圧を p(r, ω)，または ωを省略して p(r)と書く．

∇2p(r) + k2p(r) = 0 (6)

ただし，k = ω/cは波数．

例えば境界 ∂Dを持つ領域D内の音場は，境界条件として ∂D上の関数f，gを用いて以下のように表される．

∇2p+ k2p = 0 in D

p = f, ∂p∂n = g on ∂D

(7)

∂Dが単純な形状であれば，変数分離などを用いて解析的に解けるが，多くの場合は領域の離散化によって数値的に解を求める必要がある．

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Overview




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境界値積分表現における内部問題と外部問題

音場の境界値積分表現は二つに大別内部問題

ある領域 Ωの境界面 ∂Ωから，領域内部への音場を記述音源は Ωの外側に存在

外部問題ある領域 Ωの境界面 ∂Ωから，領域外部への音場を記述音源は Ωの内側に存在（放射音場）

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内部問題におけるKirchhoff–Helmholtz 積分方程式 (1)

音源を含まないような３次元領域 Ωとその境界面 ∂Ωを考えたとき，以下の内部 Kirchhoff–Helmholtz積分方程式が成り立つ．

内部Kirchhoff–Helmholtz積分方程式位置 r ∈ Ω\∂Ωに対して以下が成り立つ．

p(r) =

∫∂Ω

(G(r|r′)∂p(r

′)

∂n− p(r′)

∂G(r|r′)∂n

)dr′ (8)

ただし，nは ∂Ω上の外向き法線ベクトル，G(·)は３次元自由空間 Green関数であり，以下で定義される．

G(r|r′) = eik∥r−r′∥

4π∥r − r′∥(9)

つまり，Ω内部の音圧 p(r)は，∂Ω上の音圧 p(r)と音圧勾配（粒子速度に相当）∂p(r)/∂nによって決定できる．

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内部問題におけるKirchhoff–Helmholtz 積分方程式 (2)

[導出] Green関数G(r|r′)は r = r′で発散する（特異点となる）ため，まず領域 Ωを，位置 rを囲む半径 ϵの微小球を除く形に変形する．この領域に関して，Helmholtz方程式に対して Greenの第 2定理を適用する．∫

So

(p(r′)

∂G(r|r′)∂n

−G(r|r′)∂p(r′)

∂n

)dr′

+ limϵ→0

∫Si

(p(r′)

∂G(r|r′)∂n

−G(r|r′)∂p(r′)

∂n

)dr′ = 0 (10)

ϵ → 0の極限で Soが ∂Ωに，上式の第 2項が p(r)となることより，内部Kirchhof–Helmholtz積分方程式が導かれる．

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外部問題におけるKirchhoff–Helmholtz 積分方程式

境界面 ∂Ωを持つ３次元領域 Ωの外部領域 Ωを考える．Ωが音源を含まないとき，以下の外部 Kirchhoff–Helmholtz積分方程式が成り立つ．

外部Kirchhoff–Helmholtz積分方程式位置 r ∈ Ωに対して以下が成り立つ．

p(r) =

∫∂Ω

(G(r|r′)∂p(r

′)

∂n− p(r′)

∂G(r|r′)∂n

)dr′ (11)

ただし，nは ∂Ω上の内向き法線ベクトル，G(·)は３次元自由空間 Green関数である．内部問題と同じく，Ω外部の音圧 p(r)は，∂Ω上の音圧p(r)と音圧勾配（粒子速度に相当）∂p(r)/∂nによって決定できる．

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その他の境界値積分表現内部・外部 Kirchhoff–Helmholtz積分方程式では，境界内部（or 外部）の音場を，境界面上の音圧と音圧勾配（粒子速度）を含む 2つを項を用いて表現している．ところが，実際にはある条件の下では，どちらか一方の項のみを用いた表現が可能である．このような表現を得るには以下のような方法がある．

単純波源による定式化（simple source method）

p(r) =

∫∂Ω

µ(r)G(r|r′)dr′ (12)

を満たすような µ(r)を求める．この式は single layer potentialとも呼ばれる [Colton+ 2013]．Dirichlet型 or Neumann型Green関数の利用Green関数を 3次元自由空間 Green関数GからGD|r∈∂Ω = 0（Dirichlet境界条件）または ∂GN/∂n|r∈∂Ω = 0（Neumann境界条件）を満たすような Green関数に変更する．それぞれ Dirichlet型，Neumann型 Green関数と呼ばれる．

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Neumann型Green関数を用いる例：Rayleigh積分 (1)

領域を So，Si，S∞のように変形し，Greenの定理を適用する．r∞ → ∞で Soは無限平面 Γとなり，Sommerfeldの放射条件を適用することで，以下の外部 Kirchhoff–Helmholtz積分方程式が Γに関して成り立つ．

p(r) =

∫Γ

(−G(r|r′)∂p(r

′)

∂z+ p(r′)

∂G(r|r′)∂z

)dr′ (13)

ここで，∂/∂n = −∂/∂zであることに注意．

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ここで，Green関数として，∂GN (r,0)∂z = 0が z = 0で成り立つような

Neumann型 Green関数を考える．これは位置 r = (x, y, z)の鏡像位置ri = (x, y,−z)における仮想的な波源との和を考えることで満たされる．

GN (r|r′) = 1

4π

(eik∥r−r′∥

4π∥r − r′∥+

eik∥ri−r′∥

4π∥ri − r′∥

)(14)

このGN (·)は確かに ∂GN/∂z|z=0 = 0を満たし，かつ r = r′，ri = r′で斉次 Helmholtz方程式も満たす．また，GN |z=0 = 2G|z=0である．

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以上で得られた Neumann型 Green関数GN を用いると，第 1種 Rayleigh積分が得られる．

第 1種 Rayleigh積分平面 Γの半空間（z > 0）内の位置 rにおける音圧 p(r)に関して，以下が成り立つ．

p(r) = −2

∫Γ

∂p(r′)

∂zG(r|r′)dr′ (15)

ただし，z > 0の領域に音源は含まない．つまり，平面 Γ上の音圧勾配∂p(r)/∂zによって，半空間（z > 0）内の音場が決定できる．

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Overview




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波数領域表現と Fourier音響学: 直交座標系の場合 (1)

ここで Helmholtz方程式を思い出すと，

∇2p(r, ω) + k2p(r, ω) = 0 (16)

直交座標系での斉次 Helmholtz方程式の一般解は，波数ベクトルk = (kx, ky, kz)

Tを用いて，以下の平面波関数となる．

p(r, ω) = A(ω)eikTr = A(ω)ei(kxx+kyy+kzz) (17)

ただし，A(ω)は任意定数であり，

k2 = k2x + k2y + k2z (18)

単一周波数 ω0での平面波関数の時間領域表現は，B(ω0)を振幅として，

p(r, t) = B(ω0)ei(kTr−ω0t) = B(ω0)e

i(kxx+kyy+kzz−ω0t) (19)

※ 空間 rと時間 tで正負が逆になることに注意．17 / 76


平面波関数 k = 18.48 m−1

(kx, ky) = (0.0, 0.0)

(kx, ky) = (16.0, 0.0)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8z

(m)

-1

-0.5

0

0.5

1

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平面波関数 k = 18.48 m−1

(kx, ky) = (18.48, 0.0)

(kx, ky) = (19.0, 0.0)z方向に急激に減衰

p(r) = A(ω)ei(kxx+kyy+kzz)

= A(ω)e−|kz |zei(kxx+kyy)

⇒ エバネッセント波

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

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平面波関数 k = 18.48 m−1

(kx, ky) = (18.48, 0.0)





-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

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平面波関数 k = 18.48 m−1

(kx, ky) = (18.48, 0.0)





-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

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音源がない半空間 z > 0における定常な音圧分布 p(r, ω)は，平面波の重ね合わせとして表現できる．

直交座標系での音場の波数領域表現2つの波数 kxと ky に依存する係数を P (kx, ky)とすると，

p(x, y, z) =1

4π2

∫ ∞

−∞dkx

∫ ∞

−∞dkyP (kx, ky)e

i(kxx+kyy+kzz) (20)

ここで，

P (kx, ky) =

∫ ∞

−∞dx

∫ ∞

−∞dyp(x, y, 0)e−i(kxx+kyy) (21)

であり，kz =√k2 − k2x − k2y である．P (kx, ky)は z = 0の xy平面上の

音圧分布の 2次元 Fourier変換となっている．

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波動場の外挿z = z′の面での音圧分布から P (kx, ky, z

′)が求まれば，任意の z (> z′)の面における音圧分布の Fourier変換が位相シフトによって求められる．

FxFy [p(x, y, z)] = P (kx, ky, z) = P (kx, ky, z′)eikz(z−z′) (22)

zの法線方向の音圧勾配（粒子速度）についても同様

FxFy

[∂p(x, y, z)

∂z′

]=

∂P (kx, ky, z)

∂z= ikzP (kx, ky)e

ikz(z−z′) (23)

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波数領域表現と Fourier音響学: 極座標系の場合 (1)

極座標系の場合，内部音場は球面調和関数を角度関数，球 Bessel関数を動径関数とし，これらの積（球波動関数）を基底関数として表現できる．

極座標系での音場の波数領域表現 – 内部音場r < Rの内部音場を，次数 n，位数mとした球波動関数を用いて表現．

p(r, θ, ϕ) =∞∑n=0

n∑m=−n

Pnmjn(kr)Ymn (θ, ϕ) (24)

ただし，

Pnm =1

jn(kR)Pnm(R) (25)

Pnm(R) =

∫∂Ω

p(R, θ, ϕ)Y mn (θ, ϕ)∗dr (26)

Pnm(R)は r = Rの球面上における音圧分布の球面調和スペクトル．24 / 76


球面調和関数: Y mn (θ, ϕ) =

√(2n+1)

4π(n−m)!(n+m)!P

mn (cos θ)eimϕ

z

y x

x

z

yy x

z

x

z

y

xy

zz

y xy x

z

xy

z z

y x 25 / 76


動径関数第 1種球 Bessel関数:

jn(x) =( π

2x

)1/2Jn+1/2(x)

第 2種球 Bessel関数:

yn(x) =( π

2x

)1/2Yn+1/2(x)

第 1種球 Hankel関数:

h(1)n (x) = jn(x) + iyn(x)

第 2種球 Hankel関数:

h(2)n (x) = jn(x)− iyn(x)

2 4 6 8 10 12 14x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1n=0n=2n=4n=6

1 2 3 4 5 6x

-20

-15

-10

-5

0

n=0n=2n=4n=6

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極座標系での外部音場は球面調和関数を角度関数，球 Hankel関数を動径関数とし，これらの積（球波動関数）を基底関数として表現できる．

極座標系での音場の波数領域表現 – 外部音場r > Rの外部音場を，次数 n，位数mとした球波動関数を用いて表現．

p(r, θ, ϕ) =∞∑n=0

n∑m=−n

Pnmh(1)n (kr)Y mn (θ, ϕ) (27)

ただし，

Pnm =1

h(1)n (kR)

Pnm(R) (28)

Pnm(R) =

∫∂Ω

p(R, θ, ϕ)Y mn (θ, ϕ)∗dr (29)

Pnm(R)は r = Rの球面上における音圧分布の球面調和スペクトル．27 / 76


波動場の外挿r = Rの面での音圧分布から Pnmが求まれば，任意の r (> R)の面における音圧分布の球面調和変換が動径関数との積によって求められる．

S [p(r, θ, ϕ)] = Pnm(r) = Pnm(R)h(1)n (kr)

h(1)n (kR)

= Pnmh(1)n (kr) (30)

rの法線方向の音圧勾配（粒子速度）についても同様

S[∂p(r, θ, ϕ)

∂r

]=

∂Pnm(r)

∂r= Pnm(R)

h(1)′n (kr)

h(1)n (kR)

= Pnmh(1)′n (kr) (31)

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Overview




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マイクロフォンアレイによる指向性制御

指向性制御: 複数のマイクロフォンを用いて，ある特定の方向に感度を持つように各マイクロフォン信号を処理する．

各マイクロフォン信号に重み係数 wmをかけて総和をとるのが基本的な形式．

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遅延和Beamforming

半径Rの円状アレイの場合を考える．指向特性を向けたい方向 ϕdirから到来する平面波に関する時間遅延を補正するような重み係数を用いればよい．

wm = e−ikR cos(ϕm−ϕdir) (32)

時間遅延だけでは円状アレイの性質を十分に利用できていない．31 / 76

Modal Beamforming

音場の波数領域表現に基づく指向性制御法としてModal Beamformingが提案されている [Teutsch 2007]．入射角 ϕdir，対応する波数ベクトル kdir

の平面波関数を，円筒座標系において円調和関数を用いて表現すると，

p(r, ϕ, 0) = eikTdirr =

∞∑n=−∞

inJn(kr)ein(ϕ−ϕdir) (33)

ある特定の方向 ϕdirにのみ感度を持つような指向特性を形成するためには，

wm =∞∑

n=−∞

i−n

Jn(kR)e−in(ϕm−ϕdir) (34)

を重み係数とすればよい．ところが，この重み係数は Jn(kR) = 0となる周波数で発散するため極めて不安定である（禁止周波数問題）．

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剛体バッフルを利用したModal Beamforming (1)

数値的な不安定性を回避する方法として，音響的に剛体の円筒物体（剛体バッフル）上にマイクロフォンを配置する手法が知られている．半径Rの円筒状剛体バッフルが原点を中心に設置されているとし，入射音場を pinc(r)，散乱音場を psct(r)とする．全体の音場は pinc(r)と psct(r)の重ね合わせとして書ける．

p(r) = pinc(r) + psct(r) (35)

また，剛体バッフル上 r = Rで音圧勾配は 0となる．∂

∂rpinc(r) + psct(r)

∣∣∣∣r=R

= 0 (36)

入射音場 pinc(r)と散乱音場 psct(r)は，それぞれ内部音場，外部音場として表現できるため，z = 0において円調和関数領域で以下のように書ける．

pinc =∞∑

n=−∞Pinc,nJn(kr)e

inϕ, psct =∞∑

n=−∞Psct,nH

(1)n (kr)einϕ (37)

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入射音場が ϕ = ϕdirの平面波のとき，

pinc(r, ϕ, 0) =∞∑

n=−∞inJn(kr)e

in(ϕ−ϕdir) (38)

剛体バッフルの半径がR = 0.2 mのときの散乱の影響

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4x (m)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

y (m

)

-1

-0.5

0

0.5

1

Figure: 剛体バッフルによる平面波の散乱．(左) 入射音場， (右) 全体の音場

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以上の条件と，入射音場が ϕ = ϕdirの平面波として書けることから，全体の音場は，

p(r, ϕ, 0) =∞∑

n=−∞in

(Jn(kr)−

Jn(kR)′

H(1)n (kR)′

H(1)n (kr)

)ein(ϕ−ϕdir) (39)

ある特定の方向 ϕdirにのみ感度を持つような指向特性を形成するためには，

wm =∞∑

n=−∞i−n

(Jn(kR)− Jn(kR)′

H(1)n (kR)′

H(1)n (kR)

)−1

e−in(ϕm−ϕdir)

=∞∑

n=−∞

i−n+1πkR

2H(1)

n (kR)′e−in(ϕm−ϕdir) (40)

を重み係数とすればよい．剛体バッフルを用いない場合に比べて重み係数の計算が安定化．

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指向特性の比較

マイク数 16，R = 0.5 mの場合に，方向ごとの感度を各周波数でプロット（指向特性）

0 1 2 3 4 5 6Direction (rad)

500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0


500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0


500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0

Figure: (左) 遅延和 Beamforming，(中央) Modal Beamforming，(右) ModalBeamforming w/ 剛体バッフル

実際には低周波数での不安定性を避けるために適切な次数での打ち切りが必要なため，指向特性はここまで鋭くはならない．Minimum Variance(MV) Beamformerなどの適応 Beamformerとの組み合わせも可能．

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指向特性の比較

マイク数 16，R = 0.5 mの場合に，方向ごとの感度を各周波数でプロット（指向特性）


500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0


500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0


500

1000

1500

2000

Fre

quen

cy (

Hz)

-25

-20

-15

-10

-5

0

Figure: (左) 遅延和 Beamforming，(中央) Modal Beamforming，(右) ModalBeamforming w/ 剛体バッフル

実際には低周波数での不安定性を避けるために適切な次数での打ち切りが必要なため，指向特性はここまで鋭くはならない．Minimum Variance(MV) Beamformerなどの適応 Beamformerとの組み合わせも可能．

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音響ホログラフィとは

Figure: 音響ホログラフィによる騒音源の特定（小野測器のウェブサイトから引用:https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/products/application/hologram.htm）

複数のマイクロフォンを用いるか，単一のマイクロフォンをスキャンすることで，ある面上の音場を計測し，波面伝播の逆方向の音場を推定する逆問題．

音場の可視化，騒音源の特定などに応用

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Inverse Wave Propagatorを用いる音響ホログラフィ

z = 0の平面 Γから z > 0方向の伝播を記述する，第 2種 Rayleigh積分を考える．

p(r) = 2

∫Γp(r′)

∂G(r|r′)∂z′

dr′ (41)

エバネッセント波成分を無視すれば，z < 0方向の伝播は以下のように書ける [Wolf+ 1967]．

p(r) = −2

∫Γp(r′)

∂G∗(r|r′)∂z′

dr′ (42)

つまり Green関数の正負を反転した複素共役を核関数とした積分変換とすればよく，これを波面逆伝播演算子（Inverse Wave Propagator）と呼ぶ．ただし，エバネッセント波を無視した遠方場近似となっており，音源近傍では誤差が大きい．

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近距離場音響ホログラフィ

波数空間での表現を用いれば，平面 z = zhから z > 0の順方向の伝播は位相シフトとして書ける．

P (kx, ky, z) = P (kx, ky, zh)eikz(z−zh) (43)

平面 z = zs（< zh）への逆伝播に関しても同様に，位相シフトとして記述できる [Williams 1999]．

p(x, y, zs) = F−1x F−1

y

[P (kx, ky, zh)e

ikz(zs−zh)]

(44)

このような波数空間での処理を近距離場音響ホログラフィ（Near-fieldAcoustic Holography: NAH）と呼ぶ．エバネッセント波も含めて音場を推定するが，雑音などへの頑健性を向上するためには窓かけによってある程度のエバネッセント波成分は抑制する必要がある．また，領域が球面のような閉じた領域の場合には，やはり禁止周波数の問題が発生．

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Equivalent Source Methodによる音響ホログラフィ

Single layer potentialを思い出すと，

p(r) =

∫Γ′µ(r)G(r|r′)dr′ (45)

推定対象の面 z = zsよりも奥の面に仮想的な平面 Γ′を設定し，観測面z = zhで観測音圧値が再構成されるような µ(r)を求める[Zhang+ 2009]．観測音圧値を各要素に持つベクトルを p，∂Ωを離散化し，各等価音源位置から観測位置までの Green関数を要素にもつ行列をG，等価音源の音圧 µとすると，以下の線形方程式が成り立つ．

p = Gµ (46)

Gの（擬似）逆行列を用いて µが得られれば，z = zsでの音場も推定できる．境界面が任意の形状であっても適用可能であるが，やはり禁止周波数の問題が起きることに注意．この方法は等価音源法（Equivalentsource method）と呼ばれる [Koopmann+ 1989]．

41 / 76

音場再構成と最近の話題音響ホログラフィをもう少し一般化して考える．未知の形状と境界条件を持つ室内において，位置が既知かつ任意に配置された複数マイクロフォンを用いて，対象領域 Ω内における任意の位置の音場を補間・再構成 ⇒ 可視化，騒音源の特定，音場合成のための収音（自由聴点再現）

Ωが音源を含まない場合 ⇒ 平面波や調和関数による基底展開無限次元球面調和関数展開に基づく方法 [Ueno+ 2018]

Ωが音源を含む場合 ⇒ 音源に対するなんらかの仮定が必要音源分布の空間的なスパース性を仮定する方法[Murata+ 2018, Koyama+ 2018]Reciprocity Gap Functionalに基づく代数的な方法 [Takida+ 2018]

42 / 76

Overview




43 / 76

音場再現問題とは (1)

対象領域の境界面 ∂Ω上に複数配置した二次音源（secondary source）を用いて，領域 Ω内に所望の音場を合成する．このときの二次音源の駆動信号を求める一種の逆問題．

二次音源が ∂Ω上に連続的に分布しているとし，位置 rsの二次音源の駆動信号を d(rs)，伝達関数をH(r − rs)とすれば，合成音場 psyn(r)は，

psyn(r, ω) =

∫∂Ω

d(rs, ω)H(r − rs, ω)drs (47)

と書ける．これが所望の音場 pdes(r, ω)と一致すればよい．44 / 76


内部 Kirchhoff–Helmholtz積分方程式を思い出してみると，音源を含まない領域 Ωの内部は以下のように書ける．

p(r) =

∫∂Ω

(G(r|r′)∂p(r

′)

∂n− p(r′)

∂G(r|r′)∂n

)dr′ (48)

Green関数を二次音源の伝達関数として見れば，∂Ω上に連続的に配置したモノポール音源とダイポール音源をそれぞれ所望音場の音圧勾配と音圧によって駆動すれば，所望の音場を再現することができる．⇒ 理想的なモノポール・ダイポール音源の連続的な配置を実現することは非常に困難． 45 / 76


音場再現問題では，実現可能なH(rs)を持つような二次音源を用いたときの d(r)をいかに得るかを考える．

psyn(r, ω) =

∫∂Ω

d(rs, ω)H(r − rs, ω)drs (49)

音場再現の手法は音響ホログラフィの問題と密接に関連する．

46 / 76

波面合成法 (1)

波面合成法（Wave Field Synthesis: WFS）は，[Berkhout+ 1993]で最初に提案され，その後理論的な整理がなされた [Spors+ 2008]．基本的には平面または直線状に配置された二次音源を仮定し，境界値積分表現に基づいて駆動信号を得る．二次音源平面を y = 0の xz平面上とすると，合成音場 psyn(r)は以下のように書ける．

psyn(r, ω) =

∫Γd(rs, ω)H(r − rs, ω)drs (50)

47 / 76

波面合成法 (2)

二次音源平面を y = 0の xz平面上とすると，合成音場 psyn(ω)は以下のように書ける．

psyn(r, ω) =

∫Γd(rs, ω)H(r − rs, ω)drs (51)

第 1種 Rayleigh積分を思い出すと，y = 0の xz平面上の音場は y > 0方向に以下の式に従って伝播する．

p(r) = −2

∫Γ

∂p(rs)

∂ysG(r − rs)drs (52)

よって，各二次音源をモノポールとして仮定, i.e., H(r− rs) ≈ G(r− rs)と近似できれば，所望音場における Γ上の音圧勾配に相当する量を駆動信号とすればよい．

d(rs) = −2∂pdes(rs)

∂ys(53)

単純に所望音場の音圧を駆動信号とすればよいわけではないことに注意48 / 76

波面合成法 (3)

WFSでは，所望音場における Γ上の音圧勾配に相当する量を駆動信号とし，モノポール特性の二次音源によって駆動する．


∂ys(54)

ちなみに，，，，[Berkhout+ 1993] では第 2 種 Rayleigh 積分に基づき駆動信号を導出していたため，二次音源としてダイポールを仮定し，音圧を駆動信号としていたが，理想的なダイポール特性のスピーカを実現することは極めて難しい．

49 / 76

波面合成法 (4)

WFSでは，所望音場における Γ上の音圧勾配に相当する量を駆動信号とし，モノポール特性の二次音源によって駆動する．


∂ys(55)

計算機上で模擬した音場を合成する場合はこれで問題ないが，所望音場をマイクロフォンなどで収音したい場合はどうするか？（一般的なマイクロフォンで計測できるのは音圧のみ）

50 / 76

波面再構成フィルタ法 (1)

合成音場は Γ上での駆動信号と伝達関数の畳み込みとなっていることから，波数空間では積の形で書ける．

Psyn(kx, y, kz) = D(kx, ys, kz)G(kx, ys, kz) (56)

第 1種 Rayleigh積分で表される所望音場も波数空間で表現すると，

Pdes(kx, y, kz) = FxFz

[−2

∫Γ

∂pdes(r)

∂ysG(r − rs)drs

]= −2ikyPdes(kx, ys, kz)G(kx, ys, kz) (57)

Psyn(kx, y, kz)と Pdes(kx, y, kz)が一致すればよいことから，

d(rs) = F−1x F−1

z [D(kx, ys, kz)] = F−1x F−1

z [−2ikyPdes(kx, ys, kz)] (58)

以上のように，波数空間での信号変換として表現すれば，Γ上の音圧分布から二次音源の駆動信号が得られる（波面再構成フィルタ法: Wave FieldReconstruction filtering）[Koyama+ 2013]．

51 / 76


波面再構成フィルタ法の原理を利用して，仮想的な音源を二次音源の面 Γの前面に再構成することも可能．

音響ホログラフィの原理に基づき，音源が存在しないと仮定した場合の音源より後ろ側の音場を推定し，再現すればよい [Koyama+ 2012]．Focused source [Spors+ 2009]とも呼ばれ，仮想的な音源位置に焦点を形成するような音場が合成される．

52 / 76


実際は平面状に二次音源を配置することは難しいため，直線状の二次音源配置を用いることが多い．

3次元空間を 1次元の直線上に配置した二次音源で再現するためには，適切な近似が必要 [Koyama+ 2013]．所望音場に比べて合成音場の方が振幅の減衰が早くなるため，受聴領域内の y軸に平行なある直線状で所望音場と一致することになる．

53 / 76


64個のマイク・スピーカによる収音・再現のシミュレーション実験結果（1000 Hz）．

-2 -1 0 1 2x (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2x (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figure: (左) 所望音場, (中央) 再現音場, (右) 誤差分布

54 / 76


64個のマイク・スピーカによる収音・再現のシミュレーション実験結果（1000 Hz）．スピーカアレイ前面に仮想的な音源を再構成．

-2 -1 0 1 2x (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2x (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


55 / 76

高次アンビソニックス (1)

アンビソニックス（Ambisonics）は，受聴点での音場の Taylor展開に基づく手法であり，[Gerzon 1973]において提案された．その後，球状の領域を再現する手法として，Polettiによって球面調和関数領域におけるより厳密な定式化がなされ [Poletti 2005]，一般的に高次アンビソニックス（Higher Order Ambisonics: HOA）と呼ばれている．

56 / 76


波面再構成フィルタ法と同様の流れで定式化すると [Koyama+ 2016]，まずH(r − rs) ≈ G(r − rs)を仮定し，合成音場を波数領域で表す．

Pmsyn,n(r) = 2πR2

s

√4π

2n+ 1Dm

n (Rs)G0n(r −Rs) (59)

二次音源の伝達関数の軸対称性を仮定することで，球面上の二つの関数の畳み込みが球面調和スペクトルの積として上記のように書ける[Driscoll+ 1994]．

57 / 76


所望音場も同様にして，

Pmdes,n(r) = Pm

des,njn(kr) (60)

と書けるので，

Dmn (Rs) =

√2n+ 1

4π

jn(kr)

2πR2sG

0n(r −Rs)

Pmdes,n

=1

2πikR2sh

(1)n (kRs)

Pmdes,n (61)

ここで，以下の関係式を用いた．

Gmn (r −Rs) = ikjn(kr)h

(1)n (kRs)Y

mn (0, 0)∗ (62)

よって，所望音場の球面調和スペクトル Pmdes,nが既知であれば，二次音

源の駆動信号が波数領域での計算によって得られる．

⇒ 所望音場をマイクロフォンで収音する場合はどうするか？

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所望音場も同様にして，

Pmdes,n(r) = Pm

des,njn(kr) (60)

と書けるので，

Dmn (Rs) =

√2n+ 1

4π

jn(kr)

2πR2sG

0n(r −Rs)

Pmdes,n

=1

2πikR2sh

(1)n (kRs)

Pmdes,n (61)

ここで，以下の関係式を用いた．

Gmn (r −Rs) = ikjn(kr)h

(1)n (kRs)Y

mn (0, 0)∗ (62)

よって，所望音場の球面調和スペクトル Pmdes,nが既知であれば，二次音

源の駆動信号が波数領域での計算によって得られる．⇒ 所望音場をマイクロフォンで収音する場合はどうするか？

59 / 76


半径Rmの球面状のマイクロフォンを用いて，球面調和スペクトルPmrcv,n(Rm)を観測する場合，所望音場は以下のように書ける．

Pmdes,n(r) = Pm

rcv,n(Rm)jn(kr)

jn(kRm)(63)

分母に球 Bessel関数を含んでいることから，禁止周波数の問題によって所望音場の推定が不安定となる．この解決法としては，

剛体バッフルを用いる方法 [Poletti 2005, Koyama+ 2016]

指向性マイクロフォンによるアレイを用いる方法[Poletti 2005, Koyama+ 2016]

多重化したアレイを用いる方法 [Betlehem+ 2005]

などが提案されている．このように，球面のような閉じた領域の収音と再現を行う場合，境界面のみにマイクロフォンを配置するだけでは，禁止周波数の問題によって駆動信号の計算が数値的に極めて不安定になる．

60 / 76


32個のマイク・スピーカによる収音・再現のシミュレーション実験結果（1000 Hz）．

-1 0 1x (m)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1x (m)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y (m

)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


61 / 76

多点音圧制御法 (1)

領域Dの境界面 ∂D上に配置した二次音源によって，内部の領域 Ω内で音場を合成することを考える．

ここで再び，領域Dに関する Single layer potentialを思い出すと，

p(r) =

∫∂D

µ(r)G(r|r′)dr′ (64)

つまり，Single layer potentialは，∂D上に二次音源を配置することで，少なくとも二次音源の伝達特性がモノポールであれば，Ω (⊂ D)内に任意の音場を再現できることを保証する．ただし，µ(r)が解析的な形で導出できるのは Ωが単純な形状の場合に限られる．

62 / 76


音響ホログラフィにおける等価音源法と同様に，Single layer potentialの離散表現を得ることを考える．領域 Ωを離散化し，音圧の制御点を配置することで，所望音場 pdesは二次音源の伝達関数に関する行列Gと駆動信号 dとの線形方程式として書ける．

pdes = Gd (65)

伝達関数行列Gの（擬似）逆行列を計算することで，二次音源の駆動信号 µが得られる．この手法は，多点音圧制御（Pressure matching）法と呼ばれる [Kirkeby+ 1993]．

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Single layer potentialの離散化という観点からは，Ω全体に密に制御点を配置する必要があるが，実用上はスピーカの伝達特性を制御点上で測定してGを得る場合もあるため，制御点はできるだけ少数であることが望ましい．∂Ω上のみの制御点配置でもよいように思われるが，禁止周波数の問題によってGの（擬似）逆行列計算が極めて不安定となる場合がある．また，∂D上の二次音源についても，利用可能なスピーカ数は一般的に限られていることから，できるだけ少数の二次音源のみを用いたい．[Koyama+ 2018]では，音場合成の問題を，二次音源の伝達関数の線型結合によって Ω内で所望音場を近似する問題とみなし，empiricalinterpolation method (EIM) [Maday+ 2007]と呼ばれる補間問題における補間関数とサンプリング点を選択する手法を応用することで，二次音源と制御点の最適な配置を得るアルゴリズムを提案．禁止周波数の問題も回避可能．

64 / 76


二次音源・制御点配置に関するシミュレーション実験結果（800 Hz）．所望音場は平面波音場とした．

-2 0 2x [m]

-2

0

2

4

y [m

]

-2 0 2x [m]

-2

0

2

4

y [m

]

-2 0 2x [m]

-2

0

2

4

y [m

]

Figure: (左) 等間隔配置, (中央) ランダム配置, (右) [Koyama+ 2018]の方法

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二次音源・制御点配置に関するシミュレーション実験結果（800 Hz）．所望音場は平面波音場とした．

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-1

0

1

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-1

0

1

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-1

0

1

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-40

-30

-20

-10

0

10

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-40

-30

-20

-10

0

10

-0.5 0 0.5x [m]

-0.5

0

0.5

y [m

]

-40

-30

-20

-10

0

10

Figure: (左) 等間隔配置, (中央) ランダム配置, (右) [Koyama+ 2018]の方法．上段が音圧分布，下段が誤差分布．

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システムとしての実装例NTT研究所における波面再構成フィルタ法に基づくリアルタイム音場伝送システムの実現例 [Koyama+ 2014]．

Loudspeakers (for high freq.): 64, 6 cm intervals

Loudspeakers (for low freq.): 32, 12 cm intervals

Microphones: 64, 6 cm intervals

Sampling freq.: 48 kHz, Delay: 152 ms

⇒ 再現音場の実測による可視化結果67 / 76

最近の話題

0 0.5 1 1.5 2y [m]

-1

-0.5

0

0.5

1

x [m

]

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2y [m]

-1

-0.5

0

0.5

1

x [m

]

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figure: (左) 波面再構成フィルタ法，(右) [Koyama+ 2018]の方法による再現結果．

少数のスピーカ・マイクによる超解像型音場収音・再現音源位置の事前情報または音源の空間的なスパース性に基づくマイク数の削減 [Koyama+ 2015, Koyama+ 2018]受聴エリア事前情報を用いたスピーカ数の削減 [Ueno+ 2017]

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おわりに

音場逆問題の基礎波動論の基礎からはじめて，音場の計測と合成に関する逆問題の従来研究と最近の話題を紹介．逆問題と一言で言っても，波動論をはじめとして，信号処理，最適化，数値解析など，様々な分野の理論の上に成り立っている．特に音場の合成に関しては理論的な根拠が軽薄な従来研究も多い．．．MADIと呼ばれるインタフェースやこれに対応した A/D・D/A変換器の登場によって，多チャネルの音響信号を安価に扱えるようになったのは比較的最近．今後もデバイスの進化とともに音場逆問題の理論や応用は多様性を増していく可能性 [Koyama 2017]．

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信号処理特論 第9回 音場再現の基礎 · 信号処理特論 第9回音場再現の基礎 小山 ... 音場に関する逆問題は，信号処理，波動論，最適化，数値解析など，様々

信号処理特論第9回音場再現の基礎 · 信号処理特論第9回音場再現の基礎小山 ... 音場に関する逆問題は，信号処理，波動論，最適化，数値解析など，様々