當實驗中除了研究因子外，另有二可控制的混淆因子，若使用

單純的區集設計，試驗次數增加，是一龐大的工作量，拉丁方

塊設計是一節省試驗次數的設計。

若 treatment 個數為m，總試驗次數為 mxm，可使用m x m 之方形區域設計各次的試驗處理。

第八章 拉丁方設計

採用拉丁方塊設計之規則： (Latin square Design)

• 當試驗單位為異質，但可明顯分成二向區集。

• 區集數 = 處理數。

• 行、列區集內各參試處理必須隨機排列，且僅能出現一次。

範例 : m = 4 A B C D 為 treatments

循環標準方 : A B C DB C D AC D A BD A B C

對其它 m 值，設計方法參考下列參考書， p140Design and Analysis of Experiments, 6th， By Montgomery

另例： A B C D C A D BB D A CD C B A

Source SS df MS F* p-valueTreatment SSTr m-1 MSTr F*=MSTr/MSE p1

Row SSrow m-1 MSrow p2Column SScol m-1 MScol p3Error SSE (m-1)(m-2) MSE

Total SST m2-1

ANOVA Table for Latin Square Design Model

Model

Yijk = μ + τi +αj +βk+ εijk , i= 1,…, m,

j= 1,…,m ， k= 1,…,m Στi=0， Σαj=0， Σβk=0

Exp8.1 (p141) 研究 4 種飼料對豬生長的影響。

胎別與出生體重也可能對增重產生影響。

Treatment ： 4 種飼料(Feed), A, B, C, D應變數(測值)： 增重

Blocks ：胎別(Mother)與出生體重(weight)

胎別 輕 中 重 最重

1 B = 16 A = 10 C = 14 D = 122 D = 16 C = 18 A = 15 B = 203 C = 20 B = 25 D = 18 A = 164 A = 14 D = 20 B = 22 C = 16

出 生 重

A 組之平均 = 13.75 ( (10+15+16+14)/4)，B 、C、D 組之平均 = 20.75、 17.00、 16.5

設計 :

B A C DD C A BC B D AA D B C

附： SAS 報表節錄

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

Feed 3 99.50000000 33.16666667 23.41 0.0010

Mother 3 98.50000000 32.83333333 23.18 0.0011

weight 3 11.50000000 3.83333333 2.71 0.1384

Level ofFeed

N gainwt

Mean Std Dev

A 4 13.7500000 2.62995564

B 4 20.7500000 3.77491722

C 4 17.0000000 2.58198890

D 4 16.5000000 3.41565026

Feed 與 Mother 因子顯著

Means with the same letterare not significantly different.

Tukey Grouping Mean N Feed

A 20.7500 4 B

B 17.0000 4 C

C B 16.5000 4 D

C 13.7500 4 A

Feed C 與 D 無顯著差異，Feed D 與 A 無顯著差異

Tests for Normality

Test Statistic p Value

Shapiro-Wilk W 0.964411 Pr < W 0.7420

Kolmogorov-Smirnov D 0.121722 Pr > D >0.1500

Cramer-von Mises W-Sq 0.040841 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.273378 Pr > A-Sq >0.2500

資料符合常態性假設

總結

此為一拉丁方設計的試驗，以胎別及出生體重為區集，

測得的資料符合常態性；經ANOVA F-test 飼料對小豬增重有

顯著的影響 (p = 0.001)，接著執行 TukeyHSD test之

multiple comparison，在α=0.05下，得到飼料C 與飼料D，

飼料D 與飼料A對增加體重無顯著差異。餵食飼料B的小豬體

重增加量明顯比其它高。均值估計如下表。

飼料 B C D Amean ± SD 20.75±3.77a 17±2.54 b 16.5±3.42 bc 13.75±.2.63 c

註：上標字母不同之各組間在α=0.05的水準下均值有顯著差異

當試驗材料變異大(如病患)，且數量有限，使用交叉設計可

增加重複個數，減少試驗誤差，提高試驗的可靠性，交叉設

計可視為二區集因素設計的特例，試驗體與試驗時段是二區

集因素。

交叉設計之規則

試驗材料為異質

每個試驗單位分不同時段重複使用

參試處理要隨機安排於不同試驗時段

第九章 交叉設計Crossover Design XD

例比較A、B兩種藥品之療效

實驗設計一：選16位病患，隨機分為二組，分別服用A、B兩種藥品，經一段時間，測量療效，此為 CRD

實驗設計二：選 8對病況相似的病患，隨機分別服用A、B兩種藥品，經一段時間，測量療效，此為 RCBD

實驗設計三：選16位病患，隨機分為二組，分別在第一時期服用A、或在第一時期服用B，到下一時期改服用另一藥品，測量療效，此為 XD

註：若記錄者與受試者不知道自己被分到那一組，稱為雙盲設計

交叉設計試驗

研究目的：研究加護病房重症病人接受24小時腸道營養或24

小時禁食時的腸道通透性功能的變化。

受試者：十九位在臺中榮民總醫院加護病房的重症病人及

十位健康成年人參與此研究。

試驗設計：採用交叉設計。病人被隨機分成兩組，並前後分

別接受腸道營養24小時及禁食24小時。接受腸道營養或禁食

後，病人服用Lactulose/L-rhamnose differential sugar

absorption test溶液並收集5小時的尿液。使用不同分子大

小的糖吸收測驗(Lactulose/L-rhamnose differential

sugar absorption test)來研究腸道通透性。

結果：不論病人接受腸道營養或禁食後，其腸道通透性

並無顯著不同；但是健康成年人的腸道通透性則明顯低於重

症病人。

重症病人腸道通透性的研究

Source SS df MS F* p-valueTreatment SSTr n-1 MSTr F*=MSTr/MSE p1individual SSI n-1 MSb p2

period SSp k-1 MSp p3Error SSE MSE

Total SST nk-1

ANOVA Table for Cross-over Design Model

Model

Yijk = μ + Pi +Ij +τk+ εijk , i= 1,…, n,

j= 1,…,m ， k= 1,…,n. Στi=0

時段 試驗體

Exp 9-1 比較A、B兩種降血壓藥品之效果

隨機取10位病患，以隨機指定方式分別在不同時段服用A、B兩種藥品，

但同一病患在服用 A、B兩藥之間要有休閒期。

Treatment : A, B

應變數 : 下降記錄

Block : patient, period

病 人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10時段 I B B A B A A A B A B

23 10 33 14 24 28 31 8 10 17時段 II A A B A B B B A B A

21 11 28 27 20 12 20 13 11 14

服藥後血壓下降記錄

A 組之平均 = 21.2， B 組之平均 = 16.3總平均 = 18.75

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

patient 9 848.2500000 94.2500000 4.40 0.0243

period 1 22.0500000 22.0500000 1.03 0.3400

drug 1 120.0500000 120.0500000 5.60 0.0455

Tests for Normality

Test Statistic p Value

Shapiro-Wilk W 0.969751 Pr < W 0.7496

Kolmogorov-Smirnov D 0.117778 Pr > D >0.1500

Cramer-von Mises W-Sq 0.033295 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.20241 Pr > A-Sq >0.2500

SAS output

1. 線性模型分析結果

2. 殘差分佈分析結果

Drug 之顯著 p值

平均差異之 C.I.

drug N Mean Simultaneous 95% ConfidenceLimits

A 10 21.200 17.173 25.227

B 10 16.300 12.273 20.327

drugComparison

DifferenceBetweenMeans

Simultaneous 95% ConfidenceLimits

A - B 4.900 0.127 9.673 ***

B - A -4.900 -9.673 -0.127 ***

Source SS d.f. MS F0 p-value時段 22.05 1 22.05 1.029 0.34個體 848.25 9 94.25 4.399 0.024藥品 120.05 1 120.05 5.603 0.045Error 171.4 8 21.425Total 1161.75 19

ANOVA Table for Exp 4-3

結論

本實驗採用交叉設計，資料滿足常態性。由ANOVA 之F-test 得到 p-value = .045，以0.05顯著水著，結論 A、B藥之

效果有顯著差異；A藥平均使血壓下降21.2，B藥平均使血壓

下降16.3 。在95%信賴度下估計：使用 A藥比使用 B藥，使

血壓平均多下降 0.127到 9.673。

(另外，個體間之差異顯著，時段間之差異不顯著)

Exp 4-4 雙交叉設計

比較A、B兩種牧草對乳牛產乳量之影響， 隨機取8頭乳牛

分三個時段進行試驗，資料如下：

乳牛 1 2 3 4 5 6 7 8時段 I B A B A B B A A

10 30 14 31 12 15 32 18時段 II A B A B A A B B

15 25 20 20 11 20 25 16時段 III B A B A B B A A

12 26 19 22 12 14 26 20

A、B牧草對乳牛每日乳產量

A 組之平均 = 22.58， B 組之平均 = 15.33總平均 = 18.96

Source

DF Type III SS Mean Square F Value

Pr > F

cow 7 495.1041667 70.7291667 6.32 0.0022

period

2 25.0833333 12.5416667 1.12 0.3554

feed 1 123.5208333 123.5208333 11.04 0.0055

feed N Mean Simultaneous 95% ConfidenceLimits

A 12 22.5833 20.1383 25.0284

B 12 15.3333 12.8883 17.7784

feedComparison

DifferenceBetweenMeans

Simultaneous 95% ConfidenceLimits

A - B 7.250 4.300 10.200 ***

B - A -7.250 -10.200 -4.300 ***

Tests for Normality

Test Statistic p Value

Shapiro-Wilk W 0.979089 Pr < W 0.8785

Kolmogorov-Smirnov D 0.13822 Pr > D >0.1500

Cramer-von Mises W-Sq 0.044364 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.241203 Pr > A-Sq >0.2500

SAS output

1. 線性模型分析結果

2. 殘差分佈分析結果

結論

本實驗採用雙交叉設計，資料滿足常態性。由ANOVA 之 F-test 得到 p-value = 0.0055, A 牧草平均產乳量22.58，B

牧草平均產乳量15.33 。在95% 信賴度下估計使用 A牧草比

使用 B牧草，平均產乳量高 4.3到 10.2。

(另外，個體間之差異顯著，時段間之差異不顯著)

使用時機：由於 block 本身條件的限制，在同一 block 內，

不足以執行所有的 treatments

設計原則：

每一 block執行相同個數的treatments

每一treatment被實驗的次數相同

每一對treatment 出現在同一 block 的次數相同。

此設計稱為 Balanced Incomplete Block Design.

次數的設計：

設有 a 項處理，每一 block 執行 k 項，若用到 b 個 blocks，每項處

理重複 r 次，則總次數 N = ar = bk每一對出現在同一 block 的次數 λ= r(k-1) / (a-1) ，λ必須是整數

第十章 均衡不完全區集設計，BIBD

設計方法：

1、由 (i) ar = bk，(ii)λ= r(k-1) / (a-1) 必須是整數，來決定

block 的數目

2、安排每一 block 進行的處理項目，使得每一處理出現的次數

是相同的。

3、以隨機順序進行實驗。

例：一實驗有 5個 treatments, 每一block 只能完成 3個treatments，需要多少 blocks ？

a = 5，k = 3

Model:Yij = μ + τi + βj+ εij , i= 1,…, a, j= 1,…,b

分析重點：

1、執行ANOVA

2、以最小平方法估計每一處理的均值 (LS mean) 。

3、在差異顯著時，執行對對比較。

相同於RCBD

Exp (10-1) (BIBD) 研究 4 種催化劑(catalyst) 對化學過程的反應時間 (reaction time) 的影響，但每一批原料只夠調製 3 份，原料的批次 (batch) 可能產生影響。

處理： 4 different catalyst , 1, 2, 3, 4反應變數： reaction time

區集：batches, 3 treatments in each block

BatchCatalyst 1 2 3 4 avg

1 73 74 一 71 72.672 一 75 67 72 71.33 73 75 68 一 724 75 一 72 75 74

avg 73.67 74.67 69 72.66

Catalyst 1 之平均 =72.67 (未包括 batch3 的結果 )Catalyst 2 之平均 =71.3，Catalyst 3之平均 =72.0， Catalyst 4 之平均 =74.0。

注意：此為算術平均，但不是最佳的估計值。

Data

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

Catal 3 22.75000000 7.58333333 11.67 0.0107

batch 3 66.08333333 22.02777778 33.89 0.0010

Catal time LSMEAN 95% Confidence Limits1 71.375000 70.123628 72.6263722 71.625000 70.373628 72.8763723 72.000000 70.748628 73.2513724 75.000000 73.748628 76.251372

SAS output

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 6 77.75000000 12.95833333 19.94 0.0024

Error 5 3.25000000 0.65000000

Corrected Total 11 81.00000000

Least Squares Means for effect CatalPr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)Dependent Variable: timei/j 1 2 3 41 0.9825 0.8085 0.01302 0.9825 0.9462 0.01753 0.8085 0.9462 0.02814 0.0130 0.0175 0.0281

選擇LSmean 作對對比較的

OUTPUT

Tests for Normality

Test Statistic p Value

Shapiro-Wilk W 0.969455 Pr < W 0.9050

Kolmogorov-Smirnov D 0.088205 Pr > D >0.1500

Cramer-von Mises W-Sq 0.023458 Pr > W-Sq >0.2500

Anderson-Darling A-Sq 0.17265 Pr > A-Sq >0.2500

結論

1. 本實驗採用不完全區集設計，資料滿足常態性。

2. ANOVA 之 F-test 得到 p-value = .0107，以0.05顯著水準，

結論是不同的催化劑對化學過程的反應時間是有顯著的

影響

3. 由 Tukey-Kramer 法作對對比較，得到 catalyst 4 與其它三

組有顯著差異，其它三組之間則無顯著差異。

4. 由 least square 法估計得均值如下：

Catalyst 1 2 3 4LS mean 71.375a 71.625a 72a 75b

註：上標字母不同之各組間在α=0.05的水準下均值有顯著差異。

受試者間效應項的檢定

依變數: RTIME

77.750a 6 12.958 19.936 .00263075.000 1 63075.000 97038.462 .000

66.083 3 22.028 33.889 .00122.750 3 7.583 11.667 .0113.250 5 .650

63156.000 1281.000 11

來源校正後的模式截距BATCHCATALYST誤差總和校正後的總數

型 III 平方和 自由度 平均平方和 F 檢定 顯著性

R 平方 = .960 (調過後的 R 平方 = .912)a.

估計值

依變數: RTIME

71.375 .487 70.124 72.62671.625 .487 70.374 72.87672.000 .487 70.749 73.25175.000 .487 73.749 76.251

CATALYST1.002.003.004.00

平均數 標準誤 下限 上限95% 信賴區間

SPSS output

成對的比較

依變數: RTIME

-.250 .698 .735 -2.045 1.545-.625 .698 .412 -2.420 1.170

-3.625* .698 .003 -5.420 -1.830.250 .698 .735 -1.545 2.045

-.375 .698 .614 -2.170 1.420-3.375* .698 .005 -5.170 -1.580

.625 .698 .412 -1.170 2.420

.375 .698 .614 -1.420 2.170-3.000* .698 .008 -4.795 -1.2053.625* .698 .003 1.830 5.4203.375* .698 .005 1.580 5.1703.000* .698 .008 1.205 4.795

(J) CATALYST2.003.004.001.003.004.001.002.004.001.002.003.00

(I) CATALYST1.00

2.00

3.00

4.00

平均數差異 (I-J) 標準誤 顯著性a 下限 上限

差異的 95% 信賴區間a

以可估計的邊際平均數為基礎

在水準 .05 的平均數差異顯著。*.

多重比較調整：最小顯著差異 (等於沒有調整)。a.

1、差異檢定

分析 → 一般線性模式 → 單變量

模式 ：自訂 (加入因子及區集因子)圖形 ：因子為 水平軸→ 新增

Post Hoc 檢定：跳過

比對 ：跳過

儲存 ： student 化選項 ： ˇ顯示平均 ˇ 比較主 效應

2、 常態性檢定：分析 → → 統計值 → 預檢資料

統計圖 v 常態機率圖附檢定

BIBD，SPSS之指令

註：完全區集設計選 Arithmetic不完全區集設計選 Least Squares

SAS guide

1、輸入資料：測值或反應值資料佔一行，因子佔一行，各區

集各佔一行。

2、SAS程序：分析 → ANOVA → 線性模型

工作角色：指定 測量值為 應變數

因子及區集為 分類變數

Model Builder： 選擇所有因子及區集因子 的主要項

Model Options： ˇ 型三 (不勾型一)Post-Hoc tests：

區集設計， 無法檢定同質性

標繪圖： 平均值 → ˇ主要效果的應變平均值

預測：ˇ原始樣本 ˇ預測

ˇ殘差 ˇ顯示輸出

─ 要使用的類別效果 主因子換成 trure─ 比較 選擇顯示差異 p-值及選擇方法

─ 信賴界限 顯示

─ 共變異數

3、檢測常態性： 先選擇前面儲存的殘差資料檔

程序： 描述 → 分佈分析

選擇儲存的殘差為分析變數，選常態機率圖，並在輸

出表格處加 常態檢定

LS mean (最小平方法) → 新增 主因子 變數