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随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
第四章跳跃随机过程
直观讲:跳跃随机过程是指样本轨道存在跳跃点的随
机过程。如计数过程、泊松过程、复合泊松过程、泊
松点过程等.
本章重点学习:泊松过程、复合泊松过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程 (第一讲)
泊松过程定义称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的
泊松过程,如果它满足以下三条件:
01 0=() N
-1 1 0
0 1(3) 2, 0 ,- , , -
n n
n
t t t t
n t t t nN N N N
≥ ≤ < < < <L L
L
对任意的 及 个增量
是相互独立的随机变量.
( )( ( ))( - ) , 0,1, 2,!
k t s
t st s eP N N k k
k
λλ − −−= = = L
(2) 0 , -( )
t ts t N Nt sλ
≤ <
−
对任意的 增量 服从参数为
的泊松分布,即
其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程的一维分布与数字特征
随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程,则
1)对 0, 服从参数为 的泊松分布.t
t N tλ∀ ≥
2
2) ( ) , ( ) , 0
( , ) min( , ), , 0
λ λ
λ λ
= = ≥
= + ≥N N
N
m t t D t t t
R s t st s t s t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
1) 对 0,t∀ ≥
P( )t
N k= 0P( )tN N k= − =
由定义 ( ), 0,1,2,
!
k tt ek
k
λλ −
= = L
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
2)由1)显然有 .0,)(,)( ≥== tttDttm NN λλ
又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有
( , ) E[ ]N s t
R s t N N=
0
20
2
2 2
2
2
E[( )( )]
E[( )( )] E[ ]
E[ ]E[ ] D ( ) ( ( ))
( )
min( , )
s t s s
s t s s
s t s N N
N N N N N
N N N N N
N N N s m s
s t s s sst sst s t
λ λ λ λ λ
λ λ
λ λ
= − − +
= − − +
= − + +
= − + +
= +
= +
是独立增量
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对泊松过程的进一步理解
一般地,如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程.
计数过程的一些例子:
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程.
2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数,则{Nt,t≥0}为计数过程.
3. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数,则{Nt,t≥0}为计数过程.4. 。。。。。。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
从上述例子可以看到,计数过程满足:
①
② Nt是非负整数
③
④
, 0∀ ≥tt N
0 ,∀ ≤ < ≥t ss t N N0 ,∀ ≤ < −t ss t N N
.
表示时间间隔
t-s (或(s,t]) 内发生的随机事件数.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程是一类特殊的计数过程。
如果一个计数过程满足泊松过程定义中的三个条件,这个计数过程就是泊松过程。
试思考或直观判断:前述的计数过程是否满足泊松过程的三个条件?
为进一步讨论计数过程与泊松过程的关系,
给出计数过程的严格定义和一些记号:
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
n 0 1 2n
{ , 0 1, 2, }P( lim T =+ )=1 0=4.1.
.1 n
n
T nT T T T
→∞
=
∞ < < < <
L
L L
设 , 是一列非负随机变
满
定
和
义 量,
足 令
n=max{n: T }, 0≤ ≥ctN t t
{ : 0}则称随机过程 是一个计数过程。= ≥c ctN N t
1 2称随机序列 为计数过程的到达时间.< < <L LnT T T
, 1, 2n n n-1T -T nτ = = L令
则称{ , 1,2, }为计数过程的到达时间间隔序列.nnτ = L
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计数过程中的两个时间序列显然有以下关系
1 21
n
n n kk
T τ τ τ τ=
= + + + = ∑L L,2,1=n
1τ −= −n n nT T
1T
2T 3
T1n
T − nT
1τ
nτ
00=T L
2τ
L
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易知计数过程的样本轨道是跳跃的、右连续的
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{ , 0}{ , 1,2, }
.0
4.1 1 t
n
N N tnτ λ
λ
= ≥
= >L
如果计数过程 的到达时间间隔
序列 是独立的、且同服从参数为 的
指数分布,则该计数过程一定是参数为 的泊
定理
松分布.
证明: 显然计数过程满足泊松过程定义中(1),以下验证(2)(3)即可.
1
由T 知, T 服从 ( , ),即参数为(n, )的伽玛分布.
密度函数为
n
n k nk
nτ λ λ=
= Γ∑
1 , 0( ) ( 1)!
0, 0
λλ − −⎧≥⎪= −⎨
⎪ <⎩n
nn x
T
x e xf x n
x
事实上,可以用数学归纳法给出证明。如下
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1
12 , 0
( ) ( 2)!0, 0
λλ
−
−− −⎧
≥⎪= −⎨⎪ <⎩
n
nn x
T
x e xf x n
x
1
11
n=1时,显然。为此假设T 的密度函数为n
n kk
τ−
−=
= ∑
1 1
11 1
T T +n n
n k n kk k
τ τ τ τ− −
−= =
= =∑ ∑n n则利用 和 的独立性,可得 的密度函数为
10
1( ) 2
0
1
( ) ( ) ( )
( 2)!
, 0( 1)!
n n nT T
nx u n x
nn x
f x f x u f u du
e x e dun
x e xn
τ
λ λ
λ
λλ
λ
−
∞
−∞ − − − −
− −
= −
= ×−
= ≥−
∫
∫
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tnT
第n个随机点
的到达时刻
0,t ≥又对 有
P( )tN n= 1P( )n nT t T += ≤ <( ) ( )n tT t N n≤ ⇔ ≥
1P( ) ( )n nT t P T t+= ≤ − ≤
11
0 0dx- dx
( 1)! !
n nt tn x n xx e x en n
λ λλ λ +− − −=
−∫ ∫
[ ]!
n tt en
λλ −
= ∗( )
0, tt N tλ∀ ≥由此得到,对 服从参数为 的泊松分布.
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,,
{ , } s
st t s
s st
tN N N
N N t
≤ ≤
= −
= ≥
现在对0 s 令:
则 s 是一个从时刻 开始的计数过程.
1 1 ( )sk k
sn k k
s Tτ ττ τ
+
+
⎧ = − −⎨
=⎩
易知,该计数过程的到达时间间隔为
τ
λ1
利用指数分布的无记忆性知, 仍然服从参数为
的指数分布.
s
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以及增量的独立性.(留作练习)
0 ,,t s s u
u s tN N N N
≤ < <
− −
另外,对 可证
独立.
Nt-sλ∗ s
t由此利用( )式所给出的结果知, 服从
参数为( )的泊松分布.
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定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔{ }, 1, 2,τ = Ln n
相互独立同服从参数为λ指数分布.
1 1 10 { }= { }t F t P t P T tτ τ≥ = ≤ ≤时, ()证明:
11 { }1 { 0}
1t
t
P T tP N
e λ−
= − >= − =
= −
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1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
0 , ( 1,2),{ , }
it t iP t T t t T t
δδ δ δ δ
< < =− < ≤ + − < ≤ +
对 ,以及充分小的 有
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2{ 0, 1, 0, 1}t t t t t t tP N N N N N N Nδ δ δ δ δ δ δ− + − − + + −= = − = − = − =
利用独立增量
1 1 1 2 2 1 1 2
0 0( ) 2 ( ) 21 1 1 2 2 1 1 2[ ( )] (2 ) [ ( )] (2 )
0! 1! 0! 1!t t tt t te e e eλ δ λδ λ δ δ λδλ δ λδ λ δ δ λδ− − − − − − − −− − − −
=
2 2( )21 24 te λ δλ δ δ − +=
2
1 2
21 2
, 1 2
0( , ) ,
0
t
T T
t tef t t
λλ − > >⎧= ⎨⎩
1 2可得(T ,T )的联合密度为其它
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
1 1
2 2 1
=T,
=T -Tτ
τ ττ⎧⎨⎩
1 2注意到: 进一步可得( , )的联合密度为
1 2
1 2
( )21 2
, 1 2
, 0( , ) ,
0
t t t tef t t
λ
τ τλ − + >⎧
= ⎨⎩ 其它
τ τ1 2则得 、 的密度分别为
1
1
11
0( ) ,
0
t tef t
λ
τλ − >⎧
= ⎨⎩ 其它
2
2
22
0( ) ,
0
t tef t
λ
τλ − >⎧
= ⎨⎩ 其它
1 2 1 2, 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )f t t f t f tτ τ τ τ τ τ= ⋅因此有 ,即 、 独立.
1 2, ,nτ τ τ λL L类似可以证 独立且同服从参数为 的指数分布.
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例2.3.3 两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.
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例4.1.1 上随机过程的教室有两入口B和 C.
B C CB C
B ,
C ,
N ={ , 0} N , 0}
C
t t λ λ
≥
≥ ≥
Bt
t
Bt t
对时刻t 0,设从 口进入教室的学生人数为N
从 口进入教室的学生人数为N 并假设随机过程
N 和 ={N 分别参数为 ,
的泊松过程,且相互独立。
计算(1)在一个固定的3分钟内无学生进入A教室的概率
(2)学生到达A教室的时间间隔的均值
(3)已知一个学生进入了A教室,则该生从C口进入
的概率为多大?
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泊松过程 (第二讲)
泊松过程的等价定义
称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程,如
果它满足以下条件:
0 0
P{ 1} ( )P{ 2} ( )
t h t
t h t
NN
N N h hN N h
λ+
+
=
− = = +− ≥ =
o
o
是平稳的独立增量过程
①
②
③
④
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
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定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足以下性质(0-1律):
1) P{ 0} 1 ( )2) P{ 1} ( )
t h t
t h t
N N h hN N h h
λλ
+
+
− = = − +
− = = +
o
o
其中1)、2)称为泊松过程的0-1律
证明: 用泊松过程的定义并结合 的泰勒展式易证上述结论成立. he λ−
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0-1律的直观解释:在充分小的时间区间内,随机事件要么出现1次,要么不出现. 其仿真图形如下:
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{ : 0}0-1
1) P{ 0} 1 ( )2) P{ 1}
4.2.3
( )
c ct
t h t
t h t
N N t
N N h hN N h h
λλλ
+
+
= ≥
− = = − +− = = +
o
o
如果计数过程 具有平稳独立
增量性,且满足 律,即
则该计数过程一定是参数为 的
定理
泊松过程.
证明: ( ) ( ), 0,1, 0,k tq t P N k k h= = = >L记 ,对充分小的 可计算
0 ( ) ( 0) ( 0, 0)t h t h t tq t h P N P N N N+ ++ = = = − = =利用条件中的平稳增量性
( 0) ( 0)t h t tP N N P N+= − = =独立增量性
0
0 0
[1 ( )] ( )( ) [ ( )] ( )
h h q tq t h h q t
λλ
= − +
= − −
o
o
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0 00
( ) ( ) ( )( ) ,q t h q t hq th h
λ+ −= − +
o则得 0,h →令 两边取极限,得
0 0( ) ( )q t q tλ′ = −
0 0(0)=1 ( ) tq q t e λ−=解此方程,并注意到 ,得
1,2k = L进一步,对 , 计算
( ) ( )k t hq t h P N k++ = =
2
( , 0) ( 1, 1) ( , )k
t t h t t t h t t t h tj
P N k N N P N k N N P N k j N N j+ + +=
= = − = + = − − = + = − − =∑
0 1 12
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[1 ( )] ( )[ ( )] ( )
k
k k k j jj
k k
q t q h q t q h q t q h
q t h h q t h h hλ λ
− −=
−
= + +
= − + + + +
∑o o o
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1( ) ( ) ( )( ) ( ) ,k k
k kq t h q t hq t q t
h hλ λ −
+ −= − + +
o由上式得 0h →令 ,得
1( ) ( ) ( ) ( )k k kq t q t q tλ λ −′ + = ∗
0 0 1(0)=1 ( ) ( )t tq q t e q t teλ λλ− −∗ = =对迭代方程( ),k=1时,注意到 , ,解得 ,
1
1( )( )( 1)!
kt
ktq t e
kλλ −
−− =
−现假设对k-1时,成立有
∗则利用迭代方程( ),可解得
( )( ) ,!
kt
ktq t e
kλλ −=
( )( ) , 0,1, , .!
kt
ttP N k e k
kλλ −= = = L 即计数过程为泊松过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程基本练习题
1.到达某车站的顾客数是一泊松过程,平均每10分钟到达5位顾客,试计算在20分钟内至少有10位顾客到达车站的概率.
解:令Nt表示[0,t)内到达车站的顾客数,则{Nt,t≥0} 是泊松过程,
参数为 λ=5/10=0.5
则20分钟内至少有10位顾客到达车站的概率
109
200
(10)( 10) 1 0.5402!
k
k
eP Nk
−
=
≥ = − =∑
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2. 某机械装置在[0,t)内发生的震动次数N(t)是强度为5次/小时的泊松过程,且当第100次震动发生时,此机械装置发生故障. 试计算(1)该装置寿命的概率密度函数;
(2)该装置的平均寿命;(3)两次震动时间间隔的概率密度函数;(4)相邻两次震动的平均时间间隔.
解:
(2) 即为 100[ ] 100 / 5 20= =E T
(1)由题意装置的寿命即为1τ 100
T
(3)两次震动时间间隔为参数为5的指数分布.5
0[ ] 5 0.2t
nE t e dtτ
∞ −= =∫(4)
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泊松过程中到达时间的条件分布
请思考问题:
设 {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程,已知在[0,t)内仅有一个随机点到达,T1是其到达时间,则该随机点的到达时间T1服从怎样的概率分布?
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例4.2.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程.验证:Nt=1的条件下,过程的第一个随机点到达时间T1服从[0,t]上的均匀分布.即
1( 1)tsP T s Nt
≤ = =
证明:对 0<s<t时,有1T
11
( , 1)( 1)( 1)
tt
t
P T s NP T s NP N≤ =
≤ = ==
{ 1, 0} ( 1)s t s tP N N N P N= = − = =
( )s t s t sse e tet
λ λ λλ λ− − − −= ⋅ =
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请思考更一般的问题:
设 {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程,若已知在[0,t)内仅有n个随机点到达,则随机点的n个到达时刻
T1 <T2 <…<Tn服从怎样的概率分布?
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⎪⎩
⎪⎨⎧
=,
,
0
!),,,( 21
nn t
nuuup L 1 20 nu u u t< < < < ≤L
其它
证明:
例4.2.1(续)设 {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程.若已知在[0,t)内仅有n个随机点到达,则随机点的n个到达时刻T1 <T2 <…<Tn有以下联合概率密度函数:
1 2 1 20 , , , ,T , ( , ]( 1, 2, )
n n
k k k k k k k
u u u t h h hu u h u u h k n< < < < ≤
< ≤ + + =
L L
L
对 ,取充分小的正数
使得 且各小区间
互不相交,则有
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( , 1, 2, )k k k k tP u T u h k n N n< ≤ + = =L
( , 1, 2, , )( )
k k k k t
t
P u T u h k n N nP N n
< ≤ + = ==
=L
1 2 1 2( 1, 1, , 1, 0)
( )n nh h h t h h h
t
P N N N NP N n
− − − −= = = ==
=LL
nn
tn
hhthn
hh
hhhtn
neteeheheh nn
L
L L
21
)(21
!!/)(
121
=
⋅⋅= −
−−−−−−−
λ
λλλλ
λλλλ
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1 2( , , , )nT T TL所以 的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧
=,
,
0
!),,,( 21
nn t
nuuup L
其它
tuuu n ≤<<<≤ L210
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和
(2)kS
第k次事件出现的时间.
例1 设 1{ , 0)}tN t ≥ 2{ , 0)}tN t ≥ 分别是参数为λ1和λ2 .
且相互独立的泊松过程,(1)kS 表示过程
第k次事件出现的时间,
试计算:
泊松过程的进一步练习(补充)
1{ , 0)}tN t ≥
表示过程2{ , 0)}tN t ≥
(1) 过程 中第一次事件的出现先于过程
第一次事件出现的概率,即 (1) (2)1 1( )P S S<
1{ , 0)}tN t ≥2{ , 0)}tN t ≥
(1) (2)1( )kP S S<(2)
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解题思路:
考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率
(1) (2) 11 1
1 2
( )P S S λλ λ
< =+
(1) (2) 11
1 2
( ) ( )kkP S S λ
λ λ< =
+
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例2 某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次,假设粒子是按照比率每分钟4个的泊松过程到达,令T是两个相继被记录粒子之间的时间间隔
(单位:分钟)
试求:1)T的概率密度;
2) ( 1)P T ≥
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解题思路:
由过程的平稳独立增量性.
可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的.
4416 , 0
1) ( ) ; 2) 50, 0
t
Tte t
f t et
−−⎧ ≥
= =⎨<⎩
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例3 设两个相互独立的、强度分别为 和 的Poisson过程 和 .试证: 在过程
中的两个相邻事件间,过程
出现k个事件的概率为
1λ 2λ2{ , 0)}tN t ≥1{ , 0)}tN t ≥
1{ , 0)}tN t ≥ 2{ , 0)}tN t ≥
1 2
1 2 1 2
( )( ) , 0,1, 2kp kλ λλ λ λ λ
= =+ +
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证明思路:
2
1
( ),TP N k
T N
=
t
考虑概率
其中 为过程 的相邻事件间隔.
再应用全概率公式。
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泊松过程 (第三讲)
设 {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程,常数 ,定义
1σ > −
ln( 1)
( 1) , 0
t
t
N tget
N t
N e
e t
σ λσ
λσσ
+ −
−
=
= + ≥
{ , 0}ge getN N t= ≥ 几何称 为 泊松过程.
几何泊松过程
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E[ ]=1
{ , 0}
getges
ge getN N t
NN
= ≥
≤
几何泊松过程,对任意的
0 s<t,验证
设 为例4.2.3
证明: ( ) ln( 1) ( )E[ ]= [ ]E t sN Ngetgs
t se
NN
e σ λσ− + − −
ln( 1)( ) ]= E[ t sNt se e σλσ − +− −
( ) ( )
0
[ ( )= ]( 1)!
nt s n t s
n
t se en
λσ λλσ∞
− − − −
=
−+∑
( )= E[( 1) ]t sNt se λσ σ −− − +
( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )
0
[ ( 1)( )] 1!
=n
t s t s t s
n
t se e en
λ σ λ σ λ σλ σ∞− + − − + − + −
=
+ −= × =∑
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非齐次泊松过程
定义4.2.1 设N= {Nt,t≥0} 是独立增量过程,
( ) [0,+ ) [0,+ )λ ∞ → ∞t 是 的函数,如果
[ ( ) ( )][ ( ) ( )]( - ) , 0,1, 2, ,0!
km t m s
t sm t m sP N N k e k s t
k− −−
= = = ≤ <L
则称N是强度函数为 的非齐次泊松过程.( )λ t
0( ) : = ( )
tm t u duλ∫其中函数 称为非齐次泊松过程的均值函数.
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0( )= ( )
tm t u duλ∫函数 称为非齐次泊松过程的均值函数.
事实上,由非齐次泊松过程的定义知道,对于任意的t≥0,
0E[ ]= P(N = )t t
kN k k
∞
=∑
[ ( )]
0
[ ( )]=!
m
k
ktm t ek
k
∞−
=∑
1[ ( )]
1
[ ( )]( )( 1)!
=k
km t m tm t e
k
−−
∞
= −∑
= ( )m t
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非齐次泊松过程的等价性定义
如果计数过程N={Nt,t≥0}是独立增量过程,
且满足:
1 P{ 0} 1- ( ) ( )2 P{ 1} ( ) ( )
t h t
t h t
N N t h hN N t h h
λλ
+
+
− = = +− = = +
o
o
)
)
则称N是强度函数为 的非齐次泊松过程.( )λ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
( )λ λ=当 t 时,非齐次泊松过程,就是齐次泊松过程.
非齐次泊松过程中,不再强调平稳增量性,即
事件在不同的时间发生的可能性可以不同.
因此,非齐次泊松过程因此可以成为一些实际现象得合
注意1:
理模型.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
8 118 5
11 20 11 120. 1 5
5 12.
2) -9 303)
小飞经营的食品店从上午 点到 点顾客有一个
稳定增长的平均到达率,即在 点及后每小时 个顾客开始,
点到达最大值每小时 .从上午 点到下午 点平均到
达率基本稳定在每小时 从下午 点到 点稳定下降,直至
点关门时为每小时
假设在不相交时段的顾客数是独立的.
试完成:1)为上述问题选择一个合适的概率模型;
计算在周五上午8:30 : 将
例(补
没有顾客的概率;
上题时间段
)
中的平均到达人数是多少?
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非齐次泊松过程与齐次泊松过程可以相互变换得到.
以下两个例题予以
注意2:
说明:
{ , 0} ( )( ) : lim ( ) , ( )4.2.5 t
t
N N t m tm m t m t
→∞
= ≥
∞ = = ∞
设非齐次泊松过程 的均值函数 满例 足
定义函数 的反函数为
( ) min{ 0 : ( ) }, 0t s m s t tθ = ≥ ≥ ≥
( )M { , 0} 1tN tθ= ≥验证: 过程 是参数为 的齐次泊松过程.
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证明: ( ) ( ( ))=t m t tθ θ注意到:函数 是单调不减,右连续的,且
( )M { , 0} .tN tθ= ≥所以过程 具有独立增量性
[ ( ) ( )]( ) ( )
( )
[ ( ( )) ( ( ))]( - )!
( ) , 0,1, 2, ,0!
km t m s
t s
kt s
m t m sP N N k ek
t s e k s tk
θ θθ θ − −
− −
−= =
−= = ≤ <L
又
( )M { , 0}
1tN tθ= ≥所以过程 还具有平稳增量性,
且增量服从参数为 的泊松分布.
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0
( )
{ , 0} 1( ) 0, 0.
( )= ( ) ,
{ , 0}
( )
( )
t
t
m t
N N tt t
m t u du
N t t
λ
λ
λ
= ≥
> ≥
≥∫
设 是参数为 的齐次泊松过程,若给定
函数 令
则过程 是强度函数为 的非时齐泊
例 补
松过程.
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复合泊松过程
定义2.2.1 设N= {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程,{Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与N独立.
1
, 0tN
t kk
X Y t=
= ≥∑令
称 X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.
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若将Nt表示[0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机点所携带的某种(能)量,则总量为
1
tN
t kk
X Y=
=∑即 X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.
复合泊松过程也可以由随机游动和泊松过程的表示.
复合泊松过程满足平稳的独立增量性.(证明留作练习)
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例4.3.1 设随机变量Yn(n=1,2,…)存在数学期望2E n nY DYµ σ= =和方差 ,
试计算复合泊松过程的均值函数、方差函数和相关函数.
1( ) E[ ] E[ ]
tN
X t nn
m t X Y=
= = ∑
1
0 1
E[E( )]
E[ ] ( )
t
t
N
n tn
N
n t tm n
Y N
Y N m P N m
=
∞
= =
=
= = =
∑
∑ ∑
Yn与Nt独立
解
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0 1E[ ] ( )
m
n tm n
Y P N m∞
= =
= =∑ ∑Yn独立同分布
0( ) .t
mm P N m tµ µλ
∞
=
= = =∑2 2( ) E[ ]X nD t t Y tλ λ σ= =类似计算
R ( , ) E[ ]E[ ( )]
( ) ( ) (min( , )). , 0
X s t
s t s s
X X X
s t X X s tX X X X
m s m t s s t s t
= ≤ <= − +
= − +Φ ≥
利用平稳独立增量性,有
不妨设0
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例1 设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程,平均每周
有2户定居,即λ=2. 如果每户的人口数是随机变量,一户4人的概率为1/6,一户3人的概率为1/3,一户2人的概率为1/3,一户1人的概率为1/6,且每户的人口数是相互独立的,求在五周内移民到该地区的
人口数的数学期望和方差.
25 43E[ ] , E[ ]2 6n nY Y= =
5 5215E[ ] 25, D[ ]3
X X= =
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1
{ ,k=1,2, } 0-1( 1) 0, ( 0) 1 ,
N 0-1M M
S . L={ , 0} M={ , 0}
4. .
(1
3 3
t
k
k k
t N t t t
n
n k t tk
P p P p
S L N
L t M t
ξξ ξ
λ
ξ
λ λ=
= = > = = −
≥
= = −
= ≥ ≥
−
∑
L 设随机变量列 独立同服从 分布,
且
参数为 的泊松分布 与上述 随机序列独立.现对t 0,
定义
其中, 验证:过程 和
是两个独立的分
例
别服从参数为 p和 p)的泊松过程.
0A={M M } ( )
{N N }t s
t s t s
t s N N
s tm L L km k S S m
≤ <
− = − =
= − = + − =
对任意的 ,记随机事件
事件还等
:
于
证明
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u 1{M ,L :u s} {N , , , }
A {M ,L :u s} .su u N
u u
u s ξ ξ≤ ≤
≤
L注意到随机变量族 由 : 决定,
因此, 与 独立
0
0
P(A)= P(A,N )
P(N , N N )t s
sn
s t s N Nn
n
n m k S S m
∞
=
∞
=
=
= = − = + − =
∑
∑
0
P(N , N N )s t s m n k nn
n m k S S m∞
+ +=
= = − = + − =∑
0
0
P(N , N N ) P( )
P(N , N N ) P( )
s t s m n k nn
s t s m kn
n m k S S m
n m k S m
∞
+ +=
∞
+=
= = − = + − =
= = − = + =
∑
∑
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0
P(N , N N ) P( )s t s m kn
n m k S m∞
+=
= = − = + =∑=P(N ) P( )t s m km k S m− += + =
( )
( ) (1 )( )
( ) ( )! (1 )( )! ! !
( ) (1 ) .! !
m k m kt s m k
m m m k kp t s p t s
t s m ke p pm k m k
p t s pe em k
λ
λ λ
λ
λ λ
+ +− −
− − − − −
− += −
+
− −= ×
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作业:2,3,4(n=2时),5(a,b),6,8,9