给中学生讲数分和高代

张英伯

北京师范大学数学科学学院

2019/09/03, 上海华东师范大学

很高兴应范良火教授的邀请，再次来到华师大参加

会议。范老师让我做个关于数学教育方面的报告，但是在座的都是数学教育专家，我这个对教育学一窍不通的门外汉讲就无异于班门弄斧了。

文革结束恢复研究生招生时，王昆扬和我考上了北

京师范大学数学系读研，留校后在那里教了半辈子书。过去退休前还有能力搞一点科研，现在上了年纪，科研搞不动了，就只剩下还会教点书了，只能讲讲教书的点滴体会。

前几年因为介绍国外的大学先修课程，与十一学

校交往较多，北师大王昆扬和北大刘和平教授还分别在那里讲过一年的数学分析。现在他们学校开设了数学分析和高等代数，由自己学校的老师上课，就介绍我们到青岛中学去了。

青岛中学可以算是他们同一个系统的学校吧。因

为那里的校长名义上也是十一的校长，著名教育家李希贵老师，执行校长原来是十一学校副校长秦建云，他去海南创建新校，现在换成安徽省高考排名第一的马鞍山二中原校长汪正贵。

2018年10月，我参加过华师大主办的第三届华

人数学教育大会，并应邀作了一个关于英才教育的报告，其中提到过青岛中学。

青岛中学是私立学校，当年活动能力极强的秦建云校长与青岛市委和市教育局沟通，由政府出地出资建起了一座非常漂亮的校园，教学楼是德国式建筑，外表类似于青岛火车站。由于离市区很远，学生全部住校；老师每人一间办公室兼教室。

学校按照美国的办学模式，小学五年，初中三年，高中四年。是一所非营利 K-12 一贯制学校。

学校提供的课程很多，除了高考必考的语文、数学、英语三门主科，理 工科的物理、化学、生物；以及文科的地理、历史、政治三门副科之外，还有体育、音乐、日语、动漫、机器人、平面设计等等。

学校实行选课、走班制，没有一般学校中固定的班级。

主课进行分层教学，比如数学分为三个层次，由三位老师分别授课，每人负责20人左右。

语文分成三个班级，常可以看到学生抱着很厚的小说在读，都是老师布置的，读完后分组讨论。

每个老师都很敬业。每个学科都有从各校挖过来

的经验丰富的优秀教师担任教研组长，教师则从清华、北大、北师大、华师大等名校招聘，基本上都是博士、硕士，几乎没有本科毕业生。

总体来说，学生属于上中等水平，比不上青岛最

好的中学青岛二中，当然由于地区差异，也比不上北京上海等城市的优质高中，但总体素质还是相当不错的。

学生家长以知识阶层为主体，家长的职业基本上分为三类：搞科研、当教师、做生意。

新学年学费将调整为：小学5.6万，初中5.8万，高中6万。

学校为学生提供丰富的奖学金：全额奖学金、半额奖学金、新生奖学金，等等。

我们是2017年暑假到青岛的，当时学校刚刚招生，最高年级是九年级，学生年龄15岁。我们开

始上课时，报名的学生很多，他们有点好奇，把大学先修课程称为“大仙课”，可能觉得这个课太特殊，应该有点儿仙气吧。

实事求是说，我们的课程算不上成功，比起南

方的一些优质高中，比如华师大二附中、江苏天一中学要差不少。他们有些学生能够在国家CAP考

试中取得几乎满分的成绩，而我们学生的分数在北京大学的考试中只能算作中等。

2017年学年开始，由王昆扬讲“数学分析”。

由于对中学生不了解，他第一节课讲了伯恩施坦定理，还证了集合的基数小于该集合的幂集的基数，一下子就把学生打蒙了，15岁的孩子完全不能理解啥叫基数。

王昆扬有股韧劲，不厌其烦地，反反复复地为

孩子们列举例子，解释概念，孩子们也就模模糊糊地接受了。他在北师大所用课本理论性很强，不适合低龄的孩子，于是逐步删减，着重计算，慢慢地引导他们理解极限思想，理解\epsilon-\delta语言。

2018学年，我开始讲授“高等代数”，包括“空

间解析几何”。我也没有中学教学的经验，第一堂课讲线性方程组，觉得学生已经学过二、三元一次方程组了，应该没有问题，上来就在黑板上写了n个未知数，m个方程的字母系数线性方程组，学生立刻懵了。

幸亏高中学部主任王东刚是一位数学老师，他来

听课，马上走到讲台前，建议我先举两个二元一次、三元一次方程组的例子，再引入n元m个方程的一

般情况。因为初等数学偏重计算，孩子们对具体的数学对象比较熟悉，猛然用字母抽象出来会很不适应。

还有一位数学组的老师夏成林长期随堂听课，也经常在我们习惯性讲得过深时及时地补充、解释。

我给孩子们讲了线性方程组与矩阵，行列式，向

量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、以及空间的直线和平面、曲线与曲面。线性代数部分用的是北京师范大学张英伯、王恺顺编写的课本“高等代数”，空间解析几何部分则照搬了北大冯荣权、清华杨晶和清华附中王殿军、周俊专门编写的大学先修（CAP）课本。

线性代数部分删掉了原来的“群环域的定义和例

子”，“多项式环”两章，当然也没敢讲若当标准型的推导，师大书中的空间分解以及北大书中的\lambda矩阵两种推导方式都没敢涉及，只笼统地说

在复数域上的向量空间中，每一个线性变换的矩阵都可以相似于一个若当标准型。

在我开始上课时，“大仙班”里还剩13名学生，

后来有几位准备赴美留学，被送到北京十一学校国际部去了，还有几位由于各种原因中途退出了，最后只剩下三位“大仙课”的“铁杆”。

在学期中间，赴京的学生回青岛探亲，来到青岛

中学探望老师，跟我们聊了很久。有一位名叫邵展鹏的男孩子，脑袋相当灵光，上课时经常接下茬儿，每次还都接得有些道理，考试成绩也相当不错。

邵展鹏说他们在十一上美国老师教的高等数学，

但是讲得很浅，比我们讲的简单多了，基本可以不听，感觉数学非常轻松。

2018-1019学年的期末考试，三位“铁杆”都考得不错，其中一位男孩子张博文甚至得到了裸分73

分的成绩，两位女孩子纪乃文和李逸然也都得到了60分。实际上这个成绩对于他们来说非常非常地不容易。

我们在师大数学系讲授数学分析和高等代数时，这两门课是主课，周学时为数分6-5-4学时，高代为4学时，每门课都有三位辅导教师（三个班），作业必须按时完成。

而这里的“大仙课”虽然也是周4学时，但并非

学生的主课。他们的主课是高考必考的语文数学和理化生，这几门课都有大量的作业。高考毕竟是升学的渠道，学生、老师、家长都十分重视。

另外，两个女孩子分别选修了物理竞赛和化学竞

赛课，也有大量的作业，而竞赛是可以在升学时加分的。因此他们基本上没有时间顾及“大仙课”的作业，毕竟升学不把大学先修课程的成绩作为参考。

怎么办呢？我们只好安排课上的时间让学生在课堂上做作业，讲作业。以求巩固学到的知识。

三个孩子十分努力。张博文准备赴美留学，他本人也比较潇洒，自己喜欢的科目好好学，不喜欢的放弃，他喜欢数学，花了功夫，因此基本上学懂了。做题时经常一看就会，讲得也头头是道，但是涉及数字就会出错，男孩子普遍比较粗心。

纪乃文是个活力四射的小姑娘，结实得像个小铁蛋儿，有极强的记忆力和过人的计算能力，只是理解力欠缺一些。

李逸然端庄美丽，友善文静，具有良好的家庭教养。她写过一篇关于矩阵秩的小文章，在数学通报上发表了。

考试完毕后，各门课程都安排了“考试讲评”，大仙课安排在最后一天的晚上。我给课程仅剩的三位“铁杆”分析完高代试卷，向他们道谢。

我说：“谢谢你们参加了大仙课的学习，并一直坚持到最后。认识你们，为你们上课，给我们两个古稀老人带来了很大的快乐。”

三个孩子紧挨着坐在我们教室第一排的课桌后面看着我，说他们也很喜欢我们，喜欢我们讲课的风格，也喜欢我们的为人处事。

我问孩子们：“大仙课对高考没有帮助，又相当困难，你们为什么一直学下来了呢？”回答是：“因为愿意听你们讲课。”

我们聊得很开心，好像有很多话要说。直到一个多钟头之后，我一再催他们回宿舍整理行装，准备明早家长来接，他们才恋恋不舍地走出了教室。我和王昆扬把他们送出门外，依依不舍地看着他们的背影在走廊的拐角处消失。

是啊，教师在讲台上一站，你的学术底蕴，你的敬业精神，你的风度气质便在学生面前展露无遗，潜移默化地影响着学生。

我们只会教书，从来没有做过，也不会做思想工作，更不会训导学生应该如何行事，或许这便是他们喜欢我们的原因？

尽管课程算不上成功，但两年的经验表明，大学先修课程在我国的中学完全可以推行，中国的优秀学生学习这种课程没有本质的困难，甚至可以比有些外国孩子学得更好。

人们普遍的印象中，中华民族或者亚裔的整体智商在世界上是 高的，似乎仅次于犹太人。

在一次聚餐会上，我跟北师大实验中学的王本中老师谈到青岛中学的学生学习大仙课的事情，他是全国十佳校长，任国务院参事室的参事。他说：“那是因为你们教得好。”

我当时差点噎住，我们在大学教基础课多年，确实有一定的教学经验，但是十一学校博士毕业的潘国双、张伟老师不是也教得很好吗，当然也可以说十一学校的学生好。

西方国家的优质中学推行大学先修课程已经有七、八十年。事实上，世界进入了信息时代，人类知识的积累突飞猛进地增长，二十世纪初形成的课程体系已经远远不够，将大学的基础课程放到优质中学势在必行。

王昆扬认为，推行大学先修课程还有一个很现实的理由：中学数学课程留下了两个逻辑漏洞，而一般大学课本中并没有弥补，以致犯了逻辑性错误。见附件（【1】，【2】，【3】）

附件的题目是：附录【1】一个常见的逻辑错误，附录【2】填补中学数学课本中的两个漏洞，附录【3】《高中英才数学课本》序言，我已经

放在电脑上了，愿意了解的老师可以拷贝回去。

另一方面，人类的智力越来越发达。西方的经验证明，优质学生学习这些课程甚至更深层的课程都没有什么困难。

还有一个重要的原因，就是逻辑推理能力的培养应该在13-16岁时进行。尽管平面几何已经做了这方面的铺垫，但未来的科研工作需要更强的逻辑能力，而大学基础课程恰恰满足了这一点。

西方科学技术的发展完全倚仗于这些精英学校培养的人才，略举一例。2018年，德国32岁的数学家舒尔茨得到了菲尔兹奖，该奖基于他在24岁时提交的博士论文，文中构筑了代数和几何之间桥梁的第一块砖。

而我们的孩子22岁大学毕业，经过3年硕士，3年博士，毕业已经28岁，这时再进入研究领域已经与西方拉开了档次。我们不是输在幼儿园那个起跑线上，而是输在科研的起跑线上了

我有时会想起塞万提斯笔下的唐吉柯德，幻想回到古代骑士时期的他，毫无胜算地与风车大战。

而我们也在毫无胜算地与举国一体的教育制度较劲。由于体制上的种种限制，高考的层层钳制，我们现在还无法系统地将大学先修课程植入优质中学，全面地推行精英教育。

尽管教育部允许，现行高中课程标准也有一些微积分方面的内容，但是距离系统地讲授相差很远。

在现行体制下，在一些私立学校，在理念比较超前的公立优质高中，讲授这些课程也并非完全没有可能。南方许多优质中学，北京十一学校和青岛中学的经验都证明了这一点。

目前我们准备继续教2019年的十年级和十一年级的大仙课，有六位学生报名。无论如何，只要有一个学生愿意学习大学先修课程，我们也会尽心尽力地讲下去，就算做一回唐吉柯德吧。

就讲到这里，谢谢大家。