第五章：締 結

• 軸の強度計算

• 軸継手

• 軸と回転体の締結

• 実例紹介

1. 軸の曲げ強度とねじり強度計算

2. 軸の強度評価

3. 軸のねじり剛性とたわみの計算

4. 機械装置における軸の構造

5. 軸の形状設計及び各部分の役割

6. 有限要素法による軸強度の計算

軸の強度計算

（１）引張り荷重𝑷による応力：

１．軸の曲げ強度とねじり強度計算

（２）曲げモーメント𝑴による応力：

𝜎𝑃

𝜎𝑚𝑎𝑥

Ｍ Ｍ

T

d1d2

強度評価：

𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝜏𝑎

(曲げ強度)

(せん断強度)

𝜎𝑎，𝜏𝑎：許容曲げとせん断応力

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜎𝑝 =4𝑃

𝜋(1 − 𝑛2)𝑑22

𝜎𝑚𝑎𝑥 =32𝑀

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝜏𝑚𝑎𝑥 =16𝑇

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝜎合計引張応力 = 𝜎𝑝 + 𝜎𝑚𝑎𝑥

=4𝑃

𝜋(1 − 𝑛2)𝑑22 +

32𝑀

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝜎合計引張応力 < 𝜎𝑎

𝑛 =𝑑1𝑑2

（３）ねじりモーメント𝑻による応力：

（１） 𝑃：引張荷重

（２） 𝑇：ねじりモーメント（トルク）

（３） 𝑀：曲げモーメント

𝑑1：内径𝑑2：外径

三種類の荷重：

２．主応力計算による強度評価

a 1[許容応力]

[許容応力]（２）軸のねじり強度の評価：

（１）軸の曲げ強度の評価：

（３）座屈強度の評価：

主応力の計算：

最大せん断応力

a）圧縮荷重を受けない場合； b）細長いではない場合

一般的に行われない。特に次に示す場合には計算不要

𝜎1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜎2 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1 − 𝜎2

2=

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑎

３．軸のねじり剛性とたわみの計算

（１） 軸のねじり角：

（２） 軸のたわみ角及びたわみ量：

aii

a 「許容たわみ量」 歯車軸の場合には

「許容たわみ角」 歯車軸の場合には radia 1000/1

3000/1/ L

Ｌ

一回積分 二回積分

𝑇：ねじりモーメント𝐿：中空丸棒の長さ𝑀：曲げモーメント

𝑑1：内径； 𝑑2：外径

ねじり角の許容範囲： Τ𝜃 𝐿 ≤ Τ0.25°𝑚

𝑚：長さの単位（メートル）

𝜃 =32𝑇𝐿

𝜋𝐺(𝑑24 − 𝑑1

4)

（𝐼:断面二次モーメント）

𝐸𝐼𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= −𝑀 𝑖 =

𝜕𝑦

𝜕𝑥𝛿 = 𝑦

４．トルクのみを受ける軸のねじり強度計算

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑇/𝑍𝑝

𝑇: 軸の伝達するトルク𝑍𝑝：軸の極断面係数 𝑍𝑝 =

𝜋𝑑3

16

𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝜏𝑎 (最大せん断応力＜許容せん断応力)

𝜏𝑎 : 軸材の許容せん断応力

例えば、𝑆50𝐶材の場合、𝜏𝑎 =36MPa (N/mm2)

（１）軸の最大せん断応力（材料力学）：

（２）軸のねじり強度の評価：

（キー溝の影響を無視する場合）

（材料疲労試験により求められた）

５．トルクのみを受ける軸のねじり強度計算

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑇/𝑍𝑝

𝑍𝑝 =𝜋𝑑3

16

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝛾< 𝜏𝑎 （即ち、最大せん断応力＜許容せん断応力𝜏𝑎）

（１）キー溝なしの軸の最大せん断応力

（３）キー溝付きの軸のねじり強度の評価：

（キー溝の影響を考慮する場合）

（２）キー溝付きの軸の強度とキー溝なしの軸の強度の比𝛾（H.F. Mooreの実験式）

𝛾 = 1 − 0.2𝑏

𝑑− 1.1

𝑡

𝑑（１）

𝑑：軸の直径(mm）𝑏：キー溝の幅(mm)

𝑡：キー溝の深さ(mm)

d b

t

（材料力学の知識）

𝜏𝑎 : 軸材の許容せん断応力

キー溝付きの軸の応力集中率𝛼

４．機械装置における軸の構造

（１）普通の歯車装置における軸の構造 （２）遊星歯車装置における軸の構造

５．軸の形状設計及び各部分の役割

継手装着

継手装着

オイルシール装着

オイルシール装着

軸受装着

歯車装着軸受装着

軸受固定用側面 歯車固定用側面 軸受固定用側面

寸法精度要求：H6 or H7 幾何精度要求：同芯（軸）度、真円度、真直度；表面性状要求：Ｒａ3.2 or Ra0.8 オイルシールリップ接触面:研磨熱処理要求：調質

６．有限要素法（FEM）による軸強度の計算（SolidWorksによる軸の最大せん断応力or Von Mises応力を求める）

（１）FEMの要素分割パターン

（２）Von Mises応力分布のコンター図

軸継手

1. 固定継手

2. たわみ継手

3. 自在継手

4. オルダム継手

原動軸と従動軸の軸端と軸端を結合して回転及び動力を伝える機械要素である。

種類：

１．固定継手

ボルト締結

はめ込み部（インロー）

キー溝

はめ込み部（インロー）

フランジ形固定軸継手 鍛造フランジ形固定軸継手

筒形固定軸継手

安全装置

キー＆キー溝

軸１ 軸２

キー

はめ込み部のインローによる位置決め

２．たわみ継手

ゴム軸継手フランジ形たわみ軸継手

金属ばね軸継手

ベローズ軸継手

歯車形軸継手

チェーン軸継手金属ばね軸継手

チェーン

ゴム・皮ブシュ

新幹線の車輪駆動用

ゴム継手の写真ゴム

ゴム

ゴム

樹脂 樹脂

樹脂継手

ゴム継手の応用

ゴム継手

フレキシブル継手

フレキシブル継手の写真

歯車形軸継手

出典：宮本昌幸、図解・鉄道の科学、(株)講談社、pp.149-150

歯車継ぎ手（WN継ぎ手）

大歯車

歯車箱

小歯車

歯車箱吊り部

車軸

特徴： 軸と軸の芯ずれやミスアラインメント（傾き）誤差をうまく吸収し、組立誤差の大きい場合においても、軸をうまく回転させる

３．自在軸継手

ユニバーサルジョイント

不等速性

等速形軸継手

等速形軸継手

４．オルダム軸継手

従動軸

継手本体 フローティングカム 継手本体

原動軸

波動歯車装置におけるオルダム継手の応用（㈱ハーモニックドライブシステムズ社製 島根大学購入品）

軸と回転体の締結

1. キーによる締結

2. 圧入・焼きばめによる締結

3. キーの強度計算

4. キー溝付き軸の強度計算

5. キー溝の加工

6. 軸と回転体の他の締結方法

7. スプライン締結の使用例

１．キーによる締結

（１）テーパ締結 （４）滑りキー締結（２）平行キー締結 （３）半月キー締結

特徴：高精度（隙間なし）小トルク、

特徴：大トルク

位置決め精度が悪い（隙間あり）

特徴：高精度大トルク

位置決め精度が高い（隙間なし）加工が難しい。

特徴：

軸方向に移動しなければならない場合に使用

２．圧入・焼きばめによる締結

圧入・焼きばめ締結

常温で油圧プレスで強制的に押し込む⇒圧入締めしろ△＝軸直径の1/2000

加熱で軸穴を膨張させて、軸を簡易に挿入する⇒焼きばめ締めしろ＝軸直径の1/1000

d1

d1+△

加熱で孔を膨張させる。大きな30度面取り

圧入・焼きばめの計算：

L（挿入長さ）

d1

d2

接合後の円筒と軸間の内部圧力：

接合部の面積：

伝達できるトルク：

𝐸：材料の縦弾性係数∆：締めしろ𝜇：円筒と軸間の摩擦係数𝜇=0.15

d1+△

𝐴 = 𝜋𝑑1𝐿

𝑇 = 𝜇𝑃𝐴𝑑12

𝑃 =𝑑22 − 𝑑1

2

2𝑑1𝑑22 𝐸∆

３．キーの強度計算

L

hb

圧縮破壊強度の計算：

せん断破壊強度の計算：

キーに作用する力：

判断基準

判断基準

[許容応力]

[許容応力]

せん断破壊面

𝐹 =𝑇

Τ𝑑 2

𝑃 =𝐹

0.5ℎ𝐿

𝜏 =𝐹

𝑏𝐿

𝑃 ≤ 𝑃𝑎

𝜏 ≤ 𝜏𝑎

FF

（キーの側面面積の半分）

（せん断破壊面）

A）エンド ミルによる加工

応力集中

B）フライス カッターによる加工

応力集中が少ないが、多くのスペースが必要

５．キー溝の加工

６．軸と回転体の他の締結方法

スプライン締結 セレーション締結

角形スプラインインボリュートスプライン

インボリュート セレーション三角歯セレーション

特徴：キー締結よりかなり大きなトルクが伝達できる

インボリュートスプラインの設計＝低歯平歯車の設計

実例紹介

歯車実験装置用軸と継ぎ手の構造設計例

継ぎ手１

継ぎ手2

継ぎ手3

出典：西村 篤、「歯車装置の運転性能に及ぼす加工精度と歯面修整の影響に関する研究」、島根大学 総合理工学部 機械設計研究室卒論研究論文、2013年3月

入力軸

出力軸

モータ

モータ軸

入力軸

出力軸

トルク変換機

歯車箱

パウダブレーキ

平面図

正面図

歯車実験装置の拡大図

設計図面により試作したもの

継ぎ手継ぎ手

継ぎ手モータギアボックス

トルク変換機

パウダブレーキ

ギアボックスの内部構造（軸に部品を装着した後の様子）

組立状態における継ぎ手 分離状態における継ぎ手

インロー

大歯車軸の３D図（キーなし）

小歯車軸の３D図（キーなし）

大歯車軸の３D図（キー付き）

小歯車軸の３D図（キー付き）

大歯車軸の部品図

10 N9 0-0.036

26+

0.2

0

30+0

.2 0

60-0.03-0.06 30

0-0.02

?30 h7

0 -0.021

?31 h8

0 -0.039

?32 h7 0 -0.025

?35 h7

0 -0.025

?32 h7

0 -0.025

?31 h8

0 -0.039

?27

1

学籍番号 ｓ０９４０５６

機械設計研究室

小歯車軸 s50c 1

品番 名称 材質 個数 摘要

氏名 西村　篤投影法

作成

名称 小歯車軸 尺度 図番 H24-A008-01

R0.6

R0.6

30°

8 N9 0-0.036

R1

R1

30°

1.5

図番

F

F

F-F

G

G

G-G

28 40 10

83 17 70

327

20 17.4 (29.6)

?41

R0.25

R0.25R0.

4 R0.4

21

30°

小歯車軸の部品図

軸の写真

拡大図