CCP Maths 2000-2011 CCP TSI.pdf

7/22/2019 CCP Maths 2000-2011 CCP TSI.pdf

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SESSION 2000 TSI005

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SP ECIFIQUE-FILI ERE TSI

MATH EMATIQUES 1

Dur ee : 4 heures

Lusage des calculatrices programmables et alphanumeriques est autorise sous reserve des dispositions denies dans la circulaire n 99-018 du 01.02.99.Il est rappele aux candidats quil sera tenu compte de la presentation et de la redaction des copies.On pourra admettre un resultat pour traiter les questions suivantes.

Dans tout ce devoir les matrices seront des matrices carrees 3 3, ou des matrices colonnes 3 1, a coefficientsdans C .On pourra identier matrice carree avec application lineaire dans une base canonique, et matrice colonneavec vecteur.

Rappels et Denitions n , avec complexe et n entier naturel, admet une limite lorsque n tend vers linni si et seulement si

= 1 ou | | < 1. On note Sp ( A) le spectre de A, cest-a-dire lensemble des valeurs propres de A. On dit que la matrice carree T de terme general ti,j est triangulaire superieure si et seulement si :

i > j, t i,j = 0. On dit que la matrice carree N est nilpotente si et seulement si n N tel que N n = 0

(0 est la matrice nulle et N n est le produit de N par elle-meme n fois, par convention N 1 = N et N 0 = I la matrice unite).

Soit A une matrice de dimension quelconque, de terme general a i,j . On pose A = supi,j

|a i,j |.

On admet que lapplication A A est une norme sur lespace des matrices ayant meme dimension queA.

On appelle suite de matrices complexes une application de D N dans M n,p (C ) ; limage de k est noteeAk ou A(k), lelement general de A(k) est note a i,j (k).On dit que la suite A(k) converge vers B (ou admet B pour limite) si et seulement si lim

k + A(k) B = 0,

et on note limk +

A(k) = N ou lim A(k) = B .

A toute suite A(k) de matrices, on associe la suite dite des sommes partielles U (k) =k

i=0A(i).

Si cette nouvelle suite converge, on note limk +

U (k) =+

i=0A(i) que lon appelle somme de la serie de

terme general A(k).

On note, si cette limite existe, exp ( A) =+

i=0

Ai

i! .

Le but de ce probleme est, pour quelques matrices A, de calculer, lorsque cest possible,+

i=0Ai et exp ( A) =

+

i=0

Ai

i! .

PARTIE I

Dans cette partie vous demontrerez des proprietes generales sur des limites, des suites et des series dematrices. Les matrices sont, sauf indication du contraire, dans M 3 (C ).

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1. Le terme general de A(k) est a i,j (k) et celui de B est bi,j .a. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si i, j lim

k + a i,j (k) = bi,j .

A-t-on le meme type de propriete pour les matrices colonnes ?b. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si pour toute matrice colonne 3 1 notee X ,

A(k)X converge vers BX .

c. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si pour toute matrice 3 3 notee C inversible,A(k)C converge vers BC .

d. Montrer que si limk +

A(k) = B et limk +

C (k) = D , alors limk +

(A(k) + C (k)) = B + D.

2. a. Montrer que AB 3 A B . En deduire que Ak 3k 1 A k pour k N .

b. Montrer que, si A est inversible, on a pour tout k N , Ak1 /k 1

3 A 1.

En deduire que si limk +

Ak1 /k = 0 alors A nest pas inversible.

3. a. Simplier lexpression ( I A) k

i=0Ai ou I designe la matrice unite de M 3 (C ).

b. Montrer que si limk +

Ak = 0, alors pour toute matrice colonne 3 1 notee X , on a limk +

AkX = 0.

En deduire que A I est inversible et exprimer son inverse comme somme dune serie.

En deduire lexistence de+

i=0Ai .

4. Montrer que limk +

A(k) = B si et seulement si limk +

P 1 A(k)P = P 1 BP avec P une matrice

inversible.En deduire que lim

k + Ak = B si et seulement si lim

k + P 1 AP k = P 1 BP , avec P une matrice

inversible.

5. Soit A telle que limk + Ak = B .a. Si B est inversible, montrer que A est egale a I .b. Montrer que les valeurs propres de A valent 1 ou ont un module strictement inferieur ` a 1.c. On suppose que A est diagonalisable et que A = I .

Montrer que si 1 / Sp (A) alors B est nulle,et que si 1 Sp (A) alors B est diagonalisable avec Sp ( B ) { 0, 1}.

6. Soit A quelconque.Montrer que si A = P BP 1 et si exp( B ) existe, alors exp ( A) existe et exp ( A) = P exp(B )P 1 .

PARTIE II

Dans cette partie nous nous interessons plus particulierement aux matrices triangulaires superieures oudiagonales.

On pose D =a 0 00 b 00 0 c

, M =a 0 00 b 10 0 b

et Q =a 1 00 a 10 0 a

avec a , b et c complexes.

Remarque : a , b et c ne sont pas forcement differents.

1. a. Calculez M 2 , M 3 , Q2 et Q3 .b. Determiner la forme generale de D k , M k et Qk avec k N .

2. a. Determiner les a, les b et les c pour que Dk , M k et Qk convergent.Calculer dans ce cas lim

k + D k , lim

k + M k et lim

k + Qk .

b. Si on suppose que limk +

D k = 0, calculer+

i=0D i .

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c. Si on suppose que limk +

M k = 0, calculer+

i=0M i .

d. Si on suppose que limk +

Qk = 0, calculer+

i=0Qi .

3. Montrer que exp ( D ), exp ( M ) et exp( Q) existent et determiner leur valeur.

PARTIE III

Dans cette partie nous nous interessons plus particulierement aux matrices nilpotentes. Dans toute cettepartie, sauf indication du contraire, on considere N une matrice carree 3 3 nilpotente non nulle `a coefficientsdans C .

1. a. Montrer que les quatre affirmations suivantes sont equivalentes :(i) N est nilpotente(ii) Sp( N ) = {0}(iii) N est semblable a une matrice triangulaire superieure de diagonale nulle(iiii) N 3 = 0.

Application : En deduire que lequation A2 =0 1 00 0 10 0 0

, dinconnue A une matrice carree 3 3

nadmet pas de solution.b. Montrer que det ( I N ) = 1.

En deduire que I N est inversible. Que vaut linverse de I N ?Quelles sont les valeurs propres de I N ? En deduire que I N nest pas diagonalisable.

c. Montrer que si N 2 = 0 et N nilpotente alors il existe X C 3 telle que X,NX,N 2 X est unebase de C 3 .En deduire que :A commute avec N A combinaison lineaire de I , N , et N 2 .En deduire que si A commute avec N alors det ( A N ) = det ( A).A-t-on encore det ( A N ) = det ( A) si A ne commute pas avec N ?

2. Soient N 1 et N 2 deux matrices nilpotentes telles que N 1 N 2 = N 2 N 1 .a. Montrer que N 1 N 2 et que N 1 + N 2 sont nilpotentes.b. En developpant ( N 1 + N 2 )3 et (N 1 + N 2 )4 , montrer que N 1 N 22 + N 21 N 2 = 0 et que N 21 N 22 = 0.c. Montrer que exp ( N 1 + N 2 ) = exp ( N 1 )exp( N 2 ).d. En deduire que si N est nilpotente alors exp( N ) est inversible ; vous donnerez linverse de exp ( N ).

3. Application : Dans cette question (et dans cette question seulement) on considere

N =1 1 1

1 1 11 1 0

.

a. Montrer que N est nilpotente.

b. Calculer+

i=0N i . En deduire linverse de I N .

c. Calculer exp( N ) et exp( N ).

PARTIE IV

Dans cette partie nous calculerons lexponentielle dune matrice dans deux cas particuliers.

1. On considere R =2 1 2

1 2 22 2 1

et D =3 0 00 3 00 0 3

.

a. Determiner les valeurs propres de R .

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SESSION 2001

CONCOURS COMMUNS ?OLYTECHWIQUES

PREUVE ~P~IFI~UJE -FILIRETSI

MATHMATIQUES 1

DURE : 4 heures

TSI004

Lusage des calculatrices programmables et alphanumriques est autoris sous rserve desdispositions dfinies dans la circulaire no 99-186 du 16.11.99.

Il est rappel aux candidats quil sera tenu compte de la prsentation et de la rdaction des copies.

Dans tout le problme, a dsigne un rel de lintervalle 10; [. Lorsque cela a un sens, on posCOS 1cotx=-=-sin x tanx *

Prliminaires

1 : Soitf la fonction 2n-priodique qui concide sur 1-7~; z] avec x H COS(~x). Montrer quelle estdveloppable en srie de Fourier, puis donner son dveloppement (on pourra linariser le produicospcosq).

2 : En considrant f(z),montrer que la srie 21

k=, k2 -aconverge, et que :

+-c

1 1=--%ot(an).k=, k2-a2 2a2 2a

Pourtant, linstruction :sum(ll(kA2-aA2),k=l..infinity).

Le logiciel de calcul formel MAPLE retourne la formule apparemment complique :$JY(l+a)-Y(l-a)).

Seules des options spcifiques de MAPLE permettraient de transformer cette formule. Oobserve des phnomnes analogues sur MATHEMATICA.

Lobjet de ce problme est dclaircir ce comportement inattendu. Aprs ltude dun endomorphismsur lespace des suites, la fonction Y est dfinie en partie II. Les parties 1, II et III soindpendantes.

T l S V P


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1 Lourateur diffrence A

On dsigne par E le R-espace vectoriel des suites relles indexes par N*. On notera u, le termegnral dune suite u = (un).>, de E. A toute suite u de E, on associe la suite A(U) dfinie par :

Vn 2 1, [A(U)]~= un+] - u,, .Par exemple, pour la suite arithmtique (A,),,, = (n),, , on a [A(A)].= A,,+] - A, = (n + l)- IILa suite A( A) est ici la suite constante de valeur 1.

1 : Un autre exemple : On dfinit la suite dite harmonique H par H, = 2: pour tout y12 1.k=I

Dterminer A(H) .

2 : a) Montrer que A dfinit un endomorphisme de E.b) Soient u une suite de E et a un rel. Montrer quil existe une unique suite U de E satisfaisant

A(U)=uetUt=a

et donner une expression de U,, en fonction de a et de termes successifs de la suite u.

c) En utilisant ce rsultat, prciser ce que sont respectivement Im( A ) et Ker( A ), et en dduique la dimension de E est infinie.

3 : Soient u et v deux suites de E. Montrer la formule, dite de sommation par parties, valable potous p et 4 dans N* avec 4 > p :

z&g, vk= uqvqupvp]- &+,[A(v)Ix .k=p k=p

4 : Application : Calculer la somme c H, en fonction de n et de H, pour n 2 2.k=l

II Les fonctions r et Y dEuler

1 : Justifier que T(X) = jO*e+Pdt existe et que T(X) > 0 pour tout x > 0 .

2 : Montrer, laide dune intgration par parties, la relation valable pour tout rel x > 0 :r(x + 1)= s(x).

En dduire que I(n) = (n - 1) pour tout n E N*.

3:a)Soientaetbdeuxrelsavec O 0 et tout x E [a; b] :

0 I tX-* I max(P-l,tb-l).

b) En dduire que r est de classe C2, dabord sur tout segment [a; b] , puis sur RT, et donner leexpressions intgrales de r et Y .


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3

r(x)4 : On pose Y(x) = -r(x) pour tout x > 0. Vrifier que, pour tout x > 0 :

ln(T(x + 1)) - ln(J?(x)) = In x .

Quelle relation diffrentielle trs simple relie les applications In(r) et Y sur IL?.: ? En dduque, pour tout x > 0 :

Y(x+l)-Y(x)=?.

Dterminer alors A((Y(n +(Y))~>,) et A((Y(n - (Y)),~,).

III Formule des comdments

1 : Montrer que pour tout x E I@l[, lintgrale Z(x) = f tan2- 13d6 converge. On admet que

valeur est n2sin(7r x)

2x l

2 : Soit x donn dans ]O;l[. On dfinit la fonction de deux variables I&v)= f(1

e-(U2+V2)o

(u, v) appartient au quart de plan u > Oet v > 0. On pose : F(a,b) = IIc(a,6)h(u, v)dudv

l 0 < a < b et C(a,b) est le carr limit par les quatre droites dquations cartsiennes : u = a u=b, v=a et v=b.

0 lcp et O


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Les calculatrices sont autorises

Cette preuve comporte trois exercices totalement indpendants entre eux et qui peuvent tre

traits dans un ordre quelconque.

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI ____________________

MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance la clart, la prcision et la concision dela rdaction. Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre une erreur dnonc, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesquil a t amen prendre.

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C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S

SESSION 2002 TSIM104


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CONCOURS COMMUNS POLYTECHHNlQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Duree : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance ` a la clarte, ` a la precision et ` a la concision de la redaction.Si un candidat est amene ` a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur denonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a ete amene ` a prendre.

Notations du problemeSoit n un entier naturel non nul, M n (R ) lalgebre des matrices carrees dordre n a coefficients reels.Soit A = [a i,j ]1 i n

1 j nun element de M n (R ).

i indique le numero de la ligne de a i,j . j indique le numero de la colonne de a i,j .

On appelle trace de A et on note tr ( A) le nombre reel tr ( A) =n

i=1a i,i .

tA designe la transposee de la matrice A.GL n (R ) est lensemble des matrices carrees inversibles de M n (R ).I n designe la matrice unite dordre n .S n (R ) est lensemble des matrices symetriques.An (R ) est lensemble des matrices antisymetriques, cest-` a-dire telles que tA = A .

PARTIE I

1) Montrer que lapplication tr est une application lineaire.2) Soit A et B dans M n (R ).

Est-ce que lon a tr ( AB ) = tr ( A) t r ( B ) ?

Montrer que tr ( AB ) = tr ( BA ).3) Soit P dans GL n (R ) et A dans M n (R ). Montrer que tr P 1AP = tr ( A).4) Soit A et B , 2 matrices semblables.

Que peut-on dire de leurs polyn omes caracteristiques ?Que represente tr ( A) relativcrnent aux coefficients du polyn ome caracteristique P A X de A ?Retrouver ainsi le resultat de la question 3).

5) Existe-t-il des matrices A et B dans M n (R ) telles que AB BA = 2 I n ?6) Soit A A n (R ). Montrer que tr ( A) = 0.

PARTIE II

Soit A et B dans M n (R ). On denit A |B = tr tAB .

1


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1) Montrer que lapplication M n (R ) M n (R ) R , (A, B ) A |B est un produit scalaire sur lespacevectoriel M n (R ).On considerera lespace vectoriel euclidien ( M n (R ), | ) pour toute la suite et A = A |A lanorme associee.On veriera que A 2 =

n

i=1

n

j =1

a 2i,j .

2) Montrer que S n (R ) et An (R ) sont deux sous-espaces vectoriels supplementaires de M n (R ).3) Soit S S n (R ) et A A n (R ). Montrer que S |A = 0.

En deduire que An (R ) = ( S n (R )) est le supplementaire orthogonal de S n (R ) dans M n (R ).4) Soit A M n (R ) et A = A + A lunique decomposition de A selon la somme directe S n (R ) An (R ).

Justier que M, M S n (R ), A M 2 A A 2.En deduire que

inf M S n (R )

n

i=1

n

j =1(a i,j m i,j )2 =

tA A2

2

.

5) Soit f la fonction de R 3 vers R denie par f (x,y,z ) = (1 x )2 + (4 z)2 + (2 y)2 + (3 y)2.Montrer que f a un minimum absolu que lon calculera. On precisera en quel point ce minimumest atteint.

6) Soit A, B , C dans M n (R ) telles que tAA = A tA et tBB = B tB .Calculer AC CB 2 et tAC C tB 2.A laide de I.2) verier que

tAC C tB 2 AC CB 2 = 0.En deduire que ( AC = C B ) tAC = C tB .

PARTIE III

Lobjectif de cette partie est detablir la propriete suivante par recurrence sur n .A (n ) : soit {S 1, S 2, . . . , S p} un ensemble de p matrices carrees dordre n symetriques permutant 2 ` a 2 :

(i, j ) { 1, . . . , p }2 , S i S j = S j S i .Alors il existe une matrice orthogonale dordre n telle que

i { 1, . . . , p } , 1S i soit une matrice diagonale.1) Que peut-on dire de la propriete pour n = 1 ?2) On suppose que n est superieur ou egal ` a 2 et que la propriete est vraie jusquau rang ( n 1). Les

matrices symetriques S 1, . . ., S p dordre n permutent 2 `a 2.2.1) Que peut-on dire si toutes les matrices S 1, . . ., S p sont diagonales?2.2) On suppose dans toute la suite que S 1 nest pas une matrice diagonale. Justier lexistence

dun entier r , dun reel , dune matrice diagonale dordre n r et dune matrice orthogonale

1 dordre n tels que : 1 r n 1, 11 S 11 =I r 00 ou 0 designe des blocs nuls et

ou ne gure pas sur la diagonale de .

2.3) Pour 1 i p, on ecrit la matrice 11 S i 1 =A i B iD i C i

sous forme de 4 blocs ou Ai est

carre dordre r et C i carre dordre n r .Montrer que D i = tB i et que Ai et C i sont symetriques.

2.4) Pour 1 i p, montrer que S 1S i = S i S 1 B i = B i C i = C i

En deduire que B i et D i sont des blocs nuls.2.5) Montrer que (i, j ) { 1, . . . , p }2 , S i S j = S j S i

Ai A j = A j A iC i C j = C j C i

2


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2.6) En appliquant lhypothese de recurrence ` a {A1, . . . , A p} et a {C 1, . . . , C p} terminer la demonstration.3) On considere les deux ensembles de matrices dordre deux {A1, A 2, A 3} et {C 1, C 2, C 3} denis par :

A1 = 14

34 3

434

A2 = 54

34 3

474

A3 =0 00 0

C 1 =

12

12

12 12 C 2 =

32

12

12 32 C 3 =

32

12

12 323.1) Verier que ces deux ensembles verient lhypothese gurant dans A (n ) au debut de la partie

III et donner un exemple de matrices orthogonales 2 et 2 telles que 12 Ai 2 et (2)1C i 2soient des matrices diagonales ` a preciser.

3.2) Soit les matrices dordre 4 ecrites par blocs S i =A i 00 C i

, 1 i 3.

Donner une base orthonormee de R 4 formee de vecteurs propres communs ` a S 1, S 2, S 3 etindiquer les valeurs propres correspondantes pour chaque matrice.

Fin de lenonce

3


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MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________



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TSIM104SESSION 2003


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PREUVE SPCIFIQUE FILIRE TSI SESSION 2003 ______________________

MATHMATIQUES 1Dure : 4 heures


NB. : Le candidat attachera la plus grande importance la clart, la prcision et la concision de lardaction.Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre une erreur dnonc, il le signalera sur sacopie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a t amen

prendre.

Les cinq parties du problme sont indpendantes

! dsignant un rel non nul, on note f ! la fonction dfinie sur R par f ! (x) = cos( ! x).

PARTIE I

1. Montrer quon peut se limiter ! " 0 (ce quon fera dans toute la suite du problme).

2. Vrifier que f ! est priodique ; on notera T

! une priode strictement positive.

3. De quelle quation diffrentielle linaire, du second ordre, coefficients rels constants,homogne, f ! est-elle solution ? Rsoudre cette quation diffrentielle.

4. On note respectivement E et d la partie entire et la partie dcimale de ! .Cest--dire ! = E + d, avec E entier naturel et 0 # d $ 1.Dterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0, %] de f ! (x) = 0.

PARTIE II

On pose f ! ,& = f ! + f &, o ! et & sont des rels strictement positifs distincts.

1. Montrer que f ! ,& est priodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et ptels que : k ! = p& (on pourra envisager x = 0). On notera T! ,& une priode de f ! ,&.

2. Relier alors T! ,& T! et T&. 3. ! et & tant nouveau quelconques (mais toujours rels strictement positifs distincts), montrer

la relation : '' !" ,f + ! 2 f ! ,& = (! 2 - &2) f &.

4. En dduire que f ! ,& est solution de lquation (E) : y(4)

+ (!2

+ &2

)y!!

+ !2

&2

y = 0.

5. Vrifier que f ! est solution de (E). En dduire que f & , '"f , '!f sont galement solutions de (E).


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PARTIE V

On note F ! la fonction de priode 2 %, telle que F! (x) = f ! (x) sur [- %, +%].

1. Comparer Fk et f k si k 1 N* .Dans toute la suite, on suppose que ! nest pas entier.

2. Reprsenter sommairement31F et

34F pour x 1 [0, 2 %].

3. Montrer que F! est continue sur R , mais non drivable aux points dabscisses (2p+1) %.

4. On note nouveau E et d les parties entire et dcimale de ! .Discuter suivant E et d les signes de F! (%) et de / 0'g"F (%), drive gauche de F! en %.

5. Dterminer les coefficients de Fourier de F! (quon notera pour simplifier an(! ) et bn(! )). Ecrire la srie de Fourier de F! et prciser sa convergence.

6. Quelle est la limite de an(! ) quand ! tend vers un entier naturel non nul k ?

7. Dduire du rsultat obtenu en 5 un dveloppement en srie de cot( ! %).

____________Fin de lnonc


17/108Tournez la page S. V.P.

Les calculatrices sont autorises.****


prendre.

Objet : La transformation de Fourier est un outil employ en sciences de lingnieur. En plus dtrelinaire, elle vrifie de nombreuses proprits. Nous nous proposons den tablir quelques-unes ennous limitant un espace vectoriel particulier.

I. - Prliminaires

On note C (R, C) lespace vectoriel sur C des fonctions dfinies, continues, infiniment drivables deR dans C.

On note P le sous-espace vectoriel de C (R, C) des fonctions f de la forme f (t ) = P( t ) 2e t o P estun polynme coefficients complexes.

Pour tout n entier naturel, on note P n , le sous-espace vectoriel de P des fonctions f de la forme

f (t ) = P( t ) 2e t o P est un polynme coefficients complexes de degr infrieur ou gal n.

I-1) Quelques endomorphismes qui nous seront utiles

Soient T, D, S trois applications qui, une fonction f de C (R, C) associent respectivement lesfonctions suivantes :

T( f ) = g avec pour tout t rel g (t ) = t f (t )D( f ) = f S( f ) = h avec pour tout t rel h(t ) = f (t )

Montrer que les applications T, D, S dfinissent chacune un endomorphisme de C (R, C).

Montrer que S est un automorphisme. Donner S 1.

PREUVE SPCIFIQUE FILIRE TSI SESSION 2004


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I-2) tude des intgrales utilisesa) Justifier lexistence de t t deJ 2+ = .De nombreuses mthodes permettent dobtenir J = . On ladmettra.

En dduire la valeur de : t t de 2+

.

b) Pour toute fonction f de P , justifier la convergence absolue de t t f d)(+

.

c) Pour tout u rel, pour toute fonction f de P , justifier la convergence absolue de t t f ut d)e( 2i+

.

I-3) Dfinition de la transformation de Fourier (note ici)

Soit lapplication qui, tout f de P associe si elle existe la fonction ( f ) = de R dans C vrifiant :

pour tout u rel (u) = t t f ut d)e( 2i+

.

Vrifier que est bien dfinie sur P , puis montrer que est une application linaire.

II. Deux formules pour lapplication linaire

On conservera par la suite les notations suivantes :

f un lment de P , dfini par : f (t ) = P( t ) e 2t pour tout t rel.

Son image par : = ( f ) dfinie par : (u) = t t f ut d)e( 2i-+

pour tout u rel.

II-1) Premire formuleJustifier la drivabilit de , calculer (u) et montrer que dans P on a :

= 2 i (g) avec g (t ) = t f (t )que lon peut crire de faon plus formelle

D o = 2 i ( o T) formule que lon notera (1)

En remarquant que est limage dune fonction de P , en dduire que est infiniment drivable etest donc un lment de C (R, C).

II-2) Deuxime formulePar une intgration par parties, montrer que dans P on a :

( f ) = 1 avec 1(u) = +

' f (t ) ut ut = 2ide 2i (u)

que lon peut crire de faon plus formelle : o D = 2 i ( T o ) formule que lon notera (2)



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3

Tournez la page S.V.P.

III. est un endomorphisme

III-1) Pour tout k entier naturel, on note bk la fonction qui tout t rel associe bk (t ) = t k e 2t .Pour tout n entier naturel, on considre la famille ( ) nk k b 0 , justifier que celle-ci constitue une basede P n. On pose (bk ) = Bk .

III-2) Donner lensemble SG des solutions de lquation diffrentielle (E) : f (t ) + 2 t f (t ) = 0 si f est une fonction de R dans C de classe C 1.

III-3) Vrifier que b0 est un lment de SG , noter la relation diffrentielle qui en dcoule en

utilisant les endomorphismes D et T, en dduire une relation diffrentielle vrifie par B0, puismontrer lexistence dune constante complexe telle que, pour tout u rel, B0(u) = e 2u .Exprimer B0 (0) sous forme dune intgrale et en dduire la valeur de .

III-4) Pour tout k entier naturel non nul, on a la relation bk = T ( bk 1). Calculer B1, B2, B3, puismontrer par rcurrence que Bk = (bk ) est un lment de P k . En dduire que pour tout n entiernaturel non nul, si f est un lment de P n , il en est de mme de ( f ). Montrer alors que dfinit unendomorphisme de P .

IV. tude en dimension 4Soit n un entier naturel.

On note S n lendomorphisme de P n tel que S n( f ) = S ( f ) et n lendomorphisme de P n tel que n ( f ) = ( f ).

IV-1) Ecrire les matrices de 3 et S 3 dans la base ( b0, b1, b2, b3) de P 3.

IV-2) Expliciter 3 o 3 en fonction de S 3. En dduire que 3 est inversible et dterminer son inverse.

V. est bijectif. Quel est son inverse ?

Pour tout endomorphisme A, on note A2 = A o A, et pour tout m entier naturel non nul Am = A o Am 1 = Am 1 o A avec la convention A0 = I qui reprsente lapplication identit sur P .

Pour tout j entier naturel, on note b0( j) la jime drive de b0, on a donc b0

( j) = D j (b0)(on posera b 0

(0) = b 0 ).



20/108

4

V-1) Pour tout j entier naturel non nul, exprimer (b0( j)) en fonction de b0 et de T, puis en fonctionde b j.

V-2) Pour tout k entier naturel non nul, on a la relation bk = T( bk 1) = T k (b0) ; exprimer (bk ) enfonction de b0 et de D, puis en fonction de b0

(k ).

V-3) Exprimer alors 2(bk ). En dduire que est bijectif, justifier les deux formules suivantes : o = S et 1 = S o = o S.

Cette dernire relation nous permettra par la suite de permuter S et .

V-4) Montrer que 1

= 3

.

VI. Valeurs propres et vecteurs propres de 3

VI-1) Dterminer les valeurs propres de lendomorphisme 3 ; cet endomorphisme est-ildiagonalisable ?

VI-2)Dterminer une base de P 3 forme de vecteurs propres de 3.

VI-3) Soit la fonction f de R dans R dfinie pour tout t rel par : f (t ) = P( t ) e 2t , avec

P(t ) = 1 + t 2

+ t 3

.Dcomposer f dans la base trouve la question prcdente.

____________Fin de lnonc



21/108





MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________



______________________________________________________________________________


SESSION 200 5 TSIM104


22/108Tournez la page S.V.P.

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance la clart, la prcision et laconcision de la rdaction.

Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre un erreur dnonc, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesquil a t amen prendre.

****

Exercice I

Dans tout lexercice, n dsigne un entier naturel.

1. On considre la srie de terme gnral ( )sin 2 3 = n

nu .

1.1. Montrer quelle est termes positifs.

1.2. Etudier sa convergence.

2. On pose ( ) ( )2 3 2 3= + +n nn A ; montrer que n A est entier.3. En dduire la nature de la srie de terme gnral ( )sin 2 3 = +

n

nv .

4. Quel est le rayon de convergence R de la srie de terme gnral un xn ; prciser les cas R= .



23/108

2

Exercice II

On rappelle que lintgrale( )

0

sin+= u I duu est convergente et vaut 2 .1. Calculer lintgrale ( ) ( )

0

sin+= au I a duu o a est un rel2.

2.1. Justifier la convergence de lintgrale( )2

20

sin+= u J duu 2.2. Calculer J .

3. On considre ( ) ( ) ( )20sin .sin

,+= au bu K a b duu , o a et b sont des rels.

3.1. Exprimer K(a,b) laide de I(a+b) et I(a-b).

3.2. En dduire les valeurs de K(a,b) en distinguant les diffrentes rgions du plan (a,b ).

3.3. Donner une expression de K(a,b) regroupant les diffrents cas.

Problme

Toutes les fonctions considres dans les parties I, II et III de ce problme appartiennent lensemble C 0 des fonctions continues de R dans R .

Partie I

On considre lquation1/ 2

(E ) dinconnue f lment de C 0:

x , ( ) ( ) ( ) ( )1

1

12

+

+ = x x t f t dt g x , o g est une fonction donne de C 0.

1. Soit f solution de lquation 1/ 2(E )

1.1 Monter que x , ( ) ( ) f x g x ax b= + + , o a et b sont des rels qui sexpriment par desintgrales dpendant de f .

1.2. Ecrire en fonction de g le systme dquations vrifi par a et b.

2. En dduire a et b, puis f dans le cas o ( ) g x x= .



24/108

3


Partie II

On considre lquation (E ) dinconnue f lment de C0 :

x , ( ) ( ) ( ) ( )1

1

+

+ = f x x t f t dt g x o g est un lment donn de C 0 et un rel.

1. En reprenant le procd de la partie I, montrer que, sauf pour deux valeurs particulires 1 et 2 du paramtre , ( ) E admet une solution unique pour toute fonction g .

2. A quelle condition sur g lquation ( )1 E admet-elle des solutions ?Mme question pour (

2 E ).

3. Calculer lintgrale ( )21

11 3

+

t dt .

4. En dduire dans le cas ( )1 2resp.= = un exemple de fonction ( )1 2resp. g g , nonidentiquement nulle, vrifiant la condition trouve la question 2 de la partie II.

5. On choisit pour g la fonction nulle.

5.1. Quelle est la solution de ( E ) pour distinct de 1 et 2 ?

5.2. Exprimer f 1 et f 2, solutions respectives de ( )1 E et ( )2 E .5.3. Que dire de ( ) ( )1 2

1

1

+

f t f t dt ?

Partie III

On note K lapplication qui toute fonction h de C 0 associe la fonction Kh dfinie sur par :

[ ]( ) ( ) ( )1

1,

+

= Kh x k x t h t dt , o k est une fonction continue sur R x R , valeurs relles.

1. Montrer que K est linaire et que Kh est continue sur R .

2. Comment lquation ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1: ,

+ = E f x k x t f t dt g x scrit-elle ?

3. On note [ ]2 = K h K Kh et 1+ =

n n K h K K h . Montrer formellement, cest--dire sans

considration de convergence, que1

= + nn

f g K g est solution de lquation (E).



25/108

4

4. On pose ( ) ( )1

, 2k x t x t = + et ( ) g x x= .4.1. Dterminer Kg puis Kg .

4.2. Exprimer par rcurrence n K g , pour n entier naturel non nul.

5. En dduire f par application de la question 3, et retrouver ainsi le rsultat de la question I.3.

Partie IV

Soit un intervalle ferm born [ ] , de R , avec < . Toutes les fonctions considresdans cette partie, appartiennent lensemble C 0 ( ) des fonctions continues sur , valeursdans .

On considre lapplication qui, au couple ( )G F , de fonctions de C 0 ( ) , fait correspondre le rel

( ) ( )t t dt F G .Cette application dfinit un produit scalaire , not ,< >. On notera la norme associe.

1. On utilise les notations de la partie III, et on pose ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xbt at b xat xk +=, , o les fonctions a et b sont orthogonales entre elles : 0a,b< >= , et normes : 1== ba .

On pose ba +=1 et ba =2 . Vrifier que K 1 = 1 et 2 K = 2 . En dduire que 1 et 1sont valeurs propres de K . Que peut- on dire alors de 1 et 2 ?

On admettra que 1 et 1 sont les seules valeurs propres non nulles de K , et que les espaces propresassocis sont de dimension 1, engendrs respectivement par 1 et 2 .

2. On considre lquation dinconnue f lment de C 0 ( ) : = f Kf g , o g est une fonctiondonne de C 0 ( ) et un rel non nul. On suppose quelle admet au moins une solution f 0.

2.1. Montrer que si 1 , cette solution est unique.2.2. Ecrire lensemble des solutions si 1= .

3 . h tant une fonction donne, montrer que Kh sexprime comme combinaison linaire des

fonctions 1 et 2 .

4. Exprimer h K n , pour n entier naturel non nul.



26/108

5


5. En dduire que, pour 0 1<


27/108





MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________



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SESSION 200 6


28/108


29/1082/7

Prliminaire

On dtermine dans ce prliminaire trois rsultats qui seront utiles pour les questions 6 et 7 de la partie I.

Pour la question P.1 , le dtail des calculs devra figurer sur la copie. Pour les questions P.2 et P.3 ,

on pourra faire usage de la calculatrice et ne mentionner que les rsultats intermdiaires utiles.

On dfinit les trois matrices A1, A2 et A3 par :

1

4 0 14

3 16

2 27

1 02

A

=

, 2

3 2 6

2 3 7

2 2 5

i i

A i

i

=

(o 2 1i = ) et 3

1 11

2 23 3

12 2

1 1 1

A

=

.

P.1 Donner les valeurs propres de A1 et justifier que A1 est diagonalisable.

P.2 Donner les valeurs propres de A2 et justifier que A2 est diagonalisable.

P.3 Justifier que A3 est diagonalisable, et donner une matrice inversible P , une matricediagonale D telles que 1 3 P A P D

= . Dterminer 1 P .

Partie I

Gnralits sur les suites matricielles. Etude du cas diagonalisable

1 Soient S et T deux matrices de ( ),n p CM et soient ( )q qV N et ( )q qW N , deux suites de matrices de( ),n p CM convergentes respectivement vers les matrices S et T , et soit C . Prouver alors que la

suite ( )q q qV W + N converge vers S +T.

2 Soit r un entier naturel non nul et :

( )q

qV

N

une suite de matrices de ( ),n p CM , convergente vers S ; ( )q qW N une suite de matrices de ( ), p r CM , convergente vers T .

Prouver alors que la suite ( )q q qV W N est convergente vers ST .

3 Soit B une matrice de ( )n CM . Dduire du I.2 que si ( )q q A N est une suite de matrices de( )n CM , convergente vers B, et si P est une matrice inversible dordre n, alors la suite

( )1 q q P A P

N converge vers 1 P BP .

Prouver galement que si X et Y sont deux matrices colonnes dordre n, alors la suite de matricescolonnes ( )q q A X Y + N converge vers BX Y + .



30/1083/7

4 On suppose, dans cette question 4 seulement, que A est une matrice carre diagonale dordre n,de coefficients diagonaux 1,, n (qui peuvent tre complexes) :

( )

( )

1 0

0 n

A

=

.

Pour q N, q A dsigne la q-ime puissance de A :

0

1

I

, .n

q q

A

q A A A+ = = N

.

On sintresse alors la suite ( )q q A N des puissances de A.

4.1 Prouver que si pour tout 1,i n on a 1i < , alors la suite ( )q q A N converge. Quelle estsa limite ?

4.2 Prouver que sil existe 1,i n tel que 1i > , alors la suite ( )q q A N ne converge pas.

4.3 Soit un nombre complexe de module 1 tel que la suite de nombres complexes ( )q q N converge vers un nombre complexe z .

4.3.1 Justifier que z 0.4.3.2 En remarquant que la suite ( )1q q

+N

converge aussi vers z , montrer que 1 = .

4.3.3 - En dduire que la suite de matrices ( )q q A N converge, si et seulement si : ( )1 1 ou 1, , i ii n < = .

5 Montrer que si ( )n A CM est une matrice carre diagonalisable, dont chaque valeur propre

vrifie 1 < , alors la suite ( )q

q A N converge vers la matrice nulle.

6 Dterminer si les suites de matrices ( )1q q A N , ( )2q

q A

N et ( )3q q A N convergent et donner leurs

limites ventuelles (les Ai sont les trois matrices dfinies dans la partie prliminaire). On pourra faire usage de la calculatrice.

7 Les rsultats de cette question 7 ne sont pas utiliss dans la suite du problme .

7.1 Soit une matrice carre A diagonale dordre n, de coefficients diagonaux 1,, n.

Montrer que la suite de matrices ( )q qS N dfinie par : 01!

qk

qk

S Ak == a une limite, note( )

exp A , quon dterminera.



31/108


32/1085/7

On suppose les segments assez petits pour considrer la temprature comme constante sur chacundentre eux un instant donn. On appelle ( ), F k t la temprature linstant t 0 du segmentnumrot k avec 0 1,k n + . On fait les hypothses suivantes :

Aprs un intervalle de temps > 0 (caractristique de la longueur des segments et de la matire dela tige) la temprature linstant t +, dun segment autre que les deux segments extrmes, a pourtemprature la moyenne des tempratures linstant t des deux segments adjacents :

( ) ( ) ( )11 1 12

, , , , , ,t k n F k t F k t F k t + + = + + R .

Le segment numrot 0 est maintenu la temprature de 20 C et le segment numrot n+1 estmaintenu la temprature de 100 C :

( ) ( )( )0 20 et 1 100, , ,t F t F n t + = + =R .

On suppose enfin qu linstant 0 le segment numrot n+1 est la temprature de 100 C et quetous les autres sont la temprature de 20 C :

( )( )

0 0 20

1 0 100

, , ,

,

k n F k

F n

=+ =

.

1 Donner une matrice carre A dordre n, et une matrice colonne ( )1,n B CM tels que :

( )

( )

( )

( )

1 1, ,

,

, ,

F t F t

t A B

F n t F n t

+ + = +

+

R .

2 Pour q N, on dfinit la matrice colonne X q par :

( )

( )

1,

,q

F q

X

F n q

=

.

Justifier alors que pour tout entier naturel q on a : 1q q X AX B+ = + .

3 On suppose n = 4 dans cette question.

3.1 Ecrire dans lun des langages de calcul formel du programme (MAPLE ouMATHEMATICA par exemple) une procdure permettant de calculer X q en fonction deq. On indiquera le langage utilis .

3.2 Donner, laide de la calculatrice, une valeur numrique de X 10. On donnera le rsultatavec une prcision de 10 -1 sur chaque coordonne.

4 Soit R . On note U la matrice colonne :



33/1086/7

( )( )

( )

2

sin

sin

sin

U

n

=

.

4.1 Prouver que : ( )0 0sinU = = .On supposera par la suite que ( ) 0sin .

4.2 Montrer que si est un rel tel que AU U = , alors ( )cos = .

4.3 Rciproquement, donner les valeurs de ] [0, pour lesquelles ( )cos AU U = .

4.4 En dduire que A est diagonalisable et donner une matrice inversible ( )GL n P R et une

matrice diagonale ( )n D RM , telles que1

P AP D

= .Justifier que les valeurs propres de A appartiennent ]-1,1[.

5 A laide de la partie II, justifier quil existe une unique matrice colonne S telle que S = AS+B , puis que lim qq X S = . Quelle interprtation physique pouvez-vous donner de S ?

6 Dterminer explicitement S . Interprtez le rsultat.

Partie IV

Etude de la suite des puissances dune matrice relle

A dsigne, pour toute la suite, une matrice carre relle dordre n. On appelle ( E 1,, E n) la base

canonique de ( )1,n RM . On munit ( )1,n RM de son produit scalaire usuel ; on note 21

n

ii

X x=

= la

norme de la matrice colonne1

n

x

X

x

=

et ( ) X Y le produit scalaire des matrices colonnes X et Y .

On notera que ( ) t X Y XY = ( t X dsigne la transpose de X ).1 Montrer que la suite ( )q q A N converge si et seulement si pour tout 1,k n , la suite ( )

qk q

A E N

de matrices colonnes converge.On pourra introduire les colonnes ( ) ( )1 ,..., nC q C q de la matrice Aq.

2 En dduire que la suite ( )q q A N converge si et seulement si pour toute matrice colonne( )1,n X RM la suite de matrices colonnes ( )q

q

A X N

converge.

3 Dmontrer que :



34/1087/7

3.1 Sil existe [ [0 1,k tel que ( )1, ,n X AX k X RM , alors la suite ( )q q A N convergevers la matrice nulle.On pourra tablir que ( )1, , , q qn X q A X k X R NM .

3.2 Sil existe] [1,k + tel que

( )1,,

n X AX k X RM , alors la suite

( )q

q A

N ne

converge pas.

4 Pour toute matrice colonne ( )1,n X RM , on pose ( )2

X AX = . Soit g lendomorphismeassoci t AA . Montrer que :

( ) ( ) ( )( )1, , t t n X X X AAX X g X = =RM .

5 Justifier que t AA est semblable une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux serontnots 1,, n.

6 Prouver quil existe une base orthonormale B =(u1,, un) de ( )1,n RM de sorte que pour toutvecteur X de coordonnes ( y1,, yn) dans B on ait :

( ) 21

n

i ii

X y=

= .En dduire que les i sont tous positifs ou nuls.

7 On pose dsormais 0 1min ii nk = et 1

1max i

i nk

= . Prouver laide de la question 3 que :

7.1 Si k 1 < 1, alors la suite ( )q

q A N converge vers la matrice nulle.

7.2 Si k 0 > 1, alors ( )q q A N ne converge pas.

8 On reprend la suite ( )q q X N dfinie dans la partie II, et on suppose que k 1 < 1. Montrer que 1

nest pas valeur propre de A et que pour tout entier q on a : ( )1 0q

q X S k X S .

9 On reprend les notations de la partie III, avec n = 4. Dterminer laide de la majoration ci-dessus un entier q0 tel que pour q q0 on ait 1q X S . En dduire que pour q q0 et pour tout

1,k n on a ( )1 1,k k S F k q S + (les S k dsignent les coordonnes de S ). Interprter cersultat.

Fin de lnonc



35/108





MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________



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36/108

1/5


NB. : Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre une erreur dnonc, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesquil est amen prendre.

Notations : R dsigne lensemble des nombres rels. C dsigne lensemble des nombres complexes. ( )IC ,K dsigne lensemble des fonctions continues de I dans K o K dsigneR ou C . ( )Ik C ,K dsigne lensemble des fonctions de classek C de I dans K o K dsigneR ou C .

[ ]1n XR dsigne lensemble des polynmes de degr infrieur ou gal 1n , coefficientsrels.

Convention : On convient didentifier les fonctions polynmes au polynmes qui leur correspond.

Partie 1 : Quelques rsultats prliminaires

1) On dfinit les fonctions et de [1, +[ dans R respectivement par :

1 111

n + = + x

(x) x x

et 1 211 1

n + = + + x

(x) . x x

1.1) tudier les variations des fonctions et , prciser leurs limites en +.En dduire le signe de chacune des fonctions sur [1, +[.

1.2) On considre un repre orthonormal( )O;i , j

, du plan.Reprsenter graphiquement les fonctions et dans ce repre.



37/108

2/5

2) On dfinit les suites( )n *nu N et ( )n *nv N par :

*n N , ( )1

1 1n

n p

u n p=

= n et1

1 1 1n

n p

v (n ). p=

= + n

Montrer que ces suites sont adjacentes.On note leur limite commune, le rel est appel constante dEuler, quon ne cherchera pas calculer.

3) Soitn un entier naturel, on dfinit la fonction f de ]0, 1] dansR par :1 (1- )=

n- x f (x)

x

3.1) Montrer que la fonction f est intgrable sur ]0, 1].

3.2) Montrer que la fonction f est une fonction polynme lment de [ ]1n X .R Donner lexpression de f dans la base( )2 11 n , , , ...,

3.3) Montrer que la famille ( ) ( )( )11 1 1 1 n, X , X ,..., X est une base de [ ]1n X .R Donner lexpression de f dans cette base.

3.4) Calculer de deux faons diffrentes lintgrale1

0d= f (t) t.

Pourn entier naturel et p entier compris entre 0 et n, on note :( )

n n! . p p! n p ! =

Dduire des deux expressions trouves pour I que :

1

1 1

1 p-

n n

p p

n

p.

p p= =

=

(-1)

Partie 2 : Transforme de Laplace

Soit E lensemble des fonctions f lment deC (]0, +[, C ), telles que :

Pour tout rela strictement positif, f est intgrable sur lintervalle ]0,a].

A chaque fonction f on peut associer +* ,R +

* ,R et n N tels que :

[ ,+ [, x n f (x) x .



38/108

3/5

4) Soit x et a deux rels strictement positifs, calculer ( )1 na

xt dt.

Montrer que la fonction logarithme est lment de E .

5) Montrer que lensemble E est unC

- espace vectoriel.6) Soit x un rel strictement positif.Montrer que, si f est lment de E , alors la fonction x dfinie de ]0,+[ dans C par

=(t) (t) xt x f e , est intgrable sur ]0, +[.

On dfinit alors et on noteL ( f ) la transforme de Laplace dun lment f de E par :

]0,+ [, x 0

( )( ) ( ) .+

= x f x e d t f t t L 7) Montrer que lapplicationL dfinie sur E est une application linaire.

8) Si f est lment de ( )1 [0,+ [,C C tel que f soit lment de E , calculerL ( f ) en fonction deL ( f ) et de 0 f ( ) .

9) Soitk un entier naturel, montrer quek f dfinie de +*R dans R par = k k f (t ) t , est lment de E .

Soit un rel positif, on pose0

=

dk xt k I t e t.

Dterminer une relation de rcurrence entre1+k I et k I .En dduire la transforme de Laplace dek f .

10) Soit un rel et f lapplication dfinie de ]0, +[ dans C pari= t f (t ) e .

10.1) Montrer que f est lment de E .

10.2) Calculer la transforme de Laplace de f .

10.3) En dduire les transformes de Laplace des fonctions dfinies de ]0,+[ dans R par :

cos cos=(t) ( t ) et sin sin=(t) ( t).

Partie 3 : Transforme de Laplace de la fonction de Bessel

On dfinit la fonction de Bessel deR

dansR

par :1

0cos( cos d

= J (t ) t ) .



39/108

4/5

11) Montrer que J est lment de ( )2C ,R R , exprimer J et J laide dune intgrale.

12) Montrer que :

t ,R 20

cos cos d =

t

J (t ) sin (t ) .

13) Montrer que lapplication J est solution surR de lquation diffrentielle :( ) 0 + + = E : t J J t J .

14) Montrer que lapplication J est lment de E dfini dans la partie 2.

15) Soit x un rel strictement positif, on pose :( ) 2 20dcos

=+ x I . x

15.1) Montrer que : ( ) 2 2 202 d

cos=

+ x I . x

15.2) Calculer lintgrale 2 2 20dcos+ . x

En dduire I(x).

Indication : on peut faire le changement de variable = tanu .

16) On admet avoir le droit de permuter lordre dintgration soit :

0 0 0 0

1 1

+ + = cos cos d d cos cos d d xt xt (t ) e t (t ) e t .

Calculer la transforme de Laplace de lapplication J .

Partie 4 : Transforme de Laplace de la fonction logarithme

17) Montrer que la fonctiong dfinie de ]0,+[ dans R par g 1= t (t) e t n est intgrablesur ]0,+[.

18) Soit( )n *nU N la suite de fonctions dfinies de ]0, +[ dans R par :

*n N , ( ) ( )1 1

0

=

si ]0, [

si

n

n x

x x

x nU n

x n

n

18.1) Montrer que :]-1,+ [ u , 1n(1+ ) u u.



40/108

5/5

En dduire que :

+ * x R , *n N , ( )0 1 n xnU (x) e x .

18.2) Pour x rel strictement positif fix, dterminer la limite de la suite( )n *nU (x) N .On admet que :

( )0 0

1+ +

=

n +n d lim d x ne x x U (x) x.

19) Soitn un entier naturel, on note ( )0

1 = ln d .nn

nt

J t t n

19.1) Montrer lexistence de lintgralen J .

19.2) Soit p un entier naturel et un lment de ]0, 1[, calculer lintgrale ( )1

ln d , pu nu u endduire la converge de lintgrale ( )

1

0 ln d pu nu u et calculer cette intgrale.19.3) Soientn un entier naturel et p un entier compris entre 0 et n, montrer que :

11 11 1 1

+ = + + + n n

.n p p p

19.4) Utiliser le rsultat de la question 3.4.) pour exprimer J n en fonction deun dfini dans la partie1 question 2.

20) En dduire la valeur de lintgrale ( )0

1+ n d xe x x en fonction de la constante dEuler.

21) Montrer que la transforme de Laplace de la fonction logarithme est dfinie sur ]0,+[ etcalculer sa transforme de Laplace..

Fin de lnonc



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MATHEMATIQUES 1

Dure : 4 heures ____________________



______________________________________________________________________________




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Les calculatrices sont autoris ees

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clart e, a la pr ecision et a la concisionde la r edaction.Si un candidat est amen e a rep erer ce qui peut lui sembler etre une erreur d enonc e, il le signalerasur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a et eamen e a prendre.

PROBLEME

Les parties I , II et III sont totalement ind ependantes. La partie IV utilise certains r esultats des partiesI , II et III .

Notations

On note M3(R ) lespace vectoriel des matrices carr ees a 3 lignes a coefcients dans R .On appelle vecteur colonne de R 3 toute matrice `a 3 lignes et 1 colonne a coefcients dans R .

On note t

M la transpos ee de la matrice M .

Partie I

Un exemple num erique

Dans cette partie, on se propose d etudier le syst`eme lin eaire suivant :

(S )2x y = 3x + 2y z = 5y + 2z = 5

1/5



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1. Montrer que, si on pose X =xyz

, le syst eme (S ) secrit sous forme matricielle AX = B

avec A une matrice de M3(R ) et B un vecteur colonne que lon d eterminera.2. Calculer det(A). On pourra utiliser la calculatrice .

La matrice A est-elle inversible?3. Determiner linverse A 1 de A. On pourra utiliser la calculatrice .4. Montrer que le syst` eme (S ) nadmet quune seule solution Q que lon d eterminera.5. a. Montrer que le syst`eme (S ) est equivalent au syst` eme X = JX + K avec un vecteur

colonne K de R 3 que lon d eterminera et la matrice

J =0 12 012 0

12

0 12 0.

b. Justier sans calcul quil existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale Dtelles que J = P D t P .

c. Determiner les valeurs propres et les sous-espaces propres associ es de J . En deduire lesmatrices P et D .

d. Pour tout entier naturel p, determiner J p en fonction de D et de la matrice P .

On denit la suite de vecteurs colonnes (X ( p)) p N par X (0) =120

et la relation de recurrence

p N : X ( p+1) = J X ( p) + K

On appelle x( p) , y( p) et z ( p) les composantes de X ( p) cest- a-dire X ( p) =x( p)y( p)z ( p)

. On pose enn

( p) = X ( p) Q.6. Calculer les vecteurs colonnes X (1) et (1) .7. Ecrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur

colonne X (2008) .8. a. En utilisant le fait que Q verie Q = JQ + K , montrer que pour tout entier naturel p,

( p+1) = J ( p) puis que ( p) = P D p t P (0) .

b. Soit U =abc

un vecteur colonne de R 3. On note U = a2 + b2 + c2 sa norme

euclidienne. Montrer que pour tout entier naturel p, D pU 1

2p2

U .

c. Exprimer U en fonction de U et t U puis montrer que P U = U et t P U = U .

d. Deduire des questions pr ecedentes que ( p)1

2p2

(0) puis que ( p) 132 p .9. Prouver alors les trois in egalit es :

|x( p) 1| 132 p ; |y( p) (1)| 132 p ; |z ( p) 2| 132 p .

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10. Quelles sont les limites respectives des suites (x( p)) p N , (y( p)) p N et (z ( p)) p N ?11. Determiner une valeur de p a partir de laquelle le vecteur colonne X ( p) est une valeur approch ee

de la solution exacte Q a 10 3 pres, cest- a-dire tel que ( p) 10 3.

Partie II

Un espace de matrices

Pour (a, b) R 2, on consid ere les matrices

J (a, b) =a b bb a bb b a

et U (b) =b b bb b bb b b

.

On denit lensemble E = {J (a, b) / (a, b) R2

}.

On note I 3 =1 0 00 1 00 0 1

la matrice identit e.

1. Montrer que E est un espace vectoriel dont on d eterminera la dimension.2. Montrer que E est stable par produit matriciel cest-` a-dire que pour toutes matrices M et N de

E , le produit MN appartient a E .

On suppose desormais que b = 0 .3. Justier sans calcul que les matrices J (a, b) et U (b) sont diagonalisables.4. Quel est le rang de la matrice U (b) ?End eduire la dimension du sous-espace vectoriel Ker(U (b)) .5. Determiner un reel tel que U (b) = J (a, b) .I 3.6. En deduire une valeur propre de J (a, b) et la dimension du sous-espace propre associ e.7. A laide de la trace, determiner lautre valeur propre de J (a, b).

Partie III

Une norme matricielle

Si M = ( m ij ) 1 i 31 j 3

est une matrice de M3(R ), on note pour tout indice i de {1, 2, 3}, li =3

j =1|m ij |.

Autrement dit, li est la somme des valeurs absolues des coefcients de la ligne i de la matrice M .Puis, on d enit le r eel positif (M ) par (M ) = max {l1, l2, l3}.

Si X =xy

z

est un vecteur colonne de R 3 alors on d enit la norme innie du vecteur X par

X = max {|x|, |y|, |z |}.

3/5



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1. a. Justier que si A = 1 2 20 1 01 1 4

alors (A) = 6 .

b. Justier que si U = 2

43

alors U = 4 .

2. a. On note X = M X avec X =x

y

z . Donner les expressions de x , y et z en fonction

de x, y, z et des coefcients de la matrice M .b. Montrer que |x | (|m11| + |m12| + |m13|) X . Determiner de meme une in egalit e

pour |y | et pour |z |.c. En deduire que MX (M ) X puis que, si M designe une matrice de M3(R )

alors M MX (M ) (M ) X .

Partie IV

La m ethode de Jacobi

On consid`ere le syst eme lin eaire

(S )a1,1x + a1,2y + a1,3z = aa2,1x + a2,2y + a2,3z = b

a3,1x + a3,2y + a3,3z = cavec pour tout i {1, 2, 3}et pour tout j {1, 2, 3}, ai,j R et (a,b,c) R 3.

On suppose que le syst` eme (S ) admet une unique solution not ee Q =q 1q 2q 3

. On suppose de plus

que a1,1 = 0 et a2,2 = 0 et a3,3 = 0 .1. Montrer que le syst` eme (S ) est equivalent au syst` eme suivant :

(S J )

x =

a1,2

a1,1y

a1,3

a1,1z +

a

a1,1

y = a2,1a2,2

x a2,3

a2,2z +

ba2,2

z = a3,1a3,3

x a3,2

a3,3y +

ca3,3

2. Montrer que, si on pose X =xyz

, le syst eme (S J ) peut se mettre sous la forme matri-

cielle X = JX + K avec J une matrice de M3(R ) et K un vecteur colonne de R 3 que londeterminera.

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Pour un syst eme lin eaire comportant un grand nombre d equations et dinconnues, les m ethodes der esolution directe (comme celle du pivot de Gauss) aboutissant a une solution exacte deviennent tr es gourmandes en temps de calcul. Il est alors plus judicieux de calculer une solution approch eea laide dune suite d enie par r ecurrence convergeant vers la solution exacte, comme cela se fait dans la m ethode de Jacobi que nous allons nous contenter dillustrer sur un syst eme 3 3.On denit ainsi la suite de vecteurs (X ( p)) p N de R 3 par la donn ee dun vecteur initial X (0) et larelation de r ecurrence

p N : X ( p+1) = J X ( p) + K On denit aussi la suite ( ( p) ) p N par ( p) = X ( p) Q. Le vecteur ( p) permet dapprecier lerreurdapproximation entre la solution approch ee X ( p) et la solution exacte Q.

3. En utilisant le fait que Q est la solution de lequation (S J ) : X = J X + K , montrer que pourtout entier naturel p, ( p+1) = J ( p) puis ( p+1) (J ) ( p) .

4. En deduire que pour tout entier naturel p, ( p) ( (J )) p (0) .5. En deduire une condition sufsante (C 1) sur la matrice J pour que la suite ( ( p) ) p N

converge vers 0.

6. On pose pour tout entier naturel p : X ( p) =x( p)

y( p)

z ( p)et ( p) =

( p)

( p)

( p).

a. Montrer les trois inegalit es :

| ( p)| ( p) ; | ( p)| ( p) ; | ( p)| ( p) .b. Lorsque la condition (C 1) est v eri ee, montrer que les suites (x( p)) p N , (y( p)) p N et (z ( p)) p N

convergent respectivement vers q 1, q 2 et q 3.7. La condition (C 1) est-elle v eriee par la matrice J de la partie I ?8. On revient au cas general. On suppose dans cette question que la matrice J est diagonalisable :

il existe donc une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que J = P DP 1.On peut montrer alors, comme dans la partie I que, pour tout entier naturel p, ( p) = P D pP 1 (0) .

a. Montrer que ( p) (P )( (D)) p (P 1) (0) .b. End eduire une condition sufsante (C 2) sur (D) pour que la suite ( ( p) ) p N converge

vers 0.c. La condition (C 2) est-elle v eriee par la matrice D de la partie I ?

9. Dans cette question, on reprend lexemple de la matrice J (a, b) avec b = 0 denie a la partieII . On a vu que cette matrice est diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale D et unematrice inversible P telles que J (a, b) = P DP 1.

a. Calculer (J (a, b)) et (D).

b. La matrice J 12

, 13

verie-t-elle la condition (C 1) ? la condition (C 2) ?

c. Dessiner dans le plan lensemble des couples (a, b) de R 2 qui verient la condition (C 1)et ceux qui v erient la condition (C 2).

Fin de l enonc e

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Exercice 1

La question 4. de cet exercice est indpendante des trois questions qui prcdent.La notation th employe la question 4.c. dsigne la fonction tangente hyperbolique.

Soit f lunique fonction impaire admettant 2 pour priode et telle que : ] [ ( )0, , 1 =t f t .

1. Montrer que : ( ) ( )0 0= = f f , puis calculer 134

f en justifiant la rponse fournie.

2. Reprsenter graphiquement la restriction de la fonction f lintervalle [ ]3 , 3 .

3. a. Dterminer les coefficients de Fourier de la fonction f .

b. En dduire : ( ) ( )( )0

sin 2 14,

2 1

+

=

+ =

+n

n t t f t

n.

On noncera trs prcisment le thorme utilis.

c. En utilisant lgalit tablie la question prcdente 3.b., dterminer la somme de la

srie( )

0

1

2 1

n

n n

+.

d. Appliquer la formule de Parseval la fonction f et en dduire la somme de la srie

( )20

1

2 1n n +.

4. Soit x un rel strictement positif fix.

a. Montrer que la fonction ( )e x t t f t est intgrable sur [ [0, + .

b. Soit k un entier naturel quelconque.

Montrer que : ( )( ) ( )( )1 1 ee d e

+ =

xk k x t x

k f t t

x.

c. En dduire : ( )0

1 e d th

2

+ =

x t x f t t x

.



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3/5

Exercice 2

On se propose d'tudier quelques proprits de la fonction numrique f dfinie sur+

par la

relation : ( )1

0

e, d+ =

+

t x f x t

x t

.

On ne cherchera pas calculer l'intgrale dfinissant ( ) f x .

1. Rappeler la dfinition dune fonction numrique dcroissante sur un intervalle I de .En dduire que f est dcroissante sur + .

2. Soit 0 x un rel strictement positif quelconque.

a. Montrer que : ( ) ( )00

0 20

2 e, ,2

+

x x x x f x f x x .

b. En dduire que f est continue au point 0 x .

3. Montrer que pour tout rel x strictement positif : ( )e 1 e 11

+ f x

x x.

En dduire : ( ) e 1+

f x

x~ .

4. a. En utilisant lingalit des accroissements finis, dterminer un rel positif M tel que :

[ ]0 ,1 , e 1 t t M t .

b. Soit g la fonction numrique dfinie sur + par la relation :

( )1

0

e 1, d+

=

+

t x g x t

x t .

Montrer que g est borne sur+

.

c. Montrer finalement : ( ) ( )0

ln+

f x x~ .

Indication : remarquer que pour x strictement positif, ( ) ( )1

0

1d= +

+ f x t g x

x t .

5. Dans cette question, on se propose de dterminer une valeur approche 210 prs de ( )1 f .

On introduit la fonction h dfinie sur [ ]0, 1 par la relation : [ ] ( ) e0 ,1 ,1

=+

t t h t

t .

On dfinit galement deux suites ( )1n n

u

et ( )1n n

v

en posant :


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5/5

b. Soit x un lment quelconque de lintervalle [ [0,1 .Minorer ( )g x et en dduire : ( )

1lim

xg x

= + .

c. Donner lallure de la courbe reprsentative de la restriction de la fonction g lintervalle[ [0,1 .On prcisera en particulier la tangente lorigine et la position de la courbe par rapport cette tangente.

4. a. Montrer quil existe un unique rel possdant les deux proprits suivantes :

est lment de lintervalle [ [0, 1 et ( ) 2g = .

b. Calculer ( )0,5h et en dduire : 0,5 .

c. A laide de votre calculatrice, dterminer explicitement le plus petit entier naturel non

nul 0n tel que : ( )0

1

0,6 2n

n

n

n=

.

Que peut-on en dduire pour ?

5.

a. Montrer que : ] [ ( ) ( ) ( )1

1,1 , 1 1 n

n

x x g x n n x+

=

= .

b. En utilisant le critre spcial relatif aux sries alternes, montrer que la srie

( ) ( )1

1 1 n

n

n n

est convergente.

c. Montrer que la srie ( ) ( )1

1 1 n

n

n n

nest pas absolument convergente et

dterminer le rayon de convergence de la srie entire ( )1

1 n

n

n n x

.

d. Montrer enfin que la fonction g possde une limite finie lorsque x tend vers 1 parvaleurs suprieures. On citera trs prcisment le thorme utilis.

Fin de lnonc


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SESSION 200 0

MATHEMATIQUES 2

Dure : 3 Heures heures


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SESSION2


TS1007

PREUVE SPCIFIQUE-FILI~RETSI

MATHMATIQUES2

DURE3 heures


l est rappel aux candidats qu'il sera tenu compte de la prsentation et de la rdaction des copies.

L objet du problme est la rsolution de l quation diffrentielle

(Ga): y (u b P ) y = Opour certaines valeurs des nombres complexes a et b, ainsi que la recherche dventuelles solutionsde priode 2n:.Une solution de Zab est une application valeurs relles ou complexes, de classe C2(au moins), dela variable relle x et dfinie sur W

On pose c , ( f ) = - f(

2x, et pour tout entier n de Z.

27cpour toute application de IR dans C continue, de priode

2n:O

1. Prliminaires: soit f une application de Wdans IR continue, de priode 2n:.1.1. Exprimer c, ( f en fonction des coefficients de Fourier a , (f ) et b, ( f de l application f,

si n E N*. Exprimer de mme c-, ( f ) en fonction de a , (f ) et b, ( f , si n E N*. Exprimerenfin c o f ) en fonction de (f).

1.2. Prouver que la convergence absolue des sries z a , ( f ) e t c b n f ) est quivalente landV naN

convergence absolue des sries

c, (f ) et c - ( )

.nEN ,EN*1.3. Montrer que la srie de Fourier defpeut s crire sous la forme:

2 On suppose dans cette question que b est nul et que a est rel.2.1. Pour quelles valeurs de a l quation fU o admetelle des solutions non nulles dont 2x est une

2.2. Pour quelles valeurs de Q l quation u ~ dmet-elle des solutions relles non nulles?

priode?


J 1010


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6.1.Dterminer le rayon de convergence de la srie entire c ,, z nn d

6.2.Prouver la convergence de la srie cynt, pour tout x rel, la convergence absolue de lan d

srie Xy inrn d

6.3.En admettant que p est de classe sur IR et que l on peut driver deux fois sa srie terme terme pour trouver cp , vrifier que cp est une solution non nulle, de priode 2?r, del quation diffhentielle ,.

7. ALGORITHMIQUE: Prciser, au dbut de cette partie, le logiciel de calcul formel que vousavez tudi, et utiliser son langage de programmation pour traiter la question ci-dessous:

Ecrire un algorithme ou une procdure, ou un programme) qui,

en fonction a) d un complexe b non nul,b) d un entier m 2 1,c) d un rel x [0,2x],

calcule a) le plus petit entier n tel que y,, 1O y , est dfini en question 6 ,I n

b) la fonction somme partielle Correspondante S : t l-3 p i b

c) une valeur numrique approche de S x ) .

Fin de l nonc


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SESSION 2001 TSI006

CONCOURS COMMUNS POlYlECNNIQUES

PREUVE SPCIFI~INJE - FILIRE TSI

MATHMATIQUES 2

DURE: 3 heures

Les calculatrices sont interditesIl est rappel aux candidats quil sera tenu compte de la prsentation et de la rdaction des copies

Notations et dfinitions

On appelle base canonique de R la base (en.. .,e,) o er = (l,O,. . . ,O),. . . , e, = (0,. . . ,O,l).

Si un lment x = (x1 ..., x,,) de R vrifie xi 2 0 (respectivement xi > 0) pour tout i E{ 1,. . .,n}, on note x2 0 (respectivement x > 0). Si y est un lment de R, x 2 y signifie x - y 2 0, et de mme x > y sigx-y>o.

On dsigne par W& R) le R-espace vectoriel des matrices carres nx n coefficients rels, et pardfi (R) le R-espace vectoriel des applications linaires de R dans R .

Si A est un lment de R (R), on note A = (a$ 1s ,j< , si a, est le coefficient de la i-emelign et de laj-me colonne de A.

On note Z,, a matrice unit de R et Id,, lapplication identit de R.

Si A = (ai,j) 11 ,j 5 n est un lment de N (R) et u llment de &, (R) admettant A comme matricela base canonique de R, pour tout lment x = (xr ,. . .,x,J de R, on note parfois Ax au lieu de

limage de x par u : Ax = ((A~)I,.. .,(Ax)n), avec (Ax)i = 2 ai,jxj, pour tout i E { 1,. . .,n}.j=l

On dit que A = (a,)15 i,j< ,, , un lment de IV$ (R), est termes positifs (respectivement strictempositifs) si a, 2 0 (respectivement a, > 0) pour tout (ij) E { 1,. . .,n}. On note alors A (respectivement A > 0).

Les deux parties sont indpendantes.



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2

Premire partie

1 1 Dans R2 ou R3, donner un exemple de matrice A telle que ni A ni -A ne soient termes positifspour laquelle il existe un vecteur x 2 0 tel que ni Ax ni -Ax ne soient positifs.

On se place maintenant en dimension n quelconque.

Soit A = (ai,j)l< i,jO.

1414.1 Montrer que tout vecteur x 2 0 est limite dune suite de vecteurs strictement positifs de R.

1 4.2 Montrer rciproquement que si x est limite dune suite de vecteurs strictement positifs de Rn,

x 2 0.

14.3 Montrer que si, pour tout lment x de R tel que x > 0, on ah > 0, alors A est termes positiLa matrice A est-elle ncessairement termes strictement positifs ?

15 Soient a, b, c trois nombres rels > 0, et A la matrice (en dimension 3 de nouveau)

15.1 Montrer que hi= a + b + c est valeur propre de A, et trouver un vecteur propre associ.

15.2 Montrer que le sous-espace propre associ h, est une droite vectorielle.

15.3 Montrer que si h est une valeur propre de A autre que hi, alors h E R et 1h 1 c hi.

Deuxime partie

Soit A une matrice inversible, termes strictement positifs et symtrique, de valeurs propres redistinctes ou non hi, h 2,. . . ,h, ranges p.ar qrdre. dcroissant bes yaleurs absolues :


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4

II 2.3 Prouver que < tk, z > E ]O,l[ pour tout k E N et que

r< fk+l , z >= -.

II IItk

En dduire que la suite ()ktN est croissante et convergente, puis que

j;zllAtk 11 r.

II 2.4 Vrifier que, pour tout k 2 0 ,

1 - < tk, z >*).

En dduire que >:~II+ tk = z.

II 2.5 Prouver les identits

< tk+l> tk>= += L l-llQtil12)II IIh + < Qtk+l,QG>,

pour tout k E N.

II 3 A partir des rsultats prcdents, proposer un algorithme itratif de calcul approch der et de z.

En supposant disponibles les routines de calcul effectuant un produit matricex vecteur et calculant lanorme dun vecteur, on dcrira linitialisation de lalgorithme propos, le contenu dune bditration et la procdure darrt des itrations. On demande de justifier les choix effectus, notammdans la procdure darrt. En revanche, la description des programmes (organigramme, dclaration variables, etc) est hors-sujet.

Fin de lnonc


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SESSION 2002COHCOURS COMMUNS POLYltCHNIOUES

TSIM207

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Dure : 3 heures

Les calculatrices sont autorises.

NB. : Le candidur attucheru lu plus grunde importunce lu clart, lu prrcision et lu


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3.

4.

De quel type est lquation diffrentielle E ? Citer prcisment le thorme de rsolutioncorrespondant ce type dquation (structure et expression de lensemble des solutions).

Rsoudre lquation diffrentielle E sur lintervalle1 [+24 4 .On note ,th la solution de E sur - -1 [+n4 4 qui vrifie la condition initiale ,fh(O) = h (h relnon nul , ct on note Ch la courbe dquation polaire p = fh(0). Par quelle transformationgeomctrique la courbe C, est-elle limage de la courbe Ch (h et ~1 els distincts non nuls) ?

5. Lquation diffrentielle E a-t-elle des solutions non nulles dfinies sur tout lensemble Iw ?

6. On admet que toute solution de E sur1 [- ,+n4 4 est dveloppable en srie enticre.6.1. Dterminer, par identification dans lquation diffrentielle E. les termes de degrc infcricu

ou gal trois de la solution fi (telle que f,(O) = 1 ).6.2. Donner les dveloppements limits en 0 tout ordre de x H COS x- et de 11H (Ii H), et

retrouver les rsultats de la question prcdente par une autre mthode.6.3. Calculer les valeurs en 0 des trois premires drives de fi.

PARTIE II

1. Soit Ct la courbe dquation polaire p = Ja pour 8 E

orthonorm direct (0, i, 7) .

dans le repre

1.1. tudier et reprsenter graphiquement la courbe C) (unit = 10 cm). Prciser les

prolongements par continuit en 8 = ia et lexistence dune demi-tangente en ces points.

1.2. Dterminer et dessiner les points tangente horizontale ou verticale.

1.3. Dterminer et dessiner le repre de Frnet, ainsi que le centre et le cercle de courbure aupoint dangle polaire 8 = 0.

772. Justifier la convergence de lintgrale Z =

J+4

-f &&.

3. On dfinit la longueur L de Ct comme la limite, si elle existe, quand a tend vers f , de l

longueur de la restriction de Ct lintervalle [- a,+a] c -a,+: Dmontrer que L existe e1 I

que L = I.


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4. Montrer que L peut scrire sous lune des deux formes suivantes :

JI

4.2. L = 2 cl140 J1-u4

(on pourra poser u =&z$ 1.

5. Calculer laire A du domaine A intrieur Cl en utilisant la formule A =JJ dxb\, et un passageA

cn coordonnes polaires.

PARTIE III

1. Pour quelles valeurs des rels a et p lintgrale ti-(1 -r)B-tlt est-clic

convergente?

2. Vrifier que B(P,a) = B(a,/3).3. En posant r = sin(O) , prouver que

v(a,p) E ]o,+m[, B(a,P) = 2 J~~in~u-l(e)OS2O-1odR.0

4. Montrer que L =

PARTIE IV : algorithmique

Prciser quel est le logiciel de culcul formel que vous uvez tudi pendant votre prparcrtim 01concours et utiliser son languge pour la question 2.

ii

On se propose de calculer une valeur numrique approche de L =J z-4

0 JGi$par une mthode

gomtrique (approximations polygonales).

1. Pour tout entier ~2suprieur ou gal 1, et tout entier k compris entre 0 et 12,on note ML le

point de CI dangle polaire 5, et L,, la somme des longueurs des segments Mi-,Mt pour k

variant de 1 II, cest--dire L,, = 2k=l

pour la norme euclidienne usuelle de iw

1.1. Pour II = 1, calculer les coordonnes cartsiennes des deux points MA et M: , et dessiner lesegment fW( IM: . Calculer 2L1.



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4

I .2. Pour II = 2, calculer les coordonnes cartsiennes des trois points MZ , et dessiner les deu

segments M~I%~: et M~M~. Donner une valeur numrique approche de2L?.

1.?Y.Pour II = 4, dessiner les segments Mi-,M: pourk E {1,2,3,4}.

2. crire un algorithme (ou une procdure ou un programme) qui calcule et affiche les valeunumriques approches des premiers termes de la suite(2L2, )[EN, jusquau plus petit entierp > 1 vrifiant /2Lzr~~ -2L2,, 15 10-3 .

Fin de lnonc


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Dure : 3 heuresMATHMATIQUES 2

TSIM104SESSION 2003


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PREUVE SPCIFIQUE FILIRE TSI SESSION 2003 ______________________

MATHMATIQUES 2Dure : 3 heures

Les calculatrices sont autorises.


prendre.

M3(C) (resp. M3(R )) est lanneau des matrices carres 3 ! 3 coefficients dans C (resp. dans R ). On

note I la matrice identit, et F = "" #

$%%&

' 001100010

la matrice dite de Frobenius.

Lobjet de ce problme est dtudier le sous-anneau de M3(C ) engendr par F , et den donnerquelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, indpendantes.

Partie I : Dans toute cette partie, on travaille dans M3(C).

1. Soit ( F (t ) = det ( F tI ) le polynme caractristique de F . Donner ( F (t ) et en dduire que F estdiagonalisable sur C . On posera j = exp "

# $%

& '

32) i

.

2. On note :

A = { xI + yF + zF 2, ( x, y, z ) * C3}=+,

+-.

+/

+01

*"" #

$%%&

' 3),,(, C z y x

x z y y x z z y x

a/ Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M3(C ), dont on donnera une base et la dimension.b/ Montrer que le produit de deux lments de A est commutatif et reste dans A.

3. Montrer que tous les lments de A sont diagonalisables dans une mme base.

4. Dterminer alors une expression factorise du dterminant des matrices A = xI + yF + zF 2 enfonction de x, y, z , puis donner une condition dinversibilit de ces matrices.

5. Soit A * A , A inversible. On tablit dans cette question que A-1 * A . Pour cela, on considrelapplication 2 : A 3 A

M ! AMa/ Vrifier que 2 est bien un endomorphisme de A .b/ Montrer que cest un isomorphisme puis que A-1 * A .

c/ Proposer une mthode pour vrifier cette conclusion ( A-1

* A ) en utilisant loutil calcul formel.

Partie II : Soit 43 un espace affine euclidien rel de dimension 3, despace vectoriel associ E 3.On rapporte 43 (resp . E 3) un repre orthonorm direct (O, i

" , j

" , k

"

) , (resp. la base orthonorme


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directe 6k ji"""

,, ). On note classiquement ).( vurespv.u """" 7 le produit scalaire (resp. vectoriel) de

deux vecteurs u " et v" , et uuu """ .8 la norme euclidienne dun vecteur u " .On considre lensemble S des points M de 43 dfini par :

S = { M(x, y, z) * 43, det ( xI + yF + zF 2 ) = 1 o x, y, z sont rels }

On tudie quelques proprits de S dans cette partie.

1. Ecrire une quation cartsienne de S dans le repre (O, i" , j

" , k

"

). On vrifiera que cettequation peut se factoriser en :

( x + y + z ) q(x, y, z ) = 1, o q(x, y, z ) est une quantit expliciter. En dduire que :5 6a.OM

21

) z y, x,( M "9* S

2aOM

"7 = 1

avec a"

= k ji"""

:: .On obtient ainsi une caractrisation gomtrique de S .

2. En dduire que S est une surface de rvolution autour de laxe ; passant par O et dirig par a"

.On pourra introduire le projet orthogonal H de M sur ; .

3.a/ Donner une quation cartsienne de S dans un repre orthonorm attach laxe de rvolution etdorigine O. On posera

aa

K ""

"8 et on choisira par consquent deux vecteurs I

"

et J "

(quil nest pas

utile dexpliciter). On pourra utiliser la caractrisation gomtrique de S donne en 1.b/ En dduire la nature des mridiennes de S , cest--dire des courbes intersection de S avec un

plan contenant laxe. En dessiner une, puis reprsenter S dans lespace.

4. Pour S * ) z y, x,( M et S * )' z ,' y ,' x( ' M , on dfinit le point )",","(" z y x M = M < ' par :'''" zy yz xx x ::8 '''" zz yx xy y ::8 '''" zx yy xz z ::

Documents

CCP Maths 2000-2011 CCP TSI.pdf