Upload
vilma-fajardo
View
212
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Cálculo Diferencial e Integral - Límite. Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.7� De�nición formal de límite. Límites laterales. Cálculo de límites.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 136 : Gra�que la función
f (x) =
8>><>>:1 + x2 si x < 0
�1 si x = 0
2� x2 si x > 0
y determine, si existen:
a: f (0) ; b: limx!0�
f (x) ; c: limx!0+
f (x) ; d: limx!0
f (x) :
Solución : Tenemos que
210-1-2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
y
x
y
Así,
a: f (0) = �1 b: limx!0�
f (x) = 1 c: limx!0+
f (x) = 2 d: limx!0
f (x) No existe
FEjemplo 137 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que
limx!1
(3� 2x) = 1
Solución : Dado " > 0, existe �" > 0, tal que,
jf (x)� Lj < " siempre que 0 < jx� x0j < �;
es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,
j(3� 2x)� 1j < " siempre que 0 < jx� 1j < �;
así, por propiedades del valor absoluto, se tiene
j(3� 2x)� 1j = j2� 2xj = j�2 (x� 1)j = j�2j jx� 1j = 2 jx� 1j < ";
de aquí,2 jx� 1j < " =) jx� 1j < "
2;
si tomamos� =
"
2;
se cumple quelimx!1
(3� 2x) = 1:
F
163
Ejemplo 138 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que
limx!1=2
3 + 2x
5� x =8
9
Solución : Dado " > 0, existe �" > 0, tal que,
jf (x)� Lj < " siempre que 0 < jx� x0j < �;
es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,����3 + 2x5� x �8
9
���� < " siempre que 0 <
����x� 12���� < �;
así, por propiedades del valor absoluto, se tiene����3 + 2x5� x �8
9
���� = ����9 (3 + 2x)� 8 (5� x)9 (5� x)
���� = ����26x� 139 (5� x)
���� = ����26 (x� 1=2)9 (5� x)
���� = ���� 26
9 (5� x)
���� ����x� 12���� = 26
9
1
j5� xj
����x� 12���� ;
puesto que
����x� 12���� < �, consideremos � = 1, entonces
Desigualdad con valor absoluto(aplicamos de�nición)
Sumamos 12
(la desigualdad se mantiene)
# #����x� 12���� < 1 =) �1 < x� 1
2< 1 =) �1 + 1
2< x < 1 +
1
2=) �1
2< x <
3
2
=) 1
2> �x > �3
2=) 5 +
1
2> 5� x > 5� 3
2=) 11
2> 5� x > 7
2=) 2
11<
1
5� x <2
7" " "
Multiplicamos por �1(la desigualdad cambia)
Sumamos 5(la desigualdad se mantiene)
Aplicamos1
(�)(la desigualdad cambia)
luego, ����3 + 2x5� x �8
9
���� = 26
9
1
j5� xj
����x� 12���� <
26
9
�2
7
� ����x� 12���� = 52
63
����x� 12���� < "
"ya que 1
5�x <27
es decir,52
63
����x� 12���� < " =)
����x� 12���� < 63
52"
si tomamos
� = min�1;63
52"
�se cumple que
limx!1=2
3 + 2x
5� x =8
9:
F
Ejemplo 139 : Usando la de�nición formal de límite, demuestre que
limx!2
px+ 2 = 2
Solución : Dado " > 0, existe �" > 0, tal que,
jf (x)� Lj < " siempre que 0 < jx� x0j < �;
es decir, dado " > 0, existe �" > 0, tal que,��px+ 2� 2�� < " siempre que 0 < jx� 2j < �;
164
así, aplicando la conjugada de la expresiónpx+ 2� 2 y por las propiedades del valor absoluto, se tiene
��px+ 2� 2�� = ������px+ 2� 2��px+ 2 + 2
��px+ 2 + 2
� ����� =������px+ 2
�2 � (2)2px+ 2 + 2
����� =���� x+ 2� 4px+ 2 + 2
���� = ���� x� 2px+ 2 + 2
����=
jx� 2j��px+ 2 + 2�� = jx� 2jpx+ 2 + 2
;
puesto que jx� 2j < �, consideremos � = 1, entonces
Desigualdad con valor absoluto(aplicamos de�nición de valor absoluto)
Sumamos 2(la desigualdad se mantiene)
# #jx� 2j < 1 =) �1 < x� 2 < 1 =) �1 + 2 < x < 1 + 2 =) 1 < x < 3
luego, si jx� 2j < 1, entonces 1 < x < 3, así,
Sumamos 2(la desigualdad se mantiene)
Aplicamosp(�)
(la desigualdad se mantiene)
# #1 < x < 3 =) 3 < x+ 2 < 5 =)
p3 <px+ 2 <
p5
=)p3 + 2 <
px+ 2 + 2 <
p5 + 2 =) 1p
3 + 2>
1px+ 2 + 2
>1p5 + 2
" "Sumamos 2
(la desigualdad se mantiene)
Aplicamos 1(�)
(la desigualdad cambia)
por lo tanto, ��px+ 2� 2�� = jx� 2jpx+ 2 + 2
<jx� 2jp3 + 2
< "
"ya que 1
5�x <27
es decir,jx� 2jp3 + 2
< " =) jx� 2j <�p3 + 2
�"
si tomamos� = min
n1;�p3 + 2
�"o
se cumple quelimx!2
px+ 2 = 2
F
Ejemplo 140 : Si limx!a
f (x) = 3 y limx!a
g (x) = �1, determinar
limx!a
2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)
Solución : Por propiedades de límites, en vista que los límite de f y g existen cuando x! a, tenemos que
limx!a
2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)
=limx!a
(2f (x)� 3g (x))
limx!a
(f (x) + g (x))=2 limx!a
f (x)� 3 limx!a
g (x)
limx!a
f (x) + limx!a
g (x)=2 (3)� 3 (�1)(3) + (�1) =
9
2:
Luego
limx!a
2f (x)� 3g (x)f (x) + g (x)
=9
2 existe
F
165
Ejemplo 141 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!0
px2 + 3x+ 1�
px+ 1p
3x2 + 4�px+ 9
Solución : Tenemos que
limx!0
px2 + 3x+ 1�
px+ 1p
3x2 + 4�px+ 9
=
q(0)
2+ 3 (0) + 1�
p(0) + 1q
3 (0)2+ 4�
p(0) + 9
=
p1�p1p
4�p9=1� 12� 3 =
0
�1 = 0;
así,
limx!0
px2 + 3x+ 1�
px+ 1p
3x2 + 4�px+ 9
= 0 existe
F
Ejemplo 142 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!b
x4 � b4x3 � b3
Solución : Observe que este límite tiene una indeterminación de la forma0
0. Factorizamos los polinomios del
numerador y del denominador
Numerador x4 � b4 =�x2�2 � �b2�2 = �x2 � b2� �x2 + b2� = (x� b) (x+ b) �x2 + b2�
Denominador x3 � b3 = (x� b)�x2 + xb+ b2
�así, el límite nos queda
limx!b
x4 � b4x3 � b3 = lim
x!b
(x� b) (x+ b)�x2 + b2
�(x� b) (x2 + xb+ b2) = lim
x!b
(x+ b)�x2 + b2
�x2 + xb+ b2
evaluando
limx!b
x4 � b4x3 � b3 = lim
x!b
(x+ b)�x2 + b2
�x2 + xb+ b3
=(b+ b)
�b2 + b2
�b2 + bb+ b2
=4b3
3b2=4b
3;
luego,
limx!b
x4 � b4x3 � b3 =
4b
3 existe
F
Ejemplo 143 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!3
px2 � 6x+ 9x� 3
Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma0
0, factorizamos para levantar la indeterminación,
obtenemos
limx!3
px2 � 6x+ 9x� 3 = lim
x!3
q(x� 3)2
x� 3 = limx!3
jx� 3jx� 3 ;
por de�nición de valor absoluto, se tiene
jx� 3j =(x� 3 si x� 3 � 0
� (x� 3) si x� 3 < 0=) jx� 3j =
(x� 3 si x � 3
� (x� 3) si x < 3;
así,! 3
� (x� 3) x� 3
166
por lo tanto, estudiamos los límites laterales
limx!3
jx� 3jx� 3 =
8>>><>>>:limx!3�
� (x� 3)x� 3 = lim
x!3�(�1) = �1
limx!3+
x� 3x� 3 = lim
x!3+1 = 1
puesto que los límites laterales son diferentes, entonces el límite no existe. F
Ejemplo 144 : Considere la función
f (x) =
8>><>>:3x+ 2
cos�xsi x < 1
x2 � 1px� 1 si x > 1
Determine, si existen: a) f (1); b) limx!1�
f (x); c) limx!1+
f (x); d) limx!1
f (x).
Solución : Tenemos que! 1
3x+ 2
cos�x
x2 � 1px� 1
así
a) f (1) no está de�nido.
b) limx!1�
f (x) = limx!1�
3x+ 2
cos�x=3 (1) + 2
cos� (1)=
5
�1 = �5
c) limx!1+
f (x) = limx!1+
x2 � 1px� 1 = lim
x!1+
(1)2 � 1p(1)� 1
=0
0 Indeterminado
Levantamos la indeterminación, aplicamos conjugada y factorizamos
limx!1+
x2 � 1px� 1 = lim
x!1+
�x2 � 1
�(px� 1)
(px+ 1)
(px+ 1)
= limx!1+
�x2 � 1
�(px+ 1)
x� 1 = limx!1+
(x� 1) (x+ 1) (px+ 1)
x� 1
= limx!1+
(x+ 1) (px+ 1) = 4;
es decir,limx!1+
f (x) = 4:
d) Puesto que,limx!1�
f (x) 6= limx!1+
f (x)
concluimos que,limx!1
f (x) no existe.
F
Ejemplo 145 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�=6
2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1
Solución : Límite con indeterminación de la forma0
0. Para levantar la indeterminación observemos que las expresiones
del numerador y del denominador son la composición de funciones polinómicas y trigonométricas, por lo tanto, factorizamosdichas expresiones en la variable senx
167
Numerador 2 sen2 x+ senx� 1 = 2�senx� 1
2
�(senx+ 1) = (2 senx� 1) (senx+ 1)
Denominador 2 sen2 x� 3 senx+ 1 = 2�senx� 1
2
�(senx� 1) = (2 senx� 1) (senx� 1)
así,
limx!�
6
2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1 = lim
x!�6
(2 senx� 1) (senx+ 1)(2 senx� 1) (senx� 1) = lim
x!�6
senx+ 1
senx� 1 =sen��6
�+ 1
sen��6
�� 1
=12 + 112 � 1
= �3;
luego,
limx!�
6
2 sen2 x+ senx� 12 sen2 x� 3 senx+ 1 = �3 existe
F
Ejemplo 146 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!4
rx
x+ 5
�x2 � 16x� 4
�Solución : Este límite tiene una indeterminación de la forma
0
0, observemos que
limx!4
rx
x+ 5
�x2 � 16x� 4
�?= lim
x!4
rx
x+ 5limx!4
x2 � 16x� 4 ;"
siempre y cuando los límites existan
donde,
limx!4
rx
x+ 5=
s(4)
(4) + 5=
r4
9=2
3;
mientras que,
limx!4
x2 � 16x� 4 = lim
x!4
(x� 4) (x+ 4)x� 4 = lim
x!4(x+ 4) = 8
así, ambos límites existen, por lo tanto,
limx!4
rx
x+ 5
�x2 � 16x� 4
�=
�2
3
�(8) =
16
3;
luego
limx!4
rx
x+ 5
�x2 � 16x� 4
�=16
3 existe.
F
Ejemplo 147 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�=2
senx� 1cosx
Solución : Límite con una indeterminación de la forma0
0, levantamos la indeterminación
limx!�=2
senx� 1cosx
= limx!�=2
(senx� 1)cosx
(senx+ 1)
(senx+ 1)= lim
x!�=2
sen2 x� 1cosx (senx+ 1)
= limx!�=2
��1� sen2 x
�cosx (senx+ 1)
= limx!�=2
� cos2 xcosx (1 + senx)
= limx!�=2
� cosxsenx+ 1
=0
2= 0;
por lo tanto,
limx!�=2
senx� 1cosx
= 0 existe.
F
168
Ejemplo 148 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�=4
3psen2 x� 3
pcos2 x
1� tanx
Solución : Límite con una indeterminación de la forma0
0, para levantar la indeterminación, aplicamos la conjugada
limx!�=4
3psen2 x� 3
pcos2 x
1� tanx = limx!�=4
�3psen2 x� 3
pcos2 x
�(1� tanx)
�3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
��
3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
�= lim
x!�=4
sen2 x� cos2 x(1� tanx)
�3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
�Observemos que
1� tanx = cosx� senxcosx
así
limx!�=4
sen2 x� cos2 x(1� tanx)
�3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos2 x
�= lim
x!�=4
(senx� cosx) (senx+ cosx)�cosx� senx
cosx
��3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
�= lim
x!�=4
(senx� cosx) (senx+ cosx) cosx(cosx� senx)
�3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
�= lim
x!�=4
� (cosx� senx) (senx+ cosx) cosx(cosx� senx)
�3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
�= lim
x!�=4
� (senx+ cosx) cosx3psen4 x+
3psen2 x
3pcos2 x+
3pcos4 x
=�p22
�p22 +
p22
�3
r�p22
�4+
3
r�p22
�23
r�p22
�2+
3
r�p22
�4 = �13p2
3
rp2
2
= �3p4
3
Luego
limx!�=4
3psen2 x� 3
pcos2 x
1� tanx = �3p4
3 existe.
F
Ejemplo 149 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1
1�px
1� 3px
Solución : Límite con una indeterminación de la forma0
0. Para levantar la indeterminación podemos aplicar
la conjugada en el numerador y en el denominador ó también podemos hacer un cambio de variable, de tal forma, detransformar el límite con expresiones radicales en un límite con expresiones polinomiales.
Hacemos el cambio de variablex = um:c:d:(2;3) =) x = u6
así,si x! 1; entonces u! (1)
1=6= 1
169
El límite se transforma en
limx!1
1�px
1� 3px= lim
u!1
1�pu6
1� 3pu6= lim
u!1
1� u31� u2 Indeterminado
0
0
Factorizamos numerador y denominador
Numerador : 1� u3 = (1� u)�u2 + u+ 1
�Denominador : 1� u2 = (1� u) (1 + u)
entonces,
limu!1
1� u31� u2 = lim
u!1
(1� u)�u2 + u+ 1
�(1� u) (1 + u) = lim
u!1
u2 + u+ 1
1 + u=3
2;
luego,
limx!1
1�px
1� 3px=3
2 existe.
F
Ejemplo 150 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1+
[[x]]2 �
��x2��
x2 � 1Solución : Es conocido que para los valores x a la derecha del uno, se tiene que
[[x]] = 1; si 1 � x < 2��x2��= 1; si 1 � x2 < 2 =) �
p2 < x � �1 ó 1 � x <
p2;
por lo tanto,
limx!1+
[[x]]2 �
��x2��
x2 � 1 = limx!1+
1� 1x2 � 1 = lim
x!1+
0
x2 � 1 = limx!1+
0 = 0;
es decir,
limx!1+
[[x]]2 �
��x2��
x2 � 1 = 0 existe.
F
Ejemplo 151 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) = x.
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
(x+ h)� xh
= limh!0
x+ h� xh
= limh!0
h
h= lim
h!01 = 1
es decir,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= 1 existe.
F
Ejemplo 152 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) = x2
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
(x+ h)2 � x2h
;
el cual es un límite con una indeterminación de la forma0
0, entonces
170
limh!0
(x+ h)2 � x2h
= limh!0
(x+ h� x) (x+ h+ x)h
= limh!0
h (2x+ h)
h= lim
h!0(2x+ h) = 2x;
luego
limh!0
(x+ h)2 � x2h
= 2x existe.
F
Ejemplo 153 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) =1
x2
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
1
(x+ h)2 �
1
x2
h;
el cual es un límite con una indeterminación de la forma0
0, entonces
limh!0
1
(x+ h)2 �
1
x2
h= lim
h!0
x2 � (x+ h)2
x2 (x+ h)2
h= lim
h!0
x2 � (x+ h)2
h x2 (x+ h)2 = lim
h!0
(x� (x+ h)) (x+ x+ h)h x2 (x+ h)
2
= limh!0
�h (2x+ h)h x2 (x+ h)
2 = limh!0
� (2x+ h)x2 (x+ h)
2 =�2xx4
= � 2x3;
luego
limh!0
1
(x+ h)2 �
1
x2
h= � 2
x3 existe.
F
Ejemplo 154 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
si es que existe, para la función f (x) = 3px.
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
3px+ h� 3
px
h:
Calculamos el límite, el cual es una indeterminación de la forma0
0. Aplicamos la conjugada para levantar la
indeterminación
limh!0
3px+ h� 3
px
h= lim
h!0
�3px+ h� 3
px�
h
�3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2�
�3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2�
= limh!0
3
q(x+ h)
3 � 3px3
h
�3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2�
= limh!0
(x+ h)� x
h
�3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2�
171
limh!0
3px+ h� 3
px
h= lim
h!0
h
h
�3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2�
= limh!0
1
3
q(x+ h)
2+ 3px+ h 3
px+
3px2=
1
3
q(x+ (0))
2+ 3px+ (0) 3
px+
3px2
=1
3px2 + 3
px 3px+
3px2=
13px2 +
3px2 +
3px2=
1
33px2;
luego,
limh!0
3px+ h� 3
px
h=
1
33px2
existe.
F
Ejemplo 155 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) = k, donde k es una constante.
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
k � kh
= limh!0
0
h= lim
h!00 = 0
es decir,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= 0 existe.
F
Ejemplo 156 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
si es que existe, para la función
f (x) =2x+ 3
x� 1Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
2 (x+ h) + 3
(x+ h)� 1 �2x+ 3
x� 1h
:
Calculamos el límite, presenta una indeterminación de la forma0
0.
limh!0
2 (x+ h) + 3
(x+ h)� 1 �2x+ 3
x� 1h
= limh!0
(x� 1) (2x+ 2h+ 3)� (x+ h� 1) (2x+ 3)(x+ h� 1) (x� 1)
h
= limh!0
(x� 1) (2x+ 2h+ 3)� (x+ h� 1) (2x+ 3)h (x+ h� 1) (x� 1)
= limh!0
2x2 + 2hx+ 3x� 2x� 2h� 3��2x2 + 3x+ 2xh+ 3h� 2x� 3
�h (x+ h� 1) (x� 1)
= limh!0
2x2 + 2hx+ 3x� 2x� 2h� 3� 2x2 � 3x� 2xh� 3h+ 2x+ 3h (x+ h� 1) (x� 1)
= limh!0
�2h� 3hh (x+ h� 1) (x� 1) = lim
h!0
�5hh (x+ h� 1) (x� 1)
= limh!0
�5(x+ h� 1) (x� 1) = �
5
(x+ (0)� 1) (x� 1)
= � 5
(x� 1) (x� 1) = �5
(x� 1)2;
172
luego,
limh!0
2 (x+ h) + 3
(x+ h)� 1 �2x+ 3
x� 1h
= � 5
(x� 1)2 existe.
F
Ejemplo 157 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) =px2 � x.
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
q(x+ h)
2 � (x+ h)�px2 � x
h;
el cual es un límite con una indeterminación de la forma0
0, entonces
limh!0
q(x+ h)
2 � (x+ h)�px2 � x
h= lim
h!0
�q(x+ h)
2 � x� h�px2 � x
�h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
��q
(x+ h)2 � x� h+
px2 � x
�
= limh!0
�q(x+ h)
2 � x� h�2��px2 � x
�2h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
� = limh!0
(x+ h)2 � x� h�
�x2 � x
�h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
�
= limh!0
x2 + 2xh+ h2 � x� h� x2 + x
h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
� = limh!0
2xh+ h2 � h
h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
�
= limh!0
h (2x+ h� 1)
h
�q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
� = limh!0
2x+ h� 1q(x+ h)
2 � x� h+px2 � x
S:I:=
2x� 1px2 � x+
px2 � x
=2x� 12px2 � x
;
luego
limh!0
q(x+ h)
2 � (x+ h)�px2 � x
h=
2x� 12px2 � x
existe.
F
Ejemplo 158 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
;
si es que existe, para la función f (x) =x2 � 23px+ x
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
(x+ h)2 � 2
3p(x+ h) + (x+ h)
� x2 � 23px+ x
h;
el cual es un límite con una indeterminación de la forma0
0, entonces
173
limh!0
(x+ h)2 � 2
3p(x+ h) + (x+ h)
� x2 � 23px+ x
h= lim
h!0
( 3px+ x)
�(x+ h)
2 � 2���x2 � 2
� �3px+ h+ x+ h
��3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
h
= limh!0
( 3px+ x)
�(x+ h)
2 � 2���x2 � 2
� �3px+ h+ x+ h
�h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
( 3px+ x)
�x2 + 2xh+ h2 � 2
���x2 � 2
� �3px+ h+ x+ h
�h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
( 3px+ x)
��x2 � 2
�+ h (2x+ h)
���x2 � 2
� �3px+ h+ x+ h
�h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
( 3px+ x)
�x2 � 2
�+ h ( 3
px+ x) (2x+ h)�
�x2 � 2
� �3px+ h+ x+ h
�h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
�x2 � 2
� �3px+ x�
�3px+ h+ x+ h
��+ h ( 3
px+ x) (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
�x2 � 2
� �3px+ x� 3
px+ h� x� h
�+ h ( 3
px+ x) (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
�x2 � 2
� �3px� 3px+ h� h
�+ h ( 3
px+ x) (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
= limh!0
�x2 � 2
� �3px� 3px+ h
�h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
� limh!0
�x2 � 2
�h
h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
+ limh!0
h ( 3px+ x) (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
�( 3px+ x)
=x2 � 23px+ x
limh!0
3px� 3px+ h
h�3px+ h+ x+ h
� � x2 � 23px+ x
limh!0
h
h�3px+ h+ x+ h
�+ limh!0
h (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
� ;donde, el primer límite de la última igualdad lo resolvemos aplicando conjugada
limh!0
3px� 3px+ h
h�3px+ h+ x+ h
� = limh!0
�3px� 3px+ h
�h�3px+ h+ x+ h
��
3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
��
3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
�
= limh!0
( 3px)3 �
�3px+ h
�3h�3px+ h+ x+ h
� �3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
�
= limh!0
x� (x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
� �3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
�
= limh!0
�h
h�3px+ h+ x+ h
� �3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
�
174
= limh!0
�1�3px+ h+ x+ h
� �3px2 + 3
px 3px+ h+
3
q(x+ h)
2
�
=�1
( 3px+ x)
�3px2 + 3
px 3px+
3
q(x)
2
� = �13
3px2 ( 3px+ x)
;
es decir,
limh!0
3px� 3px+ h
h�3px+ h+ x+ h
� = �13
3px2 ( 3px+ x)
;
mientras, el segundo límite es
limh!0
h
h�3px+ h+ x+ h
� = limh!0
13px+ h+ x+ h
=1
3px+ x
;
y por último, el tercer límite
limh!0
h (2x+ h)
h�3px+ h+ x+ h
� = limh!0
2x+ h3px+ h+ x+ h
=2x
3px+ x
;
así,
limh!0
(x+ h)2 � 2
3p(x+ h) + (x+ h)
� x2 � 23px+ x
h=
x2 � 23px+ x
�13
3px2 ( 3px+ x)
� x2 � 23px+ x
13px+ x
+2x
3px+ x
=��x2 � 2
�3
3px2 ( 3px+ x)
2 �x2 � 2
( 3px+ x)
2 +2x
3px+ x
= � x2 � 2( 3px+ x)
2
�1
33px2+ 1
�+
2x3px+ x
=
2x ( 3px+ x)�
�x2 � 2
�� 1
33px2+ 1
�( 3px+ x)
2 ;
es decir,
limh!0
(x+ h)2 � 2
3p(x+ h) + (x+ h)
� x2 � 23px+ x
h=
2x ( 3px+ x)�
�x2 � 2
�� 1
33px2+ 1
�( 3px+ x)
2 :
F
175
Ejercicios
1. Calcular1: f (�1) 2: lim
x!�1�f (x) 3: lim
x!�1+f (x) 4: lim
x!�1f (x)
5: f (3) 6: limx!3�
f (x) 7: limx!3+
f (x) 8: limx!3
f (x)
considerando la gra�ca de la función f
543210-1-2-3-4-5
6
5
4
3
2
10
-1
-2
-3
-4
-5
2. Calcular1: f (1) 2: lim
x!1�f (x) 3: lim
x!1+f (x) 4: lim
x!1f (x)
5: f (3) 6: limx!3�
f (x) 7: limx!3+
f (x) 8: limx!3
f (x)
considerando la gra�ca de la función f
543210-1-2-3-4-5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
176
3. Calcular1: f (�2) 2: lim
x!�2�f (x) 3: lim
x!�2+f (x) 4: lim
x!�2f (x)
5: f (0) 6: limx!0�
f (x) 7: limx!0+
f (x) 8: limx!0
f (x)
9: f (1) 10: limx!1�
f (x) 11: limx!1+
f (x) 12: limx!1
f (x)
13: f (4) 14: limx!4�
f (x) 15: limx!4+
f (x) 16: limx!4
f (x)
considerando la gra�ca de la función f
543210-1-2-3-4-5
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
4. Calcular1: f (�2) 2: lim
x!�2�f (x) 3: lim
x!�2+f (x) 4: lim
x!�2f (x)
5: f (0) 6: limx!0�
f (x) 7: limx!0+
f (x) 8: limx!0
f (x)
9: f (2) 10: limx!2�
f (x) 11: limx!2+
f (x) 12: limx!2
f (x)
considerando la gra�ca de la función f
3210-1-2-3
1
0.5
0
-0.5
-1
177
5. Calcular1: f (�3) 2: lim
x!�3�f (x) 3: lim
x!�3+f (x) 4: lim
x!�3f (x)
5: f (�1) 6: limx!�1�
f (x) 7: limx!�1+
f (x) 8: limx!�1
f (x)
9: f (1) 10: limx!1�
f (x) 11: limx!1+
f (x) 12: limx!1
f (x)
13: f (3) 14: limx!3�
f (x) 15: limx!3+
f (x) 16: limx!3
f (x)
considerando la gra�ca de la función f
543210-1-2-3-4-5
2
1
0
-1
-2
x
y
x
y
6. Gra�que la función dada y luego determine, si existen:
a: f (c) ; b: limx!c�
f (x) ; c: limx!c+
f (x) ; d: limx!c
f (x) :
1: f (x) =
(3x+ 2 si x < 2
x3 si x > 2; c = 2 2: f (x) =
8>><>>:1� x4 si x < �1
3 si x = �1
x+ 1 si x > �1; c = �1
3: f (x) =
(1� 3x si x < 1
x3 si x � 1; c = 1 4: f (x) =
8>><>>:1 + x2 si x < 0
�1 si x = 0
2� x2 si x > 0
; c = 0
5: f (x) =
8<:jsenx� 1j si x < 0
1� 2xx+ 1
si x � 0; c = 0 6: f (x) =
8>><>>:3p3� x si �3 � x < 4
0 si x = 4
sen (�x)� 1 si x > 4
; c = 4
7. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
limx!�2
f (x) = �2 ; limx!0�
f (x) = 1 ; f (0) = 3 ; limx!0+
f (x) = 2 ; limx!1
f (x) = 0
8. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f (�1) = 1 ; limx!�1
f (x) = �1 ; limx!1�
f (x) = �1 ; limx!1+
f (x) = 1 ; limx!0
f (x) = 0
9. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f (2) no existe ; limx!2
f (x) = 0 ; limx!0�
f (x) = 0 ; limx!0+
f (x) = �1 ; f (0) = 0
178
10. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f�12
�= 2 ; f (�1) = 3 ; lim
x!�1�f (x) = 1 ; lim
x!�1+f (x) = 1 ; lim
x!1=2no existe
11. Calcular los siguientes límites
1: limx!4
(x� 1)3 2: limx!�1
x2 � 4x� 53x� 2 3: lim
x!2
�px+
1px
�4: lim
x!2
2x2 � 53� 2x
5: limx!0
x� cosxp1� x
6: limx!3
x2 � x+ 5x� 1 7: lim
x!2
2x2 � 3x� 2x2 � x� 2 8: lim
x!2
x2 � 5x+ 6x� 2
9: limx!0
1� cosxsenx
10: limh!0
p2 + h�
p2
h11: lim
x!1
sen��2x�� 1
sen2 (�x)12: lim
t!t0
3pt� 3pt0
t� t0
13: limx!b
x4 � b4x3 � b3 14: lim
h!0
px+ h�
px
h15: lim
h!0
(x+ h)2 � x2h
16: limx!�1
x2 + 3x+ 4
2x2 � x+ 5
17: limx!2
8� x3x2 � 2x 18: lim
x!0
3p1 + x� 1x
19: limx!0
p�x+ 1� 1p�x+ 4� 2
20: limx!1
2x2 � 3x+ 1x� 1
21: limx!1
3px� 1px� 1 22: lim
t!3
pt+ 1� 2t2 � 9 23: lim
x!0
3px+ 3� 3
p3
x24: lim
x!�1
p7x2 + 2� 3p3 + 2x+ x
25: limx!1
1� x2p1� x4
26: limx!7
2�px� 3
x2 � 49 27: limx!c
x2 � c2x2 + 2cx+ c2
28: limx!3
px2 � 6x+ 9x� 3
29: limx!0
x3 � a3x� a 30: lim
x!0
(a+ x)3 � a3x
31: limx!c
x2 � 2cx+ c2x2 � c2 32: lim
x!1
5p2� x�
px
1� x
33: limx!�3
x3 + 27
x+ 334: lim
x!2
px+ 2�
p3x� 2p
4x+ 1�p5x� 1
35: limx!0
7 sen3 x+ 8 sen2 x
cosx� 1 36: limx!1
x� 1px� 1
37: limt!4
t4 � 256t2 � 16 38: lim
t!0
5t3 + 8t2
3t4 � 16t2 39: limx!2
4� x2
3� 3p5x2 + 7
40: limx!1
3p3x+ 5� 2
3p10x+ 17� 3
41: limx!�a
x2 + x+ a� a2x+ a
42: limx!0
tanx� secx+ 1tanx
43: limx!0
px2 + 3x+ 1�
px+ 1p
3x2 + 4�px+ 9
44: limx!0
p1 + x�
p1� x
x45: lim
x!1
px2 + 3�
p3x+ 1p
5x+ 4�p2x2 + 7
46: limx!0
px2 + 3x+ 9� 3p4� x� 2
47: limx!�1
1 + 3px
1 + 5px
48: limx!1
3p7 + x3 �
p3 + x2
x� 1 49: limx!1
1�px
1� 3px
50: limx!0
px+ 5�
p5
4x
51: limx!0
cosx� sen2 x� 1cosx� cos2 x 52: lim
x!0
px2 + a2 � apx2 + b2 � b
a; b > 0 53: limx!0+
p4 +px� 2px
54: limx!2
2� xpx�p2
55: limx!0
1�p1� x2x2
56: limx!�=2
senx� 1cosx
57: limx!1+
[[x]]
58: limx!1�
[[x]] 59: limx!2�
[[x]]�p3� x
4� x2 60: limx!1+
[[x]]2 �
��x2��
x2 � 1 61: limx!1
[[x]]2 �
��x2��
x2 � 1
62: limx!2
px+ 1�
p5� x
2x2 � 9x+ 10 63: limx!1
pa+ 2 (x� 1)�
pa
x� 1 64: limx!�2
5x2 � 5x+ 5x3 + x4 � 64x2 � 11x+ x3 � 30
65: limx!0�
x
[[x]]66: lim
x!0
x
jxj 67: limx!0�
x
x+ jxj 68: limx!0
x
x+ jxj 69: limx!1
xr � 1x� 1
70: limx!x0
1
x� 1
x0x� x0
71: limx!x0
1
x2� 1
x20x� x0
72: limx!x0
1
x� 1
x01
x2� 1
x20
73: limx!0
1
2 + x� 12
x
179
74: limx!1
x� 1xn � 1 75: lim
x!3
x2 � 3x� 3x� 17� x
1� 4
x+ 1
76: limx!1
1
x+ 1� 1
3x� 1x� 3x
x+ 2
77: limx!0
1�r3x2 + 4
x2 + 4x2
78: limx!3�
9� x2 � 3p3� x
4p3� x
79: limx!0
p5x2 � x4 � x2
x80: lim
x!1
x4 + x3 � 3x2 � x+ 2x4 � x3 � 13x2 + 25x� 12
81: limx!5
p3x+ 1� 4px� 2�
p3
82: limt!�b
t5 + b5
t+ b83: lim
x!2
8� x3x2 � 2x �
(x� 2)3�x2 � 3x+ 2
�x4 � 8x3 + 24x2 � 32x+ 16
!
84: limx!0
p4 + 3px� 2
3px
85: limx!4
x3px� 4� x+ 4x2 � 1 86: lim
x!1
xm � 1xn � 1 87: lim
t!3
p3 + 2t� 33� t
88: limx!2
px+ 7� 3
p2x� 3
3px+ 6� 2 3
p3x� 5
89: limx!3
px+ 6� 3
px+ 24
37� x3 90: limx!a
xpx� a
pa
apx� x
pa
91: limh!0
q(x+ h)
2 � (x+ h)�px2 � x
h92: lim
h!0
3px� 3px+ h
h�3px+ h+ x+ h
�12. Considerando los límites por la derecha y por la izquierda, demuestre que lim
x!0jxj = 0.
13. Calcular los siguientes límites cuando existan, utilizando los límites laterales cuando sea necesario.
1: limx!0+
x
jxj 2: limx!�2
jx+ 2jx+ 2
3: limx!1
h (x) ; h (x) =
8><>:x� 1px� 1
si x > 1
2x� 2 si x < 1
4: limx!0
x
jxj 5: limx!3+
x� 3q(x� 3)2
6: limx!1
g (x) ; g (x) =
(2x3 si x < 1px+ 3 si x � 1
14. Dadas las siguientes funciones
a: f (x) =
(x2 � 2x� 1 si x < 2
3� 2x si x � 2b: f (x) =
(�x3 si x < 2
(x+ 1)2 si x > 2
1: Encuentre limx!2+
f (x) y limx!2�
f (x) 2: ¿Existe limx!2
f (x) ? 3: Trace la grá�ca de f
15. Sea
h (x) =
8>><>>:x si x < 0
x2 si 0 < x � 2
8� x si x > 2
(a) Evalúe los siguientes límites, si existen.
1: limx!0+
h (x) 2: limx!0
h (x) 3: limx!1
h (x) 4: limx!2�
h (x) 5: limx!2+
h (x) 6: limx!2
h (x)
(b) Trace la grá�ca de h
16. Sean
f (x) =
(x2 + 3 si x � 1
x+ 1 si x > 1y g (x) =
(x2 si x � 1
2 si x > 1
1. Encuentre limx!1�
f (x) y limx!1+
f (x) 2. Encuentre limx!1�
g (x) y limx!1+
g (x)
3. Encontrar fórmulas para f (x) � g (x) 4. Encuentre limx!1�
f (x) � g (x) y limx!1+
f (x) � g (x)
5. ¿Existe limx!1
f (x) � g (x)?
180
17. Escriba la de�nición formal de
1: limx!x�0
f (x) = L 2: limx!x+0
f (x) =M
18. Demuestre que si c > 0, entonces,limx!c
px =pc
19. Usando la de�nición formal de límite, demuestre los siguientes límites
1: limx!5
10 = 10 2: limx!�2
� = � 3: limx!0
(x� 4) = �4 4: limx!3
x = 3
5: limx!4
2x = 8 6: limx!2
3x
5=6
57: lim
x!�1(x+ 6) = 5 8: lim
x!1(9� 6x) = 3
9: limt!0+
p5t = 0 10: lim
x!0x2 = 0 11: lim
x!0(3x+ 7) = 7 12: lim
x!1=28 (2x+ 5) = 48
13: limx!0
8x3 = 0 14: limx!2
1
3x=1
615: lim
x!2
2x� 34
=1
416: lim
x!�5
x2 � 25x+ 5
= �10
17: limx!3
x2 � 7x+ 122x� 6 = �1
218: lim
t!1
2t3 + 5t2 � 2t� 5t2 � 1 = 7 19: lim
x!�2
�x2 � 1
�= 3
20: limx!0
(3x+ 5) = 5 21: limx!1
(2x� 4) = �2 22: limx!1
�x2 � 1
�= 0
23: limx!0
�4x2 + 2
�= 2 24: lim
x!2
�p2x� 4
�= �2 25: lim
x!1(2px� 4) = �2
26: limx!0
p3� x =
p3 27: lim
x!7
3px+ 1 = 2 28: lim
x!0
�3px� 1 + 1
�= 0
29: limx!2
1
x=1
230: lim
x!0
1
x+ 2=1
231: lim
x!1
x� 1x+ 3
= 0 32: limx!3
2x� 13x
=5
9
33: limx!1
1p5� x
=1
234: lim
x!1=2
3 + 2x
5� x =8
935: lim
x!4
px� 2x� 4 =
1
4
36: limx!0�
f (x) = �1; si f (x) =
(2x� 1; x < 0
2x+ 1; x > 037: lim
x!(1=2)+
p2x� 1 = 0
38: limx!1+
f (x) = 3; si f (x) =
(0; x � 13; x > 1
39: limx!9�
4p9� x = 0
20. Sean F y G funciones tales que 0 � F (x) � G (x) para toda x próxima a c, con la posible excepción de c.Demuestre que si lim
x!cG (x) = 0, entonces lim
x!cF (x) = 0.
21. Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1
f (x).
22. Si 3x � f (x) � x3 + 2 para todo 0 � x � 2, evalúe limx!1
f (x).
23. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la de�nición de límite?
(a) Para algún � > 0 y todo � > 0,
0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �
(b) Para todo � > 0, existe un � > 0 correspondiente tal que
0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �
(c) Para todo entero positivo N existe un entero positivo correspondiente M tal que
0 < jx� cj < 1=M =) 0 < jf (x)� Lj < 1=N
181
(d) Para todo � > 0 existe un correspondiente � > 0, tal que
0 < jx� cj < � =) 0 < jf (x)� Lj < �
para algún x.
24. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
limx!c
[f (x) + g (x)] = limx!c
f (x) + limx!c
g (x) :
25. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
limx!c
[f (x)� g (x)] = limx!c
f (x)� limx!c
g (x) :
26. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
limx!c
[f (x) � g (x)] = limx!c
f (x) � limx!c
g (x) :
27. Demuestre que, si f y g tienen límite cuando x tiende a c, entonces
limx!c
f (x)
g (x)=limx!c
f (x)
limx!c
g (x)
siempre y cuando limx!c
g (x) 6= 0.
28. Calcular el siguiente límite, si es que existe,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
para las siguientes funciones
1: f (x) = k 2: f (x) = x 3: f (x) = x2 4: f (x) = x3 5: f (x) = x4
6: f (x) = x�1 7: f (x) = x�2 8: f (x) = x�3 9: f (x) =px 10: f (x) = 3
px
11: f (x) = 4px 12: f (x) = �4 13: f (x) = 2 14: f (x) = �3x 15: f (x) =
xp3
16: f (x) = 2x2 17: f (x) =5px
18: f (x) =53px
19: f (x) =2p�x
20: f (x) =3
3p�x
21: f (x) = 5x� 3 22: f (x) = 7� 4x 23: f (x) = x2 � 1 24: f (x) = 3� 2x2
25: f (x) = 4x2 � 3x 26: f (x) =x
3� 5x2 27: f (x) =
63px
28: f (x) =p2x+ 1
29: f (x) = 3p5x� 7 30: f (x) =
1
4� x 31: f (x) =2
3x+ 132: f (x) =
x+ 1
x� 1
33: f (x) =2 + x
x2 � x 34: f (x) =6
x2 + 135: f (x) =
2x� 11� x 36: f (x) =
p2� 3xx
37: f (x) =�24� x2 38: f (x) =
x
1� 2x 39: f (x) =1px+ 1
40: f (x) =x
x2 � 3
41: f (x) =4
3x42: f (x) =
px3 � x 43: f (x) =
5x
1� x 44: f (x) =3px� 1px+ 1
45: f (x) =p2x+ x2 � 3
29. Demuestre que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
no existe cuando x = 0 y la función es f (x) = jxj.
182
30. Calcule
limh!0
f (0 + h)� f (0)h
para f (x) = x jxj.
Respuestas : Ejercicios
1:1: 2; 1:2: 6; 1:3: � 1; 1:4: No existe; 1:5: 3; 1:6: 3; 1:7: � 3; 1:8: No existe; 2:1: 1;
2:2: 12 ; 2:3: 1
2 ; 2:4: 12 ; 2:5: No está de�nida; 2:6: 1
4 ; 2:7: � 1; 2:8: No existe; 3:1: No está de�nida;
3:2: 1; 3:3: 0; 3:4: No existe; 3:5: 0; 3:6: 0; 3:7: 0; 3:8: 0; 3:9: 1; 3:10: 0; 3:11: 1;
3:12: No existe; 3:13: 1; 3:14: 1; 3:15: � 1; 3:16: No existe; 4:1: � 12 ; 4:2: � 1; 4:3: � 1
2 ;
4:4: No existe; 4:5: No está de�nida; 4:6: No existe; 4:7: 1; 4:8: No existe; 4:9: No está de�nida; 4:10: 1;
4:11: 1; 4:12: 1; 5:1: � 1; 5:2: 2; 5:3: 2; 5:4: 2; 5:5: � 2; 5:6: � 2; 5:7: � 2; 5:8: � 2;
5:9: � 1; 5:10: 0; 5:11: 1; 5:12: No existe; 5:13: � 1; 5:14: � 1; 5:15: 1; 5:16: No existe;
6:1:a: Inde�nido; 6:1:b: 8; 6:1:c: 8; 6:1:d: 8; 6:2:a: 3; 6:2:b: 0; 6:2:c: 0; 6:2:d: 0; 6:3:a: 1;
6:3:b: � 2; 6:3:c: 1; 6:3:d: No existe; 6:4:a: � 1; 6:4:b: 1; 6:4:c: 2; 6:4:d: No existe; 6:5:a: 1;
6:5:b: 1; 6:5:c: 1; 6:5:d: 1; 6:6:a: 0; 6:6:b: � 1; 6:6:c: � 1; 6:6:d: � 1; 11:1: 27; 11:2: 0;
11:3: 32
p2; 11:4: � 3; 11:5: � 1; 11:6: 11
2 ; 11:7: 53 ; 11:8: � 1; 11:9: 0; 11:10:
p24 ; 11:11: � 1
8 ;
11:12: 1
3 3qt20
; 11:13: 4b3 ; 11:14: 1
2px; 11:15: 2x; 11:16: 1
4 ; 11:17: � 6; 11:18: 13 ; 11:19: 2; 11:20: 1;
11:21: 23 ; 11:22: 1
24 ; 11:23: 193p3; 11:24: � 7
6 ; 11:25: 0; 11:26: � 156 ; 11:27: 0; 11:28: No existe;
11:29: a2; 11:30: 3a2; 11:31: 0; 11:32: 710 ; 11:33: 27; 11:34: 3; 11:35: � 16; 11:36: 2; 11:37: 32;
11:38: � 12 ; 11:39: 0; 11:40: 27
40 ; 11:41: 1� 2a; 11:42: 1; 11:43: 0; 11:44: 1; 11:45: � 32 ; 11:46: � 2;
11:47: 53 ; 11:48: � 1
48 ; 11:49: 32 ; 11:50:
p5
40 ; 11:51: � 3; 11:52: ba ; 11:53: 1
4 ; 11:54: � 2p2;
11:55: 12 ; 11:56: 0; 11:57: 1; 11:58: 0; 11:59: � 1
8 ; 11:60: 0; 11:61: No existe; 11:62: �p33 ;
11:63: 1pa; 11:64: � 1
5 ; 11:65: 0; 11:66: No existe; 11:67: 12 ; 11:68: No existe; 11:69: r; 11:70: � 1
x20;
11:71: � 2
x30; 11:72:
x02 ; 11:73: � 1
4 ; 11:74: 1n ; 11:75: 1
3 ; 11:76: 32 ; 11:77: � 1
4 ; 11:78: 0;
11:79: No existe; 11:80: � 35 ; 11:81: 3
4
p3; 11:82: 5b4; 11:83: � 7; 11:84: 1
4 ; 11:85: 0; 11:86: mn ;
11:87: � 13 ; 11:88: 0; 11:89: � 7
1458 ; 11:90: � 3; 13:1: 1; 13:2: No existe; 13:3: 0; 13:4: No existe;
13:5: 1; 13:6: 2; 14:a:1: � 1 y � 1; 14:a:2: � 1; 14:b:1: � 8 y 9; 14:b:2: No existe; 15:a:1: 0;
15:a:2: 0; 15:a:3: 1; 15:a:4: 4; 15:a:5: 6; 15:a:6: No existe; 16:1: 4 y 2; 16:2: 1 y 2; 16:4: 4 y 4;
16:5: 4; 21: 1; 22: 3; 28:1: 0; 28:2: 1; 28:3: 2x; 28:4: 3x2; 28:5: 4x3; 28:6: � 1x2;
28:7: � 2x3; 28:8: � 3
x4; 28:9: 1
2px; 28:10: 1
33px2; 28:11: 1
44px3; 28:12: 0; 28:13: 0; 28:14: � 3;
28:15:p33 ; 28:16: 4x; 28:17: � 5
2x3=2; 28:18: � 5
3x 3px; 28:19: 1p
�x3; 28:20: 1
3px4; 28:21: 5; 28:22: � 4;
28:23: 2x; 28:24: � 4x; 28:25: 8x� 3; 28:26: � 10x+ 13 ; 28:27: � 2
x 3px; 28:28: 1p
2x+1; 28:29: 5
33p(5x�7)2
;
28:30: 1(4�x)2 ; 28:31: � 6
(3x+1)2; 28:32: � 2
(x�1)2 ; 28:33: 2�x2�4x(x2�x)2
; 28:34: � 12x
(x2+1)2; 28:35: (x� 1)�2 ;
28:36: �2x2
p2�3x ; 28:37: � 4x
(4�x2)2; 28:38: 1
(2x�1)2 ; 28:39: �12(x+1)3=2
; 28:40: � x2+3
(x2�3)2; 28:41: � 4
3x2;
28:42: 3x2�12px3�x
; 28:43:5(2�x)(1�x)2 ; 28:44: 1
3(x�1)3px�1px+1
� 12px
3px�1(px+1)2
; 28:45: x+1p2x+x2�3
; 30: 0;
Bibliogra�a
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: �Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: �Cálculo". Grupo Editorial Iberoamericano.
Cálculo Diferencial e Integral - Límite. Farith Briceño
Última actualizacón: Agosto 2012 e-mail : [email protected]
183