Upload
megane-loisel
View
106
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ce sont Ce sont les points de Grothendieck les points de Grothendieck
qui font qui font la musiquela musique
Gu
eri
no M
azz
ola
Gu
eri
no M
azz
ola
• Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel
• Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique
• Un regard grothendieckien sur Boulez Un regard grothendieckien sur Boulez
• Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel
• Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique
• Un regard grothendieckien sur Boulez Un regard grothendieckien sur Boulez
Euclide d‘Alexandrie:Euclide d‘Alexandrie: punctus est cuius pars punctus est cuius pars nulla estnulla est
Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck
introduction de l‘adresseintroduction de l‘adresseintroduction de l‘adresseintroduction de l‘adresse
Luigi PirandelloLuigi PirandelloUno, nessuno e 10Uno, nessuno e 1055
(Gegnè)...vivo e intero,(Gegnè)...vivo e intero,non piùnon più
in me, ma inin me, ma inogni cosa fuori.ogni cosa fuori.
Lemme de YonedaLemme de Yoneda
Le foncteurLe foncteur @ @:: C C CC@ @ : X ~> @X = h: X ~> @X = hXX = C(-, X) = C(-, X)
est est pleinement fidèlepleinement fidèle::
@@: : Hom(X,Y) ≈≈ Hom(@X,@Y)Hom(@X,@Y)
En particulier, XEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y≈ @Y
Lemme de YonedaLemme de Yoneda
Le foncteurLe foncteur @ @:: C C CC@ @ : X ~> @X = h: X ~> @X = hXX = C(-, X) = C(-, X)
est est pleinement fidèlepleinement fidèle::
@@: : Hom(X,Y) ≈≈ Hom(@X,@Y)Hom(@X,@Y)
En particulier, XEn particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y≈ @Y
CC@@
@@CC@@CC CCCC
adresseadresse
ModMod@@
F:F: Mod Mod —> —> Ens Enspréfaisceauxpréfaisceaux
ont toutes ces ont toutes ces propriétéspropriétés
EnsEnsproduits cartésiens X produits cartésiens X Y Yréunions disjointes X réunions disjointes X YYensembles puissance Xensembles puissance XYY
charactéristiques charactéristiques X —>X —>pas d‘„algèbre“pas d‘„algèbre“
ModModsommes directes Asommes directes A≈≈BBpossède de l‘„algèbre“possède de l‘„algèbre“
pas d‘ensembles puissancepas d‘ensembles puissancepas de charactéristiquespas de charactéristiques
CC@ @ est un topos!est un topos!
@@
(const.)(const.)
nom type/diagramme id
nom forme coordonnée
dénotateurdénotateur
topos
• Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel
• Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique
• Un regard grothendieckien sur Boulez Un regard grothendieckien sur Boulez
{do, {do, (do), (do), 22(do),...} (do),...} = {do, mi, sol} = {do, mi, sol}
= triade majeure= triade majeure
ŸŸ1212
Accords circulairesAccords circulaires
dodo
solsol
mimi
do = 0do = 0 (p) = 3p+7 (p) = 3p+7
x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 x:x: ŸŸ12 12 ŸŸ1212
z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212 z:z: ŸŸ12 12 ŸŸ1212
xxOO
x:x: OO ŸŸ1212 x:x: OO ŸŸ1212
adresse ponctuelle adresse ponctuelle d‘Euclided‘Euclide
OO = { }= { }
zz ŸŸ1212@@ŸŸ1212
Thomas Thomas Noll 1995Noll 1995::modèle de l‘harmonie demodèle de l‘harmonie deHugo Riemann: tons auto-adressésHugo Riemann: tons auto-adressés
David LewinDavid Lewin Dan Tudor VuzaDan Tudor Vuza
Trans(Dt,Tc) = < f Trans(Dt,Tc) = < f ŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>Trans(Dt,Tc) = < f Trans(Dt,Tc) = < f ŸŸ1212@@ŸŸ1212 | f: | f: DtDt TcTc >>
f
DtDt
triade de dominante {sol, si, re}triade de dominante {sol, si, re}
TcTc
triade de tonique {do, mi, sol}triade de tonique {do, mi, sol}
„„consonances relatives“consonances relatives“
= = ŸŸ1212 + + = consonances = consonances
DD = = ŸŸ1212 + +{1,2,5,6,10,11} = dissonances{1,2,5,6,10,11} = dissonances
T T .2.2.5.5
a + b b ŸŸ1212[[
ŸŸ1212[[
ŸŸ1212 ŸŸ1212[[]]
ŸŸ1212 @ @ ŸŸ1212 ŸŸ12 12 [[]] @ @ ŸŸ12 12 [[]]
Trans(Dt,Tc) = Trans(KTrans(Dt,Tc) = Trans(K,K,K)|)|ƒƒ
ƒƒƒƒ
ƒƒ
ch.adch.ad ch.adch.ad
Trans(Dt,Tc)Trans(Dt,Tc) Trans(Trans(KK,K,K))
KK, D, D
DD
positionposition
hauteurhauteur
tempstemps
XXgg
corpscorps
squelettesquelette
Geste (local)Geste (local) = = point point DD-adressé g: -adressé g: D D dans le graphe orienté spatial dans le graphe orienté spatial d‘un espace topologique Xd‘un espace topologique X(= graphe des courbes continues dans X)(= graphe des courbes continues dans X)
XX
XX
DD
pp
formes réalistes?formes réalistes?espace des boutsespace des bouts
positionposition
hauteurhauteur
tempstemps
cerclecercle
noeudnoeud
„„boucle de boucles“boucle de boucles“
Hypergestes! Hypergestes!
DigraphDigraph((FF, , ) = ) = espace topologique des gestes (locaux) espace topologique des gestes (locaux) de squelette de squelette FF à corps dans à corps dans XX Notation:Notation: F F @@XX
XX
Application gestuelle Application gestuelle est une application continueest une application continue
(u,v):(u,v): F F @@X X G G @@YY
canoniquement induite par une pairecanoniquement induite par une paireu: u: GG FF (graphes orientés)(graphes orientés)v: X v: X Y Y (continue)(continue)
La La categoriecategorie HHGG == HHGG11 des des hypergesteshypergestes
1) hypergestes1) hypergestes2) applications gestuelles2) applications gestuelles
Induction: La Induction: La categoriecategorie HHGGn n des des hypergesteshypergestes n-uplesn-uples
FF22@@FF11@@X X
Avons chaîne de catégories d‘hypergestesAvons chaîne de catégories d‘hypergestes
G G HHGG == HHGG11 HHGG2 2 ...... HHGGn n HHGGn+1 n+1 ......
représentant la granularité des relations gestuelles, représentant la granularité des relations gestuelles, comme en géométrie différentielle avec les catégories decomme en géométrie différentielle avec les catégories devariétés n fois différentiables.variétés n fois différentiables.
E.g. recollant des gestes locaux pour créer des E.g. recollant des gestes locaux pour créer des gestes globaux par des joints quasi-anatomiques gestes globaux par des joints quasi-anatomiques
• Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel
• Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique
• Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez
Analyse de György Ligeti: Analyse de György Ligeti: Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik in der Structure Ia in der Structure Ia (die Reihe UE, Wien et al. 1958)(die Reihe UE, Wien et al. 1958)
structuresstructuresxx
coordonnéescoordonnéesanalytiquesanalytiques
MMmodèle modèle
analytiqueanalytique
oeuvresoeuvres
représentationsreprésentationsscientifiquesscientifiques
U
= = MM(x) (x)
CrCr(U) = (U) = M M -1-1((U) fibre U) fibre créatricecréatrice du voisinage U de du voisinage U de
un geste boulézienun geste boulézien
''
xxxxxxxx''
transduction (Anne Boissière)transduction (Anne Boissière)
1. déduction des séries de durées des séries d‘hauteurs:1. déduction des séries de durées des séries d‘hauteurs:
...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen ...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt in der in der funktionslosen Transplantationfunktionslosen Transplantation eines Systems: eines Systems: Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Tabelle fetischartigTabelle fetischartig als Mass für Dauernquantitäten angewandt — also urspüngliche als Mass für Dauernquantitäten angewandt — also urspüngliche Ordnungsbezeichnungen wertbezeichnendOrdnungsbezeichnungen wertbezeichnend benützt. benützt.
2. déduction des séries d‘intensités/attaques des séries d‘hauteurs2. déduction des séries d‘intensités/attaques des séries d‘hauteurs
... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem ... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem Diagonalverfahren ist interessant als Diagonalverfahren ist interessant als SpielSpiel, aber sie ist , aber sie ist noch noch unfunktionellerunfunktioneller als die beschriebene Permutation der Dauern; sie als die beschriebene Permutation der Dauern; sie geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer ZahlenabstraktionZahlenabstraktion hervor. hervor.
Pierre BoulezPierre Boulezstructures Ia (1952)structures Ia (1952)CD wergo 1965CD wergo 1965(3:36)(3:36)Alfons & AloysAlfons & AloysKontarskyKontarsky
Faden („fil“)Faden („fil“)
composition est un système composition est un système de filsde fils==des points de Grothendieckdes points de Grothendieck
A = A = ŸŸ1111, F =, F = PitchClass:.Simple(PitchClass:.Simple(ŸŸ1212) )
S: S: ŸŸ11 11 ŸŸ1212, S = (S, S = (S00, S, S11, ... S, ... S1111))
eei i ~> S~> Sii,, eeii = (0, 0, ... , 1, 0, 0,... 0) = (0, 0, ... , 1, 0, 0,... 0)
ee0 0 = 0= 0
ŸŸ1212
SS
0 11
séries dodécaphoniquesséries dodécaphoniques
ii
Partie APartie A Partie BPartie B
78/3278/32
filfil
Boulez: série de Boulez: série de Messiaen desMessiaen desmodes et valeursmodes et valeursd‘intensitéd‘intensité
clas
ses
des
hau
teu
rscl
asse
s d
es h
aute
urs
1111
1010
99
88
77
66
55
44
33
22
11
00
indexeindexe
11111010998877665544332211 1212
0 12
3
4
567
8
9
1011
dichotomie dichotomie forte deforte declasse 71classe 71
série des durées série des durées
1/32 + 2/32 +... 12/32 = 78/32 1/32 + 2/32 +... 12/32 = 78/32 = durée totale d‘un fil = durée totale d‘un fil
1/321/32 12/3212/32
série des intensitéssérie des intensités
séries des attaquesséries des attaques
représentation paramétrique:représentation paramétrique:comment jouer?comment jouer?
Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation)Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation)Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple(Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple(——))
Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.
la matrice Qla matrice Q(Ligeti l‘appelle R)(Ligeti l‘appelle R)
L‘enfer combinatoire de BoulezL‘enfer combinatoire de Boulez
espace Fespace F
A@FA@F
ff
„„adresse“ Aadresse“ A
„„adresse“ Badresse“ B
changement d‘adresse gchangement d‘adresse g
f·gf·gB@FB@F
yyxx
Categorie ∫Categorie ∫CC des points des points CC-adressés-adressés
• objets de ∫objets de ∫CC
x: @A x: @A F, F = préfaisceau dans F, F = préfaisceau dans CC@@
~~
xx F(A), écrire F(A), écrire
x: A x: A F A = F A = adresseadresse, F = , F = espace espace de xde x
hh
FF
AA
GG
BB
changement d‘adressechangement d‘adresse
• morphismes de ∫morphismes de ∫CC
x: A x: A F, y: B F, y: B G G
h/h/: x : x y y
FFAA xx
Exemple: K-nets de séries dodécaphoniquesExemple: K-nets de séries dodécaphoniquesCC = = AbAb
ŸŸ1212
ŸŸ1212
ŸŸ1212
ŸŸ1212
ss
UsUs
KsKs
UKsUKs
TT1111.-1/Id.-1/IdTT1111.-1/Id.-1/Id
Id/TId/T1111.-1.-1
Id/TId/T1111.-1.-1
ŸŸ1111 ŸŸ1111
ŸŸ1111 ŸŸ1111
ss
l‘idée de Boulez: utiliser des changements d‘adresse!l‘idée de Boulez: utiliser des changements d‘adresse!
S: S: ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace
changements d‘adresse g: B changements d‘adresse g: B ŸŸ1111 donne donne
S S ·· g: B g: B ŸŸ1111 ParameterSpace ParameterSpace
bb ~> S~> Sg(b)g(b)
exemple:exemple:g = K:g = K: ŸŸ1111 ŸŸ1111
eeii ~> e ~> e11-i11-i
S S ·· g = g = série rétrogradesérie rétrograde
transpositions et inversions?transpositions et inversions?
transposition A =Ttransposition A =Tn n : : ŸŸ1212 ŸŸ1212 x ~> Tx ~> Tn n (x) = n+x(x) = n+x
inversion A = Uinversion A = U : : ŸŸ1212 ŸŸ1212 x ~> U(x) = u-x x ~> U(x) = u-x
ŸŸ11 11 ŸŸ1111
SS SS
ŸŸ1212 ŸŸ1212
AA
C(A)C(A)
A A ·· S = S S = S ·· C(A) C(A)
C(A) = changement d‘adresse!C(A) = changement d‘adresse!
C(TC(Tnn), C(U)), C(U)remplace Tremplace Tn n ou Uou U
On travaille sur l‘ontologie de l‘adresse commune On travaille sur l‘ontologie de l‘adresse commune ŸŸ1111
En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R définit une définit une strate ontologiquestrate ontologique du schéma S, e.g., du schéma S, e.g.,
• R = R = — — définit l‘espace Spec(définit l‘espace Spec(——))@@S des S des solutions (points) réelles d‘équations polynomialessolutions (points) réelles d‘équations polynomiales
• R = R = ¬ ¬ définit l‘espace Spec(définit l‘espace Spec(¬¬))@@S des solutions (points) complexes.S des solutions (points) complexes.
G G = groupe de symétries sur l‘espace des classes des hauteurs= groupe de symétries sur l‘espace des classes des hauteurs
GGC(C(GG)) ŸŸ1212ŸŸ1111SSHH
C(C(GG)) FFŸŸ1111SS??
C(C(GG)) = groupe de changements d‘adresse= groupe de changements d‘adresse
La matrice Q de Ligeti est une matrice de changements d‘adresseLa matrice Q de Ligeti est une matrice de changements d‘adresse
ligne i = changement d‘adresse C(Tligne i = changement d‘adresse C(Tn(i)n(i)): ): ŸŸ11 11 ŸŸ1111
pour la transposition Tpour la transposition Tn(i)n(i),,où n(i) = différence S(i)-S(1) où n(i) = différence S(i)-S(1)
Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?
comprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adressecomprendre la matrice Q de Ligeti comme changement d‘adresse
Q: Q: ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111
avec avec ŸŸ1111 ŸŸ1111 = = ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ1111 ŸŸ143143 (produit tensoriel affine)(produit tensoriel affine)
Q(eQ(eiieejj) élément de la base affine (e) élément de la base affine (e00, e, e1 1 , ... e, ... e1111) de ) de ŸŸ1111
Mais on a Mais on a AA@@(B(B@@C) C) (A (A B)B)@@C. C.
Donc und telle matrice représente une Donc und telle matrice représente une série de sériessérie de séries::
S · Q:S · Q: Ÿ Ÿ1111 ŸŸ1111 ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace
S · Q(eS · Q(eii -): -): ŸŸ11 11 ParameterSpace ParameterSpace eejj ~> S(Q( ~> S(Q(eeiieejj))))
Situation similaire aux espaces des hypergestesSituation similaire aux espaces des hypergestes
GG@@FF@@X X
Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...Espaces de points adressés de points adressés de...
Cette technique est celle du „Cette technique est celle du „address killingaddress killing“ dans ToM:“ dans ToM:
BB@(A@F) = (B @(A@F) = (B A)@F A)@F
00@(A@F) = (0 @(A@F) = (0 A)@F = A@F A)@F = A@F
~~
~~
Le yoga de la construction boulézienne est un Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements d‘adresse sur l‘adressesystème de changements d‘adresse sur l‘adresse ŸŸ1111 ŸŸ1111, ,
fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.
Le yoga de la construction boulézienne est un Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements d‘adresse sur l‘adressesystème de changements d‘adresse sur l‘adresse ŸŸ1111 ŸŸ1111, ,
fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition.
Etant donnés deux changements d‘adresse g, h:Etant donnés deux changements d‘adresse g, h: Ÿ Ÿ11 11 ŸŸ1111
on obient un changement on obient un changement g gh:h: Ÿ Ÿ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111
défini par: défini par:
ggh (eh (eiieejj) = g(e) = g(eii))h(eh(ejj))
ggh :h : Ÿ Ÿ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111
fournit un changement d‘adresse combiné:fournit un changement d‘adresse combiné:
Q Q ·· g gh: h: ŸŸ1111 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111
gg
hh
Q Q ·· g g hh ParameterSpaceParameterSpace
Exemples: Exemples: • g = Id, h = Kg = Id, h = K
Q Q ·· IdIdKK = système rétrograde = système rétrograde• g = h = Ug = h = Umimibb == UU
Q Q ·· UUUU = matrice U de Ligeti = matrice U de Ligeti
piano 1 utilise ces changements d‘adresse:piano 1 utilise ces changements d‘adresse:
classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées
partie Apartie A UUIdId U U ·· K K U U ·· K K
partie Bpartie B U U ·· K K U U ·· K K KKUU
piano 1 utilise ces changements d‘adresse:piano 1 utilise ces changements d‘adresse:
classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées
partie Apartie A UUIdId U U ·· K K U U ·· K K
partie Bpartie B U U ·· K K U U ·· K K KKUU
piano 2 utilise ces changements d‘adresse :piano 2 utilise ces changements d‘adresse :un seul changement d‘adresse
un seul changement d‘adresse UUU U
classes des hauteursclasses des hauteurs duréesdurées
partie Apartie A UUU U ·· U UIdId UUU U ·· (U (U ·· K K U U ·· K) K)
partie Bpartie B UUU U ·· (U (U ·· K K U U ·· K) K) UUU U ·· K KUU
série des intensitéssérie des intensités
les trajectoires d‘intensités a/b et c/d les trajectoires d‘intensités a/b et c/d du „fou sur l‘échiquier“ (Ligeti)du „fou sur l‘échiquier“ (Ligeti)
aaaa cccc
a:a: Ÿ Ÿ11 11 ŸŸ11 11 ŸŸ1111
topologie des trajectoires fermées a/b topologie des trajectoires fermées a/b d‘intensitéd‘intensité
aa
cc
topologie des trajectoires fermées c/d topologie des trajectoires fermées c/d d‘intensitéd‘intensité