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哈尔滨理工大学
应用数学系
数 学 建 模
数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。
——勒内·笛卡尔
数学建模
报童模型
内容
1
供货时间随机的货物存储模型 2
钢琴库存策略评价模型 4
生产方案的设计模型 3
随机预测模型 5
哈尔滨理工大学
应用数学系
第19讲 钢琴库存策略评价模型
第4章 概率与随机模型
在考察随机动态系统时，我们常用状态转移方程描述
系统状态的变化，其中一种就是马尔可夫链（Markov
chain）模型。
马尔可夫链用于研究在无后效性条件下时间和状态均
为离散的随机转移问题。
数学建模
马尔可夫链（Markov chain）模型
1
( ) ( ),
1,2, , , 0,1, ( ) 1
i nk
i
i
a n P X i
i k n a n
状态概率
1,2, ( 0,1, )nX k n 状态
{ } ~
1 )
ij k kP p 转移概率矩阵
(非负,行和为
1
( 1) ( ) ,
1,2, ,
k
i j ji
j
a n a n p
i k
基本方程
1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))
~ka n a n a n a n
状态概率向量
马氏链的基本方程
1( )ij n np P X j X i 转移概率
1
0, 1, 1,2, ,k
ij ij
j
p p i k
P n a n a ) ( ) 1 ( = +
n P a n a ) 0 ( ) ( =
wwPw 满足
正则链: 从任一状态出发，经有限次转移能以正概
率到达另外任一状态。
0, NPN正则链 0.8 0.2.
0.7 0.31 P
例
)9/2,9/7(w
1 2 1
1 2 2
0.8 0.7
0.2 0.3
w w w
w w w
11
k
i
iww满足121 ww
1 20.2 0.7w w
w : 稳态概率
, ( ) ( )w a n w n 正则链
w与a(0)无关
马氏链的性质
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金。
某商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架。
存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零 时，
才订购3架钢琴以供下周销售；否则，不订购。
失去销售机会的可能性有多大？
每周的平均销售量是多少？
问题
试估计在这种策略下
钢琴库存策略评价模型
问题分析
需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值
为每周1架确定，由此计算需求概率
用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化
动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求
超过库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机
会的概率和每周的平均销售量。
存贮策略是周末库存量为零时订购3架，因此，周末的
库存量可能是0, 1, 2, 3，下周初库存量可能是1, 2或3。
钢琴库存策略评价模型
模型假设
1. 钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架；
2. 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，下周
初到货；否则，不订购；
3. 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无
后效性；
4. 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率
和每周的平均销售量。
钢琴库存策略评价模型
模型建立
Dn~第n周需求量，均值为1的泊松分布
1( ) / ! ( 0,1,2 )nP D k e k k
状态转移规律
11 12 13
21 22 23
31 32 33
p p p
P p p p
p p p
状态转移阵
假设1
Sn~第n周初库存量(状态变量 ) {1,2,3}nS
1
,
3,n n n n
nn n
S D D SS
D S
Dn 0 1 2 3 >3
P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019
钢琴库存策略评价模型
368.0)0()11( 111 nnn DPSSPp
0)12( 112 nn SSPp
632.0)1()13( 113 nnn DPSSPp
448.0368.0184.0
264.0368.0368.0
632.00368.0
33 1( 3 3)
( 0) ( 3) 0.448n n
n n
p P S S
P D P D
… …
11 12 13
21 22 23
31 32 33
p p p
P p p p
p p p
状态转移阵
状态转移矩阵的计算 模型建立
1( ) / ! ( 0,1,2 )nP D k e k k
( 0) 0.368 ( 1) 0.368
( 2) 0.184 ( 3) 0.061
( 3) 0.019
n n
n n
n
P D P D
P D P D
P D
钢琴库存策略评价模型
3,2,1),()( iiSPna ni
状态概率
448.0368.0184.0
264.0368.0368.0
632.00368.0
P
正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w,
, 0)NN P (正则链
模型建立 马氏链方程 ( 1) ( )a n a n P
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))a n a n a n a n
状态转移矩阵
11
k
iiw
)452.0,263.0,285.0(),,( 321 wwww
n, 状态概率 ( ) (0.285,0.263,0.452)a n
02 P
已知初始状态, 可预测
第n周初库
存量Sn=i 的概率
钢琴库存策略评价模型
( )n nP D S
模型求解
0.264 0.285 0.080 0.263 0.019 0.45
0 1
2
. 05
从长期看，失去销售机会
的可能性大约 10%。
估计在这种策略下失去销售机会的可能性
)()(3
1
iSPiSiDP n
i
nn
321 )3()2()1( wDPwDPwDP
第n周失去销售机会的概率 ( )n nD SP
n充分大
( )n iP S i w
( 0) 0.368
( 1) 0.368
( 2) 0.184
( 3) 0.061
( 3) 0.019
(0.285,0.263,0.452)
n
n
n
n
n
P D
P D
P D
P D
P D
w
钢琴库存策略评价模型
第n周平均售量Rn
0.632 0.285 0.896 0.263 0.977 0.45
0 8
2
. 57
)(])()([3
1 1
iSPiSiDiPiSjDPj n
i
nnnn
i
j
从长期看，每周的平均销售量为 0.857（架）。
估计这种策略下每周的平均销售量 模型求解
n充分大
( )n iP S i w
需求不超过存量, 销售需求
需求超过存量,
销售存量
]),(),([3
1 1
i
nnnn
i
j
n iSiDiPiSjDPjR
钢琴库存策略评价模型
敏感性分析
当平均需求在每周1(架)附近波动时,最终结果有多大变化？
设Dn服从均值
为的泊松分布 )2,1,0(,!/)( kkekDP k
n
eee
eee
ee
P
)2/(12/
)1(1
10
22
状态转移阵
第n周(n充分大)失去销售机会的概率 )( nn SDPP
模型分析
钢琴库存策略评价模型
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
P
0.073
0.089
0.105
0.122
0.139
当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售
机会的概率将增长（或减少）约12% 。
敏感性分析
当平均需求在每周1(架)附近波动时,最终结果有多大变化？
模型分析
第n周(n充分大)失去销售机会的概率 ( )n nP P D S
钢琴库存策略评价模型
4.6 随机预测模型
数学建模
研究的对象既具有随机性又随时间而变化，并已知研
究对象在固定时间区间上的观测值
需要预测相应量的未来变化趋势。
若某个研究状态既具有随机性又随时间变化，则属于
“随机过程”范畴，常用的典型随机过程就是“时间
序列”。
时间序列是随时间按某个随机模式（规律）变化的随
机变量序列，利用时间序列建模可以依据给定的一列观测值预测研究状态的变化趋势。
一段时间内商品销售量/ 航空公司旅客增长数量/
每天温度和降雨量
{ }, 1,2,tx t
一、税收收入的预测问题
税收作为政府财政收入的主要来源是地方政府实行宏观调控、保证地区经济稳步增长的重要因素之一。
各级政府每年均需要预测来年的税收收入以安排财政预算。
现有某地多年税收收入（单位：亿元）数据如下表，t
表示年份，xt表示第 t 年的税收收入。
试预测该地2003年税收收入并与实际值进行比较。
数学建模
t 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
xt 15.2 15.9 18.7 22.4 26.9 28.3 30.5
t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
xt 33.8 40.4 50.7 58 66.8 81.2 83.40
问题分析
每年的税收收入是随时间而变化的，且具有随机性
表中的数据是一个时间序列
可建立自回归（AR）时间序列预测模型
建模与求解 首先做出表中时间序列的散点图
数学建模
时间序列为平稳序列
二阶自回归模型
（AR(2)）
一、税收收入的预测问题
二阶自回归模型（AR(2)）
: 随机扰动项
按照线性回归方法（下一章介绍）得预测模型
数学建模
0 1 1 2 2 , 1,2, ,t t t tx a a x a x t n
t
1 21.1991 0.2056 , 1,2, ,t t tx x x t n
由2001和2002年的税收收入可计算出2003年税收收入为83.65亿元，与实际值仅相差0.3%（相对误差）
。
一、税收收入的预测问题
二、航空公司旅客人数预测问题
假设已收集到某航空公司在一段时间内（n个月）的
旅客人数的所有数据，记为
预测今后一段时间内（m个月）的旅客人数
问题分析
旅客人数
数学建模
{ }, 1,2, ,tx t n
ˆ , 1, 2, ,tx t n n n m
生活水平 季节
人口增长
交通状况 气候变化
影响的因素复杂
时间序列
模型建立
1. 检验时间序列是否为平稳时间序列
数学建模
如果历史数据不是平稳时间序列，可以变换成平稳时间序列后再进行预测。
平稳时间序列是指期望值是常数，而相关函数
只与t有关而与 k无关。 ( , )t t kE x x
二、航空公司旅客人数预测问题
历史数据是由确定性因素和随机因素共同影响的结果
确定性因素由一个增长趋势因素和一个季节因素组成
增长趋势因素关于时间是线性的
季节因素是一个时间的周期函数，周期为T(12个月)
数学建模
, 0,1,2,t t t tx D P W t
, ,t t tD P W 增长趋势因素、季节因素和随机噪声
, 0,1,2,tD a bt t a,b是未知常数
2sin( )t
tP A
T
是未知常数 ,A
二、航空公司旅客人数预测问题
关于增长趋势因素，假设
数学建模
, 0,1,2,tD a bt t 1t tb D D
1t t tD D D
k t t t kD D D
1 k
k q
1t tqD D
差分算子
后移算子 q
定义k阶差分算子 k
二、航空公司旅客人数预测问题
关于季节因素，假设
数学建模
2sin( ) ( 12)t
tP A T
T
对 Pt作第 T 阶差分 0T t t t TP P P
定义两个新序列 { },{ }t ty z
, 2t ty x t 在 {xt}中去掉线性增长趋势得到的时间序列
(1 )(1 ) , 2T
t T t tz y q q x t T
在 {xt}中同时去掉线性增长趋势及周期性因素得到的时间序列
以 为中心上下波动 1
1 n
i
t
z zn
二、航空公司旅客人数预测问题
记
其估计式为
自相关函数为
数学建模
( ) ( , )t t kv k E x x
2
( )( )ˆ( )
( 2) 1
n kt k t
t T
z z z zv k
n k T
ˆ( )ˆ( )
ˆ(0)
v kk
v
如果 十分接近于0，且在以0为中心的范围内上
下波动，就可验证我们的假设是合理的。
ˆ( )k
二、航空公司旅客人数预测问题
2. 建立时间序列的数学模型
{zt} 可用自回归滑动平均模型来描述，即
两个约束条件为：
（a）l, m是预先给定的非负整数且至少有一个不为零；
（b）关于x的方程：
数学建模
1 1
l m
t j t j t j t j
j j
z z v v
1
1
0
0
ll l j
j
j
mm m j
j
j
x x
x x
{vt}:零均值独立
随机变量序列
根严格在单
位圆内部
二、航空公司旅客人数预测问题
记
的递推拓广最小二乘估计式为：
数学建模
1 1( , , , , , )T
l m
1( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ))T
tt t a t P t t z t t
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TP t P t a t P t t t P t
( ) 1 ( ) ( ) ( ) Ta t t P t t
(0) 0, (0)P I
其中 1 1 1( ) [ , , , , ( 1) ( ), , ( ) ( 1)]T T T
t t t l t t mt z z z z t t z t m t m
0 大正数， 可由Matlab自动给出。 (0)
二、航空公司旅客人数预测问题
然后，利用最终预报误差法确定l, m的值。最优的l*,
m*是使得
达到最小的 l, m ，其中
最后，获得预测公式
数学建模
1( , )
1n
p nF v l m
p n
2
2
1ˆ( , ) ( )
1
n
n t t
t T
v l m z zn T
1 1
ˆˆ ˆ ˆˆ , 1, 2, ,l m
t j t j t j t j
j j
z z v v t n n n m
二、航空公司旅客人数预测问题
哈尔滨理工大学
应用数学系
作业 教材第4章：
思考题4——4.7、4.9
哈尔滨理工大学
应用数学系
Thank you
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