Cena Slovak Telekom

Cena Slovak Telekom

prácu predkladáme ako spoločný projekt žiakov a učiteľa, ktorý sme vytvorili v školskom roku 2007/2008 v rámci Stredoškolskej odbornej činnosti

kompletná zbierka úloh ako aj celá práca SOČ je dostupná na stránke

http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html

FUNKCIE - elektronická zbierka úloh

RNDr. Marta Mlynarčíková – učiteľka matematikyBarbora Kuffová – žiačka 4. A triedy

Miroslava Špirková – žiačka 4. A triedy

Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku

Prečo sme sa rozhodli vytvoriť zbierku úloh z učiva o funkciách

• Funkcie sú v matematike na gymnáziách zastúpené v každom ročníku, postupne sa preberajú jednotlivé elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy.

• Napriek tomu, že úlohy sú pri každom type funkcií v princípe rovnaké, robí ich riešenie žiakom často problémy.

• Príčinu vidíme aj v tom, že v učebniciach sú len zadania úloh a ich výsledky a niektorí žiaci úlohy bez pomoci učiteľa nevedia riešiť.

• Bezradnosť pri riešení úlohy ako aj chýbajúca možnosť kontroly správnosti postupu riešenia mnohých žiakov odrádza a nemotivuje riešiť ďalšie príklady. Pritom by im na vyriešenie úlohy možno stačila len malá pomoc.

• Preto sme sa v našej práci rozhodli vytvoriť zbierku úloh, ktorá okrem zadaní a výsledkov obsahuje aj návod na riešenie a potrebné základné vzorce a grafy.

Ako je spracovaná zbierka úloh

• Naša zbierka obsahuje úlohy, ktoré sú vypracované v programe PowerPoint s využitím grafického programu Graphmatica.

• Každá úloha je spracovaná na niekoľkých farebne odlíšených prezentačných snímkach.

• Na jednotlivé snímky sa možno dostať kliknutím na hypertextové odkazy na úvodnej snímke každej úlohy, ktoré majú logickú postupnosť: Zadanie úlohy - Výsledok - Vzorce, grafy - Návod na riešenie - Úplné riešenie úlohy

• Výber úloh sme sa snažili urobiť tak, aby boli zastúpené všetky druhy funkcií podľa učebných osnov pre gymnázia a všetky základné typy úloh.

• Mnohé úlohy sú vymyslené (najmä úlohy na zostrojenie grafov funkcií). • Zadania niektorých úloh sme prebrali z literatúry, ale riešenia a návody sme vypracovali samostatne.

Štruktúra a charakteristika jednotlivých snímok každej úlohy

• 1. snímka – Zadanie úlohy obsahuje zadanie úlohy. Pri úlohách s výberom odpovede aj s ponukou odpovedí, z ktorých práve jedna je správna. Pri prevzatých úlohách je uvedený zdroj.

• 2. snímka – Výsledok je určená žiakom, ktorí úlohu vedeli riešiť samostatne a potrebujú si len overiť správnosť svojho riešenia. Pri úlohách na zostrojenie grafu funkcií je znázornený výsledný graf , pri výpočtových úlohách len číselný výsledok, pri slovných úlohách slovná odpoveď.

• 3. snímka – Vzorce, grafy obsahuje základné vzorce a grafy potrebné na riešenie danej úlohy.

• 4. snímka – Návod na riešenie je určená žiakom, ktorí nevedia úlohu samostatne riešiť. Na tejto snímke sa postupne po každom kliknutí objaví slovný návod ako treba úlohu riešiť. Niektorí žiaci budú možno potrebovať len časť návodu, iní vyriešia úlohu postupným vykonávaním všetkých krokov v návode.

5. snímka – Úplné riešenie úlohy je určená najslabším žiakom, ktorí sa môžu naučiť riešiť úlohy preštudovaním úplného riešenia. Pri úlohách na zostrojenie grafov funkcií sú obrázky s grafmi animované tak, že vzniká efekt postupného vykresľovania grafov. Jednotlivé grafy sú farebne odlíšené a spolu s grafom sú šípkami rovnakej farby znázornené posuny grafu. Po nakreslení grafu sú uvedené všetky vlastnosti funkcie. Pri úlohách s výberom odpovede je okrem správnej odpovede uvedený aj postup riešenia úlohy, prípadne zdôvodnenie vylúčenia nesprávnych odpovedí. Žiaci, ktorí vedeli úlohu riešiť samostatne si na tejto snímke môžu porovnať svoje riešenie s uvedeným riešením.

Možnosti využitia zbierky:

• Zbierku úloh možno použiť na precvičovanie učiva o funkciách podľa jednotlivých typov funkcií.

• V elektronickej podobe sa môže zbierka používať z CD nosiča, alebo môže byť sprístupnená na internetovej stránke.

• V tejto podobe je určená najmä na samostatnú domácu prácu žiakov, alebo precvičovanie riešenia úloh na hodine v škole v učebni vybavenej počítačmi.

• Pri práci so zbierkou úloh pri počítači je len na žiakovi ako bude s úlohami pracovať, v akom poradí bude otvárať jednotlivé snímky v prezentácii riešenia úlohy.

• Zbierka môže byť dobrou pomôckou aj pri príprave na maturitnú skúšku alebo prijímacie pohovory na vysokú školu.

Možnosti využitia vytlačenej zbierky:

• Jednotlivé snímky z prezentácie úlohy v PowerPointe sa dajú vytlačiť na papier, rozstrihať na kartičky a všetky kartičky patriace k jednej úlohy vložiť do obálky.

• Takto možno zbierku použiť aj bez počítačov v bežnej triede. • Kartičky vytlačené z našej zbierky majú oproti ručne písaným kartičkám krajšiu grafickú podobu a jednotnú úpravu. Bolo by dobré, ak by sa najmä úlohy na zostrojenie grafov funkcií vytlačili farebne. Pri čiernobielej tlači môže byť obrázok neprehľadný.

• Pri vytlačení riešenia na papier sa pochopiteľne nebudú grafy zostrojovaných funkcií zobrazovať postupne ako to umožňujú animácie v PowerPointe.

Možnosti využitia vytlačenej zbierky

• Vytlačená zbierka umožňuje oproti elektronickej aj ďalšie spôsoby použitia.

•Ak sa z obálok vyberú len kartičky so zadaním úloh, môže ich učiteľ použiť pri ústnom alebo písomnom skúšaní.

• Kartičky so zadaním a výsledkom (prípadne aj návodom a vzorcami) môže učiteľ rozdať ako domácu úlohu a na nasledujúcej hodine si žiaci z kartičky s úplným riešením skontrolujú svoje riešenie a prípadne sa dozvedia iný spôsob riešenia úlohy.

Ako bola zbierka doteraz využitá

• Naša zbierka bola v minulom školskom roku použitá pri vyučovaní tematických celkov Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické funkcie v 2. B triede našej školy. Učivo o exponenciálnych a logarit- mických funkciách bolo v tejto triede odučené metódou blended learningu (zmiešané vzdelávanie, v ktorom sa kombinuje klasické prezenčné vyučovanie s prvkami e-learningu). Naša zbierka je zaradená v kapitole Zbierka riešených úloh v komplexnom výučbovom hypertexte FUNKCIE ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/funkcie/funkcie_obsah.html ).

• Nakoľko je zbierka voľne prístupná na webovej stránke, využívajú ju aj ostatní žiaci pri domácej príprave na vyučovanie.

• Názory žiakov na našu zbierku sme v práci SOČ zisťovali aj anketou – výsledky ankety sú súčasťou práce SOČ ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html ).

Obsah a štruktúra zbierky

• Zbierka je rozdelená do štyroch kapitol: Lineárne a kvadratické funkcie, Goniometrické funkcie, Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické funkcie.

• Zbierka v súčasnosti obsahuje 55 riešených úloh a je doplnená aj základnými teoretickými poznatkami, ktoré sú potrebné na riešenie úloh - Definície vlastností funkcií, Prehľady grafov funkcií a ich vlastností.

• Do zbierky je zaradených aj 13 úloh, ktoré spracovali žiaci spomínanej 2.B triedy – pri týchto úlohách je uvedené meno žiaka, ktorý ju vypracoval. Žiaci tejto triedy dostali za domácu úlohu do prázdnej šablóny v PowerPointe vypracovať jeden príklad z učiva o mocninových, exponenciálnych a logaritmických funkciách rovnakým spôsobom ako boli nami spracované úlohy.

• Výhodou elektronickej zbierky je aj to, že ju možno kedykoľvek doplniť o ďalšie úlohy. Bolo by vhodné doplniť napr. príklady na derivácie a integrály funkcií. Podobné zbierky by sa dali vytvoriť aj z iného učiva.

Ukážky spracovania úloh z elektronickej zbierky

• Celá zbierka bola kvôli prepojeniu jednotlivých kapitol a úloh hypertextovými odkazmi vytvorená ako jedna prezentácia v PowerPointe. Jej veľkosť je 9,3 MB t. j. presahuje povolené 3 MB na práce tejto súťaže.

• V nasledujúcich snímkach tejto prezentácie preto nie je kompletná zbierka ale iba jej úvodné snímky a ukážky niekoľkých úloh.

• V zozname úloh jednotlivých kapitol, sme nechali všetky úlohy, hypertextové odkazy na niektoré úlohy preto nebudú funkčné. Nefunkčné odkazy sú označené symbolom x .

• Kompletná zbierka je dostupná na webovej stránke http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html

Prehľady grafov funkcií a ich vlastností x

Autorky SOČ: Barbora Kuffová

Miroslava Špirková

Lineárne a kvadratické

funkcie

Goniometrickéfunkcie

Mocninovéfunkcie

Definície vlastností

funkcií

Exponenciálnea logaritmické

funkcie

Konzultantka:RNDr. Marta Mlynarčíková

Lineárne a kvadratické funkcieLineárne a kvadratické funkcie

Exponenciálnea logaritmické funkcie


Mocninovéfunkcie

č. 1: slovná úloha o stoličkeč. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami x xč. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou x xč. 5: funkcia s absolútnou hodnotou x xč. 6: graf kvadratickej funkcie x xč. 7: graf kvadratickej funkcie x xč. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede x xč. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha x xč. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede x xč. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotouč. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede x xč. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu x xč. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu

Goniometrické funkcieGoniometrické funkcie

Lineárne a kvadratickéfunkcie

Mocninovéfunkcie

č. 1: graf funkcie s kosínusom x xč. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom xxč. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou x xč. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha x xč. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou x xč. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotouč. 7: goniometrická rovnica x xč. 8: graf funkcie s kosínusom x xč. 9: graf funkcie s tangensom x xč. 10: graf funkcie s kotangensom x xč. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede x xč. 12: goniometrická rovnica x xč. 13: goniometrické rovnice x x


Mocninové funkcieMocninové funkcie



č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede x xč. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede x xč. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x xč. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x xč. 5: slovná úloha o autobuseč. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou č. 7: definičný obor funkcie x xč. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 9: rovnica s odmocninami x xč. 10: rovnica s odmocninamič. 11: nerovnica s odmocninou x xč. 12: rovnica s 3 odmocninami x xč. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou x x


Exponenciálne a logaritmické funkcieExponenciálne a logaritmické funkcie



Mocninovéfunkcie

č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede x xč. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede x xč. 3: graf exponenciálnej funkcie x xč. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 6: logaritmická rovnica x xč. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke x xč. 8: graf logaritmickej funkcie x xč. 9: exponenciálna rovnicač. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 11: graf exponenciálnej funkcie x xč. 12: exponenciálna rovnica x xč. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie x x

Zadanie úlohy Výsledok

Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie

úlohy

Zadanie úlohyZadanie úlohy

Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm.Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,7 cm. a) Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí.b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva jej nosnosť do 120 kg.c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg.

VýsledokNávod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 49)


VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

2,5.025,0: mpf

Ak si na stoličkusadne osobas hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.

a)

b)

c)


Vzorce, grafyVzorce, grafy

Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

Rbabxayf ,,.:Lineárna funkcia:

Graf lineárnej funkcie - priamka


Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy

do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b

označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie

sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc

vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka)

cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla

do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p


Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


m ... hmotnosť osoby v kgp ... prehnutie sedadla stoličky v cm

Rbabmapf ,,.:

ba

ba

60.7,6

40.2,6

Riešením sústavy rovníc určímekoeficienty a, b

2,5025,0 ba

2,5.025,0: mpf

45,72,590.025,090 pmAk si na stoličku sadne osobas hmotnosťou 90 kg, prehnutiesedadla bude 7,45 cm.

a)

c)

b)




úlohy


Je daná funkcia f.

a) Zostrojte graf funkcie f.b) Pomocou grafu funkcie f určte počet riešení rovnice

v závislosti od hodnoty reálneho parametra p.


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

22

11: xxyf



pxx 22

11

VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

riešenia dve má rovnica,2

3

riešenie jedno má rovnica2

3

riešenie nemá rovnica2

3,

p

p

p

a) b)



Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

byf :

0a 0a

baxyf :

0a

baxyf :

aaa

aaaRa

0

0:Definícia:



Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly

do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií

ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií gp

graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f1Uf2Uf3

na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie

počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p



Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcief: y= |1 - x| -0,5.|x + 2|1-x=0 x= 1 x+2=0 x=-2

22

12

2

11:1 xxxyf

xxxyf2

32

2

11:2

22

12

2

11:3 xxxyf

321 ffff

riešenie nemá rovnica2

3,

p

riešenie jedno má rovnica2

3p

riešenia dve má rovnica,2

3

p

pxx 22

11




úlohy


Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

2

53

2

1: 2 xxyf


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy


VýsledokVýsledok

,0 , fHRfD

funkcia f nie je párna ani nepárna

funkcia f nie je prostá

funkcia f nie je zhora ohraničená

funkcia f je zdola ohraničená , d=0

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

funkcia f je klesajúca na intervaloch

funkcia f je rastúca na intervaloch

2

53

2

1: 2 xxyf

53, a 1,

5, a 3,1

funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5

funkcia f nemá maximum


Základný grafZákladný graf

Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

cbxaxyf 2:

0a

0a

cbxaxyf 2:



načrtnite graf funkcie f1: y=x2

načrtnite graf funkcie f2: y=(x-3)2 ... posun o 3 doprava zväčší dvakrát

načrtnite graf funkcie f4: y= 0,5.(x-3)2-2 ... posun o 2 nadol

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

načrtnite graf funkcie f3: y= 0,5.(x-3)2 ... všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia

rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3)2-2|

načrtnite graf funkcie f5=f: y=| 0,5.(x-3)2-2| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x



22 3: xyf

23 3

2

1: xyf

21 : xyf

Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


Vlastnostifunkcie fsú uvedenév časti – Výsledok

232

1: 2

3 xyf 232

1: 2

3 xyf




úlohy


Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h-1, začal brzdiťs konštantným zrýchlením 5 m.s-2 orientovaným proti smerupohybu. a) Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia.b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť a dráha od času.c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h-1a začal brzdiť 30 m pred prekážkou.


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy



VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.

a)

b) tatvvf 525: 0 220 2

525

2

1: ttattvsg

Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.c)



Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

atvv 02

0 2

1attvs

Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb:

0a baxyf :

0a baxyf :

cbxaxyf 2:0a

0a

cbxaxyf 2:0a



zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu

premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s-1

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín

do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času

do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku



Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


atvv 02

0 2

1attvs

pri zastavení1.0 smv

a

vtatv 0

00

a

v

a

va

a

vvs

22

1 20

2

000

ms 5,625.2

252

Brzdná dráha automobiludo úplného zastavenia je62,5 metrov.

110 .25.90 smhkmv

2.5 sma

a)

b)tatvvf 525: 0

... lineárna klesajúca funkcia

Pokračovanieriešenia úlohy



Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


220 2

525

2

1: ttattvsg ... kvadratická funkcia

b) c)11

0 .25.90 smhkmv

ms 30

20 2

1attvs

252

12530 tt

)56,8(4,1

52

01210

21

2

sstst

D

tt

atvv 0

11 .8,64.18

4,1.525

hkmsm

v

Auto narazí do prekážkyrýchlosťou 64,8 km/h.




úlohy



42cos.3:

xyf


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy


VýsledokVýsledok

3,0 , fHRfD


funkcia f je periodická 2min p

funkcia f nie je prostá

funkcia f je zdola ohraničená, d=0

funkcia f je zhora ohraničená, h=3

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

funkcia f má neostré maximá v každom bodex=1,5π+2kπ, k є Z

funkcia f má neostré minimá v každom bodex=0,5π+2kπ, k є Z

funkcia f je rastúca na každom intervale(0,5π+2kπ, 1,5π+2kπ) , k є Z

funkcia f je klesajúca na každom intervale(1,5π+2kπ, 2,5π+2kπ) , k є Z

22

1cos3:

xyf



xyf cos:1

Zadanie úlohy


Riešenie úlohy



načrtnite graf funkcie f1: y=cosx

načrtnite graf funkcie f2: y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f3: y=cos[1/2.(x+π/2)]

... perióda sa dvakrát zväčší načrtnite graf funkcie f4: y=|cos[1/2.(x+π/2)]| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát

v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]|

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok




2cos:2

xyf

22

1cos:4

xyf

22

1cos:3

xyf

22

1cos3:5

xyff

xyf cos:1

Zadanie úlohy

Vzorce,grafy






úlohy


Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút. a) Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu.b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h-1 až 90 km.h-1 .c) Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie.d) Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny?e) Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ?f) Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ?


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Mocninovéfunkcie

VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

vtf

120

2

1:

1.90,40 hkmfD min303min,5012

7,

6

11hodhodhodfH

a)

b)

c)

e)

Najkratší možnýčas cestovania je 1 hod a 50 min.

Cestujúci zaplatína tejto trase 190 Sk.

f)

d)

d)

Autobus príde docieľovej stanicepresne o 2 hodinypri priemernej rýchlosti80 km.h-1.

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

x

kyf : k>0

k<0

tvs .

x

kyf :

Mocninovéfunkcie

Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy čas 30 min premeňte na hodiny a zo základného fyzikálneho vzorca vyjadrite čas v závislosti od priemernej rýchlosti a dráhy, potom nezabudnite pripočítať čas, ktorý stojí autobus na zastávkach uvedomte si, ktoré veličiny sa nemenia (sú konštantné) a na základe toho určte o aký typ funkcie ide vo vhodnej mierke načtrnite graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času jazdy od priemernej rýchlosti autobusu (vodorovná os – rýchlosť v, zvislá os – čas t) definičný obor funkcie je určený hraničnými priemernými rýchlosťami autobusu (zohľadnite to na grafe) a odčítaním z grafu alebo výpočtom určte obor hodnôt

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

do rovnice funkcie dosaďte za t=2 hod a vypočítajte v , v grafe veďte cez 2 na zvislej osi rovnobežku s vodorovnou osou a v jej priesečníku s grafom veďte kolmicu na vodorovnú os a odčítajte rýchlosť

najkratší čas cestovania určte z oboru hodnôt a vypočítajte cenu, ktorú zaplatí cestujúci

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


vv

stf

120

2

1

2

1:

hodhodhodfH

thkmv

thkmv

hkmfD

5,3min,5012

7,

6

112

73

2

1

40

120

2

1.40

6

11

3

4

2

1

90

120

2

1.90

.90,40

1

1

1

803

240

23

120120

2

122 v

vt

b)

e) Najkratší čas cestovania dosiahneme pri najvyššej priemernej rýchlosti autobusu:

.min5016

11

3

4

2

1

90

120

2

1.90 min

1 hodhodthkmv

Skc 190105,1.120 f) Cestujúci zaplatí

a)c)

d)d)

Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h-1.

Mocninovéfunkcie



úlohy


Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré sú riešeniami nerovnice


Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

1143

1

xx

x

Mocninovéfunkcie

VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej nerovnici je 7.

4,2,14,32, NK

Mocninovéfunkcie

Základné grafyZákladné grafy

Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

baxyf : baxyf :

0a0a

byf :

0a

x

kyf :

x

kyf :

0k 0k

Mocninovéfunkcie


výraz na ľavej strane nerovnice určuje funkciu

upravte rovnicu funkcie f na tvar načrtnite graf funkcie f ( je to lineárne lomená funkcia, ktorej grafom je hyperbola, preto je potrebné najprv narysovať asymptoty) výraz na pravej strane nerovnice určuje funkciu do tej istej súradnicovej sústavy načrtnite graf funkcie g

nerovnicu je vhodné riešiť graficky

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

priesečníky grafov zodpovedajú riešeniu rovnice, pri riešení nerovnice hľadáme všetky hodnoty x, pre ktoré je graf funkcie f nad grafom funkcie g

3

1:

x

xyf

sx

kryf

:

114: xyg

z grafov odčítame všetky prirodzené čísla, ktoré vyhovujú nerovnici a určíme ich súčet

skúste danú nerovnicu vyriešiť aj numericky a porovnajte náročnosť riešenia

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


1143

1

xx

x

3

1:

x

xyf

114: xyg

Graficky vyriešime danú nerovnicu

3

41

3

1:

xx

xyf

Funkcia f je lineárna lomená funkcia.

1 , 3 RfHRfD

xgxf

g je lineárna funkcia.

Z grafov odčítame priesečníky oboch funkcií ako aj riešenie nerovnice. V R je to zjednotenie intervalov 4,32,

V množine prirodzených čísel danej nerovnici vyhovujú len čísla 1, 2, 4 . Ich súčet je1+2+4=7.

Mocninovéfunkcie



úlohy

Spracovala: Martina Marhefková, 2.B



Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu.

12584 2 xxx

Mocninovéfunkcie

VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

2

1K

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

Rovnicu umocníme a tým odstránime jednu odmocninu.Na pravej strane rovnice použijeme vzorec (a+b)2.Presunieme členy rovnice na pravú stranu, na ľavej necháme odmocninu.Rovnicu umocníme, pozlučujeme členy a vyjadrime x1 a x2.Keďže sme použili dôsledkové úpravy (umocnenie), je nutná skúška.Vykonaním skúšky správnosti zistime, či vypočítané korene sú aj koreňmi danej rovnice.

Mocninovéfunkcie


Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


2

1

:4

1

164

181658

1458

4144584

12584

12584

2

2

2

2

222

22

22

x

x

x

xxx

xx

xxxxx

xxx

xxx

2

11 x

2

12 x

neexistuje

xL 2319152

18

4

14ˇ 1

011

001111544

14ˇ

2

2

xP

xL

22

11

ˇ

ˇ

xPxL

xPxL

2

1K

Mocninovéfunkcie



úlohy




Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

24

1.

2

1:

2

x

yf


VýsledokVýsledok

),0 , fHRfD


funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá

funkcia f je zdola ohraničená, d=0

funkcia f nie je zhora ohraničená

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

funkcia f má ostré minimum v bode x = -3

funkcia f je klesajúca na intervale

funkcia f nemá maximum

funkcia f je rastúca na intervale

3,

,3

24

1.

2

1:

2

5

x

yff


Základné grafyZákladné grafy

Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

xayf :

xayf :

1a

10 a



načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky doľava načrtnite graf funkcie

... hodnoty funkcie sa zmenšia dvakrát a graf sa preklopí pod os x

načrtnite graf funkcie

Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok


x

yf

4

1:1

2

2 4

1:

x

yf

2

3 4

1.

2

1:

x

yf

načrtnite graf funkcie ... časť grafu pod osou x sa

preklopí nad os x

24

1.

2

1:

2

5

x

yff

načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky nahor

24

1.

2

1:

2

4

x

yf



2

2 4

1:

x

yf

x

yf

4

1:1

Zadanie úlohy

Vzorce,grafy



2

3 4

1.

2

1:

x

yf

24

1.

2

1:

2

4

x

yf

24

1.

2

1:

2

5

x

yff




úlohy

Spracoval: František Bizovský, 2.B



Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

V obore reálnych čísel vyriešte exponenciálnu rovnicu :

082 73 31 3 13 x xx x


VýsledokVýsledok

Zadanie úlohy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

13

20K



Zadanie úlohy


Riešenie úlohy

abb a xx

abba xx

2

1

xx

bd

cbad

d

c

b

a



Zadanie úlohy

Riešenie úlohy

Vzorce,grafy

Výsledok

na ľavej strane si odstránime odmocninu v prvom člene, druhý člen ľavej strany upravíme na rovnaký základ ako má prvý člen

odmocniny si upravíme do exponenciálneho tvaru, tak aby ani jeden z členov rovnice nebol záporný

z vlastností exponenciálnych funkcií vyplýva ( exp. funkcia je prostá), že ak sa mocniny s rovnakým základom rovnajú, tak sa rovnajú aj exponenty exponenty si prehodíme na ľavú stranu a dáme na spoločného menovateľa

vynásobíme rovnicu menovateľom, roznásobíme výraz na ľavej strane

upravíme výraz a vyjadríme x, overíme, či koreň vyhovuje podmienkam, zapíšeme množinu riešení



Zadanie úlohy

Vzorce,grafy


13

20

2013

02717697379

033937313

07333

33937313

073

13

33

1373

13

33

13

22

022

082

22

73

93

33

13

73 9333 13

73 31 3 1

x

x

xxxxxx

xxxx

xx

xxxxx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x xx x

x xx x

3

7,1 xx


Documents

Cena Slovak Telekom