Centralne Sile

Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Geofizički odsjek

1

Planetologija

Referat iz domaće zadaće

Orbite u polju centralne sile i efekt gravitacijske praćke

Petra Erceg

19. siječnja 2016.

Orbite u polju centralne sile

Geostacionarni satelit (geo- + kasnolat. stationarius: koji miruje) je umjetni Zemljin satelit koji se giba

sinkrono s okretanjem Zemlje oko svoje osi, pa se čini da miruje iznad određene točke na ekvatoru.

Satelit se u ravnini ekvatora giba po takvoj kružnoj stazi da je trajanje njegova obilaska oko Zemlje

jednako trajanju okretaja Zemlje oko svoje osi (23 h, 56 min, 4 s), uz jednak smjer gibanja (od zapada

prema istoku). To se postiže pri brzini satelita od 3074 m/s i visini od 35 780 km, a takva se orbita naziva

geostacionarnom (katkad i geosinkronom). Iz tog je položaja vidljiva približno trećina Zemljine površine

pa ju je cijelu moguće pokriti sa samo tri satelita, što geostacionarnu orbitu čini osobito pogodnom za

smještaj telekomunikacijskih i meteoroloških satelita. Prvi geostacionarni satelit bio je Syncom-3,

američki telekomunikacijski satelit lansiran 1964.

Najčešći orbitalni manervi koje izvode svemirske letjelice sastoje se od varijacija brzine duž smjera leta,

odnosno ubrzavanja do veće orbite ili usporavanje da bi ponovo ušle u atmosferu. U ovom problem

ćemo proučiti orbitalne varijacije kada se potisak motora usmjeruje radijalno. Da bismo dobili numeričke

vrijednosti, korištene su sljedeće konstante:

radijus Zemlje

gravitacijsko ubrzanje na površini Zemlje

dužina zvjezdanog dana

Razmatramo geostacionarni komunikacijski satelit mase m stavljen u ekvatorijalnu kružnu orbitu

radijusa . Ovi sateliti imaju "apogejski" motor koji pruža tangencijalni potisak potreban za postizanje

konačne orbite.


2

Zadaci

1. 1. Promotrimo geostacionarni satelit mase m na ekvatorijalnoj cirkularnoj

orbiti radijusa .

a) Izrazite brzinu satelita kao funkciju od Izrazite kutnu količinu gibanja i

mehaničku energiju kao funkcije od , , , i . Radijus Zemlje je , a gravitacijsko ubrzanje na

površini Zemlje je .

Satelit dodatno dobiva anti – radijalni potisak karakteriziran parametrom potiska . Vrijeme

ispaljivanja goriva je puno kraće od perioda ophoda oko Zemlje, te smatramo da se gorivo trenutno

ispaljuje. Pretpostavimo da je

b1) Odredite parametre i nove putanje, kao funkcije od i .

b2) Izračunajte kut između glavne osi nove orbite i vektora položaja početnog ispaljivanja.

b3) Izrazite perigej i apogej kao funkcije od i .

b4) Odredite period nove orbite.

c1) Izračunajte minimalni parametar koji je potreban da satelit napusti Zemljinu

gravitaciju.

c2) Odredite minimalnu udaljenost satelita od Zemlje u slučaju ovakve orbite. Pretpostavimo

sada da je .

d1) Odredite brzinu satelita na velikim udaljenostima od Zemlje.

d2) Odredite „parametar sudara“ asimptote putanje satelita.

d3) Odredite kut između asimptote putanje i vektora položaja satelita prilikom ispaljivanja

goriva.


3

Rješenja i diskusija

a) Iz jednadžbi:

,

,

,

za brzinu satelita slijedi:

Tako je pokazano da je brzina satelita funkcija .

Nadalje, kutnu količinu gibanja i mehaničku energiju kao funkcije od , , , i

izražavamo:

20

20

0

220

0

200 2

1

2

1

2

1mvmv

r

mRgmv

r

mMGmvE TT

b1) Parametar l izražavamo uzimajući u obzir da je orbitalni kutni moment isti u obje orbite.

Tako imamo:

odnosno

Vrijednost ekscentriteta je:

gdje je E nova mehanička energija satelita:


4

tj.

Uzimajući u obzir oba izraza, dobijemo da je:

Ako pretpostavimo da je tada je i pa je ta krivulja eliptična.

b2) Tražimo izraz za kut α, kut između glavne osi orbite i vektora položaja početnog

ispaljivanja. Na Slici 1 prikazan je presjek početne i konačne orbite satelita P.

Slika 1. U točki P sijeku se početna i konačna orbita satelita

U tom trenutku sa slike vidimo da vrijedi:

b3) Perigej je najbliža točka na stazama umjetnih Zemljinih satelita do Zemljina središta,

smještena na kraju velike osi elipse kojom se satelit giba relativno prema Zemlji. Označit

ćemo ga sa

Apogej je najudaljenija točka na stazama umjetnih Zemljinih satelita od Zemljina

središta. Označit ćemo ga sa

Ponovno sa Slike 1 vidimo da maksimum i minimum za r odgovaraju pripadnim

vrijednostima u i . Svojevrsne ograde dane su sa:

i


5

b4) Period nove orbite T dobit ćemo iz III. Keplerovog zakona:

gdje je a sporedna os elipse dana izrazom:

Uvrštavanjem dobivamo:

c1) Minimalan parametar potreban da satelit napusti Zemlju dobit ćemo promatranjem

jedine moguće putanje; one otvorene na kojoj ekscentritet putanje mora biti veći ili

jednak 1. Najmanji potisak odgovara onome potrebnom za paraboličnu putanju sa

Ovakav zaključak možemo donjeti i promatraući totalnu energiju satelita koja mora biti 0

da bi se dosegla beskonačnost ( bez ikakve preostale brzine ( .

Jednak zaključak donose i promatranja za vrijednost perioda i apogeja

c2) Budući da iz prethodnog izraza imamo da je jednadžba za parabolu glasi:

gdje je “semi-latus-rectum” Minimum udaljenosti Zemlja-satelit promatramo za

vrijednost , gdje je

Ovo također možemo dobiti iz očuvanosti energije za i jednakosti između kutnog

momenta u početnoj točki P i na maksimalnoj aproksimaciji, kada su okomiti.

d1) Na velikim udaljenostima od Zemlje, brzinu satelita računamo pomoću izraza za

sačuvanje energije:


6

d2) Parametar sudara b promatramo pomoću Slike 2.

Slika 2. Parametar sudara na hiperbolnoj putanji satelita

Kutni moment satelita isti je u točki P kao i u točki gdje je . Tako imamo:

Slijedi:


7

d3) Kut između asimptote putanje i vektora položaja satelita prilikom ispaljivanja goriva se

pojavljuje u polarnoj jednadžbi u graničnom slučaju kada . Promatramo Sliku 3.

Slika 3. Prikaz putanja satelita i smjera brzine te kutova

Ovo je kut za koju jednadžba:

iščezava, tj. slijedi:

Prema Slici 3:


8

1.2. Efekt gravitacijske praćke

Efekt gravitacijske praćke (eng. gravitational slingshot effect) je promjena smjera i iznosa brzine sonde u

heliocentričnom sustavu, uslijed njenog prolaska pored planeta [1]. Zbog utjecaja Jupitera (kao

najvećeg) i ostalih planeta Sunčevog sustava isti efekt može se javljati i kod prolaska kometa. Sunce

unutar heliocentričnog sustava ne može dati taj efekt jer njegov centar u sustavu miruje. Teorija efekta

razvila se nakon promatranja gibanja sonde u gravitacijskom polju planeta koji se giba oko Sunca. Naime,

uočeno je da se brzina sonde povećava ili smanjuje uz promjene smjera brzine. Ovaj efekt se često

koristi prilikom slanja sondi prema vanjskim planetima ili se ona šalje prema vanjskom planetu, pa uz

njegovu pomoć putem gravitacijske praćke napušta heliocentrični sustav. Gravitacijska praćka se koristi

zato jer se postižu veće promjene brzine koje su potrebne za neke manevre, nego što bi se dobile

ispaljivanjem iz raketnih motora. Osim toga, moguća je i ušteda goriva, a za neke manevre ne postoje

dovoljno veliki raketni motori, pa se koristi pomoć vanjskih planeta putem gravitacijske praćke.

Promatramo gibanje sonde u gravitacijskom polju planeta, i to u onim područjima gdje je gravitacijsko

djelovanje Sunca zanemarivo ili puno kraće u odnosu na djelovanje planeta, a sonda se na početku nalazi

dovoljno daleko od planeta i giba se brzinom . Sonda se nakon susreta giba na velikim udaljenostima

od planeta brzinom , ali je ipak u području gdje je gravitacijski utjecaj Sunca puno manji od onog

planeta. Smatramo da je vrijeme proleta sonde pored planeta puno kraće od perioda ophoda planeta

oko Sunca, pa možemo smatrati da se planet giba pravocrtno tijekom susreta sa sondom. Za gibanje

planeta i sonde vrijede drugi i treći Newtonov zakon: ukupni impuls tog sustava tijekom međudjelovanja

sonde i planeta očuvan, pa vrijedi:

(1)

gdje su:

brzina sonde u heliocentričnom sustavu prije susreta s planetom

brzina planeta u heliocentričnom sustavu prije susreta sa sondom

brzina sonde u heliocentričnom sustavu poslije susreta s planetom

brzina planeta u heliocentričnom sustavu poslije susreta sa sondom

m masa sonde

M masa planeta

Iz jednadžbe (1) imamo za promjenu brzine planeta zbog susreta sa sondom:

(2)


9

U realnim situacijama (i za planete u rasponu masa od mase Venere do mase Jupitera) su omjeri masa

sonde i planeta reda veličine 10−21 − 10−24, a iz posljednje jednadžbe vidimo da promjena iznosa i smjera

brzine planeta može biti zanemarena, tj. smatramo da je

Pri razmatranju ćemo kao referentni sustav uzeti onaj čije je ishodište u centru planeta (planet u njemu

miruje) i giba se brzinom . Sonda se planetu približava relativnom brzinom u odnosu na planet:

Pretpostavljamo da se sonda giba po hiperboli ili paraboli sa fokusom u centru planete te pod njezinim

gravitacijskim utjecajem. Prije susreta giba se po ulaznoj asimptoti putanje, a nakon što sonda dosegne

minimalnu udaljenost prilikom prolaska kraj planeta, nastavit će se gibati po izlaznoj asimptoti. Pri tome

po zakonu očuvanja energije vrijedi: , odnosno brzina udaljavanja će nakon susreta s

planetom biti iznosom jednaka onoj približavanja. Brzina udaljavanja u heliocentričnom sustavu je:

.

Ovdje ćemo razmatrati dva slučaja. U prvom slučaju sonda prolazi iza planeta (neku točku putanje

planeta prijeđe prije nego ju prijeđe sonda).

Na Slici 4 prikazani su vektorski dijagrami za slučaj kada sonda prolazi iza planeta.

Slika 4. a) Vektorski dijagrami za slučaja kada sonda prolazi iza planeta.

b) Putanja sonde u heliocentričnom sustavu, brzina sonde nakon susreta s planetom je veća nego prije susreta

Na Slici 4.a prikazano je vektorsko zbrajanje brzina. Vektori imaju jednak iznos, ali zbog

zakretanja sonde u sustavu planeta, vektor je zarotiran za kut u odnosu na ( je kut između

asimptota putanje sonde u sustavu planeta). Slika 4.b prikazuje spojene vektorske dijagrame. Kut α je

kut između vektora i , a kut je kut između vektora i . Kut je pozitivan ako je rotiran kao na

slici 4.b, a negativan ako je u suprotnom smjeru. Uvesti ćemo kutove i postaviti jednadžbe:


10

Budući je slijedi:

Iz ovih jednadžbi možemo naći izraz za brzinu sonde nakon njezinog susreta s planetom, što je u biti

kosinusov poučak [2]:

(3)

U slučaju ako je V = 0 ne možemo postići povećanje ili smanjenje brzine (tj. time ostajemo u sustavu

planeta).

Na Slici 4 prikazana je putanja sonde u sustavu planeta.

Slika 4. Putanja sonde u sustavu planeta

Položaj sonde opisan je koordinatama , gdje je r radijalna udaljenost sonde s referentnom osi koja

prolazi kroz centar planeta, i položaj referentne osi je dan sa Radijalna udaljenost sonde za

položaj odgovara točki putanje u kojoj se sonda najviše približi planetu i tu udaljenost ćemo

označiti s . Može se pokazati da će putanja u sustavu planeta imati oblik:


11

Ekscentricitet putanje

(„odstupanje od središta“ [3]) je očuvana veličina u ovom

slučaju, jer se sonda nalazi u polju centralne sile (vektor radijalne udaljenosti i sila koja djeluje na sondu

su u bilo kojem trenutku gibanja antiparalelni, pa je moment gravitacijske sile jednak nuli u svakom

trenutku, nema promjene momenta impulsa sonde). Pod tim pretpostavkama vrijedi da je

Minimalna udaljenost sonde od planeta je

a na velikim udaljenostima od planeta r

teži u beskonačnost. Iz tog uvjeta dobivamo kutove:

Pomoću Slike 4 vidimo da je

Znači da kut koji zatvaraju

brzine i ovisi samo o ekscentritetu putanje (za parabolu

Iz jednadžbe (3) proizlazi nekoliko zaključaka:

1. ima maksimalnu vrijednost kada je

, za fiksne vrijednosti od ,

i , a tada je i je paralelna s ;

2. Kako vidimo sa slike 5, kut se povećava kada povećavamo kut , za fiksne vrijednosti od

i ;

3. Maksimalna brzina nakon susreta s planetom iznosi:

,

te se može vidjeti da je ;

4. se postiže kada je i tada je , a to je slučaj kada nema

otklona sonde u heliocentričnom sustavu (zbog toga jer se sonda giba na velikim

udaljenostima od planeta, tj. ;

5. Sa slike 5 vidimo da će biti ispunjeno i za kut (za fiksni ), a može se pokazati

da vrijedi , te je u ovom slučaju ;

6. Pomoću slike 5 možemo vidjeti da će postojati dva kuta , za koje će imati istu

vrijednost (za neki , te fiksne i );

7. Može se dokazati da vrijedi relacija ;

8. Pomoću danih izraza za , i možemo uvesti da je:


12

i

,

pa će za veći biti potreban manji (ako želimo isti uz fiksne , i ), što znači da je

bolje prilikom manevra koristiti slučaj manjeg kuta od dana dva , kako bi se izbjegao

eventualni sudar sonde i planeta;

9. Sa slike 5 možemo vidjeti da će biti moguće usporavanje sonde ( ) i kada je , a

sonda se usporava ako je

Slika 5. Ovisnost omjera o kutu između asimptota , kada je i za tri vrijednosti

kuta . Kutovi su u danom rasponu, jer za gravitacijsko međudjelovanje nije moguće postići

kut otklona veći od 180° (to općenito vrijedi za međudjelovanja koja su proporcionalna s ).

10. U slučaju parabolične putanje će biti , a ukoliko je i dobit ćemo

i u tom slučaju bi povećanje iznosa brzine bilo , međutim to nije

moguće realno postići, jer ako bi bilo , to bi onda značilo , tj. da se sonda mora

direktno sudariti s planetom; znači povećanje iznosa brzine je uvijek manje od 2V (za

hiperboličnu putanju).


13

a) b)

Slika 6. a) Vektorski dijagrami za slučaj kada sonda prolazi ispred planeta. b) Putanja sonde u

heliocentričnom sustavu. Brzina sonde u heliocentričnom sustavu nakon susreta s planetom je

manja nego prije susreta.

Promotrimo sada i drugi slučaj (kada sonda prolazi ispred planeta), tj. slučaj kada neku točku putanje

planeta on prijeđe nakon što ju prijeđe sonda, kao što je prikazano na slici 6.b). I za ovaj slučaj na sličan

način možemo doći do izraza za brzinu sonde nakon prolaska kraj planeta:

(4)

Izraz (4) dobivamo i ako u jednadžbu (3) stavimo – umjesto , što odgovara dogovorenom smjeru

rotacije kuta , jer je u slučaju kad sonda ide ispred planeta taj kut negativan, odnosno vektor se

rotira u suprotnom smjeru nego u slučaju kada ona prolazi iza planeta.

U ovom slučaju se brzina sonde nakon prolaska kraj planeta smanjuje odnosno vrijedi (kut je

negativan, slika 6). Manevar usporavanja sonde je koristan npr. kada se sonda treba postaviti u putanju

oko nekog planeta (ušteda goriva).

Zakon sačuvanja energije u sustavu planeta i u heliocentričnom sustavu

Iz zakona o sačuvanju energije koji govori da energija zatvorenog sustava ne može nestati niti ni iz čega

nastati, nego može samo prelaziti iz jednog oblika u drugi te da je konstanta [4], znamo kako će u

sustavu planeta vrijediti relacija . Sam cilj gravitacijske praćke je ubrzanje ili usporenje sonde.

Ulazna i izlazna brzina sonde ne moraju biti iste ( ). Kako se nalazimo u sustavu planeta, a vrijedi


14

zakon sačuvanja energije, to znači da bi se možebitna „izgubljena“ mehanička energija (time i brzina)

sonde dodala mehaničkoj energiji planeta. Iz tog proizlazi kako bi se brzina planeta trebala povećati. No,

s obzirom da je masa planeta nemjerljivo veća od mase sonde, i ta „prenesena“ energija na planet ili

„oduzeta“ energija od planeta bi bila zanemariva te se promjena brzine planeta ne bi ni opazila.

Procjenjuje se da je susret svemirske letjelice Voyagera s Jupiterom usporio Jupiter za 30 cm svakih

godina (slika 7), a susret letjelice Galileo sa Zemljom (slika 8) je usporio Zemljinu brzinu revolucije za

cm svake godine [1].

Slika 7. Prolazak letjelice Voyager pokraj Jupitera


15

Slika 8. Prolazak letjelice Galileo kraj Zemlje na putu ka Jupiteru, 1992. godine

S obzirom da sonde šaljemo na daleke udaljenosti (poput Voyagera), cilj nam je iskoristiti efekt

gravitacijske praćke kako bi „ukrali“ energiju planetu i dali je sondi (manji trošak goriva). Da bi to uspjeli,

na planetu mora biti izvršen negativni rad, odnosno sila kojom sonda djeluje na planet i njegov pomak

moraju biti suprotno usmjereni [1]. Sve ovo ne vrijedi ako se planet, od kojega namjeravamo uzeti

energiju, ne kreće. Opisana je pojava prolaska sonde „iza“ planeta, a slične zaključke možemo donijeti

kada sonda prolazi ispred planeta.

Napuštanje heliocentričnog sustava direktno sa Zemlje i korištenjem vanjskih

planeta

Ukoliko bi sonda bila lansirana sa Zemlje i cilj bi joj bio napustiti heliocentrični sustav, tada bi ona trebala

imati početnu brzinu (u odnosu na Zemlju, znači pri lansiranju) od otprilike 12.3 km/s (treća kozmička

brzina sa Zemlje) [1]. Treća kozmička brzina je brzina potrebna da se neko tijelo oslobodi gravitacijskog

utjecaja Sunca [5]. Ovdje pretpostavljamo da se sonda lansirala tangencijalno na putanju Zemlje oko

Sunca (u smjeru putanje), da se onda kreće paraboličnom ili hiperboličnom putanjom oslobađajući se

gravitacijskog utjecaja Sunca te zanemarujemo atmosferski otpor i utjecaj Zemljine gravitacije. Ukoliko bi

željeli lansirati sondu koja će napustiti heliocentrični sustav uz pomoć efekta gravitacijske praćke, omjer

početne kinetičke energije sonde direktnim lansiranjem te početne kinetičke energije sa Zemlje za Mars

iznosi 4.93, Jupiter 1.94, Saturn 1.46, Uran 1.21 i Neptun 1.13 [1]. Uzeli smo u obzir razne pretpostavke,

tj. da je masa sonde jednaka za bilo koje lansiranje, da je sonda lansirana tangencijalno na putanju

Zemlje (i u smjeru putanje) te da se putanja sonde ne zakreće nakon prolaska kraj planeta (tu je

pretpostavljeno i da planeti imaju kružne, a ne eliptične putanje) odnosno da dobiva maksimalan potisak

od planeta. Najviše se energije, što je i logično, ulaže za direktno lansiranje sa Zemlje, a najviše bi


16

uštedjeli ako bi koristili putanju Marsa. Ovo što smo do sada opisali je vrlo aproksimativan proračun koji

zanemaruje realne pojave (poput Zemljine gravitacije i dr.). Teorijski bi se mogli iskoristiti efekt

gravitacijske praćke pomažući se sa što više planeta heliocentričnog sustava kako bi enormno smanjili

utrošak goriva, ali i povećali masu i kompleksnost sonde (slika 9 - letjelica Cassini – Huygens koristi

gravitacijsku praćku). No, tada bi putovanje sonde do željenog odredišta trajalo mnogo dulje nego

korištenjem direktnog lansiranja.

Slika 9. Interplanetarna trajektorija letjelice Cassini – Huygens

Zaključak

Ovim kratkim seminarom smo dali neke od osnovnih značajki i pojava vezanih za efekt gravitacijske

praćke. Efekt je opisan uz pomoć brojnih pretpostavki i zanemarenja. Npr. uzeli smo u obzir da su sustav

planeta te heliocentrični sustav inercijalni, planet je promatran kao točkast, vrijeme prolaska sonde

pokraj planeta je bilo trenutno (beskonačno kratko) te smo sustav planet – sonda uzeli kao izoliran i da

za njega vrijede drugi i treći Newtonov zakon [1]. Iako smo ovom „problemu“ pristupili sa brojnim

pretpostavkama, zorno je prikazan svaki detalj bitan za osnovno razumijevanje efekta te njegovo

korištenje u realnim situacijama poput slanja sondi na daleka putovanja koja, bez korištenja ovog efekta,

ne bi mogli nikada doseći.


17

Literatura

[1] Matematičko – fizički list, LVII 1 (2006. – 2007.), Eugen Vujić, Efekt gravitacijske praćke

[2] „Kosinusov poučak i adicioni teoremi“ ; http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node93.html

[3] „Ekscentricitet“ ; https://hr.wikipedia.org/wiki/Ekscentricitet

[4] „Zakon očuvanja energije“ ; https://hr.wikipedia.org/wiki/Zakon_o%C4%8Duvanja_energije

[5] „Kozmička brzina“, Leksikografski zavod Miroslav Krleža;

http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?id=33595

Slike

Slika 7: „Prolazak letjelice Voyager pokraj Jupitera“ ;

http://www.nasa.gov/centers/goddard/multimedia/largest/Jupiter_voyager.jpg_prt.htm

Slika 8: „Prolazak letjelice Galileo kraj Zemlje na putu ka Jupiteru, 1992. godine“ ;

http://www.npr.org/sections/13.7/2014/05/18/312170238/unruly-children-of-earth-grow-up

Slika 9: „Interplanetarna trajektorija letjelice Cassini – Huygens“;

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_Cassini%E2%80%93Huygens

http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node93.html

https://hr.wikipedia.org/wiki/Ekscentricitet

https://hr.wikipedia.org/wiki/Zakon_o%C4%8Duvanja_energije

http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?id=33595

http://www.nasa.gov/centers/goddard/multimedia/largest/Jupiter_voyager.jpg_prt.htm

http://www.npr.org/sections/13.7/2014/05/18/312170238/unruly-children-of-earth-grow-up

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_Cassini%E2%80%93Huygens

Documents

Centralne Sile