Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantimfiles.matematica-ceeja.webnode.com/200000052-645bd65568/apost… · CEESVO – MATEMÁTICA - 2ª série ENSINO MÉDIO 2 Veja outros

MÓDULO 6

CEESVO – MATEMÁTICA - 2ª série ENSINO MÉDIO

2

Veja outros exemplos de experimentos aleatórios:

1 ) O lançamento de uma moeda

Não se pode determinar o resultado, antes de efetuar o lançamento

da moeda.

2 ) A aposta em jogo qualquer da Loteria Esportiva.

Não se pode prever o resultado, antes do jogo ser efetuado.

3 ) A disputa de par ou ímpar.

Não se pode prever o resultado, se par ou ímpar, antes da disputa.

Então quando usamos probabilidades?

Você ouviu falar desse assunto em situações como: a probabilidade de

ser sorteado, de acertar numa aposta, de um candidato vencer uma eleição, de

acertar o resultado de um jogo etc. Portanto, “usamos probabilidades em

situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é

possível saber, prever, qual deles realmente vai ocorrer em cada situação”.

Ao lançar para o alto uma moeda e quiser saber se o resultado é cara ou

coroa, não podemos prever o resultado mas podemos calcular as chances de

ocorrência de cada um. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um

resultado.

Por meio dos exemplos abaixo você aprenderá o cálculo de

probabilidades.

EXEMPLO 1:

Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moeda?

SOLUÇÃO:

Raciocinando matematicamente os resultados, cara e coroa têm as

mesmas chances de ocorrer. Como são duas possibilidades (cara ou coroa)

podemos dizer que a chance de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que

dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é 2

1 (metade), (1:2) ou 0,5

ou 50%.

Neste exemplo você calculou intuitivamente a probabilidade do

resultado ser cara e você deve ter percebido que a probabilidade de dar coroa

é a mesma, ou seja, 50%.


3

Probabilidade

EXEMPLO 1

No lançamento de um dado qual a probabilidade do resultado ser um número par?

SOLUÇÃO:

Para que o resultado seja par devemos conseguir:

Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5,

6).

Generalizando essa solução:

P (par) = nº de resultados favoráveis = 3 = 0,5 . 100 = 50%

nº total de resultados possíveis 6

Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par.

Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados possíveis, todos com a mesma

chance de ocorrer. A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que

satisfaçam uma condição ou exigência é representada por p (E) e calculado por:

p (E) = nº de resultados favoráveis a E

nº total de resultados possíveis

EXEMPLO 2:

Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas.

Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade dela ser branca?

SOLUÇÃO:

p (branca) = nº de bolas brancas = 2 = 0,2 . 100 = 20%

nº total de bolas 10

EXEMPLO 3:


4

De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retiramos uma das cartas ao acaso. Qual a

probabilidade de:

a) ser um ás?

b) Ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?

SOLUÇÃO:

O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (às, 2 a 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4

naipes (copas, ouro, paus e espadas) e 2 coringas.

a) p (ás) = nº de ases existentes = 4 = 0,07 . 100 = 7%

nº total de cartas 54

b) Como as 4 cartas com o nº 2 também são consideradas coringas, a probabilidade de tirar um

coringa será:

p (coringa) = nº de coringas = 6 = 0,11 . 100 = 11%

nº total de cartas 54

EXERCÍCIOS:

1. De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao acaso.

a) Qual a probabilidade da carta retirada ser um rei?

b) Qual a probabilidade da carta retirada ser uma figura (valete, dama ou rei)?

2. No lançamento de um dado:

a) qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4?

b) e de ser obtido o número 1?


5

INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está

diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número

de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que

vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto,

enumerando seus elementos.

As operações de adição e multiplicação são exemplos de “técnicas”

matemáticas utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A

primeira (adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a

segunda (multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de

substituir adições de parcelas iguais.

Veja: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 corresponde a 5 . 4 = 20

(cinco vezes quatro é igual a vinte)

A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em

Matemática, chamado princípio multiplicativo, que constitui a ferramenta

básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário

enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). Esse princípio

estabelece o número de maneiras distintas (diferentes) de ocorrer um evento.

Os problemas de contagem fazem parte da chamada Análise

Combinatória.

EXEMPLO 1

Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará,

separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

Assim, Maria dispõe de

3 . 2 = 6 (lê-se três vezes 2 é igual a 6)

maneiras

ou possibilidades

diferentes de se vestir.


6

EXEMPLO 2

Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de

Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de

ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De

quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem?

Solução:

Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos:

3 . 2 = 6 possibilidades.

EXEMPLO 3

Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos

formar usando 6,7,8 e 9?

Solução:

Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades:

São Paulo Rio de Janeiro Salvador

avião

carro

ônibus

Avião

ônibus

três possibilidades duas possibilidades

6

7

8

9

7

8

9

6

8

9

6

7

9

6

7

8

67

68

69

76

78

79

86

87

89

96

97

98

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Você não precisa fazer essa

contagem, basta aplicar o princípio

fundamental da multiplicação.

Você tem quatro algarismos e

três possibilidades de combinação

para cada um deles, portanto:

4 . 3 = 12 possibilidades

BASTA

MULTIPLICAR AS

POSSIBILIDADES


7

EXEMPLO 4

Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados com

os algarismos 5, 6, 7 e 8 ?

Solução:

Nesse caso, como não é exigido que os algarismos sejam diferentes,

existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro

possibilidades para o algarismo das unidades. Logo, aplicamos o princípio

fundamental da multiplicação:

4 . 4 = 16

EXEMPLO 5

De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo,

cobrindo os retângulos de preto ou vermelho?

Solução:

Cada retângulo terá duas possibilidades: preto ou vermelho. Logo, o

número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de

multiplicação: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 = 64

EXEMPLO 6

As placas de automóveis eram todas

formadas por duas letras (inclusive K,Y e W )

seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas

dos carros estão sendo todas trocadas e passaram

a ter três letras seguidas e 4 algarismos. Quantas

placas de cada tipo podemos formar?

Solução:

Algarismos das

dezenas

Algarismos das

unidades

Não esqueça: São 26 letras do alfabeto e 10 algarismos.


8

No primeiro caso (2 letras e 4 números),

escolhendo uma letra como exemplo:

Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de letras)

e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é:

26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6 760 000

No segundo caso (3 letras e 4 números):

26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 26 . 6 760 000 = 175 760 000

EXERCÍCIOS:

3. Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas maneiras

diferentes ela pode combinar as 3 peças?

4. O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de pratos

quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos diferentes é

possível fazer, escolhendo um item de cada?

5. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras

ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B.

Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem?

L L N N N N

L L L N N N N

BASTA

MULTIPLICARMOS

AS POSSIBILIDADES

A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma

variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169 000 000, ou seja, 169

milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente.


9

EXEMPLO 1:

Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?

SOLUÇÃO:

Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R, T, E, L, O. Assim, o

número de anagramas é o número de permutações possíveis com essas letras, ou seja:

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

EXEMPLO 2:

Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é

possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?

SOLUÇÃO:

O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4

podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo:

trocam entre si

2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras

sabem dirigir

EXERCÍCIOS:

1. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR?

2. a) Quantos números distintos de 6 algarismos podem se formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

b) Quantos desses números são pares?

PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS

Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANA ?

Aparecem 3 vezes a letra A e 2 vezes a letra N .

Calculamos o total de 6! = 720 e dividimos pelo fatorial de 3 e pelo fatorial de 2.

Você sabe o que é um ANAGRAMA?

Anagrama é uma palavra formada pelo rearranjo (permutação ou troca) de letras de uma palavra para formar outras, porém nem todas as palavras formadas tem significado linguístico.

Veja: da palavra IRACEMA podemos formar 2520 anagramas (uma permutação com repetição de

elementos), dos quais alguns têm significados como: AMÉRICA, CERAÍMA, MACEIRA.

apenas a quantidade de

elementos que podem ser

permutados é um fatorial

(!)


10

2

6! número total de permutações de 6 letras.

3! 2! produto das repetições possíveis com as letras A e N.

60256

!2123

!23456

!2!3

!6

No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que se repetem. Neste caso,

teremos no denominador da expressão o produto dos fatoriais de todos os elementos que se repetem.

Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facilmente simplificada.

Observe os exemplos:

a) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040

6! 6!

c) 5! = 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 = 10

3! 2! 3! 2! 2 . 1 2

EXERCÍCIO:

3 . Quantos são os anagramas da palavra PARANÁ ?

Note que 6! dividido

por 6! é igual a 1. E

1 na multiplicação é

elemento neutro (não

altera o produto)

O mesmo acontece com total de anagramas da palavra IRACEMA (7

letras - 2 repetições):

252034567!2

!234567

!2

!7


11

GABARITO

1 – a ) aproximadamente %7,7 b) aproximadamente 23%

2 – a ) aproximadamente 67% b) aproximadamente 17%

3) 48 maneiras diferentes

4) 300 pedidos diferentes

5) 12 linhas de ônibus diferentes

6) 24 anagramas

7 – a ) 720 números distintos b) 360 números pares

8) 120 anagramas

9) 40320 modos

PERMUTAÇÕES CIRCULARES

A expressão geral do número de permutações circulares será o número

total de permutações, n!, dividido pelas n vezes que cada roda equivalente foi

contada:

n! = n . ( n – 1 ) ! = ( n – 1 ) !

n n

EXEMPLO 1:

Quantas rodas de ciranda podemos formar com 7 crianças?

SOLUÇÃO:

Podemos formar 7! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 rodas diferentes.

7

EXEMPLO 2:

Se no encontro de 8 presidentes as reuniões fossem ocorrer ao redor de

uma mesa, de quantas maneiras poderíamos organizá-los?

SOLUÇÃO:

8! = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 posições circulares diferentes

8

EXERCÍCIO:

9. De quantos modos 9 pessoas podem formar uma roda de ciranda?

Nas permutações circulares,

o número que é fatorial (!)

é a quantidade de elementos

menos 1.

http://br.geocities.com/cantigasderoda/ciranda.gif


12

MÓDULO 7

VISUALIZANDO RELAÇÕES ENTRE NÚMEROS

Fonte: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea). Veja, 23/9/1998, p. 112.

A curva acima mostra a porcentagem de desempregados no Brasil, por

faixa de escolaridade.

4% - o desemprego entre analfabetos e pessoas com pouca

escolaridade é pequeno, porque nessa faixa estão os piores empregos. É o

trabalho não qualificado, que paga mal e não dá perspectiva de carreira

profissional.

9% e 10% - o desemprego é maior no grupo que não concluiu o ensino

fundamental ou o ensino médio, por duas razões. São pessoas que já não

aceitam os subempregos dos analfabetos, mas também não estão qualificados

para trabalhos melhores. Além disso, nessa faixa estão os jovens, a maior

parcela da atual população brasileira. Eles estão entrando agora no mercado

de trabalho.

1% - Na faixa das pessoas que possuem diploma do ensino médio,

universitário ou pós-graduação, a taxa de desemprego cai drasticamente. Aqui

estão os melhores empregos do Brasil, que pagam bem e oferecem

perspectiva de ascensão profissional.

Cada nível de escolaridade corresponde a uma taxa de desemprego. Há

uma correspondência entre as duas grandezas que estão variando e uma

depende da outra, de modo que para cada valor de uma das grandezas

existe um único valor correspondente para a outra grandeza. Essa relação

nos dá a idéia de função matemática.

cada quantidade de

anos de estudo corresponde a uma

taxa de desemprego (%) .

Como exemplo, para a

faixa dos que tem

9 anos de estudos, a

taxa de desemprego é

de 10%.


13

Esta tabela permite que o caixa economize

tempo na hora de saber o preço dos pães.

Mas se um cliente chegar com um pedido de 25

pães?

Aí o operador do caixa deverá fazer o cálculo

do preço...

Então ele pode pensar o seguinte...

2,70 + 1,80 = 4,50 (preço de 15 pães + preço de 10 pães)

ou pensar que ...

0,18 . 25 = 4,50

(preço de 1 pão “vezes” a quantidade)

Essas duas maneiras de pensar traduzem dois

raciocínios, que revelam duas maneiras

diferentes de chegar à mesma conclusão:

O preço a pagar por 25 pães é R$4,50

Matemática no café da manhã

Isso mesmo! É comum começarmos a lidar com a

matemática desde que acordamos. Vamos ver?

Comprando os pãezinhos pela manhã, podemos encontrar uma tabela

como essa pregada no caixa da padaria.

Utilizando o segundo cálculo podemos pensar na tabela da padaria da

seguinte forma:

0,18 = 0,18 . 1

0,36 = 0,18 . 2

0,54 = 0,18 . 3 e assim sucessivamente.

“O preço a ser pago pelo cliente é igual ao preço de um pão

multiplicado pelo número de pães comprados”.

PADARIA PAMPÃO

Mini pão doce

Quantidade Preço (R$)

1 0,18

2 0,36

3 0,54

4 0,72

5 0,90

6 1,08

7 1,26

8 1,44

9 1,62

10 1,80

11 1,98

12 2,16

13 2,34

14 2,52

15 2,70


14

Chamamos de: P - o preço a pagar

n - o número (quantidade) de pães comprados

P(n) - será o preço a ser pago por n pãezinhos

Logo,

P(n) = 0,18 . n

A frase anterior deixa clara uma lei matemática que relaciona o número

de pães com o preço desses pães. Essa lei pode ser expressa em símbolos

matemáticos (LINGUAGEM MATEMÁTICA): Observe:

EXERCÍCIO: (copie e resolva em seu caderno)

1. Preencha a tabela abaixo e encontre o preço a pagar pela compra de pão

recheado a R$1,10 a unidade e também o total de vendas nesse período:

Vendas de pão recheado no período noturno

Quantidade Modelo matemático Preço a pagar (R$)

n 1,10 . n P(n)

3 1,10 . 3 3,30

4

6

12

Total R$

Com o exemplo anterior da Padaria Pampão, verificamos que o preço a

pagar P(n) está em função da quantidade de pães (n).

Na Matemática, a relação entre números ou grandezas indicada por um

função pode ser representada de três formas:

- através de tabela de dados (Veja a tabela anterior da Padaria Pampão);

- por linguagem matemática

Modelo matemático para a

venda de pães P(n) = 0,18 . n

- graficamente

(gráfico ao lado)

....

P(n) é agora o modelo

matemático que representa

o valor a ser pago por

qualquer quantidade (n) de

pães da padaria PAMPÃO


15

Vamos falar um pouco de

futebol...

Talvez você já tenha visto um

comentarista de futebol dizer o seguinte,

analisando um determinado chute a gol: “A

velocidade da bola era de aproximadamente 90

km/h ou 25 m/s, quando foi espalmada pelo goleiro.” O que significa isso?

Como se faz essa estimativa de velocidade?

Se um automóvel estivesse a 90km/h, isso quer dizer que ele

percorreria 90 quilômetros de distância no tempo de 1 hora. Possivelmente, a

estimativa do comentarista deve ter sido calculada por computador da

seguinte maneira: pelo vídeo do chute, é anotado o instante em que o pé do

jogador toca a bola e a posição em que ele está no campo; é anotado também

o instante em que o goleiro espalma a bola e a posição do goleiro. Assim,

obtém-se a distância que a bola percorreu e o tempo que levou para isso. O

que é a velocidade da bola, então?

Se, para simplificar, considerarmos que a velocidade da bola é

constante ao longo de toda sua trajetória, então, por definição:

Rigorosamente falando, isso não é verdade, pois o atrito do ar diminui

a velocidade da bola o tempo todo. Estamos simplificando as coisas. Em

linguagem matemática:

Chamando a velocidade de V,

o espaço percorrido de e,

o tempo gasto de t

Temos:

t

eV

logo, tVe

No caso do chute narrado pelo comentarista, a bola percorre um espaço

de 25 metros a cada segundo. Ou 50 metros a cada 2 segundos, ou 100 metros

a cada 4 segundos, ou 150 metros a cada 6 segundos, e assim por diante.

Velocidade é a distância percorrida dividida pelo tempo de percurso.

ESPAÇO percorrido

é igual a velocidade

multiplicada pelo

TEMPO gasto


16

Podemos visualizar essa relação do espaço (e) percorrido com o tempo (t) de

percurso utilizando a lei matemática tVe , substituindo a letra (V) por

25 (velocidade da bola).

O espaço percorrido está em função (depende) do tempo de percurso.

t

(tempo em segundos) te 25

0 0

1 25

2 50

4 100

6 150

Observe que quanto mais aumenta o tempo (t) mais aumenta o espaço

(e) - há um crescimento.

O vendedor de livros

Cristiano é vendedor de livros e seu salário mensal é

composto de comissão relativa a venda dos livros (para

cada livro vendido recebe R$25,00) mais um valor fixo de

R$400,00. No mês de outubro Cristiano vendeu 30 livros,

em novembro vendeu 60 livros e em dezembro, que foi a sua melhor venda,

conseguiu atingir a meta de 100 livros.

Com essas informações podemos calcular os salários do trimestre na

tabela abaixo:

Mês Quantidade

de livros (L)

Cálculo do salário (S) Salário

final em R$

Outubro 30 25 . 30 + 400 = 1150

Novembro 60 25 . 60 + 400 = 1900

Dezembro 100 25 . 100 + 400 = 2900

Podemos chamar a

quantidade de

livros de (L)

O salário final

(comissão + fixo)

chamaremos de (S)

vinte e cinco vezes a quantidade de

livros + R$400,00

Espaço (e)

vai ser o

resultado

de 25

vezes o

tempo (t)


17

Podemos também relacionar o salário de Cristiano com a quantidade de

livros vendidos.

O salário depende (está em função) das vendas.

A lei matemática que expressa o salário de Cristiano é:

As situações aqui apresentadas foram representadas na linguagem

matemática por funções chamadas de "função polinomial do 1º grau ou

função afim". Essas funções são representadas por uma reta no plano

cartesiano.

Em situações em que a linguagem matemática é dada por uma equação

do 2º grau (quando a variável está elevada ao quadrado) representam funções

chamadas de "função polinomial do 2º grau ou função quadrática". Essas

funções são representadas geometricamente por uma curva denominada

parábola.

Antes de calcularmos o comprimento dessa grade,

devemos lembrar de alguns conceitos matemáticos:

No terreno quadrado de Jeremias o lado foi chamado de “x”

O PROBLEMA DE JEREMIAS Jeremias comprou uma casa

que está construída em um terreno quadrado de 256 m2 de área. Ele deseja colocar uma grade em toda a frente do terreno. Qual deverá ser o comprimento dessa grade?

- Todos os lados do quadrado têm a mesma medida.

(chamamos o lado de “L”)

S = 25 . L + 400


18

- Sabe-se que a área do terreno quadrado é de 256 m2.

Então, L . L = L2 = 256

- Trocando a letra “L” pela letra “x”, temos:

x2 = 256

Para calcularmos devemos extrair a raiz quadrada de 256:

x2 = 256

x = 256

x = +16 ou -16

Temos que x = 16, logo o comprimento da cerca deve ser de 16 metros.

Você sabe qual a diferença entre uma equação de

1º grau e uma de 2º grau?

Está enganado quem achar que o nome tem a ver com ensino

fundamental ou médio! O que determina o grau de uma equação é o

expoente (a potência) da incógnita (geralmente a letra x). Nas equações de 2o

grau, o maior expoente da incógnita é 2.

- Para calcular a área de um quadrado devemos multiplicar lado vezes lado, ou seja (lado ao quadrado) :

L . L = L2

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 256?

(“quanto vezes quanto é igual a 256?”)

(+16) . (+16) = 256

(-16) . (-16) = 256

http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u26.jhtm




19

- Exemplos de equações do 1º grau: 3x + 2 = 8

x + 8 = -7

5x – 6 = 4

- Exemplos de equações do 2º grau: 13 y2 -7 y = 0

13x2 = 25

x2 + 4x + 10 = 34

Na equação do 1º grau o

x está elevado ao

expoente 1 porém,

x1 = x

ou seja, não é necessário

escrever o expoente 1 da

incógnita x.

2 x = 50

coeficiente incógnita

numérico ou variável

(2) (x)

Existem equações de 3o grau, 4

o grau etc.

Por exemplo, a equação 6x + 5x4 + 45x

2 = 0

é uma equação do 4o grau, pois o maior expoente da incógnita x é 4.

Raízes da equação:

A solução (resultado) de uma equação é chamada de raiz. O número

de raízes possíveis de uma equação é igual ao seu grau. Equações de 2o

grau possuem, então, no máximo duas raízes; equações de 3o grau

possuem no máximo 3 raízes, etc.


20

Qual o número que elevado ao quadrado resulta 25?

(“quanto vezes quanto é igual a 25?”)

Equacionando o problema temos:

x2 = 25

Logo, há dois números que satisfazem

essa condição, ou há dois números que são

raízes da equação (pois ela é de 2º grau).

Veja a resolução:

x =

x =

5 e - 5 são raízes da equação x2 = 25

Raízes de equações de 2o grau incompletas

No problema da casa de Jeremias o cálculo da medida do lado

do terreno foi feito com uma equação do 2º grau incompleta.

Veja mais um exemplo de equação do 2o grau e sua solução:

No problema da casa de Jeremias há duas raízes (dois

resultados), porém como se trata de medida (metros), só

consideramos a solução positiva (+).

Neste caso que temos

a incógnita (x)

elevada ao quadrado,

temos que extrair a

raiz quadrada do

valor numérico da

igualdade.

Um número elevado

ao quadrado que

resulta 25 pode ser

5 e também -5 pois pela

regra de sinais

(-5) . (-5) = 25


21

RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETA

O que é uma equação do 2º grau completa ?

Esse tipo de equação é completa quando possui os três coeficientes

numéricos (a, b, c).

Uma equação do 2º grau completa é da forma: a x2 + b x + c = 0

Na equação 2x2 – 8x + 6 = 0 temos:

a x2 + b x + c = 0

2 x2 – 8x + 6 = 0

Temos: a = 2

b = - 8

c = 6

Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula

de BHASKARA e assim determinamos os valores do X da questão.

as letras em destaque

(a, b, c) são os

coeficientes

numéricos que

multiplicam a

incógnita x)

Bhaskara foi um importante matemático hindu do séc. XII que

contribuiu muito para o desenvolvimento da Matemática. A

fórmula que usaremos é conhecida como fórmula de Bhaskara em

sua homenagem, aplicada nas equações do 2º grau

(ax2+bx+c=0) sendo a ≠ 0 e a, b e c números reais.

Fórmula de Bhaskara:

a

bx

.2

Essa fórmula funciona

como uma “receita pronta”

para determinarmos o

resultado da equação do

2ºgrau (o valor de x).


22

Na fórmula a

bx

.2

Temos outra fórmula inserida

na raiz quadrada:

Resolvendo passo a passo uma equação aplicando a fórmula:

Dada a equação : X2 - 6X + 5 = 0 devemos seguir os seguintes passos:

Basta trocar na fórmula cab 42 as letras pelos valores

correspondentes:

a - coeficiente de x² (número que

acompanha o x²)

b - coeficiente de x (número que

acompanha o x)

c - número (número que não vem

acompanhado de x)

cab 42

cab 42

1º passo – identificar os coeficientes a, b, c.

x2 = 1x

2

2º passo – descobrir o valor de (delta):

Esse 4 é fixo na fórmula (sempre será 4)

Obs:

O símbolo

é chamado

Delta

(letra grega)

Todo número

elevado ao expoente

2 resulta em sinal

positivo (+):

(-6) . (-6) = +36


23

Substituindo o valores na fórmula de

Bhaskara temos:

a

bx

.2

2

46

1.2

16)6(x

EXERCÍCIO: (copie e resolva em seu caderno)

2. Determine as raízes das equações do 2º grau aplicando a fórmula de

Bhaskara:

a) x² - 5 x + 6 = 0 b) x² - 2 x - 8 = 0

3º passo – finalmente, descobrir as raízes (os valores de x)

:

Sinal negativo da fórmula

com sinal negativo do b = - 6

resulta em sinal positivo

-(-6) = +6 Logo, as raízes da equação são os

resultados obtidos na fórmula:

x’ = 5

x’’ = 1 Outra maneira de representar os resultados

é através do conjunto solução S = {1 , 5}

Na fórmula temos 4

que implica somar “+4”

na 1ª raiz (x’) e subtrair

“-4” na 2ª raiz (x”).

GABARITO

1) P(3) = 3,30 2 – a ) x’ = 3 x’’= 2

P(4) = 4,40

P(6) = 6,60 2 – b ) x’ = 4 x’’ = -2

P(12) = 13,20

Total = R$ 27,50


24

BIBLIOGRAFIA

ENCCEJA – Matemática e suas tecnologias. MEC/INEP. 2006

Projeto Araribá – Matemática. 1ª Edição. Editora Moderna. São Paulo. 2006

MATERIAL ELABORADO PELA EQUIPE DE

MATEMÁTICA E FÍSICA DE 2009:

BRUNO BERTOLINO LEITE BROTAS

CLAUDIO ROBERTO RIBEIRO JUNIOR

CLAUDIO JULIO CÉSAR PINHEIRO

DANIELLE BERGAMINI

ELISA ROCHA PINTO DE CASTRO

FRANCISCO CARLOS VIEIRA DOS SANTOS

JAIR CRUZEIRO

MARCOS TADEU CASSAR VIEIRA

RITA DE CÁSSIA DE ALMEIDA RIBEIRO

DIREÇÃO:

ELISABETE MARINONI GOMES

MARIA ISABEL RAMALHO DE CARVALHO KUPPER

COORDENAÇÃO:

JAIME APARECIDO DA SILVA

APOIO:

PREFEITURA MUNICIPAL DE VOTORANTIM

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