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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
ÁLGEBRA IENGENHARIA
Profª Cristiane Pinho Guedes
www.cristianeguedes.pro.br
Profª Cristiane Pinho Guedes
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Aula 1 – data:_________________
MATRIZES
Introdução:
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo,
ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas,
podemos dispô-los na tabela:
Altura (m) Peso (kg) Idade (an0s)Pessoa 1 1,70 70 23Pessoa 2 1,75 60 45Pessoa 3 1,60 52 25Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
1 70 70 23
1 75 60 45
1 60 52 25
181 72 30
,
,
,
,
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
A
a a a
a a a
a a a
m n
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
: : : :
...
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a
ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas) , escreveremos Am n . Também
podemos usar colchetes ou duas barras, além dos parênteses, para representar uma matriz.
Duas matrizes Am n [ ]aij m n e B br s ij r s [ ] são iguais se elas têm o mesmo número de
linhas (m = r ) e colunas ( n = s ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais.
Tipos especiais de matrizes:
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Matriz nula é aquela em que aij 0 , para todo i e j.
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna.
Matriz linha é aquela que possui uma única linha.
Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij 0 , para i j .
Matriz identidade é aquela em que aii 1 e aij 0 para i j .
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos.
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Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal
são nulos.
Matriz simétrica é aquela onde m = n e a aij ji .
Operações com matrizes:
Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é uma matriz, também de mesma ordem
cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B.
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
a) A + B = B + A ( comutatividade)
b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( associatividade)
c) A + O = A onde O denota a matriz nula.
Multiplicação por um escalar: Seja Am n [ ]aij m n e k um número, então definimos uma nova
matriz k Am n. [ ]kaij m n .
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números k k, 1 e k2 , temos:
a) k A B kA kB( )
b) ( )k k A k A k A1 2 1 2
c) 0. A O isto é, se multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero dará a matriz nula.
d) ( . ). .( . )k k A k k A1 2 1 2
Transposição: Dada a matriz Am n [ ]aij m n , chamamos de matriz transposta de A, e
representamos por mnijt bA ][ a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A.
Ex:
53
01
32
A
503
312tA
Propriedades:
1) Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta.
2) Uma matriz é anti-simétrica se e somente se ela é igual ao simétrico da sua transposta.
Exemplifique uma matriz Simétrica e uma matriz Anti-simétrica. Comente.
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3) AAtt
4) tttBABA
Exercícios: Considere
142
113
201
221
102
413
BeA e calcule:
2A
A + B
2A - 3B
Respostas: ) ൭6 2 8−4 0 22 4 4
൱ )൭4 1 6−5 1 23 6 3
൱ ) ൭3 2 25 −3 −1−4 −8 1
൱
Multiplicação de matrizes: Sejam Am n [ ]aij m n e pnrspn bB
. Definimos pmuvcBA
. onde:
kv
n
kukuv bac
1
Observações:
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto é obtido , multiplicando os elementos
da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda
matriz, e somando estes produtos.
Ex:
75
44
22
4.3)1.(50.31.5
4.2)1.(40.21.4
4.1)1.(20.11.2
40
11.
35
24
12
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Propriedades: (desde que sejam possíveis as operações)
Em geral ABBA .. . Quando A.B = B.A, as matrizes A e B são ditas comutáveis.
AIIA ..
CABACBA ..).(
CBACBA ....
tttABBA ..
0. BA não implica necessariamente em A = 0 ou B = 0
Exercícios:
1) Quando possível, efetuar a multiplicação das matrizes:
a)
14
31
12
202
153
b)
20
31.
01
78
46
24
c)
2
2
1
.
101
254
341
d)
614
513.
221
164
e)
141
513.
12
64
2) Se
36
24
42
26,
23
35CeBA . Encontre X que satisfaz a equação AX + B = C
3) Encontre matrizes não-nulas A, B e C tais que AB = AC, mas B C.
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4) Verdadeiro ou falso?
Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, a primeira e a terceira colunas de AB também
são.
Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Se a primeira e a terceira linhas de A são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Respostas:
1) a) ቀ15 196 0
ቁ b) ቌ
4681
810383
ቍ c) ൭323൱ d) ∄ d) ቀ
18 28 −267 6 −15
ቁ
2) ቀ20 −5−34 7
ቁ 3) ݎ ݔ ܣ: = ቀ2 12 1
ቁ,ܤ = ቀ4 40 0
ቁ ܥ = ቀ2 24 4
ቁ
4) ) ) ܨ )
Matriz Inversa
A matriz quadrada A, de ordem n, é dita inversível se e somente se existir uma matriz
quadrada A-1, também de ordem n, tal que A.A-1 = A-1.A = In.
OBS: ଵܣ = ௧ܣ ⟺ ܣ é ݖݎݐݑ
Exs: 1) Dada a matriz ܯ = ൭ߠݏ ݏ− ߠ 0ݏ ߠ ߠݏ 0
0 0 1൱, calcular C = M.MT e classificar C.
2) Dada a matriz ܧ =
⎝
⎜⎛
√ଷ
ଷ
√ଷ
ଷ
√ଷ
ଷ
−√
ଷ
√
√
0 −√ଶ
ଶ
√ଶ
ଶ⎠
⎟⎞
, calcular E.ET e classificar.
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Propriedades:
(A.B)-1 = B-1.A-1
( A-1)-1 = A
( A-1)T = ( AT)-1
Operações Elementares:
São operações realizadas nas linhas (ou colunas) de uma matriz. São consideradas operações
elementares:
A troca da linha i pela linha j. Li ↔ Lj
A multiplicação da linha i por um escalar k não nulo. Li → k.Li
A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j. Li → Li + k.Lj
Equivalência de matrizes:
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A quando for possível
transformar A em B através de um número finito de operações elementares.
Cálculo da matriz inversa utilizando operações elementares:
Problema: Calcular a inversa de uma matriz A quadrada.
Solução:
Construimos a matriz ( A ⁞ I )
Utilizando operações elementares “transformamos “ A em I. Consequentemente I se transformará
em A-1. No final temos ( I ⁞ A-1 )
OBS: Se não conseguirmos obter a identidade (uma linha zerada) a matriz não terá inversa
(detA=0).
Ex: Encontrar a matriz inversa de ܣ = ൭1 2 32 4 25 2 3
൱
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Aula 2 – data:_________________
SISTEMAS LINEARES
Definição: Um sistema linear S com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
൞
ଵଵݔଵ + ଵଶݔଶ + ଵଷݔଷ + ⋯+ ଵݔ = ଵ
ଶଵݔଵ + ଶଶݔଶ + ଶଷݔଷ + ⋯+ ଶݔ = ଶ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
ଵݔଵ + ଶݔଶ + ଷݔଷ + ⋯+ ݔ =
�
com , ∈ ℝ ,= 1, … , = 1, … , .
→ são os coeficientes das variáveis.
ݔ → são as incógnitas (ou variáveis)
→ termos independentes.
Matrizes de um sistema S
Forma matricial de S:
൮
ଵଵ ଵଶ… ଵ
ଶଵ ଶଶ … ଶ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ଵ ଶ …
൲ .൮
ଵݔଶݔ⋮ݔ
൲ = ൮
ଵ
ଶ
⋮
൲
.ܣ = ܤ
A → Matriz dos coeficientes
X → Matriz das variáveis
B → Matriz dos termos independentes.
OBS: Se B for a matriz nula, o sistema é chamado de homogêneo.
Matriz Ampliada de S:
൮
ଵଵ ଵଶ… ଵ
ଶଵ ଶଶ … ଶ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ଵ ଶ …
ଵ
ଶ
⋮
൲
Soluções de um sistema S:
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Método de Redução de Gauss-Jordan:
Escalonamos a matriz ampliada de S, reescrevemos o sistema equivalente a S, encontramos o valor
de uma variável, e por substituição determinamos as demais variáveis.
OBS1: Se o sistema for possível e indeterminado (SPI), temos que dar a resposta em função da(s)
variável(variáveis) livre(s).
OBS2: Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial →
(0, 0,..., 0).
Ex1: ൞
−ݔ2 +ݕ =ݖ3 11−ݔ4 +ݕ3 =ݖ2 0+ݔ +ݕ =ݖ 6
+ݔ3 +ݕ =ݖ 4
�
S
POSSÍVEL
DETERMINADO→uma única
solução
INDETERMINADO→ infinitas soluções
IMPOSSÍVEL→ nenhuma solução
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Ex2: ൝
−ݔ +ݕ2 =ݖ 0−ݔ2 −ݕ =ݖ2 1−ݔ3 −ݕ3 =ݖ 2
�
Ex3: ൞
ଵݔ + ଶݔ3 + ଷݔ5 = 7−ଵݔ2 ଶݔ + ଷݔ3 = 0−ଵݔ −ଶݔ4 ଷݔ2 = −7−ଵݔ5 ଶݔ2 + ଷݔ8 = 1
�
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Ex4: ൝
+ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ2 +ݕ =ݖ 0+ݔ −ݕ2 =ݖ 0
�
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Ex5: ൞
−ݔ +ݕ2 =ݖ2 0+ݔ2 −ݕ =ݖ2 0+ݔ3 −ݕ4 =ݖ6 0−ݔ3 +ݕ11 =ݖ12 0
�
Exercícios:
1) Determine os valores de a, de modo que o sistema abaixo tenha:
I) nenhuma solução.
II) mais de uma solução.
III) uma única solução.
൝
+ݔ −ݕ =ݖ 1+ݔ2 +ݕ3 =ݖ 3+ݔ +ݕ =ݖ3 2
�
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2) Estudar o sistema em função de k:
൝
+ݔ +ݕ =ݖ 2+ݔ3 +ݕ4 =ݖ2 +ݔ2 −ݕ3 =ݖ 1
�
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Aula 3 – data:__________________
VETORES
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos
orientados eqüipolentes a AB.
Vetor:
módulo
direção
sentido
vyyxxABAB ABAB ),(
22 )()( ABAB yyxxv
vetor unitário → módulo = 1
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
Operações:
1) Adição
ሬݑ +ሬݑ ݒ
ݒ
),(
),(
22
11
yxv
yxu
),( 2121 yyxxvu
2) Diferença
ሬݑ −ሬݑ ݒ
ݒ
3) Multiplicação por um escalar
vk
direção: mesma de v
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módulo: vkvk
sentido: mesmo de v , se k > 0 e contrário ao de v , se k < 0.
OBS1: versor de v v
v*
v
OBS2: −ሬݑ ݒ = +ሬݑ (−1). ݒ
Decomposição de um vetor no plano:
Dados dois vetores 21 vev , não colineares, qualquer vetor v , co-planar com 21 vev , pode ser
decomposto segundo as direções de 21 vev .
2211 vavav v escrito como combinação linear de 21 vev .
Um par de vetores 21 vev não colineares é chamado base do plano.
ଶݒଶሬሬሬሬ ݒ ଶሬሬሬሬݒ
ଵݒଵሬሬሬሬ ଵሬሬሬሬݒ
21 aea são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { 21 , vv }
11va = projeção de v sobre 1v segundo a direção de 2v .
22 va = projeção de v sobre 2v segundo a direção de 1v .
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.
Uma base é ortonormal quando os seus vetores são ortogonais (perpendiculares) e unitários.
Bases Canônicas : do R2 : ଓ= (1, 0)ଔ= (0, 1)
do R3 : ଓ= (1,0,0) , ଔ= (0, 1, 0) ሬ= (0, 0, 1)
jiv 53)5,3(
kzjyixzyxu ),,(
Condição de paralelismo de dois vetores: ),,( 111 zyxu e ),,( 222 zyxv
vu // ( ou colinear ) se vku . ou seja, kz
z
y
y
x
x
2
1
2
1
2
1
componentes proporcionais
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Produto de vetores:
1) Produto Escalar.
212121
222
111
zzyyxxvu
kzjyixv
kzjyixu
Ex: )1,2,3()2,1,4()3,2,()1,,4( BAvu . Calcular tal que 5)( BAvu .
Resp: ∝ = 7/3
Módulo
21
21
21 zyxvvv
Propriedades do Produto Escalar:
I) 000 uuueuu
II) uvvu
III) wuvuwvu )(
IV)2
uuu
V) )()( vumvum
Ângulo de dois vetores:
cos vuvu
ݒ
θ
ሬݑ
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Pela Lei dos cossenos, temos:
cos2222
vuvuvu
Pela (IV) propriedade, temos :
cos2 vuvvuuvuvu
Pela (III) propriedade, temos:
cos2 vuvvuuvvuvvuuu
Pela (II) propriedade e fazendo os devidos cancelamentos, temos:
cos22 vuvu cos vuvu
Logo:
vu
vu
cos
Daí, conclui-se que:
Se agudoévu 0
Se obtusoévu 0
Se laresperpendicusãoveuretoévu 0
Condição de ortogonalidade de dois vetores: ሬݑ ⊥ ݒ ⇔ ሬݑ . =ݒ 0
Exercícios:
1) Sabendo que a distância entre os pontos A( -1, 2, 3) e B( 1, -1, m) é 7, calcular m.
2) Determinar α para que o vetor =ݒ ቀ∝,−ଵ
ଶ,ଵ
ସቁseja unitário.
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3) Sabendo que o vetor =ݒ (2,1,−1) forma um ângulo de 60º com o vetor ሬሬሬሬሬܤܣ determinado pelos
pontos A( 3, 1, -2) e B( 4, 0, m), calcular m.
4) Determinar os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C( 1, 0, 2).
5) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores (1, -1, 0) e (1, 0, 1).
6) Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determinar as coordenadas de um ponto S tal
que P, Q, R e S sejam os vértices de um paralelogramo.
7) Determinar os valores de m e n para que os vetores =ሬݑ ( + 1, 3, =ݒ(1 (4, 2, 2− 1) sejam
paralelos.
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Aula 4 – data:__________________
Uma Aplicação na Física:
O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o
O Trabalho realizado por uma força constante
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
aplicada.
Pode-se observar que a componente da f
trabalho é ௫ሬሬሬܨ , paralela ao deslocamento
mostra a figura. Então หܨ௫ሬሬሬห= หܨห. onde θ ,ߠݏ
força e o deslocamento.
A grandeza física Trabalho , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é
= .ܨ ሬሬሬ ݑ = หܨห. ห ห. ߠݏ e 1 J = 1 N . 1 m
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas fo
deslocar o bloco de A até B, sabendo que
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O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o Trabalho.
O Trabalho realizado por uma força constante ܨ ao longo de um determinado deslocamento
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
se observar que a componente da força ܨ que realiza o
, paralela ao deslocamento ሬሬሬሬሬܤܣ = , conforme
, onde θ é o ângulo entre a
, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é
e 1 J = 1 N . 1 m
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, ܨ ேሬሬሬሬሬܨ,ሬሬሬܨ, ሬ e pela força resultante para
deslocar o bloco de A até B, sabendo que หܨห= 10 ,หܨሬሬሬห= 8 , หሬห= 3 ,หܨேሬሬሬሬห= 3
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O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
ao longo de um determinado deslocamento é
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
e pela força resultante para
, ሬሬሬሬ= ሬሬሬሬሬหܤܣ ห= 10
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Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor ( R3 )
Seja o vetor =ݒ +ଓݔ +ଔݕ =ሬݖ .(ݖ,ݕ,ݔ) Ângulos diretores de ݒ são os ângulos α, β e γ que ݒ
forma com os vetores ଓ, ଔ ሬda base canônica.
z
ݒ
ሬ α
γ ଔ y
x ଓ
cos α =௩ሬ.ప
|௩ሬ|.|ప|=
(௫,௬,௭).(ଵ,,)
|௩ሬ|.ଵ=
௫
|௩ሬ|
cos β =௩ሬ.ఫ
|௩ሬ|.|ఫ|=
(௫,௬,௭).(,ଵ,)
|௩ሬ|.ଵ=
௬
|௩ሬ|
cos γ =௩ሬ.ሬ
|௩ሬ|.หሬห=
(௫,௬,௭).(,,ଵ)
|௩ሬ|.ଵ=
௭
|௩ሬ|
Notemos que ( cos α, cos β, cos γ) = ቀ௫
|௩ሬ|,௬
|௩ሬ|,
௭
|௩ሬ|ቁ=
(௫,௬,௭)
|௩ሬ|=
௩ሬ
|௩ሬ|= ሬሬሬሬ∗ݒ (versor de ݒ )
Portanto: ඥ ଶݏ ∝ + +ߚଶݏ =ߛଶݏ 1 ⟹ ଶݏ ∝ + +ߚଶݏ =ߛଶݏ 1
“ A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.”
Exercícios:
1) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determinar α.
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2) Dados os pontos A( 2, 2, -3) e B( 3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor .ሬሬሬሬሬܤܣ
3) Um vetor ݒ forma com os vetores ଓ ଔ ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determinar o vetor ,ݒ
sabendo que =|ݒ| 2.
Projeção de um vetor
Sejam os vetores ሬݑ e ,ݒ com ≠ሬݑ 0ሬሬሬݒ≠ 0ሬሬሬ , e θ o ângulo por eles formado. O vetor ሬሬݓ que representa a
projeção de ሬሬሬݑ sobre ሬሬሬݒ é calculado por:
=ሬݑଔሬሬሬሬሬሬሬሬ௩ሬݎ ቆ.ሬݑ ݒ
.|ݒ| |ݒ|ቇ . =ݒ .ሬݑ) .(∗ݒ ∗ݒ
ሬݑ ሬݑ
θ
Θ
ሬሬݓ ݒ ሬሬݓ ݒ
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Exemplo1: Determinar o vetor projeção de =ሬݑ (2,3,4) sobre =ݒ (1,−1,0).
Exemplo2: Sejam os pontos A(1, 2, -1), B(-1, 0, -1) e C(2, 1, 2). Pede-se:
a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A.
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o pé da altura relativa à hipotenusa.
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Aula 5 – data:__________________
2) Produto Vetorial
Dados os vetores =ሬݑ +ଵଓݔ +ଵଔݕ ଵሬݖ e =ݒ +ଶଓݔ +ଶଔݕ ,ଶሬݖ tomados nesta ordem, chama-se
produto vetorial dos vetores ሬሬሬݑ e ,ݒ e se representa por ×ሬሬሬݑ ݒ ou ∧ሬݑ ݒ o vetor:
×ሬሬሬݑ =ݒ (yଵzଶ− zଵyଶ)ı − (xଵzଶ− zଵxଶ)ଌ+ (xଵyଶ− yଵxଶ)kሬ
Podemos também calcular o produto vetorial através de um determinante “fictício”, mostradoabaixo:
×ሬݑ =ݒ ቮଓ ଔ ሬ
ଵݔ ଵݕ ଵݖଶݔ ଶݕ ଶݖ
ቮ
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores =ሬݑ 5ଓ+ 4ଔ+ 3ሬe =ݒ ଓ+ ሬ.
Propriedades:
I) ×ሬݑ =ሬݑ 0ሬ
II) ×ሬݑ =ݒ ×ݒ− ሬݑ (o P.V. não é comutativo)
III) ×ሬݑ +ݒ) (ሬሬݓ = ×ሬݑ +ݒ ×ሬݑ ሬሬݓ
IV) ( (ሬݑ. × =ݒ . ×ሬݑ) (ݒ = ×ሬݑ ( . (ݒ
V) ×ሬݑ =ݒ 0ሬ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ሬݑ e ݒ são colineares.
VI) ×ሬݑ ݒ é ortogonal simultaneamente aos vetores ሬeݑ .ݒ
VII) Os vetores u
, v
e u
x v
tem as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um
saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que , de Ox para Oy, avançar no sentido positivo
de Oz, o triedro é direto).
×ሬݑ ݒ ݒ
ሬݑ
×ݒ ሬݑ
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VIII) ×ሬݑ| |ݒ = .|ሬݑ| .|ݒ| ݏ ߠ
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u
e v
mede a área do
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores =ሬݑ ሬሬሬሬሬܤܣ e =ݒ .ሬሬሬሬሬܥܣ
B
ሬݑ h
θ
A ݒ C
×ሬݑ| |ݒ =
3) Produto Misto
Dados os vetores =ሬݑ +ଵଓݔ +ଵଔݕ ଵሬݖ , =ݒ +ଶଓݔ +ଶଔݕ ଶሬݖ e ሬሬݓ = +ଷଓݔ +ଷଔݕ ,ଷሬݖ tomados
nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores ሬሬሬݑ , ݒ e ,ሬሬݓ e se representa por ,ሬሬሬݑ) ሬሬݓ,ݒ ) o número
real :
,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = .ሬݑ ×ݒ) (ሬሬݓ ou ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = อ
xଵ yଵ zଵxଶ yଶ zଶxଷ yଷ zଷ
อ
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores =ሬݑ 2ଓ+ 3ଔ+ 5ሬ, =ݒ −ଓ+ 3ଔ+ 3ሬ e ሬሬݓ = 4ଓ− 3ଔ+
2ሬ.
Propriedades:
I) ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são
coplanares.
Repetindo: se ,ሬሬሬݑ eݒ ሬሬݓ são coplanares, ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = 0 . Esta propriedade é de fundamental
importância em vários tópicos a serem estudados.
De forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano
se os vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e ሬሬሬሬሬܦܣ forem coplanares, isto é, se ൫ܤܣሬሬሬሬሬ,ܥܣሬሬሬሬሬ,ܦܣሬሬሬሬሬ൯= 0.
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3 vetores coplanares 3 vetores não coplanares
Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos em 2 .
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
Geometricamente, o produto misto ).( wvu
é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos
vetores =ሬݑ ,ሬሬሬሬሬܦܣ =ݒ =ሬሬݓሬሬሬሬሬܤܣ .ሬሬሬሬሬܥܣ
= .ሬݑ| ×ݒ) |(ሬሬݓ = ,ሬሬሬݑ)| |(ሬሬݓ,ݒ
Volume do Tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma
triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à
base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 1/6 do volume do paralelepípedo.
Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não
colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e ሬሬሬሬሬܦܣ e, portanto,
o volume do tetraedro ABCD é: =ଵ
൫ܤܣሬሬሬሬሬ,ܥܣ,ሬሬሬሬሬሬ ሬሬሬሬሬ൯ܦܣ
D
C
A
B
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Exercícios:
1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores =ሬݑ (2,−6,3) e =ݒ (4,3,1).
2) Dados os vetores =ሬݑ (1,2,−1) e =ݒ (0,−1,3), calcular a área do paralelogramo determinado
pelos vetores ሬݑ.3 e −ݒ .ሬݑ
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3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C( -1, -3, 3).
4) Qual deve ser o valor de m para que os vetores = ( , 2,−1), ሬ= (1,−1,3) = (0,−2,4) sejam
coplanares?
5) Dados os vetores =ሬݑ ,ݔ) 5,0), =ݒ (3,−2, 1) ሬሬݓ = (1, 1,−1), calcular o valor de x para que o
volume do paralelepípedo determinado por ,ሬሬሬݑ ሬሬݓ,ݒ seja 24 u. v.
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Aula 6 – data:__________________
ESTUDO DA RETA
1) Equação vetorial da reta
Uma reta r está perfeitamente determinada quando conhecemos um ponto por onde ela passa
e um vetor que dá a direção dela (chamado vetor diretor da reta).
Consideremos o ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ pertencente à reta r e o vetor diretor .ݒ Seja P(x,y,z) um
ponto qualquer de r. Os vetores ݒሬሬሬሬሬܣ são colineares. Logo, =ሬሬሬሬሬܣ .ݐ ,ݒ com t ÆR.
ሬሬሬሬሬܣ = .ݐ ݒ ⟹ − ܣ = .ݐ ݒ ⇒ = ܣ + .ݐ ݒ ⟹ (ݖ,ݕ,ݔ) = (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ) + .ݐ ( , , ), =ݒ ( , , )
(1)
De (1) , tiramos as equações paramétricas de r.
2) Equações Paramétricas da reta.
൝
=ݔ ଵݔ + ݐ=ݕ ଵݕ + ݐ=ݖ ଵݖ + ݐ
ݐ,� ∈ , onde (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ é um ponto pertencente à reta e =ݒ ( , , ) é o vetor
diretor .ݒ
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas
quando t varia de -∞ a +∞.
Exemplo 1: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e é
paralela ao vetor =ݒ (−3,−2, 1).
Exemplo 2: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelos pontos A(1, -2, -3)
e B( 3, 1, -4).
3) Equações Simétricas da reta.
Das equações paramétricas, supondo a.b.c ≠ 0, temos:
=ݐ−ݔ ଵݔ
, =ݐ−ݕ ଵݕ
, =ݐ−ݖ ଵݖ
Logo:
−ݔ ଵݔ
=−ݕ ଵݕ
=−ݖ ଵݖ
Que são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ e tem vetor diretor
=ݒ ( , , )
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Exemplo 1: Encontre as equações simétricas da reta r, que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e
B(4, 0, -2).
Exemplo 2: Verifique se os pontos A(5, 2, -6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7) estão alinhados.
Retas paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados
1) Duas das componentes do vetor diretor são nulas:
1.1) Seja =ݒ ( , 0,0). Então =ݒ ( , 0,0) = . (1,0,0) = . ଓ. Logo ⇒ଓሬ//ݒ //ݒ ݔݔ .
z
=ݒ ( , 0,0)
Reta paralela ao eixo x
r
ଓ=(1,0,0) y
x
1.2) Seja =ݒ (0, , 0). Então =ݒ (0, , 0) = . (0,1,0) = . ଔ. Logo ⇒ଔ//ݒ //ݒ ݕݔ .
z =ݒ (0, , 0)
r
Reta paralela ao eixo y
ଔ= (0,1,0) y
x
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1.3) Seja =ݒ (0,0, ). Então =ݒ (0,0, ) = . (0,0,1) = . ሬ. Logo ⇒ሬ//ݒ //ݒ .ݖݔ
z =ݒ (0,0, )
r
Reta paralela ao eixo z
ሬ= (0,0,1) y
x
2) Uma componente do vetor diretor é nula:
2.1) Seja =ݒ (0, , ). Então .ݒ ଓ= (0, , ). (1,0,0) = 0. Logo ⊥ݒ ଓ⇒ //ݎ .ݖݕ
Equações simétricas:
ቊ
=ݔ ଵݔ−ݕ ଵݕ
=−ݖ ଵݖ
�
2.2) Seja =ݒ ( , 0, ). Então .ݒ ଔ= ( , 0, ). (0,1,0) = 0. Logo ⊥ݒ ଔ⇒ //ݎ .ݖݔ
ቊ
=ݕ ଵݕ−ݔ ଵݔ
=−ݖ ଵݖ
�
2.3) Seja =ݒ ( , , 0). Então .ݒ ሬ= ( , , 0). (0,0,1) = 0. Logo ⊥ݒ ሬ⇒ //ݎ ݕݔ .
ቊ
=ݖ ଵݖ−ݔ ଵݔ
=−ݕ ଵݕ
�
Exercícios:
1) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor
=ݒ 3ଓ+ 2ሬ.
2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9).
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3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3, -2) e tem a direção do vetor =ݒ 2ଓ.
Ângulo de duas retas
O ângulo entre duas retas r1 e r2 é o menor ângulo entre o vetor diretor de r1 e o vetor diretor de r2.
ߠݏ =|ଶሬሬሬሬݒଵ.ሬሬሬሬሬݒ|
.|ଵሬሬሬሬݒ| |ଶሬሬሬሬݒ|, 0 ≤ ≥ߠ
ߨ
2
Exercício: Calcular o ângulo entre as retas ଵ:൝ݎ=ݔ 3 + ݐ=ݕ ݐ
=ݖ −1 − ݐ2
�e :ଶݎ௫ାଶ
ଶ=
௬ଷ
ଵ= .ݖ
OBS1: Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos (vetores diretores têm
componentes proporcionais).
OBS2: Duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais ( =ଶሬሬሬሬݒଵ.ሬሬሬሬሬݒ 0)
Exercício: Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam ortogonais.
ଵ:ቄݎ=ݕ −ݔ 3=ݖ ݔ2−
� ଶ:൝ݎ=ݔ −1 + ݐ2=ݕ 3 − ݐ=ݖ ݐ5
�
OBS3: Sejam as retas: r1 que passa pelo ponto A1 e tem a direção do vetor ଵሬሬሬሬݒ
r2 que passa pelo ponto A2 e tem a direção do vetor ଶሬሬሬሬݒ
As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores ,ଵሬሬሬሬݒ ଶሬሬሬሬݒ e ଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬܣଵܣ forem coplanares, isto é ൫ݒଵሬሬሬሬ,ݒଶሬሬሬሬ,ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ൯= 0
r1
r2
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Aula 7 – data:__________________
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
1) Coplanares: concorrentes ou paralelas
r1 r1
r2 r2
2) Reversas:
r1 r2
Exemplos:
1) Estudar a posição relativa das retas:
) :ଵݎ ቄ=ݕ −ݔ2 3=ݖ ݔ−
� :ଶݎ ൝=ݔ 1 − ݐ3=ݕ 4 − ݐ6=ݖ ݐ3
�
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) :ଵݎݔ
2= 1 − =ݕ :ଶݎݖ ൝
=ݔ 2 − ݐ4=ݕ ݐ2
=ݖ +ݐ2− 1
�
) :ଵݎ−ݔ 2
2=ݕ
3=−ݖ 5
4:ଶݎ ൝
=ݔ 5 + ݐ=ݕ 2 − ݐ=ݖ 7 − ݐ2
�
) :ଵݎ ቄ=ݕ 3=ݖ ݔ2
=ݔ:�ଶݎ =ݕ ݖ
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Aula 8 – data:__________________
ESTUDO DO PLANO
1) Equação geral do plano
Um plano π está perfeitamente determinado quando conhecemos um ponto pertencente ao
plano (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ e um vetor normal ሬ= ଓ+ ଔ+ ሬ .
Consideremos o ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ pertencente ao plano π e o vetor normal ሬ. Seja P(x, y, z)
um ponto qualquer de π. Os vetores ሬሬሬሬሬܣ ሬ são perpendiculares. Logo, .ሬሬሬሬሬܣ ሬ= 0.
ሬ A(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ)
P(x, y, z)
.ሬሬሬሬሬሬܣ ሬሬሬ = 0 ⟹ ( , , ). −ݔ) −ݕ,ଵݔ −ݖ,ଵݕ (ଵݖ = 0 ሬ= ( , , ) . Logo,
−ݔ) (ଵݔ + −ݕ) (ଵݕ + −ݖ) (ଵݖ = 0 ⟹ +ݔ +ݕ −ݖ −ଵݔ −ଵݕ ଵݖ = 0
Fazendo: −ଵݔ− −ଵݕ ଵݖ = , temos +ݔ +ݕ +ݖ = 0.
Portanto, a equação geral do plano é :
ߨ ∶ +ݔ +ݕ +ݖ = 0
com ሬ= ( , , ).
Obs: Se ሬé um vetor normal ao plano, então ሬ também é normal ao plano.
Exemplos: 1) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto (2, -1, 3), sendo
ሬ= (3, 2,−4) um vetor normal a π.
2) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (3, 1, -4) e é paralelo ao plano
−ݔ2 +ݕ3 −ݖ 6 = 0
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3) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2, -1, 4) e B(4, -3, -2).
(plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento, passando pelo ponto
médio)
4) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1, -2) e é perpendicular à reta
ଵ:൝ݎ=ݔ −4 + ݐ3=ݕ 1 + ݐ2=ݖ ݐ
�
5) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (1, -3, 4) e é paralelo aos vetores
=ଵሬሬሬሬݒ (3, =ଶሬሬሬሬݒ(2−,1 (1,−1, 1)
6) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos (2, 1, -1), (0, -1, 1) e (1, 2, 1).
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7) Calcular os valores de m e n para que o plano :ଵߨ (2 − −ݔ(1 +ݕ2 −ݖ 3 = 0 seja paralelo ao
plano :ଶߨ +ݔ4 −ݕ4 =ݖ 0
8) Verificar se a reta :ݎ௫ଶ
ଷ=
௬ାଵ
ଶ=
௭
ଵé perpendicular ao plano :ߨ −ݔ9 −ݕ6 +ݖ3 5 = 0
9) Determine os valores de m e n para que a reta ൝:ݎ=ݔ 2 + ݐ=ݕ 1 + ݐ=ݖ −3 − ݐ2
�esteja contida no plano
+ݔ:ߨ +ݕ −ݖ2 1 = 0
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LISTAS
DE
EXERCÍCIOS
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Professora: Cristiane Pinho Guedes
Lista nº 1 - Matrizes
1) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Moderno
Mediterraneo
Colonial
Ferro Madeira Vidro T a Tijoloint
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam
respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
2) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissões de potências distintas.
Estabelecemos que aij 1 na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, aij 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
A
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A2 ?
a) Calcule A2 .
b) Qual o significado de c13 2 ?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: “ A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra com uma única retransmissão”.
d) Qual o significado das matrizes A A A 2 3, ?
e) Se A fosse simétrica o que significaria?
3) Existem 3 tipos de marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu.
O termo aij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o
carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
Para
De
0 7 0 2 0 1
0 3 0 5 0 2
0 4 0 4 0 2
, , ,
, , ,
, , ,
Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro da
mesma marca. Calcule A2 e interprete.
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Lista nº 2 – Matriz Inversa
Nos problemas 1 a 17, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
1) ܣ = ቀ3 51 2
ቁ 2) ܤ = ൭−3 4 −5
0 1 23 −5 4
൱ 3) ܥ = ቌ
1 0 0 02 1 0 034
23
12
01
ቍ
ܦ(4 = ൭1 0 −22 −2 −2
−3 0 2൱ ܧ(5 = ൭
−4 0 −10−2 −4 −4
2 −2 6൱ ܨ(6 = ൭
−3 −6 −120 3 −3
−6 −9 −24൱
7) ܩ = ൭−1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1൱ 8) ܪ = ൭
2 2 23 4 71 2 5
൱ 9) =ܬ ൭−1 −2 −3−2 −4 −5−3 −5 −6
൱
10) =ܮ ൭−3 −1 −3
2 −4 −11 −2 −2
൱ 11) ܯ = ൭−1 0 0−1 −1 0−1 −1 −1
൱ 12) = ൭1 −2 −4
−2 −1 23 0 −5
൱
13) = ൭0 2 −11 4 −2
−1 −7 3൱ 14) = ൭
−1 −1 −1−3 −3 −4−3 −4 −3
൱ 15) = ൭2 0 00 3 00 0 7
൱
16) = ൭0 0 50 6 09 0 0
൱ 17) = ቌ
−1 2 0 −80 −1 2 100
00
−10
1−1
ቍ
Nos problemas 18 a 23, supondo as matrizes quadradas e inversíveis, resolver as equações
matriciais na variável X.
18) ܦ.ܣ . = ܥ.ܤ.ܣ 19) .ܦ = ܦ ܥ. 20) ଶܦ.ଶ.ܥ.ܤ.ܣ = .ܥ.ܤ.ܣ
21) ܦ..ଵܦ = ܥ.ܣ 22) .ܥ + ܤ.2 = ܤ.3
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RESPOSTAS:
1) ଵܣ = ቀ2 −5
−1 3ቁ 2) ଵܤ = ቌ
−ଵସ
ଷ−
ଽ
ଷ−
ଵଷ
ଷ
−2 −1 −21 1 1
ቍ 3) ଵܥ = ቌ
1 0 0 0−2 1 0 0
10
−21
1−2
01
ቍ
4) ଵܦ =
⎝
⎛
−12ൗ 0 −1
2ൗ
14ൗ −1
2ൗ−1
4ൗ
−34ൗ 0 −1
4ൗ ⎠
⎞ 5) ଵܧ =
⎝
⎛
−4 52ൗ −5
12ൗ − 1
2ൗ1
2ൗ
32ൗ −1 2 ⎠
⎞ 6) ଵܨ =
⎝
⎛
113ൗ
43ൗ −2
−23ൗ 0 1
3ൗ
−23ൗ −1
3ൗ1
3ൗ ⎠
⎞
7) ଵܩ =
⎝
⎛
−12ൗ −1 −1
2ൗ
−1 −32ൗ
−52ൗ
32ൗ −2 −7
2ൗ ⎠
⎞ 8) ଵܪ∄ 9) ଵܬ = ൭−1 3 −23 −3 1−2 1 0
൱
10) ଵܮ = ൭6 4 −115 3 −9
−8 −5 14൱ 11) ܯ ଵ = ൭
−1 0 01 −1 00 1 −1
൱ 12) ଵ = ൭5 −10 −8
−4 7 63 −6 −5
൱
13) ଵ = ൭−2 1 0−1 −1 −1−3 −2 −2
൱ 14) ଵ = ൭−7 1 13 0 −13 −1 0
൱ 15) ଵ =
⎝
⎛
12ൗ 0 0
0 13ൗ 0
0 0 17ൗ ⎠
⎞ 16)
ଵ =
⎝
⎛
0 0 19ൗ
0 16ൗ 0
15ൗ 0 0 ⎠
⎞ 17) ଵ = ቌ
−1 −2 −4 20 −1 −2 −300
00
−10
−1−1
ቍ
18) = ܥ.ܤ.ଵܦ 19) = ܥ 20) = ଵܦ 21) = ܦ ଵܦ.ܥ.ܣ.
22) = ܤ.ଵܥ
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Lista nº 3
Sistemas Lineares
1) Classificar e resolver os sistemas:
a
x y z
x y z
x y z
b
x y z
y z
c
x y z
x y z
x y z
d
x y z
x y z
x y z
e
x y z
x
)
)
)
)
)
2 3 2 2
3 5 4 5
2 7 24
4 6 0
3
26 9 0
2 3 10
3 4 6 23
3 2 3 10
5 3 7 5
4 2
2 4 8 10
3 9 12 24
4 16
y z
x y z
fx y z
x y z
g
x y z
x y z
x y z
h
x y
y z
x y z
26 46
7 14 20
6 2 4 0
9 3 6 0
4 6 11
2 3 4 9
3 2 2 7
0
2 4 6
4 6
)
)
)
2) Resolva o sistema:
2 2 5
3 2 2 3
4 2 3 12
3 2 10
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
Resp: 1) a) SPD S={( 1, 2, 3)} b) SPI S={( 1,4
61 z, z)} c) SI S=
d) SPD S={( 1, 1, 1)} e) SI S= f) SPI S= {( x, -3x - 2z, z)}
g) SPI S= {( ( 3 + 2z)/5, (13 - 8z)/5, z)} h) SPI S={( y, y,2
3 y)}
2) S={( 22, 25, 7, 37)}
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Lista nº 4
Sistemas Lineares – Discussão
1) Resolva e classifique os sistemas abaixo:
) ൝+ݔ3 −ݕ2 =ݖ5 8
−ݔ2 −ݕ4 =ݖ2 −4−ݔ −ݕ2 =ݖ3 −4
�
b) ൝
+ݔ2 +ݕ4 =ݖ6 −6−ݔ3 −ݕ2 =ݖ4 −38+ݔ +ݕ2 =ݖ3 −3
�
c) ൝
+ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ2 +ݕ3 =ݖ 0
−ݔ4 −ݕ4 =ݖ2 0
�
d) ൝
+ݔ =ݖ3 −8−ݔ2 =ݕ4 −4
−ݔ3 −ݕ2 =ݖ5 26
�
2) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que os
sistemas abaixo sejam compatíveis (possíveis).
a) ൝ଵ + 2 ଶ = ݔ
−3 ଵ + 4 ଶ = ݕ2 ଵ− ଶ = ݖ
�
b) ൝+ 2= ݔ−2+ = ݕ−+ = ݖ
�
3) Resolver, em função de x e y, o sistema:
൜3+ 5= ݔ+ 2= ݕ
�
4) Determinar o valor de k para que o sistema abaixo admita solução não trivial:
൝
−ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ −ݕ2 =ݖ2 0+ݔ2 +ݕ =ݖ 0
�
GABARITO:
1) a) S = {( 3, 2, 1)}
b) S = ቄቀସଵା௭
ସ,ଶଽ ଵଷ௭
ቁቅݖ,
c) S = {( 0, 0, 0)}
d) S = {( 4, 3, -4)}
2) a) x = y + 2z
b) x = 5z – 3y
3) a = 2x – 5y e b = 3y – x
4) k = 1
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Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 5 - Vetores
1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ݒ = (2, -5), sabendo que sua origem é o
ponto A (-1, 3).
2) Dados os vetores =ሬݑ (3, -1) e ݒ = (-1, 2), determinar o vetor ሬሬݓ tal que
a) 4 ሬݑ) - (ݒ +ଵ
ଷሬሬݓ = 2 ሬݑ - ሬሬݓ
b) 3 ሬሬݓ - (2 ݒ - (ሬݑ = 2(4 ሬሬݓ - 3 (ሬݑ
3) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5) e C (3, -1), calcular ሬሬሬሬሬܣ - ,ሬሬሬሬሬܤܣ −ሬሬሬሬሬܥ ሬሬሬሬሬܥܤ e 3 −ሬሬሬሬሬܣܤ. 4 .ሬሬሬሬሬܤܥ.
4) Dados os vetores =ሬݑ (3,-4) e ݒ = (-9/4 , 3), verificar se existem números a e b tais que
=ሬݑ a ݒ e ݒ = b .ሬݑ
5) Dados os vetores =ሬݑ (2,- 4), ݒ = (-5, 1) e ሬሬݓ = (-12,6), determinar 1k e 2k tal que =ሬሬݓ 1k +ሬݑ + 2k .ݒ
6) Dados os pontos A (-1, 3), B (1, 0), C (2, -1), determinar D tal que ሬሬሬሬሬܥܦ = .ሬሬሬሬሬܣܤ
7) Dados os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determinar o ponto P tal que ሬሬሬሬሬܣ = .ሬሬሬሬሬܤ
8) Dados os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determinar o ponto P tal que ሬሬሬሬሬܣ = .ሬሬሬሬሬܤܣ.3
9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 ݒ = (6, 10, 4) - .ݒ
10) Encontrar os números 1a e tais que ሬሬݓ = 2211 vava , sendo 1v = (1, -2, 1), 2v = (2, 0,-4) e ሬሬݓ = (-4, -4,
14).
11) Determinar a e b de modo que os vetores =ሬݑ (4, 1, -3) e ݒ = (6, a, b) sejam paralelos.
12) Verificar se são colineares os pontos:
a) A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1)
b) A (2, 1, -1), B (3, -1, 0) e C (1, 0, 4)
13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7).
14) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B (5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.
15) Determinar o simétrico do ponto P (3, 1, -2) em relação ao ponto A (-1, 0, -3).
GABARITO:
1) (1,-2) 2) a) ሬሬݓ = (−ଵହ
ଶ,ଵହ
ଶ) b) ሬሬݓ = (
ଶଷ
ହ,−
ଵଵ
ହ)
3) (-4, 1), (2, 5), (-5, -30) 4) a = - 4/3 , b = - ¾
5) k1 = -1 e k2 = 2 6) D(4, -4)
7) P(3, 1, -1/2 ) 8) (14, -10, -6)
9) =ݒ (1,1,1) 10) a1= 2 , a2 = -3
11) a = 3/2 e b = - 9/2 12) a) sim b) não
13) a = -3 e b = 13 15) (-5, -1, -4)
2a
Profª Cristiane Pinho Guedes
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 6 - Vetores II
1) Dados =ሬݑ (4,2) =ݒ (−3,5) o produto escalar ሬݑ . ݒ é igual a
a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2
2) Se A = (7, -1), B = ( 0, 4) e C = (-2, 3), então, o produto escalar dos vetores ሬሬሬሬሬܥܣሬሬሬሬሬܤܣ é
a) – 8 b) 15 c) 0 d) – 13 e) 9
3) O módulo do vetor (4, -2) é igual a
a) 5 b) 2 c) 4 d) 2√3 e) 2√5
4) Dados =ሬݑ (3,−1) =ݒ (1,4), o módulo do vetor soma +ሬݑ ݒ é igual a
a) √27 b) 4 c) 5 d) 3√5 e) √10 + √17
5) O vetor ሬሬ= ቀ ,ଵ
ଷቁé um vetor unitário se a =
a) ±ଶ
ଷb) ±2√2/3 c) ±
ଵ
ଷd) ±√3 e) n r a
6) Um vetor unitário na direção da bissetriz do 1º e 3º quadrante é
a) ½ (1, 1) b) (1, 1) c) √2)(1, 1) d)√ଶ
ଶ(1,1) e) n r a
7) A distância do ponto P( 8, -6) à origem do sistema cartesiano é
a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) n r a
8) Os pontos A(1, 1), B(-2, 3) e C(3, -2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro é
a) 2√13 + 5√2 b) √2 + √3 + √17 c) 2(√13 + √5) d) √102
9) Os pontos A(1, 0), B(0, 1) e C(2, 2) são os vértices de um triângulo
a) eqüilátero b) retângulo c) isósceles, mas não retângulo
d) escaleno e) n r a
10) Dado o triângulo de vértices A(0, 0(, B(5, -3) e C(3, -3), a medida da mediana relativa ao vértice A é
a) 5 b) 4 c) √17 d) √20
11) Na figura temos A = (2, 3), A’= (6, 9), AB ∥ A’B’. Se หܤܣሬሬሬሬሬห= 3,5 , então ቚܤ'ܣ'ሬሬሬሬሬሬሬሬቚ=
a) 7 b) 9 c) 10,5 d) 12
e) n r a
12) O ponto (x, 2x) é eqüidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para x =
a) -2 b) – 5/2 c) -3 d) 0 e) 7/2
13) Um vetor paralelo ao vetor (4, -2) é
a) (6, -4) b) (-2, 1) c) -2, 4) d) (1, ½)
Profª Cristiane Pinho Guedes
14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é
a) (1, 2) b) (12, 6) c) (1, -2)
15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =
a) 3 b) 3,5 c) 4,5
16) Dados A(1, 0), B(2, 3) e C(5, y), os vetores
a) -4/3 b) 4/3 c) ¾
17) Dados =ሬݑ (3,0) =ݒ (2,2), os vetores
a) 0 b) -1 c) ¾
18) Os pontos A(1, 1), B(4, 6) e C(6, -2) são os vértices de um triângulo
a) retângulo em A b) retângulo em B
d) isósceles, mas não retângulo
19) Se =ሬݑ (ଵ
ଶ,ଵ
ଷ) =ݒ (
ଵ
ଶ,ଶ
ଷ), então a ângulo formado pelos vetores
a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º
20) O seno do ângulo formado pelos vetores
a) ½ b) 0 c) √3/2
21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é
a) necessariamente 1b) necessariamente 0
d) a tangente do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
a) superior a 2 b) ඥ2 + √
23) Num triângulo equilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares
respectivamente
a) 9/2 e -9/2 b) 9/2 e 9/2
24) Os pontos (1, 1), (a, b) e (a2, b2) são colineares se e somente se
a) a = 1 b) a = b
e) a ≠ b ≠ 1 ≠a
25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se
a) a = 0 b) a ≠ 1 e a ≠ -1
26) A( -1, -5), B(1, 3) e C(7, -5) são os
a) 16 b) 64
27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a,
pontos médios dos lados do triângulo ABC é
a) a/2 b) 2a²
28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5,
a) x = 5/3 ou x = 11/2 b) x = 2 ou x = 11/2
ou x = 17/3 d) x = 5/3 ou x = 13/3
29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa
e B(2, 3), então temos necessariamente
a) 2x – y = 1 b) x + y = 3
d ) x – y = 5 e) x + y = 5
14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é
d) (-12, 6)
15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =
d) -8/7
), B(2, 3) e C(5, y), os vetores ሬሬሬሬሬܤܣሬሬሬሬሬሬܥܣ são ortogonais se y =
d) -3/4
, os vetores ݒ e +ሬݑ ݒ (k real) são ortogonais se k =
d) -3/4
2) são os vértices de um triângulo
b) retângulo em B c) retângulo em C
e) eqüilátero
, então a ângulo formado pelos vetores +ሬݑ ݒ e −ሬݑ2
5º c) 60º d) 120º
20) O seno do ângulo formado pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣሬሬሬሬሬሬܥܤ sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a
d) 1
21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é
b) necessariamente 0c) o cosseno do ângulo formado por eles
d) a tangente do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
√3 c) √2 d) √3
ilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ሬሬሬሬሬܤܣ.ሬሬሬሬሬሬܥܣ
c)ଽ√ଷ
ଶଽ√ଷ
ଶd) -9/2 e 9/2
) são colineares se e somente se
c) a = 1, b = 1 e a = bd) a = 1 ou b = 1 ou a = b
25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se
c) a ≠ 0 e a ≠ 3 d) a = 2 ou a = 4
5) são os vértices de um triângulo cuja área é
c) 56 d) 32
27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, -a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC é
c) a² d) a²/2 e) a²/4
28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, -
b) x = 2 ou x = 11/2 c) x = 2
d) x = 5/3 ou x = 13/3
29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa por A(1, 4)
e B(2, 3), então temos necessariamente
c) x – y = -3
e) x + y = 5
(k real) são ortogonais se k =
ݒ é
, sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a
c) o cosseno do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
ܤܣ e ሬሬሬሬሬܤܣ.ሬሬሬሬሬሬܥܤ valem
d) a = 1 ou b = 1 ou a = b
d) a = 2 ou a = 4
a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os
-1) e C(6, 3) se
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30) Se a área hachurada na figura é igual a 16, então a vale
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) n r a
31) Dados os vetores =ሬݑ (2, 4,−1) =ݒ (0, 1, ,ℝଷ(3 o vetor ሬሬݓ que satisfaz a equação +ሬሬݓ3 ==ሬݑ +ሬሬݓ ݒ2
é
a) (2, 5, 2) b) (1, -1, 7/2 ) c) (1, 3, 5/2) d) (2, 3, -4) e) (6, 14, 0)
32) Dados A(1, 0, 1), B(2, 3, -1) e C(x, y, z), se ሬሬሬሬሬܥܣ = ,ሬሬሬሬሬܤܣ3 então, podemos concluir que x + y + z =
a) 18 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10
33) Dados =ሬݑ (1, 2,−1), =ݒ (3, 2,1) ሬሬݓ = (4, 0, 5), o produto escalar dos vetores +ሬݑ2 ݒ3 +ݒ−−ሬݑ ሬሬݓ2 é
a) 118 b) 128 c) 108 d) 8 e) n r a
34) Dados =ሬݑ (1, 0, 0), =ݒ (1,1,0) ሬሬݓ = (1, 1, 1),o vetor .ሬݑ) −ሬሬݓ(ݒ ሬéݑ(ሬሬݓ.ݒ) igual a
a) (1, 1, -1) b) (1, -1, 1) c) (-1, 1, 1) d) (-1, -1, 1) e) (1, -1, -1)
35) Qual dos vetores seguintes é um vetor unitário?
a) (1, 1, 1) b) (1/3, 1/3, 1/3) c) (1/2, -1/2, 0) d) (0, 1, -1) e) (8/9, 1/9, 4/9)
36) Se o vetor (4, 12, k) tem módulo 13, k pode ser
a) -3 b) 1 c) -10 d) 5
37) A medida do ângulo interno A do triângulo ABC, A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 2) e C = (1, 3, 3) é
a) 45º b) 60º c) 30º d) 90º e) 120º
38) Se for verdadeira a igualdade .ሬݑ| |ݒ = .|ሬݑ| |ݒ| podemos concluir que os vetores
a) são ortogonais b) são paralelos e de mesmo sentido c) são paralelos e de sentidos opostos
d) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos
e) não são paralelos, nem ortogonais
39) Um vetor paralelo ao vetor (8, 0, 2) é
a) (16, 0, 8) b) (4, 0, 4) c) (-16, 0, 4) d) (2, 0, ½)
40) Se os vetores (2, -1, 5) e (8, a, b) são paralelos, podemos concluir que a + b vale
a) 16 b) 20 c) 24 d) 4
41) Os vetores (1, 1, k) e (k, -1, 1) são ortogonais se k =
a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2
42) Os pontos A(0, 1, 0), B(k, 1, 1) e C(k, k, -1) são os vértices de um triângulo retângulo em A se k=
a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2
43) Os pontos A(1, -1, 3), B(2, 1, 7) e C(4, 2, 6) são
a) os vértices de um triângulo retângulo b) os vértices de um triângulo eqüilátero
c) os vértices de um triângulo isósceles e não retângulo
d) são colineares
44) Se o ponto P(x, y, z) pertence ao plano yz e eqüidista dos pontos A(1, 1, 0) e B(-1, 0, 1), podemos
concluir que
a) x = y = z b) x = 0 e y = z c) y = 0 e x = z d) x = 0 e y + z = 0
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GABARITO:
1) A 32) D
2) E 33) E
3) E 34) C
4) C 35) E
5) B 36) A
6) D 37) D
7) C 38) D
8) A 39) D
9) C 40) A
10) A 41) C
11) C 42) A
12) A 43) A
13) B 44) B
14) D
15) B
16) A
17) D
18) A
19) B
20) D
21) C
22) B
23) A
24) D
25) B
26) D
27) E
28) A
29) E
30) B
31) B
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Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 7 – Vetores – Produto Escalar.
1) Dados os vetores ሬݑ = (1, a, -2a - 1), ݒ = (a, a -1,1) e ሬሬݓ = (a, -1, 1), determinar a de modo que .ሬݑ ݒ = ሬݑ) +
(ݒ . .ሬሬݓ
2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar ݔ o vetor tal que ݔ2 - ሬሬሬሬሬܤܣ = ݔ + ሬሬሬሬሬܥܤ)+ . ሬሬሬሬሬܤܣ )
.ሬሬሬሬሬܥܣ
3) Determinar o vetor ݒ , sabendo que (3, 7, 1) + ݒ2 = (6, 10, 4) - ݒ .
4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor ሬሬሬሬሬܣܤ3 .ሬሬሬሬሬܥܤ2-
5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: ,ሬ=(1ݑ 1, 1) e1 2 1
, ,6 6 6
v
6) Determinar o valor de n para que o vetor ݒ = (n, -4/5 , 2/5) seja unitário.
7) Seja o vetor ݒ = (m + 7) ଓ+ (m + 2) ଔ+ 5ሬ. Calcular m para que I ݒ I = 38 .
8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que 7v
, sendo =ݒ
mܥܣሬሬሬሬሬ + ሬሬሬሬሬܥܤ .
9) Dados os pontos A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determinar m de modo que IܤܣሬሬሬሬሬI= 35 .
10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).
11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1).
12) Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.
13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto
escalar dos vetores ሬሬሬሬሬܤܣ e .ሬሬሬሬሬܥܣ
14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular .ሬሬሬሬሬܤܣ +ሬሬሬሬሬܥܣ .ሬሬሬሬሬܣܤ+ ሬሬሬሬሬܥܤ +
.ሬሬሬሬሬܤܥ.ሬሬሬሬሬܣܥ
15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).
16) Sabendo que o ângulo entre os vetores ሬݑ = (2,1, -1) e ݒ =(1, -1, m + 2) é3
determinar m.
17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores ,ሬ=(1ݑ n, 2) e ଔ.
18) Dados os vetores = (2, 1, ), ሬ= ( + 2, -5, 2) e = (2 , 8, ), determinar o valor de para que o
vetor + ሬ seja ortogonal ao vetor - .
19) Determinar o vetor ,ݒ paralelo ao vetor =ሬݑ (1, -1, 2), tal que ݒ . ሬݑ =-18.
20) Determinar o vetor ݒ ortogonal ao vetor ሬݑ = (2, -3, -12) e colinear ao vetor ሬሬݓ = (-6,4,-2).
21) Determinar o vetor ݒ , colinear ao vetor ሬݑ = (-4, 2, 6), tal que .ݒ ሬሬݓ = -12, sendo ሬሬݓ = (-1, 4, 2).
22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.
23) Qual o valor de a para que os vetores a = ଓ+ 5ଔ- 4ሬe b = ( + 1) ଓ+ 2ଔ+ 4ሬsejam ortogonais?
24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar.
26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e y. Determinar y.
27) Determinar o vetor v, sabendo que I ݒ I = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ݒ . ሬሬݓ = 6 e .ሬሬ=2ଔ+3ሬݓ
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28) Sabe-se que I ݒ I = 2, cos = 1/2 e cos = - 1/4 . Determinar ݒ .
29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor ݒ = (2, -1, 1).
30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ݒ = (1, -1, 2).
31) 0 vetor ݒ é ortogonal aos vetores ሬݑ =(2, -1, 3) e ሬሬݓ = (1, 0, -2) e forma ângulo agudo com o vetor ଔ
. Calcular ݒ , sabendo que I ݒ I = 3 6
32) Determinar o vetor ݒ , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ݒ . 1ݒ = 10 2.v v
=-5, sendo
1ݒ =(2,3,-1) e 2v
=(1,-1,2).
33) Determinar o vetor projeção do vetor ሬݑ = (1, 2, -3) na direção de ݒ =(2, 1, -2).
34) Qual o comprimento do vetor projeção de ሬݑ = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
35) Se o vetor ሬሬሬሬሬܤܣ tem co-senos diretores p, q e r e ângulos diretores e, , quais são os co-senos e
os ângulos diretores de ?ሬሬሬሬሬܣܤ
36) Mostrar que se u e ݒ são vetores, tal que ሬݑ + ݒ é ortogonal a ሬݑ - ,ݒ então l ሬݑ I = l ݒ I
37) Mostrar que, se u é ortogonal a ݒ e ,ሬሬݓ ሬݑ é também ortogonal a ݒ + .ሬሬݓ
38) Calcular o módulo dos vetores ሬݑ + ݒ e ሬݑ - ,ݒ sabendo que I ሬݑ I = 4, I ݒ I= 3 e o ângulo entre ሬݑ e ݒ é de
60°.
39) Sabendo que I ሬݑ I = 2, I ݒ I =3 e que ሬݑ e ݒ formam um angulo de4
3, determinar I ሬݑ2) - (ݒ . ሬݑ) - I(ݒ2 .
40) Determinar .ሬݑ +ݒ .ሬݑ +ሬሬݓ .ݒ ,ሬሬݓ sabendo que +ሬݑ +ݒ =ሬሬݓ 0, I ሬݑ I= 2, I ݒ I= 3 , 5w
41) 0 vetor ݒ é ortogonal aos vetores = (1, 2, 0) e ሬ = (1, 4, 3) e forma ângulo um agudo com o eixo dos x.
Determinar ݒ , sabendo que I ݒ I = 14.
Respostas dos Problemas Propostos:
1. a = 2
2. (-17, -13, -15)
3. (1, 1, 1)
4. (7/9, 4/9, 4/9)
5. éݒ unitário
6. ±√ହ
ହ
7. −4 −ݑ 5
8. 3 13/5−ݑ
9. −3 ou -1
10. 2(√11 + √3)
11. (1, 0, 0)
12. 45º
13. 50
14. 169
15. =መܣ ݎ cosଵ
ଷ√ଶ=ܤ ݎ cos
ଶ√
ଽ=መܥ ݎ cos
ଶ
√ସଶ
16. m = - 4
17. ±√15
18. 3 −ݑ 6
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19. (-3, 3, -6)
20. t . (3, -2, 1)
21. (2, -1, -3)
22. ሬሬሬሬሬܥܤ.ሬሬሬሬሬܣܤ = 0
23. – 3 ou 2
24. መܣ
25. não
26. 60º ou 120º
27. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0)
28. =ݒ ቀ1,−ଵ
ଶ, ±
√ଵଵ
ଶቁ
29. Um deles é ቀ0,ଵ
√ଶ,ଵ
√ଶቁ
30. ቀ±ହ
√,∓
ହ
√, ±10/√6ቁ
31. (2, 7,1)
32. (−1,4,0)
33.ଵ
ଽ(2,1,−1)
34. 3
35. –p, -q e –r ou π – α , π – β e π – γ
38. √37 √13
39. 26 + 15√2
40. – 9
41. (12, -6, 4)
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CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 8 – Vetores – Produto Vetorial e Produto Misto .
1) Dados os vetores ሬݑ = (2, -1, 1), ݒ = (1, -1, 0) e ሬሬݓ = (-1, 2, 2), calcular:
) ×ሬሬݓ ݒ ) ×ݒ −ሬሬݓ) (ሬݑ +ሬݑ)( ×ሬሬሬሬ(ݒ −ሬݑ) (ݒ )(2 (ሬݑ × (ݒ3) ×ሬݑ)( .ሬሬሬሬ(ݒ ×ሬݑ) (ݒ ) ×ሬݑ)
.ሬݑሬሬݓ.ሬሬሬሬ(ݒ ×ݒ) (ሬሬݓ ) ×ሬݑ) ×ሬሬሬሬ(ݒ ×ሬݑሬሬݓ ×ݒ) (ሬሬݓ ℎ) +ሬݑ) .(ݒ ×ሬݑ) (ሬሬݓ
2 ) Dados os vetores = (1, 2, 1) e ሬ= (2, 1, 0), calcular:
) 2× (+ ሬ) ) (+ 2 ሬ) × (− 2 ሬ)
3) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ሬሬሬሬሬܤܥ x ሬሬሬሬሬܥܤ) - 2 .(ሬሬሬሬሬܣܥ
4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 + ሬ e ሬ - , sendo = (3, -1, -2)
e ሬ= (1, 0, -3).
5) Dados os vetores = (1, -1, 2), ሬ = (3, 4, -2) e = (-5, 1, -4), mostrar que . ( ሬ x ) =
( x ሬ) . .
6) Determinar o valor de m para que o vetor ሬሬݓ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores 1ݒ=(2,-
1,0) e 2ݒ =(1,-3,-1).
7) Dados os vetores ݒ =
2,5,
cba e ሬሬݓ = (-3a, x, y), determinar x e y para que ݒ x .ሬሬ=0ݓ
8) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores iݒ = (1, 1, 0) e 2ݒ = (2, -1, 3).
Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.
9) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:
)ଔ× 2ଓ ) 3ଓ× 2ሬ
10) Sabendo que I I= 3, I ሬ I= 2 e 45° é o ângulo entre e ሬ, calcular I x ሬ I.
11) Se lݑሬ x =Iݒ 3 3 , Iݑሬ I = 3 e 60° é o ângulo entre ሬݑ e ,ݒ determinar I ݒ I.
12) Dados os vetores = (3, 4, 2) e ሬ =(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo
ortogonal aos vetores 2 - ሬe + ሬ.
13) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ሬݑ = (3; 1, 2) e ݒ = (4, -1, 0).
14) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1, -2, 3), B(4, 3,-1), C(5, 7, -3) e D(2, 2, 1) é um
paralelogramo e calcular sua área.
15) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores ሬݑ2 e - ݒ , sendo ሬݑ = (2, -1,
0) e ݒ = (1, -3, 2).
16) Calcular a área do triângulo de vértices
a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2) d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1)
17) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades
B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2).
18) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1,), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de área2
29.
19) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao
lado BC.
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20) Determinar ݒ tal que ݒ seja ortogonal ao eixo dos y e ݒ = ݒ x ,ሬሬݓ sendo =ሬݑ (1, 1, -1) e ሬሬݓ = (2,-1, 1).
21) Dados os vetores ሬݑ =(0, 1, -1), ݒ =(2, -2, -2) e ሬሬݓ =(1, -1, 2), determinar o vetor ,ݔ paralelo a ,ሬሬݓ que
satisfaz à condição: x u v
.
22) Dados os vetores ሬݑ = (2, 1, 0) e ݒ = (3, -6, 9), determinar o vetor ݔ que satisfaz a relação =ݒ ×ሬݑ eݔ que
seja ortogonal ao vetor ሬሬݓ = (1, -2, 3).
23) Demonstrar que x ሬ= ሬx = x , sabendo que + ሬ+ = 0.
24) Sendo ሬݑ e ݒ vetores do espaço, com 0v
:
a) determinar o número real r tal que ሬݑ - rݒ seja ortogonal a ;ݒ
b) mostrar que ሬݑ) + (ݒ x ሬݑ) - (ݒ = ݒ2 x ሬݑ .
25) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
26) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
a) ሬݑ =(3, -1, 2), ݒ =(1, 2, 1) e ሬሬ=(-2,3,4)ݓ b) ሬݑ =(2, -1, 0), ݒ =(3, 1, 2) e ,ሬሬ=(7ݓ -1, 2)
27) Verificar se são coplanares os pontos:
a) A(1, 1, 1), B(-2,-1,-3), C(0, 2,-2) e D(-1, 0, -2) b) A(1,0,2), B(-1, 0, 3), C(2,4,1) e D(-1, -2, 2)
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1)
28) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares?
29) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a) =(2,-1,k), ሬ=(1,0,2) e =(k,3,k)b) =(2, 1, 0), ሬ=(1, 1,-3) e =(k, 1,-k)
c) =(2, k, 1), ሬ=(1, 2, k) e =(3, 0, -3)
30) Sejam os vetores ሬݑ =(1,1,0), ݒ = (2, 0,1), ሬሬ1ݓ ሬݑ3= ,ݒ2- ሬሬ2ݓ = ሬݑ ݒ3+ e ሬሬ3ݓ =ଓ+ଔ-2ሬ. Determinar o volume do
paralelepípedo definido por ,ሬሬ1ݓ ሬሬ2ݓ e .ሬሬ3ݓ
31) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 1ݒ = 2ଓ-ଔ, 2ݒ =
6ଓ+mଔ-2ሬe 3ݒ = - 4ଓ+ሬseja igual a 10.
32) Os vetores =(2, -1, -3), ሬ =(-1, 1, -4) e =(m+ 1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42.
Calcular m.
33) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de
20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e .ሬሬሬሬሬܦܣ
34) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 1) e D(4,2,7)
b) A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Para este, calcular também a medida da altura traçada do
vértice A.
GABARITO:
1) a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) (4, -1, 3) e (1, -4, -6)
h) 1
2) a) (-2, 4, -6) b) (4, -8, 12)
3) (12, -8, -12)
4) x (3, 7, 1)
5) . ( ሬ x ) = ( x ሬ) . = 10
6) – 5
7) x = -15 b , y = 3/2 c
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8) Duas soluções para cada caso: ቀଵ
√ଷ,−
ଵ
√ଷ,−1/√3ቁou ቀ−
ଵ
√ଷ,ଵ
√ଷ,ଵ
√ଷቁ5ቀ
ଵ
√ଷ,−
ଵ
√ଷ,−
ଵ
√ଷቁ −5ቀݑ
ଵ
√ଷ,ଵ
√ଷ,ଵ
√ଷቁ
10) 3
11) 2
12) ቀ
√ଷ,ଷ
√ଷ,−15/√30ቁ
13) √117
14) √89
15) 6√5
16) a) √6 b) 7/2 c) 9√2/2 d) 2√6
17) √74
18) 3 ou 1/5
19) 3√35/7
20) (1, 0, 1)
21) (-2, 2, -4)
22) (2y – 9, y, 3)
24) a) =ݎ .ሬݑ) ଶ|ݒ|/(ݒ
26) a) não b) sim
27) a) sim b) não c) sim
28) m = 4
29) a) 6 b) 3/2 c) 2 ou -3
30) 44 uv
31) 6 ou -4
32) 2 ou -8/3
33) 6 ou 2
34) a) 2 b) 4 e 8/√10
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Lista de exercícios nº 9.
1) Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta
:ݎ−ݔ 3
−1=+ݕ 1
2=
2 − ݖ
2
2) Determinar o ponto da reta ൝:ݎ=ݔ 2 − ݐ=ݕ 3 + ݐ=ݖ 1 − ݐ2
�que tem abscissa 4.
3) Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta ൝:ݎ=ݔ 1 − ݐ2=ݕ −3 − ݐ=ݖ −4 + ݐ
�
4) Determinar os pontos da retaݎ:௫ଷ
ଶ=
௬ାଵ
ଵ=
௭
ଶque têm: (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1
5) 0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.
6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, -3) e
tem a direção do vetor kjiv
542 .
7) Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de
pontos: a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1) b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3)
8) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos
pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).
9) Mostrar que os pontos A (-1, 4, -3), B (2, 1, 3) e C (4, -1, 7) são colineares.
10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(l, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à
mesma reta?
11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
) ቊ௫ାଵ
ଷ=
௭ ଷ
ସ
=ݕ 1� ) ቄ
=ݕ 3=ݖ −1
�
) ቄ=ݔ ݕ2=ݖ 3
� ) ቄ=ݕ ݔ−=ݖ 3 + ݔ
�
) ൝=ݔ ݐ2=ݕ −1=ݖ 2 − ݐ
� ) =ݔ =ݕ ݖ
12) Determinar as equações das seguintes retas:
a) reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z;
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i - j ;
e) reta que passa pelos pontos M(2, -.3, 4) e N(2, -1, 3).
Respostas:
1) Apenas P1 2) (4, 1, 5) 3) m = -2, n = -5 4) (5, -2, -2), (-7, 4, 10), (2, -1/2, 1)
5) P(2, 1, 9) 6) y = 2x – 8 e z = 5/2 x – 13 7) a) ቊ=ݕ
௫
ଶ−
ହ
ଶ
=ݖ +ݔ2− 5
� b) ቄ=ݕ +ݔ− 1=ݖ 3
�
8) x = ½ z – 5/2 e y = ½ z – 3/2 10) m = -5
12) ) ቄ=ݕ −2=ݖ 4
� ) ቄ=ݔ 3=ݖ 1
� ) ൜=ݔ 2=ݕ 3
� ) ൜=ݖ 2=ݔ +ݕ− 3
� ) ቊ=ݔ 2
௬ାଵ
ଶ=
௭ ଷ
ଵ
�
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Lista de exercícios nº 10 .
1) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
) :ݎ ൝=ݔ −2 − ݐ2=ݕ ݐ2
=ݖ 3 − ݐ4
� :ݏ௫
ସ=
௬ା
ଶ=
௭ ଵ
ଶ) :ݎ ቄ
=ݕ −ݔ2− 1=ݖ +ݔ 2
:ݏ௬
ଷ=
௭ାଵ
ଷ=ݔ, 2 �
) :ݎ ൝=ݔ 1 + √2 ݐ
=ݕ ݐ=ݖ 5 − ݐ3
:ݏ ൜=ݔ 0=ݕ 0
�� ) :ݎ௫ସ
ଶ= =ݕ−
௭ ଵ
ଶ :ݏ ቊ
=ݔ 1௬ାଵ
ସ=
௭ ଶ
ଷ
�
2) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas
:ݎ−ݔ 2
4=+ݕ 4
5=ݖ
3 :ݏ ቄ
=ݕ +ݔ 5=ݖ −ݔ2 2
�
3) Calcular o valor de n para que seja de 30° o ângulo que a reta :ݎ ቄ=ݕ +ݔ 5=ݖ −ݔ2 3
� forma com o eixo dos y.
4) A reta :ݎ ൝=ݔ 1 + ݐ2=ݕ ݐ
=ݖ 3 − ݐ
� forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2)
e B(4, 0, m). Calcular o valor de m.
5) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
) :ݎ ൝=ݔ ݐ3−=ݕ 3 + ݐ=ݖ 4
� :ݏ௫ାହ
=
௬ଵ
=ݖ; 6 ) :ݎ ൝
=ݔ 2 − ݐ3=ݕ 3=ݖ ݐ
� :ݏ௫ସ
=
௭ ଵ
ହ=ݕ; 7
6) A reta r passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela à reta :ݏ ൝=ݔ 2 + ݐ=ݕ ݐ3−=ݖ ݐ−
� .Se P(-3, m, n) r, determinar m
e n.
7) Quais as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 1, 0) e é paralela à reta
:ݎ+ݔ 1
1=ݕ
4= ?ݖ−
8) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,-
1,1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D.
9) A reta :ݎ ቄ=ݕ +ݔ 3=ݖ −ݔ 1
� é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m,
2m). Calcular o valor de m.
RESPOSTAS:
1) a) 60º b) 30º c) 30º d) ߠ = ݎ cosቀଶ
ଷቁ≅ 4811'
2) 7 ou 1
3) ± √15
4) – 4
5) a) -2 b) -5/2
6) m = 10 e n = 5
7) y = 4x + 9 e z = -x – 2
8) D(0, 1, 0) 9) 1 ou -3/2
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Lista de exercícios nº 11 .
1) Seja o plano : 2 x - y+ 3 z+ 1=0 . Calcular:
a) 0 ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3;
b) 0 ponto de que tem abscissa 1 e cota 2;
c) 0 valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) pertença a ;
d) 0 ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Nos problemas 2 a 10, determinar a equação geral do plano
2) paralelo ao plano : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto A(4, -1, 2);
3) perpendicular à reta
1
32:
yz
yxr e que contém o ponto A(1, 2, 3);
4) mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0);
5) mediador do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1);
6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1);
7) paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1);
8) paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);
9) paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3);
10) perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).
Nos problemas 11 a 14, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1).
12) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).
13) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5).
14) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).
15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0, 3) sejam
coplanares.
Nos problemas de 16 a 19, determinar a equação geral do plano nos seguintes casos:
16) 0 plano passa pelo ponto A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores kjei
2
17) 0 plano passa pelos pontos A(-3, 1,-2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo ao vetor kiv
32
18) 0 plano contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano : 2x+y -z+ 8=0.
19) 0 plano contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 1 : 2x - y - 4z - 6 = 0 e 2 :x + y+ 2z -
3 =0.
RESPOSTAS:
1) a) (4, 3, -2) c) k = -2
b) (1, 9, 2) d) (0, -2, -1)
2) 2x - 3y - z - 9 = 0
3) 2 x + y - z - 1= 0
4) x + y - 3z + 8 = 0
5) 4x + 4y + 2z + 3 = 0
6) 3x+2y- 6=0
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7) y - 2z + 4 = 0
8) x + 2z - 2 = 0
9) 9) z = 3
10) y = 4
11) 4x + 5y + 3z – 6 = 0
12) x – 2y = 0
13) x = 0
14) z = 3
15) a = -3
16) y + 2z + 4 = 0
17) 3x - 12y + 2z + 25 = 0
18) x – 12y – 10z – 5 = 0
19) 2x – 8y + 3z = 0
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