CEPUNT MATEMÁTICA

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Equipo de Matemática 298

1. Definiciones:

a) Circunferencia: Circunferencia es el conjunto de puntos ubicados

en un mismo plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

b) Círculo: es la porción del plano limitado por la circunferencia.

2. Elementos de la Circunferencia: Centro O: Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia. Radio OA: Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda BC: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro DE: Cuerda mayor que pasa por el centro de la circunferencia. Secante FG: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente MI: Recta que toca en un punto (T) a la circunferencia. El punto T es llamado punto de tangencia. Flecha o Sagita HN: Segmento perpendicular levantado del punto medio de una cuerda al arco. Arco AE: Porción de circunferencia limitada por los extremos de una cuerda. Segmento Circular QTR: Porción de plano limitado por una cuerda y un arco. Sector Circular AOE: Porción de plano limitado por dos radios y un arco.

“CIRCUNFERENCIA – CIRCULO”

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3. Posiciones Relativas entre dos Circunferencias: Exteriores: Cuando la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

PQ > R + r Tangentes exteriores: Cuando la distancia entre sus centros es igual que la suma de sus radios.

PQ = R + r Secantes: Cuando la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios, pero mayor que su diferencia.

R – r < PQ < R + r

Tangentes Interiores:Cuando la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

PQ = R – r

r

R

P

Q

r R

P Q

R

P Q

r

R Q

r

P

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B

A

C

x

Interiores:Cuando la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de los radios.

PQ < R – r Concéntricas:Cuando la distancia entre sus centros es igual a cero.

d = 0

4. Ángulos con relación a una Circunferencia: Ángulo Central: Es el ángulo formado por dos radios cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.

x =

AB Ángulo Inscrito: Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

x = 2

AC

R Q

r

P

A

B

x

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Ángulo Semi-Inscrito: Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente.

x = 2

AB

Ángulo Interior: Es el ángulo que tiene su vértice dentro de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan.

x = 2

DCAB

Ángulo Ex-Inscrito: Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son una cuerda y una secante.

x = 2

BCAB

Ángulo Exterior: Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son dos secantes o dos tangentes o una secante y una tangente.

x = 2

ADBC

x

B

A T

D

B

A

C

x

x D

B

A

C

A

C

B

D

x T

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x = 2

ba

x = 2

ABAC

5. Propiedades Fundamentales en toda Circunferencia:

1. Si

AB =

CD entonces AB = CD

2. Si AB // MN entonces

AM =

BN

3. OT L

A

B

a b x T

A

C B

x T

B

C

A

D

B

M

A

N

L T

O

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4. AE = EB y

AD =

DB

5. Si MNAB entonces:

a = b

6. TBTA

7. BCAD

8. BCAD

C

B A

D

O

E

N

B

A

M

O

b

a

B

A

T

C

B

A

D

D

B

A

C

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9. Si AB : diámetro

P = 90° 10. x = y

11. Si R es punto de tangencia, entonces:

2

x yDRO

S

12. x + y + z = 180º ¼ 180ºDRO

donde: x, y, z son longitudes de arco

13. Si T es punto de tangencia Entonces: UN // CP

14. Si T es punto de tangencia Entonces: X = Y

P

B A

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15. Si C y M son puntos de tangencia Entonces: X = Y

16. Si R es punto de tangencia Entonces:

135ºDRO S

17. Si T es punto de tangencia Entonces: X = Y

18. DR = RO

19. UN = CP

20. UN = CP

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21. 2

a b cX

6. Otras Propiedades de la Circunferencia: a. Una circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, de incentro I, al

prolongar la bisectriz interior del ángulo A corta a la circunferencia en el punto D, entonces se cumple que ID = DC.

mBAD = mBCD = 2

a2 = a

enAIC mDIC = a + c

DIC es isósceles porque

mDIC = mDCI = a + c

DI = DC

b. En un triángulo inscrito en una circunferencia, al trazar la mediatriz de uno de sus lados cortan a la circunferencia en Q y R. Las bisectrices (interior y exterior) del ángulo opuesto (B) se cortan también en Q y R.

AR =

RC = 2

AQ =

QBC = 2b

mRBC = mABR = 2

2 =

BR : bisectriz interior

BQ : bisectriz exterior

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7. Relaciones Métricas en la Circunferencia:

a. De la Cuerda:

MA MB = MC MD

b. De la Secante:

MA MB = MC MD

c. De la Tangente:

MC2 = MA MB

d. De las Rectas Isogonales:

CA CB = CM CN

e. Del Producto de Lados:

AB BC = 2R BH

D

C

A

B

M

D

B A

C

M

A

C

B

M

D

B

A C H

O

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8. Teorema de Poncelet: En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita.

AB + AC = 2r + 2R

9. Teorema de Pitot: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de los lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

AB + DC = DA + CB

10. Arco Capaz: El arco capaz de un ángulo dado, es un arco de circunferencia, de modo que todos los ángulos inscritos en dicho arco son congruentes al ángulo dado.

Sea el ángulo dado: mAEB = a

a = 2

AB

Todos los puntos que se

tomen del arco dado

AEB , formarán ángulos inscritos.

mACB = mADB = a = 2

AB

A

B C

D

E

F

G

H

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11. Cuadrilátero Inscrito: Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, si sus 4 vértices son p untos de la circunferencia. Se dice que un cuadrilátero es inscriptible cuando puede inscribirse en una circunferencia. Llamado también cíclico. ¿Cómo Reconocer al Cuadrilátero Inscriptible? 1) Si los ángulos opuestos del cuadrilátero suman 180°.

2) Si los lados opuestos de un cuadrilátero con las diagonales forman ángulos congruentes.

12. Teorema de Simpson: Si desde un punto situado en una circunferencia circunscrita a un triángulo se trazan perpendiculares a sus tres lados, entonces los pies de éstas perpendiculares estarán contenidos en una misma línea llamada recta de simpson.

L es la recta de Simpson y PN // L

c

D

A

C

B

D

A

C

B

a a

b

D

A

C

B

D

A

C

B

a

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13. Teoremas de Papillon: 1) Si DR = RO, entonces:

DA = LO

2) Si DR = RO, entonces:

a = b

PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1) La distancia entre los centros de 2 circunferencias tangentes exteriores

es 24 cm. El valor del radio mayor, si la diferencia entre sus radios es de 4 cm, es: A) 10 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 15 cm E) 16 cm Resolución: Por dato, se tiene:

R + r = 24 R – r = 4

Resolviendo el sistema de ecuaciones: r = 10 cm R = 14 cm.

CLAVE C

2) En 2 circunferencias secantes, la distancia entre sus centros y los radios trazados hacia uno de los puntos de corte, forman un triángulo cuyo perímetro es 45 cm. y la suma de sus radios excede en 15 cm a la distancia de sus centros. Las longitudes de los radios, si éstos están en relación de 2 es a 3, son (en cm): A) 10 y 16 B) 10 y 18 cm C) 12 y 16 D) 16 y 18 E) 12 y 18 Resolución: Los lados del triángulo tendrían las siguientes longitudes, según los datos:

2x , 3x y 5x – 15

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Como su perímetro mide 45 cm,

2x + 3x + 5x – 15 = 45

10x = 45 + 15

x = 10

60

x = 6

los radios son: 2x = 2(6) = 12 cm. 3x = 3(6) = 18 cm.

CLAVE E

3) La figura muestra una semicircunferencia, donde GF = 9m y FD = 7 m. La longitud del segmento FE, en metros, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución: Nos piden: FE = x

De la figura:

⊿ AGF ~ ⊿ DGC Entonces:

16

9

m

n

mn = 9(16)

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Por relaciones métricas en la circunferencia: (x + 9)2 = m.n

(x + 9)2 = 9(16) x = 3

CLAVE C

4) En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF, donde D es punto de tangencia. Si AD = 3 cm, EC = 2 cm. El valor de AC, en cm, es:

A) 6 B) 6,4 C) 6,8 D) 7,2 E) 7,6 Resolución: Nos piden: AC = x AD = 3; EC = 2 Sabemos que:

AD = AB = 3 ∧ DE = ES = n De la figura:

⊿ ABC ~ ⊿ ESC Entonces:

3

5 2

n

n

n2 + 5n – 6 = 0 n = –6 v n = 1

Finalmente: x = 6

CLAVE A

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