cercha

Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 30 Universidad de Los Andes, Venezuela. 2 marzo 2012 1 Prof. Jorge O. Medina

CERCHAS

Introducción Las cerchas o armaduras son uno de los elementos estructurales que forman parte del conjunto de las

estructuras de forma activa. Es por ello que para establecer los aspectos relacionados con las cerchas, a continuación se indica las propiedades de la cercha como elemento estructural sometido a tracción y compresión. Además se muestra las propiedades que rige el diseño de la cercha, así como las unidades adicionales requeridas, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de las secciones transversales de los componentes de la cercha.

Para distinguir las propiedades de la cercha primero se establece la definición donde se indica las ventajas, comportamiento, relación con el cable y arco, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala algunos métodos de resolución de cerchas así como el diseño y un ejemplo de aplicación.

Propiedades de las cerchas Definición

La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominada nodos (véase Figura 1); en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982; Olvera, 1972).

Figura 1. Esquema de cercha.

(a) (b) (c) Figura 2. Relación entre cable, arco y cercha.

H

TT

P

P/2 P/2

H

CC

P

P/2 P/2

C

T

C

P

P/2 P/2

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Graw-Hill

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restricción a la rotación por ello las barras de tracción o compresión pura en los elementos desarrollan una pequeña cantidad de flexión y corte (Beer y Johnston, 1977; Moore, 2000; Salvadori y Heller, 1963).

Figura 4. Esquemas de cartela en madera y acero.

Usos Las cerchas se emplean cuando se tiene luces libres grandes como puentes, sitios públicos y estadios.

Las cerchas paralelas se usan en recintos amplios (véase Figura 5), de cordones superiores curvos se comportan similar a una estructura colgante o un arco y se emplean en algunos puentes (véase Figura 6), en techos y entrepiso se emplean cerchas livianas tal como se indica en la Figura 7, donde se observa un tipo de cercha empleado para techo y entrepiso que corresponde a variaciones realizadas sobre la Warren (véase Figura 3 y 7).

El rango de luces de la cercha es de 15 a 30 m para cerchas de madera y 15 a 50 m para cerchas de acero (Beer y Johnston, 1977; Engel, 2001; Nieto, 2006 y Salvadori y Heller, 1998).

Figura 5. Tipos de cerchas paralelos.

Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.

Figura 6. Tipos de cerchas para puentes.

Nota. De Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... por Nieto E., 2006. [En Red].

Figura 7. Tipo de cercha para entrepiso.

Nota. De Estructuras tipo: función, formas generales, elementos... por Nieto E., 2006. [En Red].


Resolución de las cerchas Método de los nodos

El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha está en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.

0=∑ xF ; 0=∑ yF (1)

La Ecuación 1 indica que el equilibrio es en dos ejes, lo que implica que al establecer el equilibrio en un nodo, solo se debe determinar las fuerzas en un máximo de dos barras; dado que la distribución de nodos y barras en una armadura simple permite encontrar un nodo en que sólo haya dos fuerzas desconocidas. Al finalizar la resolución de un nodo, las fuerzas halladas se pueden trasladar a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Para establecer el tipo de fuerza en la barra (tracción o compresión), según el sentido de las fuerzas obtenido por el cálculo en los nodos, la Figura 8 indica la relación entre los sentidos de las fuerzas en el nodo y en la barra.

Convenio en Nodos

Convenio en Barra

Figura 8. Convenio de fuerza en las barras.

Método de las secciones La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de tres barras de

armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte más de tres barras (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982).

Diseño de cerchas Una vez resuelta la cercha, se procede a obtener las dimensiones de los elementos, siguiendo un diseño

de tracción y compresión para el material indicado.

Diseño de cerchas de acero Diseño por Tracción

Ciertos miembros de la cercha esta sometidos a fuerzas axiales de tracción (por lo general el cordón inferior) y la sección transversal puede tener varias formas, ya que para cualquier material, el único factor que determina la resistencia es el área transversal.

Nodo

Traccion

Nodo

Compre

sion


El diseño consiste en seleccionar un elemento con área transversal suficiente para que la carga factorizada Pu no exceda la resistencia de diseño φtFyAreq. En general el diseño es un procedimiento directo y las secciones típicas están formadas por perfiles y perfiles combinados más placas, tal como se indican en la Figura 9 donde el más común es el ángulo doble (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Segui, 2000).

Figura 9. Secciones típicas de cerchas.

Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 32), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.

(2) donde: φt=0,90;

Pu≡ Carga axial de tracción.

Comprobación no obligatoria 300Lrmin ≥

Diseño por Compresión

El procedimiento general de diseño a compresión es de tanteos, donde se supone un perfil y luego se comprueba la resistencia del perfil. Si la resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue

1. Seleccionar un perfil de tanteo. 2. Calcular Fcr y øcPn para el perfil de tanteo. 3. Revisar el perfil de tanteo con la formula de interacción (Ecuación 4), si la resistencia de diseño es

muy cercana a la carga se tiene la solución ( )17,0 ≤≤nc

uP

Pφ . De otra manera, se repite todo el

procedimiento (Segui, 2000).

Figura 10. Efectos de la esbeltez.

Nota. De Diseño de Estructuras de Acero con LRFD (p. 87), por Segui, W., 2000. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.

yt

ureq F

PAφ

≥


La resistencia del perfil depende de la denominada carga crítica de pandeo (Pcr). Esta carga separa la condición de pandeo indicada en la Figura 10a del acortamiento señalado en la Figura 10b. La carga bajo la cual ocurre el pandeo es función de la esbeltez y para miembros muy esbeltos esta carga puede ser muy pequeña. Por ello, la resistencia al pandeo de una columna disminuye con el aumento de la longitud y la relación de esbeltez (Ecuación 3) que se considera es la más grande de los dos ejes de la sección L/rx y L/ry, ya que el perfil se pandea por el eje más débil (Galambos, Lin, y Johnston, 1999; Segui, 2000).

Parámetro de esbeltez EF

rL y

c πλ = ; 200

min

≤rL

(3)

ycrc FF c2

658,05,1 λλ =⇒≤ (3a)

y

ccrc FF 2

877,05,1λ

λ =⇒> (3b)

1≤crc

u

PP

φ (4)

donde: Pu ≡ Carga axial de compresión, Pcr ≡ Carga axial de pandeo; AFP crn = φc ≡ Factor de minoración de resistencia a compresión: φc =0,85.

Ejemplo Predimensionar la cercha de la figura, donde todas las cargas están mayoradas

4 paneles de 4,5 m = L=18 m; H=3,6 m

Esquema de la Cercha.

El primer paso para diseñar la cercha es comprobar la isostaticidad de la cercha.

32 −= nb ; n= 8; b= 13; 13=13

Posteriormente se definen las reacciones, haciéndose sumatoria de momentos en el rodillo y luego una sumatoria de fuerzas verticales.

Mrodillo∑ = 0 18 1163 18 2327 13 5 7566 9 0 6691 25R R kg− − − = ⇒ =* * , * ,

Fy∑ = 0 6691 25 1163 227 7566 0 4364 75, ,− − − + = ⇒ =R R kg A continuación, se realiza una sumatoria de fuerzas en los eje x e y en cada nodo de la cercha. Dado

que por equilibrio esta sumatoria es igual a cero, ello ayuda a conocer las fuerzas en las barras desconocidas


(incógnitas). Resalta que la dirección que lleva una fuerza es la misma dirección de la barra, por consiguiente, se conoce la relación que existe entre las componentes de la fuerza en el eje x o y.

En relación al criterio para realizar la secuencia de cálculos de los nodos, esta dependerá del que tenga menor cantidad de barras desconocidas. Siguiendo dicha premisa se realizó la secuencia, tal como se muestra a continuación:

Nodo 1

Se comienza por el nodo 1, ya que, está sometido al menor número de fuerzas desconocidas, que corresponden a las fuerzas en la barra 1-6 y la barra 1-2:

Fy =∑ 0 6691 25 1163 0 5528 28, ,− − = ⇒ =F F kgy y

FF

FF

F kgx

yx

yx= ⇒ = ⇒ =

10 8 0 80

6910 31, ,

,

Fx∑ = 0 F F kg12 126910 31 0 6910 31− = ⇒ =, ,

Nodo 2

Se continua con el nodo 2, ya que se conoce del nodo anterior la fuerza en la barra 1-2, por lo que quedaba en este nodo solo dos fuerzas desconocidas (barra 2-6, barra 2-3):

Fy =∑ 0 F F kg26 262327 0 2327− = ⇒ =

Fx∑ = 0 F F kg23 236910 31 0 6910 31− = ⇒ =, ,

Nodo 6

Similar al nodo anterior, se conocen las fuerzas en las barras 2-6 y 1-6, por tanto se aprecian dos barras desconocidas:

Fy =∑ 0 5528 25 2327 0 3201 25, ,− + = ⇒ = −F F kgy y

FF

FF

F kgx

yx

yx= ⇒ = ⇒ = −

10 8 0 80

4001 56, ,

,

Fx∑ = 0 − + + = ⇒ =F F kg67 676910 31 4001 56 0 10911 88, , ,

El signo negativo de las componentes de la barra 6-3 indican que se dirige hacia abajo y la derecha.

Nodo 7

Dado que se calculó la fuerza en la barra 6-7, el nodo 7 quedó con dos barras incógnitas:


Fx∑ = 0 10911 88 0 10911 8878 78, ,− = ⇒ =F F kg

Fy =∑ 0 F37 0=

Nodo 3

En el nodo 3 actuaban cinco barras, de las que se conocían la fuerza en tres, entonces se determinó la fuerza en las dos restantes:

Fy =∑ 0 3201 25 7566 0 4364 75, ,− + = ⇒ =F F kgy y

FF

FF

F kgx

yx

yx= ⇒ = ⇒ =

10 8 0 80

5455 93, ,

,

Fx∑ = 0 F F kg34 34400156 6910 31 545593 0 545593− − + = ⇒ =, , , ,

Nodo 4

Al haberse calculado lo anteriores nodos, se observa que tanto el nodo 4 como el nodo 8 tienen dos barras incógnitas, entonces se escoge el nodo 4 en vista de que las barras incógnitas en este nodo no están inclinadas, lo cual facilita el cálculo:

Fx∑ = 0 F F kg45 455455 93 0 5455 93− = ⇒ =, ,

Fy =∑ 0 F48 0=

Nodo 5

Fy =∑ 0 4364 75 0 4364 75, ,− = ⇒ =F Fy y

FF

FF

F kgx

yx

yx= ⇒ = ⇒ =

10 8 0 80

5455 93, ,

,

Fx∑ = 0 5455 93 5455 931 0 0 0, ,− = ⇒ =

El nodo 5 así como el nodo 8 tienen una barra desconocida. Es indiferente escoger cualquiera de los dos nodos, pero se realiza el nodo 5 por tener menos barras que inciden en el nodo.


Comprobación Nodo 8

Después de realizar el cálculo en el nodo 5, se conocen todas las fuerzas en las barras. Por consiguiente, resta para comprobar los cálculos realizados, aplicar las ecuaciones de equilibrio en el eje x e y con lo que se constata que la suma sea igual a cero (nodo en equilibrio):

Fy =∑ 0 4364 75 4364 75 0 0 0, ,− = ⇒ =

Fx∑ = 0 10911 88 5455 93 2 0 0 0, , *− = ⇒ =

Resultados

Fuerzas que actúan en las barras de la cercha.

Predimensionado de los elementos Cargas de diseño

Cordón Inferior 6910 kgf Cordón Superior 10912 kgf 8850 kgf

Cordón Inferior (Diseño a tracción)

tenemos que 2500*9,06910

≥reqA Se aplica la Ecuación 1 ;

Areq 3,07

En la tabla de perfiles IPN, el área del perfil IPN 80 cumple con lo requerido

Se realiza la comprobación ; tenemos que 300450

mincmr ≥

rmin 1,5

El perfil IPN 160 cumple con el radio de giro mínimo (criterio de esbeltez), por lo tanto al cumplir con los 2 criterios, este perfil va a ser empleado como cordón inferior.

Cordón Superior (Diseño a compresión)

k=1; l= 4,5 m

Se selecciona el IPN 300, donde en la Tabla de IPN tenemos A=69 cm2 y r= 2,55 cm.

47,17655,2

450=⇒=

rL

cmcm

rL

. Al emplear la tabla de Esfuerzos Admisibles a Compresión LRFD, tenemos

2499176cmkgf

crtabla F

rkL

=⎯⎯→⎯= φ.

10912 kgf

6910 kgf 5456 kgf

6987 kgf8850 k

gf

=0=0

2327

kg

f 5124 kgf 6987

kgf

300Lrmin ≥

yt

ureq F

PAφ

≥


Se aplica la Ecuación 5 AFP crn φφ =

; tenemos kgfPP nn 3443169*499 =⇒= φφ

Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)

1≤nc

u

PPφ

se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo

requerido; tenemos

132,03443110912

≤=; por lo tanto el IPN 300 cumple

Cordón superior (Diseño a compresión)

k=1; ⇒+= 22 6,35,4l l= 5,76 m

Se selecciona el IPN 300, donde en la Tabla de IPN tenemos A=69 cm2 y r= 2,55 cm.

22655,2

576=⇒=

rL

cmcm

rL

. No sirve IPN 300 porque 200≤

rkL

Se selecciona 2 UPN 100, y a partir de la Tabla de UPN tenemos que 2 perfiles tiene A=21,2 cm2 y r= 3,02 cm.

68,19002,3

576=⇒=

rL

cmcm

rL

. Al emplear la tabla de Esfuerzos Admisibles a Compresión LRFD, tenemos

2424191cmkgf

crtabla F

rkL

=⎯⎯→⎯= φ.

Se aplica la Ecuación 5 AFP crn φφ =

; tenemos kgfPP nn 8,89882,21*424 =⇒= φφ

Por medio de la Ecuación de Interacción (Ecuación 4)

1≤nc

u

PPφ

se comprueba que el perfil seleccionado cumpla con lo

requerido; tenemos

198,08,8988

8850≤=

; por lo tanto 2 UPN 100 cumple

Resumen

Cordón Inferior IPN 160

Cordón Superior 2 UPN 100

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Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A.

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Galambos, T., Lin, F. y Johnston, B. (1999). Diseño de Estructuras de Acero con LRFD. México D.F., México: Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A.

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Documents

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