Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Certamen 1 MAT0231er Semestre 2012

Tiempo: 120 minutosNombre y Apellido: Rol:

1. Sea Cn(R) el espacio vectorial de las funciones n veces continuamente derivables en R y denotemospor C0(R) las funciones continuas en R. Considere la transformacion:

T : C0(R) −→ C0(R)

f(x) 7−→ T (f)(x) =

∫ x

0f(t) e−t dt

a) Pruebe que T es una transformacion lineal.

b) Hallar el kerT y su dimension.

c) Pruebe que Im T = C1(R).

d) ¿En este caso es posible o no utilizar el teorema de las dimensiones (o del rango) para hallardimR Im T?.

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2. En los casos respectivos justifique adecuadamente sus respuestas

a) Es verdad que el limite:

lım(x,y)→(0,0)

y4x6

x4 + y8

no existe

b) Considere que para todo η > 0 se desea calcular el siguiente limite:

lım(x,y)→(0,0)

ηx5

ηx4 + y4

le proponemos que Ud. se acerque al origen por la curva y4 + ηx4 = x5, de este modo:

lım(x,y)→(0,0)

ηx5

ηx4 + y4= lım

(x, y)→ (0, 0)y4 + ηx4 = x5

ηx5

x5= η

justifique claramente cual es el error en el argumento anterior, ademas encuentre y demues-tre cual es el valor de este limite.

c) Se define f : R2 −→ R, como:

f(x, y) = max{|x− 1|, | sin y|}

Justifique si es verdad que

∂f

∂x(1, 0) = 1 y

∂f

∂y(1, 0) = 1

d) Considere f, g : R2 → R dos funciones tales que

f(x, y) > 0 ∀(x, y) ∈ R2 y |g(x, y)| ≤ f(x, y)e−1/(x2+y2) ∀(x, y) ∈ R2

Halle condiciones suficientes para f de tal suerte que

lım(x,y)→(0,0)

g(x, y) = 0

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3. Consideremos a > 0, demuestre que:

1

4

∫ t

0ln(a+ x2

a− x2)dx =

∞∑k=0

(4k + 1)!

a2k+1(4k + 3)!t4k+3

ademas indique para que valores de t ∈ R es valido el desarrollo en serie anterior.

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4. Determine todos los puntos en el plano donde la siguiente funcion es continua

g(x, y) =

ex−1 + y

x+ ysi x+ y 6= 0

1 si x+ y = 0

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