UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de Matematica

Matematica IIIPauta del Certamen N2

19 de Mayo del 2006

1. Resolver la ecuacion diferencial que modela el problema de masa resorteamortigado:

y 2y + y = 2ett3

, con t > 0

Solucion: La homogenea tiene por ecuacion caracterstica (m1)2 = 0,luego: yH(x) = C1e

t + C2tet

Para la solucion particular usamos Variacion de Parametros, usando

la notacion: W =

et tetet et + tet = e2t 6= 0,t > 0

C1(x) =

et 2ett3 1

Wdt = 2

dtt3

dt = 1t2

y

C2(x) =tet 2et

t3 1

Wdt = 2

1t2

= 2t

luego:

yP (x) =2

tet + (1) 1

t2tet =

et

t

de donde:

yG(x) = C1et + C2te

t + et

t

2. a) Determinar la solucion de la ecuacion integro diferencial:

x(t) + t0 x(t u)e2udu = 0, con x(0) = 1

Solucion:

L[x(t)] + L[ t0

x(t u)e2udu] = 0

sL[x] 1 +L[x]L[e2t] = 0

Por lo tanto:

L[x](s + 1s+2

) = 1

L[x] = s+2(s+1)2

= 1s+1

+ 1(s+1)2

= et + tet

b) Si se sabe que L(f(t)) = F (s), exprese en terminos de f(t) o F (s),segun corresponda cada una de las expresiones siguientes:

1) L(e2tf(t) + 4u(t 5)f(t 5))2) L1(7F (s) + esF (s 3))

Solucion:

1) El desarrollo de la primera parte es:

L(e2tf(t)) + L(4u(t 5)f(t 5)) = F (s 1) + 4e5sF (s)2) El desarrollo de la segunda parte es:

L1(7F (s)) + L1(esF (s 3)) =7tf(t) + e3(t1)u(t 1)f(t 1)

3. Considere la funcion definida mediante:

f(x, y) =

xy2

3x2+y2+ 1

2, si (x, y) 6= (0, 0)

12

, si (x, y) = (0, 0)

a) Pruebe que f(x, y) es continua en (0, 0)

b) Es fx

(x, y) continua en (0, 0)?

Solucion:

a) Debemos probar que lm(x,y)(0,0) f(x, y) =12:

0 | xy2

3x2 + y2+

1

2 1

2| |x|| y

2

3x2 + y2| |x|

donde |x| 0, por tanto, f(x, y) es continua en (0, 0).b) Si (x, y) 6= (0, 0), tenemos:

fx

(x, y) = 9x2y2

(3x2+y2)2

Si (x, y) = (0, 0), tenemos:

fx

(0, 0) = lmh0f(h,0)f(0,0)

h= lmh0

[ h03h2+0

+ 12] 1

2

h= 0

Por tanto:

fx

(x, y) =

9x2y2+y4

(3x2+y2)2, si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)

El lmite lm(x,y)(0,0)fx

(x, y), no existe, basta probar por trayec-torias rectas del tipo y = mx:

lmx0

x4(9m2 + m4)

x4(3 + m2)2=

(9m2 + m4)

(3 + m2)2

para darse cuenta que el resultado depende de la trayectoria, portanto f

x(x, y) no es continua en (0, 0).

4. Seaz = 1

x2 + y2 9

a) Hallar el dominio y recorrido de la funcion y graficar el dominio.

b) Graficar las curvas de nivel z = 2, z = 1, z = 0 y z = 1 yhacer un bosquejo de la grafica de la superficie z = f(x, y).

c) Hallar el lugar geometrico de los puntos en el primer cuadrantedel plano xy para los cuales las derivadas parciales z

xy z

yson

iguales

Solucion:a) El dominio es {(x, y)

Un bosquejo de la superficie es:

c) Las derivadas parciales son: zx

= xx2+y29

y zy

= yx2+y29

,. por

tanto: zx

= zy

, si x = y. Que corresponde a un rayo que parte desde ( 32, 3

2).

MAT023 - Primer Semestre del 2006