Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Код MCFL расчета нестационарных
многокомпонентных течений
В. Борисов, В. Жуков, М. Краснов, Б. Критский,
Н. Новикова, О. Феодоритова
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша
РАН
28-29 ноября 2020, Москва
1
«Отечественные
CFD коды – 2020»
План Код MCFL (Multicomponent Flows)
Принцип расщепления по физическим процессам
Явно-итерационная схема интегрирования по
времени параболических уравнений
Схема интегрирования по времени уравнений
Навье-Стокса / многокомпонентных реагирующих
течений
Численные примеры
Заключение
2
Код MCFL (Multicomponent Flows)= NOISEtte-M
3
MCFL - это исследовательский код, развитие комплекса программ
NOISEtte ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Код MCFL создается в парадигме
современного программирования в системе совместной разработки
SVN(Subversion) кода NOISEtte, т.е. в системе бесконфликтной
одновременной удаленной работы над единым кодом множества
разработчиков.
Код MCFL наследует основные функциональный возможности
присущие NOISEtte, в том числе параллельную эффективность.
Код MCFL находится в процессе развития, проводятся
верификационные расчеты на модельных задачах.
Команда кода MCFL: Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д., М.М.
Краснов, В.Е. Борисов, Б.В. Критский с участием Жукова В.Т.,
Рыкова Ю.Г и коллектива создателей кода NOISEtte.
Расщепление по физическим процессам
Пример. Уравнение конвекции-диффузии
4
c ( ),
( )
:
.
:
t x x х
t h h
t h
t h
u u d u c c x d d x
Аппроксимация по пространству
u C u D u
Алгоритм
гиперболический э
расчета шага t t
u C
параболический эт
тап
uа
u
п D u
Проблема точности: C и D – квадратные
неперестановочные матрицы (если c, d не константы)
5
2
1.
2. , ,
:
( ), . .
0.5
Dτ
Cτ
Cτ Cτ Dτ
(C+ D)τ
C D τ Cτ Dτ
duC D u, t t τ
dt
dv v t u t Dv v t τ e v t
dt
dw w t v t τ Cw w t τ e w t
dt
u t τ e w t e e t
Точное решение U t τ e t
Погрешност C D D C
D C C D
ь схемы O т к
δ e e e τ
u
u
Кроме того, есть проблема сохранения стационарного решения.
Для нелинейных задач расщепление может приводить к разным
решениям.
Новые алгоритмические элементы
6
Гиперболический этап – схема Годунова с точным
решением задачи Римана для многокомпонентной
смеси (Ю.Г. Рыков, В.Е. Борисов)
Параболический этап – оригинальная явно-
итерационная схема LINS, основанная на многочленах
Чебышёва. Не использует эмпирические параметры.
Обобщение схемы LI-M. Число итераций:
2 1, 1 ,
- степень многочлена Чебы
4
шева
max max hp p D
p
Схема LI-M для параболических уравнений
7
0
3
0 0
0
in [ ; ]
( ) on Γ
Ω , - внешняя нормаль к Γ
( , , , ) ( , , )
( )
tu L u f G t T
u n u
n
u t x y z u x y z
L u u a u f
Дискретизация по пространству и времени
8
1 3
1
2
~ .
{ , 0 , }, 0 :
{ , 0 },
Пространство , ( ) .
Полудискретная схем
а:
- самосопряж. неотриц.опр. оператор
.
j J
h
j j j
h n
h h
h
h N
t j J t T t t
x n N
uL u
U
L
ft
L
, h h
Схемы интегрирования
9
*
max
1
1
1
1
0 0;
( ) ,
Явная схема:
Неявная схема:
hh h
j j h j j j
j j
h j j
j j
h j j
L L sp L
u u t U t t t
u uL u f
u uL u f
t h hu L u f
Явно-итерационная схема LI-M
на основе многочленов Чебышева
10
max1 1 1 1
1
1
( ) cos arccos , 1 1
Нул
2 1cos 1,...,
2
, ( ) , cos 0.5 01
2 1, итер. параметры:
, 14
:
,.
и
h
i
m
m m
p
ax
m
ax
T xМногочлен Чебышева степ
L
ii p
p
a z m m i z p az
p
ени xp p
p
b
x
2 2 1
0
1
1 1
.., ,..., , ,
1= [ ( )] ,
..., ,
1
: = ,
m
q p p
m
j
m
j m h h
m
j
Схема y u
uy u b y L y fb
b a a a a a
y
Операторная запись схемы LI-M
11
1
1
1
1
1 1 ma
2
x
,
( )
( 1
1 /
)
n n n
n n n
h
p h p
m
p p
m
p
p
p
p
h
y S y Q
G
G L
G нормированный многочленЧ
t t t
S I I L
H L H
H T z z
ебышева
ma
Качество схем: спектры операторов
перехода
12
exp
2
-
0; = sp
Явная схема: ( ) 1
1Неявная схема: ( )
1
1 ( )Схема LI-M : ( ) , 1
1
max h
imp
p
LI М p
L
GG
Качество схем: спектры операторов
перехода по сравнению с точным
13
20; h maxLam
exp( )
Красная линия ближе к зеленой!
Математическая модель RANS (в отсутствии горения)
14
,
1
0,
,
,
2 ,
3
+ Модель турбулентности
spN
k k j
t
k
t
ut
uu u p
t
E pu E u q q
t
T u u u q T T
Уравнение состояни
J
я
h
t
t
τ τ
τ τ
τ I
(
, , ,
Ментера,
.
...)
tq q молекулярная и турбулентная компоненты
тензора вязких напряжений и теплового потока соотв
t
τ τ
Хим. состав смеси:
𝑵𝒔𝒑 – количество компонентов в смеси;
𝑵𝒓 – число реакций;
𝒀𝒎 – массовая доля компонента сорта 𝒎: 𝒀𝒎𝑵𝒔𝒑
𝒎=𝟏 = 𝟏.
Парциальная плотность 𝝆𝒎 = 𝝆𝒀𝒎
𝒖 – среднемассовая скорость: 𝝆𝒖 = 𝝆𝒎𝒖𝒎𝑵𝒔𝒎=𝟏
Диффузионный поток:
𝑱 𝒎 = 𝝆𝒎 𝒖𝒎 − 𝒖 ~ 𝝆𝑫𝒎𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒀𝒎 , 𝑱𝒎𝑵𝒔𝒑
𝐦=𝟏 =0.
УРС ∶ 𝒑 = 𝒀𝒎 𝑹 𝑾𝒎 𝑵𝒔𝒑
𝒎=𝟏 𝝆𝑻 , 𝑾𝒎 − молярная масса
15
Многокомпонентные течения реагирующих газов
Уравнения балансов хим. компонентов смеси в
диффузионном приближении
16
1
,
,
:
. .
,
, ,
1,
m m
r
j mm mm m sp
j j j
N
m m m m m
j
m
m
j m
jj
Диффузионный поток и скорость изменения компонентJ
молярна
а m
я масса к
стехиометр коэфф компонента в реакции
u YY YD m N
t x x x
J D Y W
m j
W
s
1 1
,
, :
, ,
tj tjsp sp
j
N N
t tfj bj
t tt t
fjt
b
j tj
j
j
омпонета скорость реакции
степени компонента t
константы скорости реакции
j
Y YQ Y k k
W W
k
s
s
k
Химическая кинетика
17
Скорости изменения молярно-объемных концентраций
- источник в уравнениях диффузии компонентов -
определяются в каждой ячейке сетки из решения
нелинейной жесткой системы обыкновенных
дифференциальных уравнений:
( , )dY
F T Ydt
Здесь функция F зависит от скоростей реакций.
Схема интегрирования LINS для
уравнений Навье-Стокса
18
31 2
1 2 3
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0,
( , , , , ) , 0.5
( ) ( ) ( ) ( )
, :
( ) 0, , ,
( ) 0, , , , 0
( ) 0,0,0,0,
T
conv
k k k k
conv
k k k k k
T
k k k k
k
FF FU
t x x x
U u u u E E e u
F U F U F U F U
Конвективный вязкий и тепловой потоки
F U u U p p p
F U
F U
1 1 2 2 3 3
T
k k k ku u u q
Схема LINS для уравнений Навье-Стокса
19
1
1 2 3
2
( ) ( ) ( ) 0
:
:
( ) 0
:
( , , , , ) ,
0.5
conv
n n n conv
nconv n
conv
T
dUF U F U F U
dt
Расщепление t t t
Гиперболика схема Годунова
U UF U
Результат
U u u u E
E e u
Параболический этап I, вязкость
20
1
1 2 3
2
1
1 2
1 2
2 3
3
1
:
( , , )
( ) :
( , , , , ) , 0.5
:
( ) 0.
: ( , , ) , 0.5
n n n conv
conv T
T
n co
n
nv
conv
n T
n
U u u u
Расщепление t t t
H u u u
Предиктор неполный LINS
e
Корректор
H HF
Результат H e
Пр
E E u
U
u u u E u
ед
+ =иктор Корректор LINS
Параболический этап II, теплопроводность
21
1
2
2
1 2 3
1
1 2
:
0.5
Предиктор (неполныйLINS):
( , , , , ) , 0.5
Кор
Уравн
рек
ение энерги
тор
и:
:
0
: 0.5
n n n conv
T
n
conv
n
n
n
U
скорос
Расщепление t t t
E e u
u u u E u
E EF
Результат E E u
Пре
ть извест
E
дикт
e
U
а
e
н
+ = LINSор Корректор
Схема расщепления в многокомпонентном
случае
22
+C
C
+C
1
1
2
2 3
1, , , , , , , , 1, ...,
)
:
: (
m sp
h h
h
h
n n
n n
h h
нелинейный конвективный оператор
линейный диффузионный оператор
Явная схема ограничен
U u u u E k Y m N
Разностная схема
U U = D Ut
U
D U н
ие на
е
ша
UD U
г
U =
h
U
Расщепление:
23
1
0n n
n
h
U U+С U
Гиперболический этап – схема
Годунова с точным решением
задачи Римана для
многокомпонентной смеси
(Ю.Г. Рыков, В.Е. Борисов)
Параболический этап:
вязкость, теплопроводность,
диффузия компонентов смеси
1 1n
h
n
nU
D UU
nU результат
предикторных
итераций LINS
1n n
n
h h
nU UC U D U
Сумма этапов:
covh
Примера расчетов. NS-Eqns
Расчет I. Тепловая конвекция:
(Полежаев В.)
24 Динамика плотности (слева) и давления (справа)
Расчет 2. Сверхзвуковое высокотемпературное течение в
канале (Башкин В.А., Егоров И.В.) NS-Eqns
25
Шлирен плотности
Сравнение с явной схемой: вычислительная
эффективность схемы LINS выше и при h 0 ее
преимущество многократно увеличивается
Сверхзвуковое течение в плоском канале переменного
сечения. Установление. Сравнение схем.
26
Неявная
схема
Явная схема
𝒌𝑪𝑭𝑳+𝑫 = 𝟎. 𝟓
LINS,
𝒑 = 𝟒 ÷ 𝟓
𝒌𝑪𝑭𝑳 = 𝟎. 𝟓
Число шагов 136 364 587 356 136 364
𝝉𝒂𝒗𝒆𝒓 1.1 ∙ 10−3 2.6 ∙ 10−4 1.1 ∙ 10−3
Время счета,
сек
6 300 6 695 3 000
Точность, норма невязки
8.5 ∙ 10−6 8.5 ∙ 10−6 2.6 ∙ 10−6
Сетка 16 000, T=150
Акустические волны на диффузионной
границе двух газов
27
0 0 2 21 , 850 , : 550 , 2200p атм T K скорости звука O м с H м с
Скорость и концентрации водорода:
а) левая волна и зона смешения б) правая волна и зона
смешения в) зона смешения
28
а б
В
Профили скорости на разных сетках:
а) во всей области и в зоне интерфейса,
б) в окрестности левой и правой акустических волн
29
a
б
Профили температуры и концентрации
водорода в зоне интерфейса
30
Концентрация
водорода
.
Температура
Заключение
31
Схема LINS расчета многокомпонентных
химически реагирующих сред имеет следующие
особенности :
• конвекция и диссипативные процессы (вязкие,
теплопроводные, диффузионные) реализуются
явными и явно-итерационными алгоритмами
соответственно.
• схема LINS обеспечивает выполнение законов
сохранения, эффективна в параллельной
реализации.
32
1. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д. Об одном подходе к
интегрированию по времени системы уравнений Навье-Стокса. //
ЖВМ и МФ. 2020. Т. 60. №2.
2. В.Т. Жуков, О.Б. Феодоритова, Н.Д. Новикова, А.П. Дубень. Явно-
итерационная схема для интегрирования по времени системы
уравнений Навье-Стокса // Матем. моделирование, 2020, T. 32, № 4, с.
57-74
3. В.Т. Жуков, О.Б. Феодоритова, А.П. Дубень, Н.Д. Новикова. Явное
интегрирование по времени уравнений Навье–Стокса с помощью
метода локальных итераций // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша,
2019, №12, 32 с
4. Жуков В. Т. О явных методах численного интегрирования для
параболических уравнений // Матем. мод. 2010. Т. 22. № 10. С. 127–158
5. MacNamara, Shev & Strang, Gilbert. (2016). Operator Splitting. doi:
10.1007/978-3-319-41589-5_3.
6. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.
СПАСИБО
за внимание
33