熱力学・電磁気学

石川健三

平成 27 年 1 月 22 日

序

本書は、理系の大学１年生向けの熱学と電磁気学の教科書である。前半で熱学、後半で電磁気学を扱っている。熱が物体に加わると、物体の温度は上昇する。この時さらに、物体は、大きさや形、時には様々な性質を変える。温度の変化に伴って生じるこれらの変化には、いかなる規則や普遍的な法則があるのだろうか？　この法則を解明するのが熱学である。もともと熱学は、産業革命の発達に伴う実用的な問題の解決に向けて発展した。産業の機械化にあたり動力が必要である。動力源として、水蒸気を利用する蒸気機関が発明され、様々の分野で使用された。蒸気機関では、熱を力学的なエネルギーに変換している。熱を動力に変換する熱機関の作成や、熱機関の効率を上げるのにはどうしたら良いか？熱力学は、これらの問題の解決に向けて発展した学問である。温度で変わる物体の変化、その際の普遍的法則を解明する熱学は、物理学の一分野として力学と対照的な性質を持つ。力学では、運動法則を満たすのは、時間とともに変動する物体の位置である。これは、具体的であり直感的に分かりやすい。ところが、熱学において変化する量である温度は、それ自身が分かりずらい。温度の変化で生ずる性質の変化に関する熱学は、そのため、論理が見えにくいとよくいわれる。本書では、熱学の論理を、できるだけ分かりやすく説明したつもりである。一方、本書の後半では、電荷と電荷間の力、電流と電流間の力や、電場や磁場に関する電磁気学を扱った。電磁気学は、電気や磁気に伴う力や、電気や磁気に伴う様々な現象に関する法則や原理を扱う学問である。力、や電場や磁場は大きさと方向とをもつベクトルである。電磁気学は、このため、ベクトルやベクトル場、並びにベクトル場の微分や積分を使えば、系統的に分かりやすく取り扱うことができる。しかし、通常の大学１年生は、これらの数学をまだ身につけていない。この状態で、電磁気学をベクトルの演算（ベクトル解析）を駆使して学ぶのは、まだ難しい。これらの数学を学ぶのは、通常、数年を経た大学２、３年生である。そのため、１年生はベクトル解析を十分に使うことなく、電磁気を学ぶことになる。ベクトル解析を使わずに、物理的意味を理解するのは、容易ではない。しかし、このような努力は、無意味であるわけではないしまた大事である。もともと、ファラデーは、あまり数学を使うことなく、電磁気学の概念と物理を直感的に理解し、その後マックスウェルが、数学を駆使して電磁気学を完成したと言える。先ず、ベクトル解析の使用を最低限に減らして、電磁気学を理解することは可能である。本書は、このような現状における理科系の大学１年生の状況を踏まえて、電磁気学をまとめた。電磁気学で一つの問題点は、きれいにまとまっている電場や磁場の法則と、これらと相補的である物質の電磁気的な性質とをどのように関

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連ずけて整理するか、である。この点で、場と物質のバランスは著者によって異なるであろう。物質の話は、複雑で難しい点を含む。そのため、大学１年生のレベルですべてを扱うことは、難しい。本書は、物質の話をできるだけ少なくするよう努力し、電磁気学の全体的な流れを強調した。

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目 次

序 i

第 1章 熱学 1

1.1 熱平衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 状態方程式　 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 熱容量と比熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 熱容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 熱膨張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 分子運動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 理想気体の圧力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 温度の微視的解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Maxwellの分布関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第 2章 熱量と熱力学第一法則 15

2.1 熱量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 比熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 原子熱、分子熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 熱の移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 熱力学第一法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Jouleの実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 気体の内部エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 ジュールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 自由膨張によるテスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 準静的過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 準静的過程と圧力のなす仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 ジュール ·トムソンの実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 熱力学第一法則の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1 理想気体の二つの比熱の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2 理想気体の準静的過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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2.5.3 オットーサイクル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.4 冷蔵庫と暖房機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 １ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 中間テスト問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

第 3章 熱力学第二法則 29

3.1 熱現象の特異性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 熱：乱雑な原子や分子の運動のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 熱的現象の変化は時間方向性を持つ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 熱機関 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 カルノーサイクル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 熱効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 熱力学第二法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 熱力学第二法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2 Clausiusの表現と Thomsonの表現の同等性 . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 可逆過程と不可逆過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Carnotの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 可逆機関の熱効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.3 不可逆機関の熱効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Clausiusの不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

第 4章 エントロピー 43

4.1 エントロピーとは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 エントロピーの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 エントロピー増大の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 エントロピーの微視的な意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 種々の自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.1 内部エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.2 Gibbs自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.3 Helmholtz自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 数学のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

第 5章 現実的な問題 57

5.1 ヴァンデルワール気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 気体の蒸発と液化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 化学反応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iv

5.4 相転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5.1 偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6 豆 テスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7 単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.8 中間テスト問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.9 中間テスト問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

第 6章 序 II：電磁気学とは 71

第 7章 電荷と電場 73

7.1 電荷間の力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 電場と電気力線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2.1 電場の重ね合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2.2 電荷分布による電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2.3 ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.3 電位と電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 電場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4.1 コンデンサーに蓄えられるエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.4.2 電位と電場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.5 絶縁体と導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.6 絶縁体と電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.7 導体と電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.7.1 電流のする仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.7.2 電荷の保存と保存電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.8 電荷の最小単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.8.1 ミリカンの実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.9 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.9.1 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

第 8章 電流間の力と磁場 101

8.1 電流間の力 (アンペールの法則） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.1.1 ベクトル３重積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2 電流間の力と磁場 (磁束密度) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3 磁場（ 磁束密度） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.3.1 磁力線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.3.2 磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3.3 電場と磁場の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

v

8.4 ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5 磁性体と磁石 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.6 磁気単極子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.7 電磁気学の単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.7.1 MKSA単位系（ＳＩ単位系） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.7.2 クーロン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.7.3 アンペア . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.7.4 光速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.8 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

第 9章 場の時間変化 121

9.1 ファラデーの電磁誘導の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2 磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 発電機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4 コイルの自己誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4.1 交流回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.5 変圧器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.6 電場の時間変化とマックスウェルの変位電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.7 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

第 10章 マックスウエル方程式 137

10.1 電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.1.1 電磁波の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.1.2 電磁波の偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.2 電磁波の反射と屈折 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.2.1 異なる誘電率を持つ物質界面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.2.2 金属表面での反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.3 電磁波の生成（発信）と受信 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.4 重ね合わせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.4.1 線形方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.4.2 ２重スリットの干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.5 光速度の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.6 ダークマター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.7 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

第 11章 電気機器 153

11.1 電灯 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

11.2 電熱器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

vi

11.3 送電 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.4 電信 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.5 ラジオ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.6 テレビ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.7 レコード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.8 電車 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.9 電子計算機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.10電子レンジ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.11様々の電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.12問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

第 12章 現代物理学 159

12.1 相対性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.1.1 慣性の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.1.2 ガリレオの相対性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.2 アインシュタインの相対性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

12.3 時間と空間の同等性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12.3.1 相互作用や情報の伝達 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12.4 因果律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.5 量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.5.1 ミクロな世界の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.5.2 物差しや時計の代わりをする物理現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.6 複素波動関数と重ね合わせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.6.1 ２重スリット実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12.6.2 確率と波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12.6.3 干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12.6.4 中性子干渉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

12.6.5 ＡＢ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.6.6 いかなる波か？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.7 観測と実在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.8 確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

12.9 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

第 13章 付録 171

13.1 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.1.1 1変数の定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.2 ベクトル場の線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.2.1 ベクトル場の閉経路線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

vii

13.3 ベクトル場の回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

13.3.1 2次元面 (xy面)内の閉経路にそう線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . 174

13.3.2 ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

13.4 ベクトル場の面積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

13.4.1 閉曲面の内部の体積積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.4.2 ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.5 ルジャンドル変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.5.1 1変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.5.2 多変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

viii

第1章 熱学

気体の温度を上げると、一定量の気体の体積や圧力は大きく変化する。液体や固体では、変化は気体ほど大きくはないがやはり温度とともに性質が変わる。このような、温度の変化に伴う物理現象に関する物理学が熱学である。物体に温度の変化が生じるのは、原因となる何かが物体にくわえられた時である。この温度の変化を引き起こすものを、熱量とよぶ。熱量が加わった時の物質の性質の変化や温度の高低で生ずる物理現象の普遍的な性質や基本的法則を調べるのが熱学である。力によって加速度が生ずる力学と対比させて、熱力学ともいわれる。温度の変化は物体の形状、大きさや様々な性質の変化を引き起こす。温度の変化、熱量、性質の変化の３者の関係は、力学における物体の位置を測る時間、力、位置の変化としての加速度の関係に似ている。力学の法則はニュートンの運動の３法則でまとめられる。３法則の中で、第二法則の運動方程式は、力と加速度の関係を表し、物体の加速度が加えられた力に比例し物体の質量に反比例する微分方程式、

md2

dt2x(t) = F (1.1)

である。この運動方程式で運動が統一的にかつ普遍的に理解される。加速度は物体の位置が時間と共に変化するときの、位置の時間に関する２階微分であり、物差しと時計で簡単に定義される。しかし、質量や力はより抽象的な概念であり、ニュートンの運動方程式で初めて意味がきっちりと確定する物理量である。このような一見あいまいな考え方にはがゆい気持ちを持つ者が多いかもしれない。しかしこの考え方は、物理学や他の自然科学で常套的な考え方である。熱学における、熱量や温度も同様に抽象的な概念であり、抽象的な概念により自然現象が普遍的に把握されることが、徐々にわかってゆくであろう。さて熱学では、”温度の変化につれて物体がどのように形、大きさや他の様々な性質をかえるか、またその際いかなる普遍的な事柄が成立するか？”、を考察する。物体に”熱量”が加えられると、物体の”温度”が上昇し、逆に物体から熱量が引かれると物体の温度が下降する。熱量が一つの物体Aからもう一方の物体Bに移動するとき、Aの温度は下がり、Bの温度は上がる。また、理想的な状況では、Aから出る熱量は、Bに入る熱量と等しい。熱量は、物体の温度を変化させる原因となるものであるが、その正体は、後で述べるように、エネルギーの１種である。ところで、”温度”は、物体の位置のように簡単に具体的な定義ができるものではない。温度は直感的な冷たさや暑さの度合いを定量的に表す物理量である。温度は、また温度計で測

1

られ、同時に定義される。では、温度計とは何であろうか？温度計は、温度の変化と共に起きる物体の性質の定量的な変化が普遍的であることにもとずいている。これらの物理の解析から都合の良い温度計が選ばれて使われる。この際、物体が決まった温度のもとでいつも同じ性質を示す事が大事である。この普遍性はすべての自然科学で重要である。自然科学では再現性を示す普遍的な現象を扱う。温度計もこの普遍的な性質に基づいている。熱学では、温度や熱に関連する現象を解明する。まづ初めに、熱現象をいかに表し、いかに解析するか学び、さらに熱現象に関する原理や法則を明らかにする。

1.1 熱平衡熱平衡熱い物体と冷たい物体を接してしばらくおくと、高温物体から低温物体に熱が移動する。この結果、それぞれの温度が徐々に変化し、最後に二つの物体が同じ温度となる。これ以後は、熱の移動は起きず、またそれぞれが同じ温度で保たれる。このように、物体がすべて同じ温度で一様になっている時、物体は熱平衡にあるという。決まった温度で熱平衡にある同量の物体は、同じ体積や同じ性質をもつ。これらを熱学的な性質という。本章では、物体の熱学的な性質を、おもに学ぶ。一方で、熱平衡にない孤立した物体は、時間と共に変化し最後に熱平衡になる。温度の決め方熱平衡にある物体は一定の温度で一定の性質を示す。温度の変化と共にこの性質は、通常変化する。例えば、身近にある水は温度と共におおきく性質を変える。水は、低温で固体の氷、室温程度の常温で液体の水、高温で気体の水蒸気と、三つの異なる状態になる。三つのそれぞれは、大きく異なる性質を示す。これら状態を、相、と呼ぶ。水では、異なる温度で固体、液体、気体の三つの相が現れ、温度を変えると一つの相から他の相への転移である相転移がおきる。相の境となる温度はどこでも、いつも同じである。相転移は劇的な変化であるので、簡単に観察や観測をすることができる。そのため、相転移の温度を知るのも易しいので、相転移に基づき温度の目盛りが定義される。その一つが、液体の水が凍る氷点を０度、液体の水が沸騰する沸点を１００度とする摂氏目盛り（ C)である。摂氏目盛り（ C)は日常生活に密着した温度目盛りである。温度目盛りには、他に 華氏目盛り (F)や絶対温度目盛り ( K)等が良く使われる。華氏目盛りでは人間の体温が約１００度（ ９６度）であり、水、氷、塩の混合から作られる最低温度が０度である。

2

また絶対温度目盛りは、後で調べるように気体の性質が温度と共に簡単な法則（ボイルシャルルの法則）に従うことに基づいて決められる。絶対温度では、最低の温度が０度であり、摂氏０度は絶対温度で２７３Ｋである。絶対温度では、実現可能な温度の最低値が０度であり、この時気体の体積は零となる。

状態量温度と共に変化する物体の状態を指定するに必要な物理量を状態量という。温度の変化と共に、気体が最も大きく性質を変える. そのため、ここで気体について考えることにしよう。有限の大きさの箱の内部に閉じ込められた気体の場合には、状態量は気体の温度（ T)、気体の体積（ V)、閉じ込めるための圧力（ P)、モル（ n）数等がある。大抵の場合これらは、独立ではなく互いに関連しあう。ある決まったモル数の気体は、温度を一定にしたとき圧力と体積の積が、いつも同じである。

1.2 状態方程式　一定の大きさの箱の内部に希薄な気体を閉じ込める。このとき、閉じ込められた気体の体積（ V)は、圧力（ P)に反比例し温度（ T)に比例することがボイルやシャルルによる各種の実験で確認された。これらは、理想気体のボイルシャルルの法則

V = kT

P(1.2)

としてまとめられた。ここで、この関係を満たす温度はセ氏でもカ氏でもなく、絶対温度である。絶対温度はセ氏温度と、

K = C + 273.15度C (1.3)

で関係している。だから、摂氏０度は、絶対温度 273.15Kであり、温度間隔は、

∆TK = ∆T 度C (1.4)

とどちらでも同じである。

3

また、ボイルシャルルの法則の比例定数 kは、気体の種類や質量により異なるが、分子数で決まり、値は分子数に比例する。即ち、この比例定数はモル数（ n）に比例する。実際上は、一モルの気体あたりの比例定数を使うのが便利である。一モルあたりの比例定数として記号Rを導入すると、ｎモルの気体では、状態量圧力（ P)、体積（ V)、温度（ T)の間に一つの関係式

PV = nRT (1.5)

が成立する。状態量の間のこの関係式は、理想気体の状態方程式と呼ばれる。状態方程式でただ一つの物理定数であるRは気体定数と呼ばれ、値は

R = 8.314× 103J/KKmol = 1.986Kcal/KKmol (1.6)

である。この関係式を図示しよう。 5cm

P-V図

温度の変化と共に、グラフは変化する。だから、各温度ごとに体積と圧力が一本の曲線上にあり、またこの曲線は温度で変化する。各温度ごとに、一つの体積 V1 における圧力P は、縦軸で与えられる。図より、圧力は、低温よりも高温で大きくなる。三つの物理量の関係式を、三次元空間で示すことも可能である。この場合、あるモル数の気体の状態方程式は、三次元空間における曲面を表わしている。

実は、理想気体の状態方程式は、希薄な気体等の理想的な状況にあるガスで成り立つものである。希薄でない現実的なガスも一つの状態方程式に従う。しかし、現実気体の状態方程式は、これほど簡単ではなく、修正された状態方程式にしたがう。現実的な気体が満たす方程式として、van der Waals状態方程式がよく知られている。

van　 der Waals状態方程式は、いくつかの物質に依存するパラメーターをもつ

(P + an2/V 2)(V − bn) = nRT (1.7)

であり、図のようなグラフである。

4

P-V図

van　 der Waals状態方程式に従う気体は、理想気体とは全く異なる性質を示すことが、後でわかる。

1.3 熱容量と比熱

1.3.1 熱容量

：水１ｇを１度上げるのに必要な熱量を、１カロリーという。物体の温度を摂氏１度上げるに必要な熱量は、物体ごとに異なる固有な値をとる。これを、熱容量といい、熱容量は、物体の量（質量、モル数、等）に比例する。　ある物体の温度を δT あげるのに要する熱量がδQであるとき、

C =δQ

δT(1.8)

のCが熱容量である。また、熱容量をC、質量をM とすると、両者は比例して、

C = cM (1.9)

となる。比例係数 cは、単位質量当たりの熱容量であり、これを比熱という。つまり、比熱は一定の物質（１ｇ　、１モル他）の熱容量である。１モルの熱容量を、モル比熱とよぶ。物質の比熱

5

1.3.2 熱膨張

温度の変化により生ずる物質の変化の一つは、高い温度で物体が大きくなる熱膨張である。熱膨張には、直線状の物体の長さの膨張、面状の物体の面積の膨張、立体状の物体の体積の膨張がある。直線状の物体では、温度 T における長さ l(T )は、温度 T0の近傍で

l(T ) = l(T0)(1 + α(T − T0)) (1.10)

となる。この時、比例係数 αを線膨張係数という。また、面状の物体は、温度の変化で面積が変化する。ある温度での面積 S(T )が、温度 T0の近傍で

S(T ) = S(T0)(1 + β(T − T0)) (1.11)

と変化するとき βを面膨張係数といい、同様に、体積 V (T )が

V (T ) = V (T0)(1 + γ(T − T0)) (1.12)

と変化するとき γを体積膨張係数という。同じ物体では、３この熱膨張係数は、簡単な関係を満たしている。いま、同じ物体の正方形や立方体を考えよう。辺の長さ、面の面積、及び立体の体積の関係は、

S(T ) = L(T )2 (1.13)

V (T ) = L(T )3 (1.14)

であるので、面積や体積の変化率は長さの変化率から、

d

dTS(T ) = 2L(T )

d

dTL(T ) (1.15)

d

dTV (T ) = 3L(T )2

d

dTL(T ) (1.16)

となる。よって、面積膨張率、体積膨張率は、線膨張率から

α =1

L(T0)

d

dTL(T )|T=T0 (1.17)

β =1

S(T0)

d

dTS(T ) = 2

1

L(T0)

d

dTL(T )|T=T0 = 2α (1.18)

γ =1

V (T0)

d

dTV (T ) = 3

1

L(T0)

d

dTL(T )|T=T0 = 3α (1.19)

と表わせる。

6

物質の膨張率

1.4 分子運動論気体の簡単な性質である、体積 V が圧力 P に反比例して、温度 T に比例するボイルシャルルの法則、

V = nRT

P(1.20)

は何を意味するのだろうか？気体は、目に見えない小さな分子が沢山集まってできている。これから、ボイルシャルルの法則が導かれる。このように、沢山の小さな分子が集合していることに基づいて気体を理解する考えを、気体の分子運動論という。分子運動論に基づいて気体の性質が理解できるのは、（ １）気体の性質は分子数で決まっている、ことから予想でき、しかしながら（ ２）気体における分子はほとんど見えないし直接観測されない。これから、分子は極めて小さいことがわかる。その結果、分子の数は極めて大きくなることより、（ ３）ボイルシャルルの法則が簡単に導ける。実際、一モルのガスは 6× 1023（アボガドロ数）個もの多数の分子からなる。

7

1.4.1 理想気体の圧力

分子運動論にもとづいて、熱平衡にある気体の性質を考えよう。気体が箱の中に閉じ込められると、気体の分子は境界の壁と衝突して、跳ね返る。この際の衝突は、弾性的であり、気体分子のエネルギーは変化しない。そのため、気体の全体としての性質は、時間的に変化しないで、一定に保たれる。もし、気体分子が壁との衝突が、エネルギーを失う非弾性衝突であれば、気体の性質が時間と共に変化してしまうことになる。時間に依存しない定常的な気体の性質は、弾性衝突によって引き起こされている。弾性衝突では、気体分子はエネルギーを失わないが、壁に力を与える。この力が、気体が持つ圧力となる。気体の圧力を求めるため、壁に閉じ込められて熱平衡にある気体の各分子の運動を調べる。熱平衡にある時、気体全体としての性質は、時間が経過して変化しない。だから、分子は、壁と弾性衝突を繰り返していると考えてよい。次に、分子と壁との弾性衝突による圧力の計算を行う。

一個の分子mが壁と弾性衝突をするとき、分子は運動の方向が変化するので、分子の運動量が変化する。変化量は、壁が分子に与える運動量であり、壁と分子で運動量の交換がなされる。運動方程式

F = md

dtv (1.21)

から、短時間での運動量の変化量は、

F δt = δ(mv) (1.22)

となる。この左辺を、力積と呼ぶ。このベクトル式の x成分に注目し、さらにある時間 δt内で n回の衝突では、

Fδt = 2mvxn

n =vx2lx

(1.23)

8

となる。衝突回数 nは、この時間内にｘ－方向に運動する距離 vxを一往復の距離で割った値である。だから単位時間当りの一粒子の力積から力が、

F = 2mv2x2lx

= mv2xlx

(1.24)

と求まり、さらに全粒子で加えた力の総和を面積 Sで割って、圧力 P が

P =1

S

∑m(

v2xlx) =

1

Slx

∑mv2x (1.25)

=1

V

∑mv2

3

=1

V

2

3Nm

v2

2(1.26)

と求まる。これより、圧力と体積の積が、粒子の運動エネルギーを使い

PV =2

3Nmv

2

2(1.27)

となる。左辺は気体の状態方程式の左辺に一致し、右辺は分子の運動エネルギーに比例している。だから、圧力と体積の積が、分子の運動エネルギーに比例する。

1.4.2 温度の微視的解釈

上の結果から、一モル当りの気体では、圧力P 体積 V と平均運動エネルギー ϵは、アボガドロ数NAを使い、

PV =2

3NAϵ, ϵ =

mv2

2(1.28)

となる。これを、一モル当りの状態方程式

PV = RT (1.29)

と比較して、分子のエネルギー平均値 ϵは、

2

3NAϵ = RT (1.30)

となることが分かる。ここで、１モルあたりの気体定数Rから、１分子あたりの新たな定数k（ ボルツマン定数）

k =R

NA

= 1.38062× 10−23J/K (1.31)

9

を定義しておこう。kを使い、分子の平均エネルギーと温度が

ϵ =3

2kT (1.32)

と比例関係にある事が分かる。つまり、１分子の平均運動エネルギーは、温度に比例し

ϵ =3

2kT (1.33)

である。分子運動は、x, y, zの３方向をとり、運動エネルギーは３方向の運動エネルギーの和であるので一方向当りの運動エネルギーは、1

2kT である。

1.5 Maxwellの分布関数気体内で分子は、一つの速度を持つわけではなく、様々な速度を持っている。このような状況にある沢山の分子を表すには、速度の分布関数を使うとよい。全分子数が大きな数Nである時、速度が vである分子数が

f(v)dv = N(m

2πkT)3/2 exp(−mv

2

2kT)dv (1.34)

であるとき、f(v)/N が分布関数である。分布関数を積分して、実際分子数が∫f(v)dv = N (1.35)

となる。また運動エネルギーの平均値は、∫f(v)

v2

2mdv/N =

3

2kT (1.36)

となることが分かる。上の積分計算に際しては、ガウス積分の公式

I =∫ ∞

−∞dxe−ax2

=

√π

a(1.37)

を繰り返し使う。この公式は、求める積分 Iの二乗が２次元空間の積分

I2 = (∫ ∞

∞dxe−ax2

)2 =∫ ∞

∞dxe−ax2

∫ ∞

∞dye−ay2 (1.38)

=∫ ∞

∞dxdye−a(x2+y2) (1.39)

10

であること、また２次元空間の積分を極座標に座標変換して、

x = r cos θ, y = r sin θ (1.40)

dxdy = rdrdθ (1.41)

となることを使い計算される。この結果、求める積分の二乗が∫ ∞

∞dxdye−a(x2+y2) =

∫ ∞

∞rdr

∫ 2π

0dθe−ar2 (1.42)

= [−1

2ae−r2 ]∞0 π =

π

a(1.43)

と求まる。

11

1.6 問題問題１－１摂氏温度の定義を説明せよ。問題１－２気体の状態方程式を書き下し、絶対温度を説明せよ。また、絶対零度とは、いかなる温度であるか？問題１－３幅の狭い長いガラス管の中に、アルコールが封入されている温度計を考察する。ガラス管の断面積は、１mm2とする。温度が摂氏２０度から１度上昇するとき、アルコール面の位置は、どれほど変化するか？下の表の、熱膨張率を使い計算せよ。

熱膨張率固体の線膨張率 (α/10−6 K−, 20C)

亜鉛　 30.2

アルミニウム 23.1

金 14.2

鉄 11.8

氷 52.7(0　C)

ガラス 8-10

液体の体膨張率 (β/10−3 K−, 20C)

水　 0.21

メチルアルコール 1.19

水銀 0.181

12

問題１－４大気中にある風船を考える。(1)摂氏２０度、１気圧中で体積が１m3 であった。これを、同じ温度で０．５気圧中の大気中におくとき、体積はいくらか？(2)また、１気圧で、風船内部の温度が摂氏３０度であるとき、体積はいくらか？(3)風船内部も外部も同じ大気であり、摂氏２０度１気圧では、質量密度が１．２Kg/m3

とする。(2)の状況で、風船にかかる浮力をもとめよ。

問題　１－５(1)摂氏２０度の水１Kｇに、摂氏４０度のお湯０．２Kgを入れて時間が十分経過した時の、温度はいくらか？(2)摂氏２０度の水１Kｇに、摂氏１００度の鉄０．２Kgを入れて時間が十分経過した時の、温度はいくらか？ただし、比熱は、水の比熱（１グラム当たり）：４．１８ J/K

鉄の比熱（１モル当たり）：２５．０ J/K

である。水は１グラム当たりの値で、鉄は１モル当たりの値であることに注意。

13

第2章 熱量と熱力学第一法則

2.1 熱量熱量は、もともと物体の温度を上げ下げさせる原因となるものであった。水１ gの温度を一度Cあげるのに必要な熱量が１カロリーである。しかし、後で述べるように、熱量はエネルギーと等価である。このため、熱量の単位として、MKS 単位系におけるエネルギーの単位である、ジュールを使うことも多い。

2.1.1 比熱

物質の比熱 は１ g当りの熱容量のことである。身近な物質の比熱は、次にあげる通りである。固体・液体の比熱

金 : 0.035(−185C −−20C) (2.1)

: 0.0303 (2.2)

銀 : 0.0556 (2.3)

水銀 : 0.0315 (2.4)

鉄 : 0.1045 (2.5)

水 : 1 (2.6)

氷 : 0.502 (2.7)

アルコール : 0.547 (2.8)

このように、比熱は物質で異なり、決まった規則は無いように見える。だから、非熱の値には、このままではなんらの普遍的な意味はないかのように見える。気体の比熱気体は、熱膨張係数が最も大きい。気体の温度を上昇させる際、気体は、通常、膨張して体積が大きくなる。だから、気体の温度を上昇させる熱量には、温度を上げる際の膨張に伴う仕事が足される。ただし、体積を一定に保つ定積変化で温度を上昇させる場合は、この仕事はない。また、圧力を一定に保つ場合には気体は膨張し、膨張に伴う仕事が有限である。

15

このように、気体では、どのような条件で温度を上昇させるかで、熱量や熱容量は異なる。体積を一定に保つ場合の比熱を定積比熱 CV 圧力を一定に保つ場合の比熱を定圧比熱 CP という。一般に膨張する時、気体の圧力は外部に対して正の仕事をするのでCP > CV である。また、後で示すように、定積比熱と定圧比熱の比

γ =CP

CV

(2.9)

は決まった値γ = 1.66（１原子気体）、1.40（２原子気体） (2.10)

をとる。

2.1.2 原子熱、分子熱

比熱を、単純な質量あたりの熱量ではなく、分子の数で換算した値でみてみよう。ここで、物質の原子量グラムや分子量グラム当りの熱容量の値である原子熱や分子熱で見る。これらは、以下のように定義される。原子熱：１ g原子の熱容量 （ ＝比熱×原子量）分子熱：１ g分子の熱容量 （ ＝比熱×分子量）このとき、比熱は下の表のような値になる。

物質 比熱 原子量 原子比熱 (2.11)

Mg 0.25 24 6.0 (2.12)

Fe 0.105 55 5.6 (2.13)

Cu 0.091 63 5.7 (2.14)

Ag 0.055 107 5.9 (2.15)

Pb 0.031 205 6.4 (2.16)

これからわかるように、固体の原子熱はほぼ 6である。また、気体の分子熱や原子熱は

物質 比熱 原子量 分子比熱 原子比熱 (2.17)

He 0.75 4 3.0 3.00 (2.18)

Ar 0.074 40 2.96 2.96 (2.19)

H2 2.43 2 4.86 2.43 (2.20)

N2 0.178 28 4.98 2.49 (2.21)

O2 0.156 322 5.00 2.50 (2.22)

となり、やはり普遍的な傾向があることがわかる。

16

2.1.3 熱の移動

熱が移動する仕方や機構には、熱伝導、対流、熱輻射の 3種類がある。熱伝導は、熱量が物質内で移動しておきる。物質内で温度が一様ではなく温度の傾きがあるとき、高温部から低温部に熱は移動する。熱伝導は、固体、液体、気体のいずれでも起きる。対流は、流体内で起きる熱を伝達する機構である。流体の高温部は、膨張して低温部より比重が小さくなるため軽い。このため、高温部は低温部とは異なる運動をする。流体内の高温部の塊は、大きな浮力が働くため浮く。逆に低温部の浮力は重力より小さいため、低温部の塊は沈む。これらの流体の移動は、温度の違いによって引き起こされるが、一方で熱の移動を引き起こす事になる。これが対流である。対流は、物体の内部が簡単に運動できる流体内で起きる。温度の傾きがあるため、前述の熱伝導も生ずるが、物質の性質によっては、熱伝導は対流よりもはるかに小さくなる事もある。熱輻射は、電磁波としてのエネルギーの伝搬である。前の２つの機構が、物質があるところで物質の効果として起きるのに対して、熱輻射は真空中でも起きる。これは、電磁波が真空中を伝播する波であることによる。たとえば、魔法瓶は、内部の空間と外部の間に、しきいと真空部分を作り、熱伝導と対流を遮断する。しかし輻射は真空中でも伝搬するので、熱輻射は避けられない。魔法瓶は、熱伝導も対流も遮断しているが、熱輻射による熱の伝播は起きている。それでも、内部の温度を持続する大きな効果を持つ瓶である。

2.2 熱力学第一法則熱量とは、力学的エネルギーの変形したものである。その為、物体が熱的に変化をするとき、熱量と力学的エネルギーの和は一定の値に保たれる。これを、熱力学第一法則という。１カロリーの熱は 4.189Jouleの仕事（エネルギー）に対応することが、次のジュールの実験で分かった。

2.2.1 Jouleの実験

熱量がエネルギーの変形したものである事を、実験的に確認したのが、Joule の実験である。重い物体を重力中でゆっくり落下させると、重力による位置エネルギーが、変化する。このエネルギーを、図のような水中の羽根車で水の温度の上昇の熱に変換させる。このとき、重力エネルギーは、水の温度上昇に使われた。ジュールは、水の温度の変化に伴う熱量Q =MC∆T が、重力エネルギー 1

2Mg2に比例することを確認した。両者が比例することよ

り、両者が等価なものであることが分かる。比例係数は、熱の力学的エネルギーへの換算率である。

17

l

Fig. 2.1: ジュール.

2.3 気体の内部エネルギー

2.3.1 ジュールの法則

気体は状態に固有な内部エネルギーをもつ。内部エネルギーは、状態量の一つであるが、温度、体積、圧力等の値によって変化する。特に、ボイルシャルルの法則を満たす気体である理想気体の内部エネルギーは、温度だけで決まり他の状態量には依存しない。この性質は、理想気体の特徴の一つである。

2.3.2 自由膨張によるテスト

ジュールは、気体を自由膨張させた時、気体の温度がどのように変わるかを調べた。自由膨張とは、気体の壁を瞬間的にとり除いた時に生ずる現象である。自由膨張では、気体が真空中に拡散するだけで、境界に壁のようなものは存在しない。このため、自由膨張では、気体は外部に対して仕事をしないので、気体が持つ内部エネルギーは一定の値のままである。ジュールは、自由膨張にさいして、気体の温度が変化しないことを確かめた。このことから、外部からの仕事がない時、気体の温度は変化しないことがわかった。つまり、内部エネルギーは、温度だけで決まっている。ところで、体積を一定に保つとき、体積変化がなく壁の変位がゼロであるので、圧力は仕事をしない。だから、このとき内部エネルギーの変化は熱量だけで引き起こされ、内部エネルギーの変化量は、このときの熱量、すなわち体積を一定に保ちながら、温度を上昇させるときの熱量（ エネルギー）である定積比熱から表わせる。よって、気体の内部エネルギーは定積比熱で

dU = JCvdT (2.23)

18

Fig. 2.2: 自由膨張.

と表わせる。

2.4 準静的過程物体を、一つの熱平衡状態から、ゆっくり変化させ、途中のどの状態でも熱平衡でありつつ他の熱平衡状態に移行する課程を準静的過程という。準静的過程では、途中の各状態で、状態方程式が成立している。

2.4.1 準静的過程と圧力のなす仕事

一様な流体圧力をもつ系の体積を準静的に変化させたとき費やされる仕事を計算しよう。気体の圧力P は、気体が境界の壁に及ぼす単位面積当りの力である。そのため、面全体Sにかかる力 F は、

F = PS (2.24)

である。だから、一つの面を距離 δl変化させた時の仕事W は、力と距離から決まり

δW = Fδl = PSδl = PδV (2.25)

である。流体系が外部に行なった微少な仕事の和∑

i

δWi =∑i

PiδVi (2.26)

から、図のような曲線にそって体積を有限に変化させた時の全仕事は、斜線部の面積である積分 ∫

δW =∫PδV (2.27)

19

である。

O

o

u

Fig. 2.3: 仕事.

また、図２．４のように、一つの閉じたサイクルに沿って圧力を体積と共にゆっくり変化させ、最後に状態が基に戻る時の気体がする仕事は、∮

δW =∮PδV (2.28)

である。

o

uO

Fig. 2.4: 閉じた経路.

20

2.4.2 ジュール ·トムソンの実験

図のような断熱壁でできたシリンダー内に、細孔のあいた隔壁を置き、両側に理想気体を入れる。それぞれの圧力を p1と p2、体積を V1と V2とする。圧力を一定の値にしたままで、ピストンを移動させて

V1 = 0, V2 = 0 (2.29)

の状態から

V1 = 0, V2 = 0 (2.30)

の状態にゆっくり変化させる。それぞれの状態での内部エネルギーを U1、U2とすると、熱力学第一法則より、

U1 − U2 = P1V1 − P2V2 (2.31)

となっている。温度が等しい場合、理想気体の状態方程式から

P1V1 = P2V2 (2.32)

となり、内部エネルギーは

U1 = U2 (2.33)

と等しくなる。だから、一定量の理想気体の内部エネルギーは、温度だけで決まり、

U = U(T ) (2.34)

となる。これは、理想気体の特徴の一つである。

21

2.5 熱力学第一法則の微分形気体を準静的に状態変化させた時、熱量と力学的エネルギーが出入する。だから、内部エネルギーの変化量 dU は、 熱量としての変化量と力学的な仕事としての変化量の和である。熱量として流入した量 dQ′と圧力が一定の値P で体積変化が dV である時の仕事PdV から、これらは

dU = dQ′ − PdV (2.35)

を満たしている。体積が増加 dV > 0した時、気体は外部に仕事をする。このため、気体の内部エネルギーは減少する。この式 (2.35)が、熱力学第１法則を微分形で表わしたものであり、内部エネルギーが状態量としての意味を持ち、また熱量が仕事と同じ物理量であることを、示している。

2.5.1 理想気体の二つの比熱の関係

熱力学第１法則を使い、理想気体の二つの比熱の関係を具体的な計算で求める。そのため、内部エネルギーの変化量に着目する。温度を dT 微少変化させた時、定積変化では、外部からの仕事は零である。（ １）定積変化温度変化 dT での内部エネルギーの変化は、定積比熱で

dU = CvdT (2.36)

のようにかかれる。一方、定圧変化では、体積が変化するので、温度変化に伴い体積が変化し仕事がなされる。（ 2 ）定圧変化温度変化 dT に対する、内部エネルギーの変化量は、定圧比熱 Cpで決まる外部からの熱量と体積膨張に伴う外部への負のエネルギーの和

dU = −PdV + CpdT (2.37)

となる。また、理想気体の状態方程式

PV = RT (2.38)

が成り立っている。この両辺を定圧下 dP = 0で微分して

dPV + PdV = RdT (2.39)

dP = 0 (2.40)

22

が得られる。これらを、内部エネルギーの式にまとめて

dU = −RdT + CpdT = (Cp −R)dT (2.41)

となる。よって、内部エネルギーの変化は二つの過程で等しく

(Cp −R)dT = CV dT, Cp = Cv +R (2.42)

となる。このように、定圧比熱は定積比熱に気体定数を足したものである。これを、マイヤーの関係という。

2.5.2 理想気体の準静的過程

理想気体の様々な準静的過程の下での変化をまとめておく。等温過程温度が一定に保たれる等温過程では、状態方程式は、

PV = RT (2.43)

であり、図２．５のようなグラフに沿って変化する。これより、仕事は

δW =∫ V2

V1

PdV =∫ RT

VdV = RT log

V2V1

(2.44)

となる。

O

o

uuP uQ

Fig. 2.5: 等温過程.

内部エネルギーは、等温下では変化しないので dU =となり、熱量としての変化は

δQ = −RT logV2V1

(2.45)

23

である。断熱過程熱を断つ過程が断熱過程である。熱の出し入れがない過程であるので、断熱過程では、

dQ′ = 0 (2.46)

となり、内部エネルギーの変化は、圧力のする仕事だけであり

dU = −PdV + dQ′ = −PdV (2.47)

と決まる。一方、内部エネルギーの変化は、もともと定積比熱を使い

dU = CvdT (2.48)

とも表わせる。二つの内部エネルギーを比較して

CvdT = −PdV (2.49)

を得る。さらに状態方程式に代入して

PdV + V dP = RdT = −R P

Cv

dV (2.50)

を得る。

O

o

u

ou@ŒŁ@@`P`

Fig. 2.6: 断熱.

これをまとめて、

P (1 +R

Cv

)dV + V dP = 0 (2.51)

24

となり、体積の変化と圧力の変化の関係式が

d(PV γ) = 0, γ =Cv +R

Cv

(2.52)

となる。さらに、この両辺を積分して

PV γ =一定 (2.53)

がえられる。γは 1より大きな数であるので、状態は P − V 図で、等温変化より急激な変化をし図２．６のようになる。次に、熱と仕事がやり取りされる例を考察する。

2.5.3 オットーサイクル

燃焼する気体をピストンに閉じ込めて、先ず、１．ピストンが外向きの運動をしている間に気体をシリンダーに入れ、２．次のピストンの内向きの運動の間に気体を圧縮し、３．うち向きから外向きにピストンの運動が変わるときに、気体に点火し燃焼させ膨張させ、４．最後に燃えた気体を、ピストンの次の内向きの運動の間に外に出す。とするサイクルが、オットーサイクルである。

o

u

S

P

R

Q

O

Fig. 2.7: オットー過程.

25

2.5.4 冷蔵庫と暖房機

冷蔵庫は、物体の温度を下げる装置である。図のように、冷蔵庫は低温部 Tcから熱量Qcをとり、外部から仕事W をして高温部にQH に出し、低温部の温度をさらに下げる。

sg

sb

q

pg

pb

vpg|pb

•M„

Æ•M„

Fig. 2.8: 冷蔵庫.

暖房機は、冷蔵庫とは逆に、熱機関を逆に働かせ外から仕事W をして、低温部に熱量Qcを与え、低温部の温度をあげる。

sg

sb

qvpb|pgO

pbvpgpg

pg

pb

Fig. 2.9: 暖房.

26

2.6 問題

2.6.1 １

内部エネルギー U は状態量であるが、熱量Qは途中の過程によって異なり、状態量ではない。そのため、微小量を d′Qと書き、微小量は、

d′Q = dU − PdV (2.54)

である。勿論、圧力や、体積は状態量である。もしもQが状態量であるとしたら、矛盾することを示せ。証明１．背理法背理法を使い、Qが状態量であると仮定して矛盾を導く。U は状態量であるので、微小量は微分で表せ、

dQ = dU − PdV =∂U

∂VdV +

∂U

∂PdP − PdV (2.55)

= (∂U

∂V− P )dV +

∂U

∂PdP

となる。ここで、Qが状態量であるとき成立する積分可能条件、

∂

∂P(∂U

∂V− P ) =

∂

∂V

∂U

∂P (2.56)

を計算して、

∂

∂P

∂U

∂V− 1 =

∂

∂V

∂U

∂P=

∂

∂P

∂U

∂V

が得られる。明らかに、最後の式の左辺と右辺は等しくない。よって、Qが状態量であるとする仮定は、正しくない。後で示すように、温度でわった d′Q/T は状態量（エントロピー）である。2. 具体的計算 (理想気体の使う内部エネルギーは、温度で決定される)

状態変化　（T1, P1, V1)→（T2, P2, V1)

１．　定積変化で変化した時。

∫dQ =

∫(dU − PdV ) (2.57)

=∫dU −

∫(PdV ) = CV (T2 − T1) (2.58)

２．　等温変化＋定圧変化で変化した時。

27

状態変化　（T1, P1, V1)→(等温 ) →（T1, P2, V2)→(定圧 ) →（T2, P2, V1)

Q =∫dQ =

∫(dU − PdV ) (2.59)

= (∫dU −

∫(PdV ))|等温 + (

∫dU −

∫(PdV ))|定圧

= −RT1∫dV/V + CV (T2 − T1)− P2(V1 − V2)

= −RT1 log (V1/V2) + CV (T2 − T1)− P2(V1 − V2)

= CV (T2 − T1)

つまり、熱量は状態の変化のさせ方で変わる量である。このように、内部エネルギーが温度で決まる理想気体の性質は、熱量が状態の変化のさせ方で変わる量、つまり、状態量ではないことを示す。だから微小量は、d′Qと書く。ところが、エントロピー (S)の変化量

dS =dQ

T(2.60)

は、状態の変化のさせ方で変わらない量である。これを、エントロピーという。

2.7 中間テスト問題問 １気体には、定積比熱 Cvと定圧比熱 Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、二つの比熱の定義を与え、どちらが大きいか考察し、理由をつけて説明せよ？また、理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は PV = RT で与えられる。問　２１モルの理想気体を高温熱源（T1) と低温熱源 (T2)に接した二つの等温過程と二つの断熱過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事の変化量を調べ、次にカルノーサイクルの熱効率を求めよ。問 ３熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、が成り立つことを示せ。

28

第3章 熱力学第二法則

熱量は力学的エネルギーの変形したものであるため、熱量と力学的エネルギーの和は一定に保たれ、熱力学第一法則が成立する。しかしながら、熱と力学的エネルギーは異なるものである。その違いは、両者の変換に際して顕著にあらわれる。熱量と力学的エネルギーの相違点が発現して、熱力学第２法則が成立する。すなわち、力学的エネルギーは容易に熱に変換されるが、逆過程は容易ではなく、熱を力学的エネルギーに変換するには、大きな制約が課される。これは、熱の特徴を明らかにしている。

3.1 熱現象の特異性熱現象は、分子運動論で調べたように、極めて小さな分子の運動に着せられる。すべての物質は極めて小さな分子や原子が沢山集まって構成されている。これらの沢山の微小な分子や原子は、各分子が互いに関係なくほぼ乱雑に振る舞う運動をし、その結果大きな乱雑性を伴う運動である。これが、熱の重要な性質である。

3.1.1 熱：乱雑な原子や分子の運動のエネルギー

気体分子運動論でみたように、分子や原子の乱雑な運動の激しさを示す平均エネルギーが温度に比例する。各分子や原子は、それぞれが独立に運動しているので、各分子や原子の運動を調べるのは難しい。しかし、それらの平均的な挙動を調べるのは比較的たやすい。ところで、物体の力学的エネルギーは、すべての分子がそろった運動をする際のエネルギーである。各分子の乱雑な運動と共に、一様に運動する時持つエネルギーである。

3.1.2 熱的現象の変化は時間方向性を持つ。

熱現象の特徴の一つは、物体の温度変化に伴う変化が、方向に大きく依存して、２方向が等価ではなく差があることである。例えば、熱現象の例として図のような粒子の拡散を考える。拡散過程は、粒子が空間全体に拡がる方向に一方的に進行するが、逆向きには進行しない。

29

Fig. 3.1: 拡散過程.

この一方的な変化は、物体の力学的な運動とは異なる。通常の力学では、ニュートンの運動方程式

md2

dt2r(t) = f (3.1)

は、時間を t > −tと逆向きにしても変わらないで不変である。だから、図のような時刻 t1に位置P1にあって時刻 t2に位置 P2に到達する運動があれば、初期条件を逆にして時刻−t2に位置 P2、時刻−t1に位置 P1にある逆向きの運動の解が必ずある。これを、時間反転に対する不変性という。粒子の拡散過程では、各粒子の運動はニュートンの運動方程式に従うので時間反転に対する不変性を持つはずである。しかし、粒子全体としては、１方向に運動が進む。

()

o1@1

o2@2

()

o1@1

o2@2

O O

Fig. 3.2: 力学逆過程.

3.2 熱機関熱機関とは、熱を動力（ 力学的エネルギー）に変換する装置である。燃焼熱を利用して、動力とする機関は、応用上も大変重要である。理想的な熱機関の例は、等温過程と断熱過程を組み合わせたカルノーサイクルである。

30

3.2.1 カルノーサイクル

カルノーサイクルは、理想気体を媒体と使い二つの断熱過程と高温部と低温部の二つの等温過程を組み合わせて出来る理想的熱機関である。理想気体の性質から、カルノーサイクルは、高温部から熱を奪い低温部にその熱の一部を返し、同時に残りのエネルギーを外部に対する仕事ぼ形出す過程であり、等温過程と、断熱過程が組み合わされている。順序を等温準静過程（高温 T1）→ 断熱準静過程→ 等温準静過程（低温 T2）→ 断熱準静過程としている。

s2

s1

fMßö

•ßö

T

U

V

W

o

uO

Fig. 3.3: カルノー過程.

P − V 図カルノーサイクルの各過程I.等温過程（ 高温での膨張）高温の熱源R1に接触させ気体を等温膨張させる時、外からされる仕事W1を求める。

A1(P1, V1, T1) → A2(P2, V2, T2) (3.2)

PV =一定 = P1V1 = P2V2 =R

MT (3.3)

W1 = −∫ V2

V1

PdV =RT1M

lnV1V2

(3.4)

等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、

Q1 = −W1 =RT1M

lnV2V1

(3.5)

II.断熱膨張

31

O

o

u

s1

u2u1

o1

o2

ouŒŁ@ sq

l

Fig. 3.4: 等温過程.

外部からの熱を遮断した状況で気体を膨張させる。この際、温度が T1から T2に変わったとする。

A2(P2, V2, T1) → A3(P3, V3, T2) (3.6)

W2 = Cv(T2 − T1) (3.7)

Q2 = 0 (3.8)

PV γ =一定 (3.9)

O

o

uu2u1

o1

o2

ou@ŒŁ

@@fM

`

Fig. 3.5: 断熱過程.

III.等温過程（ 低温での圧縮）

32

低温の熱源R2に接触させ気体を等温圧縮させる時、外からされる仕事W3を求める。

A3(P3, V3, T2) → A4(P4, V4, T2) (3.10)

PV =一定 = P3V3 = P4V4 =R

MT2 (3.11)

W3 = −∫ V4

V3

PdV =RT2M

lnV3V4

(3.12)

等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、

Q3 = −W3 (3.13)

O

o

uu3u4

o4

o3

Fig. 3.6: 等温過程.

IV.断熱圧縮外部からの熱を遮断した状況で気体を圧縮させる。この際、温度が T2から T1に変わったとする。

A4(P4, V4, T2) → A1(P1, V1, T1) (3.14)

W4 = Cv(T1 − T2) (3.15)

Q4 = 0 (3.16)

PV γ =一定 (3.17)

33

これらの過程は、外部に対して仕事をしている。膨張時（ I、II）系は外部に正の仕事をする収縮時（ III、IV）外部は系に正の仕事をする一つのサイクルで外部にする仕事

−(W1 +W2 +W3 +W4) =RT1M

lnV2V1

− RT2M

lnV3V4

(3.18)

=R

M(T1 − T2)ln

V2V1

(3.19)

3.2.2 熱効率

熱機関の熱効率は、順操作で吸収する熱量H(??)と外にする仕事A(5.50)との比、

η =A

H(3.20)

である。吸収する熱量のどのくらいの割合を仕事として利用したかを示す比率である。カルノーサイクルの効率は

η =T1 − T2T1

(3.21)

と高温部の温度と低温部の温度で決まる。

3.3 熱力学第二法則熱量を力学的エネルギーに変換する際、成立するのが熱力学第二法則である。熱力学第二法則は、熱量が、エネルギーに変換される際に大きな制約があることを示している。熱力学第二法則は、様々な表現がある。

34

3.3.1 熱力学第二法則

（１）Clausius(1850)

クラウジウスは熱力学第二法則を、「熱が移動したという現象のほかは他に何の変化も残さないで、熱を低温の物体から高温の物体に移す方法はない」と熱の移動に主眼をおいて表わした。

• Æ•

MÌÚfi

Fig. 3.7: 熱の移動.

（2）Thomson(Kelvin)(1851)

一方、トムソンは熱機関に主眼を置いて、「熱源からえた熱を仕事に変えるだけで他になんの変化も残さないで操作する熱機関は存在しない」と表わした。

q

p1

p2

vp1|p2

•

Æ•

Fig. 3.8: トムソン熱の移動.

35

3.3.2 Clausiusの表現と Thomsonの表現の同等性

クラウジウスによる熱力学第２法則と、トムソンによる熱力学第２法則は一見異なるように見えるが、実は等価である。これを背理法を使い示す。1

Clausisが真でないと仮定するとThomsonが否定されることを熱力学第二法則を使い導く。

sg

sb

g2

Fig. 3.9: トムソン熱の移動 2.

Clausisが真でないと仮定する。すると、他に何の変化を残さないで低温部から高温部へ熱が移動することになる。この時、高温部の熱源から熱を得て外部に仕事をするカルノーサイクルを付け足して図のような熱機関を構成する。この熱機関は熱源から得た熱を仕事に変えるだけで、他に何の変化も残さないで操作する熱機関である。つまり、Thomsonが否定されることが導かれた。

sg

sb

g2 b ‘g1|g2

g1

g2

Fig. 3.10: トムソン熱の移動 3.

2 逆の証明も、ほぼ同じようにされる。カルノーサイクルが、有力な手段となっている。

36

3.4 可逆過程と不可逆過程系と外部とのすべてのものをもとの状態に戻すことができる過程を可逆過程という。逆に、系と外部とのすべてのものをもとの状態に戻すことができない過程を不可逆過程という。

3.4.1 Carnotの定理

熱機関の効率について、カルノーは、可逆熱機関の効率はすべて等しいこと、並びに不加逆機関の効率は可逆熱機関の効率より小さいこと、を証明した。熱機関について、非常に一般的な定理が成立する事がわかった。いま、可逆機関 ( E)が、高温部 T1から熱量Hを得、外部に仕事Aをし低温部 T2に熱量

H-Aをだすとする。この熱効率は、

η =A

H(3.22)

である。

d

g g|‘

‘

Fig. 3.11: カルノーの定理.

次に、不可逆機関 ( E ’)が、高温部 T1から熱量H ’を得、外部に仕事A ’をし低温部 T2に熱量H ’-A ’をだすとする。この効率は、

η′ =A′

H ′ (3.23)

である。定理可逆機関や不可逆機関の効率に関して、以下の等式または不等式が成立する。

η可逆 > η不可逆　 (3.24)

η可逆 = η′

可逆　 (3.25)

37

d’

g’

g’|‘

Fig. 3.12: カルノーの定理 2.

（ 証明）熱力学第二法則を使う。いま、二つの機関を構成する過程をつなげて図のようなサイクルを作る。

d

g

g|‘g’|‘

‘ ‘d’

sb

sg

g g’

Fig. 3.13: カルノーの定理.

（１）初めに、一つの過程Eを可逆過程とし、他の過程E ′を不可逆過程として、η可逆 > η不可逆　の証明を背理法で行なう。(i)

まず、H − H ′ = 0と仮定する。すると、両過程を終えて一周した後で、系がもとに戻っ

38

た事になり、E ′が不可逆過程であった仮定と反する。よって、H −H ′ = 0となることはあり得ない。(ii)

次に、H −H ′ > 0と仮定する。すると、両過程を終えて一周した後で、低温から高温に熱が動いたことになる。これは、クラウジウスの原理に反する。よって、H −H ′ > 0 となることはあり得ない。以上の (i), (ii)から、

H −H ′ < 0, η > η′ (3.26)

となる。（ ２）次に、二つの過程を可逆過程として、η可逆 = η可逆　の証明を背理法で行なう。（ １）と同様な考察により、（ １）と同じ向きの操作に対して

η ≥ η′ (3.27)

（ １）と同様な考察により、（ １）と逆向きの操作に対して

η′ ≥ η (3.28)

よって、η = η′となり、すべての可逆過程の効率は等しい。

3.4.2 可逆機関の熱効率

可逆機関の一つであるカルノーサイクルで熱効率の計算が、具体的になされ、熱効率は温度だけで決まることがわかっている。

η =H1 −H2

H1

(3.29)

=T1 − T2T1

(3.30)

この結果から、すべての可逆機関における熱量の変化量と温度の比について普遍的な関係式、

H1

T1=H2

T2(3.31)

が成立する。これより、熱源からの熱量の変化を熱源の温度で割った量である換算熱量は、一定である。換算熱量が、特別な物理量になっていることを示している。

39

3.4.3 不可逆機関の熱効率

不可逆機関の効率とカルノーサイクルで計算した可逆機関の効率を比較して、

η不可逆 =H1 −H2

H1

(3.32)

η可逆 =T1 − T2T1

(3.33)

が得られる。この結果から、不可逆過程での換算熱量について、不等号

H2

T2− H1

T1> 0 (3.34)

が成立する。

3.5 Clausiusの不等式熱源が二つ以上あるときは各熱源の温度 Ti とその熱源から入る熱量 Qiに関する和が関係式、 ∑

i

Qi

Ti= 0 :可逆サイクル (3.35)

　∑i

Qi

Ti< 0 :不可逆サイクル (3.36)

をみたす。可逆サイクルとして二つ以上の熱源からなるカルノーサイクル、即ち熱源と接した等温変化と温度をかえる断熱変化を組み合わせて構成されたサイクルの場合は、熱量が具体的に計算できる。これにより、等式を証明する。各過程で、出入りする熱量は、微小であるとして記号 d′Qを使う。先ず、断熱過程では熱の出入はない。そのため、d′Q = 0、である。また、等温過程では内部エネルギーが一定であるため、d′Q = PdV である。このため、左辺の和に寄与するのは、等温過程に限られ、∑

i

dQ′i

Ti=

∑等温、i

∫ PidV i

Ti(3.37)

=∑i

∫ RPidV i

PiVi（理想気体の状態方程式 T =

PV

R）

=∑i

∫ RdV i

Vi

=∑i

R lnV i+ 1

Vi

= R ln(∏i

V i+ 1

Vi）

40

が成り立つ。ここで、閉じたサイクルである条件、

V1 = VN (3.38)

から、

R ln(∏i

V i+ 1

Vi) = Rln

V2V3 · · ·VNV1V2 · · ·VN−1

= RlnVNV1

(3.39)

= 0

が成り立つ。さらに状態が連続的に変化するときは、和が積分に置き換わり関係式∮ dQ

T= 0 (3.40)

が成立する。よって、閉じた経路（サイクル）に沿う熱量変化を温度でわった量の周回積分が零になる。熱量の微小変化を温度でわった d′Q

Tが、状態の位置で決まる状態量であること

を表わしている。

Fig. 3.14: カルノーの定理.

41

3.6 問題問 2 気体には、定積比熱Cvと定圧比熱Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。2-1 比熱二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？2-2 内部エネルギー理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。2-3 二つの比熱の関係式理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式はPV =

RT で与えられる。問 3

１モルの理想気体の断熱過程における P と体積 V の間に成り立つ関係式を導け。問 4

熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、が成り立つことを示せ。問 5

１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(T1, V1)からB(T2, V2)に変えたときのエントロピーの変化を求めよ。

今までの項目：1章：熱と温度、熱平衡、熱容量と比熱、熱膨張2章：様々な比熱（原子熱、分子熱）、熱力学第一法則、ジュールの実験、自由膨張、理想気体、理想気体の比熱、準静的過程、断熱過程3章：熱現象の特異性（乱雑な運動）カルノーサイクル、熱力学第二法則、可逆過程の熱効率、熱効率に対するカルノーの定理4章：エントロピーとは？、エントロピー増大の原理

42

第4章 エントロピー

4.1 エントロピーとは？前章で、可逆サイクルにそって準静的に状態変化させた時の d′Q

Tの周回積分が零になるこ

とをみた。ところで、閉じた積分路にそう周回積分は、二つの経路にそう積分の差として∮d′Q

T=

∫ z

0

d′Q

T+

∫ 0

z

d′Q

T(4.1)

=∫ z

0

d′Q

T−

∫ z

0

d′Q

T(4.2)

と表せる。このため、可逆サイクルを半分に分けた二つの可逆過程での積分値∫ z

0

d′Q

T(4.3)

は積分経路に依存しないで、積分の上限と下限だけで決まる。積分の値は、上限での物理状態と下限での物理状態で一意的に決まる状態量である。この事情は、力学で保存力の空間の経路に沿う仕事が経路に依らずに上限と下限の２点の位置で決まる事と同じである。力学では、この仕事は位置で決まるので、ある位置にある物体が持つエネルギーである位置エネルギーという。熱力学の場合、この状態量をエントロピー Sという。温度 T で熱量 d′Qが増加する準静的過程におけるエントロピーの微少量は

dS =d′Q

T(4.4)

となる。右辺の熱量の微少量 d′Qは、例えばカルノーサイクルの計算で分かるように、過程（経路）により異なる値をとる。そのため熱量は一つの状態で一つの値が決まるわけではなく、状態量ではない。数学的に厳密な意味では、単純な微分ではないので’をつけるのが正しい。しかし熱量の微少量を温度で割った量である左辺のエントロピーは状態量の微少量である。そのため、エントロピーの微少量を単純に dSと書く。エントロピーを使うと熱量の微少量が、

d′Q = TdS (4.5)

と表せる。この表示で、熱力学第一法則はエントロピーを使い

dU = TdS − PdV (4.6)

43

と表せる。このように、内部エネルギー U はエントロピー Sと体積 V を自変数とする物理量であることが分かる。係数 T と−P は、偏微分を使い

T =∂U

∂S

∣∣∣∣V

(4.7)

P = −∂U∂V

∣∣∣∣S

(4.8)

となる。

4.1.1 エントロピーの計算

エントロピーを具体的な準静的な過程で計算しよう。１．固体、液体で比熱一定（ C)の場合。この場合はエントロピー

S =∫ T2

T1

d′Q

T(4.9)

が、熱量が比熱を使い簡単にあらわせ、

d′Q = CdT

dS =d′Q

T= C

dT

T(4.10)

S2 − S1 =∫dS

= C∫ T2

T1

dT

T= C ln

T2T1

(4.11)

と簡単に求められる。

２．理想気体理想気体は内部エネルギーが温度だけできまり、またボイルシャルルの法則を満たす。熱力学第一法則から熱量を内部エネルギーと体積変化で表して、エントロピーは、

dU = CV dT :内部エネルギーは温度の関数　 (4.12)

44

dS =dU + PdV

T

= CVdT

T+R

dV

V(PV = RT ) (4.13)

S2 − S1 = CV

∫ T2

T1

dT

T+R

∫ V2

V1

dV

V(4.14)

= CV lnT2T1

+R lnV2V1

(4.15)

となる。ここで一モルの気体とした。

３．積分可能条件式 (4.6)で、内部エネルギー U、温度 T、エントロピー S、圧力 P、体積 V はすべて一つの状態に対して一つの値をとる状態量である。内部エネルギーの微分量が

dU = TdS − PdV (4.16)

と書けることより、Uは Sと V を自変数としてU(S, V )と表せる。だから微小量は、偏微分を使い

dU =∂U

∂SdS +

∂U

∂VdV (4.17)

となるので、両辺を比較して、温度 T と圧力 P が

T =∂U

∂S(4.18)

P = −∂U∂V

(4.19)

と内部エネルギー U の Sや V に対する変化率となる。２階偏微分が、微分の順序によらないので、

∂

∂VT =

∂

∂V

∂

∂SU (4.20)

=∂

∂S

∂

∂VU = − ∂

∂SP

45

が成立し、温度と圧力を内部エネルギーの偏微分で表して、温度と圧力の微分に対する関係式

∂T

∂V= −∂P

∂S(4.21)

が成立する。一見自明な関係式 (4.17)から、まったく自明ではない上の関係式が導かれるのは、不思議である。その理由は、内部エネルギー、体積、温度に加えてエントロピーが状態量であることに依拠している。

4.2 エントロピー増大の原理エントロピーは、可逆過程によって状態を変化させたとき途中の過程に依存せず始状態と終状態で決まる値をとる。つまり、エントロピーは状態量である。では、エントロピーは、不可逆過程によって状態を変化させるときも、同じように途中の過程によらないのあろうか。実は、不可逆過程では可逆過程とは異なり始状態や終状態に固有な値をとるわけではない。不可逆過程によって状態を変化させるときエントロピーは、特有な変化をする。Clausiusの不等式から、不可逆過程におけるエントロピーの特異な変化が明らかになる。不可逆過程と可逆過程からなる閉じた不可逆サイクルを考える。このとき、周回積分は、不等式 ∮ d′Q

T=

∫ B

A

d′Q

T(不可) +

∫ A

B

d′Q

T(可) < 0 (4.22)∫ B

A

d′Q

T(不可) <

∫ B

A

d′Q

T(可) = dS (4.23)

を満たしている。

‘

a

´t

s´t

Fig. 4.1: エントロピー.

上の不等式より、断熱系における不可逆過程を A → B で行なう際、エントロピーの変化は、

d′Q = 0 (4.24)

dS ≥ 0(等号は可逆のとき) (4.25)

46

となり、結果

S(B) > S(A) (4.26)

が成立する。エントロピー増大の原理不可逆過程によってAからBに状態が変化したとき、状態Bのエントロピー S(B)は必ず状態Aのエントロピー S(A)より大きくなり、エントロピーは増大する。熱平衡では、

δS = 0 (4.27)

となり、エントロピーは極値をとっている。例１：熱伝導温度 T1と T2の間を熱量Qが伝導する。この時、エントロピー変化は

δS =Q

T2− Q

T1(4.28)

= Q(1

T2− 1

T1) > 0 (4.29)

となる。よってエントロピーは増大する。

‘ a

s1 s2

p

Fig. 4.2: 熱伝導.

例２：理想気体の断熱自由膨張断熱自由膨張では温度は不変に保たれ体積が大きくなる。よって、

δS = CV lnT2T1

+R lnV2V1

(4.30)

47

= R lnV2V1

> 0 (4.31)

となり、やはりエントロピーは増大する。V2

V1= 2とすると、

δS = R ln 2 (4.32)

である。

4.3 エントロピーの微視的な意味エントロピーは、熱伝導や断熱自由膨張では必ず増加することがわかった。これらの過程は、可逆過程ではなく不可逆過程であり、自然界で自然に起こる過程である。熱的な現象は、小さな沢山の分子の乱雑な運動に特徴があった。この度合を示すのが、エントロピーである。エントロピーは、状態の不規則さを定量的に表す量であり、自然界の状態変化は、より不規則な状態に遷移する傾向があることを示している。場合の数の多さ（ 不規則さの度合い）がエントロピーで定量的に表される。その結果、あるマクロな状態の実現確率が大きいとき、その状態に対応するミクロな多くの状態があることになり、その状態の不規則さが大きいことになる。ある熱力学的な状態のエントロピー Sは、その状態の実現する確率wの関数である。

‘ a

Fig. 4.3: エントロピーの意味.

いま、図のような箱の内部にアボガドロ数程度の沢山の粒子があるとする。箱の内部を仕切り、片方をＡ、他方をＢとする。これらの粒子が各箱に、あるときの確率を ωiとする。

w1 : Aにすべての粒子が集まっている確率。 (4.33)

48

w2 : A、B両方に粒子が分散している確率。 (4.34)

Aの体積が、Ｂの体積の２倍であり、粒子数がＮであるとき、これらの比は、

w1

w2

= (V1V)N = (

1

2)N (4.35)

であり、Ｎがアボガドロ数であるとき、

=1

1070(4.36)

N = 6× 1023

と莫大の数となる。なお、場合の数を１に規格化したものが確率である。次、エントロピーを確率で表す。二つの系のエントロピーは各系のエントロピーの和である。

S = S1 + S2 (4.37)

また一方で、独立事象の二つの系の確率は各系での確率の積である。

w = w1 × w2 (4.38)

エントロピーを確率のある関数S = f(w) (4.39)

として、上の性質を満す関数を求めよう。

f(w1 × w2) = f(w1) + f(w2) (4.40)

を満たす関数を求めるため、

w1 = w,w2 = 1 + ϵ (4.41)

として、代入して

f(w + wϵ) = f(w) + f(1 + ϵ) (4.42)

f(w) + wϵf ′(w) = f(w) + f(1) + ϵf ′(1)。 (4.43)

これより、微分方程式

f(1) = 0 (4.44)

f ′(w) =f ′(1)

w(4.45)

49

を満たすことになる。この微分方程式は容易に解くことが出来、

f(w) = f ′(1) lnw (4.46)

である。 よって、確率を使い、エントロピーが、

S = k lnw (4.47)

となる。実はこの定数 kはボルツマン定数である。実際この関数が、上の関係式を満たすことが、容易に分かる。断熱自由膨張断熱自由膨張では、確率は

ω1 = ω2 × (1/2)N (4.48)

と関係している。この結果、エントロピーの変化は、

S1 = S(ω1) = k lnω1 = k lnω2 −N ln 2 (4.49)

である。これは、例で調べたエントロピーの変化に一致する。

4.4 種々の自由エネルギー

4.4.1 内部エネルギー

熱力学第一法則で内部エネルギー U をエントロピー Sと体積 V を使い表すと、微分量に対して

dU = TdS − PdV (4.50)

微分形では、

∂U

∂S

∣∣∣∣V= T (4.51)

∂U

∂V

∣∣∣∣S= −P (4.52)

である。つまり、体積を一定にしてエントロピーを変化させる時の傾きの係数が温度であり、エントロピーを一定にして体積を変化させる時の傾きの係数がー圧力である。孤立した系を断熱状況で等積変化させるとき平衡条件は

δU = 0 (4.53)

50

である。内部エネルギーの応用内部エネルギーの考察から、

(∂U

∂V)T = T (

∂p

∂T)V − p (4.54)

が成立する。（証明）熱力学第一法則から、

dU = d′Q− pdV (4.55)

エントロピーの定義、

dS =d′Q

T(4.56)

から微小熱量をエントロピーで表わし、さらに内部エネルギーを体積と温度の微小量で表わすと、

TdS = dU + pdV =∂U

∂VdV +

∂U

∂TdT + pdV (4.57)

となる。両辺を T で割り、エントロピーの微小量が

dS =1

T(∂U

∂V+ p)dV +

1

T

∂U

∂TdT (4.58)

となる。よって、微分可能条件から、

∂

∂T(1

T(∂U

∂V+ p)) =

∂

∂V(1

T

∂U

∂T). (4.59)

両辺の微分を実行して、

− 1

T 2(∂U

∂V+ p) +

1

T(∂2U

∂T∂V+∂p

∂T) =

1

T

∂2U

∂T∂V(4.60)

よって、

− 1

T 2(∂U

∂V+ p) +

1

T(∂p

∂T) = 0 (4.61)

となり、書き直して

(∂U

∂V)T = T (

∂p

∂T)V − p (4.62)

が得られる。

51

4.4.2 Gibbs自由エネルギー

通常は、孤立系を調べるのではなく、外部からコントロールした時の系の平衡状態を調べる。この場合は、上の内部エネルギーではなく、次にあげる様々な、自由エネルギーを使う。次に、自変数をエントロピーと体積から温度と圧力に変換する。その為に新たな熱力学量

Gibbs自由エネルギーGを定義する。これの微少量は、

G = U − TS + PV (4.63)

dG = dU − TdS − SdT + PdV + V dP (4.64)

= TdS − PdV − TdS − SdT + PdV + V dP (4.65)

= −SdT + V dP (4.66)

となる。だからGibbs自由エネルギーの自変数が温度と圧力であることがわかる。

dG = −SdT + V dP (4.67)

微分形では、

∂G

∂T

∣∣∣∣V= −S (4.68)

∂G

∂P

∣∣∣∣S= V (4.69)

である。つまり、体積を一定にして温度を変化させる時の傾きがーエントロピーであり、温度を一定にして圧力を変化させる時の傾きが体積である。自変数をあらわに書いてGibbs自由エネルギーをG(T, P )と表記する。等温、等圧変化させるとき平衡条件は

δG = 0 (4.70)

で決まる。Gibbs　自由エネルギー の応用ファンデルワールス気体圧力と温度を一定にする状況で行なう実験で実現する平衡状態は、Gibbs自由エネルギー

Gの停留条件から決定される。これは、液体ー気体の混合状態や、相転移で見られる。ファンデルワールス気体は、理想気体からずれた現実の気体であり、状態方程式は、

(P +a

V 2)(V − b) = NkT (4.71)

である。図１で与えられ、これより、圧力が体積の関数として

52

P =Nk

V − bT − a

V 2(4.72)

となるので、圧力が停留となる体積は

∂P

∂V= 0 (4.73)

から、

∂P

∂V= − Nk

(V − b)2T − 2a

V 3= 0 (4.74)

(V − b)2

V 3=Nk

2aT = A (4.75)

を満たしている。この解は、図２のように変化する。

図２温度が高い場合、圧力が体積と共に一様に減少する関数となり

∂P

∂V= 0 (4.76)

は解をもたない。この場合、物理系の性質は、理想気体に近く簡単に圧縮され圧縮率が大きい状態である。これは、気体の状態である。しかし、温度が低い場合は、

∂P

∂V= 0 (4.77)

となる解が複数あり、極大値と極小値があり、圧力に増減が現れる。また、温度が低く体積が小さい領域では、圧力は体積の変化に対して急激に変化する。これは、圧力を大きく変えて初めて体積が変化することを示し、気体とは異なる性質をもつ液体である。次に、Gの変化を調べよう。温度 T が一定であるとき、

dG = V dp (4.78)

G(p)−G(pa) =∫ p

paV (p)dp (4.79)

53

図３

上の図３で、a→ b→ c→ d→ e→ f → gでＧは、図４

のようである。このため、Gが最小になるところは、図５であり、b→ c→ d→ e→ f で

圧力は一定の値 pb = pf に留まっている。b→ c→ d の面積と d→ e→ f の面積は等しい。図１で、圧力が体積の変化とともに増減する領域での平衡状態は、図のようにｂからｆま

54

では、圧力が一定の状態である。図で p ≥ pf の領域が気体であり、p ≤ paの領域が液体であるので、中間の圧力が一定である領域は、気体と液体が混合した状態である。

4.4.3 Helmholtz自由エネルギー

同様にHelmholtz自由エネルギー F (V, T )、エンタルピー H(S, P )を以下のように定義する。

F = U − TS (4.80)

H = U + PV (4.81)

これらは微小量が、

dF = TdS − PdV − TdS − SdT = −PdV − SdT (4.82)

dH = TdS − PdV + PdV + V dP = TdS + V dP (4.83)

となることより、自変数を (V, T )や (S, P )とするエネルギーである。温度と体積をコントロールして変化させるときの平衡条件は

δF = 0 (4.84)

であり、圧力をコントロールして断熱変化させるときの平衡条件は

δH = 0 (4.85)

である。Helmholtz自由エネルギーの応用

55

4.5 数学のまとめ微分

d

dxf(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h, (4.86)

f(x+ h) = f(x) + hd

dxf(x) (4.87)

∂

∂xf(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

f(x+ h, y) = f(x, y) + h∂

∂xf(x, y)

∂

∂yf(x, y) = limh→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

f(x, y + h) = f(x, y) + h∂

∂yf(x, y)

f(x+ h, y + g) = f(x, y) + h∂

∂yf(x, y) + g

∂

∂yf(x, y)

df(x, y) =∂

∂yf(x, y)dx+

∂

∂yf(x, y)dy

56

第5章 現実的な問題

5.1 ヴァンデルワール気体前章でヴァンデルワール気体を、調べた。状態方程式は、いくつかの物質に依存するパラメーターをもつ

(P + an2/V 2)(V − bn) = nRT (5.1)

であり、図のようなグラフである。この状態方程式が、気相と液相を共にもつ状態であることをみた。温度が高い場合、圧力が体積と共にゆっくり一様に減少する関数となり相の性質は、理想気体に近く簡単に圧縮され圧縮率が大きい。これは、気体である。しかし、温度が低い場合は、圧力によって大きく異なる性質を示す。温度が低く体積が小さい領域では、圧力は体積の変化に対して急激に変化し、また圧力を変えてもあまり体積が変わらない液体である。

5.2 気体の蒸発と液化気相と液相の異なる相をもつ物質で、蒸発や液化の熱力学について考察する。ある物質で、気体と液体が共存する領域を考え、クラウジウスークライペロンの関係式を導く。いま、それぞれの単位質量当たりの体積を v1と v2、エネルギーを u1と u2とする。これらは、温度 T

の関数である。また、圧力を pとする。m1とm2をそれぞれの質量とする混合気液体では、

m = m1 +m2 (5.2)

V = m1v1(T ) +m2v2(T ) (5.3)

U = m1u1(T ) +m2u2(T ) (5.4)

である。ここで、dmだけ液体から気体に等温過程で移す。質量、体積、エネルギーは、

m = m1 +m2 (5.5)

V + dV = (m1 + dm)v1(T ) + (m2 − dm)v2(T ) (5.6)

U + dU = (m1 + dm)u1(T ) + (m2 − dm)u2(T ) (5.7)

57

となり、微小量が

dV = dm(v1(T )− v2(T )) (5.8)

dU = dm(u1(T )− u2(T )) (5.9)

となる。ここで、熱力学第１法則より、熱量が内部エネルギーと仕事から、

dQ = dU + PdV = dm(u1 − u2 + p(v1 − v2)) (5.10)

と表わせる。よって、

dQ

dm= u1 − u2 + p(v1 − v2) (5.11)

である。ここで、潜熱を定義する。潜熱とは、液体が気体に変化するときの熱量であり、今の場合単位質量あたり、の潜熱は、

λ =dQ

dm(5.12)

である。温度が一定であるときの変化を考えたので、内部エネルギーの体積変化率が、潜熱、体積変化、圧力で

(∂U

∂V)T =

u1(T )− u2(T )

v1(T )− v2(T )(5.13)

=λ− p(v1 − v2)

v1 − v2

=λ

v1 − v2− p (5.14)

となり、最後に関係式 (4.54)

(∂U

∂V)T = T (

∂p

∂T)V − p (5.15)

を組み合わせて、クラウジウスークライペロンの関係式

(∂p

∂T)V =

λ

T (v1 − v2)(5.16)

が導かれる。

58

5.3 化学反応

5.4 相転移

5.5 問題

5.5.1 偏微分

f(x, y) (5.17)

∂

∂x

∂

∂yf(x, y) =

∂

∂y

∂

∂xf(x, y) (5.18)

vx =∂

∂xf(x, y) (5.19)

g = vxx− f (5.20)

dg = dvxx+ vxdx− df = dvxx+ vxdx− fxdx− fydy = xdvx − fydy (5.21)

59

基礎物理学 II（ 再履）中間 テスト（ (金) 16:30 E-203 ）(2009 6/26(金) 16:30-18:00 石川健三

問 1

質量Mの質点が速度 vで xy面内にある壁と完全衝突を行った時の、運動量の変化を求めよ。またこのような衝突が一秒当りN 回起こるとして、xy面内にある面積 Sの壁が感じる圧力を計算せよ。

問 2 気体には、定積比熱 Cvと定圧比熱 Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。2-1 比熱二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？2-2 内部エネルギー理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。2-3 二つの比熱の関係式理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式はPV =

RT で与えられる。

問 3

１モルの理想気体の断熱過程における P と体積 V の間に成り立つ関係式を導け。

問 4

熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、が成り立つことを示せ。

問 5

１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(T1, V1)からB(T2, V2)に変えたときのエントロピーの変化を求めよ。

60

基礎物理学 II（ 再履）中間 テスト (再）（ (金) 16:30 E-203 ）(2009 7/15(水) 13:30- 石川健三

問 1

質量M の質点が x方向の速度 vxで xy面内にある壁と完全衝突を行った時の、運動量の変化を求めよ。またこのような衝突が一秒当りN 回起こるとして、xy面内にある面積 Sの壁が感じる圧力を計算せよ。

問 2 気体には、定積比熱 Cvと定圧比熱 Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。2-1 比熱二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？2-2 内部エネルギー理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。2-3 二つの比熱の関係式理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。

問 3

１モルの理想気体の断熱過程における P と温度 T の間に成り立つ関係式を導け。

問 4

熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、が成り立つことを示せ。

問 5

１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(P1, V1)からB(P2, V2)に変えたときのエントロピーの変化を求めよ。

61

基礎物理学 II（ 再履） テスト (前）（ (金) 16:30 E-203 ）(2009 石川健三)

問 1 気体には、定積比熱Cvと定圧比熱Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。1-1 比熱二つの比熱の定義を与えよ。また、どちらが大きいと想像出来るか？1-2 内部エネルギー理想気体の内部エネルギーを定積比熱で表わせ。1-3 二つの比熱の関係式理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。問 2

１モルの理想気体の状態を可逆的に、A(P1, V1)からB(P2, V2)に変えたときのエントロピーの変化を求めよ。問 3

3-1

電荷Q1と電荷Q2が離れて置かれている。このときの電場、電気力線の様子を書き表わせ。二つの電荷が、同符号である場合と異符号である場合を分けること。3-2

直線電流 I1と直線電流 I2が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を分けること。3-3

また、上の二つの場合で、場のエネルギーについての考察にもとづいて、電荷間ならびに電流間の力の性質について、引力、斥力いずれの力になるか明らかにせよ。問 4

一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bzの下で、半径Rの円形の導体を xy 面内にある軸の周りに角速度 ωで回転させる。このとき、この円形導体に生ずる起電力を計算せよ。

62

基礎物理学 II（ 再履） テスト（ (金) 16:30 E-203 ）(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三問 1

1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。1-1

1モルの理想気体の体積 V、圧力 P、ならびに温度 T の間の状態方程式を書き下せ。1-2

理想気体の内部エネルギーについて成立することを説明せよ。また、（１）等温変化（２）断熱変化における圧力 P と体積 V の間の関係式を求めよ。1-3

１モルの理想気体を高温（温度 T1）、低温（温度 T2）の二つの等温過程とその間を二つの断熱過程でつなげたカルノーサイクルの熱機関としての効率を計算せよ。問 2

2− 1

熱力学第二法則を説明せよ。2− 2

また、熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、が成り立つことを示せ。

問 3

直線電流 I1と直線電流 I2が離れて平行に置かれている。このときの磁場、磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を分けること。問 4 一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bzの下で、径の長さＬの正方形の導体を xy面内にある正方形の中心を通り正方形の１辺に平行な軸の周りに角速度 ωで回転させる。このとき、この正方形導体に生ずる起電力はどのように変化するか？

63

基礎物理学 II（ 再履） 再（追）テスト（ 12日 (水) 14:45 E-204 ）(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三問 1

1モルの理想気体について、以下の問題に答えよ。1-1

熱力学第１法則を説明せよ。1-2

理想気体の内部エネルギーについて成立することを説明せよ。また、（１）等温変化（２）断熱変化における圧力 P と体積 V の間の関係式を求めよ。1-3

１モルの理想気体を高温（温度 T1）、低温（温度 T2）の二つの等温過程とその間を二つの断熱過程でつなげたカルノーサイクルの熱機関の各過程における仕事、熱量、エントロピーの変化を計算せよ。問 2

2− 1

熱力学第二法則を説明せよ。2− 2

また、熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、１。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、ことを示せ。

問 3

直線電流 I1と直線電流 I2が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を分けること。また、それぞれの場合、力は引力、斥力いずれであるか？問 4 一様なｚ軸方向の磁場（磁束密度）Bzの下で、径の長さＬの正方形の導体を xy面内にある正方形の中心を通り正方形の１辺に平行な軸の周りに角速度 ωで回転させる。このとき、この正方形導体に生ずる起電力を計算せよ？

64

基礎物理学 II（ 再履） 再（追）テスト（ 12日 (水) 14:45 E-204 ）(2009 8/6(金) 16:30- 石川健三問 1

1-1

気体の体積、圧力、内部エネルギー、熱量を使い熱力学第１法則を説明せよ。1-2

１モルの理想気体の定積比熱と定圧比熱の関係を求めよ。1-3

１モルの理想気体を高温（温度 T1）、低温（温度 T2）の二つの等温過程とその間を二つの断熱過程でつなげたカルノーサイクルを説明せよ。問 2

2-1

１モルの理想気体の状態を、可逆的にA(T1, V1)からB(T2, V2)に変えた時のエントロピーの変化を計算せよ。2-2

熱力学第２法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理の一つ、１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、ことを示せ。

問 3

直線電流 I1と直線電流 I2が離れて平行に置かれている。このときの磁場と磁場を結んだ磁力線の様子を書き表わせ。二つの電流が、同じ向きである場合と異なる向きである場合を分けること。また、それぞれの場合、場のエネルギーについての考察にもとづいて、引力、斥力いずれの力になるか明らかにせよ。問 4 一様なｘ軸方向の磁場（磁束密度）Bｘの下で、一辺の長さ Lの正方形の導体を xy

面内にある正方形の１辺の周りに毎分N 回回転させた。このとき、この正方形導体に生ずる起電力を計算せよ？

5.6 豆 テスト質量M の質点の位置を x(t) 速度を v(t)とし、質点に加わる力を F とする。この時、成立する運動方程式は

Mdv(t)

dt= F (5.22)

65

である。但し、dx(t)dt

= v(t)である。地面から投げあげられた物体には一様な下向きの重力が働く。鉛直方向を z軸とすると、力は、

F = −nzMg (5.23)

と表せる。ここで nzは z軸方向の単位ベクトルである。この運動方程式を解くことより、この質点の t秒後の位置と速度を求めよ。物体を最も遠い地点に落下させるには、初速をどの方向にとれば良いか？

5.7 単位系長さ： １ メートル＝光が真空中を 1

299792458秒の間に進む距離

質量：１ Kg＝国際キログラム原器の質量（１０％のイリジウムをいれた不純物の混入比０。０００１の白金合金；円柱形の分銅直径、高さ約３９mm

時間：秒（S）1秒＝セシウム１３３原子の基底状態における２つの微細構造（F＝４、M＝０及びF＝３、M＝０）の間の遷移に対応する放射の９１９２６３１７７０周期の継続時間（１９６７）電流：1アンペア＝真空中に 1メートルの間隔で平行におかれた無限に小さい円形断面積を有する無限に長い 2本の直線状導体のそれぞれを流れ、導体の長さ 1メートルごとに 2×10−7

ニュートンの力を及ぼし合う電流質量の起源、ニュートリノ、ダークマター、

66

5.8 中間テスト問題問 １気体には、定積比熱 Cvと定圧比熱 Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、二つの比熱の定義を与え、どちらが大きいか考察し、理由をつけて説明せよ？また、理想気体の１モルの定積比熱と定圧比熱の関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は PV = RT で与えられる。問　２１モルの理想気体を高温熱源（T1) と低温熱源 (T2)に接した二つの等温過程と二つの断熱過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事の変化量を調べ、次にカルノーサイクルの熱効率を求めよ。問 ３熱力学第二法則を使い、高温熱源 ( 温度 T1）と低温熱源（ 温度 T2）に接して働く熱機関の効率に対して成立するカルノーの定理１。可逆熱機関の効率はすべて等しい、２。不可逆熱機関の効率は可逆熱機関の効率より悪い、が成り立つことを示せ。

67

5.9 中間テスト問題問 １気体には、定積比熱 Cvと定圧比熱 Cpと二つの比熱がある。1モルの理想気体について、二つの比熱の定義を与え、次に関係式をみちびけ。ただし、状態方程式は PV = RT で与えられる。問　２１モルの理想気体を高温熱源（T1) と低温熱源 (T2)に接した二つの等温過程と二つの断熱過程で変化させて、カルノーサイクルを作る。この各過程における、熱と仕事、並びにエントロピーの変化量を求めよ。また、カルノーサイクルの熱効率を求めよ。問 ３1．エントロピーの物理的意味を説明せよ、。次に、理想北１モルが温度・体積を (T1, V1)

から (T2, V2)に変化する時の、エントロピーの変化を計算せよ。解答：問１．1. 熱力学第１法則は、U,P,V,Qを内部エネルギー、圧力、体積、熱量とすると、

dU = −PdV + d′Q (5.24)

である。また理想気体では、内部エネルギーは温度だけで決定され、比熱Ci は

d′Qi = CidT, i =定積、または　定圧 (5.25)

で、熱量や温度の微小変化量と関係している。等積過程：気体の体積を一定に保って温度を上げる。

dV = 0、d′Q体 = dU (5.26)

である。等圧過程：気体の圧力を一定に保って温度を上げる。

dV = 0、d′Q圧 = dU + PdV (5.27)

である。温度変化が同じ場合、式 (5.26)と式 (5.27)における dU は等しい。そのため、

d′Q圧 − PdV = d′Q体　 (5.28)

が成立する。PdV は正定値なので、気体が外部にする仕事は必ず正であり d′Q圧 > d′Q体である。

68

2. １モルの理想気体の状態方程式

PV = RT (5.29)

から、等圧過程では、

PdV = RdT 　 (5.30)

である。式 (5.25)と (5.30)を、　式 (5.28)に代入すると、

CpdT −RdT = CvdT (5.31)

となり、両辺を dT で割ると、

Cp −R = Cv (5.32)

が得られる。問２．カルノーサイクルは、理想気体を媒体と使い二つの断熱過程と高温部と低温部の二つの等温過程を組み合わせて出来る理想的熱機関であり理想気体の性質から、高温部から熱を奪い低温部にその熱の一部を返し、同時に残りのエネルギーを外部に対する仕事として出す過程である。順序を等温準静過程（高温 T1）→ 断熱準静過程→ 等温準静過程（低温 T2）→ 断熱準静過程とする。カルノーサイクルの各過程I.等温過程（ 高温での膨張）高温の熱源R1に接触させ気体を等温膨張させる時、外からされる仕事W1を求める。

A1(P1, V1, T1) → A2(P2, V2, T2) (5.33)

PV =一定 = P1V1 = P2V2 = RT (5.34)

W1 = −∫ V2

V1

PdV = RT1lnV1V2

(5.35)

等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、

Q1 = −W1 = RT1lnV2V1

(5.36)

II.断熱膨張外部からの熱を遮断した状況で気体を膨張させる。この際、温度が T1から T2に変わったとする。

A2(P2, V2, T1) → A3(P3, V3, T2) (5.37)

W2 = Cv(T2 − T1) (5.38)

Q2 = 0 (5.39)

PV γ =一定 (5.40)

69

III.等温過程（ 低温での圧縮）低温の熱源R2に接触させ気体を等温圧縮させる時、外からされる仕事W3を求める。

A3(P3, V3, T2) → A4(P4, V4, T2) (5.41)

PV =一定 = P3V3 = P4V4 =R

MT2 (5.42)

W3 = −∫ V4

V3

PdV = RT2lnV3V4

(5.43)

等温変化では、内部エネルギーは一定に保たれる。その為熱量としての変化量は、

Q3 = −W3 (5.44)

IV.断熱圧縮外部からの熱を遮断した状況で気体を圧縮させる。この際、温度が T2から T1に変わったとする。

A4(P4, V4, T2) → A1(P1, V1, T1) (5.45)

W4 = Cv(T1 − T2) (5.46)

Q4 = 0 (5.47)

PV γ =一定 (5.48)

これらの過程は、外部に対して仕事をしている。膨張時（ I、II）系は外部に正の仕事を行い、収縮時（ III、IV）外部は系に正の仕事をする一つのサイクルで外部にする仕事

−(W1 +W2 +W3 +W4) = RT1lnV2V1

−RT2lnV3V4

(5.49)

= R(T1 − T2)lnV2V1

(5.50)

熱機関の熱効率は、順操作で吸収する熱量と外にする仕事との比、

η =A

H(5.51)

である。吸収する熱量のどのくらいの割合を仕事として利用したかを示す比率である。カルノーサイクルの効率は

η =T1 − T2T1

(5.52)

と高温部の温度と低温部の温度で決まる。問３．略（ノートまたは、教科書参照）

70

第6章 序 II：電磁気学とは

本書の後半では、電荷と電荷間の力、電流と電流間の力や、電場や磁場について学ぶ。電荷の周りの空間には電場が出来ていて、真空とは異なっている。また、電流の周りの空間には磁場が出来ていて、やはり真空とは異なっている。電場や磁場は、ある種の運動方程式に従う。電場と磁場にかかわる分野を総称して、電磁気学と呼ばれる。電磁気学は、物理学の柱の一つであり、様々な応用と関係して大変重要である。現代生活において、電磁気学を応用した多くの機器や道具が、必需品となっている。これらなしには、現代の生活は成り立たない。驚くことに、これらの多くは比較的近年に発展したものである。特に、最近は、パソコン、携帯電話、インターネット等の発展は著しい。電磁気現象の一つに、電磁波である。電磁波は電場と磁場が振動して生ずる波であり、１９世紀末にその存在が確認された。電磁波は、真空中でも空気中でも光速度で伝播する。この点、音波や、水の波のように媒質があって初めて伝搬する通常の波とは異なる。真空中を伝搬することより、電磁波は遠隔地間の情報やエネルギーの伝達に威力を発揮する。例えば、太陽からのエネルギーは、電磁波の一種である光により地球に運ばれている。テレビ、ラジオ、携帯電話等では、電磁波で情報が伝達される。電磁波には、様々な波長のものがあり、各波長ごとに異なる名で呼ばれてい、下の図のような多様な応用に使われている。

これら多くの応用は、電磁気学の法則や原理に従ってなされる。電磁気学は、電気や電流・磁気に伴う力や、電気や電流・磁気に伴う様々な現象を扱う学問である。力や電場や磁場は大きさと方向とをもつベクトルである。そのため、電磁気学は、ベクトルやベクトル場、並

71

びにベクトル場の微分や積分を使うことにより、系統的に分かりやすく取り扱うことができる。しかし、通常の大学１年生は、これらの数学をまだ身につけていない。だから、電磁気学をベクトルの演算（ベクトル解析）を駆使して学ぶのは、時期早尚である。この数学を学ぶのは、通常、数年を経た大学２、３年生である。そのため、１年生のための電磁気学はベクトル解析を使わない。ところが、ベクトル解析を使わずに、多様で高度な物理的意味を理解するのは、容易ではない。しかし、このような努力は、逆に大事である。もともと、ファラデーは、あまり数学を使うことなく、電磁気学の概念と物理を直感的に理解し、その後マックスウェルが、数学を駆使して電磁気学を完成したと言える。ベクトル解析の使用を最低限に減らして、電磁気学を理解することは可能であろう。本書は、このような大学１年生の状況を踏まえて、電磁気学をまとめた。電磁気学の一つの特徴である多くの概念や法則が絡み合っている全体像を包括的に理解するのに役立つことを願っている。電磁気学での一つの問題点は、きれいにまとまっている電場や磁場の法則と、これらと相補的である物質の電磁気的な性質とをどのように関連ずけて整理するか、である。この点で、場と物質のバランスのおきかたは、著者によって異なるであろう。物質の話は、複雑で難しい点を含む。そのため、大学１年生のレベルで物質に関する詳細な事柄まで扱うことは、電磁気学の全体像の把握を妨げかねない。そのため本書は、物質の話をできるだけ少なくするよう努力し、電磁気学の全体的な流れを強調した。最初に述べた、電磁波の話は、最後になる。

72

第7章 電荷と電場

電荷をもつ二つの物体の間には力が働く。また、電荷をもたないで電流が流れている二つの物体の間にも力が働く。これらの電磁気的な力や、電磁気的な力を媒介する電場や磁場に関連する物理学について本書の後半で、学ぶ。自然界には、いくつかの力が存在することが知られている。その中で、万有引力や電磁気力は、基本的な力である。基本的な力は、他の力とは独立であり、また他の力からの２次的な効果として表わすことが出来ない。しかも他の一見異なる力を導くものである。だから基本的な力は、重要である。すべての物体間に働く、万有引力は惑星の運動や月の運動等の大きな物体の間の運動を決定している。万有引力については、力学の項で学習した。２番目の基本的な力が、電磁気的な力である。電磁気的な力は、電荷や電流をもつマクロな物体の間に働くと共に、多くの小さな物体（ミクロ）の運動や様々な物質の性質をきめる働きをしている。本章では、おもにマクロな物体の間の電気力や磁気力について学ぶが、ミクロな物体の間でも、ほぼ同じ力が、働く。この力は、ミクロな物体間では、万有引力よりはるかに強い力であり、電子と原子核の間に働くのは、この力である。さらに、物質内にあるおおくの原子、分子間の力の源となっているのもこの力である。ミクロな物体の間では、万有引力は無視できるほど弱い。原子は、中心にあり正電荷を帯びた原子核と外側にあり負電荷を帯びた電子からなっている。これらの間の電気的な引力のために原子核と電子が結合した安定な状態が原子である。このようにして、原子や原子から成る様々な物質を構成させているのが、電磁気的な力である。万有引力と電磁気力は、ミクロな世界からマクロな世界まで同じ性質で共通に働くが、ミクロな世界では電磁気力が主要な働きをし、マクロな世界では万有引力が主要な働きをしている。実は、このようなことが分かったのは、２０世紀になってからである。２０世紀以前より、マクロな物体の間に働く電気的な力や磁気的な力についてはわかっていたが、電磁気学として統一されたのは、１９世紀後半になってからである。マクロな世界における電磁気学をこれから学び、ミクロな世界における電磁気学は、量子論として扱うので、本書の範囲を超える。

73

7.1 電荷間の力二つの電荷 q1, q2を持つ物体間には、それらの距離の二乗に反比例して電荷の積に比例する大きさの力が働く。簡単な状況で先ず考察するため、この物体は大きさを持たない点電荷であるとする。この力の方向は、両物体を結ぶ方向であり、同符号の二つの電荷間では両物体を引き離す斥力が働き、異符号の二つの電荷では両物体を引きよせる引力が働く。電荷間の力のベクトルは、

F =q1q24πϵ0

1

r2er (7.1)

である。ここで、比例係数にある ϵ0は、真空中の誘電率であり、大きさは力や電荷の単位によって決まる。rは両電荷の間の距離、er は両電荷を結ぶ方向の単位ベクトルである。これを、クーロンの法則といい、この力をクーロン力という。クーロン力は以下にあげるような特徴的な性質をもつ。

1. 力が物体の詳細な性質に無関係で、電荷だけで決定されている。

2. 長距離でも短距離でも働く力であり、力の到達距離は無限である。

3. 上記の事柄を反映して、クーロン力はミクロな物体間でもマクロな物体間にも共通に働く。

4. 力の大きさのオーダーは電子と陽子が 1cm離れたとき 2.3× 10−24N である。

二つの荷電物体の運動から、荷電物体間に力 (7.1)が働いていることが確認される。電荷間の力が、物質によらずに上にあげた普遍的な性質を持っていることは、 非常に重要なことである。この力が存在することは、物質とは無関係な電荷の性質や電荷間の力の性質として理解される。

7.2 電場と電気力線電荷間の力は普遍的な性質もつ。これは、力が電場によって働くと考える近接作用論で理解できる。近接作用論では、一つの電荷が周りの空間に電場を作り、この電場が他の電荷に力を及ぼす。電荷間に働く力は、物質とは異なる電場を媒介にし、電場により生成される。原点に電荷Qがある時の座標 rにおける電場は、

E =Q

4πϵ0

1

r2er (7.2)

74

である。また、電場中でこの座標 rにある電荷 qが受ける力は、電荷に比例すると共に電場(7.2)に比例した、

F = qE = qQ

4πϵ0

1

r2er (7.3)

である。上の式で q = 1とすると力 F が電場 Eと一致する。つまり、電場とは、単位電荷q = 1に働く力のことである。電場ベクトルは空間座標 rの関数であり、rを決めるとベクトル Eが決まり、また rを変えると Eも変わる。ただし、力と電場の関係式は、いつも同じであり、

F = qE (7.4)

と表わせる。複雑な電場の場合でも、この形は同じである。だからある場所における電場が分かれば、この場所に置かれた電荷が受ける力は上の式で決定される。このように、空間座標の関数である電場ベクトルが、大事な働きをしている。電場ベクトルのように、空間の各点で定義されたベクトルの全体を、ベクトル場という。電場ベクトルの全体を鳥瞰的に表わすものが、電気力線である。電気力線は、空間の各点における電場ベクトルを連続的につないだ曲線である。だから、空間の各点での電場の方向は電気力線の接戦方向である。また電気力線に垂直な面を横切る電気力線の総数は、電場の強さに比例する。電気力線に垂直ではない面を横切る電気力線の数は、面における法線方向の電気力線の数であり、電場ベクトルの面積分∫

dS · E (7.5)

で与えられる。ここで、面要素は、面における法線方向の単位ベクトル nと面の微小な大きさ dSの積

dS = ndS (7.6)

である。例１　点電荷からの電気力線

点電荷が作る電場はEq.(7.2)で与えられる。これが、距離の２乗に反比例する大きさであ

75

るため、点電荷を中心とする半径Rの球面を横切る電気力線の総数は、

Flux =∫dS · E (7.7)

=Q

4πϵ0

∫4πR2dΩ

1

R2

=Q

ϵ0

となり、半径によらない電荷だけで決まる大きさである。電荷から外に出てゆく、電気力線の総数は、電荷のない領域で変化しない。この性質は、電荷間の力が距離の２乗に反比例することに起因している。またこの性質より、電気力線は、連続的に伸びたり曲がったりするが、分岐はしないことを意味する。つまり、電気力線の方向は電場の方向を表わし、電気力線の疎密の度合いは、電場の強さをあらわしている。電気力線が密に詰まっている領域は、電場が強く、逆に疎に詰まっている領域は電場は弱い。

例２二つの同じ符号の点電荷がある系で、電気力線はそれぞれの作る電場を重ねて、図のようになる。

Fig. 7.1: クーロン力.

例３二つの異なる符号の点電荷では、電気力線は図のようになる。以上の例からわかるように、電気力線は電荷がないところでは分岐せず連続につながっている。また、電気力線は一様であるわけではなく、密に分布する空間領域と力線が疎に分布する空間領域がある。これらの相違は、後で述べる電場のエネルギーや、電荷間の力に関連する。

76

Fig. 7.2: クーロン力.

面積分積分は、微分の逆演算である。一変数では、

F (x) =∫ x

x0

dx′f(x′) (7.8)

とおくと、F (x)はｘ－軸と関数との間の部分の面積であり、逆に

d

dxF (x) = f(x) (7.9)

である。変数が x, yの２つあるとき、２変数の積分

Fig. 7.3: 積分.

G =∫ x2

x1

dx∫ y2

y1dyf(x, y) (7.10)

は、関数 f(x, y)を長方形の領域 x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2 でたしあわせたものである。この領域は、図の長方形の内部である。このように多変数の積分では、積分領域は重要である。

Fig. 7.4: 積分.

この２次元積分は、３次元空間での一つの面積分であるとみなせる。積分領域は、３次元空間における立方体 x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2, z1 ≤ z ≤ z2の底面である。すると、この底面上での関数 f3(x, y, z) の面積分は ∫

面f3(x, y, z)dS (7.11)

dS = dxdy

77

である。ただし、面は

z = 0, x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2 (7.12)

で定義される。また、この被積分関数は、ベクトル関数 f = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z))

と面要素と面に垂直な方向ベクトルの積 dS = dSnとの内積

f · ndS = f3dxdy (7.13)

に一致する。この場合の積分は、３次元空間における立方体の底面にそう面積分である。次に、面積分を立方体の面をすべて覆うように拡張することは、簡単である。面要素ベクトルdSは、各面における法線ベクトルと面要素の積になり、yz面での面要素は

dSx = dydz (7.14)

zx面での面要素は

dSy = dzdx (7.15)

xy面での面要素は

dSz = dxdy (7.16)

である。立方体の表面での面積分は、上面、底面、左面、右面、手前面、奥面の６個の面にそう積分の和 ∫ ∫

表面dS · f =

∑i

∫ ∫面i

dS · f (7.17)

であり、∫ ∫表面

dS · f =∫ ∫

dxdy(f(x, y, z2)− f(x, y, z1)) +∫ ∫

dydz(f(x2, y, z)− f(x1, y, z))

+∫ ∫

dzdx(f(x, y2, z)− f(x, y1, z)) (7.18)

となる。同様に、任意な面のうえでの面積分を定義できる。ベクトル場の発散の体積積分が、ベクトル場の面積分に一致するガウスの定理（付録参照、）が成立する。

Fig. 7.5: 積分.

78

球面上の積分半径Ｒの球面 r = R上での面要素は、法線方向を向き

dS = dSn (7.19)

n = nr =r

r

である。動径方向を向いた電場の球面上の面積分は、∫ ∫r=R

E · dS =∫ ∫

r=RE · r/RR2dΩ (7.20)

= E(R)4πR2 (7.21)

となる。

7.2.1 電場の重ね合わせ

複数の電荷 q1, q2, · · · qnが位置 x1, x2, · · · , xnにあるとき、それぞれの電荷が作る電場を重ね合わせて、

E =∑l

El (7.22)

El =ql

4πϵ0

1

|r − rl|2n(r − rl) (7.23)

n(r − rl) =r − rl|r − rl|

(7.24)

となる。複数の力は、各力ベクトルの和で合成される。電場は、電荷に働く力から決まるので、電場の合成則は、力の合成則に一致する。この様に、それぞれの電荷が作る電場ベクトルを合成した電場ベクトルが、複数の電荷があるときの電場ベクトルになることを、電場は重ね合せの原理に従うという。重ね合わせの原理は、場や力だけでなく、波動現象で成立している。例１二つの異符号の電荷が、距離 2d離れて置かれている。これらの位置を

+q1; x = x1 = (0, 0, d) (7.25)

−q1; x = x2 = (0, 0,−d) (7.26)

とすると、それぞれの電荷が作る場の和は

E =ql

4πϵ0(r − x1|r − xl|3

− r − x2|r − x2|3

(7.27)

79

となる。いま、r ≫ dとし、また rとｚ軸の角度を θとする。このとき、

|r − xl|2 = r2 + d2 − 2rd cos θ (7.28)

= r2(1− 2d

rcos θ) (7.29)

|r − x2|2 = r2 + d2 + 2rd cos θ (7.30)

= r2(1 +2d

rcos θ) (7.31)

となるので、電場は

E =ql

4πϵ0(

r − x1r3(1 + 2d

rcos θ)3/2

− r − x2r3(1 + 2d

rcos θ)3/2

(7.32)

=ql

4πϵ0(x2 − x1r3

− r6d

r4cos θ)

となり、r3に反比例する大きさをもつ。

Fig. 7.6: 積分.

7.2.2 電荷分布による電場

沢山の電荷がある時、各電荷による電場の和

E =∑l

ql4πϵ0

1

r2n(r − rl) (7.33)

が、実現している電場である。今までは、電荷は点電荷であるとみなしていた。これらが点電荷ではなく、電荷が連続的に分布する場合、電場は上の級数の代りに積分で表わされる。∑

l

ql →∫dyρ(y) (7.34)

E →∫dyρ(y)

4πϵ0

1

|r − y|2r − y

|r − y|(7.35)

80

連続的に分布する電荷 ρ(y)から、任意な空間領域D内における電荷Q(D)が、積分∫Ddyρ(y) = Q(D) (7.36)

で与えられる。球内で一様に分布する電荷電荷分布が球対称な

ρ = ρ0, r ≤ R (7.37)

ρ = 0, R ≤ r (7.38)

であるとき、電場は動径方向を向く。その大きさは、

Er =4π

3r3

1

4πr2ρ0ϵ0

=1

3ϵ0rρ0, r ≤ R (7.39)

Er =4π

3R3 1

4πr2ρ0ϵ0

=Q

4πϵ0r2, 0, R ≤ r (7.40)

である。ただし、全電荷Qは、電荷密度 ρ0と球の体積で

Q =4π

3R3ρ0 (7.41)

と表せる。この電場は、動径座標 rの、図のような関数である。

7.2.3 ガウスの定理

点電荷が作る電場は、クーロンの法則で決定され、点電荷を中心とする球面をきる電気力線の総数は、(7.7)で計算され、曲面の内部にある総電荷に比例する。このように、電気力線は、電荷を源とし、電荷量に比例した本数をもち、また電荷のない領域では連続である。これより、閉曲面をきる電気力線の総数は、曲面の内部にある総電荷に比例する。これを、ガウスの定理という。

内部に電荷をもつ小さな立方体でも、電気力線の総数は同じである。これを見るには、小さな立方体に内接する球面と、外接する球面を考えればよい。両球面を横切る電気力線は同

81

じ値である。だから、小さな極限での立方体についても、同じ値になることがわかる。つまり、小さな立方体の面をきる電気力線の総数は、内部の電荷に比例する。

Fig. 7.7: 積分.

電荷がない空間領域では、電気力線が連続的になる。電気力線は、途中で切れることはない。空間に任意に作る閉じた曲面をきる電気力線の総数はいつも零である。すなわち、閉球面に入る総数と閉球面から出る総数は等しい。

Fig. 7.8: 管状の電気力線.

小さな立方体を積み上げて、任意の形を再現することが可能である。だから、任意な形に対して、ガウスの定理が成立する。

7.3 電位と電場電場 Eは、テストのための電荷 qに働く力 F が F = qEとなることより、決まった。また、電場ベクトルをつなげて、電気力線が定義された。だから、電気力線がある場所におかれた電荷には、電気力線の方向に力が働く。ところで、保存力は位置エネルギーを表わすポテンシャルによって記述され、ポテンシャルは、力がする仕事に依って定義される。保存力では、力 F はポテンシャルUの勾配として、

F = −∇U(r) (7.42)

と書かれた。ポテンシャルを使い、保存力のもとでのエネルギー保存則が導かれた。原点にある点電荷による電場は、一つの関数の勾配で

E = −∇U,U =Q

4πϵ0

1

r(7.43)

と保存力と同じ形式で書かれる。さらに、一般の電荷分布 ρ(x)による電場も、

E = −∇U,U =∫dyρ(y)

4πϵ0

1

|r − y|(7.44)

82

と保存力と同じ形式で書かれる。つまり、電場は保存力と同じ形式で書かれる。保存力のポテンシャルUは、力がする仕事から定義される。同様に、電場がするしごとによってポテンシャル（電位）U が定義される。ある場所における電気力線は、その場所における力の方向を表わすため、電気力線に沿って電荷を移動させるときの仕事量は、終状態における電位から終状態における電位を差し引いたものである。また、電気力線に直交する方向に電荷を動かすのに力はいらない。だからこれに要する仕事は零であり、この方向では、電位は等しい。等しい電位を持つ点の集まりは等電位面である。勿論、等電位面は、電気力線に直交する。例１ 点電荷による電位原点に点電荷Qがあるときの電位 V は、

V =Q

4πϵ0

1

r(7.45)

である。だから、V =一定となる等電位面は、

r = R (7.46)

となり半径Rの球面である。球面上では、電位は等しく、電場は球面の接平面に直交する法線方向を向いている、球面では、法線方向は動径方向に一致する。

例 2 複数の点電荷による電位位置 xi, i = 1, N に点電荷Qi, i = 1, N があるときの電位 V は、

V (r) =∑i

Qi

4πϵ0

1

|r − ri|(7.47)

である。V =一定となる等電位面は、

V (r) = C (7.48)

となる rが作る面である。この面のうえでは、電位は等しく、電場は面の接平面に直交する法線方向をむいている。

83

特に、±Qの電荷対が、位置 r = ±(0, 0, a)にあるとき、電位は図のようになる。

例 3 コンデンサー（キャパシター）平面導体を平行に間隔 dで２枚並べたものをコンデンサーという。コンデンサーの断面積

Fig. 7.9: コンデンサー.

を S、間隔を d、とすると、ガウスの定理から、

ES = ϵ0Q (7.49)

である。また、電場にその方向の距離をかけたものが電圧であるので、

V = Ed (7.50)

となり、これらをまとめて

V S

d= ϵ0Q (7.51)

がえられ、コンデンサーの容量は C = ϵ0Sdである。逆に、コンデンサーの電圧が V である

とき、コンデンサーには、Q = CV となる電荷Qが蓄えられている。

7.4 電場のエネルギー電場 E(x)がある空間領域は、電場がない領域とは、異なる性質を持つ。電場の特徴の一つは、エネルギーをもっていることであり、場のエネルギーは、電気力線から把握できる。電荷間に働く力を、電気力線や電場のエネルギーから理解しよう。異符号の二つの電荷がある場合の電気力線は、電荷間の空間領域で図のようになる。電荷間の距離が大きい場合と、小さい場合で、電気力線は大きく異なる。電気力線がある空間領

84

域は、電荷間の距離が大きいほど広くなるが、電気力線は疎である。電気力線が密になるところでは、電場が強く、また電気力線が疎になるところでは、電場が弱い。一方、同符号の二つの電荷がある場合の電気力線は、電荷間の空間領域で図のようになる。

今度は電荷間の距離が大きい場合と、小さい場合での電気力線の違いは、前者とは、異なる。特に、電荷間の領域の電気力線は、電荷間の距離が小さいほど密になる。これらの図の様子から、電気力線はより短く収縮する傾向を持つと考えると、異符号電荷間の力が引力であり、同符号電荷間の力が斥力であることが直感的に理解出来る。この性質は、ばねの性質と同じである．ばねでは、弾性エネルギーは、変位の２乗に比例している。だから、この電気力線の傾向は、電場の強さが電場のエネルギーと関連することを示唆する。また、電場が保存力と同じ性質を持つことは、電場の物理系が、保存系であることを示唆する。以上の電荷間の力の性質を総合すると、電場の強さの二乗が電場のエネルギーに比例すると思われる。電場が、エネルギーを持つ考えは、場を通して電荷間の力が働くとする、近接作用の考えと合致する自然な考えであり、

場のエネルギー＝∫dxϵ

2E(x)

2(7.52)

とすると、多くのことが理解できる。

7.4.1 コンデンサーに蓄えられるエネルギー

コンデンサーの内部にできた電場が持つエネルギーを計算しよう。いま面積 S間隔 d容量C = ϵ0

Sdのコンデンサーを考える。コンデンサーの電圧が V であるとき、コンデンサーに

は、Q = CV となる電荷Qが蓄えられている。さらに電荷 δQを加えるのに必要なエネルギーは、

δE = V δQ =1

CQδQ (7.53)

85

である。これより、コンデンサーに電荷を蓄えるためのエネルギーの総和W は、総電荷が零である状態から電荷がQである状態までに必要とする仕事であり、

W =∫V dQ′ =

1

C

∫ Q

0dQ′Q′ =

1

2CQ2 (7.54)

である。一方コンデンサー内の空間の電場の強さEは、

E =V

d=

Q

dC(7.55)

であり、電場のエネルギーは、∫dxϵ02E2 =

ϵ02dSE2 =

ϵ02dS

Q2

d2C2＝

1

2CQ2 (7.56)

となる。コンデンサーに電荷を蓄えるためになされた仕事 (7.54)は電場が持つエネルギー(7.56)に一致している。だから、電場が、エネルギーを蓄えているといえる。

7.4.2 電位と電場のエネルギー

コンデンサーで行ったエネルギーの考察を、ベクトル解析の方法を使い一般化しよう。ベクトル解析の手法に熟知していない読者は、この節を省略してよい。電位 V (x)の持つ空間で電荷密度 δρ(x)を蓄えるための仕事（　エネルギー）δW は、

δW =∫dxδρ(x)V (x) (7.57)

である。ここで、電荷密度 δρ(x)を、電場で ϵ0∇Eとあらわして

δW =∫dxϵ0∇ · δE(x)V (x) (7.58)

となる。次に、部分積分により空間微分を移行して、

δW = −∫dxϵ0δE · ∇V (x) (7.59)

と書き換え、最後に電場を電位で E = −∇V ([x])とあらわして、

δW =∫dxϵ0δE · E (7.60)

E = −∇V (x) (7.61)

と微小な仕事（エネルギー）δW が、電場 Eとその微小な変化量 δEの積の積分であらわされる。最後に、電場を 0から Eまで積分して、有限の電場にするまでの全仕事（エネルギー）が

W =1

2ϵ0

∫dxE2 (7.62)

(7.63)

86

となる。真空に有限な電場を形成するために費やされる仕事は電場が持っているエネルギーである。だから、電場が、エネルギーを蓄えているといえる。電場の２乗の空間積分がエネルギーになるので、電場の二乗はエネルギー密度である。力学で、変位の二乗に比例するエネルギーを持つのは、単振動やばねの運動に代表される弾性体である。弾性体は、変位に比例する引力をもち、変位を小さくさせようとする。電場が同じエネルギーを持つことは、電場や電気力線が収縮しようとする性質を持つことを意味する。だから、二つの同符号の電荷が作る電気力線の全体の様子から、これらに斥力が働き、また異符号の電荷が作る電気力線の全体の様子から、引力が働くことが分かる。後で述べる、磁力線でも同じことが起きている。

7.5 絶縁体と導体ここで、電気的な性質の違いに着目して物質を簡単にまとめておこう。物質は、力とは異なり極めて多様である。いかなる物質が自然界にあり、またそれらがどのような性質を持つのか、等の物質に関する諸問題は、電気的な力や、次に述べる磁気的な力と密接に関連する事柄である。物質の諸性質は、本来、電磁気的な力から導かれるが、ここではこの点には言及しない。また、電磁気現象の観測は、物質を通して初めて可能となる。そのため、物質についての理解を持つことは、電磁気学の理解を深めるために、必須である。物質は、電気や電場に対する反応の仕方から、いくつかの異なる種類に分類される。電場に対する応答に基づいて、導体と絶縁体に分かれる。導体は、内部に自由に動ける電荷をもつ物質であり、絶縁体は、内部に自由に動ける電荷をもたない。孤立した導体を先ず考えよう。この導体に外部から電圧をかけると、内部に電場が生じる。この内部電場のために、導体内部にある自由に動ける電荷は移動する。この際、電荷の移動により電流が流れる。電流が流れた結果、導体の内部の電荷分布に不均衡が生じ、内部の電場が変化する。最終的に、内部の電場が消失すると、電流も零になる。次に孤立していない

Fig. 7.10: 導体内の電場.

で、導体に外部から電流を供給できるようにしておく。この場合孤立した導体とは異なり、外部から電流が供給されるので、内部で電流が流れても内部の電荷分布に変化はおきない。そのため、内部の電場がそのまま残る。だから、外部から供給される電流がある限り、電流は流れ続ける。この電流を、定常電流という。この場合、抵抗のため、外部から流す電流に依存した大きさの電圧降下が、導体の両端に生ずる。定常的に電流が流れる場合、導体内部

87

Fig. 7.11: 導体内の電流.

を流れる電流 Iと、導体の両端にかかる電圧 V は、通常比例する。また、逆に自由に動くことが出来る電荷を持たない物体である絶縁体では、外部電場をかけても電荷の移動は起きない。そのため、内部を定常的な電流が流れることもない。しかし、外部電場により絶縁体の内部にも電場が生じる。そのため、絶縁体では電流は流れないが、内部の原子や分子の電荷分布に偏りが生じることが多い。この電荷分布の偏りのため、絶縁体の内部の電場は外部とは異なる電場になることが多い。

7.6 絶縁体と電場すべての物質は、電子と原子核からなる原子から構成されている。原子の構成要素である電子は軽く負の電荷をおび、原子核は重く正電荷をおびている。このため、これらの間には電気的なクーロンの引力が働く。電気的な引力のために、電子が、原子核に束縛されたのが原子である。原子の大きさは、おおよそ 10−10m程度であり、きわめて小さい。すべての物質は、このように小さい原子が沢山集まって、できている。絶縁体では、この原子に束縛されていた電子は、やはり各原子か各分子に束縛されたままである。このような、電子は束縛されているので、電場の下に置かれても動かないし、外部から他の電子が入ろうとしても、入れない。そのため、絶縁体である。

絶縁体内部で各原子は、電気的に中性になっているが、電荷分布は一様ではなく偏りがある。だから、電気２重極となっている。また、この電気的なかたよりは、電場の下では、増幅されることも多い。その結果、このような絶縁体に外部電場が加えられると、電場に電気２重極からの寄与が加わる。電場のエネルギーは、これら両方のエネルギーの和となる。２重

88

極モーメントの空間密度 P (x)の発散は電場に、負の電荷密度と同じ効果を引き起こすので、

ϵ0∇E = ρ−∇P (7.64)

となる。ここで、電場と２重極モーメントの和から定義される電束密度 D(x)を導入して、

∇D(x) = ρ(x) (7.65)

D = ϵ0E + P (7.66)

となる。通常の物質では、P は Eに比例するので、

P = κϵ0E (7.67)

となり、電束密度 Dは、物質中の誘電率 ϵを比例係数として、電場 E(x)に比例した

D = ϵE, ϵ = (1 + κ)ϵ0 (7.68)

と書かれる。電束密度の発散は、電荷に比例する。誘電率 ϵ中での電場のエネルギーは、

W =1

2

∫dxD(x) · E(x), D = ϵE (7.69)

である。この式で、ϵ = ϵ0とおけば真空中のエネルギーとなる。誘電体とコンデンサーのエネルギー

7.7 導体と電流金属の内部では、電荷が自由に移動できる。孤立した原子の内部にある各電子は、原子に束縛されている。それにもかかわらず、たくさんの原子が集まってできた金属では、一部の電子は各原子核の束縛からは自由となり、金属内部の全体に広がる。このような電子が沢山あれば、導体は電子からなるガスのようにふるまう。自由に動ける電子数が多いほど、大きな電流が流れる。

7.7.1 電流のする仕事

金属内で電場があるところでは、電子は電場からの力で簡単に移動し、また外部から電流を流すと、内部の電子が一緒に運動する。このようにして、金属は電気が流れる導体である。導体内の全電流 Iは、各断面における電流密度 j(x)の面に垂直方向の成分から、

I =∫dS · j(x) (7.70)

89

と積分したものである。

定常的に流れる導体内の電流は、時間変化しないで一定の値をもつ。導体を流れる定常的な電流を Iとし、導体の端にかかる電圧を V とする。位置 r1から位置 r2までの電圧は、電場の線積分

V =∫ r2

r1dl · E (7.71)

である。通常の金属では、電圧 V は、電流 Iに比例して、

V = RI (7.72)

なる関係が成り立つ。ここで、Rは電気抵抗である。この比例関係が成り立つことを、オームの法則という。電気抵抗は、物質によって異なり、また同じ物体でも温度で変わる。低温における金属では、電気抵抗が零になる超伝導が生じる。また、r1から r2までの線積分 (7.71) の電場は、通常の金属ではその場所における電流密度に比例している。この比例定数は電気伝導度 σで、ベクトルの関係式

j(x) = σE(x) (7.73)

が成立している。ところで、電荷 qを電位差が V である２点間を移動させた時に、費やされる仕事W は、

W = qV (7.74)

である。電流は、単位時間あたりに面を横切る電気量であるので、dtの時間の間に移動する電荷は、

δQ = dtI (7.75)

であり、仕事は

δW = V δQ = V Idt (7.76)

90

である。オームの法則が成り立つ場合、この仕事は、電流と抵抗で

δW = RI2dt (7.77)

となる。また、電圧と抵抗を使う場合は、

δW =V 2

Rdt (7.78)

である。二つの式 (7.77)、(7.78)は等価な式であるが、片方は抵抗に比例して、他方は抵抗に逆比例する。この違いは、電流を一定にした時の仕事の抵抗依存性が、式 (7.77)であり　電圧を一定にした時の仕事の抵抗依存性 (7.78)とは、逆になることを意味する。どの変数を決めて測定を行うのか、で答えは異なる。

7.7.2 電荷の保存と保存電流

電荷は、必ず保存している。つまり、電荷は移動するが消失したり生成したりしない。この関係は、電荷密度 ρ(x)と電流密度 j(x)の間の連続の式

∂

∂tρ(x) +∇j(x) = 0 (7.79)

で表される。電荷密度が時間的に変化しない時、

∂

∂tρ(x) = 0 (7.80)

となり、電流は連続の式

∇j(x) = 0 (7.81)

を満たしている。これより、閉局面に対してガウスの定理を適用して、∫dS · j = 0 (7.82)

となることが分かる。電流は、必ず保存している。

Fig. 7.12: 電荷保存.

91

7.8 電荷の最小単位物質の電荷は、連続的な値をとるとむかし思われていた。しかし、２０世紀初頭ミリカンによって電荷は、とびとびの不連続な値をとる事が、実験的に確認された。物質がもつ電荷の最小単位は、電子の電荷の大きさ eに等しく、陽子の電荷の大きさも同じである。整数個N の電子は電荷−Neをもち、同じ数の陽子といくつかの中性子の電荷はNeである。だから、原子の電荷は、原子核の電荷と電子の電荷の総和であり、零となる。また、電子の数がこれより多いならば負電荷を帯びたイオンになり、逆に少ないならば正電荷を帯びたイオンになる。だから、いかなる物体も同様な電荷をもち、零電荷、正電荷neまたは、負電荷−meをもち、中間の電荷をもつ物質は見つかっていない。電荷がとびとびであり、連続的であるわけではないことは、物質が安定に保たれるために極めて重要である。もしも、連続的な正電荷をもつ原子核と、連続的な負電荷をもつ電子が、構成要素であるならば、原子核と電子からの束縛状態も、連続的に異なる状態が存在出来ることになる。すると、どんな状態に対しても、この状態に限りなく近い別の状態が必ず存在してしまう。すると、状態は、不安定になる。実際には、電荷の不連続性のために状態の安定性が保証され、我々の安定な世界が実現している。自然界の構成要素である素粒子には、現在、いくつか知られている。これら素粒子の電荷もとびとびの値をとる点で、上と同様であるが、少しおかしなことも、起きている。物質と分類される素粒子は、電子に近い性質をもつ仲間である、電子、ミュー粒子、タウ粒子の３種の荷電レプトン、これらに付随する３種のニュートリノ、と全体で６個のクオーク、それから力を媒介にする働きをもつ素粒子として、光、弱ボソン、グルーオンがあり、それからヒッグス粒子がある。これらを電荷の大きさで分類すると、

素粒子の電荷 　電荷 素粒子0 ニュートリノ、光、グルーオン、ヒッグス±1

3, 23e クオーク

±e 　電子、ミュー、タウ、荷電弱ボソン

クオークは、13eと 2

3eの電荷をもつ点で、他の素粒子と異なる。しかしながら、クオーク

が単独で存在することはなく、いつも整数電荷をもつ束縛状態を形成している。このため、単独で存在出来るのは、やはり整数電荷をもつ粒子である。

92

7.8.1 ミリカンの実験

ミリカンは、空気中での油滴の落下速度を、電場をかけた時とかけない時で測定することより、電場による力の大きさしらべ、その結果から油滴が持つ電荷を測定した。電荷が４ケタの精度で単位電荷の整数倍のとびとびの値を取ることを見つけた（１９１１）。油滴には重力、浮力、空気の抵抗、電場からの力が働く。そのため、運動方程式は、

md2

dt2x(t) = mg −浮力− cv − eE (7.83)

x(t) :時刻ｔにおける油滴の高さ、ｍ：質量、ｇ：重力加速度、

ｃ：空気の抵抗係数、e：電荷、E：電場 (7.84)

である。ここで、抵抗係数 cを半径 aと空気内部摩擦係数 ηで表わすストークスの定理から、

c = 6πηa, η :空気の内部摩擦係数、a：油滴の半径 (7.85)

となり、また、油滴の質量や浮力を油滴の密度 σと空気の密度 ρで表わし

m =4π

3a3(σ),浮力 =

4π

3a3(ρ)g (7.86)

となる。ところで、速度に比例する抵抗を受けた運動は、力が釣り合った時一定の速度のまま保たれる。この空気中における終速度は

mg −浮力− cv終 − eE = 0 (7.87)

から得られ、

v =mg −浮力− eE

c(7.88)

となる。一定の速度は、あるきまった間隔を通過する経過時間から測定出来る。だから、終速度を高精度で決めることは、比較的やさしい。ミリカンは、ここに目をつけたわけである。

93

E＝０での終速度の値 v終から、半径 aが

a = 3(ηv終

2(σ − ρ)g)1/2 (7.89)

と表わせる。一方、有限なEでの終速度 v終、EとE＝０での終速度 v終、0組み合わせることにより、電荷が

e =6πηa

E(v終 − v終、E) (7.90)

= 9√2π

v1/2η3/2

E(σ − ρ)1/2g1/2(v終 − v終、Ｅ) (7.91)

と表わせる。だから、終速度をいくつかの電場で測定すれば、電荷が分かる。

実は、油滴が小さい時は、ストークスの定理 (7.85)は厳密に成立するわけではない。抵抗係数には、半径や平均自由行程に関係した補正項を加えて修正した式

F =6πηav

1 + Aλa

, λ =平均自由行程 (7.92)

λ =B

pa, p =圧力 (7.93)

を使う必要がある。平均自由行程が、圧力に反比例する事を使い、ミリカンは空気の圧力を様々に変えて実験を行い、補正項の大きさを正確に見積もった。補正項を考慮して、最終的にとびとびの電荷という正しい結果を得た。もしもこの修正をしないと、電荷は連続に分布するように見えてしまい、正しい結果は得られない。

94

7.9 問題1.原子核と電子間の力原子核は、正の電荷をもち電子は負の電荷を持つ。電子の電荷を−eとすると、

e = 1.6× 10−19 (7.94)

クーロンである。電子が、水素原子の原子核である陽子と１オングストローム 1 −−10 m離れているとき働く力の大きさはいくらか？また、１モルの陽子と１モルの電子が、１メートル離れているときの力はいくらか？2.摩擦電気物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためである。（２－１）1cm3の氷の質量を１グラムとして、水素原子と酸素原子はそれぞれ何個含まれているか？また、電子の総数はいくつか？（２－２）氷では水分子が、立方体格子上に規則的に並んでいると仮定する。この格子の間隔は、いくつか？また、1cm3の氷の表面には、水分子や電子はいくつあるか？（２－３）もしも、摩擦により 1cm3の氷の表面から、　 1/100の電子が移行したとする。この、氷が１ｃｍ (1m)離れている時、働く力を求めよ。3. 金属内の静電場金属の内部に+Qの電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、金属の内部では電位が一定になることを示せ。4. 金属表面における静電場と電気力線金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこをした表面近傍における電場や電位を議論せよ。5. 電流がする仕事大きさ Iの電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求めよ。次に、一定の抵抗Rの物体中を電流が流れている。電流 Iを一定にした場合と、電圧 V

を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。6. 電流と抵抗をもつ回路値が、R1とR2である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に計算せよ。次に、全電流を一定の値 Iにした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗R2が零であれば、どうなるか？7. 金属球殻の内部にある電荷と電場

95

半径R1と半径R2の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ rの３領域における電場を求めよ。

8. 電荷分布と電場や電位電荷分布 ρ(r)が rのいかなる関数であれば、中心方向を向いた電場Er(r)は一様なものとなるか？

9. 誘電体とコンデンサーコンデンサーの内部を誘電率 ϵの液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネルギーは、どのようになるか？

96

7.9.1 解答

1.原子核と電子間の力陽子の正電荷も電子の負電荷も同じ大きさであり、電荷の大きさ e、

e = 1.6× 10−19 (7.95)

クーロンである。電子が、陽子と１オングストローム 10−10mと 1メートル離れているとき働く力の大きさ

F =1

4πϵ0

1.6210−38

10−20　 = 9× 109 × 1.6210−18 = 2.3× 10−8N, (7.96)

F = 2.3× 10−8 × 10−20N = 2.3× 10−28N

である。2.摩擦電気物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためである。いま、1cm3の氷は、分子量から 1

18モルであり、分子数は 6× 1023 × 1

18である。分子の

間隔を aとすると、１グラム中の分子数から、

1

a3= 6× 1023 × 1

18(7.97)

a = ((100

3)1/3107)−1 = 3.1× 10−8cm

である。よって、1グラムの氷の表面積 6 cm2にある分子数、

Ns =6

3.12 × 10−16= 0.66× 1016, (7.98)

電子数

Ns = 86

3.12 × 10−16= 5.28× 1016, (7.99)

となることがわかる。この電子数の 1

100が移行するとすると、氷の表面には 6× 1016の余剰（または不足）電子

が、他の物質には同数の電子が不足（余剰）する。これらすべてが、平均１ｃｍ (1m)離れていると近似して、力は

F = 9× 109(1.6× 10−19 × 5.28× 1016 × 102)2 = 6.4× 109N(6.4× 103N) (7.100)

と極めて大きな値となる。(括弧内は距離１ｍの場合の値)

97

3. 金属内の静電場金属の内部に+Qの電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、金属の内部では電位が一定になることを示せ。4. 金属表面における静電場と電気力線金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこをした表面近傍における電場や電位を議論せよ。5. 電流がする仕事大きさ Iの電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求めよ。次に、一定の抵抗Rの物体中を電流が流れている。電流 Iを一定にした場合と、電圧 V

を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。6. 電流と抵抗をもつ回路値が、R1とR2である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に計算せよ。次に、全電流を一定の値 Iにした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗R2が零であれば、どうなるか？7. 金属球殻の内部にある電荷と電場半径R1と半径R2の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ rの３領域における電場を求めよ。

8. 電荷分布と電場や電位電荷分布 ρ(r)が rのいかなる関数であれば、中心方向を向いた電場Er(r)は一様なものとなるか？

98

9. 誘電体とコンデンサーコンデンサーの内部を誘電率 ϵの液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネルギーは、どのようになるか？

99

第8章 電流間の力と磁場

8.1 電流間の力 (アンペールの法則）物質は通常の状態で、同数の正符号の電荷をもつ物体と負符号の電荷をもつ物体から成り、全体で電気的に中性になっている。同じ物質の内部を電荷が定常的に運動すると電流が定常的に流れる。電荷の運動により電流が流れている時も、物質は電気的に中性のままである。そのため物質間の電気的なクーロン力は、電流が流れるか否かに無関係であり、変わらない。通常、簡単に動けるのは負電荷を帯びた電子であり、正符号の電荷を帯びたイオンは位置が固定して動かない。正電荷の総量と負電荷の総量は等しく、全体としての電荷は零である。そのため、定常的な電流が流れた物質間に、電気的なクーロン力は働かない。しかし、実験をすると、定常電流が流れた導体線の間には、力が働く事が分かる。

Fig. 8.1: 電流間の力.

図のような平行な電流間に、同じ方向に電流が流れる場合は引力が働き、反対の方向に電流が流れる場合には、斥力が働く。大きな電流では、力は大きくなる。このように、電流間の力は、電流の大きさに依存すると共に、方向に依存する。この電流間の力は、明らかに電荷間の力とは異なる力である。しかし、この力は、電荷間の力と同様に普遍的な性質を持つ。次に、直線ではない曲線状の電流の間に働く力を考察する。図のような二つの閉電流 J1, J2では、電流２に電流１からはたらく力 F2は、ベクトル積の線積分

F2 =µ0

4πJ1J2

∮1

∮2

dl2 × (dl1 × r12)

r312(8.1)

となることが、アンペールにより発見された。ここで、dl1は電流１の微小線要素ベクトル、dl2は電流２の微小線要素ベクトル、r12は線要素１から線要素２に引いた位置ベクトルであり、これらの要素間の力が、上のベクトルの３重積で与えられる。力は、ベクトルであるの

101

で、足し算の一種である積分にはベクトルの足し算が使われる。電流１と電流２の二つの閉じた電流間の力は、線要素間の力を合計した周回積分で与えられる。比例係数にある µ0は、真空の透磁率と呼ばれる。

小さな電流要素間の力の大きさは、電流要素間の距離の二乗に反比例する。この距離依存性は、電荷間の力と同じである。だから、電荷間の力を電場の性質から理解したのと同じに、電流間の力を新たな場で理解することができる。ところで、一つの電流を磁石に置き換えることより、電流と磁石や磁石と磁石の間にもほぼ同じ力が働くことが分かる。磁石と電流はまったく異なるように見えるが、小さな磁石は小さな閉じた電流とほぼ同じである。

8.1.1 ベクトル３重積

電流間の力は、位置と二つの電流の３ベクトルの積に比例する。力、位置、電流はそれぞれ大きさと方向を決めて一意的に一つが決まるベクトルであるので、二つの電流ベクトルと、その位置ベクトルで決まる力は、ベクトル 3重積となっている。ここで、ベクトル積について復習しよう。二つのベクトル aと bのベクトル積 a× b は、それらのベクトルに直交する方向をもつベクトルである。このベクトルは、だか aと bが作る面に垂直であり、aの方向から bの方向へ右ねじを回すときに、その右ねじが進む方向である。また大きさは、二つのベクトルの間の角度 θの sinである sin θとそれらの大きさ |a|と |b|の積で与えられる。だからベクトルの

102

積 A = a× Bで Bが他の二つのベクトルのベクトル積 B = b× cであるとき、Aは、aと直交するとともに Bと直交する。Bが bと cがなす平面に直交するので、Bと直交するベクトル Aは、同じ b と cがなす平面内にある。そのため、bと cとの線形結合で

A = xb+ yc (8.2)

と未知の数 xと yを使い表せる。x, yは、ベクトル aと直交し

a · A = xa · b+ ya · c = 0 (8.3)

と内積が零となる事から、一つの条件を満たす。この直交条件を満たすｘとｙを、

x = a · cξ, y = −a · bξ (8.4)

と他の一つのパラメーター ξで表わしておく。ξはまだ未定であるが、一つの簡単な例として、直交するデカルト座標の単位ベクトル

a = e1, c = e2, d = e1 (8.5)

の場合に容易に計算できて、

ξ = 1 (8.6)

となることが、分かる。よって、ベクトルの３重積は

a× (b× c) = (a · b)c− (a · c)b (8.7)

と変形できる。例

e1 × (e1 × e2) = e1 × e3 = −e2 (8.8)

e1 × (e2 × e1) = −e1 × e3 = e2

e2 × (e1 × e1) = 0

e1 × (e2 × e3) = 0

計算の順序を変えると、

(e1 × e1)× e2 = 0 (8.9)

(e1 × e2)× e1 = e3 × e1 = e2

(e2 × e1)× e1 = −e3 × e1 = −e2(e1 × e2)× e3 = 0

となり、異なるベクトルになる。

103

8.2 電流間の力と磁場 (磁束密度)

電流間の力は、電荷間の力とは、いくつか異なる性質をもつ。電流間の力と電荷間の力で最も異なる点は、力の方向である。電荷は、その位置と大きさで状態が決定されるのに対して、電流の状態を決定するには、その位置に加えて電流の方向と大きさがともに必要で十分な変数である。だから、電流間の力は、電流の位置とそのベクトルの両変数に依存している。しかも、これらのどのベクトルを逆にしても、力の符号が変わり方向が逆転する。これら３個のベクトルから一つの力のベクトルを構成するのは、いくつかの方法がある。二つのベクトルの内積に一つのベクトルをかけるか、三つのベクトルのベクトル積である。ところが、前者は、内積を作るベクトルの方向を逆にしても変わらない。だから、後者は、どの一つのベクトルを逆にしても、符号が変わる。

Fig. 8.2: 直線電流の磁場.

上の電流間の力は、また、電流を流す物体には無関係であり、普遍的である。また、電流間の力の大きさは、距離の二乗に反比例する。だから、電荷間の力が電場により普遍的に表せたのと同様に、電流間の力が、個々の物体とは独立な”磁場”を使いあらわせる。電流が、空間に磁場を作り、この磁場が他の電流に力を及ぼす。磁場は、また磁石にも力を及ぼす。そのため、電流が作るこの場を磁場と呼ぶ。電流間の力を磁場によって分解して２段階で考えると、普遍的な性質が明瞭になり分かりやすい。電流１が空間に作る磁場を B2、この磁場B2は空間の点ごとに異なるベクトルとなり、電流１の位置で決まったベクトルになる。電流１の位置での磁場ベクトルにより電流１が受ける力は、電流とその場所での磁場ベクトルのベクトル積から

F2 = J2

∮dl2 × B2 (8.10)

と表せる。ここで、比例定数 µ0は B2に含ませた。そのため、式 (8.10)は、µ0を含まない式である。つまり、電流 2とその位置における場 Bの積は、力である。ただし、磁場ベクトルB2は、電流 1で決定され、

B2 =µ0

4πJ1

∮ dl1 × r12r312

(8.11)

である。磁場 B中の電流に働く力は、電流の位置での磁場ベクトルを使いいつも同じ式 (8.10)

であらわせる。

104

例位置 x1にある電流要素 I1dl1と位置 x2にある電流要素 I2dl2の間に働く力、

F =µ0

4πI1I2

dl2 × (dl1 × r12)

r312(8.12)

は、二つの電流要素 dliが位置ベクトル r12と直交する時は、

F =µ0

4πI1I2(dl2 · dl1)

r12r312

(8.13)

となる。

Fig. 8.3: The geometry of the neutrino interference experiment.

8.3 磁場（ 磁束密度）磁場は、電場と同様に重ねあわせの原理を満たし、二つの電流が作る磁場ベクトルは、それぞれの磁場ベクトルの和である。無限に長い直線電流 Iの周りには、電流から距離 rの点で、周回方向に磁場があり、磁場の強さH = B

µ0は、

H =1

2πrI,H =

B

µ0

(8.14)

である。

このように、電流がある近傍の空間領域には磁場が作られていることがわかる。さらに、磁場の方向は、電流の方向によっている。磁場を Bとすると、磁場を閉じた経路に沿って線

105

積分した量は、閉じた経路の内部を通過する電流に比例し、関係式∮H · dl = J, H =

1

µ0

B (8.15)

が成り立つ。左辺の積分は、磁場の閉じた経路に沿う方向の成分の線積分であり、右辺の J

は閉経路を切る総電流である。

コイルは、電線を多重に巻きつけたものである。多重に巻きつけてあるため、単純な直線電流よりもコイルのほうが、電流の効果を大きく出来る。そのため、コイルに電流を流すと、電流による効果が倍増されるので、磁場は強くなる。コイルに電流を流して、その近くに置いた小さな磁針に力が働くことを確かめよう。図のような、単位長さ当たりの巻き数を nとするコイルに電流 Iを流して、磁針の置く場所をいろいろ変えてみよう。

コイルの内部には、ほぼ一様な磁場が生じ、その強さHは

H = nI (8.16)

である。磁場に対するいじょうの積分形の等式を変形して、得られる磁場の満たす微分形の等式が、以下のものである。

∇× H = j (8.17)

106

ここで、いくつかの電流が作る磁場を書いてみよう。例１直線電流

Fig. 8.4: 直線電流の磁場.

例 2

２本の直線電流

このように、電流があるとその周りに磁場が作られる。丁度、電流を渦の中心とするような磁場ベクトルができている。磁場は、閉じた経路に沿っていて、必ず連続である。

8.3.1 磁力線

空間の各点で磁場ベクトルが決まっているとする。ある点での磁場ベクトルを描き、次にそのべクトルの先の点での磁場ベクトルを描く。この操作を次々に繰り返して行うと、磁場ベクトルを連続的に繋げた線が引ける。この線が、磁力線である。電流間の力が距離の二乗に反比例するため、磁力線は連続であり分岐することはない。さらに、電流を回るように磁場ができるので、磁力線は、電流の周りを回る閉曲線に沿っている。つまり磁力線は、源（湧口）を持たないので、空間のどの領域でも連続になっている。電気力線の場合は、電荷が湧き出しの源となっていたが、磁力線では、このような湧き出しの源はない。この性質が、磁力線の特徴である。湧き出しがないので、ガウスの定理を適用すると、任意の閉局面を切る磁力線の総数 (内部から外部に向かう磁力線の総数）を示す積分∫

dS · B = 0 (8.18)

107

は必ずゼロになっている。電流が作る磁力線の形や密度は、いつも上の関係を満たす。一方で、磁力線の全体は、電流に依存して決まる。２本の平行電流の場合、それぞれの電流が作る磁場を重ね合わせて、空間の各点における磁場が決まる。二つの電流が、平行である場合と反平行である場合で、磁力線の形は大きく異なる。両者の違いは、二つの同符号電荷による電場と、異符号電荷による電場の関係に似ている。その結果、２電流間の力の向きが想像できる。実際、２電流が同じ向きであれば、両者に働くのは引力であり、逆に２電流が反平行であれば、両者に働くのは、斥力である。ここで、いくつかの電流が作る磁場や磁力線を書いてみよう。例１直線電流

Fig. 8.5: 直線電流の磁力線.

例 2

２本の直線電流

Fig. 8.6: ２本の直線電流の磁力線.

例 3 　コイル

例 4 　円形の閉じた電流

108

Fig. 8.7: コイルの磁力線.

8.3.2 磁場のエネルギー

磁力線は、電気力線と同じに、弾性体的なエネルギーをもつ。その大きさは、磁場の自乗に比例するエネルギー密度の体積積分、

E =∫dx

1

2µ0

B(x)2 (8.19)

である。この磁場のエネルギーを理解するのには、磁場 BをベクトルポテンシャルAであらわすと良い。ベクトル解析の手法に熟知していない読者は、これからの節を省略してよい。磁場をベクトルポテンシャルで

B = ∇× A (8.20)

と表わす。すると、電流密度が磁場から受ける力は、

Fi = (j × B)i (8.21)

= (j ×∇× A)i (8.22)

と表わせ、さらに定常電流の連続性

∇ · j = 0 (8.23)

を使うと、磁場のエネルギーが求められる。後で示すように、ベクトルポテンシャル Aの下で電流を δj増加させる仕事（エネルギー）として

δW = −∫dx(δj · A) (8.24)

となる。この仕事は、式 (8.17)と、式 (8.20)により、Bと磁場の微小変化 δBを使う表示、

δW = −∫dx∇× H · A (8.25)

=∫dxH · ∇ × A (8.26)

=∫dxH · B (8.27)

109

に書き換えることができる。上で、部分積分を使った。仕事は、磁束密度を使うと、

δW =1

µ0

∫dx(δB · B) (8.28)

となる。次に、零磁場 B = 0からはじめて、徐々に磁場を大きくし、最後に有限の磁場 Bになるまで、磁場を大きくしてまでの過程を考える。このとき、のエネルギーの変化量は空間に磁場を作るための仕事の和である。これは、式 (8.19)となる。例 １磁場のエネルギーと２本の直線電流間の力

8.3.3 電場と磁場の比較

電荷間に働くクーロン力は普遍的な性質をもち、電流間に働く力も同様に普遍的な性質をもつ。これらの普遍的性質は、それぞれが作る場の作用と考えると、理解しやすい。電荷が電場を作り、その電場によって他の電荷が力を受ける。同様に、電流が磁場を作り、他の電流が磁場によって力を受ける。電荷による電場と電流による磁場は、以下のようにまとめられる。電場

場 : 　　電場 (8.29)

源 : 電荷 (8.30)

場と源の関係 : 　電場の湧き出しが電荷 (8.31)

力線 : 連続　　　 (8.32)

場のエネルギー :ϵ02

∫dxE2 (8.33)

磁場

場 : 　　磁場 (8.34)

110

源 : 電流 (8.35)

場と源の関係 : 　磁場の回転が電流 (8.36)

力線 : 連続　　　 (8.37)

場のエネルギー :1

2µ0

∫dxB2 (8.38)

　電場のエネルギーと、磁場のエネルギーはよく似ている。しかし、電場と磁場で大きく異なる性質もある。電気力線は、電荷がない空間領域では連続であるが、電荷がある領域では、連続ではなく、電荷が湧き出しとなっている。また、磁力線も連続である。もしも磁荷があれば、磁力線も湧き出しをもつ。ところで、電荷をもつ物質は電子をはじめとして多いが、磁荷（磁気単極子）は今まで見つかっていない。通常知られている電子、クォーク等は、電荷をもつが磁荷をもたない。だから、磁場（磁束密度）は、いつも連続である。今までは、電場や磁場が時間的に変化しない現象を調べてきた。時間的な変化がない限り、電場と磁場は関係なく、別物としてふるまう。電荷は電場から力を受け、電流は磁場から力を受ける。しかし、時間的な変化がある場合には、電場と磁場は互いに転換される。また、運動する電荷は磁場からも力を受ける。時間的に変化する現象では、電場と磁場は統一して扱われる。

8.4 ローレンツ力速度をもつ電荷は、磁場から力を受ける。この力は、電流が磁場から受けるものと同じであり、速度と磁場のベクトル積

F = qv × B (8.39)

であらわせる。だから、力の方向は、速度にも磁場にも直交する。電荷の運動が、電流であるので、速度を持つ電荷が受ける力が、電流が受ける力と同じ形になる。ニュートンの運動方程式にローレンツ力を代入して、電磁場中における質量m電荷 qの質点の従う運動方程式

md2

dt2x(t) = qE + qv × B (8.40)

が得られる。ここでは、電場が零 E = 0で、磁場 Bだけがある場合の運動を調べる。方程式

md

dtv(t) = qv × B (8.41)

で、右辺の力は速度に直交する。そのため、両辺に速度を内積でかけて

v ·m d

dtv(t) = v · v × B = 0 (8.42)

111

が得られる。さらに左辺を書き換えて、

d

dt(m

2v(t)2) = 0 (8.43)

と、運動エネルギーが一定になる。次に、磁場がｚ軸方向にあるときの運動を求める。速度を成分に分解した運動方程式は、

md

dtvx(t) = −qvyBz (8.44)

md

dtvy(t) = qvxBz

md

dtvz(t) = 0

と連立方程式になる。さらに両辺を時間で微分して、２階の方程式

m2 d2

dt2vx(t) = −q2Bzvx (8.45)

m2 d2

dt2vy(t) = −q2Bzvy (8.46)

が得られる。この式は、角速度 ω = qBz

mの単振動の方程式である。解は、

vx = V0 cos(ωt+ α) (8.47)

vx = V0 cos(ωt+ α) (8.48)

となる、等速円運動である。また、z成分は、

d

dtvz(t) =一定 (8.49)

と、一定になる。電流が磁場中で受ける力 (8.10)は、運動している電荷の受ける力と同じ形である。実際、電荷の運動が電流であるので、両者が同じ形になるのは、当然なことである。電流が受ける力は、電流の方向と磁場の方向に直交する方向であり、また電流の向きを逆にすれば、力の向きは逆転する。

Fig. 8.8: ローレンツ力.

112

この力を応用するのが、（直流）モーターである。モーターは、ローレンツ力を応用していてる。モーターの原理は、図のように回転軸に軸受けをもうけ、電流が軸受けを通るようにしておき、さらに電流の方向が、半回転ごとに逆転するようにしておく。すると、電流が流れる限り、モーターは回転を続ける。

8.5 磁性体と磁石磁石は、N極と S極からなる磁気双極子の集まりである。磁極が単独に分離した磁荷をもつ磁気単極子は見つかっていないが、磁気双極子を持つ物質は沢山知られている。一つの磁気双極子は、図のような磁束線を持つ。磁気双極子が沢山集まって構成されている物質では、

各双極子による磁束線が加わった結果、一様な磁場が作られる。

113

外部からの磁場を加えられた物質では、外部磁場 H と物質からの磁場の総和の磁束線が形成されている。

各磁気双極子の大きさが外部磁場に比例し、物質からの磁束が外部磁場に比例する時、その比例係数を記号 κで表し、全磁束密度は和

B = µ0(H + κH) (8.50)

となる。全磁束密度 Bと磁場強度 Hとの比

µ = µ0(1 + κ) (8.51)

を物質の透磁率という。物資中では、磁束密度は物質の透磁率を使い

B = µH (8.52)

と表せる。磁気双極子を持つ物質は、常磁性体と強磁性体に分類される。強磁性体では、物質の磁束密度は、外部磁場によって大きく変化し、外部磁場を零にしたときにも、有限な零ではない磁気双極子を持つ事がある。その時、この物体は永久磁石と呼ばれる。磁石になる物質は、鉄やニッケル等のいくつかの金属に限られる。磁石の磁場は

M = (8.53)

である。小さな磁石が外部に作る磁力線は、次の図のようになる。これは、小さな円電流が作る磁力線と良く似ていることが分かる。１．小磁石の磁力線

114

強磁性体の内部では、磁場の強さは大きくなる。しかし磁束密度は連続であり、変わらない。そのため、磁石がある場合の磁束密度は、図のようになる。磁力線は、内部に閉じ込められる。磁石の磁束密度

8.6 磁気単極子電場と磁場は、時間的な変化を通して互いに変換するものである。だから、電場と磁場をまとめて、電磁場として扱うのが良い。この意味で、二つの場は、同種のものである。では、電場と磁場はまったく同じかというと、そうではない。特に、両者に関係した物質には大きな違いがある。電場の源となる電荷をもつ物質や、物体は電子をはじめ沢山ある。ガウスの発散定理で記述されるように、電気力線は電荷がない領域では連続であり、磁力線も連続である。磁場は、回転の源を電流としているので、連続である。電流だけが、磁場の源であれば、磁場はいつも連続である。しかし、磁力線が電気力線と同じに、不連続になる空間領域、つまり源があってもよさそうである。このようなものを磁気単極子と呼ぶ。磁気単極子が、自然界に存在するかは、興味深い問題である。自然界に、磁荷をもつ物体があっても何の法則とも矛盾しなさそうであるが、しかし今まで実験で探したが、磁荷をもつ物体は、一度も見つかっていない。磁気単極子を探す試みは、今まで多くの科学者によってなされてきた。大きな加速器が作られると、まず単極子探索はなされることの一つであった。また、鉱山で探そうとした科学者もいた。宇宙から降り注ぐ、宇宙線の中にある可能性もある。しかし、今までのところ、誰も単極子の発見に成功していない。理論的な考察から、Diracは磁気単極子を量子力学で考察して、波動関数の位相と重要な関連をもつことを示した。近年は、力の統一理論から磁気単極子の可能性が指摘されている。しかしながら、その存在の実験的な証拠は、まだない。

115

8.7 電磁気学の単位系

8.7.1 MKSA単位系（ＳＩ単位系）

力学における物理量の単位は、運動法則に基づいて、時間、長さ、質量を基本にして組み立てられる。世界で標準的に使われるMKS単位系では、質量にキログラム (Kg) 時間に秒(S)長さにメートル (M)が、使われる。他の物理量はこれらに基づいて単位が決まっている。ところで、新たな力として電荷間 の力や、電流間の力があることが分かったので、電気量や電流の大きさ等の単位が必要になる。世界的な標準単位系は、力学の物理量の質量にキログラム (Kg)時間に秒 (S)長さにメートル (M)を使い、これらに、電流の単位としてアンペア (A)を加えたMKSA単位系である。電流の役割を重視したMKSA単位系は、電流を単位を組み立てる基本の物理量とするので、電磁気学の法則に則った物理的に最も自然な単位系である。

8.7.2 クーロン

電流の単位 1アンペアの定義は、次にされる。１アンペアは、１秒当たり１クーロンの電荷が移動する電流であるので、逆に電荷は、電流を時間で足したものである。だから、電荷は電流から組み立てられ、

クーロン [C] =アンペア [A] ·秒 [S] (8.54)

である。次に、１クーロンの電荷を１ボルトの電位差移動させたときの仕事が、１ジュールであるので、電位の強さ（電圧）V に１ボルトは、

ヴォルト [V ] =ジュール [J ]/クーロン [C] =ジュール [J ]/アンペア [A] ·秒 [S] (8.55)

である。電場の強さは、長さ当たりの電圧であるので、電場の強さE

電場の強さ＝ヴォルト [V ]/メートル [M ] (8.56)

である。

8.7.3 アンペア

電流や磁場に関した単位は、電流間の力から決定される。１アンペアは、間隔が rである平行な直線電流間の長さ δl当たりの力、

F =µ0I

2

2πrδl (8.57)

116

で

r = δl = 1メートル (8.58)

で力が、

F = 2× 10−7ニュートン (8.59)

となる電流である。この単位で、真空の透磁率は

µ0 = 4π × 10−7N/A2 (8.60)

である。磁束密度Bの単位テスラは、電流が磁束密度Bから受ける力

F = Iδl ×B (8.61)

より

テスラ [T ] =ニュートン [N ]/アンペア [A]メートル [M ] (8.62)

である。

8.7.4 光速度

最後に、この単位系で電荷間のクーロン力に表れる真空の誘電率 ϵ0は、後の章で述べるように、光の速度Cの関係式

C =1

√µ0ϵ0

(8.63)

より、Cと µ0で

1

ϵ0= C2µ0 (8.64)

と表わせる。光の速度は、現在メートルと秒から、

C = 2.99792458M/S (8.65)

と厳密に値が決まっている。このように長さの単位メートルが、決まっている。

117

8.8 問題8-1. 電流間の力

２本の平行な直線導体を同じ大きさ Iアンペアの電流が流れている。電流間の距離が 1メートルであるとき、両電流間に働く力を求めよ。また、2メートルの場合はどのようになるか？

8-2.磁場から電流が受ける力

磁場 Bがｚ軸方向を向き、大きさが 10テスラであるとする。ｘ軸の方向を向いた電流 I

が磁場から受ける力を計算せよ。また、力はどの方向を向いているか？

8-3.複数の電流による磁場

ｚ軸方向の無限に長い２つの電流がある時のｘｙ面内の磁場を求める。１．ｚ軸上を電流 I1が流れ、(1, 0)を通りｚ軸に並行に電流 I2が流れている。両電流が平行の場合と、反平行の場合における、ｘｙ面内における磁場を計算せよ。力が、引力か斥力か、磁場の分布から考察せよ。

8-4.磁場のエネルギー

磁場のエネルギーは、∫d3x 1

2µ0B2である。図のような円柱上の金属で透磁率が、

µ = µ1, r < r1 (8.66)

µ = µ2, r1 < r < R (8.67)

であり、全磁束が Φであるとき、全エネルギーを最小にするそれぞれの領域での磁束密度B1, B2を求めよ。ただし、全磁束を一定として、

Φ = Φ1 + Φ2 (8.68)

である。

8-5. 磁性体と磁束分布

図のような形の磁性体が、一様な磁場中に置かれている。連続性に注意を払い、磁束密度Bの様子を書き下せ。また、磁場強度 Hは、どのようになるか？

118

8-6.円電流

ｘｙ面内で原点の周りの小さな半径 rで電流の大きさ Iの円電流が作る原点から遠方での磁場を計算せよ。小さな磁石では、いかなる磁場になるか？

8-7.ローレンツ力

電荷 qを持つ粒子が電場 (E, 0, 0)と磁場 (0, 0, B)のもとで運動している。質量をmとして、運動方程式を解け。電荷 qと質量mをもつ荷電粒子の比電荷 e

mを決定する方法を考えよ。

8-8.電磁気学の単位系

１アンペアの定義は何か？また、１アンペアと１クーロンとの関係、１アンペアと１ボルトの関係を述べよ。電場の強さの単位や磁束密度の単位を説明せよ。

119

第9章 場の時間変化

ここまでは、電場も磁場も共に時間的に変化しない定常的な物理現象を考えてきた。電場や磁場が時間変動する場合、今までとは異なる新しい物理現象が発現する。時間変化のない静的状況では、電場と磁場は互いに無関係な二つの独立な場である。たとえば、定常的な磁場中にある静止電荷は力を受けないし、逆に定常的な電場中にある静止電流は力を受けない。ところが、磁場や電場が時間的に変動するときや、電荷や電流が運動するとき、電荷は磁場から力を受け、電流は電場から力を受ける。時間変動するとき、磁場は、電場の働きをして電荷に力を与え、また回路に起電力を生じさせる。同様に、時間変動するとき、電場は、磁場の働きをし電流に力を与える。時間的に変動する電場や磁場は、磁場や電場を生成する。つまり電場と磁場は、もはや独立ではなく互いに変換しあいながら統一的に時間や空間変化する場である。

9.1 ファラデーの電磁誘導の法則ある場所で磁場が時間的に変化すると、同じ場所に電場が作られる。これを調べるため、磁場中におかれた閉じた回路の両端に生成される起電力を測定する。その結果、この回路には、電圧が発生することが分かる。図のような磁場中にある回路を考える。この回路の一端を一定の速さ vで運動させる。この時、回路を横切る磁束は、Blvtと、時間的に一様に変動する。この回路に起電力 lvB が生ずることをファラデイが発見した。これは、磁場と電場を

関連付ける重要なものでファラデイの電磁誘導の法則と呼ばれる。

121

この電磁誘導現象で、回路を切る全磁束の時間変化に比例した起電力

∂

∂t

∫dS · B =起電力 (9.1)

が生成される。この関係式は、レンツの法則と呼ばれる。磁場の時間変化が、起電力すなわち電場を引き起こしたことになり、磁場と電場が異なる独立な場ではないことを示す。回路を切る全磁束を変化させるには、いろいろな方法がある。一つの方法は、磁束を一定にしたままで回路の大きさや向きを変えることである。前頁の方法では、面積を変動させた。また、次の図のように、一様な磁場中で回路を中心軸の周りに回転すると、回路を横切る磁束線の数は、磁場に垂直な方向の回路の面積に比例して、時間的に変動する。この時、回路に起電力が生じる。

Fig. 9.1: ファラデー２.

以上の場合では、回路内の電荷が有限な速度で磁場中を運動する。そのため、ローレンツ力が電荷に働く。ローレンツ力は、qv × Bであるので、電場 v × Bによる力と等価である、だから、電場の線積分である電位差は、lvBとなる。ローレンツ力に基づいて、求めた電位差は、(9.1)式と同じ結果を与える。もちろん、回路を一定にして、磁場を時間変化させるのも一つの方法である。この場合には、ローレンツ力に関係させることは出来ないが、式 (9.1)は適用できる。

Fig. 9.2: ファラデー 3.

このようにして回路を横切る磁束が時間変化すると、回路に起電力が生じるので、回路を開いて外部に導体で連結すると、この導体に起電力が生じる。この起電力を、自由に使えれば、物体の運動や仕事に応用できる。このような装置を、発電機という。発電所や発電機は、この電磁誘導現象を利用している。図のような発電機に生じる起電力は、回路を貫く全磁束

122

Φ = BS cos θ, θ = ωt (9.2)

の時間変化から、

V = − d

dtΦ = BSω sinωt (9.3)

となる。このように磁束の変化が、回路に起電力を引き起こし、両者の間には普遍的な関係が成立する。また、この関係は、回路の形や材質に無関係に成り立っている。そのため、一般的な数学的考察から、閉じた回路に生ずる起電力は、電場の経路方向の成分の和である電場の経路積分

V =∮dl · E (9.4)

に一致する。上の経路積分は、経路方向の電場成分を閉じた経路に沿ってたしあげた和である。経路を小さくした時、この線積分が面積に比例するならば、電場が回転成分をもつことになる。小さい経路では、回転は電場の局所的な回転成分（渦成分）を表している。だから、磁場（磁束）が変化するとき、電場 E(x)は、回転する成分をもつ。

電場の回転＝磁場の時間変化 (9.5)

電場の回転が磁束の時間変化に比例する関係は、定常電流が作る磁場が、定常電流の周りに回転成分を持つことに似ている。

Fig. 9.3: ファラデー 4.

このようにして、磁場の時間変化が電流の回転に比例すること、つまり磁場が電場と無関係ではなく、互いに変換しうるものであることがわかった。磁場の時間変化が電圧を与えることは、逆にみると、磁場の時間微分が電圧で与えられる式である”磁場に対する運動方程式”とみなせる。時間的な変化に着目して、運動を調べて力学が構成されたように、磁場に対する運動方程式が成立する。運動方程式は、しかしながらニュートンの運動方程式よりもはるかに複雑であり、また美しい形をしている。

9.2 磁場のエネルギー抵抗をもつ電流回路は、エネルギーを消費する。一方で、電流は磁場を形成するので、この回路のエネルギーの考察から、磁場のエネルギーが計算できる。この磁場のエネルギーの

123

計算法は、コンデンサーのエネルギーの考察から、電場のエネルギーが計算されたのと、ほぼ等価である。回路の電気伝導度を σとすると、電池による起電力 E ′と磁場による電場 Eをもつ回路では電流 jとこれらの電場は、オームの法則

j = σ(E + E ′) (9.6)

で関係している。

これより電池が消費する単位時間かつ単位体積当たりの仕事、E ′ · jは、

E ′ · j = j2

σ− E · j (9.7)

と表わされ、さらに電流を磁場で表現して左辺の積分は、∫E ′ · jdv =

∫dvE ′ · ∇ × H (9.8)

となる。また同様に右辺の積分は、∫dv

(∇× H)2

σ−

∫dvE · ∇ × H (9.9)

となる。ここで、ベクトル場のベクトル積の勾配の公式

∇ · (E × H) = H · (∇× E)− E · (∇× H) (9.10)

を代入して、右辺のエネルギーは

=∫dv

(∇× H)2

σ−

∫dvH · ∇ × E +

∫dv∇ · (E × H) (9.11)

=∫dv

(∇× H)2

σ+

∫dvH · ∂B

∂t+

∫dv∇ · (E × H)

となる。ここで、ファラデーの電磁誘導の法則∇× E = − ˙Bを使った。右辺の第３項目は、

被積分関数が大きな積分領域で急速に零に近ずく関数であるので、ガウスの積分定理から表

124

面積分に置き換えた後無視できることがわかる。また右辺第１項目は、電流がジュール熱で失うエネルギーである。残りの右辺第２項は、磁場が持つエネルギーである。よって、磁場を δB変化させたときのエネルギー変化量が

δUm =∫H · δBdv (9.12)

となる。この結果、磁場を変化させて、ゼロから有限な値 Bにまでさせるのに要するエネルギーは、

Um =1

2

∫H · Bdv (9.13)

である。これが、磁場が持つエネルギーである。磁場がエネルギーを持つことより、電流間の力を磁場や磁力線の形から理解できる。同じ方向に電流が流れた二つの直線が作る磁力線は、図のようになる。これは、異符号の二つの

Fig. 9.4: 磁場のエネルギー.

電荷が作る電場の場合と同様に、両電流間の空間で、磁力線が疎になっている。そのため、磁場が弾性体のような収縮する性質を持つのであれば、この両電流間には引力が働く。逆に、逆方向に電流が流れる直線電流間には、図のような磁力線が生じ、斥力が働く。

125

9.3 発電機電気は、動力や灯りに使われる。また、電気を使用することより様々な電気機器は初めて稼働する。しかし、電気を使うためには、電気をまづ作らねばならない。電気を作るのに、電磁誘導現象が利用される。電磁誘導では、磁束が時間変化する回路に電圧が生ずる。この回路に電気抵抗をもつ導体を連結すると、電流が流れる。つまり、磁束の時間的な変化を作れれば、電場がない領域や電圧がない回路に、電圧を生じることができる。磁石は、磁束を持っている。だから、磁石を運動させれば、磁束の変化が生じる。例えば、図のように、ＮＳ極からなる棒磁石を回路の間で往復運動させると、回路を横切る磁束は時間的に変化する。

Fig. 9.5: 発電機.

回路を横切る磁束をΦ(t)とすると、起電力 V は

V = − ∂

∂tΦ(t) (9.14)

となり、この回路に抵抗Rが連結されていると、電流

I =V

R(9.15)

が流れる。このように磁石に力を加えて磁石を運動させると、回路の両端に起電力が生ずる。電気が流れると、電流は仕事をする。この仕事は、磁石に加えた力がする仕事でもある。このようにして、力学的なエネルギーが、電流や電圧に変換された。逆に、磁石を固定しておきその中で回路を回転させても、同じ発電機ができる。図のような、大きな永久磁石で磁場を作っておき、角速度 ωで回転する回路を横切る磁束Ψ(t)が

Ψ(t) = BS cosωt (9.16)

と時間変化するとする。回路の両端には、電圧

V = − d

dtΨ(t) = BSω sinωt (9.17)

が生ずる。この電圧を、外部の抵抗Rに連結しておけば、この抵抗に電流 Iが流れる。この電流は、

I(t) =BSω

Rsinωt (9.18)

となる、向きが交互に変わる交流である。電圧Vは、式 (9.17) で与えられるように、B,S,ω

で決定され抵抗には依存しない。電流は、一方で、抵抗によって変わることになる。

126

9.4 コイルの自己誘導閉じた回路に電流が流れると、内部の空間に磁場が生成される。この磁場は、電流に比例する大きさを持つので、電流が時間変化すると、磁場も時間変化する。時間変化する磁場を囲む別の閉じた回路があれば、この回路には起電力が生ずる。また、同じ回路にも、起電力が生ずることになる。電流を何度も回転させておくと、それぞれの電流の寄与が加わり、生ずる磁場や磁束は、大きくなる。これをコイルという。今図のように、２つのコイルを重ねておく。

一つの回路に交流電流を流し、他のコイルに生ずる電圧を図る。この電圧は、磁束の時間微分に比例し、磁束は電流に比例する。だから、電圧は

Vi1 = −M21d

dtI1 (9.19)

となる。比例係数M21は、相互インダクタンスという。をた構造つまり、コイルに時間変化する電流が流れると、同じコイルの両端に電流の時間微分に比例する起電力が生ずる。コイルが一つである場合、コイルに交流を流すと、コイルに電流の時間微分に比例した電圧,

Vis = −L ddtI1 (9.20)

が生ずる.Lを自己インダクタンスという。

127

9.4.1 交流回路

自己インダクタンス Lのコイルに、抵抗RとコンデンサーCを図のように直列につないだ回路を考えよう。

Fig. 9.6: 交流回路.

それぞれの両端の電圧は、コイルの誘導電圧

Vコイル(t) = Ld

dtI(t) (9.21)

オームの法則による電圧

V抵抗 = RI (9.22)

とコンデンサーにおける電荷と電圧の比例式

Vキャパシター =Q

C(9.23)

である。回路が閉じているので、電圧の和は、

Vコイル + V抵抗 + Vキャパシター = 0 (9.24)

と零になる。この電圧に、電流を使う上の関係式 (9.21)、(9.22)、(9.23)と、コンデンサーにたまる電荷の変化率が、流れる電流であることを示す式

I(t) =d

dtQ(t) (9.25)

より、電流についての微分方程式

Ld2

dt2I(t) +R

d

dtI(t) +

1

CI(t) = 0 (9.26)

が得られる。抵抗Rが零であれば、電流は、

Ld2

dt2I(t) +

1

CI(t) = 0 (9.27)

128

と、単振動をする。単振動の解は、周期運動

I(t) = I0 cosωt, (9.28)

ω =1√CL

(9.29)

である。この場合は、振幅は、一定に保たれる。抵抗Rが有限であれば、振動は減衰振動

I(t) = I0e−γt cosωt (9.30)

Ls2 +Rs+1

C= 0, s = −γ + iω (9.31)

となる。

9.5 変圧器電磁誘導を応用して、回路の両端の電圧を変えることができる。１次コイルと２次コイルの２個のコイルを重ねて磁束を共有する２重コイルで、１次コイル側の電圧と異なる電圧を2次コイル側に発生させられる。１次コイルの巻数を n1、２次コイルの巻数を n2とすると、2ツのコイルを貫く磁束が等しいとき、電磁誘導の法則より磁束を貫くコイルの一巻きごとに同じ電圧が誘起される。その結果、

V1n1

=V2n2

(9.32)

の関係が成り立つことが分かる。磁束が漏れないように、図のような大きな磁化率を持つ強磁性体からなる金属芯のまわりにコイルを巻いておけば、効率が良い。

Fig. 9.7: 変圧器.

9.6 電場の時間変化とマックスウェルの変位電流次に、電場の時間変化が引き起こす物理について考察する。先ず、定常的な電流が作る磁場について復習しよう。電流を回転の源として磁場が作られるのを示す、ストークスの定理 ∮

ldl · B = µ0I (9.33)

129

より、図のような経路 lにそった磁場の積分は、経路を横切る電流 Iに比例する。

この積分を、閉じた立体を覆う全表面でおこなうと重要なことが分かる。簡単のために、図のような立方体の６この面の各辺を経路とする線積分の和を、計算する。これら６面を囲む４辺にそう磁場の線積分は、図の８点の位置をつなげて

B12 +B23 +B34 +B41 = (1234);面 1 (9.34)

B15 +B56 +B62 +B21 = (1562);面 2

B26 +B67 +B73 +B32 = (2673);面 3

B43 +B37 +B78 +B84 = (4378);面 4 (9.35)

B14 +B48 +B85 +B51 = (1485);面 5

B58 +B87 +B76 +B65 = (5876);面 6

である。ここで、B12は点１から点２までの磁場の線積分

B12 =∫ 2

1B · dl (9.36)

であり、積分は上限と下限を入れ替えると逆符号となる関係

Bij = −Bji (9.37)

を満たすことより、式 (9.36)の左辺の６式の総和は零である。だから、この立体から６この

130

面を通って外に流れだす電流の総和は、

l=6∑l=1

Il = 0 (9.38)

と零である。つまり磁場の源となる電流は、全体でうち消す必要がある。この関係式には、時間が全く関係ないので、時間的に変動する電流や磁場でも成り立つ。コンデンサーの電荷が時間的に変動するとき、コンデンサー内の電場は、時間変動し、また挟んだ立体に対して上の恒等式より、流れ込む電流と同じ大きさで、逆を向いた何らかの電流が面から外部に出てゆく必要がある。図のような立体で、コンデンサーの電荷が時間

変動するとする。各辺からなる立体には導体から電流が流れ込んでいる。しかし、コンデンサーにつながる導線以外に、立体の外へ電流を流す導線は存在しない。あるのは、図にあるコンデンサーの電荷により生じた下向きの電場だけである。だから、この状況で、通常の電流は流れだしていないので、電流の保存則は破れている。じつは、この時間変動する電場が、そとへ流れ出る電流と考えると、電流の保存則は成り立っている。さらに、これが通常の電流と、等価な働きをして、磁場を作っている。流れ込む電流が周囲に作った磁場は、コンデンサーの内部にもある。ここでは、時間変動する電場によって、磁場が作られている。時間変化する電場と磁場との関係は、ある面を横切る電気力線の総量の時間微分が、電流の働きをし

∂

∂t

∫dS · E =電流 (9.39)

で表される。だから式 (9.33)は、∮ldl · B = µ0I +

∂

∂tϵ0

∫E · dS (9.40)

と修正される。このような電流が実際流れることを、コンデンサー（キャパシター）でさらにみよう。

131

コンデンサーには、極板の間に絶縁体がはさまれている。絶縁体中で、通常の定常電流は流れないが、交流は流れることがわかる。コンデンサーの両端に電圧 V がかかると、外部から流入した大きさQ = CV の電荷がたまる。さて、蓄えられている電荷が時間的に変化するとしよう。この電荷の時間変化は、外部からの電流で引き起こされる。つまり、コンデンサーに外部から導体を通り電流が流れ込んだ結果、極板間の電荷が時間変化する。その結果、極板間の電場が、やはり時間的に変動する。この現象で、極板間の部分で電流の連続性を満たそうとすると、極板間の絶縁体部分に電場が流れることになる。この電流は、電場の時間変化に比例している。電気力線の時間変化が、コンデンサー内の電流を生じる。もともと電気量Q(t)の時間変化は電流

d

dtQ(t) = I(t) (9.41)

であり、またコンデンサーの電場は電荷Q(t)からガウスの定理で

E =Q

ϵS(9.42)

と決まる。

Fig. 9.8: 変位電流.

この両式より、電流 I(t)が電場の時間変化を使い

I(t) = ϵd

dt(SE) (9.43)

とあらわせる。ここで、SEは、

SE =∫dS · E (9.44)

と表わせる、電束である。結局、電束の時間微分が電流であることが分かる。電流の周りに磁場の回転が生じるので、コンデンサーの電荷が時間変化して導体内を電流が流れる時、導体の回りには磁場の回転が生じている。磁場は連続であるので、コンデンサーの周囲にも、同じ磁場が生じている。この領域で同じ磁場を表すためには、コンデンサーの極板間にも、磁場の回転の源がある。磁場の回転は、コンデンサー内では、電場の時間変化であり、電場の時間変化が電流と同じ働きをして、磁場の回転となっている。図の立方体の下面を横切る電束の時間変化を付け足した結果、全体で電流が保存している。

132

Fig. 9.9: 変位電流詳細図.

マックスウェルは、電場や磁場についての時間変化や空間変化にかんして数学的な洞察を行い、電場の時間変化が電流を引き起こし、その結果磁場の回転を引き起こすことを、発見した。これは、電場に対する運動方程式である。

磁場の時間変化　→　　電場の回転 (9.45)

電場の時間変化　→　　磁場の回転　 (9.46)

磁場が時間的に変化すると共に、空間的に変化する時、電場の回転が生じまたこの電場が時間的に変化すると磁場の回転が生じる。このようにして、次々に電場と磁場の振動が、空間を伝わる。つまり、電場や磁場が、物質がない領域にも存在し、電荷や電流に力を与えるだけでなく力学的な運動法則に従っている。例:変位電流z軸方向の電場Ez(t)が、時間とともに変化した時、変位電流はｚ軸方向を向き、

jz = ϵd

dtEz(t) (9.47)

である。この電流による磁場は、

B(t) = (y/r,−x/r, 0)jzπr2

2πr=

1

2(y,−x, 0)ϵ d

dtEz(t) (9.48)

とｘｙ面内にあり電場と直交している。

9.7 問題９－１　電磁誘導

図のような回路を軸の周りに一定の角速度で回転させるとき、回路の両端に生ずる起電力を求めよ。次に、回路に一定の抵抗 Rをつなげた時、抵抗が消費するエネルギーを計算せよ。また同じ計算を、ローレンツ力に基づいて行え。

133

9-2 電磁誘導

電磁誘導の法則：磁場の時間変化磁束密度 Bが時間の関数として、

B(t) = B0 cosωt (9.49)

と変化するとき、次にあげる閉じた回路Ciに沿って生ずる起電力を計算せよ。C1：ｘｙ面内の半径Rの円C2：ｘｙ面内で、たて a横 bの長さの長方形C3：ｙｚ面内の半径Rの円C4：ｙｚ面内で、たて a横 bの長さの長方形

9-3　変圧器

変圧器の応用図のような鉄芯の片方に巻数 n1他方に巻数 n2のコイルが巻かれている。磁束の漏れがない場合、コイル n1に角速度 ωの交流電流を流した場合、コイル n1の両端の電位差 V1とコイル n2の両端の電位差 V2の関係を明らかにせよ。次に、磁束の 10％が漏れる場合には、どうなるか？

134

9-4　インダクタンス

インダクタンス（自己、相互）

9-5　コンデンサー

コンデンサー

9-6　変位電流

変位電流

9-7　交流回路

交流回路

9-8

135

第10章 マックスウエル方程式

電場や磁場は、電荷や電流を発散や回転の源にしている。時間的に変動しない物理現象では、これらは互いに独立で無関係な場であり、また物質のない空間に大きな効果を生じない。ところが、電場や磁場が、時間的に変化するとき、電磁誘導の法則と変位電流の関係式より、電場と磁場は独立ではなくなり、互いに他の源となる。磁場の時間変化は、電場を誘起し電場の時間変化は磁場を誘起する。電荷や電流がない空間で、場はたがいに変換しあう連立方程式で統一的に記述される。このようにして、電場と磁場の力学は、両者をまとめた電磁気学として統一された。特に、物質がない空間領域でも、電場や磁場の波の効果が表れる。電場と磁場は、

1. 電場の湧き出し（発散）∇Eは、電荷密度ρであり、閉曲面を横切る電気力線の総和は、この閉曲面の内部に含まれる電荷に比例する

(10.1)

2. 磁束密度の湧き出しは、存在しない。　閉曲面を横切る磁力線の総和は、零である．　

(10.2)

3. 電場の回転は、磁場（磁束密度）の時間変化である。だから、閉曲線の両端に

生じる起電力は、その閉曲線を端とする閉曲面を横切る全磁束の時間変化に比例する。　

(10.3)

4. 磁場（磁束密度）の回転は、電流と電場の時間変化である。 (10.4)

を満たしている。これらは電場や磁場を積分した形で、

1.∫閉曲面

dS · E =1

ϵ0Q内部 (10.5)

2.∫閉曲面

dS · B = 0 (10.6)

3.∮dl · E = − ∂

∂tΦ(t),Φ(t) =

∫dS · B (10.7)

4.∮dl · B = µ0(I +

∂

∂tD内部(t)), D(t) = ϵ0

∫dS · E (10.8)

とまとめられる。

137

これらの電場と磁場が満たす関係式を、微分形で表わした時間と空間座標についての４変数の偏微分方程式が、マックスウェル方程式

1. ∇ · E =1

ϵ0ρ (10.9)

2. ∇ · B = 0 (10.10)

3. ∇× E = − ∂

∂tB (10.11)

4. ∇× B = µ0(j + ϵ0∂

∂tE) (10.12)

である。この式から、電場や磁場の時間微分は、

∂

∂tB = −∇× E (10.13)

µ0ϵ0∂

∂tE = ∇× B − µ0j (10.14)

と、磁場や電場の空間微分で決まる。だから、この二つの式は、電場や磁場の運動方程式である。電場や磁場は、運動方程式に従う力学的な物理量であることが、分かった。このように、電荷間の力や電流間の力を普遍的に表わすために導入された電場や磁場は、自身が固有の運動方程式に従う物理的な実体となっている。

10.1 電磁波電場と磁場の時間変化や空間変化が、原因や結果となって波が生成される。時間・空間で振動する電場や磁場の波である電磁波は、物質が存在しない真空中をも、伝播する。他の多くの波が、媒質中を伝播するのと大きく異なる。たとえば、音は空気中や、物質中を伝播し、媒質がない場所を伝播することはできない。何も存在しないはずの真空中を、電磁波が伝播することより、昔、電磁波が伝播する未知な媒質（エーテル）があるに違いないと、想像されたこともあった。しかし、そのような物質（エーテル）は存在しない事が確認され、電磁波が伝播することは、むしろ、真空が持つ性質である。

10.1.1 電磁波の性質

閉じた回路を横切る磁場に時間変化があるとき、回路には起電力が誘起される。このファラデイーの電磁誘導の法則は、回路の性質や形状によらずに発現する現象である。だから、回路がない空間でも、電場が生成されているはずである。回路が存在しない真空中で、時間的に変動する磁場の周りに回転する電場が、図のように誘起される。この電場は、磁場に直

138

交する面内における磁力線を周回する経路にそう。だから、起電力が作られる事を意味する。この閉じた経路にそう線積分は、経路を小さく取った場合では、電場ベクトルの空間微分の一つである回転をあらわしている。磁場が時間変動する空間の位置からわずかにずれた位置で、電場ベクトルが作られる。一方で、電束密度の時間的な変動は、電場の方向をもつ変位電流を引き起こす。変位電流の周りには、当然ながら回転する磁場が生成される。この磁場の空間的な位置は、やはりもとの電場の位置からわずかにずれた場所である。

変位電流が時間的に変動するとき、この電場の場所からわずかに離れた位置における磁場も、時間的に変動する。だから電磁誘導のために、さらにわずかにずれた位置で、電場が誘起される。このように、電場と磁場が互いの源となりながら時間や空間で変動する現象が生ずる。これは、波動現象であり、電場や磁場の波動なので、電磁波とよぶ。このように、電磁波が生成され伝播する。電磁波の運動を調べるには、上のマックスウェル方程式を使えばよい。マックスウェル方程式を書き換えて、真空中における電場の時間の２階微分が、電場の２階の空間微分に比例する波動方程式

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2)E = 0 (10.15)

や、磁場に対する同じ方程式、

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2)B = 0 (10.16)

が導かれる。つまり、電荷密度も電流密度もない空間領域に、振動する電場や磁場が伝播する。ただし、cは波の速さであり、真空の誘電率 ϵ0と透磁率 µ0より

c2 =1

ϵ0µ0

(10.17)

と表わせる。この波である電磁波は、波長や振動数によらない速さをもつ。電磁波には、様々な波長の波があり、電波、光、ガンマ線、等はそれぞれ波長の異なる電磁波である。可視光は、目が最も感じることのできる電磁波であり、太陽から放射される電磁波の主要な成分をなしてい

139

る。電磁波の速さは、波長の長さによらずに一定であり通常の場合光速 cとよぶ。光速は普遍的な物理定であり、最も重要な物理定数の一つである。電磁波の簡単な例は、時間と空間座標の一つ zに依存して変化する、

E = aei(ωt−kz) (10.18)

B = bei(ωt−kz) (10.19)

である。ここでは、複素数を使い波を表現したが、実際には、電場や磁場は実数であり複素数ではない。上のように複素数で表わし、その実数部か虚数部を使うことにする。複素数で表わしておくと、計算が見通しが良いし、何よりも簡単である。途中の計算を複素数で行い、最後に複素数の実数部または虚数部が電場や磁場であるとする。このような簡便法がとれるのは、あとで述べる重ねあわせの原理があるためである。aと b が実数ベクトルであれば、実数部分を取ることにすれば、

E = a cos(ωt− kz) (10.20)

B = b cos(ωt− kz) (10.21)

となる。また、aと b が実数ベクトル r1、r2と位相部分 eiα、eiβの積

a = r1eiα (10.22)

b = r2eiβ (10.23)

であれば、電場や磁場は、

E = r1 cos(ωt− kz + α) (10.24)

B = r2 cos(ωt− kz + β) (10.25)

となり、三角関数による表示で、位相が αや βずれた波になる。以下複素ベクトルで表わした表記をとる。電磁波は、ｚ方向に伝播する波でありベクトル

aが電場の方向を表わすベクトルであり、bが磁場の方向を表わすベクトルである。ファラデーの法則で電場が磁場に直交することや、変位電流による磁場が電場に直交することから、二つのベクトルは直交して、

a · b = 0 (10.26)

となっている。またこれらは、進行方向 z方向にも、直交して

a · ez = 0, b · ez = 0, (10.27)

140

を満たすｘｙ面内にあるベクトルである。つまり、電磁波の電場や磁場は波の進行方向に垂直である。よって電磁波は横波である。

電磁波は、他の波と同じに、周期運動を繰り返しながら、遠方まで伝播する。その間、減衰しない。太陽で作られた光は、約 500秒後地球に到達する。光は、エネルギーを持っているので、真空中を光によってエネルギーが運ばれる。太陽エネルギーは、光の形態で地球に伝播している。

10.1.2 電磁波の偏光

横波の条件式 (10.27)を満たす一つの解は、

b = ex, (10.28)

b = ey (10.29)

である。これらの解は、電場がｘ方向か、ｙ－方向を向いている波であり、直線偏光という。一方、

b = ex + iey, (10.30)

b = ey − iey (10.31)

の解は、電場の方向がｘｙ面内で、回転するので、円偏光という。

10.2 電磁波の反射と屈折電磁波は、金属面で反射する。また、屈折率が異なる物体の境界でも反射や屈折が起きる。光の反射や屈折は、幾何光学で学ぶことであるが、光は電磁波であるので、マックスウェル方程式で、調べる問題である。

141

10.2.1 異なる誘電率を持つ物質界面

物質の効果は、電束密度 Dが、真空中とは異なる誘電率 ϵで

D = ϵE, ϵ (10.32)

となり、また磁束密度 Bが磁場強度 Hに比例係数を µとして比例して

B = µH, µ (10.33)

となる。また、光の速さは、物質中で

cm =1√ϵµ

(10.34)

であり、屈折率 nが

n =

√√√√ϵµ　ϵ0µ0

(10.35)

である。

図ここで、図のように屈折率 nの物質と、真空が平面を境に接しているとする。ガウスの発散定理や、ストークスの定理を使い、両側での電場や磁場を、Em、Bmとすると、反射や屈折の法則が導かれる。

10.2.2 金属表面での反射

次に、金属表面での反射を考える。金属の内部では、静電場はあり得ない。交流電場も、金属の表面では存在出来るが、内部には入れない。詳しく調べるためには、電流 j(x, t)と電場 E(x, t) の間に成立するオームの法則

j(x, t) = σE(x, t) (10.36)

142

をマックスウェル方程式と連立させる。すると、電磁波は真空から入射して金属面で反射することが分かる。ただし、電磁波は、表面で金属の内部ににわずかに入る。だから、電場の法線方向の成分は、

En = 0 (10.37)

となる。このようになるためには、表面で、反射波が入射波と同じ大きさで逆向きに進む必要がある。これより、反射角が入射角と等しくなる。

10.3 電磁波の生成（発信）と受信ラジオや、テレビでは、電磁波が様々な情報をのせて発信され、遠距離まで伝播し、最後に受信機で受信される。電磁波にのせられた音や、映像が、真空中を伝播することになる。電荷がある近傍の領域では、電場が作られている。静止した電荷が作る電場は、時間的に一定であり変動しない。だから、電磁誘導や変位電流の効果は受けないので、静的な電場のままであり電磁波にはならない。また、一様な速度で等速度運動する電荷による電場は、等速度で電荷と共に移動するだけである。これらの電場は、クーロンの法則でわかるように、電荷からの距離の２乗に反比例して弱くなり、電荷から離れた空間を独立に伝播するわけではない。これらの場合の電場は、電磁波にはなれない。物質中で、電荷の速さが光の速さを超える場合は例外である。この場合、等速度運動する化電流は、チェレンコフ光を放射する。ところが、電荷が往復運動（振動）や、等速度円運動のように加速度運動する場合は、時間変化する電場と磁場が互いの源となり、電磁誘導や変位電流の効果により、電磁波が生成される。加速度をもって電荷が運動する場合、電荷の近傍にできた電場は、電荷とともに移動することができないで、電磁波として生成され、電荷とは独立に光速度で伝播する。電磁波は、電荷からの距離の２乗に比例して弱くなるわけではない。電磁波は、電荷からの距離が大きい空間で、極めて重要になる。

10.4 重ね合わせの原理電場や磁場は、真空中でマックスウェル方程式に従う。マックスウェル方程式は、線形の方程式であるので、二つの解を重ね合わせたものは、やはり方程式の解になり、解は重ねあわせの原理に従う。重ね合わせ原理は、波動に特徴的な性質であり、粒子は満たさない。そのため、波動と粒子を区別するのに、重ね合わせの原理が使われる。波動の示す物理現象として良く知られた、干渉や、回折は、重ね合わせの原理から導かれる。

143

10.4.1 線形方程式

いま未知関数 f(x)が、線形方程式

Df(x) = 0 (10.38)

を満たすとする。ここで、Dは、一階微分 ddxや２階微分 d2

dx2 や、さらに高階微分を含むものとする。f1(x)と f2(x) が

Df1(x) = 0 (10.39)

Df2(x) = 0 (10.40)

を満たすとき、定数係数 c1, c2により二つの解を重ね合わせた関数も同じ方程式を満たし、

D(c1f1(x) + c2f2(x)) = c1Df1(x) + c2Df2(x) = 0 (10.41)

となっている。二つの解で構成した任意の線形結合が、同じ方程式の解になることを、重ね合わせの原理を満たすという。マックスウェル方程式は、時間と空間の多変数の微分をもち、また電場や磁場を含む点で上の例よりはるかに複雑であるが、やはり線形方程式である。だから、マックスウェル方程式の解は重ね合わせの原理を満たす。

10.4.2 ２重スリットの干渉

重ね合わせの原理や干渉現象をみる例は、２重スリットを通過した光が示す干渉である。図のように、平行な光をスリットを開けた平面を通過させて、遠方においたスクリーンにおける光の強度を観測する。スリット１からの光 ϕ1と、スリット２からの光 ϕ2は、共に同じ方程式を満たす異なる解である。だから、両スリットを通過した光は、二つの光を足した、

ϕ = ϕ1 + ϕ2 (10.42)

である。二つが同じ振幅の波であり、

|ϕ1| = |ϕ2| (10.43)

を満たす場合でも、波の位相は様々であり、位相差が丁度 2πの時

ϕ1 = ϕ2 (10.44)

となり、また丁度 πのとき、

ϕ1 = −ϕ2 (10.45)

144

となる。前者では、

ϕ1 + ϕ2 = 2ϕ1 (10.46)

|ϕ1 + ϕ2|2 = 4|ϕ1|2 (10.47)

となり、単一スリットの場合の４倍の強度になるが、後者では

ϕ1 + ϕ2 = 0 (10.48)

|ϕ1 + ϕ2|2 = 0 (10.49)

となり、強度が零になる。このように、二つの場合で、波の強度はまったく異なる。これらが、一つのスクリーンで実現すれば、強度の変化を示す干渉縞が見える。

10.5 光速度の測定光の伝播の速さが有限であるのか無限であるのか昔は分かっていなかった。光は、あまりに速いので、無限の速さをもつと考えるのが自然であっただろう。しかし、有限の光の速さは、様々な重要な帰結を導く。光の速さが有限である事によって生ずる物理現象があれば、有限な速さの実験的な確認ができる。では、いかなる実験から、光の速さが有限であることが確認されたのであろうか？木星の衛星観測：レーマーの観測 (1676)

木星は、地球の外側で太陽の周りを回る軌道にそって運動する惑星の一つである。また、木星には衛星があり、丁度月が地球の周りをまわるのと同じに、木星の周りを回っている。地球から、木星の衛星を観測中、不思議なことが観測され、その原因として、光の速さが有限であることがわかった。　　地球の公転半径は約 l1 = 1.5 × 108Kｍであり木星の公転半径は l2 = 7.8× 108Kｍである。木星の周りを回る衛星を、地球で観測できるのは、衛星が木星に隠れていない時である。衛星が、木星の反対側に隠れている位置から、丁度見えるようになる時間は、過去のデータから容易に予想できる。もしも光の速さが無限であれば、地球上でも、木星と同じ瞬間に衛星が見えるはずである。だから地球上で、木星と同じように周期的に観測される。しかし、光の速さが有限であれば、衛星から地球上の観測者までの距離で決まる時間だけの遅れが生ずる。この遅れの時間が、観測できれば、光の速さが有限か無限か分かる。ところで、もしも距離 Lが、一定の値であれば、遅れ∆t

145

∆t =L

c(10.50)

は、一定の値であるので、地球上の測定では、分からない。地球上ではいつも、一定の時間遅れているように見えるので、実は、遅れていることの判定は出来ない。現実には、木星も地球も太陽の周りに公転しているので、距離Lは l2 − l1と l2 + l1の間を時間的に変動する。だから、n回目の時刻での距離を L(n)、

(∆t)n =L(n)

c(10.51)

木星での時刻を T (n)とすると、衛星の周期Ωから

T (n) = nΩ (10.52)

となり、地球上で衛星が見えるようになる時刻は

T (n) + (∆t)n = nΩ +L(n)

c(10.53)

となる。そのため、地球上で衛星が見えるようになる時刻は、光の速さに依存する。もしも、光の速さ cが無限大であれば、地球上で衛星が見えるようになる時刻は木星における時刻に一致し、

T (n) + (∆t)n = nΩ (10.54)

と周期的なはずである。実際には、時間の遅れの変化が観測され、光速が有限であることが分かった。両星の距離が最短である時と、最長である時で、時間差は約 2000秒である。直接測定：フィゾーの実験 (1849)

直接測定で、光の速さを最初に決めたのは、フィゾーである。フィゾーは、高速度で回転する歯車の隣り合う隙間の間を光がする抜ける微小時間 δtM を測定して、光の速さを決めた。図のような距離 8.6Km離れた位置においた鏡で光を反射させ一周あたり 103こある歯車を、１秒当たり 200回、回転させた。の幅を aとすると、光の速さは、

c =a

δtM(10.55)

となる。

現代的方法

146

光の速さを、高い精度で単位時間（秒）当たりに光が進む長さ（メートル）で表わす際、メートルと秒がどのように定義されているのかを検討する必要がある。これらの値は、現代の科学や技術の基本にもかかわる重要な事柄である。現代の扱いは、光速は

c = (10.56)

であると定義する。つまり、時間の単位 (秒)と空間の長さの単位 (メートル)の比は、上の式で定義される。

10.6 ダークマター我々の身近にある物質は、たくさんの小さな原子からできている。原子は、さらに正電荷を持つ原子核と負電荷をもつ電子からできている。だから、すべての原子は、電荷をもつ構成要素が結合したものである。一方で、電荷は電磁場と相互作用する。だから、すべての物質は、光と相互作用する。このため、物質を熱して熱くすると、温度に応じた色を持って輝くようになる。太陽が白色で、光り輝くのも、同じ理由であり、他の恒星も同じ理由で、輝いている。電子やクオークは電荷をもち、これらからできている物質は、すべて同じ性質を持つ。光自身は、電荷をもたない、またニュートリノという素粒子も電荷をもたない。光は、電荷間に相互作用を与える働きをし、ニュートリノは崩壊する物質と共に生成される。ニュートリノは、非常に小さな質量をもつことが、最近になって分かってきた。これら以外に、もしも、電荷をもたない構成要素からできた物質があれば、この物質は光と相互作用しないので、光を放射できない。だから、これらの物質はいつも暗いままである。最近の実験で、電荷をもたないニュートリノではない物質が宇宙を占めている事が分かってきた。これを、ダークマターと呼ぶ。ダークマターの正体は、今のところ分かっていないが、新たな素粒子である可能性が高い。もしも、ダークマターが、新たな素粒子であれば、今までの素粒子標準理論の枠外にある物質が、見えたことになる。ダークマターが、重力相互作用だけする粒子とするとニュートリノ、光（電磁波）、重力波

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10.7 問題7-1.原子核と電子間の力原子核は、正の電荷をもち電子は負の電荷を持つ。電子の電荷を−eとすると、

e = 1.6× 10−16 (10.57)

クーロンである。電子が、水素原子の原子核である陽子と１オングストローム 1 −−10 m離れているとき働く力の大きさはいくらか？また、１モルの陽子と１モルの電子が、１メートル離れているときの力はいくらか？7-2.摩擦電気物体を摩擦すると、帯電する物質がある。例えば、ガラスを摩擦すると負に帯電し、エボナイトを摩擦すると正に帯電する。この現象は、摩擦により物質の電子が移動するためである。いま、1cm3のガラスの表面から、　 1/100の電子が移行した時、このような二つのガラスの物体に間に働く力を計算せよ。7-3. 金属内の静電場金属の内部に+Qの電荷が置かれた。この時、電荷の周囲にある電子の運動を考察せよ。十分に時間が経過して電子に働く力が零になれば、電子の運動はなくなる。この状況では、金属の内部では電位が一定になることを示せ。7-4. 金属表面における静電場と電気力線金属の内部では、電位が一定である。このことを使い、金属の平面上の表面や、でこぼこをした表面近傍における電場や電位を議論せよ。7-5. 電流がする仕事大きさ Iの電流が、電圧差 V の間を流れるときの、単位時間当たりに消費する仕事を求めよ。次に、一定の抵抗Rの物体中を電流が流れている。電流 Iを一定にした場合と、電圧 V

を一定にした場合のそれぞれで、消費する仕事（エネルギー）を計算せよ。7-6. 電流と抵抗をもつ回路値が、R1とR2である二つの抵抗を、直列に接続した時の全抵抗と並列に接続した時の全抵抗を求めよ。次に、電圧 V を両端にかけた時の電流と電流がする仕事をそれぞれの場合に計算せよ。次に、全電流を一定の値 Iにした場合に同じ計算をせよ。消費するエネルギーが少ないのは、どちらか？また、片方の抵抗R2が零であれば、どうなるか？7-7. 金属球殻の内部にある電荷と電場半径R1と半径R2の間の金属球殻に一様な電荷密度で、電荷が分布している。ガウスの定理を使い、r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 R2 ≤ rの３領域における電場を求めよ。

148

7-8. 誘電体とコンデンサーコンデンサーの内部を誘電率 ϵの液体でみたした。この場合の、コンデンサーがもつエネルギーは、どのようになるか？

8-1. 電流間の力

２本の平行な直線導体を同じ大きさ Iアンペアの電流が流れている。電流間の距離が 1メートルであるとき、両電流間に働く力を求めよ。また、2メートルの場合はどのようになるか？

8-2.磁場から電流が受ける力

磁場 Bがｚ軸方向を向き、大きさが 10テスラであるとする。ｘ軸の方向を向いた電流 I

が磁場から受ける力を計算せよ。また、力はどの方向を向いているか？

8-3.複数の電流による磁場

ｚ軸方向の無限に長い２つの電流がある時のｘｙ面内の磁場を求める。１．ｚ軸上を電流 I1が流れ、(1, 0)を通りｚ軸に並行に電流 I2が流れている。両電流が平行の場合と、反平行の場合における、ｘｙ面内における磁場を計算せよ。力が、引力か斥力か、磁場の分布から考察せよ。

8-4.磁場のエネルギー

磁場のエネルギーは、∫d3x 1

2µ0B2である。図のような円柱上の金属で透磁率が、

µ = µ1, r < r1 (10.58)

µ = µ2, r1 < r < R (10.59)

であり、全磁束が Φであるとき、全エネルギーを最小にするそれぞれの領域での磁束密度B1, B2を求めよ。ただし、全磁束を一定として、

Φ = Φ1 + Φ2 (10.60)

である。

8-5.ローレンツ力

電荷 qを持つ粒子が電場 (E, 0, 0)と磁場 (0, 0, B)のもとで運動している。質量をmとして、運動方程式を解け。電荷 qと質量mをもつ荷電粒子の比電荷 e

mを決定する方法を考えよ。

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8-6.電磁気学の単位系

１アンペアの定義は何か？また、１アンペアと１クーロンとの関係、１アンペアと１ボルトの関係を述べよ。電場の強さの単位や磁束密度の単位を説明せよ。

9－１　電磁誘導

図のような回路を軸の周りに一定の角速度で回転させるとき、回路の両端に生ずる起電力を求めよ。次に、回路に一定の抵抗 Rをつなげた時、抵抗が消費するエネルギーを計算せよ。また同じ計算を、ローレンツ力に基づいて行え。

9-2 電磁誘導

電磁誘導の法則：磁場の時間変化磁束密度 Bが時間の関数として、

B(t) = B0 cosωt (10.61)

と変化するとき、次にあげる閉じた回路Ciに沿って生ずる起電力を計算せよ。C1：ｘｙ面内の半径Rの円C2：ｘｙ面内で、たて a横 bの長さの長方形C3：ｙｚ面内の半径Rの円C4：ｙｚ面内で、たて a横 bの長さの長方形

9-3　変圧器

変圧器の応用図のような鉄芯の片方に巻数 n1他方に巻数 n2のコイルが巻かれている。磁束の漏れがない場合、コイル n1に角速度 ωの交流電流を流した場合、コイル n1の両端の電位差 V1とコイル n2の両端の電位差 V2の関係を明らかにせよ。次に、磁束の 10％が漏れる場合には、どうなるか？

150

9-4　インダクタンス

インダクタンス（自己、相互）

9-5　コンデンサー

コンデンサー

9-6　変位電流

変位電流

9-7　交流回路

交流回路

9-8

10-1

電磁波の性質電磁誘導では、時間変動する磁場が磁場の周りを回転する電場を作る。この電場も時間変動する。時間変動する電場は、回転する磁場を作る。これらの２ステップを組み合わせると、ある場所で時間変動する磁場は、すぐ近傍での磁場を引き起こすことになる。このような考察から、平面波の電磁波は横波であり、また電場と磁場が直交することを示せ。

10-2

光の速さの測定今までの項目：7章:電荷間の力（クーロンの法則）、電場、電位と電気力線、導体と絶縁体、電荷の　　　　単位8章:電流間の力（アンペールの法則）、磁場、磁力線、ローレンツ力、電磁気学の　　　　単位系 (MKSA)

9章:ファラデイーの電磁誘導の法則、発電機、コイルの自己誘導、マックスウェ　　　ルの変位電流10章:マックスウェル方程式、電磁波、光の速度の測定

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第11章 電気機器

電気や磁気を使う機器は、現代生活に欠かせない。これらの機器に、どのようにして電磁気の様々な物理機構が働いているのか、見てみよう。

11.1 電灯電気を明りとして使うことより、夜の生活が一変した。人工的な光がなかった昔は、夜に書物を読むことは、不可能であった。しかし、現在は電気による明りのために、夜も昼と同じ様に書物を読めるし、文字を書くこともできる。エデイソンは昔、効率のよい電灯を作るため悪戦苦闘した。現在白熱電球、蛍光灯、そして最新のＬＥＤはきわめて効率よく、明りを作っている。これらは、電気エネルギーを熱や光に変換する。光に変換する効率は、白熱電球：　％　　蛍光灯：　　　％ＬＥＤ：　　　％　である。オームの法則で、電気抵抗のあるとことろを電流が流れると、エネルギーが消費され物体の温度が上昇する。この結果、フィラメントが高温になり光を発する。この物体が発する光が、使われるのが白熱電灯である。このように、一度作られた熱エネルギーを、光に変換して使うので、効率は少し悪い。いっぽう、蛍光灯は、高温物体を経ることなく、エネルギーを光に変換化している。そのため、効率がだいぶ良い。蛍光灯の原理は、放電現象と蛍光現象を組み合わせている。　図のような、　　ガスを詰めた管の内部を、放電による電子が通過する際に生じる紫外線を蛍光体に吸収させ、でてくる可視光を使う。最も新しい最後のＬＥＤでは、電流が半導体中を流れる際に直接発生する光を利用する。そのため、効率はＬＥＤで最も良い。

11.2 電熱器電気抵抗Rの導体内を電流 Iが流れると、エネルギーRI2が熱として消費される。熱は、物体を温めたり熱したりするのに使われる。家庭における料理用器具や、暖房に使われる電熱器は、このような原理を使っている。

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11.3 送電発電機で作られた電気は、使用される場所まで送電線を通り送られる。送電中、電流が流れるので、抵抗によるエネルギーのロスがある。ロスを小さくするように、様々な工夫がされると共に、大電力を使用する場所から発電所までの距離を短くして送電距離を短く抑えられている。近年は、風力発電、地熱発電、小型水力発電、原子力発電等の様々な発電施設が作られている。

11.4 電信電信は、遠隔地に情報（信号）を送る手段として、電磁波が最初に応用された分野である。電磁波の特徴は、真空中や空気中を自由に伝播することである。だから、電磁波をうまく使うことより、他の手段では不可能である情報の遠隔地への移送が簡単にできる。このためには先ず、電磁波を人工的に作ることと受信することが必要である。

11.5 ラジオラジオは、音声を自由に輸送する手段として、やはりエデイソンにより発明された。中波ラジオでは、電磁波の振動数が９００ＫＨｚ程度である。この波の波長は、3×108m/s

9×105/s= 300m

である。一方で、人の音声の振動数は１ＫＨｚ程度以下であり、電磁波の振動数よりもはるかに小さい。そのため、音声の振動を直接電磁波の振動に一致させるわけではない。電磁波に、音声の振動をのせるには、工夫が必要である。一つの方法は、電磁波の振幅が音声の振動に合わせてゆっくり振動する波を使うことである。振幅のゆっくりした変化により、電磁波の強度がこの振動数で変化する。この強度の振動を空気中に起こせれば、音声が生成される。この方法を、amplitude matching(AM)といい、中波放送に使われている。

他の方法は、振動数をゆっくり変動させる方法であり、frequency matching(FM)という。振動数の振動の振動数を音声に合わせれば、音声が生成される。ラジオの音楽番組にはＦＭが多く使われている。

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ラジオでは、先ず空気の振動を電気的な振動に変換させ、次に逆のプロセスである電気の振動を空気の振動に変換させる。マイクロフォンや、スピーカーがこれらを行う装置である。

11.6 テレビテレビは、映像と音を、電磁波に乗せて電磁波として伝播させ、輸送する。音の輸送は、ラジオと同じであるが、映像の扱いは音と同じにはゆかない。音の情報は、時間とともに変化する振動数により表される。この場合、電磁波の１次元的な変化として表わされる。ところが、面に映される映像は、元来２次元的である。空間的に２次元的な構造を持つ映像を、電磁波で表すには、ラジオよりさらに高度な、方法がとられる。２次元的な情報を電磁波の上に作成して、空気中を伝搬させる。今までアナログ放送が使われてきたが、最近デジタル放送が主流になりつつある。アナログ放送は、前述のような原理で、映像を電磁波の信号に変換している。一方デジタル放送は、映像の信号を一度数字の信号に直している。

11.7 レコード音を蓄える（蓄音）のが、レコードと蓄音機である。現在は、円盤上のデイスクの表面の溝に情報を埋め込む方法が最もポピュラーである。情報を光（レーザー）を使い読み込む。昔は、円盤状のレコードの表面の溝を読み込むのに、針が使われた。杯は、レコードの表面を摩耗させ、長い期間にわたる使用は、困難であった。いま使う光は、面を摩耗させることは、皆無をｔ掘ってにが、

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11.8 電車従来型の電車は、レールの上を電気エネルギーで回転するモーターを動力として高速移動する。レールは、地面よりもなめらかにできるので、ロスを少なくできる。レール（鉄路）の作成は、大変であるが、一度作られた鉄路は、半永久的に使用される利点がある。だから電車は、陸上の輸送機関として、ガソリン燃料を燃焼する自動車と並んで、重要である。モーターとして従来型のモーターだけでなく、リニアーモーター等の新型モーターが試行的に使われるようになってきた。

11.9 電子計算機電子計算機の発明により、機機が計算を高速で行えるようになった。電子計算機は、記憶と演算を行う。現在の個人用のパーソナルコンピューターは、１０Ｇバイト以上の記憶と、毎秒　　ステップ以上の演算を行う。

11.10 電子レンジ太陽からのエネルギーは、電磁波で伝播している。同様な装置で、電磁波を作成し効率よく吸収させれば、加熱装置となる。これが、家庭用の電子レンジである。

11.11 様々の電磁波電場や磁場の時間や空間での振動が、電磁波である。電磁気学の章の最初に述べたように、様々の波長の電磁波がある。これらは、すべてマックスウェル方程式の解であり、波長が異なるだけである。そのため、すべて光と同じ速さで真空中を伝播する。光も、電磁波の一種であり、太陽から放射される電磁波のうち最も強度が強いのが可視光である。地球上の植物は、光のエネルギーを、光合成で化学的なエネルギーに変換している。だから、地球上における生物は、太陽光を出発点とするエネルギーサイクルの恩恵を受けている。現在の科学技術で、操作しうる電磁波の波長は、表のとおりである。

11.12 問題

電磁波の応用

156

電磁波の応用と反射、屈折

電子レンジのエネルギー

送電の速さ、ロス

電磁波の波長、屈折、直進等

電磁波による三角測量

157

第12章 現代物理学

12.1 相対性理論

12.1.1 慣性の法則

ニュートンの運動の第一法則は、慣性の法則である。慣性の法則は、物体が慣性をもち、力が働いていない物体は、静止か等速度運動をそのまま継続するというものであり、力学にとって不可欠な法則である。第２法則で、力が働くときの運動の定量的な関係を示し、これらの両法則で、力の概念が明確にされている。第２法則で、力を零にすると加速度が零になり、だから速度が一定になり等速度運動が導かれるので、第１法則は、第２法則に含まれるとみなされてしまうことがある。しかし、力とは何であるかの定義が、これらの両法則と独立にされていないので、この解釈は間違いである。第１法則が第２法則に含まれるのではなく、両者が矛盾しないことを示している。むしろ、両法則で、力とは何かを明確にしている。では、加速度系で生じる見かけの力は、見かけでない”真の力”と区別できるだろうか？　観測者がいる座標系が、加速度系であるか、慣性系であるかを知ることは難しい。そこで、慣性系がわかっていれば、慣性系との比較で、見かけの力と真の力を区別できる。ニュートンの第１法則は、慣性系が存在することを仮定し、慣性系では、力の働かない物体は慣性の法則を満たすという法則である。慣性系で、時間は絶対的に定義されている。このような、時間の存在も、慣性系では仮定されている。絶対的な静止系や慣性系、一様な時間や空間の存在を、ニュートン力学は前提にしている。しかしながら、絶対的な時間や空間を仮定することなく、これらを使わずに、我々が直接観測することだけに基づいて自然法則を表わせれば、よりよいだろう。このような観点で物理法則を定式化するのが、一つの方法である。

12.1.2 ガリレオの相対性原理

絶対的な意味を持つ座標系が存在するかしないか問わず、複数の座標系の相対的な関連だけを使い力学法則を定式化することは、大変重要で意味がある。ふたつの座標系が互いに等速度で運動しているとき、位置、速度、時間は

x1 = x2 + V t2

159

v1 = v2 + V (12.1)

t1 = t2

と関係している。この結果、両座標系における運動方程式で、加速度は等しく

a1 = a2 (12.2)

となっている。だから、両座標系で同じ力

F1 = F2 (12.3)

を使い、運動方程式

ma1 = F1 (12.4)

ma2 = F2

が成立する。つまり、等速度で運動するすべての座標系で、運動方程式は同じである。

12.2 アインシュタインの相対性原理光速度不変の原理

光の速さは、どのような速度を持つ観測者からみても同じで一定である。これは、速度の合成についての通常の常識的な公式 (12.1)とは異なり、不思議なことではある。しかし、実験でそのような結果が確認されたので、光の速さが不変であるように、自然法則ができている事になる。このような法則が実現するためには、空間や時間座標の変換則が (12.1)とは異なる必要がある。ある速度 [v]で移動している自動車を、他の速度 V で移動している自動車に乗る人から見たとき、速度は

v = v1 + V (12.5)

となる。同じ事を、光に対して行ったマイケルソン ·モーリイの実験は、光がいつも同じ速さを持つことを確認した。光に対しては、上の速度の合成則 (12.5)が成立しない。この原因は、時間が異なる進み方をする点にある。ガリレイの相対性理論では、時間は両座標で変わらず同じであった。時間についての、詳細な考察が必要になったことはなかったが、光に対しては、事情が異なる。時間も、速度に依存して変わる。z軸方向に速さ vで移

160

動する座標系における座標 (t′, z′)は、元の座標系における座標 (t, x)と線形の関係式を満たしている。この、時間や空間の座標の変換則は、

ct′ = ct1√

1− (vc)2

+ zv/c√

1− (vc)2

(12.6)

z′ = z1√

1− (vc)2

+ ctv/c√

1− (vc)2

(12.7)

である。時間座標と空間座標が、対称な形で変換される。元の座標系で、光の速度で進行する

z = ct (12.8)

では、新たな座標系では

ct′ = ct1√

1− (vc)2

+ ctv/c√

1− (vc)2

(12.9)

= ct(1 + v/c√1− (v

c)2)

z′ = z1√

1− (vc)2

+ ctv/c√

1− (vc)2

(12.10)

= ct(1 + v/c√1− (v

c)2) (12.11)

と変換される。よって、

z′ = ct′ (12.12)

となり、新たな座標系でも、進行速度は同じ cである。

12.3 時間と空間の同等性光速度不変の原理を満たすようになるためには、時間と空間が同等であることが必要である。空間座標が変換されるのと同様に、時間が変換される。時間と空間が光の速さと、座標系の速度を使い、互いに変換される。

12.3.1 相互作用や情報の伝達

相互作用や情報は、高々光の速さで伝達される。

161

12.4 因果律相互作用や、情報が高々光の速さで伝達することは、すべての現象において原因がある場合、結果は高々光の速さで後から生ずる。

12.5 量子論２０世紀、ミクロな世界の物理が分かってきた。特に、分子、原子、電子、等の理解が進むとともに、分子や原子が沢山集まってできている様々な物質の多様な性質が、ミクロな要素の性質や、要素間の相互作用からどのように出てくるのか等が理解された。

12.5.1 ミクロな世界の特徴

ミクロな世界の一つの特徴は、マクロな世界のように物体の運動を表わすための物差しが存在しないことである。例えば、一つの原子はほぼ 10−10M であり、10−10M の長さを測る物差しは、はるかに小さな目盛を持つ必要がある。しかし、原子を集めてそのような目盛や物差しを作ろうとしても、当然はるかに大きくなってしまい無理なことである。だから、原子くらいの大きさのミクロな世界の記述に、普遍的な物差しで物体の位置を読み、位置の変化から、運動の法則を確かめることは、原理的にできない。古典物理学で常識的に行う考えは、だから適用できない。では、物差しの代わりに、ミクロな世界における運動や変化を表すのに何を使えるであろうか？ミクロな世界で発現する現象を記述したり、調べたりするには、ミクロな世界の現象しかない。だから、運動を記述するために物理現象が使われる。位置を測定する物差しがないため、位置の時間変化を追う古典力学的な記述は意味を持たない。ミクロな世界における物理は、重ね合わせの原理を満たす。複数の物理状態があるとき、これらを重ね合わせた物理状態が存在する。重ね合わせの原理は、ベクトル空間の性質であり、物理状態が、ベクトル空間におけるベクトルで表される。しかも、複素数を係数にした重ね合わせができる、複素ベクトル空間である。物理状態を記述するのは、状態ベクトルであり、波動関数ともよばれる。二つの状態を重ね合わせた状態は、二つのスリットからくる光を重ね合わせた状態とよく似ている。電磁気の章でみたように、二つのスリットからくる光を重ねると、合成された波が実現し、その結果干渉が見える。合成波では、二つの波がたされて強くなる場合と、引かれて弱くなる場合があり、空間の位置の違いでこれらの違いから干渉縞ができる。ミクロな世界の特徴は、物理状態が重ね合わせの原理を満たすことである。古典物理学では、重ね合わせの原理を満たすのは、電磁気や様々の波動であり、質点の運動や、大きさを持つ物体の運動を表わす力学では、重ね合わせの原理を満たさない。例えば、質点の位置は一つの時間に一つ決まり、二つの値を重ね合わせることは、意味をなさない。しかし、ミクロな世界では、質点でさえ重ね合わせの原理を満たし、波のような性質を持つ。

162

12.5.2 物差しや時計の代わりをする物理現象

ミクロな世界の長さを測る物差しが存在しないことより、ミクロな世界の状態の記述が、マクロな世界とは大きく異なる。絶対的な物差しを使うことなく、ミクロな世界における現象を記述するには、とにかくミクロな世界の現象を考察し、比較することが初めにすることであろう。これを手始めにして、物理現象の普遍的な面を取りだすため、諸現象の相対的な記述と、測定現象の解析がされる。測定過程で、測定器を使いミクロな世界の情報をマクロな世界の値として読み取る。この過程は、古典物理学の位置の測定に対応するが、実は非常に複雑な現象が係わる。測定器で、物理量を読みとることは、何を意味するのか？

12.6 複素波動関数と重ね合わせの原理重ねあわせの原理を満たす物理状態は、波動関数で表わされ、一つの波動関数が一つの物理状態を表わしている。また、二つの波動関数をたした波動関数で表わされる物理状態が、必ず存在する。古典物理学における波動現象として、音波、光の波や電磁波、水面の波、など様々なものがある。音波は、空気中や水中、固体中を伝播する。空気中の音波では、空気の密度の変化が波となり空気中を伝播する。固体中や液体中では、これらを構成している原子や分子の平衡位置からの変位の振動、すなわち媒質の変位が伝播する。位置の変位は、当然ながら実数であるので、音波は実数の波である。光や電磁波では、電場や磁場の時間や空間と共に振動する変化が波となる。電場や磁場も実数であり、水面上の波でも、もちろん波は実数である。古典物理学では、物体の変位や、電荷や電流に加わる力に基づいて物理法則が成り立ち、これらの波は、やはりすべて実数の波である。ところでミクロな世界では、前の章で述べたように、ミクロな物体の位置、加速度、さらに働く力を古典力学と同じに定義することは出来ない。その結果、波が実数である必然性は、ない。ミクロな世界における波は、何を表わすか？波動が、物理状態を表わしているが、古典物理学とは異なり、測定した位置の変位を示す波であるわけではない。だから、波が何を表わしているかを知るには、実験で探ることになる。実験としてなされる波固有の典型的な現象の一つは、重ね合わせの原理に基づく、干渉である。干渉実験から、ミクロな世界の波の性質を知ることができる。

12.6.1 ２重スリット実験

電子を、図のような２重スリットを通してスクリーンに写す実験を考察する。古典物理とミクロな世界の物理との違いは、このような実験でもある。古典物理では一つの物体の運動を直接測定して、普遍的な結果を得たが、ミクロな世界では、電子は非常に小さくて軽いの

163

で、一つ一つの測定値が普遍的な結果を示すわけではない。逆に、一回ごとの測定値は、殆ど不規則的であり、なんらの規則に従っているように見えない。ところが、沢山の測定をした時、それらの平均値には規則性が見えてくる。これは、物理現象が、確率的に起きている事を示す。確率が普遍的な性質を持つことより、物理法則に確率が関与することになる。２重スリットを通過した電子で、一つの電子がスクリーンに観測される場所は、一回ごとに不規則であり、なんらの規則性を持つようには見えない。しかし、沢山観測した時の平均的な振る舞いには、規則性が観測される。だから、規則性や普遍性を扱う物理学としては、予測が不可能な個々の現象ではなく、沢山の観測に対する平均的な値を考察の対象にする。この平均値を与えるのが、波動関数である。だから、ミクロな波は確率波とも呼ばれる。物理量が確率としての値となるためには、必ず正符号の値をとる正定値性を持ち、また全確率はいつも保存していてかつ１に規格化されている必要がある。

12.6.2 確率と波

確率が、規則的な性質を持つ物理量である。この時、確率が満たす方程式があるだろうか？確率 P が規格化されているので、時間変化しないで

d

dtP = 0 (12.13)

となる。また、P が確率密度 ρ(t, x)の空間積分

P =∫dxρ(t, x), ρ(t, x) ≥ 0 (12.14)

である時、確率の流れ j(t, x)と共に、流れの保存式、

∂

∂tρ(t, x) +∇ · j(t, x) = 0 (12.15)

を満たす。以上の関係は、いかなる物理系でも成立する関係であり、運動方程式とは異なる。各物理系に固有な運動方程式は、いかなる形になるか？確率が、波動関数の絶対値の二乗

ρ(t, x) = ψ(t, x)∗ψ(t, x) (12.16)

とすると、上の正定値を満たし、確率としての性質に合致する。運動方程式は、波動ψが満たし、時間発展がある演算子Aを使い

∂

∂tψ(t, x) = Aψ(t, x) (12.17)

とすると、右辺は

A(ψ1 + ψ2) = Aψ1 + Aψ2 (12.18)

164

となり、波は重ね合わせの原理を満たす。実数の波実数の波の場合には、波動 ψ(t, x)は実数であり、確率密度は

ρ(t, x) = (ψ(t, x))2 (12.19)

となる。全確率の時間変化は、　

∂

∂tP =

∫dx

∂

∂t(ψ(t, x)ψ(t, x)) (12.20)

=∫dx((Aψ(t, x))ψ(t, x) + ψ(t, x)(Aψ(t, x)))

であり、全確率が保存するAの例は、kを定数として、

A = k∂

∂x(12.21)

である。このとき、実際∫dx((Aψ(t, x))ψ(t, x) + ψ(t, x)(Aψ(t, x))) (12.22)

=∫dx((k

∂

∂x)ψ(t, x)ψ(t, x) + ψ(t, x)(k

∂

∂x)ψ(t, x)) = 0

である。このAは、空間反転 x→ −xに対してA→ −Aと変換される。複素数の波複素数の波 ψ(t, x)では、確率密度は

ρ(t, x) = ψ(t, x)∗ψ(t, x) (12.23)

であり、全確率の時間変化は

∂

∂tP =

∫dx

∂

∂t(ψ(t, x)∗ψ(t, x)) (12.24)

=∫dx((Aψ(t, x)∗)ψ(t, x) + ψ(t, x)∗(Aψ(t, x)))

となる。全確率が保存するAの例は、kを定数、iを純虚数として

A = ik(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2+ V ) (12.25)

である。V は、定数でもよいし、座標の関数でも良い。この場合、∫dx(((−ik( ∂

2

∂x2+ V ))ψ∗)ψ(t, x) + ikψ∗(t, x)((

∂2

∂x2+ V )ψ(t, x))) = 0 (12.26)

165

と、全確率は一定である。このAは、空間反転 x→ −xに対してA→ Aと不変であり、実数の波の場合と異なる。このように、実数の波の場合に確率が保存される波動方程式は、空間反転に対して不変ではない。だから、空間反転に対して不変で確率を保存させる方程式は、難しい。ところが、複素数の波動では、空間反転に対して不変で、確率を保存させる方程式が、簡単に作れる。だから、確率に対応する波の方程式としては、複素数の波のほうが自然である。複素数の波は、力に結び付く変位には、直接は関係するわけではない。しかし、力により与えられるニュートンの運動方程式から導かれたハミルトン ·ヤコビ方程式と、関連する。この関連を明らかにするため、波動関数を

ψ = eiS(t,x) (12.27)

と表わして、位相 Sに関する方程式を求める。方程式は、

i∂

∂tS = −ik((∂S

∂x)2 + (

∂S

∂y)2 + (

∂S

∂z)2 + V S) + · · · (12.28)

となり、解析力学のハミルトン ·ヤコビ方程式にほぼ一致する。

12.6.3 干渉

１つのスリットを通る電子では、スクリーン上で電子を観測する確率は、ほぼスリットの延長線上で大きくなり、延長線上を外れると小さくなる。古典的な、粒子の軌道に近い領域に確率を持つことになる。次に、別のスリットを開けて元のスリットを閉じると、スクリーン上でも位置がずれる。では、二つのスリットを開けて測定するとスクリーン上でどのようになるだろうか？つまり、どのような干渉が生ずるのであろうか？スリットのそれぞれを通る波をψ1, ψ2と表わし、重ね合わせた波を

ψ = ψ1 + ψ2 (12.29)

とする。

古典波

古典的な波と同じに ψを実数とすると、スクリーン上の振幅は、

(ψ)2 = (ψ1)2 + (ψ2)

2 + 2ψ1ψ2 (12.30)

となる。

166

複素数の波

ψを複素数とすると、スクリーン上の振幅は、

(|ψ|)2 = (|ψ1|)2 + (|ψ2|)2 + ψ∗1ψ2 + ψ1ψ

∗2 (12.31)

となる。

定在波と束縛状態

波の中には、その空間位置が限定された領域であり、また遠方に伝播しないで、束縛された物がある。媒質を制限した時の波が、その一つである。例えば、有限の長さの弦の振動、太鼓の膜の振動、有限長の管の内部の音波の振動、等である。これらの波では、ある特定の振動数や、波長の振動が存在して、それらの間の振動数は、ほぼ存在しない。楽器から生成される音は、この性質を利用している。これ等の定在波は、決まった境界条件を満たしているため、基本振動、倍振動、３倍振動等の特定の波長や振動数の波だけが存在して、音として外部に出てくる。ギターのような弦の振動では、端が固定されている。この条件を満たすのは、弦の長さの整数倍の波長の波である。飛び飛びになり不連続な値を持つ波が存在する。同様な現象が、原子から放射される光や電磁波にもある。原子から放射される光が、飛び飛びの波長を持つ不連続スペクトルからなっている。これより、原子の内部にある電子は、同じ定在波となっている事が分かる。

12.6.4 中性子干渉

電子は非常に軽い粒子であるため、運動量が小さく波長は比較的長い。そのため容易に波としての性質が現れる現象を見ることができる。電子の次に軽い質量を持つ粒子は、約２００倍の質量をもつミュー粒子である。ミュー粒子は平均寿命を 10−6秒程度とする不安定粒子であり、パイ中間子の崩壊で作られる。安定で、電子の次の質量を持つ粒子は、陽子や中性子である。陽子は、＋ eの電荷を持つ安定な粒子であり、水素の原子核でもある。陽子は、電荷を持つので、電場や磁場による制御が、容易にできる。次の中性子は、陽子よりわずかに重い粒子であり、陽子と電子とニュートリノに崩壊して不安定であるが、平均寿命は数分程度の長さであり、安定な粒子とみなせる。そのため、中性子を使い様々な実験を行うことが可能である。中性子は、電荷を持たない中性な粒子であるため、電場や磁場による制御が困難であり、また質量が電子の約２千倍の値であり、波としての波長は短い。しかし、速さを十分小さく出来れば、中性子の運動量を小さく波長を長くすることができる。このようにして、中性子の干渉が観測されている。中性子の質量が大きいことより、極めて遅く温度の低い中性子を作る技術が、必要であるが、テクノロジーが大きく進展した現在、これらが実現して、中性子のきれいな干渉縞が実際に観測されている。

167

12.6.5 ＡＢ効果

古典的な波と、ミクロな量子論の波の違いを端的に示す現象に、荷電粒子の示すＡＢ効果（アハロノフーボーム効果）がある。AB効果は、ベクトルポテンシャルが複素波の位相に及ぼす効果から引き起こされる現象である。磁場が零になる空間領域で、ベクトルポテンシャルが零ではないとき、ベクトルポテンシャルの影響は、力が零であるので古典物理には表れない。しかし、複素波動関数には反映して、量子力学では物理的な効果がある。電場も磁場も零である時、荷電粒子に働く力は全くない。しかし、波は零になるわけではなく、効果がのこる。これは、電磁場がミクロな世界でになう役割として重要である。波動関数が複素数である事が、電荷をもつ粒子の波動現象を可能にする。複素数としての位相の自由度が、現代物理学で重要なゲージ変換や、ゲージ場の考えうに結びついてゆく。ゲージ場の考えは、現代物理学において、場と基本的な力や相互作用、並びに基本的な粒子の問題において、重要な役割を果たしている。

12.6.6 いかなる波か？

ミクロな世界における波は、確率を与え複素数の波である。ある現象が起きる確率が、１であれば必ずこの現象が起きることを意味する。しかし、ある現象がおきる確率が１より小さいならば、この現象が起きることも、おきないこともある。おきるかおきないかは、事前には分からない。ただし、必ずどれかの現象はおきるはずであるので、各現象の確率をたした全確率は、１になる。このように、量子論の波は、物質の変位を表わす古典的な波とは大きく異なる。量子論の波と古典力学とは、量子論の波の位相部が古典的な運動方程式であるハミルトン ·ヤコビ方程式と関連する。干渉を示す点では、量子論の波は古典論の通常の波と同じである。しかし、干渉は、確率的な現象として観測される。だから、期待値や平均値が干渉を示すことになる。

12.7 観測と実在場所が確定しないで、いくつかの場所で確率的に観測される粒子は、決まった場所に実在するとは言えない。しかし、いずれかの場所で観測される確率の総和である全確率が１であれば、必ずいずれかの場所で観測される。だから、場所は決まらないが、いずれかの場所に、必ず存在し、実在する。この場合、粒子は実在しているが、場所が確定していない。崩壊する粒子の場合には、その粒子は崩壊した後では実在していないが、しかし、崩壊する前では、実在している。実在の意味は、このような粒子の場合、変わってくる。平均寿命が、例えば、数分である中性子の場合、中性子の存在を確認してから数分以内では、中性子として存在しているか、または崩壊した陽子や電子、ニュートリノとして存在するかは、確定しないで、確率的に起こる。観測した際には、中性子があるか陽子があるかは、分かる。

168

しかし、観測しないときには、どちらであるか分からない。この点で、実在している物は何か、または実在とは何を意味するかについての考えは、量子論と古典物理では大いに異なる。

12.8 確率

12.9 問題

ガリレオの相対性原理

光速度不変の原理

アインシュタインの相対性原理

ローレンツ変換、時間空間の同等性

電子・中性子の干渉

169

第13章 付録

13.1 積分積分は、微小量の和の極限である。そのため、加法則を満たす。

13.1.1 1変数の定積分

変数 xの関数 f(x)を x = aから x = bまでの積分∫ b

adxf(x) = liml→∞

∑l

δxlf(xl) (13.1)

は、2次元平面上での曲線 y = f(x)と x軸とが囲む領域の面積を表わす。図の面積は、狭

い短冊の面積 δxlf(xl)をたしあげた値の極限値として得られる。

13.2 ベクトル場の線積分3次元空間で、ベクトル場 f(x)があり、またこの空間に一つの曲線状の経路があるとする。この経路に沿って、ベクトル場と微小線要素ベクトルの内積をたしあげる。いま、

δxl :微小線要素、f(x) :ベクトル場 (13.2)

171

とし、ベクトル場と微小線要素のスカラー積を経路にそってたしあげた量の極限、∫ xb

xa

dl · f(x) = liml→∞∑l

δxl · f(xl) (13.3)

が、線積分である。

13.2.1 ベクトル場の閉経路線積分

この空間状の曲線状の経路が閉じた経路である時、この経路に沿って、ベクトル場と微小線要素ベクトルの内積をたしあげ

xa = xb;閉じた経路 (13.4)∮dl · f(x) = liml→∞

∑l

δxl · f(xl) (13.5)

が、閉経路線積分である。

例：2次元面内の線積分ベクトル場 V (x, y)

I =∫ P2

P1

V dx (13.6)

=∑n

V (xn)∆xn

172

折れ線にそう積分ｘ方向：

V (xn)∆xn = Vxdx (13.7)

ｙ方向：

V (xn)∆xn = Vydy (13.8)

13.3 ベクトル場の回転点 P を回る小さな閉経路に沿う線積分∮

dl · f(x) = liml→∞∑l

δxl · f(xl) (13.9)

が、面積に比例するとき、この積分は、ベクトル場の回転の様子や大きさを表している。また、この積分は面の方向に依存している。この積分が最大になる方向 nに閉経路を選び、∮

dl · f(x) = ∆S(f回転) (13.10)

となる比例係数 (f回転)を大きさとし、方向を nとするベクトルが、ベクトル場の回転である。

∇× f = f(x)のＰにおける回転ベクトル＝f回転n (13.11)

173

13.3.1 2次元面 (xy面)内の閉経路にそう線積分

ベクトル場 V (x, y)

I =∮V dx (13.12)

=∑n

V (xn)∆xn

折れ線にそう一周積分を、小さな長方形の辺に沿った経路C:P→ P + exdx → P + exdx+ eydy → P + eydy → P で行う。辺の長さ dx, dyは微小であるとして、積分を区分求積法で見積もり、∑

V (xn)∆xn (13.13)

= Vx(x, y)dx+ Vy(x+ dx, y)dy − Vx(x+ dx, y + dy)dx− Vy(x, y + dy)dy

= Vx(x, y)dx+ (Vy(x, y) +∂

∂xVy(x, y)dx)dy − (Vx(x, y) +

∂

∂xVx(x, y)dx+

∂

∂yVx(x, y)dy)dx

−(Vy(x, y) +∂

∂yVy(x, y)dy)dy

= (∂

∂xVy(x, y)−

∂

∂yVx(x, y))dxdy

が得られる。よって積分は、面積に比例する。比例係数は、場のｙ成分 Vyのｘ微分とｘ成分 Vxのｙ微分の差である。この差が、z軸方向のベクトル場の回転（渦度ベクトル)の大きさを表すことは、図で明らかであろう。

3次元空間3次元では、微分ベクトル演算子∇とベクトル場 V のベクトル積である。

∇ = (∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z) (13.14)

V = (Vx, Vy, Vz) (13.15)

∇× V = (∂

∂yVz −

∂

∂zVy,

∂

∂zVx −

∂

∂xVz,

∂

∂xVy −

∂

∂yVx) (13.16)

右辺のベクトルの３成分が、ｘ、ｙ、ｚ方向の回転を表す。

174

13.3.2 ストークスの定理

ガウスの定理と同様な関係式として、ベクトル場のある閉曲線にそう線積分が、∮閉曲線

dl · V (x) =∫ ∫

曲面dS · ∇ × V (13.17)

と、ベクトル場の回転の面積分に一致する、ストークスの定理が成り立つ。積分が和の法則に従うことから、各経路での線積分の和は、経路をたした全経路での線積分に一致する。面積分についても同じ関係が成立する。そのため、ストークスの定理が成り立つ。

13.4 ベクトル場の面積分3次元空間で、ベクトル場 f(x)があり、またこの空間に一つの曲があるとする。この面に沿って、ベクトル場と微小線面要素ベクトルの内積をたしあげる。いま、

δSl = ndS :微小面要素ベクトル、n面に垂直な方向ベクトル、 (13.18)

f(x) :ベクトル場

とし、ベクトル場と微小線面要素ベクトルの内積の和をたしあげた量の極限、∫ xb

xa

dS · f(x) = liml→∞∑l

δSl · f(xl) (13.19)

が面積分である。

閉曲面にそう面積分

この空間上の曲面が閉じた面である時、この面に沿って、ベクトル場と微小線面要素ベクトルの内積をたしあげた ∮

dS · f(x) = liml→∞∑l

δSl · f(xl) (13.20)

175

が閉曲面積分である。

ベクトル場の発散

点 P を含む小さな閉曲面に沿う閉曲面積分∮dS · f(x) =　 (13.21)

が、微小体積∆vに比例するとき、∮dS · f(x) = ∆v(f発散) (13.22)

の比例係数 (f発散)が、ベクトル場の発散∇ · f である。

∇ · f =

∮dS · f(x)∆v

(13.23)

13.4.1 閉曲面の内部の体積積分

∮dvf(x) = liml→∞

∑l

δvlf(xl) (13.24)

176

13.4.2 ガウスの定理

積分は、微分の逆演算であるので、関数の微分の積分が、積分の上限値における関数値から下限における関数値をひいた値になる、恒等式∫ x

x0

dtd

dtf(t) = f(x)− f(x0) (13.25)

が成立する。左辺の積分は、ｘの有限の領域での値の和であり、右辺の値はｘの領域の端での値である。この関係式は、３次元空間のベクトル場の発散の有限領域での体積積分が、領域の端の境界面でのベクトル場の面積分に一致するガウスの定理∫ ∫ ∫

立体の内部dxdydz∇ · f(x) =

∫ ∫立体の表面

dS · f(x) (13.26)

に拡張される。

13.5 ルジャンドル変換

13.5.1 1変数

時刻 tでの位置 x(t)が与えられたとしよう。x(t)の時間微分は、

v(t) =d

dtx(t) (13.27)

であり、時刻 tにおける速度である。

次に、位置 xにおける速度を求めよう。このためには、時刻を位置の関数で表した

t = t(x) (13.28)

を速度における時間 tに代入して、

v(t) = v(t(x)) (13.29)

177

を求めれば良い。

最後に、速度 vにおける他の量を表す。このためには、新たな関数 gを

g = x(t)− v(t)t (13.30)

で定義する。微小量は、

dg =d

dtx(t)dt− d(vt) = v(t)dt− v(t)dt− tdv = −tdv (13.31)

であるので、gは変数 vの関数である。

13.5.2 多変数

自変数が、x, yであるとき、これらの一つの関数 f(x, y)の微小量は、

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy (13.32)

と、それぞれの変数についての偏微分で表せる。次に、ｘについての偏微分を pとする。すなわち、

p =∂f

∂x(13.33)

で新たな変数を導入する。x, yが決まれば、fの値や pの値は一つ決まる。だから、x, yの代わりに p, yを自変数として変化する関数 g(p, y)は、

g = f − px (13.34)

である。gの、の微小量は、実際

dg = df − d(px) = df − pdx− xdp (13.35)

= (∂f

∂x− p)dx+

∂f

∂ydy − xdp

=∂f

∂ydy − xdp

178

であり y, pの微小量で書かれる。gをこれらの変数 y, pで表すためには、Eq.(13.33)を xについて y, pの関数として、

x = x(y, p) (13.36)

と解いて、gに代入すればよい。例x, yの関数 f を

f = x2y (13.37)

とする。pは、ｘで微分して

p = 2xy (13.38)

となる。これより、ｇはｐとｙの関数として、

g = f − xp = x2y − xp = x2y − 2x2y = −x2y = − p2

4y2y = − p2

4y(13.39)

となる。

179

１.一次元単振動運動についての以下の問題に答えよ。(１) 質量をM とする質点に、バネ定数 kの変位に比例する引力が働く場合の運動方程式を書き下せ。(２) (１)の運動方程式の解で、時刻 t = 0での初期条件 x(0) = 0, x(0) = V を満たす解を求め、またエネルギー、周期を求めよ。２.光が波であることを示す現象を二つあげ、内容を詳しく説明せよ。

180

2009 再履修物理学　金（５講目：　石川健三）合格者合格者は、以下の通りです。不合格者ならびに、試験を受けれなかった人を対象とした、再（追）試験を行います。

2009 再履修物理学　金（５講目：　石川健三）再（追）試験日時：時間：場所：なお、講義ノートが、私のホームページ、http : //www.sci.hokudai.ac.jp/grp/hep/web/ishikawaj.html

のページの下の欄に乗っています。ノートを取っていない人は、これをよく勉強しておいてください。

181

中間テスト:2010年 12月 7日１．電荷−Qクーロンが位置 (−a, 0, 0)にまた別の電荷Qクーロンが位置 (a, 0, 0)にある。(1)．この二つの電荷間に働く力をもとめよ。(2)．ｘｙ面内における電場と、電気力線の概略を書き下せ。(3)．r ≫ aを満たすｘｙ面内の点P(r cos θ, r sin θ)における電場を r ≫ aを使い簡単な形で求めよ。

2.ｚ軸と平行で点 (0, 0, 0)を通る電流 I1(アンペア)と、(0, 1, 0)を通る電流 I2(アンペア)が、ある。(1).２電流の向きが等しい場合と反対の場合のｘｙ面内での磁力線を書き下せ。(2).電流を回る周回路に沿った磁場の積分が満たす、∮

B · dl = µ0I (13.40)

を使い、ｚ軸上にある電流が (0, 1, 0)で作る磁場を求めよ。(3).二つの電流の間には、１ｍ当たりいくらの力が作用するか？

３．コンデンサーとガウスの定理面積 S、間隔 dの２枚の平行におかれた金属板からなる平板コンデンサーがある。この金属板の一方に−Q、他方にQの電荷蓄えられている。

182

(1)コンデンサーの内部と外部における電場を求めよ。ただし、電場は面に垂直で一様であるとする。(2)電荷が零である状況から、徐々に増やしてQの値にするまでにする仕事は、いくらか？ただし、コンデンサーの容量をCとする。

4.単位系MKSA単位系とは、何を意味するか？また、１アンペアは、間隔が rである平行な直線電流間の長さ δl 当たりの力で、

r = δl = 1メートル (13.41)

のとき、

F = 2× 10−7ニュートン (13.42)

となる電流である。アンペアの単位に基づいて、(1) 電荷の単位：クーロン、(2) 磁束密度（磁場）の単位：テスラ、(3) 電位差の単位：ボルト、(4) 電場の単位　を説明せよ。

183

期末テスト1。電磁誘導の法則時間変化するｚ軸方向の磁場 B = (0, 0, B(t))、B = B0 cosωtのもとで半径Ｒの円状の回路が、図のようにｘｙ面におかれている。

１－１．この回路に発生する起電力を求めよ。１－２．この回路に抵抗Ｒが連結されているとき流れる電流を求めよ。１－３．この時消費される仕事を求めよ。2。変位電流

図のような容量C、断面積Ｓのコンデンサーに交流電圧 V (t) = V0 cosωtをかけるとき生ずる現象について考察する。２－１。コンデンサー内の空間の誘電率を ϵとする。時刻 tにおいて内部に生成される電場E(t)を求めよ。２－２．時刻 tにおいて、コンデンサーに流れ込む電流を求めよ２－３．コンデンサー内をおなじ大きさの電流が流れるとして、この電流とコンデンサー内の電場との関係を示せ。３。波動方程式x-方向に伝播する電磁波は、１次元の波動方程式

ϵ0µ0(∂2

∂t2)E(t, x)− (

∂2

∂x2)E(t, x) = 0 (13.43)

で記述される。３－１．正弦波の関数形の平面波解を、振動数と波長をあらわに表わした形で求めよ。３－２．電磁波の伝播速度をこの波動方程式のパラメータを使い表わせ。３－３．光の速さは、おおよそいくつか？また、携帯電話の周波数 2× 109/秒の電磁波の波長はいくつか？４。光速度光速度を測定する方法を一つ説明せよ。

184

期末テスト (再、追)

1。電磁誘導の法則時間変化するｚ軸方向の磁場 B = (0, 0, B(t))、B = B0 cosωtのもとで半径 aの円柱状のコイルが、図のように１回巻かれている。

１－１．この回路に発生する起電力を求めよ。１－２．この回路に抵抗Ｒが連結されているとき流れる電流を求めよ。１－３．抵抗とコイルの巻き数を共に２倍にすると、消費される仕事は何倍になるか？2。変位電流

図のような容量C、断面積Ｓのコンデンサーに時間に依存して変化する電荷Q(t) = Q0 cosωt

をためるとき生ずる現象について考察する。２－１。コンデンサー内の空間の誘電率を ϵとする。時刻 tにおいて内部に生成される電場E(t)を求めよ。２－２．時刻 tにおいて、コンデンサーに流れ込む電流を求めよ２－３．コンデンサー内をおなじ大きさの電流が流れるとして、この電流とコンデンサー内の電場との関係を示せ。３。波動方程式ｚ-方向に伝播する電磁波は、１次元の波動方程式

ϵ0µ0(∂2

∂t2)E(t, z)− (

∂2

∂z2)E(t, z) = 0 (13.44)

で記述される。３－１．正弦波の平面波解を、求めよ。この解で振動数と波長は、どう表わされるか。３－２．電磁波の伝播速度をこの波動方程式のパラメータを使い表わせ。３－３．光の速さが、108M/sであるとして、周波数 900× 103/秒のラジオ波の波長はいくつか？４。光光が示す現象例を２つ取り上げて、光が何故波であるか説明せよ。

185

中間テスト:2010年 12月 7日：解答例電荷−Qクーロンが位置 (−a, 0, 0)にまた別の電荷Qクーロンが位置 (a, 0, 0)にある。(1)．この二つの電荷間に働く力をもとめよ。答え：電荷間に働く力は、電荷の積に比例して距離の反比例する（クーロンの法則）より、力は

F =1

4πϵ0(−Q)(Q) 1

(2a)2(13.45)

= − Q2

16πϵ0

1

a2(13.46)

で、引力である。(2)．ｘｙ面内における電場と、電気力線の概略を書き下せ。略(3)．r ≫ aを満たすｘｙ面内の点P(r cos θ, r sin θ)における電場を r ≫ aを使い簡単な形で求めよ。答え：位置 x1に電荷 q1がある時の xにおける電場、

E =q14πϵ

1

r31r1 (13.47)

r1 = x− x1, r1 = |x− x1| (13.48)

より、今の電場は

E =Q

4πϵ0(r+r3+

− r−r3−

) (13.49)

r+ = (r cos θ − a, r sin θ)

r− = (r cos θ + a, r sin θ)

である。ここで、aが小さい時の近似式、

r2+ = (r cos θ − a)2 + (r sin θ)2 ≈ r2 − 2ar cos θ (13.50)

r2− = (r cos θ + a)2 + (r sin θ)2 ≈ r2 + 2ar cos θ

を使う。これより、1

r3+r+ − 1

r3−r− (13.51)

=1

r3(1− 2arcos θ)3/2

(r cos θ − a, r sin θ)− 1

r3(1 + 2arcos θ)3/2

(r cos θ + a, r sin θ)

=1

r3((1 +

3a

rcos θ)(r cos θ − a, r sin θ)− (1 +

3a

rcos θ)(r cos θ + a, r sin θ))

=2a

r3(−1 + 3 cos2 θ, 3 cos θ sin θ) (13.52)

186

となり、電場が

E =Q

4πϵ0

2a

r3(−1 + 3 cos2 θ, 3 cos θ sin θ) (13.53)

となる。2.

ｚ軸と平行で点 (0, 0, 0)を通る電流 I1(アンペア)と、(0, 1, 0)を通る電流 I2(アンペア)が、ある。(1).２電流の向きが等しい場合と反対の場合のｘｙ面内での磁力線を書き下せ。略(2).電流を回る周回路に沿った磁場の積分が満たす、∮

B · dl = µ0I (13.54)

を使い、ｚ軸上にある電流が (0, 1, 0)で作る磁場を求めよ。解答：

B × 2πr = µ0I2 (13.55)

より、磁場は

B =µ0

2πrI2 (13.56)

となる。(3).二つの電流の間には、１ｍ当たりいくらの力が作用するか？解答：

F = BI1 =µ0

2πrI1I2 (13.57)

3．コンデンサーとガウスの定理面積 S、間隔 dの２枚の平行におかれた金属板からなる平板コンデンサーがある。この金属板の一方に−Q、他方にQの電荷蓄えられている。(1)コンデンサーの内部と外部における電場を求めよ。ただし、電場は面に垂直で一様であるとする。解答：外部を覆う面でガウスの定理を適用して外部における電場は、

E外部S = 0 (13.58)

187

零である。また内部と外部を覆うような面でガウスの定理を適用して

E内部S =1

ϵ0Q (13.59)

となる。よって、

E内部 =1

ϵ0SQ (13.60)

である。(2)電荷が零である状況から、徐々に増やしてQの値にするまでにする仕事は、いくらか？ただし、コンデンサーの容量をCとする。解答電圧 V のもとで微小電荷 dQを増やす仕事は、

dW = V dQ =Q

CdQ (13.61)

である。これを積分して、

W =∫dW =

∫V dQ =

∫ Q

CdQ =

1

2CQ2 (13.62)

となる。4.

単位系MKSA単位系とは、何を意味するか？解答：長さ、質量、時間、電流に対してMKSAを使う世界標準の単位系である。ここで、M: メートルK:　ＫｇS:　秒A:アンペアである。また、１アンペアは、間隔が rである平行な直線電流間の長さ δl 当たりの力で、

r = δl = 1メートル (13.63)

のとき、

F = 2× 10−7ニュートン (13.64)

となる電流である。アンペアの単位に基づいて、

188

(1) 電荷の単位：クーロン、解答：１アンペアの電流が１秒れた時の電気量(2) 磁束密度（磁場）の単位：テスラ、解答：磁束密度がBであるとき、単位長さの電流に働く力は、F = IBである。１メートル当たり１ニュートンの力を１アンペアの電流に与える磁束密度が、１テスラである。(3) 電位差の単位：ボルト、解答：１クーロンの電荷を１ボルトの電位差のもとで移動させたときの仕事は、１ジュールである。(4) 電場の単位　解答：１ボルトの電位差を１メートル当たり与える電場が、ボルト/メーターである。

189

期末テスト解答1。１－１。回路を横切る磁束 ϕ(t)は、磁束密度と面積の積

ϕ(t) = B(t)Sz = B0 cosωtπa2 (13.65)

であるので、起電力は磁束の時間微分

V (t) = −∂ϕ(t)∂t

= B0πa2ω sinωt (13.66)

と与えられる。１－２。起電力が与えられた抵抗に流れる電流は、オームの法則

I(t) =V (t)

R=B0πa

2ω

Rsinωt (13.67)

で決まる。１－３．そのため仕事（率）は、

P = V (t)I(t) = RI(t)2 =(B0πa

2 sinωt)2

R(13.68)

である。2

２－１コンデンサーの電圧 V、電荷Q、と容量Cの関係、並びに電荷Qと電場E の関係から

Q(t) = CV (t), ϵSE(t) = Q(t) (13.69)

が成り立ち、電場は

E(t) =C

ϵSV (t) (13.70)

となる。２－２．電荷の時間変化が電流であるので

I(t) =∂Q(t)

∂t= (13.71)

190

である。２－３．変位電流は

I(t) = ϵS∂

∂tE(t) (13.72)

である。3

正弦波の解は、

E(t, x) = E0 sin(ωt− kx) (13.73)

であり、定数 ωと kは、方程式に代入して

ϵ0µ0ω2 − k2 = 0 (13.74)

から

ω =k

(ϵ0µ0)1/2(13.75)

と決定される。３－２。速度は、位相が一定である条件

ωt− kx = constant (13.76)

から

ω − k∂x

∂t= 0

v =∂x

∂t=ω

k= (

1

ϵ0µ0

)1/2

と ϵ0と µ0で決まる。値は、kによって変化しない。３－３光速度は、

c = 3× 108M/s (13.77)

である。波長は速度を振動数でわった

λ =3× 108M/s

2× 109/s= 1.5× 10−1m (13.78)

191

である。4.

光速度の測定法。ラーモアーによる木星の衛星観測、フィゾーによる回転歯車と鏡の組み合わせ、等。授業ノート参照のこと。

192