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252
3.7 線形写像 写像について、98 ページを参照(復習)し、さらに第1章連立1次方程式の解法の項目をよく理解した上で先に進んでほしい。
2 つ集合 があり、それらには加法、何倍かするという2種類の演算の構造が入
っているとする。 写像
が次の2つの条件: ( α∈R, x, y∈V ) を満たすとする。このとき写像 は線形性 をもつという。または、 ϕは加
法、スカラー倍の演算を保存するという。このような ϕを線形作用素ともいう。
ϕ(0)=ϕ(0+0)= 2ϕ(0)であるから、 ϕ(0)= 0である。
線形性をもつ写像(線形作用素)の例をいくつか紹介しよう。 1. f :R→R ( x! ax )
2.
ddx
: V→V f ! dfdx
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟,
a
b
∫ :V→R f ! f (x)dxa
b
∫⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
3. L :V→V y! y(n) + pn−1y
(n−1) +"+ p1 ′y + p0y ( )
4. limx→a
:V→ R f ! limx→a
f (x)( )
5. limn→∞
:V→R {an}! a, limn→∞
an = a ( )
6. 内積 Rn→R x! (x,a)( )、外積 R
3→R3 x! x∧ a( )
7.
a j =
a1, j
a2, j
!an, j
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
∈Rn ( j =1,2,",n)について、行列式 det(a1,a2,!,an )は各 a jにつ
いて線形性をもつ。このようなとき、これを多重線形性ともいう。
8. L{ f , x,t} = f (x)e− txdx0
+∞
∫ (ラプラス変換)
9. F
{ f ,t,u}=
12π
f (t)e−iut dt−∞
+∞
∫ (フーリエ変換)
V , ′V
ϕ :V→ ′V
(i) ϕ(x+ y) =ϕ(x)+ϕ(y) (ii) ϕ(αx) =αϕ(x)
ϕ ( linearity )
253
注意:2,3.4.8,9でV は関数の集合で f ,g∈Vについて、 ( f + g)(x) = f (x)+ g(x), (α f )(x) =α f (x)
と加法、 α倍が定義されている。5.で Vは収束する数列の集合である。
さて、線形性を持つ写像 f :Rn→Rmを線形写像( linear mapping)という。
xi ∈ Rm (i=1,2,!,k)とするとき、
f αixi
i=1
k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= f (
i=1
k
∑ αixi )= αi f (i=1
k
∑ xi )である。
たとえば、 A= ai, j( )∈M (m,n :R)とするとき、
写像 f :Rn→Rm x! Ax ( x∈Rn ) ( )
は線形写像である。なぜならば、
f (x1 + x2 )= A(x1 + x2 )= Ax1 + Ax2 = f (x1)+ f (x2 )f (αx)= A(αx)=α(Ax)=α f (x)
実際
y= Ax ⇔
y1y2!ym
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
a1,1 a1,2 " a1,na2,1 a2,2 " a2,n! ! # !am,1 am,2 # am,n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x1x2!xn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
である。 Rn = {{e1,e2,!,en}}について
y= f (x)= f x je ji=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= x j f (
i=1
n
∑ e j )= f (e1), f (e2 ),! f (en )( )
x1x2"xn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
A= f (e1), f (e2 ),! f (en )( ) i.e.,
f (e j ) =
a1, j
a2, j
!am, j
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
( j =1,2,",n)
がわかる。 注意: K (実数または複素数体)上の(一般の)ベクトル空間U,Vについて、線形性を持つ写像 f :U→V を線形写像という。 U =V のとき、 f をUの線形変換とか 1 次変
換という。
254
例題 94 (線形変換の例) (i) K(実数または複素数の集合)とする。Kの元を係数とする xの高々 n次の多項式の集合をKn[x]とすると、Kn[x]はK上ベクトル空間である。
ϕu :Kn[x]→ Kn[x] f (x)! f (x+u), f ∈Kn[x],u∈K ( ) と定義すると、 ϕは線形変換である。なぜならば、任意の α,β ∈K について、 ϕu α f (x)+βg(x)( )=α f (x+u)+βg(x+u)=αϕu ( f (x))+βϕu (g(x))
が成立している。また、 (ii) 実数係数の線形漸化式: xn+k + pk−1xn+k−1 +!+ p1xn+1 + p0xn = 0 (n= 0,1,2,!)
を満たす数列{xn}の集合V とすると、V はR上のベクトル空間である。 {xn},{yn}∈V について、 yn+k + pk−1yn+k−1 +!+ p1yn+1 + p0yn = 0であるから、始めの式を α倍して、
この式を βして、辺々加えると、 (αxn +βyn )+ pk−1(αxn+k−1 +βyn+k−1)+!+ p0 (αxn +βyn )= 0
すなわち、 α{xn}+β{yn}∈Vでベクトル空間の公理を満たすのは明らかである。 φ :V→V {xn}! {xn+1} ( 項の順を1つ上げる(先に1シフト) )
と定義すると、これはV の線形変換であることは明らかである。
(iii) 定数係数の微分方程式: y(n) + p1y
(n−1) +!+ pn−1 ′y + pny= 0 の解空間V とすると、V はベクトル空間である。そこで、 D :V→V y! ′y( )と定義すると、 D(α f +βg)=αD( f )+βD(g)
であるから、Dは線形変換である。 定理 35 (線形写像の存在) R
n = {{ a1,a2,!,an }}とする。任意にベクトル bi ∈Rm (i=1,2,!,n)を指定する。
そこで、 f (ai ) = bi (i=1,2,!,n)
を満たすような線形写像 f :Rn→Rmが一意的に存在する。
[証明]
任意のベクトル
x= αiai
i=1
n
∑ ∈Rnについて、
f (x)= αibi
i=1
n
∑ ∈Rmと定義する。ここで、
特に、 αi =1, α1 =α2 =!=αi−1 =αi+1 =!=αn = 0のときを考えると、 f (ai )= bi
(i=1,2,!,n)を満たしている。また、 ′x = ′αiai
i=1
n
∑ ∈Rnとする。
f (αx+ ′α ′x )= f (ααi + ′α ′αi )ai
i=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= (ααi + ′α ′αi )bi
i=1
n
∑
255
=α αi
i=1
n
∑ bi + ′α ′αii=1
n
∑ bi =α f (x)+ ′α f ( ′x )
これは f が線形写像であることを意味する。最後に一意性を示す。他の線形写像 gで
g(ai ) = bi (i=1,2,!,n)を満たしているとする。任意のベクトル x= αiai
i=1
n
∑ ∈Rnにつ
いて、
g(x)= g(αiai
i=1
n
∑ )= αig(aii=1
n
∑ )= αibii=1
n
∑ = f (x)である。これは f = gを意味す
る。 注意: a1,a2,!,anの f による像を任意に指定して、線形写像を構成できる。この定理
は一般のベクトル空間についても成立する。 定理 36 線形写像 f :Rn→Rm , g :Rm→ Rl
とする。合成写像 g! f :Rn→Rlも線形写像である。 [証明] 任意のベクトル x1,x2 ∈R
nと任意に実数 α,βについて、 g! f (αx1 +βx2 )= g f (αx1 +βx2 )( )= g α f (x1)+β f (x2 )( )= g α f (x1)( )+ g β f (x2 )( ) =αg f (x1)( )+βg f (x2 )( )=αg! f (x1)+βg! f (x2 ) 線形写像 f :R
n→Rmにおいて、 f (Rn )= { f (x);x∈Rn}をRn
の f による像(image) と
いい、Im f と表す。Im f はRmの部分空間である。なぜならば、任意の b1,b2 ∈ Im f に
ついて、 f (ai ) = bi (i=1,2)であつような ai ∈Rn (i=1,2)が存在する。
αb1 +βb2 =α f (a1)+β f (a2 )= f (αa1 +βa2 ) ∴ αb1 +βb2 ∈ Im f
これは Im f が部分空間であることを意味する。
定理 37 線形写像 f :R
n→Rmが単射のとき、逆写像 f−1 : Im f →Rnも線形写像である。
[証明] 任意のベクトル b1,b2 ∈ f (R
n )について、 f (ai ) = bi (i=1,2)である ai ∈Rnが一意的に
きまる。すなわち、 f−1(bi ) = ai (i=1,2)である。
f (αa1 +βa2 )=α f (a1)+β f (a2 )=αb1 +βb2であるから、
f−1(αb1 +βb2 )=αa1 +βa2 =α f −1(b1)+β f
−1(a1)
線形写像 f :R
n→Rmにおいて、零ベクトル oの原像 f−1(o)⊂Rnは部分空間である。
なぜならば、任意のベクトル x1,x2 ∈ f−1(o)について、
256
f (αx1 +βx2 )=α f (x1)+β f (x2 )= o
であるから、 αx1 +βx2 ∈ f−1(o)。これは f
−1(0)が部分空間であることを意味する。 部分空間 f
−1(o)を線形写像 f の核(kernel)といい、 ker( f )と表す。
明らかに、 f が単射であることと f−1(o)= {0}は同値である。 ∵ f (x1)− f (x2 )=
f (x1− x2 )= 0より、 x1− x2 ∈Ker f である。このことから、f が単射 ⇔ Ker f = {0}
がわかる。 f が全射であるとは Im f =Rmのことであることを注意しておく。 例題 95
線形写像
f :R3→R2 x1
x2
x3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
! 2 0 11 −2 3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
x1
x2
x3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
と定義する。 f は全射であることを示せ。また、 Im f ,Kerf の次元を求めよ。
ここで、R3,R2の基底は基本ベクトルとする。 [解]
任意のベクトル
ab
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟∈R2に対して、
2x1 + x3 = ax1−2x2 + 3x3 = b⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
の解について考える。
2 0 1 a1 −2 3 b
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 1 −2 3 a
0 4 −5 a−2b
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→
1 −2 3 a0 1 −5 / 4 (a−2b) / 4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
→
1 0 1/ 2 a / 20 1 −5 / 4 (a−2b) / 4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟より、
x1x2x3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=a / 2
(a−2b) / 40
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+α
−254
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
である。これは f が全射であることを意味している。そして、 a= b= 0のときを考え
ると、
Ker f =−254
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
であることがわかる。また。
f (e1)=
20
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, f (e2 )=
0−2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
である。そして、
20
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, 0−2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟は 1次独立で、
Im f = 2
0
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, 0−2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪がわかる。
ここで、 e1,e2,e3はR3の基本ベクトルである。∴ dim Im f = 2,dim ker f =1である。
注意: 3= dimR3 = dim Im f +dim ker f = 2+1である。一般に次の定理が成立 定理 38 (線形写像の像と核の次元公式)
257
線形写像 f :Rn→Rmについて、
公式: dimRn = dimKer f + dim Im f が成立する。
[証明]
dim Im f = kとする。そして Im f = {{b1,b2,!,bk}}とする。そこで、 f (ai ) = bi (i=1,2,!,k)
である ai ∈Rn (i=1,2,!,k)が存在する。そして、 a1,a2,!,akは 1次独立である。
∵ αi
i=1
k
∑ ai = 0とすると、 f αi
i=1
k
∑ ai⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= αi f (ai )
i=1
k
∑ = αibii=1
k
∑ = 0であるから、 αi = 0
(i=1,2,!,k)である。つぎに dimKer f = ′k とする。そこで Ker f = {{ a*1,a*2,!,a
*′k }}
とする。そのとき、 a1,a2,!,ak ,a*1,a
*2,!,a
*′k は 1次独立で、任意のベクトル x∈R
nはこ
れらのベクトルの 1次結合として表されることを示せれば証明は完成される。 α1a1 +α2a2 +!+αkak +β1a
*1 +β2a
*2 +!+β ′k a
*′k = 0
とする。
f αiai +
i=1
k
∑ βia*i
i=1
′k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= f αiai
i=1
k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ f βia
*i
i=1
′k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= f αiai
i=1
k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= 0
∴
f αiai
i=1
k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= αi f (ai )
i=1
k
∑ = αibii=1
k
∑ = 0、そして、 αi = 0 (i=1,2,!,k)がわかる。
したがって、
βia
*i
i=1
′k
∑ = 0で、 βi = 0 (i=1,2,!, ′k )をうる。
任意の x∈Rnとする。 y= f (x)∈ Im f であるから、
y= αibi
i=1
k
∑ とかける。この α1,!,αk
を使って
x− αiai
i=1
k
∑ を考えると、
f x− αiai
i=1
k
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= y− αibi
i=1
k
∑ = 0 . ∴ x− αiai
i=1
k
∑
∈Ker f である。したがって、 x− αiai
i=1
k
∑ = βia*i
i=1
′k
∑ , i.e., x= αiai
i=1
k
∑ + βia*i
i=1
′k
∑
とかける。任意の x∈Rnが k+ ′k 個の 1次独立なベクトル a1,a2,!,ak ,a
*1,a
*2,!,a
*′k の
1次結合として表される。これは dimRn = k+ ′k = Im f +Kerf を意味する。
注意 1:この定理から、 dimRn ≥ Im f であることがわかる。
注意 2:部分空間 U ⊆Rnについて、 dimU = dim f (U )+dim ker f ∩U( )が成立する。
上の定理でRn、 ker f をU , ker f ∩Uとみて同様に証明することができる。
定理 39
258
線形写像 f :Rn→Rm
とする。1次独立なベクトル a1,a2,!,an ∈Rnとする。
f (a1), f (a2 ),!, f (an )∈Rmが 1次独立である ⇔ Ker f = {0}である。
[証明] (⇒)を示す。 f (a1), f (a2 ),!, f (an )が 1次独立とする。 f (a1), f (a2 ),!, f (an ) ∈ Im f である。これは Im f は少なくとも n個の 1次独立なベクトルを含むことを示して
いる。上の注意を考え合わせると dimRn = Im f であることが分かる。このことから定
理 38より dimKer f = 0すなわち Ker f = {0}がわかる。
(⇐)を示そう。 Ker f = {0}と仮定する。 αi f (ai )
i=1
n
∑ = 0とする。 f αi
i=1
n
∑ ai⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= 0
であるから、
αiai
i=1
n
∑ ∈Ker f 。∴ αiai
i=1
n
∑ = 0。 a1,a2,!,anは 1次独立(大前提)より
αi = 0 (i=1,2,!,n)で、 f (a1), f (a2 ),!, f (an )は 1次独立である。
注意1:一般的に、R上のベクトル空間U,Vがあって、 dimU = n,dimV = mとする。そして、線形写像 f :U→Vが全単射のとき、 f を同型写像という。そのとき U ≅V と
表す。勿論、 dimU = dimVである。
注意2:同型写像 f :R
n→Rnとする。 R
n = {{a1,a2,!,an}}に対して、 Rn = {{ f (a1), f (a2 ),!, f (an )}}と理解でき
る。 f を基底の変換という。
定理 40 線形写像 f :R
n→Rm
について、 f (x)= Ax
であるような,行列 A= ai, j( )∈M (m,n;R)が存在する。
[証明] R
n = {{a1,a2,!,an}},Rm = {{b1,b2,!,bm}}
とすると、 f (a j )∈Rmであるから、
f (a j ) = a1, jb1 +a2, jb2 +!+am, jbm = ai, jbi
i=1
m
∑ ( j =1,2,!,n)
と表される。そして任意のベクトル x∈Rnは
x= x1a1 + x2a2 +!+ xnan
259
と表される。そして、
f (x)= f x ja j
j=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= x j f (
j=1
n
∑ a j )= x jj=1
n
∑ ai, jbii=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= ai, j x jbi
i=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
j=1
n
∑
= ai, j x j
j=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟i=1
m
∑ bi
f (x)= y= yibi
i=1
m
∑
とかけている。したがって、
yi = ai, j x j
j=1
n
∑ ( i=1,2,!,m)
すなわち、
y1 = a1,1x1 +a1,2x2 +!+a1,nxny2 = a2,1x1 +a2,2x2 +!+a2,nxn "ym = am,1x1 +am,2x2 +!+am,nxn
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇔
y1
y2
"ym
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
a1,1 a1,2 ! a1,n
a2,1 a2,2 ! a2,n
" " # "am,1 am,2 ! am,n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x1
x2
"xn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
と表される。 線形写像 f :R
n→Rmを f (x)= Axの形に表すことを線形写像の行列表現といい、行列 Aを基底 {a1,a2,!,an},{b1,b2,!,bn}に関する線形写像 f の表現行列という。表
現行列は基底に依存して決まる。 例題 96
各
a1 =3−46
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,a2 =
124
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,a3 =
215
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟を
b1 =−111
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b2 =
−321
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b3 =
6−4−1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟の
1次結合として表せ。 [解]
a1 = p1,1b1 + p2,1b2 + p3,1b3a2 = p1,2b1 + p2,2b2 + p3,2b3a3 = p1,3b1 + p2,3b2 + p3,3b3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⇔ (a1,a2,a2 )= (b1,b2,b2 )p1,1 p1,2 p1,3p21 p2,2 p2,3p3,1 p3,2 p3,3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
pi, j( )= (b1,b2,b2 )−1(a1,a2,a2 )=
2 3 0−3 −5 2−1 −2 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
3 1 2−4 2 16 4 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−6 8 723 −5 −211 −1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
260
∴
a1 =−6b1 +23b2 +11b3a2 = 8b1−5b2−b3a3 = 7b1−2b2 +b3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
例題 97 (i) R
2 = {{e1,e2}},R3 = {{ ′e1, ′e2, ′e3}} ここで、 e1,e2 , ′e1, ′e2, ′e は基本ベクトルとする
線形写像
f :R2→R3 11
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟!
012
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, −1
1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟!
210
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
の表現行列を求めよ。
(ii) 線形写像 f :R3→R2 ′e1!
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, ′e2 !
34
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, ′e3!
56
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
の表現行列を求めよ。 (iii) 線形写像 f :R4→R4 (x1, x2, x3, x4 )! (y1, y2, y3, y4 ) ( )
y1 y2y3 y4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
a1,1 a1,2a2,1 a2,2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x1 x2x3 x4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
と定義する。このとき、表現行列を求めよ。 (iv) Rnの 2つの基底 {{u1,u2,!,un}},{{v1,v2,!,vn}}があったとき、 f (ui ) = vi ( i=1,2,!,n) であるような線形写像 f :R
n→Rnの表現行列を求めよ。
(v) 線形変換: ϕu :K3[x]→ K3[x] f (x)! f (x+u), f ∈K3[x],u∈K ( )
の表現行列を求めよ。ここで、K3[x]は xの高々 3次の多項式の集合である。
[解]
(i)
11
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= e1 + e2,
−11
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=−e1 + e2 ,
f (e1 + e2 )= f (e1)+ f (e2 )= ′e2 +2 ′e3f (−e1 + e2 )=− f (e1)+ f (e2 )= 2 ′e1 + ′e2
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
∴ f (e1) =− ′e1 + ′e3, f (e2 ) = ′e1 + ′e2 + ′e3
x= x1e1 + x2e2について、 y1 ′e1 + y2 ′e2 + y3 ′e3 = f (x)= x1 f (e1)+ x2 f (e2 )= (−x1 + x2 ) ′e1 + (0+ x2 ) ′e2 + (x1 + x2 ) ′e3
y1 =−x1 + x2y2 = 0x1 + x2y3 = x1 + x2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⇔
y1y2y3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=−1 10 11 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x1x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
261
求める表現行列は
−1 10 11 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
である。
注意:
f (e1), f (e2 )( ) 1 −11 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= E3
0 21 12 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⇔ f (e1), f (e2 )( )=
0 21 12 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 −11 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−1
で、求める表現行列は
f (e1), f (e2 )( )=0 21 12 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
12
1 1−1 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=−1 10 11 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ともできる。
(ii)
y=y1y2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟= f (x)= f (x1 ′e1 + x2 ′e2 + x3 ′e3)= x1
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ x2
34
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ x3
56
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
y1 = x1 + 3x2 +5x3y2 = 2x1 + 4x2 +6x3
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⇔y1y2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟= 1 3 5
2 4 6
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
x1x2x3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
∴求める表現行列は
1 3 52 4 6
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟である。
(iii)
y1 = a1,1x1 +a1,2x3
y2 = a1,1x1 +a1,2x4 y3 = a2,1x1 +a2,2x3 y4 = a2,1x2 +a2,2x4
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇔
y1
y2
y4
y5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
a1,1 0 a1,2 00 a1,1 0 a1,2
a2,1 0 a2,2 00 a2,1 0 a2,2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x1
x2
x3
x4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
a1,1 0 a1,2 00 a1,1 0 a1,2a2,1 0 a2,2 00 a2,1 0 a2,2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
が求める表現行列である。
(iv) 表現行列を Aとする。 f (ui ) = vi ( i=1,2,!,n)⇔ Aui = vi ( i=1,2,!,n)⇔ AU =Vより、 A=VU−1
262
たとえば、
R3 = {{121
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
13−4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−113
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}},R3 = {{
346
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,124
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,215
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}}とする。
121
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!
346
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
13−4
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!
124
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−113
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!
215
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ である。線形写像 f :R
3→R3
を求めよう。
A=3 1 24 2 16 4 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 1 −12 3 11 −4 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1
=119
12 17 1131 17 113 47 17
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(v) f (x) = a0 +a1x+a2x
2 +a3x3
の形にかけている。 ϕu ( f )(x) = a0 +a1(x+u)+a2 (x+u)2 +a3(x+u)3 = (a3u
3 +a2u2 +a1u+a0 )+ (3a3u
2 +2a2u+a1)x+ (3a3u+a2 )x2 +a3x
3
ϕu ( f )=
1 u u2 u3
0 1 2u 3u2
0 0 1 3u0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
a0a1a2a3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
と見ることができる。∴求める表現行列は
1 u u2 u3
0 1 2u 3u2
0 0 1 3u0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
である。 例題 98 R2
の座標系として標準座標系 <O; e1,e2 >を考えるとする。
(i)
f :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟! 0 1
1 0
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ すなわち、 (x, y)! (y, x) ( )
は正則な 1次変換で、幾何学的には、直線 y= xに関する対称変換を意味する。
263
(ii)
f :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟! k 0
0 k
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ (k> 0)
すなわち、 (x, y)! (kx,ky) ( )
は正則な 1次変換で、幾何学的には、相似拡大縮小を意味する。これを相似拡大縮小変換という。
(iii)
fθ :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟! cosθ −sinθ
sinθ cosθ
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ (θ> 0)
は正則な 1次変換で, 幾何学的には,点 (x, y)を原点を中心に θ回転した点 ( ′x , ′y )を対応
させていることを意味する。それは次のようにしてわかる。 x= (x, y), ′x = ( ′x , ′y )とす
ると、
′x = xcosθ− ysinθ, ′y = xsinθ+ ycosθ
で、明らかに x2 = x2 + y2, ′x 2
= x2 + y2である。
(x, ′x )x ′x
=x ′x + y ′yx2 + y2
=(x2 + y2 )cosθ
x2 + y2= cosθ
det(x, ′x )= (x2 + y2 )sinθ ( x, ′x で張られる平行四辺形の面
積)
fα :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟! cosα −sinα
sinα cosα
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
264
fβ :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟!
cosβ −sinβsinβ cosβ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
とすると、 fα ! fβ = fα+βである。
fα+β :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟!
cos(α+β) −sin(α+β)sin(α+β) cos(α+β)
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
他方、
fα ! fβ :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟"
cosβ −sinβsinβ cosθβ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟cosα −sinαsinα cosθα
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
∴
cosβ −sinβsinβ cosβ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟cosα −sinαsinα cosα
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
cosαcosβ−sinαsinβ −(sinαcosβ+ cosαsinβ)sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ−sinαsinβ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
であるから、
加法定理:
cos(α+β)= cosαcosβ−sinαsinβsin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
が得られる。
fθ ! fθ"! fθn# $%%%%%
= fnθすなわち、
cosθ −sinθsinθ cosθ
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
n
= cosnθ −sinnθsinnθ cosnθ
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
より、 n倍角の公式が得られる。たとえば、 n= 3とすると、
cosθ −sinθsinθ cosθ
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
= cos3 θ−3cosθsin2 θ −3cos2 θsinθ+ sin3 θ3cos2 θsinθ−sin3 θ cos3 θ−3cosθsin2 θ
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
= cos3θ −sin 3θ
sin 3θ cos3θ
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3倍角の公式:
cos3θ= cos3 θ−3cosθsin2 θsin 3θ= 3cos2 θsinθ−sin3 θ
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
が得られる。
265
(iv) R2の座標系として標準座標系 <O; e1,e2 >を考えるとする。
点 (x, y)に直線 y= mx ( m≠ 0 )に関して対称な点 ( ′x , ′y )を対応させる線形写像
f :R2→R2 xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟!
′x′y
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
を求めよ。その表現行列を求めよ。
[解] 2 点 (x, y),( ′x , ′y )が直線 y= mx ( m≠ 0 )に関して対称であることは次の関係式
で表される。
y+ ′y2
= m x+ ′x2
, y−′y
x− ′xm=−1
∴ ′x =−(m2−1)x+ 2my
m2 +1, ′y =
2mx+ (m2−1)ym2 +1
′x′y
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
1m2 +1
−(m2−1) 2m2m m2−1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
と表される。これは正則な 1次変換である。 注意: m=1とすると、(i) と一致する。 m= 0のときは、x軸対称、 m→∞のときは、y軸対称を意味する。 m=−1のとき、原点対称移動して、(i)の変換をしたもの。
定理 41 1次独立なm個のベクトル a1,a2,!,amに対して、これらの 1次結合で表された
ベクトル: a*j = p1, ja1 + p2, ja2 +!+ pm, jam (j =1,2,!,m)
とする。係数から作ったベクトル(係数ベクトル):
p j =
p1, j
p2, j
!pm, j
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(j =1,2,",m)、そして P= (p1, p2,!, pm )
とおくと、そのとき、 a
*1,a
*2,!,a
*mが 1次独立 ⇔ 行列 Pが正則である。
[証明] (⇒) Pは正則でないとする。すなわち、 rank(P)<mとする。 斉次連立1次方程式: x1p1 + x2p2 +!+ xm pm = 0
266
が非自明な解 x1 =α1, x2 =α2,!, xm =αmをもつ。この α1,α2,!,αmを係数として、
1次結合: α1a*1 +α2a
*2 +!αma
*m = 0
とする。
α1a
*1 +α2a
*2 +!αma
*m = (α j pi, j )ai
i=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
j=1
m
∑ = α j pi, jj=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟i=1
m
∑ ai = 0
を考えると、 a1,a2,!,amは 1次独立(大前提)より、
α j pi, j
j=1
m
∑ = 0 (i=1,2,!,m)
α1a*1 +α2a
*2 +!αma
*m = 0
は非自明な関係式になる。すなわち、 は 1次従属である。
「 Pが非正則 ⇒ a*1,a
*2,!,a
*mは 1次従属である」を示した。この命題の対偶をとれば結
論が得られる。次に (⇐)を示そう。
α1a*1 +α2a
*2 +!αma
*m = 0
とする。
α1a
*1 +α2a
*2 +!αma
*m = α j pi, j
j=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟i=1
m
∑ ai = 0とかけている。 a1,a2,!,amは 1
次独立(仮定)であるから、
α j pi, j
j=1
m
∑ = 0 (i=1,2,!,m)で、 Pは正則であるから、
α1 =α2 =!=αm = 0を得る。∴ a*1,a
*2,!,a
*mは 1次独立である。
注意: a1,a2,!,amがm次元数ベクトルのとき、
U = (a1,!,am ),V = (a*1,!,a
*m ),P= pi, j( )∈M (m,m;R)
とすると
a*j = p1, ja1 + p2, ja2 +!+ pm, jam (j =1,2,!,m)
!
a*1, ja*2, j!a+m, j
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= p1, j
a1,1a2,1!am,1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ p2, j
a1,2a2,2!am,2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+"+ pm, j
a1,ma2,m!
am,m
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
a1,1 a1,2 ! a1,ma2,1 a2,2 ! a2,m" " # "am,1 am,2 ! am,m
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
p1. jp2, j"pm, j
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
a*1,a
*2,!,a
*m
267
i.e., a*
j =Up j (j =1,2,!,m)⇔V =UP U = (ai, j ), V = (a*i, j ) ( )
であるから、 a1,a2,!,amが 1 次独立 ⇔Uが正則( U ≠ 0)であることに注意して、
P=U−1V である。 a*1,a
*2,!,a
*mが 1 次独立 ⇔ Pが正則すなわち、 a
*1,a
*2,!,a
*mが 1 次
独立(V が正則) ⇔ Pが正則である。 線形写像 f :Rn→Rm x! Ax( ), g :Rm→ Rl y! By( )
とすると、合成写像 g! f :Rn→Rl x" B(Ax) = (BA)x( )とかける。
すなわち、 f ,gの表現行列を A,Bとするとき、 g! f :Rn→Rlの表現行列は B ⋅Aであ
ることがわかる。 同型写像 f :U→V ( y= f (x) )
とする。 そこで、
f −1 ! f (x) = f −1 f (x)( )= f −1 y( )= x, f ! f −1(y) = f f −1(y)( )= f x( )= y
であることがわかる。すなわち、 f−1 ! f = IU , f ! f −1 = IVは恒等変換である。
恒等変換 I :Rn→Rn x! Enx( )で, Iの表現行列は単位行列ある。
f−1 :Rn→Rn x! Bx( )とすると、
f ! f−1 :Rn→Rn x" x= ABx( )、 f
−1 ! f :Rn→Rn x" x= BAx( )
であるから、 AB= BA= Eである。f の表現行列 Aは正則で、 f−1の表現行列は A−1 で
あることがわかる。 定理 42 線形写像 f :R
n→Rmを Rn = {{a1,a2,!,an}},R
m = {{b1,b2,!,bm}}としての
表現行列を Aとする。また、 Rn = {{a*1,a
*2,!,a
*n}},R
m = {{b*1,b*2,!,b
*m}}としたとき
の表現行列を A*とする。そのとき、 A,A*の関係は A
* =Q−1AP が成立する。ここで、P,Qは
基底の変換: a*j = pi, jai
i=1
n
∑ ( j =1,2,!,n),b*j = qi, jbi
i=1
m
∑ ( j =1,2,!,m)
の係数行列:
P=p1,1 ! p1,n" # "pn,1 ! pn,n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
,Q=q1,1 ! q1,n" # "qn,1 ! qn,n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
である。P,Qは正則であることは定理 41で示された。
[証明]
268
線形写像 f :Rn→Rm Rn = {{a1,a2,!,an}},Rm = {{b1,b2,!,bm}} ( )
の表現行列を Aとする。i.e., y = f (x)= Ax x∈Rn , y∈Rm( )とかける。
線形写像 f :Rn→Rm {{a*
1,a*2,!,a*
n}},Rm = {{b*1,b
*2,!,b*
m}} ( )
の表現行列 A*とする。i.e., y* = f (x*) = A*x* x* ∈Rn , y* ∈Rm( )とかける。
a*j = pi, jai
i=1
n
∑ ( j =1,2,!,n),b*j = qi, jbi
i=1
m
∑ ( j =1,2,!,m)
の形にかけている。
任意の x∈ Rnは
x= x ja j
j=1
n
∑ = x*ja*j
j=1
n
∑ , y∈ Rmは
y= yibi
i=1
m
∑ = y*ib*i
i=1
m
∑
の形にかける。
x= x ja jj=1
n
∑ = x*ja*j
j=1
n
∑ = x*j pi, jaii=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
j=1
n
∑ = pi. j x*j
j=1
n
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟i=1
n
∑ ai
y= yjb jj=1
m
∑ = y*jb*j
j=1
m
∑ = y*i qi, jbii=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= qi, j y
*j
j=1
m
∑⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟i=1
m
∑j=1
m
∑ bi
係数比較より
xi = pi. j x
*j
j=1
n
∑ ( i=1,2,!,n ), yi = qi, j y*j
j=1
m
∑ ( i=1,2,!,m )
これは次のように行列で表される。
x1
!xn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=p1,1 " p1,n
! # !pn,1 " pn,n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
x*1
!x*n
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
, y1
!ym
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=q1,1 " q1,m
! # !qm,1 " qm,m
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
y*1
!y*m
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
これを x= Px*, y=Qy*と表す。そして y= f (x) = Ax, y* = f (x*) = A*x*なる関係にあ
る(仮定)から、
y= Ax= APx*他方、 y=Qy* =Q(A*x*)= (QA*)x*。∴ AP=QA* . i.e., A* =Q−1APが
求める関係である。
注意1: 次のダイアグラム(図式)を参照すると変換の意味もよくわかる。
269
注意 2: 線形写像 f :{{a1,a2,!,an}}→ {{a1,a2,!,an}}の表現行列 A
f :{{a*1,a
*2,!,a
*n}}→ {{a*1,a
*2,!,a
*n}}の表現行列 A*
とするとき、基底の変換Pとすると、
A* = P−1AP なる関係にある。この定理で、 m= nとし Q= Pとすればよい。
注意: 次のダイアグラム参照
例題 99 (i) 例題 97- (i)において、
R2 = {{ 21
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, 32
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟}},R3 = {{
346
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,124
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,215
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}}
としたとき、線形写像 f の表現行列を求めよ。
[解]
P= 2 31 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,A=
−1 10 11 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,Q=
3 1 24 2 16 4 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
であるから、
{{a*1,a
*2, ,a*
n}} {{b*1,b
*2, ,b*
m}}A*
{{a1,a2, ,an}} {{b1,b2, ,bm}}AP Q
AP QA* Q 1AP A*
{{a*1,a*2, ,a*n}} {{a*1,a
*2, ,a*n}}
A*
{{a1,a2, ,an}} {{a1,a2, ,an}}AP P
AP PA* A* P 1AP
270
A* =Q−1AP=112
6 3 −3−14 3 54 −6 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1 10 11 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
2 31 2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=112
−12 −1532 45−4 −6
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
が求める表現行列である。 例題 100 Hom(Rn ,Rm ) = { f ; 線形写像 f :R
n→Rm } (線形写像の集合)
とする。Hom(Rn ,Rm )はR上のベクトル空間であり、 dimHom(Rn ,Rm )= mnである。 [解] (I) f ,g∈Hom(R
n ,Rm )について、 ( f + g)(x) = f (x)+ g(x) , (− f )(x) =− f (x) , O(x)= 0と定義する。
(i) ( f + g)+h= f + (g+h) f ,g,h∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
{( f + g)+h}(x)= ( f + g)(x)+h(x)= f (x)+ g(x)+h(x)( )= { f + (g+h)}(x)
(ii) f + g= g+h f ,g∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
( f + g)(x)= f (x)+ g(x)= g(x)+ f (x)= (g+ f )(x)
(iii) f +O= f f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
( f +O)(x)= f (x)+O(x)= f (x)+0= f (x)
(iv) 任意の f ∈Hom(Rn ,Rm )について、 f +ϕ=Oである ϕ∈Hom(Rn ,Rm )がとれ
る。(マイナス元の存在) ϕ=− f とすればよい。
II f ∈Hom(Rn ,Rm )について、 (α f )(x)=α f (x)と定義し、 f の α倍という。
(i) α( f + g)=α f +αg α∈R, f ,g∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
α( f + g)(x)=α f (x)+ g(x)( )=α f (x)+αg(x)= (α f )(x)+αg(x)= (α f +αg)(x)
(ii) (α+β) f =α f +β f α,β ∈R, f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
{ (α+β) f }(x) = (α+β) f (x) =α f (x)+β f (x) = (α f +β f )(x)
(iii) (αβ) f =α(β f ) α,β ∈R, f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
(αβ) f }(x)= (αβ) f (x)=α β f (x)( )= {α(β f )}(x)
271
(iv) 1⋅ f = f f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )
以上により、Hom(Rn ,Rm )はR上のベクトル空間である。
Rn = {{a1,!,an}},R
m = {{b1,!,bm}}とするとき、 f ∈Hom(Rn ,Rm ) の表現行列
A= (ai, j )∈M (m,n;R)が一意的にきまる。そして、
f (a j ) = ai, jbi
i=1
m
∑ ( j =1,2,!,n )
とかけている。 f1, f2 ∈Hom(Rn ,Rm )について、
f1(a j ) = a(1)
i, jbii=1
m
∑ ( j =1,2,!,n ),
f2 (a j ) = a(2)
i, jbii=1
m
∑ ( j =1,2,!,n )
のように表現行列 A1 = a(1)i, j( ),A2 = a(2)i, j( )∈M (m,n;R)がきまる。そして、
( f1 + f2 )(a j ) = f1(a j )+ f2 (a j ) = a(1)
i, jbii=1
m
∑ + a(2)i, jbi
i=1
m
∑ = a(1)i, j +a(2)
i, j( )bii=1
m
∑ ( j =1,2,!,n )
f1 + f2の表現行列は A1 + A2である。また、
(α f )(a j ) =α f (a j ) =α ai, jbi
i=1
m
∑ = (αai, j )bii=1
m
∑ ( j =1,2,!,n )
α f の表現行列は αAである。このことから、
線形写像 ϕ :Hom(Rn ,Rm )→M (n,m;R) f ! A= (ai, j )( )
が定まり、 ϕは全単射(同型写像)であることがわかる。 dimM (n,m;R)= mnである
から、 dimHom(Rn ,Rm )= mnである。
さてここで、行列の階数(rank)を線形写像の言葉で表しておこう。 線形写像 f :Rn→Rm y= f (x) = Ax, A∈M(m,n;R)( )
とする。これを A :Rn→Rmと略記することもある。また、 Im f = ARn
, Ker f = Ker Aと略記する。さて、 rank(A)= rとする。
Ker A= { x∈Rn;Ax= 0 } で、Ker f は斉次連立 1次方程式: Ax= 0の解空間である。解空間の次元は n−rであ
ることが、斉次連立 1 次方程式のところで既に学んでいる。定理 38 より、 n=
272
(n−r)+dimIm f であるから、 r= dimIm f .すなわち、 rank(A)= dimIm f = dimARn
であることがわかる。 注意:線形写像 f :Rn→Rm y= f (x) = Ax, A = (a1,a2,!,an )∈M(m,n;R)( )とする、 f (x)= Ax= x1a1 + x2a2 +!+ xnan とかけている。明らかに 0≤ rank(A)≤m,nである。 rank(A)は a1,a2,!,anの極大集
合の個数を表す。このことからも rank(A)= dimARnであることがわかる。 rank(A)= 0は A=O (零行列)を意味する。 rank(A)= nは f が単射であることを意味する。
∵ xiai =
i=1
n
∑ ′xiaii=1
n
∑ ⇔ xi = ′xi (i=1,2,",n)
rank(A)= mは Im f = {{a1,a2,!,am}}で f は全射であることを意味する。 ∵任意の
b∈Rmについて連立 1次方程式:
xiai =
i=1
n
∑ bが解を持つ。
特に m= nのとき、 rank(A)= m ⇔ A ≠ 0( Aは正則) ⇔ f は全単射であることが
わかる。 また、線形写像 A :Rn→Rm
において、部分空間 U ⊆Rnについて、 AをUに制限し
た写像を AUと表すと、 AU :U→Rmと表し、 AUの像 AU , 核は U ∩Ker Aである。
dimU = dimAU+ dim(U ∩KerA), dimAU ≤ dimU
が成立している。
例題 101 A∈M (n,m;R),B∈M (m,l;R)について、次の評価式が成立する。
rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)} [解]
線形写像 B :Rl→Rm , A :Rm→Rnを考える。 合成写像 ABについて、
rank(AB)= dim((AB)Rl )= dim(A(BRl ))
である。 BRl ⊆Rmであるから、
rank(AB)= dim(A(BRl ))≤ dim(ARm )= rank(A) 他方、一般に、 dimAU ≤ dimUであるから、
rank(AB)= dim(A(BRl ))≤ dimBRl = rank(B) をうる。以上まとめると、 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}
とかける。 注意 1: これは例題 37(61ページ)で初等的に扱っている。
273
注意 2: Pをm次の正則行列、Qを n次の正則行列とする。そのとき、 rank(PAQ)= rank(A)
である。それは次のことから明らかである。
適当な基本行列 !P, !Qを選んで、
!P(PAQ) !Q= ( !PP)A(Q !Q)= EmAEn = Aとできる。 すなわち、基本変形で、 PAQ→!→ Aであることを意味する。。
例題 98
実行列
A=
a1b1 a1b2 ! a1bna2b1 a2b2 ! a2bn" " # "
amb1 amb2 ! ambn
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
ai2
i=1
m
∑ ≠ 0, bi2
i=1
n
∑ ≠ 0⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
の階数を求めよ。 [解]
a =a1
!am
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b = b1, " ,bn( ) ( a≠ o,b≠ o )
とする。 A= a ⋅b= b1a,b2a,!,bna( )と表されている。 b1a,b2a,!,bnaの中に少なくも1個の零ベクトルでないものがある。すなわち、 1≤ rank(A)を意味する。 他方例題 97より、 rank(a ⋅b)≤min{rank(a),rank(b)}=1
ゆえに、 rank(A)=1をうる。 注意: a≠ o,b≠ oより aibk ≠ 0である i,kがあることに注意して、上の公式を振りかざ
さなくとも、実際に
A→ bka Om,n−1( )→bkai!
bkam
,Om,n−1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟→
1!oOm,n−1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ∴ rank(A) =1
と基本変形で直接容易に計算することもできる。 例題 102 A,B∈M (n,m;R)について、
rank(A+ B)≤ rank(A)+ rank(B)
[解] 任意のベクトル x∈Rnについて、 (A+ B)x= Ax+ Bx∈ ARn + BRnであるから、
(A+ B)Rn ⊆ ARn + BRn
rank(A+ B)≤ dim(A+ B)Rn ≤ dimARn +dimBRn = rank(A)+ rank(B) 注意: rank(A+ B)= rank(A)+ rank(B)⇔ (A+ B)Rn = ARn⊕BRn(直和) これは次元公式から容易にわかる。