54
ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ / ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Προγραμματισμός Έργου Βαζαίος Σπυρίδων - 2008103 ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΔΡ. ΠΟΠΗ ΚΟΝΙΔΑΡΗ

cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ / ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

Προγραμματισμός Έργου

Βαζαίος Σπυρίδων - 2008103

Page 2: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΔΡ. ΠΟΠΗ ΚΟΝΙΔΑΡΗ

ΑΘΗΝΑΙ 2010

Page 3: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης
Page 4: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΕΡΓΑΣΙΑ

Προγραμματισμός Έργου

Βαζαίος Σπυρίδων

Α.Μ.: 2008103

ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: Πόπη Κονιδάρη, Διδάκτωρ

Μάιος 2010

Page 5: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Ένα από τα σημαντικότερα στάδια της διαχείρισης έργου είναι αυτό του προγραμματισμού. Στην παρούσα εργασία, εξηγούνται οι λόγοι για τους οποίους είναι απαραίτητος ο προγραμματισμός πριν από την έναρξη ενός έργου και τα οφέλη που αποκομίζονται από αυτόν. Αναλύονται οι προϋποθέσεις και οι περιορισμοί κάτω από τους οποίους γίνεται και παρουσιάζονται οι μέθοδοι με τις οποίες πραγματοποιείται.

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Προγραμματισμός έργου, Διαχείριση έργου

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: δραστηριότητα, CPM, PERT, Gantt, κρίσιμη διαδρομή.

Page 6: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ........................................................................................................................................ 1

1. ΩΕΙΣΑΓ ΓΗ.................................................................................................................................. 2

1.1 Βασικά ορόσημα....................................................................................................................................... 2

1.2 Τεχνικές δικτύων....................................................................................................................................... 3

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΤΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ5

2.1 Στοχαστική προσέγγιση............................................................................................................................. 5

2.2 Αιτιοκρατική προσέγγιση........................................................................................................................... 6

2.3 Στοιχειακή τεχνική..................................................................................................................................... 7

2.4 Τεχνική με βάση την εργασία αναφοράς...................................................................................................7

2.5 Παραμετρική τεχνική................................................................................................................................. 7

3. Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ...................................................................................... 8

4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ...............10

5. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT........................................................................................................... 11

6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΒΕΛΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ..............................12

6.1 Υπολογισμός χρόνου γεγονότων και κρίσιμης διαδρομής........................................................................16

7. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΚΟΜΒΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ..............................17

7.1 Υπολογισμός χρόνου νωρίτερης έναρξης και νωρίτερης λήξης των δραστηριοτήτων...............................17

7.2 Υπολογισμός χρόνου αργότερης έναρξης και αργότερης λήξης των δραστηριοτήτων..............................18

7.3 Υπολογισμός χρονικού περιθωρίου......................................................................................................... 19

Page 7: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

8. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΡΟΠΟΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΚΗΣΥΣΤΕΡΗΣΗΣ................................................................................................................................... 21

9. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ....................................23

9.1 Ενοποιημένες δραστηριότητες................................................................................................................. 23

9.2 Ορόσημα................................................................................................................................................. 23

10. ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ ΑΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ................................................................24

10.1 Προσέγγιση προσομοίωσης (Monte Carlo)...............................................................................................24

10.2 PERT (Τεχνική Αναθεώρησης και Αξιολόγησης Προγράμματος)................................................................25

11. ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΤΩΝ CPM ΚΑΙ PERT...........................................28

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι.............................................................................................................................. 29

ΑΝΑΦΟΡΕΣ...................................................................................................................................... 30

Page 8: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Σχήμα 1: Δίκτυο Activities On Arrows..............................................................................3

Σχήμα 2: Δίκτυο Activities On Nodes...............................................................................3

Σχήμα 3: Κατανομή συχνότητας της διάρκειας των δραστηριοτήτων...............................5

Σχήμα 4: Τρεις περιπτώσεις της κατανομής βήτα: συμμετρική, λοξή προς τα αριστερά

και λοξή προς τα δεξιά.....................................................................................................6

Σχήμα 5: Διάγραμμα Gantt.............................................................................................11

Σχήμα 6: Ενδεικτικά δίκτυα ΑΟΑ....................................................................................12

Σχήμα 7: Χρήση ψευδοδραστηριότητας μεταξύ δύο κόμβων Α και Β............................13

Σχήμα 8: Δίκτυο ΑΟΑ για το παράδειγμα 2, (α) λάθος, (β) σωστό.................................14

Σχήμα 9: Μερική σχεδίαση του δικτύου ΑΟΑ του παραδείγματος 3...............................15

Σχήμα 10: Ολοκληρωμένο δίκτυο ΑΟΑ για το παράδειγμα 3.........................................15

Σχήμα 11: Τυπικός συμβολισμός δραστηριοτήτων σε δίκτυο ΑΟΝ................................17

Σχήμα 12: Δίκτυο ΑΟΝ όπου φαίνονται οι χρόνοι νωρίτερης και αργότερης έναρξης....18

Σχήμα 13: Δίκτυο ΑΟΝ με σχέσεις προπορείας και χρονικής υστέρησης για το

παράδειγμα 7.................................................................................................................21

Σχήμα 14: Διάγραμμα Gantt χρόνων νωρίτερης έναρξης και λήξης........Error: Reference

source not found

Σχήμα 15: Διάγραμμα Gantt χρόνων αργότερης έναρξης και λήξης..............................22

Page 9: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

Πίνακας 1: Επίδραση της μάθησης..................................................................................9

Πίνακας 2: Σχέσεις μεταξύ δραστηριοτήτων για το παράδειγμα 3 14

Πίνακας 3: Αλληλουχίες δραστηριοτήτων στο δίκτυο του παραδείγματος 3 16

Πίνακας 4: Χρόνοι νωρίτερης έναρξης και λήξης για το παράδειγμα 4 18

Πίνακας 5: Χρόνοι αργότερης έναρξης και λήξης για το παράδειγμα 4 19

Πίνακας 6: Χρονικό περιθώριο δραστηριοτήτων για το παράδειγμα 4

Πίνακας 7: Σύνοψη γύρων προσομοίωσης για το παράδειγμα 8...................................24

Πίνακας 8: Στατιστικά στοιχεία για τις δραστηριότητες του παραδείγματος 8 26

Πίνακας Ι: Σωρευτικές πιθανότητες τυπικής κανονικής κατανομής................................29

Page 10: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης
Page 11: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του μαθήματος «Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων». Αποτελεί περίληψη του 9ου κεφαλαίου της δεύτερης έκδοσης του βιβλίου Project Management: Processes, Methodologies, and Economics των Avraham Shtub, Jonathan F. Bard και Shlomo Globerson. Στην εργασία έχει χρησιμοποιηθεί και επιπρόσθετη βιβλιογραφία. Στόχος της εργασίας είναι η παρουσίαση των βασικών εννοιών που αφορούν τον χρονικό προγραμματισμό των έργων (project scheduling) και των κυριότερων μεθόδων με τις οποίες αυτός επιτυγχάνεται.

1Σ. Βαζαίος

Page 12: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

2Σ. Βαζαίος

Page 13: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο προγραμματισμός έργου (project scheduling) αφορά τη συγκρότηση χρονικών προγραμμάτων (timetables) και ημερομηνιών κατά τις οποίες οι διάφοροι πόροι, όπως ο εξοπλισμός και το προσωπικό, θα χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων που αποτελούν το έργο. Τα χρονοπρογράμματα αποτελούν ακρογωνιαίο λίθο του συστήματος προγραμματισμού και ελέγχου.

Στο πλαίσιο του προγραμματισμού συλλέγονται και ενοποιούνται πληροφορίες σχετικές με την εκτίμηση της διάρκειας των δραστηριοτήτων του έργου, τον προσδιορισμό των σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ αυτών, των περιορισμών που επιβάλλονται από τη διαθεσιμότητα των πόρων ή τον προϋπολογισμό και τυχόν απαιτήσεις τήρησης προθεσμιών. Στόχος είναι να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα:

Αν κάθε δραστηριότητα εκτελεστεί σύμφωνα με το σχέδιο, πότε θα ολοκληρωθεί το έργο;

Σε ποια χρονική στιγμή πρέπει να αρχίσει και να τελειώσει κάθε δραστηριότητα;

Ποιες εργασίες είναι πιο κρίσιμες για την διασφάλιση της έγκαιρης ολοκλήρωσης του έργου;

Ποιες μπορούν να καθυστερήσουν, χωρίς να καθυστερήσει η ολοκλήρωση αυτού και για πόσο χρονικό διάστημα;

Οι πληροφορίες – απαντήσεις που συλλέγονται τοποθετούνται σε ένα αποδεκτό πρόγραμμα, το οποίο μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους, όπως χρονοδιάγραμμα ή διάγραμμα Gantt (ραβδόγραμμα το οποίο δείχνει τη σχέση των δραστηριοτήτων στο χρόνο).

Τα προγράμματα παρέχουν ένα βασικό σύνδεσμο επικοινωνίας και συντονισμού μεταξύ των ατόμων που συμμετέχουν σε ένα έργο. Με την ανάπτυξη ενός προγράμματος, ο διαχειριστής προγραμματίζει το έργο και συγκρίνοντας τις ημερομηνίες πραγματικής εκτέλεσης των εργασιών με τις προγραμματισμένες το παρακολουθεί. Αν κριθεί αναγκαίο (απόκλιση από το χρονοδιάγραμμα) λαμβάνει διορθωτικά μέτρα, δηλαδή ασκεί έλεγχο στο έργο.

1.1. Βασικά ορόσημαΩς βασικό ορόσημο ορίζεται ένα σημαντικό γεγονός στον κύκλο ζωής ενός έργου. Αντιπροσωπεύει ένα σημείο ελέγχου για ένα σύνολο δραστηριοτήτων κατά την ολοκλήρωση ενός σταδίου του έργου. Η κατασκευή ενός πρωτοτύπου, η ολοκλήρωση του σταδίου δοκιμής και ο καθορισμός του προγράμματος εμπορικής προώθησης ενός προϊόντος, αποτελούν παραδείγματα οροσήμων με συγκεκριμένα χρονικά όρια.

Η κατάρτιση οπουδήποτε χρονοπρογράμματος πρέπει να ξεκινά με τον καθορισμό των βασικών οροσήμων για όλα τα σημαντικά στάδια του έργου. Ωστόσο, πρέπει να δίνεται προσοχή στην επίτευξη του απαραίτητου βαθμού λεπτομέρειας. Εάν τα ορόσημα βρίσκονται πολύ μακριά το ένα από το άλλο, είναι πιθανό να προκύψουν προβλήματα στην παρακολούθηση και τον έλεγχο του έργου. Στον αντίποδα, η πολύ συχνή τους χρήση μπορεί να οδηγήσει στον υπερβολικό έλεγχο ενός έργου, τη σύγχυση και την άσκοπη δαπάνη πόρων.

3Σ. Βαζαίος

Page 14: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

1.2. Τεχνικές ΔικτύωνΟ προγραμματισμός κάθε έργου συνίσταται στη διαμόρφωση ενός δικτύου (πραγματικού ή νοητού), στο οποίο απεικονίζονται με γραφικό τρόπο οι σχέσεις μεταξύ των εργασιών και των οροσήμων του έργου. Έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές, εκ των οποίων οι γνωστότερες είναι η μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής (Critical Path Method – CPM) και η τεχνική αξιολόγησης και αναθεώρησης προγράμματος (Program Evaluation and Review Technique – PERT). Η κυριότερη διαφορά των δύο είναι ότι η CPM θεωρεί ότι οι χρόνοι που απαιτούνται για την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων έχουν αιτιοκρατικό χαρακτήρα και θεωρούνται γνωστοί, είτε μπορούν να εκτιμηθούν με σχετική ακρίβεια. Αντίθετα, η PERT λαμβάνει την διάρκεια των δραστηριοτήτων ως τυχαία μεταβλητή με μεγάλες διακυμάνσεις και υψηλά επίπεδα αβεβαιότητας.

Οι τεχνικές CPM και PERT βασίζονται σε ένα διάγραμμα που απεικονίζει το σύνολο του έργου ως ένα δίκτυο αποτελούμενο από κόμβους και βέλη. Χρησιμοποιούνται δύο διαφορετικές προσεγγίσεις στη σχεδίαση των δικτύων. Στην μια οι δραστηριότητες τοποθετούνται σε βέλη και οι κόμβοι υποδηλώνουν τα ορόσημα (Activities On Arrows – AOA) (Σχήμα 1). Στην δεύτερη ισχύει το αντίθετο, δηλαδή οι δραστηριότητες απεικονίζονται με κόμβους και τα βέλη δείχνουν τις σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων (Activities On Nodes – AON) (Σχήμα 2). Και οι δύο μέθοδοι χρησιμοποιούνται τόσο στην τεχνική CPM όσο και στην PERT.

Σχήμα 1: Δίκτυο Activities On Arrows.

Σχήμα 2: Δίκτυο Activities On Nodes.

4Σ. Βαζαίος

Page 15: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Προκειμένου να ξεκινήσει η διαδικασία μοντελοποίησης με βάση τις τεχνικές δικτύου, απαιτείται κατανόηση των απαιτήσεων και της δομής του έργου. Συγκεκριμένα πρέπει να προσδιοριστούν οι σημαντικές δραστηριότητες του έργου και οι περιορισμοί στην αλληλουχία αυτών (με ποια σειρά πρέπει να εκτελεστούν, ποιες μπορούν να πραγματοποιηθούν παράλληλα), όπως επίσης να βρεθεί η εκτιμώμενη διάρκεια ολοκλήρωσης για κάθε μια.

Τα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης έργου και η σωστή εφαρμογή τους συνεπάγεται πολλά οφέλη. Παρέχουν ένα κοινό πλαίσιο για το σχεδιασμό, τον προγραμματισμό, την παρακολούθηση και τον έλεγχο των έργων. Καθορίζουν τις ημερομηνίες που πρέπει να ξεκινήσουν οι εργασίες, δίνουν εκτιμήσεις των ημερομηνιών ολοκλήρωσης του έργου, καθώς και της πιθανότητας ολοκλήρωσης έως μια συγκεκριμένη ημερομηνία. Προσδιορίζουν τις δραστηριότητες οι οποίες αν καθυστερήσουν, καθυστερεί η ολοκλήρωση του συνολικού έργου (κρίσιμες δραστηριότητες), αλλά και τις δραστηριότητες που διαθέτουν χρονικά περιθώρια και επομένως μπορούν να καθυστερήσουν χωρίς αρνητικές επιπτώσεις. Επιπλέον, απεικονίζουν τις δραστηριότητες που μπορούν ή πρέπει να εκτελεστούν παράλληλα και αυτές που έχουν ανάγκη συντονισμού προκειμένου να αποφευχθούν οι συγκρούσεις στη χρήση των πόρων [1].

Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι τεχνικές προσδιορισμού της διάρκειας των δραστηριοτήτων και η ανάλυση των μεθόδων CPM και PERT.

5Σ. Βαζαίος

Page 16: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

2. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΤΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ

Κάθε έργο αποτελείται από ένα σύνολο εργασιών, οι περισσότερες εκ των οποίων μπορούν να υποδιαιρεθούν σε δραστηριότητες. Οι τεχνολογικές διαδικασίες που επιλέγονται για την εκτέλεση κάθε δραστηριότητας επηρεάζουν τους απαιτούμενους πόρους, αλλά και το χρονοδιάγραμμα. Για παράδειγμα, μια δραστηριότητα μεταφοράς μεγάλων φορτίων από μια χώρα σε άλλη, απαιτεί διαφορετικούς χρόνους αν γίνει με φορτηγά ή αν γίνει με τρένο.

Δύο είναι οι προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της διάρκειας μια δραστηριότητας: η στοχαστική προσέγγιση και η αιτιοκρατική προσέγγιση. Η πρώτη εξετάζει τα πιθανολογικά στοιχεία του έργου και εκτιμάει την προσδοκώμενη διάρκεια κάθε δραστηριότητας και την αντίστοιχη διακύμανσή της. Αντίθετα, η αιτιοκρατική προσέγγιση θεωρεί ότι κάθε δραστηριότητα έχει καθορισμένη διάρκεια. Παρόλο που η εργασίες υπόκεινται σε τυχαία γεγονότα και αβεβαιότητες, η αιτιοκρατική είναι η προσέγγιση που χρησιμοποιείται από την πλειονότητα των διαχειριστών έργου επειδή είναι απλούστερη και γίνεται ευκολότερα κατανοητή, ενώ στις περισσότερες περιπτώσεις δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα.

2.1. Στοχαστική προσέγγισηΜόνο σε λίγες περιπτώσεις είναι γνωστή εκ των προτέρων η ακριβής διάρκεια μιας δραστηριότητας. Επομένως είναι λογικό να αναλύονται παλιότερα δεδομένα και να κατασκευάζονται διαγράμματα κατανομής συχνότητας της διάρκειας των δραστηριοτήτων. Ένα παράδειγμα τέτοιας κατανομής φαίνεται στο σχήμα 3, όπου παρουσιάζονται οι χρόνοι εκτέλεσης μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας κατά το παρελθόν.

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Διάρκεια δραστηριότητας (ώρες)

Αριθ

μός ε

πναλ

ήψεω

ν

Σχήμα 3: Κατανομή συχνότητας της διάρκειας των δραστηριοτήτων.

6Σ. Βαζαίος

Page 17: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Προκειμένου να μπορεί να γίνει επεξεργασία των αριθμητικών δεδομένα, χρειάζεται μια συνεχής κατανομή παρόμοια με ένα τέτοιο διάγραμμα συχνοτήτων. Η κανονική κατανομή αποτελεί μια καλή επιλογή. Ωστόσο, το γεγονός ότι στην κατανομή μπορεί να εμφανίζεται λοξότητα καθώς και ότι ο πραγματικός χρόνος εκτέλεσης δεν μπορεί να είναι αρνητικός, οδηγεί συνήθως στη χρησιμοποίηση της κατανομής βήτα [2] (Σχήμα 4).

Σχήμα 4: Τρεις περιπτώσεις της κατανομής βήτα: συμμετρική, λοξή προς τα αριστερά και λοξή προς τα δεξιά.

Για τον προσδιορισμό της διάρκειας μιας δραστηριότητας, μας ενδιαφέρουν οι εξής τιμές της κατανομής:

a = αισιόδοξος χρόνος, ο οποίος θα απαιτηθεί αν η εκτέλεση εξελιχθεί εξαιρετικά καλά.

m = πιθανότερος χρόνος, ο οποίος θα απαιτηθεί αν η εκτέλεση εξελιχθεί κανονικά.

b = απαισιόδοξος χρόνος, ο οποίος θα απαιτηθεί αν η εκτέλεση εξελιχθεί εξαιρετικά άσχημα.

Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε την προσδοκώμενη τιμή (d ¿ από τη σχέση:

d=13 [2 m+ 1

2(a+b )]=a+4 m+b

6(1.1)

Η σχέση 1.1 πρόκειται στην ουσία για τον σταθμισμένο μέσο όρο της μέσης τιμής, m, και της κεντρικής τιμής (a+b ) /2, όπου η πρώτη έχει διπλάσια βαρύτητα από την δεύτερη.

Αντίστοιχα, για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης υποθέτουμε ένα εύρος τιμών μεταξύ του αισιόδοξου και του απαισιόδοξου χρόνου ίσο με έξι τυπικές αποκλίσεις, οπότε προκύπτει:

s= b−a6

(1.2)

2.2. Αιτιοκρατική προσέγγισηΑν εξετάζοντας τα προηγούμενα δεδομένα για μια δραστηριότητα προκύπτει ότι η διαφοροποίηση στον χρόνο εκτέλεσης είναι αμελητέα, τότε η διάρκεια της δραστηριότητας μπορεί να εκτιμηθεί από τη μέση τιμή της, δηλαδή να θεωρηθεί γνωστή επακριβώς.

Πρόβλημα δημιουργείται όταν δεν υπάρχουν προηγούμενα δεδομένα, σύνηθες φαινόμενο σε μικρότερες οργανώσεις που δεν διαθέτουν κατάλληλο σύστημα

7Σ. Βαζαίος

Page 18: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

πληροφοριών ή σε έργα έρευνας και ανάπτυξης στα οποία η δραστηριότητα εκτελείται για πρώτη φορά. Αυτό αντιμετωπίζεται με τις παρακάτω τρεις τεχνικές.

2.3. Στοιχειακή τεχνικήΗ τεχνική αυτή βασίζεται στην ανάλυση κάθε δραστηριότητας σε υποδραστηριότητες (στοιχεία) έτσι ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός του χρόνου εκτέλεσης για το καθένα με άμεσο τρόπο. Τότε, ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης θα είναι το άθροισμα των επιμέρους χρόνων του κάθε στοιχείου.

2.4. Τεχνική με βάση την εργασία αναφοράςΧρησιμοποιείται σε έργα που περιλαμβάνουν πολλές επαναλήψεις τυποποιημένων δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα, αν η εγκατάσταση ενός ηλεκτρικού συστήματος σε ένα νέο κτήριο απαιτεί 30 λεπτά και πρέπει να εγκατασταθούν 80 τέτοια συστήματα, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι απαιτούνται συνολικά 30 x 80 = 2400 λεπτά για ολόκληρη την δραστηριότητα.

2.5. Παραμετρική τεχνικήΥπάρχουν περιπτώσεις που δεν μπορεί να εφαρμοστεί η προηγούμενη τεχνική (επειδή το έργο δεν αποτελείται από ένα σύνολο βασικών στοιχείων, οι χρόνοι των οποίων μπορούν να προστεθούν). Τότε χρησιμοποιείται η παραμετρική τεχνική όπου βασίζεται στην ανάλυση αιτίου – αποτελέσματος. Πρώτο βήμα είναι ο προσδιορισμός των ανεξάρτητων μεταβλητών που επηρεάζουν την διάρκεια της δραστηριότητας και να γίνει, κατόπιν, εκτίμηση των χρόνων εκτέλεσης για κάθε μια από αυτές. Ύστερα, ελέγχεται η συσχέτιση των μεταβλητών ώστε να προκύψει η καμπύλη απόκρισης μεταξύ εξαρτημένης και ανεξαρτήτων μεταβλητών (συνήθως γραμμική) και τέλος παράγεται η εξίσωση παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Για παράδειγμα, στη διάνοιξη μιας σήραγγας, μια ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να είναι το μήκος της. Αν χρειάζονται 12 ώρες για την διάνοιξη ενός μέτρου, τότε για όλη τη σήραγγα θα απαιτούνται 12 x L, όπου L το μήκος αυτής.

8Σ. Βαζαίος

Page 19: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

3. Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ

Με την απόκτηση πείρας επιτυγχάνεται βελτίωση των επιδόσεων, τόσο σε ατομικό όσο και σε οργανωτικό επίπεδο, που μεταφράζεται σε μείωση των χρόνων εκτέλεσης των δραστηριοτήτων ή σε χαμηλότερο κόστος ανά επανάληψη. Η πείρα μετριέται συνήθως από τον αριθμό των επαναλήψεων μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας.

Η σχέση μεταξύ χρόνου εκτέλεσης και πείρας ονομάζεται καμπύλη μάθησης. H εξίσωση που πρότεινε ο T. P. Wright γι’ αυτή είναι:

Τ n=Τ 1∙ nβ(1.3)

όπου:

Tn = ο προσδοκώμενος χρόνος εκτέλεσης της δραστηριότητας κατά τη νιοστή επανάληψη.

T1 = ο αναμενόμενος χρόνος εκτέλεσης της δραστηριότητας κατά την πρώτη επανάληψη.

n = ο αριθμός των επαναλήψεων.

β = ο συντελεστής μάθησης.

Συνήθως, η καμπύλη μάθησης περιγράφεται από το ποσοστό μείωσης του χρόνου που επιτυγχάνεται στη 2n επανάληψη σε σχέση με την n-οστή επανάληψη. Καμπύλη μάθησης 80% σημαίνει ότι χρόνος που απαιτείται για την 2n επανάληψη είναι το 80% του χρόνου που απαιτείται για την επανάληψη n.

Έτσι, η προηγούμενη σχέση μπορεί να γραφτεί ως:

Τ2 n

Τ n=

T1 (2n )β

T 1 (n )β=2β(1.4 )

Από τον παραπάνω τύπο γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι η σχετική βελτίωση μεταξύ 1ης

και 2ης επανάληψης είναι ίση με την βελτίωση μεταξύ 10ης και 20ης κοκ. Η επίδραση της μάθησης, δηλαδή, είναι πιο σημαντική κατά το στάδιο της εκκίνησης όταν ο συνολικός αριθμός επαναλήψεων είναι μικρός. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό με το παρακάτω παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Μια δραστηριότητα πρόκειται να επαναληφθεί τέσσερις φορές σε ένα έργο. Η διάρκειά της εκτιμάται σε 100 ώρες. Το ποσοστό μάθησης είναι 80%. Να βρεθούν οι χρόνοι εκτέλεσης της δραστηριότητας από έναν ή τέσσερις εργαζόμενους.

Απάντηση: Από την εξίσωση (1.4) προκύπτει β = - 0,322, οπότε με βάση την αρχική εκτίμηση ο χρόνος για την εκτέλεση της δραστηριότητας είναι ο εξής:

9Σ. Βαζαίος

Page 20: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Πίνακας 1: Επίδραση της μάθησης.

Αριθμός επανάληψης Χρόνος εκτέλεσης (ώρες)

1 100

2 80

3 70

4 64

Σύνολο 314

Έτσι, αν η δραστηριότητα ανατεθεί στον ίδιο εργαζόμενο και υπάρξει μάθηση, θα ολοκληρωθεί σε 314 ώρες. Αντίθετα, αν ανατεθεί σε τέσσερις διαφορετικούς εργαζόμενους, τότε θα χρειαστούν 400 ώρες.

Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι στα έργα που πρόκειται να παραχθεί μικρός αριθμός ίδιων μονάδων (λίγες επαναλήψεις), η προσεκτική ανάθεση των δραστηριοτήτων στους εργαζόμενους είναι καθοριστικής σημασίας. Η ανάθεση της εκτέλεσης μιας δραστηριότητας, στους ίδιους εργαζόμενους, έχει ως αποτέλεσμα την εξοικονόμηση χρόνου λόγω της επίδρασης της μάθησης.

Εκτός, από την καμπύλη μάθησης του Wright, έχουν προταθεί και άλλα μοντέλα που προσπαθούν να ενσωματώσουν επιπρόσθετους παράγοντες. Για παράδειγμα, ο L. E. Yelle θεωρεί ότι οι χρόνοι εκτέλεσης εξαρτώνται και από το κόστος κάθε εργασίας και παραμένουν σχεδόν σταθεροί όταν αυτό είναι μεγάλο [3].

10Σ. Βαζαίος

Page 21: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

4. ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

Ο χρονοπρογραμματισμός των δραστηριοτήτων περιορίζεται από τους διαθέσιμους πόρους και από τεχνολογικούς περιορισμούς, που είναι γνωστοί ως σχέσεις προτεραιότητας. Υπάρχουν τέσσερις τύποι σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων, οι ορισμοί και οι τυπικοί συμβολισμοί των οποίων εξηγούνται στη συνέχεια [4]:

FSAB (σχέση λήξης – έναρξης): Η δραστηριότητα Β μπορεί να ξεκινήσει τουλάχιστον FS μονάδες χρόνου μετά την λήξη της δραστηριότητας Α.

Για παράδειγμα, η διόρθωση των διαγωνισμάτων, μπορεί να ξεκινήσει αφού έχουν γίνει πρώτα οι εξετάσεις.

Αποτελεί την συνηθέστερη σχέση προτεραιότητας. Οι τεχνικές CPM και PERT χρησιμοποιούν FS = 0 για την ανάλυση του δικτύου, θεωρούν, δηλαδή, ότι κάθε δραστηριότητα μπορεί να αρχίσει αμέσως μετά την ολοκλήρωση της προηγούμενής της.

SSAB (σχέση έναρξης – έναρξης): Η δραστηριότητα Β μπορεί να ξεκινήσει τουλάχιστον SS μονάδες χρόνου μετά την έναρξη της δραστηριότητας Α.

Για παράδειγμα, η τοποθέτηση ενός αγωγού σε έναν δρόμο, δεν μπορεί να ξεκινήσει αν δεν έχει πρώτα αρχίσει η εκσκαφή του χαντακιού.

FFAB (σχέση λήξης – λήξης): Η δραστηριότητα Β μπορεί να λήξει τουλάχιστον FF μονάδες χρόνου μετά την λήξη της δραστηριότητας Α.

Παράδειγμα αποτελεί η κατασκευή ενός πολυώροφου κτηρίου και το βάψιμο αυτού. Παρότι δεν υπάρχει περιορισμός στην έναρξη της διαδικασίας βαψίματος, αυτή δεν είναι δυνατόν να ολοκληρωθεί, αν δεν τελειώσει το χτίσιμο και του τελευταίου ορόφου του κτηρίου.

SFAB (σχέση έναρξης – λήξης): Πρέπει να μεσολαβούν τουλάχιστον SF μονάδες χρόνου μεταξύ της έναρξης της δραστηριότητας Α και την ολοκλήρωση της δραστηριότητας Β.

Για παράδειγμα, τέτοια σχέση μπορεί να υπάρχει σε ένα εργοστάσιο πυρηνικής ενέργειας όπου ένα ρομπότ μεταφέρει ραδιενεργά υλικά στο άλλο. Το πρώτο ρομπότ μπορεί να αφήσει τα υλικά μόνο εφόσον το δεύτερο ρομπότ τα έχει πιάσει καλά.

Για την ανάλυση των σχέσεων προτεραιότητας και το πώς αυτές επηρεάζουν τον χρονοπρογραμματισμό χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Gantt και οι τεχνικές δικτύων CPM και PERT που παρουσιάζονται στη συνέχεια.

11Σ. Βαζαίος

Page 22: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

5. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ GANTT

Το διάγραμμα Gantt (αναπτύχθηκε από τον Henry L. Gantt στη διάρκεια του Α’ Παγκοσμίου πολέμου) είναι ένα εργαλείο διαχείρισης που χρησιμοποιείται ευρέως για τον προγραμματισμό και τον έλεγχο του έργου. Πρόκειται για ένα ραβδόγραμμα, το οποίο απαριθμεί τις δραστηριότητες που πρέπει να εκτελεσθούν στον κάθετο άξονα και τις αντίστοιχες διάρκειές στους στον οριζόντιο άξονα (σχήμα 5).

G

F

E

D

C

B

A

0 5 10 15 20 25

Εβδομάδα

Δρασ

τηρι

ότητ

α

Σχήμα 5: Διάγραμμα Gantt.

Οι ράβδοι υποδηλώνουν τις δραστηριότητες και η θέση τους στον άξονα του χρόνου υποδεικνύει τον χρόνο κατά τον οποίο πρέπει να εκτελεστούν. Για παράδειγμα, η δραστηριότητα C πρέπει να ξεκινήσει την 5η εβδομάδα και να λήξει την 13η εβδομάδα του έργου.

Έχουν αναπτυχθεί πολλές παραλλαγές του αρχικού διαγράμματος Gantt, προκείμενου να παρέχουν περισσότερες λεπτομέρειες στον διαχειριστή έργου, όπως πληροφορίες σχετικά με την εξέλιξη του έργου. Ωστόσο, το πρόβλημα που προκύπτει όταν προσθέτονται επιπλέον χαρακτηριστικά σε ένα ραβδόγραμμα είναι ότι χάνεται η σαφήνεια και η απλότητά του και δυσχεραίνεται η ερμηνεία των δεδομένων που αυτό παρέχει.

Μολονότι παράγονται και ερμηνεύονται εύκολα, έχουν ως κύριο περιορισμό ότι δεν μπορούν να απεικονίσουν τις σχέσεις μεταξύ των εργασιών (προτεραιότητες). Έτσι, παράλληλα με τα διαγράμματα Gantt χρησιμοποιούνται και τεχνικές δικτύων για την κάλυψη αυτών των αναγκών.

12Σ. Βαζαίος

Page 23: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

6. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΒΕΛΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ

Για την κατασκευή ενός δικτύου AOA (Activities On Arrows – δραστηριότητες σε βέλη), χρησιμοποιούνται βέλη για την αναπαράσταση των δραστηριοτήτων, η μύτη των οποίων δείχνει την κατεύθυνση της προόδου του έργου. Ένα γεγονός που αντιστοιχεί σε ένα σημείο στο χρόνο (παριστάνεται με κόμβο στο δίκτυο), υποδηλώνει την έναρξη ή την ολοκλήρωση μιας ή περισσοτέρων δραστηριοτήτων. Επομένως κάθε δραστηριότητα παριστάνεται από ένα αρχικό και ένα τελικό γεγονός και ένα βέλος που δείχνει την εξέλιξή της (σχήμα 6). Η αρίθμηση των κόμβων γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε βέλος να δείχνει σε μεγαλύτερο αριθμό κόμβου.

Σχήμα 6: Ενδεικτικά δίκτυα ΑΟΑ.

Οι κανόνες κατασκευής του δικτύου συνοψίζονται στη συνέχεια:

Κανόνας 1: Κάθε δραστηριότητα παριστάνεται με ένα και μόνο ένα βέλος στο δίκτυο.

Κανόνας 2: Δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο δραστηριότητες που προσδιορίζονται από το ίδιο αρχικό και τελικό γεγονός.

Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί όταν δύο ή περισσότερες δραστηριότητες μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα. Η διαδικασία που χρησιμοποιείται για να παρακαμφθεί η δυσκολία αυτή είναι η εισαγωγή μια πλασματικής δραστηριότητας ή ψευδοδραστηριότητας (dummy activity). Οι ψευδοδραστηριότητες δεν καταναλώνουν χρόνο (έχουν μηδενική διάρκεια) ή πόρους και αναπαριστώνται με διακεκομμένες γραμμές στο δίκτυο.

13Σ. Βαζαίος

Page 24: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

1 3

2

D1

B

A

1 3

A

B

1 3

2

A

B

D1

1 3

2

B

A

D1

1 3

2

D1

A

B

Προγραμματισμός Έργου

Για παράδειγμα, στο σχήμα 7 οι δραστηριότητες Α και Β εκτελούνται παράλληλα και έχουν το ίδιο αρχικό και τελικό γεγονός. Επειδή αυτό αντιβαίνει στον κανόνα 2, εισάγεται μια ψευδοδραστηριότητα στην Α ή την Β. Οι τέσσερις τρόποι που φαίνονται στο σχήμα είναι ισοδύναμοι.

Οι ψευδοδραστηριότητες είναι επίσης αναγκαίες για τη θέσπιση λογικών σχέσεων, οι οποίες δεν είναι δυνατόν να παρουσιαστούν σωστά με άλλον τρόπο.

Για την ορθή αναπαράσταση των δραστηριοτήτων στο διάγραμμα πρέπει να γνωρίζουμε ποιες από αυτές πρέπει να ολοκληρωθούν πριν ξεκινήσουν άλλες, ποιες πρέπει να ακολουθήσουν αμέσως μετά και ποιες πρέπει να πραγματοποιηθούν παράλληλα. Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα κατασκευής δικτύου AOA.

Παράδειγμα 2

Σχεδιάστε το διάγραμμα ΑΟΑ κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις προτεραιότητας:

1. Οι Β και C προηγούνται της E.

2. Οι A και B προηγούνται της F.

Απάντηση: Στο σχήμα 8 που ακολουθεί δίνεται το δίκτυο ΑΟΑ, όπου στο (α) φαίνεται μια λάθος σχέση προτεραιότητας για την δραστηριότητα Ε.

14Σ. Βαζαίος

Σχήμα 7: Χρήση ψευδοδραστηριότητας μεταξύ δύο κόμβων Α και Β.

Page 25: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Σχήμα 8: Δίκτυο ΑΟΑ για το παράδειγμα 2, (α) λάθος, (β) σωστό.

Σύμφωνα με του περιορισμούς της εκφώνησης οι δραστηριότητες Β και C πρέπει να προηγηθούν της Ε και οι Α και Β της F. Επομένως, παρεμβάλλεται η ψευδοδραστηριότητα D1 ώστε να μπορεί η Β να προηγηθεί της Ε. Ωστόσο, αυτό σημαίνει και ότι η Α πρέπει να προηγηθεί της Ε, πράγμα που δεν είναι σωστό. Στο (β) παρουσιάζεται το διορθωμένο διάγραμμα με την εισαγωγή μιας επιπλέον ψευδοδραστηριότητας D2.

Παράδειγμα 3

Σχεδιάστε διάγραμμα ΑΟΑ με βάση τις σχέσεις προτεραιότητας του παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 2: Σχέσεις μεταξύ δραστηριοτήτων για το παράδειγμα 3.

Δραστηριότητα Προηγούμενες δραστηριότητες

Διάρκεια (εβδομάδες)

A - 5

B - 3

C A 8

D A, B 7

E - 7

F C, E, D 4

G F 5

15Σ. Βαζαίος

(α) λάθος (β) σωστό

Page 26: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

1

A

E

B

C

1 6

2

3 4 5D, 7

E, 7

C, 8A, 5

F, 4

D1

G, 5B, 3

Προγραμματισμός Έργου

Απάντηση: Γενικά, στην κατασκευή των διαγραμμάτων χρησιμοποιείται συνήθως ένα κοινό γεγονός έναρξης για όλες τις δραστηριότητες που δεν έχουν προηγούμενες (έναρξη έργου) και ομοίως ένα κοινό γεγονός λήξης για όσες δεν έχουν επόμενες (ολοκλήρωση έργου).

Αρχικά, προσδιορίζονται όλες οι δραστηριότητες που δεν έχουν προηγούμενες (Α, Β και Ε) και ενώνονται με ένα κοινό κόμβο έναρξης, στον οποίο αποδίδεται ο αριθμός (1). Κάθε δραστηριότητα καταλήγει σε ένα κόμβο (γεγονός λήξης). Στην συνέχεια τοποθετείται η δραστηριότητα C η οποία έχει ως προηγούμενη μόνο την Α (σχήμα 9).

Η δραστηριότητα D έχει ως προηγούμενες τις Α και Β, αλλά επειδή δεν μπορούν και οι δύο να καταλήγουν στο ίδιο γεγονός (κανόνας 2) εισάγουμε μια ψευδοδραστηριότητα D1. Κατόπιν, προτού ξεκινήσει η δραστηριότητα F, πρέπει να έχουν ολοκληρωθεί οι C, D και E, επομένως εισάγεται ένα γεγονός που αντιστοιχεί στο κοινό τέλος των δραστηριοτήτων αυτών. Τέλος, η δραστηριότητα G, προϋποθέτει την ολοκλήρωση της F (σχήμα 10).

Το διάγραμμα ολοκληρώνεται με την αρίθμηση των κόμβων και την τοποθέτηση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας δίπλα στο αντίστοιχο βέλος.

16Σ. Βαζαίος

Σχήμα 9: Μερική σχεδίαση του δικτύου ΑΟΑ του παραδείγματος 3.

Σχήμα 10: Ολοκληρωμένο δίκτυο ΑΟΑ για το παράδειγμα 3.

Page 27: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

6.1. Υπολογισμός χρόνου γεγονότων και κρίσιμης διαδρομήςΜε τα διαγράμματα δικτύου είναι εύκολο να βρούμε την κρίσιμη διαδρομή, δηλαδή την μακρύτερη σε διάρκεια αλληλουχία δραστηριοτήτων. Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων της κρίσιμης διαδρομής είναι η ελάχιστη διάρκεια του έργου.

Για το παράδειγμα που είδαμε προηγουμένως οι δυνατές διαδρομές είναι οι εξής:

Πίνακας 3: Αλληλουχίες δραστηριοτήτων στο δίκτυο του παραδείγματος 3.

Αλληλουχία Γεγονότα στην αλληλουχία

Δραστηριότητες στην αλληλουχία Συνολικός χρόνος

1 1-2-3-4-5-6 A-D1-D-F-G 21 εβδομάδες

2 1-2-4-5-6 A-C-F-G 22 εβδομάδες

3 1-3-4-5-6 B-D-F-G 19 εβδομάδες

4 1-4-5-6 E-F-G 16 εβδομάδες

Όπως βλέπουμε η μακρύτερη διαδρομή είναι η αλληλουχία 2 με διάρκεια 22 εβδομάδες. Επομένως αυτή είναι και η κρίσιμη διαδρομή.

Οι δραστηριότητες που περιλαμβάνονται σε αυτή ονομάζονται κρίσιμες δραστηριότητες. Καθυστέρηση σε οποιαδήποτε από τις κρίσιμες δραστηριότητες (A, C, F ή G) έχει ως συνέπεια την καθυστέρηση όλου του έργου.

Αντίθετα, οι δραστηριότητες που δεν βρίσκονται στην κρίσιμη διαδρομή έχουν χρονικό περιθώριο και μπορούν να καθυστερήσουν χωρίς να καθυστερήσει η ολοκλήρωση του έργου.

17Σ. Βαζαίος

Page 28: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Ονομασία

Διάρκεια

Νωρίτερη έναρξη Νωρίτερη λήξη

Αργότερη έναρξη Αργότερη λήξη

Προγραμματισμός Έργου

7. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΚΟΜΒΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ

Το μοντέλο ΑΟΝ (Activities On Nodes – δραστηριότητες σε κόμβους) αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση για την αναπαράσταση των δραστηριοτήτων και των μεταξύ τους σχέσεων. Σε αυτό ακολουθείται η αντίθετη λογική από το μοντέλο ΑΟΑ, δηλαδή οι δραστηριότητες τοποθετούνται στους κόμβους, ενώ τα βέλη χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν τις σχέσεις προτεραιότητας. Κύριο πλεονέκτημά του σε σχέση με το ΑΟΑ είναι ότι δεν απαιτούνται πλασματικά βέλη (ψευδοδραστηριότητες) και έτσι η σχεδίασή του είναι πολύ εύκολη.

Στο σχήμα 11 δίνεται ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των δραστηριοτήτων σε διαγράμματα ΑΟΝ.

7.1. Υπολογισμός χρόνου νωρίτερης έναρξης και νωρίτερης λήξης των δραστηριοτήτων

Από τη στιγμή που έχει κατασκευαστεί το δίκτυο είναι πολύ εύκολο να βρεθεί ο χρόνος νωρίτερης έναρξης (Early Start - ES) και ο χρόνος νωρίτερης λήξης (Early Finish - EF) για κάθε δραστηριότητα.

Ως νωρίτερη έναρξη θεωρείται η νωρίτερη ημερομηνία κατά την οποία μπορεί να ξεκινήσει μια δραστηριότητα. Αντίστοιχα, νωρίτερη λήξη ονομάζεται η νωρίτερη ημερομηνία κατά την οποία μπορεί να ολοκληρωθεί.

Ο υπολογισμός δεν διαφέρει αν πρόκειται για δίκτυο ΑΟΑ ή για ΑΟΝ, έτσι θα χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα του παραδείγματος 3.

Παράδειγμα 4

Να υπολογιστεί ο χρόνος νωρίτερης έναρξης (ES) και νωρίτερης λήξης (EF) για τις δραστηριότητες του παραδείγματος 3.

Απάντηση: Αφού κατασκευαστεί το διάγραμμα ΑΟΝ (σχήμα 12) τοποθετώντας τις δραστηριότητες στους κόμβους, γίνεται επίλυση του δικτύου από «έναρξη προς πέρας» (forward pass) για τον υπολογισμό των χρόνων νωρίτερης έναρξης και λήξης.

18Σ. Βαζαίος

Σχήμα 11:Τυπικός συμβολισμός δραστηριοτήτων σε δίκτυο ΑΟΝ.

Page 29: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Σχήμα 12: Δίκτυο ΑΟΝ όπου φαίνονται οι χρόνοι νωρίτερης και αργότερης έναρξης.

Οι δραστηριότητες Α και Β, αφού δεν έχουν προηγούμενες ξεκινάνε τη χρονική στιγμή 0 και ολοκληρώνονται την 5η και 3η εβδομάδα αντίστοιχα, σύμφωνα με τη διάρκεια της κάθε μιας. Ακολούθως, η δραστηριότητα C, το νωρίτερο που μπορεί να ξεκινήσει είναι με τη λήξη της Α, δηλαδή την 5η εβδομάδα και ολοκληρώνεται σε 7 εβδομάδες, δηλαδή την 13η εβδομάδα του έργου. Συνεχίζοντας με ανάλογη λογική, βρίσκουμε τους χρόνους για όλες τις δραστηριότητες (πίνακας 4).

Πίνακας 4: Χρόνοι νωρίτερης έναρξης και λήξης για το παράδειγμα 4.

Δραστηριότητα Νωρίτερη έναρξη (ES) Νωρίτερη λήξη (EF)

A 0 5

B 0 3

C 5 13

D 5 12

E 0 7

F 13 17

G 17 22

7.2. Υπολογισμός χρόνου αργότερης έναρξης και αργότερης λήξης των δραστηριοτήτων

Η αργότερη ημερομηνία κατά την οποία μπορεί να ξεκινήσει μια δραστηριότητα ώστε το έργο να ολοκληρωθεί στην προγραμματισμένη ημερομηνία, ονομάζεται χρόνος αργότερης έναρξης (Late Start – LS), ενώ η αργότερη ημερομηνία που μπορεί να ολοκληρωθεί καλείται χρόνος αργότερης λήξης (Late Start – LS).

Με αντίστοιχο συλλογισμό, αλλά ακολουθώντας επίλυση του δικτύου από «πέρας προς έναρξη» (backward pass) γίνεται υπολογισμός των αργότερων χρόνων έναρξης και λήξης κάθε δραστηριότητας.

19Σ. Βαζαίος

Page 30: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Παράδειγμα 5

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παραδείγματος 3 να υπολογιστούν οι αργότεροι χρόνοι έναρξης (LS) και λήξης (LF) των δραστηριοτήτων.

Απάντηση: Έχοντας βρει την κρίσιμη διαδρομή γνωρίζουμε ότι η διάρκεια του έργου ισούται με 22 εβδομάδες. Η δραστηριότητα G, που είναι η τελευταία δραστηριότητα του έργου, θα πρέπει να τελειώσει την 22η εβδομάδα και αφού διαρκεί 5 εβδομάδες, δεν μπορεί να ξεκινήσει αργότερα από την 17η εβδομάδα. Η δραστηριότητα F, που προηγείται της G, δεν μπορεί να λήξει αργότερα από την 17η εβδομάδα. Η διάρκειά της είναι 4 εβδομάδες, άρα δεν μπορεί να ξεκινήσει αργότερα από την 13η εβδομάδα. Συνεχίζοντας αυτόν τον συλλογισμό, υπολογίζονται οι χρόνοι για όλες τις δραστηριότητες (πίνακας 5).

Πίνακας 5: Αργότεροι χρόνοι έναρξης και λήξης για το παράδειγμα 4.

Δραστηριότητα Αργότερη λήξη (LF) Αργότερη έναρξη (LS)

A 5 0

B 6 3

C 13 5

D 13 6

E 13 6

F 17 13

G 22 17

7.3. Υπολογισμός χρονικού περιθωρίουΤο χρονικό περιθώριο των δραστηριοτήτων (float ή slack), αποτελεί μέτρο της ευελιξίας του έργου και υποδηλώνει το πλεόνασμα του χρόνου που υπάρχει στον προγραμματισμό κάθε δραστηριότητας [5]. Πρόκειται, αλλιώς, για τον χρόνο που μπορεί να καθυστερήσει η έναρξη ή να επεκταθεί η λήξη μιας δραστηριότητας, χωρίς να επηρεαστεί ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου.

Το περιθώριο υπολογίζεται είτε από την διαφορά των χρόνων αργότερης και νωρίτερης έναρξης ή από την διαφορά των χρόνων αργότερης και νωρίτερης λήξης. Δηλαδή:

Χρονικό περιθώριο = αργότερη έναρξη – νωρίτερη έναρξη

Χρονικό περιθώριο = αργότερη λήξη – νωρίτερη λήξη

Οι δύο σχέσεις είναι ισοδύναμες και κάθε φορά μπορεί να χρησιμοποιηθεί όποια είναι περισσότερο βολική. Αν μια δραστηριότητα έχει χρονικό περιθώριο ίσο με 0, τότε αυτό συνεπάγεται ότι βρίσκεται στην κρίσιμη διαδρομή και δεν μπορεί να καθυστερήσει, χωρίς να καθυστερήσει ολόκληρο το έργο.

20Σ. Βαζαίος

Page 31: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο για τις δραστηριότητες του παραδείγματος 4.

Απάντηση: Έχοντας ήδη υπολογίσει στα προηγούμενα παραδείγματα τους χρόνους νωρίτερης έναρξης και λήξης (παράδειγμα 4) και τους χρόνους αργότερης έναρξης και λήξης (παράδειγμα 5), τα περιθώρια υπολογίζονται εύκολα από τις δοθείσες σχέσεις. Τα αποτελέσματα βρίσκονται συγκεντρωμένα στον πίνακα 6.

Πίνακας 6: Χρονικό περιθώριο δραστηριοτήτων για το παράδειγμα 4.

Δραστηριότητα Χρονικό περιθώριο (εβδομάδες)

A 0

B 3

C 0

D 1

E 6

F 0

G 0

Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι δραστηριότητες με μηδενικό περιθώριο είναι αυτές που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή, όπως αυτή υπολογίστηκε στον πίνακα 3.

Η κρίσιμη διαδρομή θα μπορούσε, εναλλακτικά, να οριστεί ως η διαδρομή που αποτελείται μόνο από δραστηριότητες που έχουν μηδενικό περιθώριο καθυστέρησης. Σε κάθε έργο υπάρχει τουλάχιστον μία τέτοια διαδρομή [6].

21Σ. Βαζαίος

Page 32: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

8. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΡΟΠΟΡΕΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΥΣΤΡΕΡΗΣΗΣ

Έως τώρα εξετάστηκαν περιπτώσεις όπου κάθε δραστηριότητα μπορούσε να ξεκινήσει αμέσως μετά την ολοκλήρωση της προηγούμενή της. Υπήρχαν, δηλαδή, μόνο σχέσεις λήξης – έναρξης μεταξύ των δραστηριοτήτων (και συγκεκριμένα με FS = 0).

Ενδιαφέρον παρουσιάζεται όταν η έναρξη ή η λήξη μιας δραστηριότητας πρέπει να καθυστερήσει για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα μέχρι να συμβεί κάποιο άλλο γεγονός όπως η έναρξη ή λήξη μιας άλλης δραστηριότητας (προπορεία ή χρονική υστέρηση – lead-lag relationships). Αναλυτικά οι πιθανές σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 4.

Παράδειγμα 7

Ένα έργο αποτελείται από τρεις δραστηριότητες Α, Β και C με διάρκειες 10, 5 και 15 ημέρες αντίστοιχα. Για τις δραστηριότητες ισχύουν οι εξής σχέσης προτεραιότητας: SSAB

= 2, FFAB = 1, SSBC = 1, FFBC = 3. Να κατασκευαστεί δίκτυο ΑΟΝ και τα διαγράμματα Gantt με βάση τους χρόνους νωρίτερης και τους αργότερης έναρξης.

Απάντηση: Νωρίτεροι χρόνοι. Το έργο ξεκινάει την χρονική στιγμή 0 με την δραστηριότητα Α, που έχει διάρκεια 10 ημέρες. Η δραστηριότητα Β ξεκινάει την 2η

ημέρα εξαιτίας της σχέσης SSAB = 2 που έχει με την Α. Αφού η διάρκειά της είναι 5 μέρες, είναι δυνατόν να ολοκληρωθεί την 7η μέρα, αλλά η σχέση προτεραιότητας FFAB=1 υπαγορεύει την λήξη της τουλάχιστον 1 μέρα μετά την λήξη της Α. Άρα τελικά, η δραστηριότητα Β θα ολοκληρωθεί την 11η μέρα. Η C θα πρέπει να ξεκινήσει 1 ημέρα μετά την έναρξη της δραστηριότητας Β, δηλαδή την 3η μέρα. Με διάρκεια 15 μέρες θα έχει ολοκληρωθεί την 18η μέρα, γεγονός που είναι σύμφωνο με τον περιορισμό FFBC = 3. Στο σχήμα 13 δίνεται το αντίστοιχο δίκτυο ΑΟΝ.

Σχήμα 13: Δίκτυο ΑΟΝ με σχέσεις προπορείας και χρονικής υστέρησης για το παράδειγμα 7.

Αργότεροι χρόνοι. Ακολουθώντας αντίστροφη πορεία, και αφού η διάρκεια του έργου προέκυψε ότι είναι 18 μέρες, θέτουμε ως αργότερο τέλος της δραστηριότητας C την 18η

ημέρα. Αντίστοιχα, η αργότερη έναρξη αυτής θα είναι 15 πριν, δηλαδή την 3η μέρα. Η δραστηριότητα Β πρέπει να λήξει 3 μέρες πριν την ολοκλήρωση της C (σχέση FFBC = 3). Άρα, ως αργότερος χρόνος λήξης της Β τίθεται η 15η μέρα. Η σχέση SSBC = 1, υπαγορεύει την τοποθέτηση της έναρξης της Β την 2η μέρα, ασχέτως αν μπορεί να ολοκληρωθεί συντομότερα. Ομοίως, η Α θα πρέπει να τελειώσει 1 μέρα νωρίτερα από την λήξη της Β (FFAB = 1). Άρα η λήξη της τοποθετείται την 14η ημέρα, ενώ η έναρξή της 2 μέρες νωρίτερα από την έναρξη της Β (SSAB = 2), δηλαδή την χρονική στιγμή 0.

Κατόπιν βλέπουμε το διάγραμμα Gantt με βάση τους χρόνους νωρίτερης έναρξης (σχήμα 14) και το αντίστοιχο με βάση τους χρόνους αργότερης έναρξης (σχήμα 15).

22Σ. Βαζαίος

Page 33: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

A

B

C

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ημέρες

Δρασ

τηρι

ότητ

ες

Σχήμα 14: Διάγραμμα Gantt χρόνων νωρίτερων έναρξης και λήξης.

A

B

C

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ημέρες

Δρασ

τηρι

ότητ

ες

Σχήμα 15: Διάγραμμα Gantt χρόνων αργότερων έναρξης και λήξης.

Παρατηρούμε ότι για να τηρηθούν όλες οι σχέσεις προτεραιότητας πρέπει οι δραστηριότητες Α και Β να τεμαχιστούν, δηλαδή να διακοπεί η εκτέλεσή τους για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Αν ο διαμερισμός δεν επιτρέπεται ή δεν είναι εφικτός, τότε θα πρέπει να γίνει επέκταση της διάρκειας των δραστηριοτήτων αυτών ώστε να καλυφθεί το κενό (με πιθανές συνέπειες την αύξηση του κόστους του έργου ή την μείωση της παραγωγικότητας του προσωπικού) ή να επανεξεταστούν οι σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ τους.

23Σ. Βαζαίος

Page 34: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

9. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΤΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ

Τα μοντέλα δικτύων είναι πολύ χρήσιμα για την για τον προγραμματισμό και την παρακολούθηση των έργων. Στα έργα που εκτείνονται σε χρονικό διάστημα πολλών ετών και περιλαμβάνουν εκατοντάδες δραστηριότητες, είναι πιθανόν μόνο μερικές από αυτές να είναι ενεργές κάποια χρονική στιγμή και να χρήζουν στενής εποπτείας. Ένα πολύ αναλυτικό διάγραμμα δικτύου δεν προσφέρεται γι’ αυτό το σκοπό. Για να ξεπεραστεί το εμπόδιο αυτό πρέπει να συμπιεστούν οι πληροφορίες και να συγκεντρωθούν οι εργασίες. Τα δύο εργαλεία που χρησιμοποιούνται γι’ αυτό το σκοπό είναι οι ενοποιημένες δραστηριότητες και τα ορόσημα.

9.1. Ενοποιημένες δραστηριότητεςΌταν μια ομάδα δραστηριοτήτων έχει ένα κοινό σημείο έναρξης και ένα κοινό σημείο λήξης, τότε μπορεί να αντικατασταθεί ολόκληρη η ομάδα από μια δραστηριότητα που ονομάζεται ενοποιημένη δραστηριότητα. Στο δίκτυο του παραδείγματος 3, οι δραστηριότητες F και G μπορούν να ενοποιηθούν σε μια η οποία θα έχει διάρκεια όση είναι η συνολική διάρκεια των δραστηριοτήτων που αντικαθιστά. Χρησιμοποιώντας ενοποιημένες δραστηριότητας μπορούμε να δημιουργήσουμε δίκτυο ανώτερου επιπέδου, το οποίο παρουσιάζει μια συνοπτική εικόνα του έργου. Τέτοια δίκτυα είναι χρήσιμα για το μεσοπρόθεσμο και μακροπρόθεσμο σχεδιασμό.

9.2. ΟρόσημαΈνα υψηλότερο επίπεδο συγκέντρωσης μπορεί να επιτευχθεί με την χρήση των οροσήμων που σηματοδοτούν την ολοκλήρωση σημαντικών δραστηριοτήτων (όπως είναι για παράδειγμα η επισήμανση χρονικών σημείων κατά τα οποία πρέπει να καταβληθούν πληρωμές ή η ολοκλήρωση μιας κρίσιμης επισκόπησης σχεδιασμού). Στην απλούστερη περίπτωση, ένα ορόσημο μπορεί να σηματοδοτεί την ολοκλήρωση μιας ή περισσοτέρων δραστηριοτήτων.

24Σ. Βαζαίος

Page 35: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

10. ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

Εάν υπάρχουν υψηλά επίπεδα αβεβαιότητας, η CPM (μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής) ενδέχεται να μην παρέχει πολύ καλή εκτίμηση του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου. Οι δύο συνηθέστερες προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται για να ξεπεραστεί το εμπόδιο αυτό είναι η προσομοίωση Monte Carlo και η μέθοδος PERT (Τεχνική αξιολόγησης και αναθεώρησης προγράμματος).

10.1. Προσέγγιση προσομοίωσης (Monte Carlo)Στην προσέγγιση αυτή, γίνεται προσομοίωση του έργου επιλέγοντας τυχαίους χρόνους εκτέλεσης (δείγματα) των δραστηριοτήτων. Τα δείγματα αυτά επιλέγονται από την αντίστοιχη κατανομή της κάθε δραστηριότητας, η οποία συνήθως θεωρείται κατανομή βήτα.

Σε κάθε προσομοίωση, λαμβάνεται ένα δείγμα χρόνου για κάθε δραστηριότητα και κατόπιν διενεργείται ανάλυση CPM για να βρεθεί η κρίσιμη διαδρομή και ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου για το συγκεκριμένο δείγμα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται πολλές φορές και έτσι προκύπτει μια κατανομή συχνότητας των χρόνων ολοκλήρωσης του έργου. Από εκεί υπολογίζεται η πιθανότητα να λήξει το έργο σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία, καθώς και το αναμενόμενο σφάλμα της εκτίμησης αυτής.

Σε κάθε γύρο της προσομοίωσης ακολουθούνται τα επόμενα βήματα:

Παραγωγή μιας τυχαίας τιμής για την διάρκεια κάθε δραστηριότητας από την κατάλληλη κατανομή.

Χρήση της μεθόδου CPM για την εύρεση της κρίσιμης διαδρομής και της διάρκειας αυτής.

Καταγραφή των αποτελεσμάτων και επανάληψη της διαδικασίας.

Ο αριθμός των επαναλήψεων που θα εκτελεστούν εξαρτάται από τις ανοχές σφάλματος που θεωρούνται αποδεκτές.

Παράδειγμα 8

Στο δίκτυο ΑΟΑ του σχήματος 10 υποθέστε ότι κάθε δραστηριότητα ακολουθεί κατανομή βήτα. Για τους 10 πρώτους γύρους της προσομοίωσης οι τιμές - δείγματα για την διάρκεια των δραστηριοτήτων δίνονται στον πίνακα 7. Να βρεθεί η κρίσιμη διαδρομή και πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου εντός 23 εβδομάδων.

Πίνακας 7: Σύνοψη γύρων προσομοίωσης για το παράδειγμα 8

Αριθμός γύρου

Χρόνος Α

Χρόνος Β

Χρόνος C

Χρόνος D

Χρόνος E

Χρόνος F

Χρόνος G

Κρίσιμη διαδρομή

Χρόνος ολοκλήρωσης

1 6,3 2,2 8,8 6,6 7,6 5,7 4,6 A-C-F-G 25,4

2 2,1 1,8 7,4 8,0 6,6 2,7 4,6 A-D-F-G 17,4

3 7,8 4,9 8,8 7,0 6,7 5,0 4,9 A-C-F-G 26,5

4 5,3 2,3 8,9 9,5 6,2 4,8 5,4 A-D-F-G 25,0

5 4,5 2,6 7,6 7,2 7,2 5,3 5,6 A-C-F-G 23,0

25Σ. Βαζαίος

Page 36: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

6 7,1 0,4 7,2 5,8 6,1 2,8 5,2 A-C-F-G 22,3

7 5,2 4,7 8,9 6,6 7,3 4,6 5,5 A-C-F-G 24,2

8 6,2 4,4 8,9 4,0 6,7 3,0 4,0 A-C-F-G 22,1

9 2,7 1,1 7,4 5,9 7,9 2,9 5,9 A-C-F-G 18,9

10 4,0 3,6 8,3 4,3 7,1 3,1 4,3 A-C-F-G 19,7

Απάντηση: Εκτελώντας την ανάλυση CPM με τις αντίστοιχες διάρκειες των δραστηριοτήτων για κάθε γύρο, προκύπτει η κρίσιμη διαδρομή και η διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου, οι οποίες βρίσκονται στον πίνακα 7.

Παρατηρούμε ότι η κρίσιμη διαδρομή διαφέρει από επανάληψη σε επανάληψη, ανάλογα με τα τυχαία δείγματα που επιλέχθηκαν για τις διάρκειες των δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες A, F και G είναι κρίσιμες στο 100% των επαναλήψεων, η C στο 80% και η D μόνο στο 20%. Το ποσοστό των επαναλήψεων στις οποίες μια δραστηριότητα εμφανίζεται στην κρίσιμη διαδρομή ονομάζεται δείκτης κρισιμότητας (Criticality Index – CI).

Δραστηριότητες με μεγαλύτερο δείκτη κρισιμότητας είναι πιθανότερο να προκαλέσουν καθυστέρηση σε ένα έργο αν καθυστερήσει η ολοκλήρωσή τους και γι’ αυτό πρέπει να γίνεται καλύτερη εποπτεία αυτών. Ωστόσο, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και η διάρκεια της δραστηριότητας σε συνδυασμό με τον δείκτη CI [7]. Μια δραστηριότητα που χρειάζεται μια ημέρα για να ολοκληρωθεί είναι απίθανο να καθυστερήσει ένα έργο διάρκειας πολλών εβδομάδων, ακόμα και αν εμφανίζεται στην κρίσιμη διαδρομή συνεχώς.

Αντίστοιχα, η πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου εντός 23 εβδομάδων ισούται με το πηλίκο των επαναλήψεων που το έργο ολοκληρώθηκε σε χρόνο τ≤23 εβδομάδες, δηλαδή 6, προς το συνολικό αριθμό επαναλήψεων. Επομένως,

P (τ ≤23 )=φορές που το έργο ολοκληρώθηκε σε τ ≤23 εβδ .συνολικός αριθμός επαναλήψεων

= 610

=60 % (10.1)

Η προσέγγιση της προσομοίωσης είναι εύκολη στη εφαρμογή και επιπλέον έχει το πλεονέκτημα ότι παράγει ακριβή αποτελέσματα για μεγάλο πλήθος επαναλήψεων. Ωστόσο, οι πολλές επαναλήψεις ίσως απαιτούν μεγάλο πλήθος υπολογισμών ιδίως αν το έργο αποτελείται από πολλές δραστηριότητες.

10.2. PERT (Τεχνική Αξιολόγησης και Αναθεώρησης Προγράμματος)Η δεύτερη μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της αβεβαιότητας βασίζεται στο κεντρικό οριακό θεώρημα (central limit theorem), σύμφωνα με το οποίο η κατανομή του αθροίσματος ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών είναι περίπου κανονική, όταν το πλήθος αυτών είναι επαρκώς μεγάλο.

Συνοπτικά τα βήματα που ακολουθούνται είναι:

26Σ. Βαζαίος

Page 37: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

Για κάθε δραστηριότητα i εκτιμάται η κατανομή πιθανότητας (συνήθως βήτα κατανομή). Έτσι, αποκτώνται εκτιμήσεις για τον πιθανότερο (mi), τον αισιόδοξο (ai) και τον απαισιόδοξο (bi) χρόνο ολοκλήρωσης αυτής.

Κατόπιν, υπολογίζονται η προσδοκώμενη τιμή (di) και η διακύμανση (si2) για κάθε

μια (χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 1.1 και 1.2 αν πρόκειται για κατανομή βήτα).

Εκτελείται ανάλυση CPM (με βάση τις τιμές di) για την εύρεση της κρίσιμης διαδρομής.

Υπολογίζεται ο μέσος χρόνος του έργου E[X] και η διακύμανση V[X], σύμφωνα με τη θεωρία πιθανοτήτων και λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις δραστηριότητες που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή, ως εξής:

E [ X ]=d1+d2+⋯+dk (10.2)

V [ X ]=s12+s1

2+⋯+s12(10.3)

Με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα, η κατανομή της διάρκειας του έργου (X) είναι κανονική. Άρα, για την πιθανότητα ολοκλήρωσης αυτού σε χρόνο μικρότερο ή ίσο από τ προκύπτει:

P ( X ≤ τ )=P( X−E [ X ]

V [ X ]12

≤ τ−E [ X ]

V [ X ]12 )=P(Z ≤ τ−E [ X ]

V [ X ]12 )(10.4)

όπου, Ζ είναι η τυπική κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1.

Με γνωστές τις τιμές E[X] και V[X] μπορούμε από τον πίνακα τιμών της κανονικής κατανομής (παράρτημα Ι) να υπολογίσουμε την ζητούμενη πιθανότητα.

Παράδειγμα 9

Για το δίκτυο του σχήματος 10 θεωρούμε ότι οι δραστηριότητες ακολουθούν κατανομές βήτα, τα χαρακτηριστικά των οποίων δίνονται στον πίνακα 8. Να βρείτε την πιθανότητα ολοκλήρωσης τoυ έργου εντός 23 εβδομάδων χρησιμοποιώντας την μέθοδο PERT.

Πίνακας 8: Στατιστικά στοιχεία για τις δραστηριότητες του παραδείγματος 9 (χρόνοι σε εβδομάδες)

Δραστη-ριότητα

Αισιόδοξος χρόνος, α

Πιθανότερος χρόνος, m

Απαισιόδοξος χρόνος b

Προσδοκώ-μενη τιμή,

dΤυπ.

απόκλ., s

A 2 5 8 5 1,00

B 1 3 5 3 0,66

C 7 8 9 8 0,33

D 4 7 10 7 1,00

E 6 7 8 7 0,3327

Σ. Βαζαίος

Page 38: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

F 2 4 6 4 0,66

G 4 5 6 5 0,33

Απάντηση: Εκτελώντας ανάλυση CPM με τους προσδοκώμενους χρόνους d για κάθε δραστηριότητα υπολογίζεται ότι η κρίσιμη διαδρομή είναι η A-C-F-G με διάρκεια 22 εβδομάδες. Στη συνέχεια, από τις σχέσεις 10.2 και 10.3 υπολογίζεται η μέση διάρκεια του έργου και η διακύμανση αυτού. Προκύπτει E[X]=22 εβδομάδες και V[X]=1,65 εβδομάδες. Κατά συνέπεια η σχέση 10.4, για τ=23 εβδομάδες δίνει z=0,78. Ανατρέχουμε στο παράρτημα Ι και βλέπουμε ότι η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε πιθανότητα P(Z≤0,78)=78,23%. Δηλαδή η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο σε χρόνο ίσο η μικρότερο από 23 εβδομάδες είναι 78,23%.

Μια σημαντική αδυναμία της διαδικασίας PERT είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη τις δραστηριότητες που δεν ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή. Η ανάλυση CPM που πραγματοποιείται σε ένα από τα στάδια της PERT ενδέχεται να δώσει λάθος αποτελέσματα για τις δραστηριότητες που πραγματικά ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή, αφού χρησιμοποιεί μόνο τους προσδοκώμενους χρόνους (di) και όχι τις διακυμάνσεις τους (si

2).

28Σ. Βαζαίος

Page 39: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

11. ΚΡΙΤΙΚΗ ΤΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΤΩΝ CPM ΚΑΙ PERT

Τα μοντέλα CPM και PERT βασίζονται σε ένα πλήθος υποθέσεων. Η ακριβής εκτίμηση της διάρκειας των δραστηριοτήτων και οι μαθηματικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται στα διάφορα βήματα των δυο μεθόδων θέτονται υπό κριτική και αμφισβήτηση [8].

Υπόθεση 1: Οι δραστηριότητες του έργου θεωρούνται αυτοτελείς οντότητες με ένα σαφές σημείο έναρξης και λήξης.

Κριτική: Τα έργα, και ιδίως αυτά που είναι περισσότερο πολύπλοκα, αλλάζουν συνήθως περιεχόμενο με την πάροδο του χρόνου και επομένως ένα δίκτυο, που σχεδιάστηκε στην φάση του προγραμματισμού, ενδέχεται να μην είναι ακριβές στη συνέχεια.

Υπόθεση 2: Οι σχέσεις αλληλουχίας (προτεραιότητας) των δραστηριοτήτων ενός έργου μπορούν να προσδιοριστούν και να αναπαρασταθούν σε ένα προσανατολισμένο δίκτυο.

Κριτική: Οι ακριβείς σχέσεις αλληλουχίας των δραστηριοτήτων μέσα σε ένα έργο δεν είναι πάντα γνωστές εκ των προτέρων. Συνήθως η σειρά ορισμένων από αυτές καθορίζεται από την πορεία άλλων, ενώ το έργο βρίσκεται σε εξέλιξη.

Υπόθεση 3: Ο έλεγχος του έργου επικεντρώνεται στην κρίσιμη διαδρομή.

Κριτική: Δεν είναι πάντα αληθές ότι η μακρύτερη διαδρομή που προκύπτει από το άθροισμα των προσδοκώμενων τιμών διάρκειας των δραστηριοτήτων θα είναι και αυτή που τελικά θα καθορίσει τον χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Αν μια δραστηριότητα, που δεν συμπεριλαμβάνεται στην κρίσιμη διαδρομή, καθυστερήσει υπερβολικά μπορεί να είναι αυτή που θα καθορίσει την εξέλιξη του έργου.

Υπόθεση 4: Οι χρόνοι διάρκειας των δραστηριοτήτων στην PERT ακολουθούν κατανομή βήτα.

Κριτική: Ενώ η κατανομή βήτα επιλέχθηκε για αρκετούς βάσιμους λόγους (όπως αναλύθηκαν στο κεφάλαιο 2.1) ενδέχεται άλλες κατανομές με παρόμοια χαρακτηριστικά να δίνουν άλλες μέσες τιμές και διακυμάνσεις. Επιπλέον, οι μαθηματικοί τύποι που χρησιμοποιήθηκαν για τη μέση τιμή και τη διακύμανση είναι τροποποιημένοι (προσεγγιστικοί) σε σχέση με τους βασικούς τύπους της κατανομής βήτα. Τέλος, οι ορισμοί της αισιόδοξης και απαισιόδοξης τιμής είναι υποκειμενικοί.

Σημαντική προϋπόθεση κατά την χρήση των τεχνικών CPM και PERT είναι να γίνονται σαφείς οι περιορισμοί που αυτές θέτουν και οι υποθέσεις κάτω από τις οποίες χρησιμοποιούνται. Η ορθή εφαρμογή αυτών αποφέρει σημαντικές πληροφορίες κατά την εξέλιξη ενός έργου.

29Σ. Βαζαίος

Page 40: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

30Σ. Βαζαίος

Page 41: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι

Στον πίνακα Ι δίνονται οι σωρευτικές πιθανότητες της τυπικής κανονικής κατανομής (μέση τιμή 0, τυπική απόκλιση 1) από −∞ έως z.

Πίνακας Ι: Σωρευτικές πιθανότητες τυπικής κανονικής κατανομής

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

31Σ. Βαζαίος

Page 42: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης

Προγραμματισμός Έργου

ΑΝΑΦΟΡΕΣ

[1] Jack R. Meredith, Samuel J. Mantel “Project Management: A Managerial Approach” 7 th edition, Wiley 2008

[2] Harold Kerzner “Project Management: A Systems Approach to Planning, Scheduling and Controlling” 8th edition, Wiley 2003

[3] Yelle L. E. “The Learning Curve: Historical Review and Comprehensive Survey”, Decision Sciences 1979

[4] James P. Lewis “Fundamentals of Project Management” 3rd edition, Amacom 2006

[5] Rory Burke “Project Management: Planning and Control Techniques” 4th edition, Wiley 2003

[6] Dennis Lock “Project Management” 9th edition, Gower Publishing 2007

[7] Cho and Yum, “Functional Estimation of Activity Criticality Indices and Sensitivity Analysis of Expected Project Completion Time, Journal of the Operational Research Society 2004

[8] Richard B. Chase, F. Robert Jacobs and Nicholas J. Aquilano “Operations Management for Competitive Advantage” 11th edition, McGraw Hill 2006

32Σ. Βαζαίος

Page 43: cgi.di.uoa.grcgi.di.uoa.gr/~pms538/Ergasia_7.docx · Web viewΤα δίκτυα PERT και CPM αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της διαχείρισης