PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1.1 Tìm x nguyên để P nguyên

1. P =

2. P =

3.

Bài 4. Cho biêu thưc: vơi

1. Rut gon M.2. Tim a đê M co gia tri băng 4.3. Tim gia tri a nguyên đê M co gia tri nguyên lơn hơn 10. Tim gia tri nguyên đo.

Bài 5 Cho biêu thưc

a) Tim tập xac đinh và rut gon biêu thức A.

b) Tim cac số nguyên tố a đê gia tri biêu thức A là một số nguyên.

1.2. Tìm x để P nguyên.

Bài P = = 1+ Đê P co gia tri nguyên thi phải là số nguyên

Ta đặt = a Z Vi nên

Vơi a Vơi a (Loại)Vây a Z nên a = 1; a = 2 Vơi a = 1 thi x = 9 vơi a = 2 thi x =

Tom lại P co gia tri nguyên thi x = 9 và x = 1.3 Tìm căp số x, y nguyên

Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích

Biến đổi phương trinh về dạng : vế trai là tích của cac đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của cac số nguyên.Bài 1 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh : y3 - x3 = 91   (1)Lời giải : (1) tương đương vơi (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*) Vi x2 + xy + y2 > 0 vơi moi x, y nên từ (*) => y - x > 0. Mặt khac, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều nguyên dương nên ta co bốn khả năng sau : y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II)

1

y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toan coi như được giải quyết. Bài 2. Tim nghiệm nguyên của phương trinh

...Bài 3. x + y = xy xy – x – y +1 = 1 x(y – 1) - (y - 1) = 1 (y - 1)(x - 1) = 0

Bài 4. xy – x + 2y – 2 = 13 x(y - 1) – 2(y - 1) = 13 (y - 1)(x - 2) = 13

Bài 5.x + xy + y = 9 x + xy + y + 1 = 10 x(y + 1) + (y + 1) =10

(y+1)(x+1)= 10

Bài 6. x2 – xy = 6x – 5y – 8 x2 – 5x – xy + 5y + x - 5 = -13 x(x - 5) – y(x – 5) +(x -

5) = -13 (x - 5)(x – y + 1) = -13

Bai 7. 5x + 25 = - 3xy + 8y2 8y2 – 8xy + 5xy - 5x = 25 8y(y - x) +

Bai 8. (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2

(xy – 2y)2 + (y2 – 2x)2 = 0

Do đó có các nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2)Bài 9. 2y2x + x +y +1 = x2 + 2 y2 + xy x2 +xy – (x + y) – 2y2(x - 1) = 1 x(x + y) – (x + y) – 2y2(x - 1) = 1 (x + y )(x - 1) – 2y2(x - 1) = 1 (x - 1)(x + y – 2y2) = 1Bài 10. 4x4 + 8x2y + 3y2 – 4y – 15 = 0 4(x4 + 2x2y + y2 )– (y2 + 4y + 4) = 11

4(x2 + y)2 – (y + 2)2 = 11

Bài 11. 4x2 +2 xy +4x + y +3 = 0 2x(2x + y) + (2x + y) + 2x + 1 = -2

(2x + y)(2x + 1) + (2x + 1) = -2 (2x + 1)(2x + y +1) = -2

Bài tập. 1. x + y = xy2. xy – x + 2y = 153. x + xy + y = 94. x2 – xy = 6x – 5y – 8

5. 5x + 25 = - 3xy + 8y2

6. (y2+ 4)(x2+ y2) = 8xy2

7. 2y2x + x +y +1 = x2 + 2 y2 + xy8. 4x4 + 8x2y + 3y2 – 4y – 15 = 0

Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn1. Nếu cac ẩn x, y, z, ... co vai trò binh đẳng, ta co thê giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... hoặc ngược lại. đê tim cac nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đo, dùng phép hoan vi đê => cac

2

nghiệm của phương trinh đã cho. 2, Nếu cac ẩn co cấu truc giống nhau như lũy thừa cùng bậc, cac số nguyên liên tiếp thi ta sẽ khử ẩn đê đưa về dạng quen thuộc hoặc PT ít ẩn hơnBài 11. : Tim nghiệm nguyên dương của phương trinh : x + y + z = xyz   (2). Lời giải : Do vai trò binh đẳng của x, y, z trong phương trinh, trươc hết ta xét x ≤ y ≤ z. Vi x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta co : 2 + z = z, vô lí. Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trinh (2) là cac hoan vi của (1 ; 2 ; 3). Bài 12. : Tim nghiệm nguyên dương của phương trinh : 1/x + 1/y + 1/z = 2   (3) Lời giải : Do vai trò binh đẳng của x, y, z, trươc hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta co : 2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. Thay x = 1 vào (3) ta co :1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 => y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trinh (3) là cac hoan vi của (1 ; 2 ; 2). Bài tập. Tim nghiệm nguyên cac phương trinh :13. x+y+z=xyz 14. 5(xy+yz+xz)=4xyzPhương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương phap này sử dụng tính chất chia hết đê chứng minh phương trinh vô nghiệm hoặc tim nghiệm của phương trinh. Bài 15. : Tim nghiệm nguyên của phương trinh : x2 - 2y2 = 5   (4) Lời giải : Từ phương trinh (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 => y2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta co : 2(k2 + k - 1) = 4t2 tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1   (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trinh (**) vô nghiệm. Vậy phương trinh (4) không co nghiệm nguyên. Bài 17. : Chứng minh răng không tồn tại cac số nguyên x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000   (5)Lời giải : Ta co x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (vơi x là số nguyên). Do đo : x3 - x chia hết cho 3.

3

Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đo ta co : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3. Vi 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 vơi moi số nguyên x, y, z tức là phương trinh (5) không co nghiệm nguyên. Bài 18. x + x² + x³ = 4y + 4y² (x + 1)(x²+1) = (1 + 2y)² (1)§Æt (x + 1; x² + 1) = d (d N*)Ta cã x + 1 d x² + x d (x² + x) – (x² + 1) d x – 1 d

(x + 1) – (x – 1) d 2 d (2)Tõ (1) ta cã x + 1 vµ x²+1 ®Òu lµ sè lÎ (3)Tõ (2) vµ (3) ta cã d = 1 (4)Bài 19. Tim nghiệm nguyên của phương trinh : xy + x - 2y = 3   (6)Lời giải : Ta co (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vi x = 2 không thỏa mãn phương trinh nên (6) tương đương vơi: y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). Ta thấy : y là số nguyên tương đương vơi x - 2 là ươc của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương vơi x = 1 hoặc x = 3. Từ đo ta co nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). Chu ý : Co thê dùng phương phap 1 đê giải bài toan này, nhờ đưa phương trinh (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. Bài tập (Phương phap 3) : Tim x,y Z

20. =30419751975199521. =22. =1995

23., (x,y Z+)24. (x,y Z+)25., (x,y Z+)

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức đê đanh gia một ẩn nào đo và từ sự đanh gia này => cac gia tri nguyên của ẩn này. Bài 24 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh : x2 - xy + y2 = 3   (7) Lời giải : (7) tương đương vơi (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4 Vi (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0 => -2 ≤ y ≤ 2 . Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trinh đê tính x. Ta co cac nghiệm nguyên của phương trinh là :(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.Bài . x2 +xy + y2 = x2y2

Vơi và ta co Suy ra x2y2

không thỏa mãn phương trinh. Chứng tỏ và Nếu x = hoặc y = thi phương trinh không thỏa mãnVơi x = 0 , x = 1, x = - 1 ta thấy phương trinh co 3 nghiệm nguyên (x;y) Bài tập tổng hợp

4

Giải các phương trình nghiệm nguyên :

25.x2 - 4 xy = 2326.3x - 3y + 2 = 0

27.19x2 + 28y2 =72928. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn :

29. 4xy - 3(x + y) = 5930. 5(xy + yz + zx) = 4xyz

31. xy/z + yz/x + zx/y = 332. 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995

Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng, lập phương :Biến đổi phương trinh về dạng : vế trai là tổng của cac binh phương, vế phải là tổng của cac số chính phương. Bài 33 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh x2 + y2 - x - y = 8   (8) Lời giải : (8) <=> 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 <=> (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 <=> |2x - 1|2 + |2y - 1|2 = 32 + 52. Băng phương phap thử chon ta thấy 34 chỉ co duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 32 và 52. Do đo phương trinh thỏa mãn chỉ trong hai khả năng :

Giải cac hệ trên => phương trinh (8) co bốn nghiệm nguyên là (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)} Bài 34. Tim nghiệm nguyên của phương trinh

....Bài 35. Ninh Bình 09- 10. Tìm x, y nguyên thoả mãn:

x + y + xy + 2 = x2 + y2

2x2 + 2y2 – 2x – 2y – 2xy = 4 (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) = 6 (x – y)2 + (x – 1)2 + (y – 1)2 = 6Do x, y Z nên chỉ co thê phân tích 6 = 22 + 12 + 12

Đây là phương trinh chứa 2 ẩn x y co vai trò như nhau, tức là nếu co nghiệm x=a và y=b thi cũng co nghiệm x=b và y=a

TH1: hoặc

TH2: hoặc

5

TH3: hoặc

Kết luận: Phương trinh co 6 cặp nghiệm là:

; ; ; ;

Bài 36. Tim nghệm nguyên của phương trinh sau.2x6 – 2x3y + y2 = 64

x6 – (x6 - 2x3y + y2) = 64 (x2)3 + (x3 - y)2 = 02 + 43 = 03 + 82

hoặc Vậy co 4 cặp nghiệm (2;8); (2;-8); (0;8); (0 ; -8)Bài 12. x2 – xy + y2 = 2x – 3y – 2 2(x2 – xy + y2 - 2x + 3y + 2) = 0

2x2 –2xy + 2y2 - 4x + 6y + 4 = 0 x2 – 2xy +y2 + x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9

(x - y)2 + (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 = 11 + 22 + 22

Phương pháp 6 : Lùi vô hạnBài 37 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh x2 - 5y2 = 0   (9) Lời giải : Giả sử (x0 ; y0) là nghiệm của (9) thi : x0

2 - 5y02 = 0 => x0 chia hết cho 5, đặt x0 = 5x1 ;

(x1 Є Z), ta co : 25x12 - 5y0

2 = 0 <=> 5x12 - y0

2 = 0 => y0 chia hết cho 5, đặt y0 = 5y1 ; (y1 Є Z). Từ đo ta co : 5x1

2 - 25y12 = 0 <=> x1

2 - 5y12 = 0.

Vậy nếu (x0 ; y0) là nghiệm nguyên của (9) thi (x0/5 ; y0/5) cũng là nghiệm nguyên của (9). Tiếp tục lập luận tương tự, ta co vơi k nguyên dương bất ki, cũng là nghiệm nguyên của (9) hay x0 và y0 đều chia hết cho 5k vơi moi k là số nguyên dương tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi x0 = y0 = 0. Vậy phương trinh (9) co nghiệm duy nhất là x = y = 0. Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùngBài 38 : Tim nghiệm nguyên dương của phương trinh 1! + 2! + ... + x! = y2   (10) Lời giải : Cho x lần lượt băng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta co ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trinh (10) là (1 ; 1) và (3 ; 3). Nếu x > 4 thi dễ thấy k! vơi k > 4 đều co chữ số tận cùng băng 0 i 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + ... + x! = 33 + 5! + ... + x! co chữ số tận cùng băng 3. Mặt khac vế phải là số chính phương nên không thê co chữ số tận cùng là 3. Vậy phương trinh (10) chỉ co hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)}. Bài 39 : Tim x, y nguyên dương thỏa mãn phương trinh : x2 + x - 1 = 32y + 1   (11) Lời giải : Cho x cac gia tri từ 0 đến 9, dễ dàng xac đinh được chữ số tận cùng của x2 + x - 1 chỉ nhận cac gia tri 1 ; 5 ; 9. Mặt khac, ta thấy 32y + 1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của no chỉ co thê là 3 hoặc 7, khac vơi 1 ; 5 ; 9.

6

Vậy (11) không thê xảy ra. Noi cach khac, phương trinh (11) không co nghiệm nguyên dương. Bài toan này cũng co thê giải băng phương phap sử dụng tính chất chia hết.

Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc haiBiến đổi phương trinh về dạng phương trinh bậc hai của ẩn, coi cac ẩn khac là tham số, sử dụng cac tính chất về nghiệm của phương trinh bậc 2 đê xac đinh gia tri của cac tham số. Bài 40 : Giải phương trinh nghiệm nguyên : 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0   (12) Lời giải : (12)   y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0

Ta thấy nếu phương trinh co nghiệm thi y nguyên => - 4x - 2 nguyên, mà x

nguyên nên nguyên => ∆'y = x2 - 4 = n2 vơi n Є Z, dùng phương phap 1 (đưa về dạng tích) => (x + n)(x - n) = 4, ta xac đinh được x = 2 và x = -2 . Vậy phương trinh (12) co hai nghiệm nguyên (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)}. Bài 41 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh x2 - (y + 5)x + 5y + 2 = 0   (13) Lời giải : Giả sử phương trinh ẩn x co nghiệm nguyên x1, x2 thi theo đinh lí Vi-ét ta co :

=> (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2) => x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 => y = 8 hoặc y = 2, thay vào (13), phương trinh này co 4 nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)}. 5.3 Tim nghiệm nguyên của phương trinh bậc 2.Bài 42. Cho phương trinh 5x2 – (2a - 5)x + a2 + 1 = 0 (1)Tim tất cả cac gia tri của a đê (1) co ít nhất 1 nghiệm nguyênBG. Goi x0 z là nghiệm của (1) ta co 5x0

2 – (2a - 5)x0 + a2 + 1 = 0 (2)Coi (2) là phương trinh bậc 2 đối vơi a (2) co nghiệm thi 0

tam thức bậc hai co hai nghiệm là -1;

Vậy 0 vi x0 z nên x0 = -1 thay x0 = -1 vào (2) ta co a2 + 2a + 1 = 0(a + 1)2 = 0 a + 1 = 0 a = - 1 lúc đó phương trình đã cho là 5x2 + 7x + 2 = 0

co nghiệm nguyên là x = - 1.Bài 43. T×m a N ®Ó ph¬ng tr×nh x2 – a2x + a + 1 = 0 cã nghiÖm nguyªn. Ta có:

Đê phương trinh co nghiệm nguyên thi delta phải là số chính phương.

7

Đặt:  vơi k là số nguyên. Kết hợp vơi điều kiện a là số tự nhiên ta co:

Kiêm tra vơi a= 2 ta co delta băng 4 (thỏa mãn)

* Vơi a > 2

Xét hiệu:

Suy ra: 

Mặt khac 

Do đo: 

Giữa hai số chính phương liên tiếp không co số chính phương nào nên  không là số chính phương khi a>2.

KL: a = 2.

Phương pháp 9 "Kẹp" giữa 2 số binh phương, lập phương, cac tích cac số nguyên liên tiếpBài 44. Tim nghiệm nguyên phương trinh sau:

Ta thấy ...Phương pháp 10. Phương phap xuống thang :

Bài 45 : Tim x,y,z Z thỏa mãn

Ta thấy chỉ co x=y=z=0 thỏa mãn

*Vơi phương phap này thường cho ta bộ nghiệm băng 0

Phương pháp 11 .Phương phap thế

Ví dụ như bài toan cho dữ kiện a+b+c=0 thi ta co thê viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b)

rồi ap dụng vào bài toan

Phương Pháp 12 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thi 1 trong 2 số co

1 số băng 0.

Bài 46. ( )

8

=> hoặc là hoặc là

Bài tập áp dụng :

47. ( ) 48. ( )

Phương pháp 9 : Dùng cach viết dươi dạng liên phân số

Bài 49. Tim nghiệm nguyên của phương trinh :

=

(x+y)+ =5+

(x+y)+ =5+

Vi sự phân tích trên là duy nhất nên

Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

50. = z

51.

52.

Bài tập tổng hợp

Bài 53.Tim x, y nguyên thỏa mãn cac phương trinh :

a) 5x2 - 4xy + y2 = 169 b) 3x = 4y + 1 Bài 54 : Tim nghiệm nguyên của cac phương trinh : a) 5x + 12x = 13x b) y4 = x6 + 3x3 + 1 Bài 55 : Chứng minh răng phương trinh 25t = 2t5 + 1997 không co nghiệm nguyên. Tim nghiệm nguyên của phương trinh x3 - 3y3 - 9z3 = 0. Bài 56 : Tim nghiệm nguyên của phương trinh 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0. 5.4. Hệ phương trình nghiệm nguyênBài 57.

Bài 58. Bài 59.

1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

Định lí 1: Phương trình vơi các hệ số nguyên và nếu có nghiệm nguyên x0 thì c chia hết cho x0.

9

Định lí 2: Phương trình vơi các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là bình phương của một số nguyên.

Định lí 3: Phương trình hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là bình phương của một số nguyên.

Một số ví dụ:1). Tìm mọi số nguyên x sao cho x2 + 28 là số chính phương.

Giải:Từ phương trình x2 + 28 = y2 (1) thì x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.Đặt y = x + 2v vơi v > 0. Thay vào (1) ta được: (2).Phương trình (2) có nghiệm nguyên v thì v là ươc của -7. Suy ra v = 1 và v = 7. Thay vào (2) ta được . Thử lại nhận .

2). Giải phương trình nghiệm nguyên . Giải:

(1)Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (1) có nghiệm

nguyên (2)

(3)Đặt v = y +2t, thay vào (3) ta được: . Hai vế phương trình này khác tính chẵn lẻ nên phương trình này vô nghiệm nguyên.Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

3). Giải phương trình nghiệm nguyên . Giải:

Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm nguyên:

Đặt v = y – t thay vào (1) ta được: (2).Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ươc của 5. Thử khi có nghiệm y bằng 3 và -3.Vậy phương trình đã cho có nghiệm (12; 3), (8; 3), (-6; -3), (-10; -3).

2). Giải phương trình nghiệm nguyên .Giải:

10

Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm nguyên:

Đặt v = x +2t, thay vào (1): (2)Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ươc của 1. Thử khi có nghiệm x bằng 2 và -2.Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2; -5), (-2; 3).

Bài tập:1) Chưng minh rằng phương trình x2 – y2 = 6 không có nghiệm nguyên.2) Giải phương trình các nghiệm nguyên:

a) b)

2. HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHIỆM DỰA VÀO TÍNH CHIA HẾT. Một số ví dụ:

1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: xy - 2x - 3y + 1 = 0.Giải:xy - 2x - 3y + 1 = 0 y(x – 3) = 2x – 1.

Ta thấy x = 3 không là nghiệm. vơi x kháv 3 ta được:

Đê y nguyên thì x – 3 phải là ươc của 5.Suy ra nghiệm cần tìm: (4; 7) và (8; 3).

2) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: x2 + y2 = 1999.

Giải: x2

+ y2 = 1999 (x +y)(x – y) = 1999. Do 1999 là số nguyên tố :

(do x, y nguyên dương)

Bài tập:1) Tìm nghiệm nguyên dương của các pt sau:

a) xy + 3x – 2y - 10 = 0 b) x2 - xy – y – 6 = 0c) x2 – xy – 2x –y – 2 = 0d) x2 = y2 + 17

Dạng 6. So sánh P với 1 số

11

Bài 1. P = so sanh P vơi

Bài 2. P = so sanh P vơi

Dạng 7. Tìm x để P thoả mãn 1 đẳng thưc

1. P = tính x khi P =

2. P = tính x khi P =

3. P = tính x khi P = - 1

4. P = tính x khi P = - 2

5. P = tính x khi P <

6. P = tính x khi P > 2

7. P = tính x khi P < 1

8.

Dạng 8. Tính P Khi biết x

1. P = Tính P khi x =

2. P = Tính P khi x =

3. P = Tính P khi x =

4.

Dạng 9. Tìm Max, Min

1. P =

2. P =

3. P = Tim Min của P,

4.

Dạng 10 Căn bậc 3Bài 1.Cho A = Chứng minh răng A = 4Bài 2. Rut gon B = Bài 3. C = Bài 4. D = Bài 5. Tính gia tri của biêu thức biết răng P = x3

+ y3 – 3(x + y) + 2004Biết răng x3 = y3 = Dạng 11 Các bài toán tổng hợp

Bài 1. B =

Bài 2. Cho biêu thức P= ( + ) :

12

1) Rut gon P 2) Tính gia tri của P khi x= 43) Tim x đê P =

Bài 3. Cho biÓu thøc: Víi x 0 vµ x 11) Rót gän biÓu thøc Q 2) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó

Bài 4 Cho biêu thức :

a) Vơi những điều kiện được xac đinh của x hãy rut gon A .

b) Tim tất cả cac gia tri của x đê A nhỏ hơn 1 .

Bài 5. P = vơi x > 0 ; y > 0 ; xy

Bài 6. Cho biêu thức

a) Rut gon biêu thức K.

b) Tính gia tri của K khi a = 3 + 2

c) Tim cac gia tri của a sao cho K < 0.

C©u 7 Rót gän: víi x > 0 vµ x 1

C©u 8 Cho biÓu thøc: A = a/ Rót gän biÓu thøc A.b/ T×m x ®Ó A < 2.c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn.

Bài 9. Cho biêu thức

a) Rut gon biêu thức B.b) Tim cac gia tri nguyên của x đê biêu thức B nhận gia tri nguyên .

Bài 10. Rut gon .

Bài 11. Tính gia tri biêu thức:

13

Bài 12. a) Rut gon biêu thức .

b) Tim x khi B = -3

14