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ECE1-B 2015-2016 CH VII : Ensembles et applications I. Ensembles I.1. Notion intuitive d’ensemble Définition On utilisera la définition intuitive d’ensemble, à savoir qu’un ensemble est une réunion d’objets. Les objets appartenant à un ensemble sont appelés ses éléments. On utilise la notation : × x E : pour indiquer que x est un élément de l’ensemble E. × x/ E : pour indiquer que x n’est pas un élément de E. L’ensemble ne comportant aucun élément est appelé ensemble vide. Il est noté . Deux ensembles sont dits égaux s’ils ont les mêmes éléments. Remarque Nous n’avons pas défini rigoureusement la notion d’ensemble. On se contente de dire qu’un ensemble est bien défini dès que l’on connaît tous ses éléments. Exemple On appelle intervalle réel tout ensemble de la forme [a, b], [a, b[, ]a, b[, ]a, b] a et b sont deux réels tels que a<b. On rappelle que [a, b[ désigne l’ensemble contenant tous les réels contenus entre a (inclus) et b (exclu). On appelle intervalle entier et on note Jm, nK l’ensemble contenant tous les entiers de l’intervalle [m, n], où m et n sont des entiers tels que m<n. En particulier, pour n N * , on a : J1,nK = {i N | 1 6 i 6 n} | {z } sous forme compréhensive = {1, 2,...,n} | {z } sous forme extensive Vocabulaire Un ensemble ne contenant qu’un seul élément est appelé un singleton. × {1} est le singleton dont le seul élément est 1. × {{1}} est le singleton dont le seul élément est l’ensemble {1}. × {{, {1}, {1, 2}}} est le singleton dont l’unique élément est l’ensemble {, {1}, {1, 2}} (cet ensemble contient lui-même trois éléments : les en- sembles , {1} et {1, 2}). De manière générale, un ensemble E contenant un nombre fini d’éléments est appelé ensemble fini. Ce nombre est appelé cardinal de E et noté Card(E). Card({, {1}, {1, 2}})=3 et Card({{, {1}, {1, 2}}})=1 (on donnera une définition plus rigoureuse de la notion de cardinal dans le chapitre suivant) I.2. Comparaison d’ensembles : l’inclusion I.2.a) Définition Définition Soit A et E deux ensembles. On dit que A est inclus dans E, et on notera A E ou A E, si tout élément de A est un élément de E. A E ⇔∀x A, x E Lorsque A E, on dit que A est un sous-ensemble de E ou encore une partie de E. 1

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ECE1-B 2015-2016

CH VII : Ensembles et applications

I. Ensembles

I.1. Notion intuitive d’ensemble

Définition

• On utilisera la définition intuitive d’ensemble, à savoir qu’un ensembleest une réunion d’objets.

• Les objets appartenant à un ensemble sont appelés ses éléments.On utilise la notation :× x ∈ E : pour indiquer que x est un élément de l’ensemble E.× x /∈ E : pour indiquer que x n’est pas un élément de E.

• L’ensemble ne comportant aucun élément est appelé ensemble vide.Il est noté ∅.

• Deux ensembles sont dits égaux s’ils ont les mêmes éléments.

RemarqueNous n’avons pas défini rigoureusement la notion d’ensemble. On se contentede dire qu’un ensemble est bien défini dès que l’on connaît tous ses éléments.

Exemple

• On appelle intervalle réel tout ensemble de la forme [a, b], [a, b[, ]a, b[,]a, b] où a et b sont deux réels tels que a < b.On rappelle que [a, b[ désigne l’ensemble contenant tous les réels contenusentre a (inclus) et b (exclu).

• On appelle intervalle entier et on note Jm,nK l’ensemble contenant tousles entiers de l’intervalle [m,n], où m et n sont des entiers tels que m < n.En particulier, pour n ∈ N∗, on a :

J1, nK = {i ∈ N | 1 6 i 6 n}︸ ︷︷ ︸sous forme compréhensive

= {1, 2, . . . , n}︸ ︷︷ ︸sous forme extensive

Vocabulaire• Un ensemble ne contenant qu’un seul élément est appelé un singleton.

× {1} est le singleton dont le seul élément est 1.× {{1}} est le singleton dont le seul élément est l’ensemble {1}.× {{∅, {1}, {1, 2}}} est le singleton dont l’unique élément est l’ensemble{∅, {1}, {1, 2}} (cet ensemble contient lui-même trois éléments : les en-sembles ∅, {1} et {1, 2}).

• De manière générale, un ensemble E contenant un nombre fini d’élémentsest appelé ensemble fini.Ce nombre est appelé cardinal de E et noté Card(E).

Card({∅, {1}, {1, 2}}) = 3 et Card({{∅, {1}, {1, 2}}}) = 1

(on donnera une définition plus rigoureuse de la notion de cardinal dans lechapitre suivant)

I.2. Comparaison d’ensembles : l’inclusion

I.2.a) Définition

DéfinitionSoit A et E deux ensembles.• On dit que A est inclus dans E, et on notera A ⊂ E ou A ⊆ E, si toutélément de A est un élément de E.

A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ E

• Lorsque A ⊂ E, on dit que A est un sous-ensemble de E ou encore unepartie de E.

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ECE1-B 2015-2016

Représentation graphique.Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

A

B

E

A

BE

A 6⊆ B A ⊆ B

Remarque

• Le plus petit (en terme d’inclusion) sous-ensemble de E est l’ensemble vide.

• Le plus grand (en terme d’inclusion) est E lui-même.

I.2.b) Modèle de rédaction pour démontrer A ⊂ B

Soit x ∈ A....démonstration ...Alors x ∈ B. On a donc démontré A ⊂ B.

I.2.c) Propriétés de l’inclusion

Propriété

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E.

1) ∅ ⊂ A

2) A ⊂ A (réflexivité)

3) (A ⊂ B ET B ⊂ A) ⇒ A = B (antisymétrie)

4) (A ⊂ B ET B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C (transitivité)

Démonstration.

1) Tout élément de ∅ (il n’y en a aucun !) est élément de A.

2) Soit x ∈ A alors x ∈ A.

3) Supposons que A ⊂ B ET B ⊂ A et montrons A = B i.e. que A et B ontmêmes éléments.

• Comme A ⊂ B, tout élément x de A, est aussi élément de B.

• De même, comme B ⊂ A, si x ∈ B alors x ∈ A.

Tout élément de A est élément de B et inversement.On en déduit que A = B.

4) Supposons que A ⊂ B ET B ⊂ C et démontrons que A ⊂ C.

Soit x ∈ A. Montrons que x ∈ C.

Comme x ∈ A et A ⊂ B, on en déduit que x ∈ B.Or B ⊂ C. Comme x ∈ B, on en déduit que x ∈ C.

Lecture de ces propriétésIl faut bien comprendre que les propriétés énoncées sont vérifiées pour A, Bet C des parties quelconques de E.Autrement dit, ces propriétés sont universellement quantifiées.Par exemple, la propriété de transitivité comme suit.

∀A ∈ P(E), ∀B ∈ P(E), ∀C ∈ P(E), (A ⊂ B ET B ⊂ C)⇒ A ⊂ C

(A ∈ P(E) signifie que A est une partie de E)Cette présentation, un peu lourde, rend difficile la lecture des propriétés.Nous l’éviterons donc dans les énoncés suivants.

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Démontrer l’égalité de deux ensembles

• Par définition, A = B si A et B ont les mêmes éléments. Ainsi, si A = B,tout élément x de A est élément de B (d’où A ⊂ B) et tout élément de Best élément de A (d’où B ⊂ A). La propriété 3 ) est donc une équivalence.

A = B ⇔ (A ⊂ B ET B ⊂ A)

Cette équivalence fournit une méthode de démonstration. Pour montrerque A = B, on procédera généralement par double inclusion.

Démontrons que A = B.

(⊂) Soit x ∈ A....démonstration ...Alors x ∈ B. On a donc démontré A ⊂ B.

(⊃) Soit x ∈ B....démonstration ...Alors x ∈ A. On a donc démontré B ⊂ A.

• Par ailleurs, A est différent de B (noté A 6= B) peut s’écrire comme suit :

A 6= B ⇔ NON(A ⊂ B ET B ⊂ A)⇔ NON(A ⊂ B) OU NON(B ⊂ A)⇔ (∃x ∈ A, x 6∈ B) OU (∃x ∈ B, x 6∈ A)

• On dit que A est inclus strictement dans B, et on note A B, lorsqueA ⊂ B et A 6= B :

A B ⇔ A ⊂ B ET B 6⊂ A⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) ET (∃x ∈ B, x /∈ A)

Notion de relation d’ordre• Les points 2 ), 3 ), 4 ) définissent la notion de relation d’ordre.La relation binaire 6 (récip. >) est une relation d’ordre sur R.La relation binaire ⊂ est, quant à elle, une relation d’ordre sur P(E).

• Il est à noter que R est totalement ordonné par la relation 6, ce qui signifie :

∀(x, y) ∈ R× R, (x 6 y) OU (y 6 x)

• Par contre, la relation ⊂ n’est pas totale sur P(E) :

∃(A,B) ∈ P(E)× P(E), (A 6⊂ B) ET (B 6⊂ A)

(c’est la négation de la propriété précédente)

I.2.d) L’ensemble des parties des éléments de E

NotationOn note P(E) l’ensemble composé de toutes les parties de E.

Remarque• P(E) est un ensemble dont les éléments sont des ensembles.C’est donc un ensemble d’ensembles.

• Tout sous-ensemble A de E vérifie A ⊂ E. Mais comme A est une partiede E, cette propriété peut aussi s’écrire : A ∈ P(E).

A ⊂ E ⇔ A ∈ P(E)

Propriétés immédiates• Si E = ∅, on a P(E) = {∅}.• Si E = {a}, on a P(E) = {∅, {a}}.• Si E = {a, b}, on a P(E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.On peut d’ailleurs démontrer que si E compte n éléments, alors P(E) compte2n éléments.

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ExerciceOn considère A = {{1, 2}, 3,∅}.a. Combien d’éléments possède A ?b. Détailler P(A).

Démonstration.a. L’ensemble A possède 3 éléments. Le premier, noté a1 = {1, 2}, est un

ensemble ; le deuxième, a2 = 3, est un réel ; le troisième, a3 = ∅, est unensemble.

b. Détaillons P(A) en utilisant les notations précédentes.

P(A) = { ∅,{a1}, {a2}, {a3},{a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3},{a1, a2, a3} }

Enfin, en remplaçant les ai par leur valeurs, on obtient :

P(A) = { ∅,{{1, 2}}, {3}, {∅},{{1, 2}, 3}, {{1, 2},∅}, {3,∅},{{1, 2}, 3,∅} }

L’ensemble P(A) contient 8 éléments (= 23).

I.3. Opérations ensemblistes

I.3.a) Réunion de parties de E

DéfinitionSoient A et B deux parties d’un ensemble E.

• On appelle réunion de A et de B et on note A ∪B l’ensemble suivant.

A ∪B = {x ∈ E | (x ∈ A) OU (x ∈ B)}

• Autrement dit, pour x ∈ E, on a : x ∈ A ∪B ⇔ (x ∈ A) OU (x ∈ B).

Représentation graphique.Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

A

B

E

A ∪B

Propriétés élémentairesSoient A, B et C des parties d’un ensemble E.

1) Propriétés de la loi ∪ :a. A ∪B = B ∪A

(la loi ∪ est commutative)b. A ∪∅ = ∅ ∪A = A

(l’ensemble vide est l’élément neutre de la loi ∪)c. A ∪ E = E ∪A = E

(l’ensemble E est l’élément absorbant de la loi ∪)d. A ∪A = A

(tout élément A est idempotent pour la loi ∪)e. (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(la loi ∪ est associative)2) Propriétés liant ∪ et ⊂ :

a. A ⊂ A ∪B et B ⊂ A ∪B

b. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C

c.A ⊂ BC ⊂ D

}⇒ A ∪ C ⊂ B ∪D

d. A ∪B = A ⇔ B ⊂ A

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Démonstration.La seule difficulté de la démonstration réside dans la rédaction.À titre d’illustration, développons les points 2)c. et 2)d.

c. Supposons A ⊂ B et C ⊂ D et démontrons A ∪ C ⊂ B ∪D.

Soit x ∈ A ∪ C.

Ceci signifie que x ∈ A ou x ∈ C. Deux cas se présentent alors :

× si x ∈ A : alors, comme A ⊂ B, on a x ∈ B.Or B B ∪D. On en déduit, comme x ∈ B que x ∈ B ∪D.

× si x 6∈ A : alors, comme x ∈ A ∪ C, on a forcément x ∈ C.Or C ⊂ D ⊂ B ∪D. Comme x ∈ C, on en déduit que x ∈ B ∪D.

On en déduit que x ∈ B ∪D.

On remarque au passage que la propriété 2)b. est un cas particulier decette propriété 2)c. En effet, il suffit d’appliquer 2)c. avec D = C pourobtenir la propriété 2)b.

d. Il s’agit ici de démontrer une équivalence.On raisonne par double implication.

(⇒) Supposons A ∪B = A et démontrons B ⊂ A.

Soit x ∈ B.Comme B ⊂ A ∪B = A, alors x ∈ A.

(⇐) Supposons B ⊂ A et démontrons A ∪B = A.Il s’agit ici de démontrer une égalité. On procède par double inclusion.

(⊂) Soit x ∈ A ∪B.Ceci signifie que x ∈ A ou x ∈ B. Deux cas se présentent alors :

× si x ∈ A : alors on a bien x ∈ A.

× si x 6∈ A : alors, comme x ∈ A ∪B, on a forcément x ∈ B.Or B ⊂ A. Comme x ∈ B, on en déduit que x ∈ A.

(⊃) A ∪B ⊃ A (c’est la 2ème propriété).

Traiter une hypothèse du type x ∈ A ∪B

• Une hypothèse de la forme x ∈ A ∪ B signifie soit que x ∈ A, soit quex ∈ B (éventuellement x appartient à la fois à A et à B). Pour traitercorrectement ce type d’hypothèse, on réalise une disjonction de cas.

...début de démonstration ...Ainsi x ∈ A ∪B. Deux cas se présentent alors :

× si x ∈ A :...démonstration ...

× si x 6∈ A : alors, comme x ∈ A ∪B, on a x ∈ B....démonstration ...

• Autrement dit, on étudie le cas x ∈ A puis le cas x ∈ B. La rédactionprécédente met en avant le caractère exhaustif de l’étude de cas.Ceci signifie qu’il n’y a pas d’autre cas à considérer.

I.3.b) Intersection de parties de E

Définition

Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

• On appelle intersection de A et B et on note A∩B l’ensemble suivant.

A ∩B = {x ∈ E | (x ∈ A) ET (x ∈ B)}

• Autrement dit, pour x ∈ E, on a : x ∈ A ∩B ⇔ (x ∈ A) ET (x ∈ B).

• Deux ensembles A et B sont disjoints si A ∩B = ∅.

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Représentation graphique.Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

A

B

E

A ∩B

Propriétés élémentairesSoient A, B et C des parties d’un ensemble E.

1) Propriétés de la loi ∩ :a. A ∩B = B ∩A

(la loi ∩ est commutative)b. A ∩ E = E ∩A = E

(l’ensemble E est l’élément neutre de la loi ∩)c. A ∩∅ = ∅ ∩A = ∅

(l’ensemble vide est l’élément absorbant de la loi ∩)d. A ∩A = A

(tout élément A est idempotent pour la loi ∩)e. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(la loi ∩ est associative)2) Propriétés liant ∩ et ⊂ :

a. A ∩B ⊂ A et A ∩B ⊂ B

b. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C

c.A ⊂ BC ⊂ D

}⇒ A ∩ C ⊂ B ∩D

d. A ∩B = A ⇔ A ⊂ B

I.3.c) Passage au complémentaire

Définition

Soit A une partie d’un ensemble E.

• On appelle complémentaire de A dans E et on note—E

A l’ensemblesuivant.

—E

A = {x ∈ E | x 6∈ A}

(le B.O. recommande d’utiliser la notation A, moins précise, mais plusagréable, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de travail E)

• Autrement dit, pour x ∈ E, on a : x ∈—E

A ⇔ NON(x ∈ A).

Représentation graphique.Soit A une partie d’un ensemble E.

A

E

—E

A

Propriétés élémentaires

Soit E un ensemble.

Soit A une partie de E.

—E( —E

A

)= A

—E

E = ∅—E

∅ = E

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I.3.d) Propriétés combinant les opérateurs de réunion, intersectionet passage au complémentaire

Propriétés liant ∪, ∩ et passage au complémentaireSoient A, B et C des parties d’un ensemble E.

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

(la loi ∩ est distributive par rapport à la loi ∪)

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(la loi ∪ est distributive par rapport à la loi ∩)

• (A ∩B) = A ∪ B et (A ∪B) = A ∩ B

(lois de de Morgan)

• A ∪ A = E et A ∩ A = ∅

Remarque• La définition des opérateurs ensemblistes fait apparaître un lien fort entreceux-ci et les connecteurs logiques usuels. Mettons en avant ces liens.

ET (noté aussi ∧) ←→ ∩OU (noté aussi ∨) ←→ ∪

NON(a)(noté aussi a) ←→ A⊂ ←→ ⇒= ←→ ⇔∅ ←→ fauxE ←→ vrai

• Ce dictionnaire permet de traduire les propriétés énoncés au-dessus endes propositions logiques. On retrouve notamment les lois de de Morganénoncées dans le CH I.

• Il est à noter que l’inclusion se traduit par une implication.Ceci provient du fait que :

A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ E, (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B))

I.3.e) Partition d’un ensemble E

Définition

Soit I ⊂ N et (Ai)i∈I une famille de parties d’un ensemble E.

• On dit que la famille (Ai)i∈I est une partition de l’ensemble E si lespropriétés suivantes sont vérifiées :

(i) ∀i ∈ I, Ai 6= ∅,(ii) ∀(i, j) ∈ I × I, i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅,

(les ensembles sont deux à deux disjoints)

(iii) E =⋃i∈I

Ai.

Représentation graphique.Soit (Ai)i∈J1,7K une famille de parties d’un ensemble E.

A1

A2

A3 A4

A5A6

A7

E

Partition de l’ensemble E

E =7⋃

i=1Ai

RemarqueLa notion de partition est à rapprocher de celle de puzzle.Les pièces sont les ensembles Ai de la partition. Posées les unes à côté desautres, ces pièces forment l’image à reconstituer i.e. l’ensemble E.

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NotationLa notation

⋃i∈I

Ai désigne l’ensemble des éléments qui sont dans au moins

un des Ai, pour i ∈ I. Plus précisément :

•n⋃

i=1Ai = A1 ∪ . . . ∪An = {x ∈ E | ∃i ∈ J1, nK, x ∈ Ai}

•+∞⋃i=1

Ai = {x ∈ E | ∃i ∈ N∗, x ∈ Ai}

• De manière générale :⋃i∈I

Ai = {x ∈ E | ∃i ∈ I, x ∈ Ai}

I.3.f) Différence ensembliste de parties de E

Définition

Soient A, B des parties d’un ensemble E.

• On appelle différence ensembliste de A et B et on note A\B l’ensemblesuivant.

A \B = {x ∈ E | (x ∈ A) ET (x /∈ B)}= A ∩

—E

B

Représentation graphique.Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

A

B

E

A \B

PropriétéSoit E un ensemble et A une partie de E.

—E

A = E \A

I.4. Produit cartésien de deux ensembles

DéfinitionSoient E et F deux ensembles.

• Le produit cartésien de E et F , noté E × F , est l’ensemble des couples(x, y) avec x élément de E et y élément de F .

E × F = {(x, y) | x ∈ E, y ∈ F}

• Ainsi, tout élément u de l’ensemble E×F s’écrit sous la forme u = (u1, u2)avec u1 ∈ E et u2 ∈ F .

Remarque• On a utilisé dans cette définition la notion intuitive de couple. Un coupleest une paire ordonnée d’éléments. Ainsi le couple (x, y) ne doit pas êtreconfondu avec (y, x). Plus précisément, on a :

(x1, y1) = (x2, y2) ⇔ (x1 = x2 ET y1 = y2)

• Lorsque E = F , on note E × E ou tout simplement E2.Ainsi, on écrira sans distinction R× R ou R2.

• Cette définition se généralise à n ensembles.L’ensemble E1 ×E2 × . . .×En est constitué des n-uplets (x1, . . . , xn) oùchaque xi ∈ Ei.Dans le cas où E1 = . . . = En, on écrit sans distinction En ou E× . . .×E.En particulier : Rn = R× · · · × R.

• Si E a p éléments et F a q éléments, l’ensemble E×F compte pq éléments.

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Exercice

Soient E et F deux ensembles.

Soient A une partie de E (A ⊂ E) et B une partie de F (B ⊂ F ).

Montrer que : A×B ⊂ E × F .

Démonstration.Soit u ∈ A×B.Cela signifie qu’il existe u1 ∈ A et u2 ∈ B tels que u = (u1, u2).

• Comme u1 ∈ A et A ⊂ E, on en déduit que u1 ∈ E.

• Comme u2 ∈ B et B ⊂ F , on en déduit que u2 ∈ F .

Ainsi, on a u = (u1, u2) ∈ E × F .

II. Applications

II.1. Notion d’application

DéfinitionSoient E et F deux ensembles.

Une application f de E dans F (notée f : E → F ) est un procédé permet-tant d’associer à chaque élément x de l’ensemble E, un et un seul élément yde l’ensemble F .• L’élément y de cette définition est alors appelé l’image de x par l’applica-tion f et est noté y = f(x).

• E s’appelle l’ensemble de départ de l’application.

• F s’appelle l’ensemble d’arrivée de l’application.

• Si y ∈ F , deux cas se présentent.

× Soit il existe au moins un élément x de E dont y est l’image.On dit dans ce cas que x est un antécédent de y par f .

× Soit y n’admet pas d’antécédent par l’application f .

• On appelle image de f et on note Im f , l’ensemble des éléments y de Fqui admettent des antécédents par f .

Im f = {y ∈ F | ∃x ∈ E, y = f(x)}

• Par définition, on a toujours Im f ⊂ F mais pas forcément égalité.

• On note A(E,F ) l’ensemble des applications de E dans F .

• Enfin, si E = F , l’application qui à chaque x élément de E associe ce mêmeélément x est appelée l’identité sur E et se note idE .

idE : E → Ex 7→ x

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Représentation graphique.Soient E et F deux ensembles et f : E → F .

x1x2

x3x4

y1

y2y3

y4y5

y6

EF

f

Différence entre application et fonction.• La définition d’application stipule que tout élément x de E admet uneunique image par f , ce qui s’écrit :

∀x ∈ E,∃!y ∈ F, y = f(x)

(à ne pas confondre avec la notion de bijectivité !)• Sur le schéma précédent, cela signifie que d’un élément xi part forcémentune flèche mais seulement une.

• Dans la définition de fonction, on relâche cette contrainte en exigeant seule-ment qu’un élément x de E admet au plus une image par f .D’un élément x ∈ E peut ne pas partir de flèche, ce qui signifie alors quela fonction f n’est pas définie en x.

• Par exemple, on peut parler de la fonction inverse (notée f : x 7→ 1x) sans

préciser son ensemble de départ et son ensemble d’arrivée et déterminer,dans un second temps, son ensemble de définition.

• Plus précisément, l’objet f suivant :

f : R → R

x 7→ 1

x

est une fonction mais pas une application puisque f n’est pas définie en 0.Le domaine de définition de f est R \ {0}.

Égalité de deux applications

• Deux applications f : E1 → F1 et g : E2 → F2 sont égales si :

× elles ont même ensemble de départ : E1 = E2,

× même ensemble d’arrivée F1 = F2,

× et vérifient : ∀x ∈ E1, f(x) = g(x).

• Par exemple, les objets f1 et f2 suivants :

f1 : R+∗ → R+∗

x 7→ 1

x

f2 : R−∗ → R−∗

x 7→ 1

x

sont des applications différentes et ce même si elles sont construites à l’aidedu même procédé x 7→ 1

x .

Définition

Soient E et F deux ensembles et soit A ⊂ E.

Soit f : E → F .

• L’image (directe) de l’ensemble A par l’application f , notée f(A), estl’ensemble des images par f des éléments de A. Autrement dit :

f(A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A, y = f(x)} = {f(x) | x ∈ A} ⊂ F

• En particulier, on a : f(E) = Im(f)

� Soit f : E → F une application. Il ne faut pas confondre :

• Im(f) l’image de l’application f .(l’ensemble des images : Im(f) = {f(x) | x ∈ E})

• F l’ensemble d’arrivée de l’application f .

Comme déjà précisé : Im(f) ⊂ F mais pas forcément Im(f) = F .

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ExerciceSoient f : E 7→ F une application et A1 et A2 des parties de E.a. Démontrer que : f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2).

b. Démontrer que : f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

c. A-t-on égalité ?

Démonstration.a. On procède par double inclusion.(⊂) Soit y ∈ f(A1 ∪A2).

Alors il existe x ∈ A1 ∪A2 tel que y = f(x).Ceci signifie que x ∈ A1 ou x ∈ A2. Deux cas se présentent alors :× si x ∈ A1 : alors on a y = f(x) ∈ f(A1).× si x 6∈ A1 : alors, comme x ∈ A1 ∪A2, on a forcément x ∈ A2.

On en déduit que y = f(x) ∈ f(A2).Ainsi, y ∈ f(A1 ∪A2).

(⊃) Soit y ∈ f(A1) ∪ f(A2).Ceci signifie que y ∈ f(A1) ou y ∈ f(A2). Deux cas se présententalors :× si y ∈ f(A1) : il existe donc x ∈ A1 tel que y = f(x).

Or A1 ⊂ A1 ∪A2. Ainsi, x ∈ A1 ∪A2.D’où y ∈ f(A1 ∪A2).

× si y 6∈ f(A1) : alors comme y ∈ f(A1) ∪ f(A2), on a forcémenty ∈ f(A2). Il existe donc x ∈ A2 tel que y = f(x).Or A2 ⊂ A1 ∪A2. Ainsi, x ∈ A1 ∪A2.D’où y ∈ f(A1 ∪A2).

Ainsi, y ∈ f(A1 ∪A2).b. Soit y ∈ f(A1 ∩A2).

Alors il existe x ∈ A1 ∩A2 tel que y = f(x).• Comme A1 ∩A2 ⊂ A1, on a : x ∈ A1 et donc f(x) ∈ f(A1).• De même, A1 ∩A2 ⊂ A2, et donc f(x) ∈ f(A2).On en déduit que f(x) ∈ f(A1) ∩ f(A2).

c. Il n’y a pas égalité. Il suffit d’exhiber un contre-exemple pour s’en convaincre.Par exemple, on prend A1 = R−, A2 = R+ et f : x 7→ |x|.On a alors :

• f(A1 ∩A2) = f(R− ∩ R+) = f({0}) = {0}• f(A1) = f(R−) = R+ et f(A2) = f(R+) = R+.D’où f(A1) ∩ f(A2) = R+ ∩ R+ = R+.

II.2. Restriction

Définition

Soient E et F deux ensembles et A une partie de E.

Soit f : E → F une application.

• La restriction de f à A, notée f A, est l’application de A dans F définiepar :

f A : A → Fx 7→ f(x)

• Autrement dit, on a : ∀x ∈ A, f A(x) = f(x)

• On a alors : Im f A = f(A)

� Soit x ∈ E et A ⊂ E.Il ne faut pas confondre les objets f(x) et f(A) qui sont de naturetrès différente :

× f(x) est un élément de F ,

× f(A) est un ensemble (sous-ensemble de F ).

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II.3. Composée de deux applications

Définition

Soient E, F et G trois ensembles.

Soit f : E → F une application.

Soit g : F → G une application.

• La composée de f par g, notée g ◦ f , est l’application :

g ◦ f : E → Gx 7→ g(f(x))

• Autrement dit, on a : ∀x ∈ E, (g ◦ f)(x) = g(f(x))

Représentation graphique.Soient E, F et G des ensembles et f : E → F , g : F → G des applications.

x1x2

x3x4

y1

y2y3

y4

y5

z1

z2

z3

z4

z5

z6 z7

EF

Gfg

RemarqueLes ensembles de départ et d’arrivée des applications f : E → F et g : F → Gont un rôle crucial pour la bonne définition de g ◦ f . Plus précisément :

g ◦ f est bien définie ⇔ f(E) ⊂ F

� La loi ◦ n’est pas commutative.Ceci signifie que, de manière générale, f ◦ g 6= g ◦ f .Deux raisons possibles à cela.

1) D’après la remarque précédente, g ◦ f peut-être définie sans quef ◦ g le soit (et inversement).

2) Même si f ◦ g et g ◦ f sont bien définies (c’est par exemple lecas lorsque E = F = G), les applications f ◦ g et g ◦ f sontgénéralement différentes.

ExempleConsidérons les applications suivantes :

f : R → Rx 7→ x + 1

et g : R → Rx 7→ x2

Les applications f ◦ g et g ◦ f sont bien définies. Toutefois, on a :

(f ◦ g)(x) = f(g(x))= f(x2)= x2 + 1

(g ◦ f)(x) = g(f(x))= g(x + 1)= (x + 1)2

Les deux applications f ◦ g et g ◦ f sont différentes.

ExerciceOn considère les deux applications f et g de J1, 9K dans lui-même définiespar leurs tables de valeurs :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) 6 4 7 8 9 3 5 1 2

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

g(x) 1 2 7 4 5 6 3 8 9

Représenter de la même façon les applications g ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , f ◦ g.

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Les applications g ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , f ◦ g sont données par :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9g ◦ g(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9g ◦ f(x) 6 4 3 8 9 7 5 1 2

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f ◦ f(x) 3 8 5 1 2 7 9 6 4

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f ◦ g(x) 6 4 5 8 9 3 7 1 2

Propriété

Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application.

f ◦ idE = fidF ◦ f = f

Propriété

Soient E, F , G trois ensembles.

Soit f : E → F une application.

Soit g : F → G une application.

Soit h : G→ H une application.

On a alors : h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f(la loi ◦ est associative)

RemarqueAvec les notations précédentes, on a :

• h ◦ g : F → H,

• g ◦ f : E → G,

• h ◦ g ◦ f : E → H.(la notation h ◦ g ◦ f est autorisée du fait de l’associativité de la loi ◦)

II.4. Caractère injectif, surjectif, bijectif des applications

II.4.a) Injectivité

Définition

Soient E et F deux ensembles.

• Une application f : E → F est injective si tout couple d’éléments distinctsde E fournit deux images distinctes par f .

∀(x1, x2) ∈ E2, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)

Représentation graphique.Soient E, F des ensembles et f : E → F une application.

x1x2

x3x4

y1

y2y3

y4

y5

EF

f

Exemple d’application injective et non injective.

1) L’application f : R → Rx 7→ x

est injective.

En effet, si x1 et x2 sont deux éléments de E tels que x1 6= x2, alorsf(x1) = x1 6= x2 = f(x2).

2) L’application g : R → Rx 7→ x2

est non injective.

En effet, −1 6= 1 et g(−1) = 1 = g(1).

3) Par contre, g R+ est bien injective.

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PropriétéSoient E et F deux ensembles.Soit f : E → F une application.

f injective ⇔ Tout élément y ∈ F admet au plus un antécédent par f

Démonstration.On raisonne par double implication.

(⇒) Supposons par l’absurde que f est injective et qu’il existe un élémenty ∈ F admettant strictement plus d’un antécédent par f .Alors il existe (x1, x2) ∈ E2 tel que x1 6= x2 et f(x1) = y = f(x2).Ceci contredit l’injectivité de f .

(⇐) Supposons que tout élément y ∈ F admet au plus un antécédent par f .Soit (x1, x2) ∈ E2 tel que x1 6= x2. Notons y1 = f(x1) et y2 = f(x2).Alors on a forcément y1 6= y2 car sinon y1 posséderait deux antécédentsdistincts x1 et x2.

Démontrer qu’une application est injectiveOn peut utiliser la définition équivalente, stipulant qu’une application estinjective si et seulement si :

∀(x1, x2) ∈ E2, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2

Cette définition est l’écriture contraposée de la définition initiale.(on a même : f(x1) = f(x2)⇔ x1 = x2)

Démontrons que f : E → F injective.

Soit (x1, x2) ∈ E2.On suppose que f(x1) = f(x2). ...démonstration...Alors x1 = x2.On a donc démontré que f est injective.

PropriétéSoient E, F , G des ensembles.Soit f : E → F une application.Soit g : F → G une application.

f est injectiveg est injective

}⇒ g ◦ f : E → G est injective

Autrement dit, la composée de deux applications injectives est injective.

Démonstration.Supposons f et g injectives et démontrons que g ◦ f : E → G est injective.Soit (x1, x2) ∈ E2 tel que g ◦ f(x1) = g ◦ f(x2).Autrement dit : g(f(x1)) = g(f(x2)).Or, comme g est injective, on en déduit que : f(x1) = f(x2).Or, comme f est injective, on en déduit que : x1 = x2.

Ainsi g ◦ f est injective.

PropriétéSoient E, F , G des ensembles.Soit f : E → F une application.Soit g : F → G une application.

g ◦ f est injective ⇒ f injective

Démonstration.Supposons g ◦ f injective et démontrons que f : E → F est injective.Soit (x1, x2) ∈ E2 tel que f(x1) = f(x2).On a alors : g(f(x1)) = g(f(x2)).(égalité obtenue en composant chaque membre de l’égalité précédente par g)Autrement dit : g ◦ f(x1) = g ◦ f(x2).Or, comme g ◦ f est injective, on en déduit que : x1 = x2.

Ainsi f est injective.

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PropriétéSoit f : R→ R une application.

f strictement croissante ⇒ f est injective

Démonstration.Soit (x1, x2) ∈ R2 tels que x1 6= x2.Quitte à renommer x1 et x2, on peut supposer que : x1 > x2.Or, la fonction f est strictement croissante. On a donc : f(x1) > f(x2).Ainsi : f(x1) 6= f(x2).

On en conclut que f est injective.

II.4.b) Surjectivité

DéfinitionSoient E et F deux ensembles.

• Une application f de E dans F est surjective si tout élément de F admetau moins un antécédent par f .

∀y ∈ F,∃x ∈ E, y = f(x)

• Autrement dit, f surjective si : Im f = F

Représentation graphique.Soient E, F des ensembles et f : E → F une application surjective.

x1

x2x3

x4

x5

y1y2

y3y4

EF

f

Exemple d’application surjective et non surjective.

1) L’application f : R → Rx 7→ x

est surjective. En effet, tout élément y

de R est atteint par f puisque y = f(y).

2) L’application g : R → Rx 7→ x2

est non surjective. En effet, −1 ne peut

s’écrire comme le carré d’un réel (il n’existe pas de x ∈ R tel que−1 = x2).

3) Par contre, h : R → R+

x 7→ x2est bien surjective. En effet, tout y ∈ R+

peut s’écrire sous la forme y = h(√y). On a bien h(R) = R+.

Démontrer qu’une application est surjectiveLa propriété définissant la surjectivité fournit le schéma de rédaction suivant.

Démontrons que f : E → F surjective.

Soit y ∈ F.Exhibons x ∈ E tel que y = f(x)....démonstration ...Alors y = f(x).On a donc démontré que f est surjective.

Remarque• L’élément y nommé au début de la démonstration est un élément de l’en-semble F . Le but de la démonstration est de démontrer qu’il existe x ∈ Etel que y = f(x), ce qui signifie que y ∈ Im(f) (= f(E)).

• On démontre donc que tout élément y ∈ F vérifie y ∈ Im(f).Autrement dit : F ⊂ Im(f).

• Comme on a toujours Im(f) ⊂ F , on démontre ainsi : Im(f) = F .

� On l’a déjà dit : il ne faut pas confondre F et Im(f).Ces deux ensembles ne sont égaux que si f est surjective.

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PropriétéSoient E, F , G des ensembles.Soit f : E → F une application.Soit g : F → G une application.

f est surjectiveg est surjective

}⇒ g ◦ f : E → G est surjective

Autrement dit, la composée de deux applications surjectives est surjective.

Démonstration.Supposons f et g surjectives et démontrons que g ◦ f est surjective.Soit y ∈ G.Démontrons qu’il existe x ∈ E tel que y = f(x).Comme g : F → G est surjective, il existe u ∈ F tel que y = g(u).Comme f : E → F est surjective, il existe x ∈ E tel que u = f(x).On a alors : y = g(u) = g(f(x)) = g ◦ f(x).

Ainsi g ◦ f est surjective.

PropriétéSoient E, F , G des ensembles.Soit f : E → F une application.Soit g : F → G une application.

g ◦ f est surjective ⇒ g surjective

Démonstration.Supposons g ◦ f surjective et démontrons que g est surjective.Soit y ∈ G.Démontrons qu’il existe x ∈ E tel que y = g(x).Comme g ◦ f est surjective, il existe u ∈ E tel que y = g ◦ f(u) = g(f(u)).Notons x = f(u). Alors x ∈ F et x vérifie y = g(x).

Ainsi f est surjective.

PropriétéSoient E et F deux ensembles et f : E → F une application.

Alors l’application f : E → f(E)x 7→ f(x)

est surjective.

Démonstration.Soit y ∈ f(E) = {f(x) | x ∈ E}.Alors, par définition de f(E), il existe x ∈ E tel que y = f(x) = f(x).

Ainsi f est surjective.

Remarque• C’est une manière classique de rendre une fonction surjective.• Cette propriété est notamment utilisé dans le théorème de la bijection.

Plus précisément, si f : [a, b]→ R est telle que :× f est strictement croissante sur [a, b],× f est continue sur [a, b],alors f est une bijection de [a, b] sur f([a, b]). En effet :a) Comme f est strictement croissante, elle est injective.b) On rend alors cette fonction surjective modifiant son ensemble d’arrivée.

Plus précisément, f : [a, b]→ f([a, b]) est surjective.• Notez que nous n’avons pas eu besoin dans la démonstration précédente ducaractère continue de la fonction f . Dès lors, à quoi sert cette hypothèse ?

(i) Si f est continue, alors f([a, b]) est l’image d’un intervalle par unefonction continue. C’est donc un intervalle.

(ii) Sous l’hypothèse de continuité de f on a la propriété :

f injective ⇒ f strictement monotone

La réciproque étant toujours vérifiée, on obtient une caractérisationdes applications strictement monotones. Si f est continue, on a :

f injective ⇔ f strictement monotone

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II.4.c) Bijectivité

Définition

Soient E et F deux ensembles.

Soit f : E → F une application.

• On dit que l’application f : E → F est bijective ou définit une bijectionde E dans F si f est injective et surjective.

• Ainsi, l’application f : E → F est bijective si tout élément y ∈ F admetun et un seul antécédent x ∈ E par f . Autrement dit :

∀y ∈ F,∃!x ∈ E, y = f(x)

RemarqueSi f : E → F est une application bijective :

× f est une application : donc à tout élément x de E correspond un et unseul élément y de F ,

× f est bijective : donc à tout élément y de F est associé un unique élémentx de E par f (x est l’antécédent de y par f).

On en conclut qu’il y a « autant » d’éléments dans E que dans F .

Définition

Soient E et F deux ensembles.

Soit f : E → F une application bijective.

• La (bijection) réciproque associée à f , notée f−1 : F → E, est l’applicationde F dans E qui, à chaque y de F , associe son unique antécédent x par f .

• On a alors : ∀x ∈ E,∀y ∈ F, x = f−1(y) ⇔ y = f(x)

(f−1(y) est l’unique antécédent de y par f)

Représentation graphique.Soient E, F des ensembles et f : E → F une application bijective.

x1x2

x3x4

y1

y2y3

y4

E Ff

f−1

Exemple d’application bijective et non bijective.

1) L’application f : R → Rx 7→ x

est bijective car elle est à la fois injective

et surjective.

2) L’application g : R → Rx 7→ x2

n’est pas bijective. En fait, elle n’est ni

injective ni surjective.

3) Par contre, t : R+ → R+

x 7→ x2est bien bijective puisqu’elle est à la fois

injective est surjective. Tout y ∈ R+ s’écrit d’une unique manière commeun carré : y = (

√y)2 = t(y).

PropriétésSoient E et F deux ensembles.Soit f : E → F une application bijective.

a. L’application réciproque f−1 est bijective et(f−1

)−1= f

b. 1) ∀x ∈ E,∀y ∈ F, (y = f(x) ⇔ x = f−1(y))

2) ∀y ∈ F, f(f−1(y)) = y

3) ∀x ∈ E, f−1(f(x)) = x

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Proposition 1.Soient E et F deux ensembles.Soit f : E → F et g : F → E des applications.

g ◦ f = idE

f ◦ g = idF

}⇒ f et g sont bijectives.

De plus : g = f−1 et f = g−1

Démonstration.a. On sait que g ◦ f = idE . Or idE est une bijection de E dans E.

Donc g ◦ f est bijective. On en déduit que g ◦ f est notamment surjective.Ainsi g est surjective.

De même, f ◦ g = idF . Or idF est une bijection de F dans F .Donc f ◦ g est bijective. On en déduit que f ◦ g est notamment injective.Ainsi g est injective.

On en déduit que g est bijective.On démontre de la même manière que f est bijective.

b. La réciproque de f est par définition l’application qui à y ∈ F associe sonunique antécédent par f .Soit y ∈ F . Alors f(g(y)) = f ◦ g(y) = idF (y) = y.L’élément g(y) est un antécédent de y par f .Comme f est bijective, cet élément est unique. D’où g(y) = f−1(y).Ainsi : ∀y ∈ F, g(y) = f−1(y).Autrement dit : g = f−1.

Proposition 2.Soient E, F et G des ensembles.Soit f : E → F une application.Soit g : F → G une application.

• Si f : E → F et g : F → G sont deux bijections,alors la composée g ◦ f : E → G est une bijection, et on a :

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

Démonstration.Le caractère associatif de la loi ◦ (parenthésage comme bon nous semble)nous permet d’écrire :

(g ◦ f) ◦ (f−1 ◦ g−1)= g ◦ f ◦ f−1 ◦ g−1

= g ◦ (f ◦ f−1) ◦ g−1

= g ◦ idF ◦ g−1

= (g ◦ idF ) ◦ g−1

= g ◦ g−1 = idG

(f−1 ◦ g−1) ◦ (g ◦ f)

= f−1 ◦ g−1 ◦ g ◦ f= f−1 ◦ (g−1 ◦ g) ◦ f= f−1 ◦ idF ◦ f= (f−1 ◦ idF ) ◦ f= f−1 ◦ f = idE

D’après la proposition 1, g ◦ f est bijective, de réciproque f−1 ◦ g−1.

Méthodologie : déterminer la réciproque d’une application• Par une étude théorique : via la proposition 1.

ExerciceSoit f : E → E une application vérifiant f ◦ f ◦ f = idE .Montrer que f est bijective et déterminer son inverse.

• Par calcul : en inversant l’égalité y = f(x)

ExerciceOn considère l’application :

g : R\{−5} → R\{2}

x 7→ 2x− 3

x + 5

a. Démontrer que g est une bijection et déterminer sa réciproque.

b. Répondre aux mêmes questions pour h :

∣∣∣∣∣∣R → ]− 1, 1[

x 7→ x

1 + |x|

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ExerciceSoit f : E → E une application vérifiant f ◦ f ◦ f = idE .Montrer que f est bijective et déterminer son inverse.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que : (f ◦ f) ◦ f = idE

f ◦ (f ◦ f) = idE.

Par la proposition 1, on en conclut que f est bijective et que f−1 = f ◦f .

ExerciceOn considère l’application :

g : R\{−5} → R\{2}

x 7→ 2x− 3

x + 5

a. Démontrer que g est une bijection et déterminer sa réciproque.

On souhaite démontrer que :

∀y ∈ R \ {2},∃ ! x ∈ R \ {−5}, y = g(x)

Soit y ∈ R \ {2}. On résout l’équation y = g(x) d’inconnue x ∈ R \ {−5}.Pour ce faire, on raisonne par équivalence :

y = g(x) (1 )

⇔ y =2x− 3

x + 5(2 )

⇔ y(x + 5) = 2x− 3 (3 )

⇔ x(y − 2) = −3− 5y (4 )

⇔ x =3 + 5y

2− y(5 )

Soit y ∈ R \ {2}.

Notons x =3 + 5y

2− y.

• Alors x 6= −5. En effet, on aurait sinon : −5 =3 + 5y

2− y.

Et donc −10 + 5y = 3 + 5y et ainsi −10 = 3 ce qui est impossible.• D’autre part, on a :

g(x) =2x− 3

x + 5=

2 3+5y2−y − 3

3+5y2−y + 5

=

2(3+5y)−3(2−y)2−y

3+5y+5(2−y)2−y

=13y

2− y× 2− y

13= y

L’unicité de x est donnée par le raisonnement par équivalence précédent.Ainsi, g : R\{−5} → R\{2} est bijective.

Sa bijection réciproque est :g−1 : R \ {2} → R \ {−5}

x 7→ 3 + 5x

2− x

b. Répondre aux mêmes questions pour h :

∣∣∣∣∣∣R → ]− 1, 1[

x 7→ x

1 + |x|On souhaite démontrer que :

∀y ∈ ]− 1, 1[,∃ ! x ∈ R, y = h(x)

Soit y ∈ ] − 1, 1[. On résout l’équation y = h(x) d’inconnue x. Pour cefaire, on raisonne par équivalence :

y = h(x) (1 )

⇔ y =x

1 + |x|(2 )

⇔ y(1 + |x|) = x (3 )

⇔ |x| y − x = −y (4 )

⇔ x(sgn(x) y − 1) = −y (5 )

⇔ x =−y

sgn(x) y − 1(6 )

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On a introduit la fonction signe qui est définie par :

sgn : R → R

x 7→

1 si x > 0

0 si x = 0

−1 si x < 0

(en particulier, on a : sgn(x) x = |x| pour tout x ∈ R)

On remarque enfin que, comme 1 + |x| > 0, si y =x

1 + |x|alors on a

sgn(y) = sgn(x).

On en déduit que :

y = h(x) ⇔ x =−y

sgn(y) y − 1=

−y|y| − 1

Soit y ∈ ]− 1, 1[.

Notons x =−y|y| − 1

. On a alors :

h(x) =x

1 + |x|=

−y|y|−1

1 +∣∣∣ −y|y|−1 ∣∣∣ =

−y|y| − 1

× 1

1 + |−y|||y|−1|

=−y|y| − 1

× 1

1 + |y|1−|y|

=−y|y| − 1

× 11

1−|y|=−y−1

= y

(||y| − 1| = 1− |y| car |y| < 1)L’unicité de x est donnée par le raisonnement par équivalence précédent.Ainsi, h :]− 1, 1[→ R est bijective.

Sa bijection réciproque est :h−1 : R → ]− 1, 1[

x 7→ −x|x| − 1

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