Ch.1 : Introduction aux systèmes asservis · Lycée Vauvenargues PTSI Automatique page 1 / 24 AUTOMATIQUE C’est l’art d’analyser, modéliser, commander les systèmes, de prendre

Lycée Vauvenargues PTSI Automatique page 1 / 24

AUTOMATIQUE

C’est l’art d’analyser, modéliser, commander les systèmes, de prendre des décisions en fonctions d’évènements

extérieurs au système. Quelques dates et exemples : ~ 250 av JC : comptage du temps (clepsydre de Ktesybios).

1785 : Régulateur à boules de James Watt (machine à vapeur)

Il permet l’adaptation de la vitesse de rotation

d’un arbre à la variation de la charge.

1980 : Régulateur de vitesse automobile

Ch.1 : Introduction aux systèmes asservis

Objectifs ─ Définir les performances d’un système ─ Connaitre la structure d’un système asservi

1. MISE EN SITUATION

Exemple de système technique automatisé étudié : régulation d’un four

Un capteur renseigne directement le calculateur qui pilote l’injecteur pour maintenir la vitesse désirée (consigne du conducteur)

Ce système est constitué d’une résistance qui, parcourue par une intensité i(t), permet de chauffer l’enceinte d’un four. Une sonde permet de mesurer la température θ(t) à l’intérieur du four.

Ces 2 grandeurs peuvent prendre n’importe

quelle valeur, elles sont donc de type analogique.


Le système sera représenté de la manière suivante : Une entrée e(t) (ou consigne) est

imposée. Le système réagit suivant une sortie s(t) (ou réponse). Il peut éventuellement être soumis à des perturbations p(t). Toutes ces grandeurs seront fonction du temps.

Restriction d’étude du cours d’automatique: Ce cours ne s’applique qu’aux systèmes (ou parties de systèmes) ayant 1 entrée et 1 sortie, de type analogique.

Définition : Le système sera dit asservi si la sortie analogique, mesurée, influe sur l’entrée.

2. PERFORMANCES D’UN SYSTEME

Pour évaluer les performances d’un système automatisé, on va enregistrer l’évolution de sa sortie s(t) en fonction du temps (appelée réponse du système), pour un certain nombre d’entrées types e(t) :

entrée échelon impulsion de Dirac rampe entrée sinusoïdale Par superposition et décalage de ces entrées de base, on peut générer des entrées plus complexes et réalistes (voir TD).

21. Stabilité

Un système est dit stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.

Exemples de réponses de systèmes :

t

e(t)

t

e(t)

t

e(t)

t

e(t)


22. Précision

En réponse à un échelon, plusieurs types de réponses peuvent être observés, dont par exemple :

Ecart statique :

Ecart dynamique :

En réponse à une entrée rampe, plusieurs types de réponses peuvent être observés, dont par exemple :

Ecart de trainage :

23. Rapidité

La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur d’entrée, par exemple une entrée de type échelon Eo.

Pour la caractériser, on définit le temps de réponse à 5%, noté Tr 5% : ………………………………………………………………………………………………………………..

t

e(t)

Eo

e(t)

Eo

t

t t

e(t) e(t)


Une caractéristique liée à la rapidité est l’amortissement. Un système sera correctement amorti si : * Le premier pic de la réponse (s’il existe) ne dépasse pas de

manière trop importante la valeur finale * Le nombre d'oscillations avant stabilisation est faible : cela

permet de ménager la partie mécanique. D'un autre coté, on ne veut pas que le système soit

excessivement amorti car l'augmentation de l'amortissement provoque une diminution du rendement du système asservi. En effet, l'amortissement correspond physiquement à des pertes d'énergie : frottements en mécanique, courants de Foucault en électricité, pertes de charges en hydraulique, etc...

Les performances sont alors diminuées.

24. Lien entre ces caractéristiques

On peut asservir une grandeur d’un système pour améliorer la précision ou la rapidité de ce système, mais on peut alors le rendre instable. Le réglage d’un asservissement consiste à trouver le bon compromis entre toutes les caractéristiques de précision, rapidité et stabilité.

3. SYSTEME EN BOUCLE OUVERTE

Représentation du système par schémas blocs :

Définition : Un système est dit en boucle ouverte s’il n’y a aucun retour d’information sur la grandeur à commander.

Problèmes : - X1 souhaité respecté que si Qut est constant (et après réglages moteur) - Nécessité réglage Umot si Qut change de valeur, système non réactif

- Impossible d’avoir X1 constant si fuites (perturbation)

Conclusion : Un système en boucle ouverte ne peut pas être précis ni réactif aux perturbations.

t

Dépassement

Dans le cas du régime oscillant amorti, on définit également D1% la valeur du premier dépassement exprimé en %.

max 11% 100 100

S S DD

S S

t

e(t)

Eo

e(t)

Eo

Exemple : Soit le système de remplissage suivant, dont on veut maintenir la hauteur x1 dans le réservoir 1 constante :


4. SYSTEME EN BOUCLE FERMEE

1

ère schématisation : diagramme ibd

Le boitier de commande calcule alors l’écart entre la valeur souhaitée et la valeur mesurée. Cette valeur étant

relativement faible, il faut l’amplifier pour commander le système afin de réduire voire annuler cet écart.

2ème

schématisation : schéma bloc

Ce système est alors dit asservi. Le but de l'asservissement est d'annuler en permanence l’écart entre x1 réel et x1

souhaité, de manière à ce que la sortie suive l'entrée (système suiveur), ou si l’entrée est constante, de manière à ce que la sortie ne soit pas sensible aux perturbations du système (système régulateur)

5. STRUCTURE GENERALE D’UN SYSTEME ASSERVI

Solution : Un capteur envoie en temps réel à un boitier de commande l’information sur le niveau dans le réservoir. Définition : Un système est dit en boucle fermée si la grandeur à contrôler est mesurée et agit sur la commande du système.

(consigne) (réponse)


CORR : PROCESS : Remarque: « entrée » et « mesure » doivent être des signaux de même nature (tension, position, vitesse…) Souvent, la

consigne d’entrée est différente de la grandeur physique traitée par le comparateur. On rajoute alors un adaptateur de consigne.

Exemple précédent :

6. CLASSIFICATION DES SYSTEMES ASSERVIS

Systèmes de régulation : L’entrée (la consigne) est constante. Le bouclage sert à rendre le système plus précis et moins sensible aux

perturbations Systèmes asservis : (ou systèmes suiveurs)

L’entrée (la consigne) est variable. Le bouclage sert à suivre au mieux la consigne, et à faire face aux perturbations.

Servo-mécanismes : Si la grandeur asservie ou régulée est de type mécanique (position, vitesse, effort, couple..) il s’agit alors d’un servo-

mécanisme (ex. servomoteur).

7. EXEMPLES DE SYSTEMES ASSERVIS

Asservissement de position – système suiveur Régulation de température

Ts - Tc

Consigne

Tc

Four


Ch. 2 : Modélisation dynamique des systèmes

Objectifs

Définir les outils pour pouvoir déterminer la sortie connaissant l’entrée d’un système asservi.

Notions sur les transformées de Laplace

Modélisation d’un système par sa fonction de transfert.

But :

1. EXEMPLES DE MODELISATION Exemple 1 : système électrique : circuit RC

Mise en équation : Relation entrée/sortie :

Conclusion : L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle, dite d’ordre 1.

Exemple 2 : système mécanique : suspension automobile

Un obstacle provoque un déplacement x(t) de la roue. On cherche alors le déplacement y(t) du châssis du véhicule.

Mise en équation : Caractéristique ressort :

Exerce un effort proportionnel à son allongement depuis sa position d’équilibre, s’opposant au déplacement.

Caractéristique amortisseur :

Exerce un effort proportionnel à la vitesse d’enfoncement, s’opposant à celle-ci.

Principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M :

M M/0 = Fress + Famort d’où

Conclusion : L’entrée et la sortie sont reliées par une équation différentielle.

e(t) s(t)

Problématique :

F ressort =

F amortisseur =

obstacle

Relation entrée/sortie :

et au final :

système


2. Systèmes Linéaires Continus Invariants

21.Généralisation et restriction d’étude

Dans le cours d’automatique, on ne s’intéressera qu’aux systèmes dont la loi de comportement physique peut être décrite par une équation différentielle de type:

22.Propriétés d’un Système Linéaire Continu Invariant

• Système continu : système mettant en jeu des signaux continus. Ainsi les signaux mis en jeux ne seront que des grandeurs analogiques. La mesure et la commande sont donc effectuées en continu .On parle de systèmes continus par opposition aux systèmes échantillonnés.

• Système invariant : Système dont la réponse à une excitation ne varie pas dans le temps. RARE dans l’absolu mais souvent considéré comme.

• Système linéaire : Obéit au principe de superposition défini par les propriétés d’additivité et d’homogénéité. Un système dynamique linéaire peut être décrit par une équation différentielle à coefficient constant.

Conséquence : En régime permanent (c.a.d après un certain temps où entrée et sortie

se stabilisent), on a la courbe ci-contre.

23.Exemples de non-linéarité

Linéarisation autour d’un point de fonctionnement :

24.Problème posé

Soit un SLCI dont le comportement peut être décrit par l’équation différentielle suivante:

Connaissant e(t), on veut connaître s(t), ou inversement, s’imposant s(t) pour satisfaire le cahier des charges, on veut connaître la loi de pilotage e(t) du système.

Dans tous les cas, il faut résoudre l’équation différentielle régissant le fonctionnement du système. Dans les cas simples (ordre 1 ou 2, coefficients b1 à bn nuls…), la résolution est abordable. Pour les autres cas, un autre outil mathématique est nécessaire : Les transformées de Laplace.

e(t) s(t)

système

E

S

0

S

E

N

N

0

caractéristiquelinéarisée autour

du point de fonctinnement

S

E0 0

0

Si le système n’est pas linéaire, on peut toujours le modéliser par une équation différentielle linéaire. Elle ne traduira alors la réalité du système qu’autour d’une certaine valeur de l’entrée appelée point de fonctionnement.

e(∞)

s(∞)


3. LES TRANSFORMEES DE LAPLACE

31.Définition

Soit f, une fonction réelle de la variable réelle t (On travaillera toujours en variable temporelle dans le cours d'asservissements) et définie pour t > 0.

On appelle transformée de Laplace de f, la fonction F(p), définie par :

où p est une variable complexe « jouant le rôle du temps ».

Notation : Connaissant une fonction f(t), on peut calculer mathématiquement sa transformée de Laplace. En pratique, le

nombre de fonctions d’entrées de systèmes étant limité, on utilisera directement des résultats fournis par des tableaux (voir annexe).

Transformée inverse de Laplace : C’est l’opération qui consiste, à partir d’une transformées de Laplace connue, d’en déduire la fonction f(t).

Notation : De même, on procèdera par analogie et tableaux pour faire cette détermination inverse.

32.Propriétés

Unicité :

Linéarité : Considérons des fonctions du temps f1(t) et f2(t). Posons

F1(p) = L[ f1 (t) ] F2(p) = L[ f2 (t) ] Alors : a : réel

Théorème du retard :

Transformée de Laplace d’une dérivée : On démontre que :

et que

Si les conditions initiales sont nulles : f (0+ ) = f ’(0+) = 0 ( conditions de Heaviside ) :

Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace.

L[ f1 (t) + f2 (t) ] =

L[ a. f1(t) ] =

L[ f ( t - ) ] =


Transformée de Laplace d’une intégrale :

Posons g(t) = f(t) dt . On démontre que :

Si les conditions initiales sont nulles : g (0+ ) = 0 ( conditions de Heaviside ) :

Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace.

Théorèmes des valeurs initiale et finale :

Ces théorèmes permettent, connaissant la transformée de Laplace d’une fonction f(t), de déterminer les

valeurs de f pour t=0 ou t = ∞

sous réserve que ces limites existent…

33.Transformées de Laplace de fonctions d’entrées usuelles

Dans les systèmes asservis étudiés, les entrées couramment utilisées sont :

Fonction échelon : Fonction de Dirac : Fonction rampe : Fonction sinusoïdale :

34.Autres transformées de Laplace usuelles voir tableau en annexe

35.Utilisation des transformées de Laplace

lim t 0 f(t) = lim t ∞ f(t) =

L[ (t) ] =

L[ u(t) ] =

L[ f(t) ] =

L[ f(t) ] =

Uo

Uo


4. FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME

41.Définition

On appelle fonction de transfert du système ( ou transmittance ) le rapport noté H : domaine temporel domaine symbolique

• Zéros et pôles Pour un système linéaire :

Zéros : racines de N(p) = 0 Pôles : racines de D(p) = 0

Intérêt de déterminer les pôles :

- On démontre qu’un système est stable si ses pôles sont des réels négatifs, ou si leurs parties réelles sont toutes négatives.

- La nature des pôles nous renseigne sur l’allure de la sortie. Exemple pour une entrée Dirac :

• Forme canonique

On peut toujours mettre H(p) sous la forme :

Mettre H sous forme canonique consiste à écrire H(p) sous la forme ci-dessus. On définit alors :

le gain statique :

la classe :

l’ordre :

Intérêt :

Ces nouveaux coefficients vont faire apparaître des grandeurs caractéristiques du mécanisme comme des constantes de temps, pulsations propres, amortissements…qui nous renseigneront sur le comportement du système sans pousser plus loin les calculs (voir chapitres suivants).

H(p) =

Système e(t) s(t)

Système E(p) S(p)


42.Modélisation par schéma blocs

Bloc : Représentation d’un composant avec sa fonction de transfert :

Blocs en cascade :

Addition-Soustraction

43. Fonction de transfert d’un système asservi

La structure générale d'un

asservissement se présente souvent ainsi :

On appelle :

Chaine directe :

Fonction de transfert en boucle ouverte :

Fonction de transfert du système asservi :

On l’appelle aussi Fonction de Transfert en Boucle Fermée : Remarque : Tout système peut se mettre sous la forme :

44. Cas particuliers

Système proportionnel

( )H p K

- K est le coefficient d’amplification statique (gain statique) du système ex : résistance, ressort, engrenages…

Système dérivateur

( )H p K p

- K est le coefficient d’amplification statique (gain statique) du système ex : condensateur, amortisseur visqueux…

On l’appelle système à retour unitaire.

Ici, , et la formule précédente s’applique.

t

e(t)

s(t)

cas K < 1

( ) ( )s t K e t

t

e(t)

s(t) ( )

( )d e t

s t Kdt

( ) ( ). ( )S p G p E p

signifie :

signifie :

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )S p E p E p E p

Voir annexe 2 : manipulation de schémas blocs.

Fonction de Transfert de la Chaine Directe :

Fonction de Transfert en Boucle Ouverte :

( ) ( ). ( ). ( ). ( )FTBO p C p A p H p B p

Formule

de Black


Système intégrateur

( )K

H pp

- K est le coefficient d’amplification statique (gain statique) du système. Ex : inductance…

Système du premier ordre :

Voir chapitre 3.

Système du second ordre :

Voir chapitre 3.

44. Méthodes de détermination de fonctions de transfert

Méthode analytique :

o Pour chaque bloc, on écrit : S’(p) = H’(p).E’(p) (S’ et E’ sont les sortie et entrée du bloc, H’ sa FT) o On exprime les relations de sommation/soustraction o On élimine les grandeurs intermédiaires pour exprimer S(p) en fonction de E(p)

Méthode de manipulation des blocs : Voir annexe 2

o En déplaçant des lignes de dérivation ou des points de sommation, on modifie un schéma bloc complexe de manière à ne faire apparaitre que des boucles indépendantes (le schéma modifié n’a aucune réalité physique…).

o On applique alors la formule de Black autant de fois que nécessaire pour avoir la FT finale. Méthode expérimentale : Modèle de comportement

Si le système est complexe, mal connu ou si les hypothèses pour qu’il suive les lois de la physique sont trop restrictives, alors le système est considéré comme une boîte noire et une représentation équivalente du comportement est déterminée expérimentalement. On recherche le modèle mathématique qui, soumis aux mêmes sollicitations d’entrée e(t) que le système réel, donne une réponse s(t) identique à celle obtenue expérimentalement (voir chapitre 3 : identification). Rem : il est possible de fixer à priori l’ordre du modèle étudié. Plus l’ordre est élevé, plus la précision du modèle sera grande, mais plus l’équation différentielle sera lourde à traiter. D’autre part, les résultats d’expérience ayant un domaine de validité restreint (erreurs de mesure possibles, répétitivité des résultats…), il n’est généralement pas nécessaire de rechercher un modèle trop fin pour décrire correctement le comportement du système (l’ordre 2 suffit pour la plupart des applications).

5. INTEGRATION DE PERTURBATIONS DANS UN SYSTEME

Une perturbation peut être modélisée de manière très générale par une 2

ème entrée p(t) intervenant

au milieu de la chaîne d’action d’un système. On peut alors proposer le schéma bloc général ci-contre.

On peut alors : soit définir S(p) en fonction de E(p) et P(p) algébriquement, soit procéder par superposition :

─ considérer le système pour E(p) et P(p) = 0, d’où S1(p)

─ considérer le système pour E(p) = 0 et P(p), d’où S2(p)

La sortie totale sera alors S(p) = S1(p) + S2(p)

H3(p)

H1(p) H2(p) + +

G(p)

+ -

E(p) S(p)

P(p)

t

e(t) s(t)

( )( )

d s tK e t

dt


Ch. 3

Analyse temporelle des systèmes

Objectifs - acquérir la méthodologie d’étude des réponses temporelles d’un système - déterminer et caractériser la réponse temporelle d’un système du premier et deuxième ordre soumis à différentes

sollicitations, - d’identifier les valeurs des paramètres caractéristiques à partir de la courbe de réponse expérimentale d’un

système.

1. METHODOLOGIE D’ETUDE DES REPONSES TEMPORELLES D’UN SYSTEME

D’une manière générale S(p) aura la forme d’une fraction rationnelle du type

1 2

2

1 2

( )( )...( ) ( )

( )( ) ...

k p z p zS p i

p p p p p

où par exemple ici p2 est un pôle de type racine multiple (de degrés 2),

Pour utiliser la transformée inverse de Laplace, il faut mettre S(p) sous la forme :

31 2 4

2

1 2 2

( ) ... ( )( ) ( ) ( )

AA A AS p k ii

p p p p p p p

. (décomposition en éléments simples)

La détermination des coefficients Ai peut être réalisée de plusieurs façons :

- en développant les formes (i) et (ii) et en identifiant terme à terme méthode lourde …

- en considérant des valeurs particulières de p bien choisies…

- si , ,on a i ji j z p , en considérant

l’étude de ( ) ( )i

ip p

p p S pLim

dans le cas où pi est racine simple,

l’étude de ( ) ( )i

ip p

p p S pLim

dans le cas où pi est racine multiple avec le degré maximum de la racine.

Remarques :

On étudiera uniquement les sollicitations d’entrée du type impulsion de Dirac, échelon ou rampe.

Pour tracer s(t), on s’aidera du théorème des valeurs initiale et finale.

e(t) s(t)

E (p) S (p) H (p)

Méthodologie :

passer du domaine temporel au domaine de Laplace

déterminer S(p) pour une entrée donnée

revenir à s(t) par transformation inverse de Laplace à l’aide des tableaux.

Supposons un système modélisé dont on connait la fonction de transfert H(p). Ce système peut être un système bouclé ou non.

On souhaite connaitre et tracer s(t) pour certaines entrées e(t) particulières.


2. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 1er ORDRE

1 Définition d’un système du 1er ordre

Le système peut être modélisé par une équation différentielle du type ci-dessous. Si toutes les conditions initiales sont nulles, on a :

( ). ( ) . ( ) . . ( ) ( ) . ( )

Lds ts t K e t p S p S p K E p

dt H(p) =

K =

=

Exemples : circuit RC pour lequel = RC et K = 1, moteur à courant continu (avec inductance négligeable)…

2 Réponses temporelles

Nous étudions les caractéristiques de la réponse d’un système du 1er

ordre pour les différentes entrées usuelles.

2.1 Réponse à une impulsion Dirac e(t) = δ(t)

( ) 1 ( )1 .

KE p S p

p

s(t) =

Propriétés :

- application du théorème de la valeur initiale : 0

.lim ( ) lim . ( ) lim

1 .t p p

K p Ks t p S p

p

,

- application du théorème de la valeur finale : 0 0

.lim ( ) lim . ( ) lim 0

1 .t p p

K ps t p S p

p

,

- la tangente à l’origine coupe l’axe des abscisses en t =

- en t , la réponse est telle que : s(τ) = 0,37. K/τ

Remarque : si la réponse expérimentale d’un système soumis à une impulsion de Dirac correspond à celle du graphe ci-contre, son comportement est modélisable par celui d’un 1

er ordre de

gain K et de constante de temps obtenus par identification sur la courbe.

t

s(t)


0 0

.lim ( ) lim . ( ) lim .

1

cc

t p p

K Es t p S p K E

p

1.

1 1c

A BK E

p p p p

2.2 Réponse indicielle : entrée de type échelon e(t) = Ec.u(t)

( ) . ( )ce t E u t

( ) . (1 ). ( )t

cs t K E e u t

L L

-1

( ) cEE p

p

.( )

(1 . )

cK ES p

p p

Valeurs limites :

Valeur initiale :

Valeur finale : asymptote horizontale de valeur K.Ec

Pente à l’origine :

Points caractéristiques :

pour t = , s() = K.Ec (1 – e-1

) = 0,63.K.Ec

temps de réponse à 5%

Important :

dans les cas où K = 1, 0S , le système est précis.

dans les cas où K ≠ 1, pour t suffisamment grand, ( ) 1S t K Ec , la consigne n’est jamais atteinte.

Remarque :

si la réponse expérimentale d’un système soumis à un échelon unitaire correspond à celle du graphe ci-contre, son comportement est modélisable par une FT du 1

er ordre.

Le gain K et de constante de temps sont obtenus par identification sur la courbe, c-a-d en traçant les asymptote et pente à l’origine et en lisant les valeurs correspondantes.

Performances d’un système du 1er

ordre :

- précision : liée à la valeur du gain statique K, si K = 1 le système est précis, - rapidité : liée à la valeur de la constante de temps , le temps de réponse à 5% est tel que

5% 3.rt ,

- stabilité : un système du 1er

ordre est toujours stable, son pôle, égale à 1 , est négatif.

- stabilité : un système du 1er

ordre est toujours stable, son pôle, égale à 1 , est négatif.

Particularité :

La tangente à l’origine d’un 1er

ordre est de pente non nulle.

t

s(t)

0lim ( ) lim . ( ) lim 0

1t p p

Ks t p S p

p

2

0

. . .( )lim lim . ( ) lim

1

c c

t p p

K E p K Ed s tp S p

dt p

Système du premier ordre

1

K

p

Ec


2.3 Réponse à une entrée de type rampe e(t) = a.t.u(t)

2

2 2 2

. 1( ) ( ) ( ) . .

.(1 . ) 1 .

a a KE p S p S p a K

p p p p p p

,

soit /( ) . . . . ( )ts t a K t e u t

Propriétés :


.lim ( ) lim . ( ) lim 0

(1 . )t p p

a Ks t p S p

p p

,

- la tangente à l’origine a pour pente 2

0

.lim '( ) lim . ( ) lim 0

1 .t p p

a Ks t p S p

p

, tangente horizontale,

- en t , l’asymptote est de pente .a K et a pour équation ( ) . ( )y t a K t , elle coupe l’axe des abscisses

en t = ,

- la réponse ne rejoint jamais la consigne d’entrée, pour K = 1, la réponse suit la consigne avec un retard, pour K ≠ 1, la réponse s’écarte indéfiniment de la consigne.

Remarque : si la réponse expérimentale d’un système soumis à une rampe correspond à celle des graphes précédents, son

comportement est modélisable par celui d’un 1er

ordre de gain K et de constante de temps obtenus par identification.

3 Influence de l’asservissement sur un 1er ordre

Soit un système du 1er

ordre ( )1 .

KH p

p

asservi avec un retour unitaire.

( ) ( ) 1( )( ) 1 ( )

1 .1

KS p H p KFTBF pE p H p

pK

en posant 1

BF

KK

K

et

1BF

K

( )

1 .

BF

BF

KFTBF p

p

Le système bouclé est donc lui aussi un système du 1er

ordre de gain KBF et de constante de temps τBF . Important : le système bouclé est plus rapide que le système non bouclé, car τBF < τ, plus le gain K est grand, plus le temps de réponse est faible et plus le système est précis.

= 1

t

e(t)

K=1

t

e(t)

K>1

t

e(t)

K<1


3. APPLICATION AUX SYSTEMES DU 2eme ORDRE

1 Définition d’un système du 2ème ordre

Le comportement d’un système du deuxième ordre est caractérisé par une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants qui peut se mettre sous la forme :

)(..1

.2

)(2

2

2teK

dt

sd

dt

dszts

oo

La fonction de transfert d’un système du deuxième ordre a la forme canonique suivante :

2

2

0 0

( )2. 1

1 . .

KH p

zp p

avec :

K = gain statique du système (unité : dépendante du système étudié),

0 = pulsation propre non amortie du système (unité : pulsation en rad/s),

z = coefficient d'amortissement du système (sans unité). Exemple : circuit RLC, amortisseur, moteur avec inductance non négligée...

2 Réponse indicielle (entrée de type échelon Ec )

2

0

2 22

0 02

0 0

. .( ) . ( ) ( ) ( ) .

2. 1 . 2. . .1 . .

c c cc

E E K EKe t E u t E p S p

mp p p p m pp p

L

Propriétés :


lim ( ) lim . ( ) 0t p

s t p S p

,

- la tangente à l’origine a pour pente 2

0lim '( ) lim . ( ) 0t p

s t p S p

asymptote horizontale en t = 0,

- application du théorème de la valeur finale : 0

lim ( ) lim . ( )t p

s t p S p K

Ec asymptote de valeur K Ec.

Afin de déterminer la réponse temporelle, il est nécessaire de décomposer S(p) en éléments simples.

Sa décomposition en éléments simples nécessite la recherche des racines de la fonction .

Le discriminant de cette fonction est 2 2

04. .( 1)z . Les racines r1 et r2 dépendent donc du facteur

d’amortissement z. On distingue 3 cas :

0

ou 1z (amortissement élevé)

0

ou 1z

0

ou 1z (amortissement faible)

2 racines réelles < 0

2

1 0 0. . 1r z z

2

2 0 0. . 1r z z

1 racine double < 0

0r

2 racines complexes conjuguées

2

2 0 0. . 1r z j z

2

1 0 0. . 1r z j z

Remarque : dans les trois cas, les parties réelles des pôles sont toutes négatives, ce qui assure la stabilité de la réponse et l’application du théorème de la valeur finale.

Forme canonique

z z


1er cas : 1z (système amorti)

220

0

1 2 1 2

.( ) . . .

.( ).( )

cc

K E A B CS p K E

p p r p r p p r p r

, après calcul, il vient

2 1. .

0

22 1

( ) . 1 . . ( )2. 1

r t r te e

s t K u tr rz

réponse amortie (régime apériodique)

Remarque : Le comportement du système du 2

ème ordre est dans ce cas comparable au comportement d’un système

du 1er

ordre. Le 1er

ordre réagit plus vite (pente à l'origine non nulle).

2ème cas : 1z (système critique)

2

2002 2

. .( ) . . .

.( ) ( )

cc

K E A B CS p K E

p p r p p r p r

, après calcul, il vient

0

0( ) . 1 (1 ). . ( )t

cs t K E t e u t

Remarque :

Ce cas 1z est peu probable, la valeur réelle de z n’étant jamais exactement égale à 1 (fabrication et réglages insuffisamment précis).

t

z >1

t

t

z =1

On obtient la réponse la plus rapide sans dépassement de la valeur finale.

s(t)=K.Ec

s(t) s(t)

s(t)


3ème cas : 1z (système oscillant ou sous-amorti)

2 2

0 0 0

22 2 21 20 0

. . 11( ) ( ) . .

.( ).( ) 1 . 1

K K zS p S p

p p r p r p z p z z

, il vient

par application du théorème de la dérivée : 0 200

2

.( ). .sin 1 . . ( )

1

z tKds te z t u t

dt z

.

Le calcul de s(t) se poursuit en réalisant deux intégrations par parties successives, on obtient : en posant 21

tanz

z

0 2

02

1( ) . 1 . .sin 1 . . ( )

1

z ts t K e z t u t

z

réponse oscillatoire sous-amortie

La réponse présente la forme d’une sinusoïde amortie pseudo périodique : - de période : 2

0

2 2

. 1 P

Tz

- de pulsation propre

La valeur du premier dépassement (très importante dans les applications) ne dépend que du coefficient d'amortissement. On la donne souvent en pourcentage de la valeur finale :

Remarque : dans le cas où z = 0 (pas d’amortissement), la réponse est sinusoïdale de pulsation 0 , ce qui justifie le nom

de pulsation propre non-amortie donné à 0 .

La valeur en régime permanent est égale à K.Ec

Le dépassement D1 est obtenu au temps t1 qui correspond à la ½ pseudo-période Tp.

Le dépassement Dk est obtenu au temps tk

2

0. 1k

kt

z

et vaut

s(t)=K.Ec

K.Ec K.Ec

K.Ec

t1

s(t)

t

Tp

D1

K.Ec

Tp/2

Dk


Temps de réponse : Pour déterminer le temps de réponse à 5% d’un système du 2

nd ordre il n’y a pas de formule.

Il peut se déterminer graphiquement sur la réponse A un échelon, ou à l’aide de l’abaque ci-contre.

Réponse à un échelon d’amplitude Ec d’un système du second ordre :

Pour z=1, on obtient la réponse la plus rapide SANS dépassement de la valeur finale.

Pour z≈0,7 , on obtient la réponse la plus rapide AVEC un dépassement D1 de 5%

3 Réponse à une impulsion de Dirac 2 2

0 0

2 22 0 0

2

0 0

. .( ) 1 ( )

2. 1 2. . . ( )1 . .

K KKE p S p

z z p p D pp p

avec D(p) de discriminant 2 2

04. .( 1)z .

Premier cas z >1 (système amorti)

2 20 0 01 10

2

.( ) . . . ( )

2. 1

z t z t z tKs t e e e u t

z

réponse amortie (régime apériodique)

K.Ec

ω0.T5% en fonction de z z

z

ω0.T5%

ω0.T5%


Deuxième cas z =1 (système critique)

L'allure de la réponse serait comparable à celle obtenue dans le cas précédent (régime apériodique). Troisième cas z <1 (système sous-amorti)

0 200

2

.( ) . sin 1 . ( )

1

z tKs t e z t u t

z

réponse oscillatoire sous-amortie

Le régime est pseudo périodique de pseudo-période 2

0

2

. 1T

z

4 Influence de l’asservissement sur un 2ème ordre

Dans le cas où le système du 2ème

ordre 2

2

0 0

( )2. 1

1 . .

KH p

zp p

est asservi avec un retour unitaire,

2

2

0 0

( ) ( ) 1( )2. 1( ) 1 ( )

1 . .(1 ). (1 ).

KS p H p KFTBF p

zE p H pp p

K K

,

en posant 1

BF

KK

K

, 0 1BF K et

1BF

zz

K

2

2

( )2. 1

1 . .

BF

BF

BF BF

KFTBF p

zp p

Le système bouclé est donc lui aussi un système du 2ème

ordre de gain KBF , de pulsation propre non amortie ωBF et de coefficient d’amortissement zBF .

Important :

- le système bouclé est moins amorti que le système non bouclé, car zBF < z, l’asservissement a tendance à produire des dépassements ou à augmenter leurs amplitudes si le système en boucle ouverte en présente déjà,

- plus le gain K est grand, plus le système est précis et rapide, ce qui semble conduire à rechercher un gain maximum par rapport aux 3 critères de performances retenus : précision, rapidité et stabilité. Cependant une valeur trop importante du gain entraîne des dépassements plus importants. La plupart du temps, un correcteur est ajouté dans la chaîne directe afin d’atteindre les performances souhaitées.

Différentes réponses, selon les valeurs de z, d’un système du 2

ème ordre à une entrée Dirac.


ANNEXE 1 : TRANSFORMEES DE LAPLACE

Soit f(t) une fonction de la variable réelle t, supposée nulle pour tout t<0 et définie sur [0,+ [. Si p est une variable complexe, et si l’intégrale

est définie sur un domaine de non vide et non réduit à un point, on dit que f(t) est transformable au sens de Laplace, et on écrit : F(p) est la transformée de Laplace de f(t) ; f(t) est l’originale de F(p).

Transformées usuelles

(t>0) F(p) (t>0) F(p)

( ) .u(t)

u(t)

.u(t)

a.u(t)

.u(t)

t.u(t)

.u(t)

.u(t)

.u(t)

.u(t)

.u(t)

Propriétés

(t>0) F(p) (t>0) F(p)

’

’’

théorème de la valeur initiale :

théorème de la valeur finale :


ANNEXE 2 : MANIPULATION DE SCHEMAS BLOCS Ces manipulations permettent de transformer tout système complexe en un système simple dont on peut

déterminer la fonction de transfert à partir d la fonction de transfert de chaque bloc Éléments en cascade Éléments en parallèle Mise en retour unitaire Élimination d’une boucle de retour Déplacement avant d’un point de sommation ou d’un comparateur Déplacement arrière d’un point de sommation ou d’un comparateur Déplacement avant d’un point de dérivation Déplacement arrière d’un point de dérivation

Documents

Ch.1 : Introduction aux systèmes asservis · Lycée Vauvenargues PTSI Automatique page 1 / 24 AUTOMATIQUE C’est l’art d’analyser, modéliser, commander les systèmes, de prendre