CH2_cap2 Hidrostatica[1]

Hidrosttica. Presso e empuxo

Elaborado pelo Prof. Paulo T. Nakayama para o curso de Eng. Civil da FESP

2-1

2 HIDROSTTICA. PRESSO E EMPUXO

O termo hidrosttica refere-se ao estudo de gua em repouso. Para a compreenso deste assunto, fundamental o conceito de presso resultante do peso da gua.

Desta forma, ser abordado inicialmente neste captulo o clculo da presso na gua para diferentes profundidades. Em seguida, ser apresentada a determinao da fora de presso exercida pela gua em um objeto submerso, dando origem ao conceito de empuxo.

2.1 Presso hidrosttica

A presso definida como fora exercida por um fluido divida por rea unitria. Matematicamente, tem-se:

AFp = (2.1)

onde: p presso; F fora exercida pelo fluido; A rea unitria.

Em qualquer superfcie submersa, h apenas fora (presso) normal, visto que as molculas de gua no resistem fora de cisalhamento.

Como conseqncia da ausncia da fora de cisalhamento na gua, a presso em qualquer ponto na gua em repouso igual em todas as direes (Lei de Pascal). A Figura 2.1 mostra elementos infinitesimais da gua em vrias formas. Nos trs casos, a presso que atua na superfcie dos elementos tem a mesma magnitude.

Figura 2.1 Presso da gua em repouso atuando em cada superfcie de elemento infinitesimal.

2.2 Lei de Stevin: Presso devida a uma coluna lquida

Imagina, no interior de um lquido em repouso, um prisma ideal (Figura 2.2).

O somatrio de todas as foras que atuam neste prisma segundo a vertical igual a zero, ou

0= yF (2.2)

Desenvolvendo a equao acima, tem-se:

0.... 21 =+ ApAhAp (2.3)



2-2

Cancelando o termo A da Equao 2.3, obtm-se:

hpp .12 = (2.4)

A Equao 2.4 conhecida como Lei de Stevin, que se enuncia: A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio igual diferena de profundidade multiplicada pelo peso especfico do lquido.

2.4 Influncia da presso atmosfrica

A presso na superfcie de um lquido exercida pelos gases que se encontram acima, geralmente presso atmosfrica.

Figura 2.3

Levando-se em conta a presso atmosfrica, tem-se:

p1 = pa + .h (2.5)

p2 = p1 + .h = pa + .(h + h) (2.6)

A presso atmosfrica varia com a altitude, correspondendo a 10,33 m de coluna dgua ao nvel do mar. No caso de mercrio, a altura da coluna 13,6 vezes menor, ou seja, 0,76 m. Em muitos problemas referentes s presses nos lquidos, interessa conhecer somente a diferena de presses. Neste caso, a presso atmosfrica pode ser considerada igual a zero.

2.5 Medidas de presso

O dispositivo mais simples para medidas de presso o tubo piezomtrico ou piezmetro, que consiste em inserir um tubo transparente na canalizao ou recipiente onde se quer medir a presso.

O lquido subir no tubo a uma altura h (Figura 2.4), correspondente presso interna. Outro dispositivo o tubo de U aplicado para medir presses muito pequenas ou demasiadamente grandes para os piezmetros.



2-3

Figura 2.4 Figura 2.5

No piezmetro da Figura 2.5, as presses absolutas seriam: em A, pa

em B, pa + .h em C, pa + .h

em D, pa + .h - .z

2.6 Unidades utilizadas para presso

A presso pode ser expressa em diferentes unidades. As mais utilizadas so: - Pascal (Pa = N/m2) no sistema SI; - kgf/m2 no sistema MKS*; kgf/cm2 , no sistema CGS; - mmHg; - metros de coluna dgua (m.c.a.); - atmosfera ou atmosfera tcnica; - bar.

Existem seguintes relaes entre as unidades: 760 mmHg = 10,33 m.c.a. = 1 atmosfera 1 atmosfera tcnica = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 = 9,81 x 104 Pa 1 bar = 105 Pa

2.7 Empuxo exercido por um lquido sobre uma superfcie plana imersa

Em Hidrosttica, o conceito de empuxo aplicado, principalmente, nos projetos de comportas, registros, barragens, tanques, canalizaes, etc.

Grandeza e direo do empuxo

A Figura 2.6 mostra uma rea de forma irregular, situada em um plano que forma um ngulo com a superfcie do lquido. Para determinar o empuxo que atua em um dos lados



2-4

desta figura, a rea total ser subdividida em elementos dA, localizada profundidade h e a uma distncia y da interseco O (medida na direo da superfcie AB).

Figura 2.6

A fora dF agindo em dA ser:

dAsenydAhdF == . (2.7)

O empuxo total (resultante) pode ser obtido fazendo a integral de dF em relao rea: dAhF

A= = dAsenyA . (2.8)

onde e so constantes. Portanto, pode-se escrever:

dAysenFA

= . (2.9)

Sabe-se que o centro de gravidade ( y ) pode ser calcula pela frmula AydAy

A= (2.10)

Substituindo a Equao 2.10 na 2.9, tem-se: senyAF .=

(2.11) E, finalmente, tem-se:

AhF = (2.12)

onde: - peso especfico do lquido; h - profundidade do C.G. da superfcie; A - rea da superfcie plana.

A equao acima indica que a fora total devida presso hidrosttica em qualquer superfcie plana submersa igual ao produto da rea da superfcie pela presso que atua no centro de gravidade da superfcie plana.

A resultante das presses no est aplicada no centro de gravidade da figura, porm um pouco abaixo, num ponto que se denomina centro de presso (CP), conforme mostra a Figura 2.7.



2-5

Figura 2.7

Determinao do centro de presso

A posio do centro de presso pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos, apresentada a seguir:

= AP dFyyF (2.13)

dAsenydF = . (2.14)

dAysendAysenyFA AP ==

22 (2.15)

yAI

yA

dAysenyA

dAyseny xAAP

=

=

=

22

.

(2.16)

Pelo teorema dos eixos paralelos, tem-se: 2

0 yAII x += (2.17) Substituindo Ix na Equao 2.16:

yyA

IyA

yAIyA

IyA

yAIyA

Iy xP +

=

++

=

+=

=0

200

20

(2.18)

Rearranjando os termos, tem-se, finalmente:

yAI

yyP

+= 0 (2.19)

onde: yp - distncia entre a superfcie livre do lquido e o centro de presso da rea, na direo da placa AB;

Io - momento de inrcia em relao ao eixo-interseco; y - distncia entre a superfcie livre do lquido e o CG da

rea, na direo da rea AB.

Quando a superfcie plana cruza a superfcie livre do fluido (Figura 2.8), o valor de yP pode obtido da seguinte forma:

yy p 32

= (2.20)



2-6

2.7 Empuxo exercido por um lquido sobre superfcies curvas

Para determinar o empuxo exercido sobre superfcies curvas, mais conveniente, quase sempre, separar a fora resultante em componentes horizontal e vertical.

Considerando a barragem com paramento curvo, esquematizada nas figuras 2.9 e 2.10.

Figura 2.9

Figura 2.10

A fora horizontal pode ser calculada aplicando na superfcie plana ab, a Equao 2.12, j introduzida no item 2.7:

AhFH ..= (2.21) onde: A - rea do plano que passa pelos pontos ab (normal folha).

A fora vertical pode ser obtida calculando o peso do lquido no volume abc:

FV = W = .Vabc (2.22) Determina-se a resultante R pela equao:

22 WFR += (2.23)

Momento de inrcia (I0) Apresenta-se a seguir o momento de inrcia de retngulo e crculo que so as sees mais frequentes nas obras de Engenharia Hidrulica.



2-7

EXERCCIOS-EXEMPLOS 2.1 Conhecida a presso absoluta de 5.430 kgf/m2, entrada de uma bomba centrfuga,

pede-se a presso efetiva em kgf/cm2, em atmosfricas tcnicas e em metros de coluna dgua, sabendo-se que a presso atmosfrica local vale 720 mmHg.

Soluo: pe = pabs - patm

1 atm. tc. = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 pabs = 5.430 kgf/m2 patm = 720 mmHg

a) 760 mmHg - 10,33 m.c.a. 720 - x x = 9,786 m.c.a.

10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. y - 9,786 y = 9.786 kgf/m2

pe = 5.430 9.786 pe = - 4.356 kgf/m2

b) 1 kgf/cm2 - 10.000 kgf/m2 x - 5.430 kgf/m2 x = 0,543 pabs = 0,543 kgf/cm2

760 mmHg - 10,33 m.c.a. 720 - y y = 9,786 m.c.a.

1 kgf/cm2 - 10 m.c.a. z - 9,786 z = 0,9786 kgf/cm2

pe = 0,543 0,9786 = -0,436 pe = - 0,436 kgf/cm2

c) 10.000 kgf/m2 - 1 atm. tec. 5.430 - a a = 0,543 pabs = 0,543 atm. tec.

10.000 kgf/m2 - 1 atm. tec. 9.786 - b b = 0,9786 atm. tec.

pe = 0,543 0,9786 = -0,436 pe = - 0,436 atm. tec.

d) 10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. 5.430 - c c = 5,43 pabs = 5,43 m.c.a.



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10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. 9.786 - d d = 9,786 m.c.a.

pe = 5,43 9,786 = -4,36 pe = - 4,36 m.c.a.

2.2 Uma caixa dgua de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x 0,80 m. Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu ponto de aplicao (utilizar sistema MKS*). Soluo: F = . h .A = 1.000 kgf/m3 h = 0,40 m A = 0,80 x 1,00 = 0,80 m2 F = 1.000 x 0,40 x 0,80 = 320 kgf Centro de presso:

yAI

yyP

+= 0

433

0 m 043,012)8,0(00,1

12=

=

=

dbI

=

+=

4,08,0043,04,0Py 0,534 m

2.3 Calcular os mdulos e as linhas de ao das componentes do empuxo que age sobre a comporta cilndrica da figura, de 3,28 m de comprimento (utilizar sistema MKS*). Soluo: FH = . h .A = 1.000 kgf/m3

m 98,0296,1

==h

A = 1,96 x 3,28 = 6,43 m2 FH = 1.000 x 0,98 x 6,43 = 6.300 kgf EV = .V

( ) ( ) 322 m 896,928,396,141

41

=== pipi LRV

EV = 1.000 x 9,896 = 9.896 kgf Clculo das linhas de ao:



2-9

96,132

32

== Ry = 1,31 m

00 =M

6.300 x 1,31 = 9.896 . x x = 0,83 m

2.4 A superfcie mostrada, com dobradia ao longo de A, tem 5 m de largura (b = 5 m). Determinar a fora resultante F da gua sobre a superfcie inclinada, o ponto de sua aplicao e o esforo na dobradia (utilizar SI). Soluo:

F = . h .A = 9.810 N/m3

m 0,35,00,4210,2300,4

210,2 0 =+=+= senh

A = 4,0 x 5,0 = 20,0 m2 F = 9.810 x 3,0 x 20,0 = 588.600 N ou 588,6 kN

Clculo do ponto de presso:

yAI

yyP

+= 0

m 00,450,00,2

300,2

==

=

senx

y = 4,0 + 2,0 = 6,0 m

433

0 m 7,26120,40,5

12=

=

=

dbI

m 22,60,60,20

7,260,6 =

+=Py , ou seja, o centro de presso est a 2,22 m da dobradia, no ponto A.

Clculo da fora no ponto A:

0= OM

F x 1,78 = FA x 4,0

588 x 1,78 = FA x 4,00 FA = 262 kN



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EXERCCIOS PROPOSTOS

I. Aplicao da Lei de Stevin

E2.1 Submerso em um lago, um mergulhador constata que a presso absoluta no medidor que se encontra no seu pulso corresponde a 1,6 x 105 N/m2. Um barmetro indica ser a presso atmosfrica local 1 x 105 N/m2. Considere a massa especfica da gua sendo 103 kg/m3 e a acelerao da gravidade, 10 m/s2. Determine a que profundidade, em relao superfcie, o mergulhador se encontra. Resp.: 6,0 m

E2.2 As paredes externas de um submarino podem suportar uma diferena de presso mxima de 10 atm. Considerando que uma atm equivale a 105 N/m2, que a massa especfica da gua do mar 103 kg/m3 e que o interior do submarino mantm presso de uma atm, qual a profundidade mxima que pode ser alcanada por esse submarino ? Resp.: 100 m

E2.3 Um recipiente cilndrico contm 3 lquidos imiscveis de peso especfico d, 2d e 3d, respectivamente, como mostra a figura ao lado. A presso no ponto A indicado na figura vale 1,1.p0, onde p0 a presso atmosfrica no local. Determine a presso no ponto B, em funo de p0. Resp.: pB = 2,4. p0

E2.4 A figura representa um tubo em U contendo gua, aberto em uma das extremidades e, na outra, ligado a um recipiente que contm um determinado gs. Sabendo que patm = 105 N/m2, g = 10 m/s2, gua = 103 kg/m3 e a presso do gs 1% maior que a presso atmosfrica (patm), determine o valor do desnvel h em metros. Resp.: 0,10 m

E2.5 O organismo humano pode ser submetido, sem conseqncias danosas, a uma presso de no mximo 4 x 105 N/m2 e a uma taxa de variao de presso de no mximo 104 N/m2 por segundo. Nessas condies: a) qual a mxima profundidade recomendada a um mergulhador ? adote presso

atmosfrica igual a 105 N/m2. b) Qual a mxima velocidade de movimentao na vertical recomendada para um

mergulhador ?

Dados: = 103 kg/m3, g = 10 m/s2. Resp.: a) 30m; b) 1 m/s.



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E2.6 Dado o manmetro de tubo mltiplo conforme mostrado na figura, determine a diferena de presso pA pB (utilizar sistema MKS*). A densidade relativa () do leo 0,8 e a do mercrio 13,6.

E2.7 O manmetro metlico da figura assinala uma presso de -508 mmHg. Sabendo-se que as superfcies dgua, nos dois reservatrios, encontram-se mesma cota, calcular o desnvel que apresenta o mercrio no manmetro diferencial. Resp.: h = 0,548 m

II. Hidrosttica superfcie plana

E2.8 Calcular o empuxo e a posio do centro de presso de uma comporta vertical, circular, com um metro de raio, cujo centro acha-se a 2,5 metros da superfcie da gua.

Resp.: F = 7.854 kgf; yp = 2,6 m

E2.9 A figura mostra uma comporta em forma de diedro retangular, articulada no eixo que passa por B. Dependendo da cota H do nvel dgua, a comporta abre-se automaticamente, girando no sentido horrio. Determinar o valor de H, para o qual a comporta se abre, e a distribuio de presso em AB e em BC. Resp.: a) H > 1,73 m b) Distrib. triangular em AB ( de 0 a 1730 kgf/m2); c) Distr. uniforme em BC ( 1730 kgf/m2).

E2.10 A vlvula borboleta mostrada na figura consta de uma placa plana circular articulada em torno do eixo horizontal que passa por B. Conhecidas as cotas da figura, determinar a fora F aplicada na haste de acionamento capaz de manter fechada a vlvula. Considerar ausncia de atritos e desprezar o peso prprio da haste AB.



2-12

Resp.: F = 6.627 kgf

E2.11 O porto retangular AB da figura ao lado tem 1,5 m de largura (b) e 3,0 m de comprimento (L) e possui dobradias ao longo de B. Desprezando o peso do porto, calcular a fora por unidade de largura exercida contra o batente ao longo de A.

Resp.: F = 10.125 kgf; yp = 4,67 m ou 1,67 m do ponto A; FA = 4.489 kgf

E2.12 O porto mostrado na figura possui dobradias em H e tem 2 m de largura normal ao plano do digrama. calcular a fora requerida em A para manter o porto fechado.

Resp.: F = 6.000 kgf; yp = 3,11 m; FA = 3.330 kgf

E2.13 O porto retangular AB mostrado na figura possui 2 m de largura. Calcular a fora por unidade de largura exercida contra o batente A. Supor desprezvel a massa do porto.

II. Hidrosttica superfcie curva

E2.14 Uma calota hemisfrica cobre um tanque como mostra a figura. Enche-se com gasolina ( = 720 kgf/m3) a calota e o tanque, at que o manmetro metlico assinale uma presso de 0,56 kgf/cm2. Calcular a fora que atuar no conjunto de parafusos que prende a calota ao tanque. Desprezar o peso da calota.

Resp.: Esforo total nos parafusos = 17.849 kgf



2-13

E2.15 A figura da direita mostra a seo transversal de um dique de concreto. Determine a resultante das foras de presso exercidas pela gua sobre a face BC do dique, por unidade de comprimento. Dados: = 9,81 kN/m3 rea sob a parbola do tipo y = k.x2:

3abA =

E2.16 Uma comporta de vertedouro, com a forma de arco semicircular, tem b m de largura. Determine a magnitude dos esforos horizontal e vertical e a linha de ao do esforo resultante atuando sobre a comporta, para b = 3,0 m e R = 2,0 m. Dado: = 9,81 kN/m3.

E2.17 O tanque mostrado na figura est cheio de gua at uma profundidade de 3,05 m. Determinar as magnitudes e as linhas de atuao dos componentes vertical e horizontal da fora resultante da gua sobre a parte curva do fundo do tanque. Dado: = 9,81 kN/m3.

E2.18 O dique mostrado na figura construdo com concreto e utilizado para reter um brao de mar que apresenta profundidade igual a 7,2 m. Determine a fora resultante que a gua do mar exerce sobre a superfcie do dique por unidade de comprimento. Dado: da gua do mar = 1025 kg/m3; g = 9,81 m/s2.

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