1

本章介紹三種 Attribute control charts

1. Control chart for fraction nonconforming ： P chart

2. Control chart for nonconforming ： c chart

3. Control chart for nonconformities per unit ： u chart

Ch6 Control Charts for Attributes

2

Control chart for fraction nonconforming： P chart

基本假設：每一個成品的特性可視為一個隨機變數，且

服從 Bernoulli distribution ，而成品與成品之間的特性

為獨立的，即

故令

)ernoulli(pi.i.d. BXXX n are ,,, 21

nxppx

nxDP

pnBXD

xnx

n

i i

,...,1,0 ,)1()(

),(~1

Sample fraction nonconforming ：

其中 的分佈可由上述之二項分佈求得，

且

n

Dp ˆ

n

pppVarppE p

)1()ˆ( ,)ˆ( 2

ˆ

p̂

3

使用 3-sigma limit ：

n

ppp

pn

ppp

)1(3LCL

linecenter

)1(3CL U

當 process 的 fraction nonconforming p 為未知，可以下

法估計之：假設每次取 n 個樣本，共取 m 次，則

m

p

mn

Dp

min

Dp

m

i i

m

i i

ii

11ˆ

,,2,1 ,ˆ 以此 取代上述 p chart 中的 p 值，所得的 control chart 即稱為 trial control limits based on m initialsamples.

p̂

4

對此 trial control chart 必須加以測試：

(a)將該點除去，並重建且 recheck 。(b)保留該點，視之為由 chance 所造成，仍採用原來之

trial control limit 。一般若有多點落在 trial control limits 之外，較佳的處理方式是找出這些點的 patterns ，通常在此情況下， pattern 多會存在，即可較容易的找出其 assignable cause 。

1. 若所有用來建立此 trial control chart 的 均落在 control limit 之內，則表示用來建立此 chart 的 process 是 in control ， 故可用來作 control process 之用。

ip̂

2. 但若一點或數點 落在 trial control limit 之外，則必須加 以了解這些點是否是由 assignable cause 所造成，若是，則 可將這些點去除，並重建 control chart ，並 recheck 是否所 有 仍在 control limit 之內。若無法找出 assignable cause ， 則可採取兩種處理方式：

ip̂

ip̂

5

若 p 是已知或是給定，無需建立 trial control limits 。

通常 process 的 true p 值為未知，但工廠可能給定一個

standard 的 p 值，此時若有 out of control 的 signal 出現，

則需注意是否 process 是 out of control at the target p

but in control at some other value of p 。

6

Example 1

Cardboard cans for frozen orange juice concentrate.

Nonconforming 的原因： e.g. 從 side seam 或 bottom joint 漏出Sample ： n=50 cans ， m=30取樣時間為每天的三次交換班時間，歷時半小時，此時機器仍在運轉。

1. Data 見附表。2. Trial control chart 如附圖。3. Sample 15 及 23 outside control limits.4. 調查發現，於 sample 15 時，正好一批新的 cardboar

d 在此交換班的半小時中，加入生產過程，而造成此不規則的情況；而 sample 23 則由於臨時指定一位相當沒經驗的 operator 來操作此架機器。 故可將 sample 15 及 23 消去，重建 control chart 。

7

5. 重建之 control chart limits 與 control chart 如附圖。6. Sample 21 exceed 新的 control limit ，然而我們對該

點無法找出任何的 assignable causes ，故決定仍保留該點，並將此新的 control chart 用來作做 future samples 的控制，（我們並已檢定該 control chart 的 maximum run=5 ，且無任何 nonrandom 的 pattern ），故目前之結論為：該 process 是 in control at the level p=0.2150 ，且該 control chart 可用來 monitor current procedure 。

7. 雖然此 process 目前是 in control ，但其 p=0.2150 則是偏高，但此已無法從 workforce 的層次來改進，而必須由 management 的階層來 improve!

8. Management 指示 engineering staff 進行分析該過程，由分析結果決定對機器進行數方面的調整。

8

9. 調整後，仍如先前取樣法， n=50 ，再取 24 次。 Data 見附表， Control chart 見附圖。 此 process 已在一個新的 level 上運作，點 41 below control limit 且找不出 assignable cause 。

10.我們可進行下列的假設檢定：

211

210

:

:

ppH

ppH

其中 = preliminary data 的不良率

= 目前新 data 的不良率1p

2p

分析結果如附錄： 0reject H

11. 故利用新的 data 重建 C.C. ，見附圖。 （當 LCL<0 時，我們取 LCL=0 ） The process is in control at this new level.

9

12. 再持續取樣（如附表），其 C.C. （如附圖） Process is in control.

然而 仍偏高，可利用 statistically designed experiments 來決定如何調整機器，及其調整量，以期達到 defect-free 的 manufacturing 。

1108.0p

10

Fraction nonconforming control chart 的設計

三個主要參數： 1. Sample size （ n ）

2. Frequency of sampling

3. Width of the control limits （ k ）

（亦可加入 economic的考量）

11

Sampling frequency ：通常建立不良率的 control chart是

採取 100% inspection of all process output over some

convenient period of time 。在此情況下， sample size（ n ）

也會被同時決定，以下為兩個考量 sampling frequency

的因素。1. Production rate2. Rational subgroup

e.g. 若一日有三班，若我們懷疑此三班已有 shift 發生， 則我們會取一個 shift 的 output 為 subgroup ，而不是以 整日的 output 為 subgroup 。

12

Sample size ：若 p 很小時，我們應該選 n 夠大，使得在

樣本中至少找到一個不良品的機率要夠高，否則將造成

所建的 C.C. 只要 sample 中有一個不良品即 reject 的不合理

現象。e.g. 若 p=0.01 ， n=8 ，則 則若 ， 有一個不良品即 indicate out of control !!

1155.0)1(

3UCL

n

ppp

UCL125.08/1ˆ p

13

rpppn

DPDP nn

)1(1)1(

01)0(1)1( 0

建議 I ：若令 D= 不良品的個數，則可要求

e.g. 可取 r=0.95 ，則當 p=0.01 時，

或可用 Poisson 對 Binomial 的逼近，查 Poisson 的表。 （但此時必須要求 ， 故當 p=0.01 時， n 300≧ ）

29899.0ln

05.0ln95.0)01.01(1 nn

00.3np

14

建議 II ： Duncan （ 1974 ） n 要取得夠大，當 process shift 為某一特定量時，我們能 detect 此 shift 的機率大約 50% 。

e.g. p=0.01 shift 到 p=0.05 ，檢測此 shift 的機率≧ 0.5 ， 即要求

可利用 Normal Approximation to Binomial 分佈

5.0))1(

|ˆ(| 000

n

ppkppP

aH

nppkpp

npp

nppkpp

npp

pp

npp

nppkppP

aH

/)1(

5.0

)/)1(

/)1(

/)1(

ˆ

/)1(

/)1((

1101

11

0010

11

1

11

0010

即選擇 n 使其 upper control limit 等於 out of control 時的不良率。

15

若令

)1( )1(

2

00

01

ppk

nn

ppk

pp

Continue 上例， ，

取 k=3 ，則

04.001.005.0,01.0 p

56)99.0)(01.0(04.0

3

2

n

16

若在 in-control 時的 p 很小，亦可選 n ，使得 C.C.

的下界大於 0 ，此有助於檢定一些不尋常偏低的

不良率（此現象通常是由 inspection error 所造

成，“ e.g. 無經驗的 inspector ” ，而非代表品質

的改進）。即 171 ,3 ,05.0 e.g.

)1

( 0)1(

LCL 2

nkp

kp

pn

n

ppkp

17

在 P chart 中最常使用的是 3-sigma limit 。

注意： fraction nonconforming control chart 僅適用於符合二項分佈假設的 fraction nonconforming data 。

i.e. 1. P(nonconforming unit)=constant 2. Successive units of production are independent.

當 nonconforming units 是 cluster 在一起（即存在 correlation ）或是彼此間是相關的，上述之 P chart 則不再適用。

18

亦可對不良品的個數建立 np control chart.

在實用上，一些未經過統計訓練的人員，認為 np chart 比 p chart 更易解釋。

)1(3 UCL

LineCenter

)1(3 UCL

pnpnp

np

pnpnp

e.g. Fraction nonconforming orange juice concentration cans. 由於不良品的個數為整數，故取 UCL=21 ， LCL=2 ， 故當樣本中的 np 值落在 UCL 及 LCL 的線上時，亦應視 為 out of control 。

19

當 sample size 不是固定的時候：

由於在製造 fraction nonconforming 的 C.C. 時，其取樣

的方法通常是在一固定時段中檢測 100% 的 process

output ，故由於每段時間中生產的總數未必都相同，

所以必須考慮 variable sample size 的問題。 e.g. 如附表的 data ，先求得

096.025

1

25

1

i i

i i

n

Dp

方法一：採用 為其 control limits 。inppp /)1(3

C.C. 如附圖。

20

方法二：採用 Average sample size （此方法較適用於未來的 sample size 不會與目前 sample size 有太大差異時。）注意一：若當 sample size 有大改變或有點十分靠近 control limit 時，則應以 exact 的 control limits 來檢測該點 是否 out of control 。

e.g. 如附圖。n

ppp

n

ppp

nn i i

)1(3LCL ,

)1(3UCL

,25

size sample Average

25

1

（在上例中）

21

注意二：在 variable sample size 的 C.C. 上， runs 或其他的 nonrandom patterns 並無太大的意義。

e.g. 假設 p=0.2

雖然 ，但 250 ,24.0ˆ

50size sample ,28.0ˆ

11

ii

i

np

p

1ˆˆ ii pp

1

1

)1(

ˆ

)1(

ˆ

i

i

i

i

npp

pp

npp

pp

22

方法三：採用“ standardized” C.C. 。 將每個觀測點轉換成 standard deviation 的單位。

3LCL , 3 UCL, 0LineCenter

,)1(

ˆ

i

ii

npp

ppZ （若 p 未知，則以 代之）p

上例（ continue ）， data 如附表， C.C. 如附圖。當 observation 轉換成相同的單位來計算時，Tests for runs 及 pattern recognition 的方法才有意義。

23

但由於一般操作員較不易了解 standardize control

chart 的意義，故可採用 variable control limits（如

方法一）給操作員使用，而同時提供 standardize

C.C. 給 quality engineer’s use 。 當 length of the production run 很短時，亦建議

採

用 standardize control chart 。 Fraction nonconforming 的 C.C. 在非製造業有廣泛

的應用。

e.g. 1. 計算一個 pay period 中錯誤或遲到的員工薪

水袋總數。

2. 貨商沒有準時交貨的次數。

24

通常在非製造業 fraction nonconforming C.C. 常必

須面臨 variable sample size 的問題。e.g. 在一個會計年度中的 check requests 的總數不是 一個常數，其中

period theduring checks of # total

checks late allˆ p

e.g. 在上例中，資料來自於一個大的 aerospace company 的採購部門（每星期負責向公司的 原料廠商 issues purchase order ），其造成 purchase order 錯誤的原因有多種， 如： incorrect part numbers, incorrect delivery dates, incorrect prices or terms, wrong supplier numbers 。

25

O.C. curve 及 ARL ：

O.C. curve 即計算 prob. of Type II error （當 為真，接受 的機率）。

aH

0H

)|LCL()|UCL(

)|LCLˆ()|UCLˆ(

pnDPpnDP

ppPppP

（如附表及附圖）

1. 可由 Binomial dist. 的 c.d.f. 計算。2. 當 p 小時（ e.g. p<0.1 ）， n 大，可用 Poi

sson approximation 。3. 當 p 大時， n 大，可用 normal approximati

on 。

26

ARL =P( 點落於上下界之外 )

1

1. 若 process in control ： ARL =

2. 若 process out of control ： ARL =

1

1

1

在上例中，當 process 是 in control 時，即

由表得知

若 process shift out of control to p=0.3

2.0pp

3709973.01

11

ARL

78594.01

1

ARL

若 7 太大可以 1. 增加 n （可減少 及 ARL ）。 2. 採用較頻繁的抽樣法，即減短抽 樣之間隔時間。

27

Nonconformities （ Defects ）的 C.C. ：a. 一個 nonconforming item 可能擁有數

個 nonconformities （ defects ）。b. 具有數個 nonconformities 的 item卻

未必 被視為 nonconforming item （必須視其

defect 的嚴重情形， e.g. PC 的外殼刮傷

部分）。

1. c chart ： total number of nonconformities in a unit.

2. u chart ： average number of nonconformities per unit.

在下列例子中， c or u chart均較 p chart 更實際。

e.g. 1. 在 100公尺的油管中，焊接不好的總數。

2. 在機翼上卯釘斷掉的個數。

28

c chart （ control chart for nonconformities ）

基本假設：在一個 constant size 的 sample 中的 nonconformities 的個數為一個 Poisson 分佈。

,...2,1,0 ,!

)(

xx

cexp

xc

1. The number of opportunities or potential location for nonconformities are infinite large.

2. The probability of occurrence of a nonconformities at any location be small and constant. （見 Poisson Postulates）

3. 對每一個 sample 皆有相同的 inspection unit.

※ nonconformities 可以是不同 type ，只要每一個 class 的nonconformities 是滿足上述的條件。 （ Rmk ：∵ independent 的 Poisson ，其和亦為Poisson 。）

29

Inspection unit 的定義取決於記錄或檢查時的方便性。

e.g. single unit of product、 5 units （ or 10 units ） of product. 令 x=nonconformities 的個數 ~Poisson ( c )

cc-

c

cc

3LCL

lineCenter

3CL U

（若 LCL<0 ，則取 LCL=0 ）

若 c 未知，則以 = observed average # of nonconformities in估計之。 a preliminary sample of inspection units.

c

c-c

c

cc

3LCL

lineCenter

3CL U

Trial control limits

30

Example 2

Inspection unit ： 100 printed circuit boards.

其取 26 successive samples of 100 printed circuit boards.（ data 見附表）。

22.333 UCL,48.63LCL ,85.1926

516 ccccc

（如附圖）

31

1. Sample 6 及 20 在 limits 之外， Sample 6 new inspector examined the board ，不清楚可 能在 board 中有數種不同的 nonconformities 。 Sample 20 在焊接機器上，溫度控制的問題。

2. 故將此兩點除外，再造 C.C. revised ，並加入新的 sample 20 筆（如附圖）。雖然 process 是 in control ，但每片 board 的 nonconformities 的個數仍偏高。 必須採取 management action才能 improve 此生產過程。

32

一般而言， c chart 較 p chart 更具資訊（因為通常

nonconformities 有數種型態）。 e.g. 上例中， for defect data 500 boards 的 data 以 Pareto chart 分析之，見附圖，可發現超過 60

% 的 defect 數目與焊接不完全及 solder cold joints 相關，由此可見，若能 isolate 及 eliminate wave soldering process 的問題，則對 process yield必 有很大的改進。

33

1. 在此大部分的 defects attributable to a few （在此為two ） defect types ，此現象我們稱該 nonconformities follow a Pareto distribution 。

2. 見附表，對 printed circuit board 的不同 type

nonconformities 的分析。 全部 40 個焊接不完全及 20 個 solder cold joints均發生在 part 0001285號上。

此種 board 在焊接上常會出狀況。3. 以 cause effect diagram 分析：如附圖，在上述分

析知主要問題來自 solder process ，可由此來協助選取 designed experiment 的 variables 以 optimize wave soldering 的過程。

34

Sample size ： n inspection units （ e.g. n=2.5 ）

1. Revised chart

cn-cn

cn

cncn

3LCL

lineCenter

3CL U

is the observed mean number of nonconformities in the original inspection unit.c

35

2. 用 u chart

n

uu

un

uu

3LCL

lineCenter

3CL U

represents the observed average number of nonconformities per unit in a preliminary set of data.

u

If we find c total nonconformities in a sample of n inspection units, then the average number of nonconformities per inspection unit is

n

cu 每次抽樣中， inspection unit 的個數。

Note that c is a Poisson random variable.

36

Example 3

PC 製造商 1 個 PC = 1 個 inspection unit

Sample size = 5 個 inspection units

共有 20 個 samples （如附表）。 雖無 lack of statistical control ，但 u太過大（如

附圖）。 結論： Management must take action to improve the

process.

37

Alternative Probability Models for Count Data

（可用來描述 Count data 的其他機率模型）E.g. nonconformities 是以 cluster 出現

Poisson Compound

Poisson, .11

N(t)~p.d.f. if i.i.d. XX i

N(t)

i i

A Type sNeymen'

Poisson ,Poisson .2 i

~XN(t)~

Binomial Negative

Poisson , Gamma .3 i

~XN(t)~

參考文獻： Jackson （ 1972 ） , Leavenworth （ 1976 ） , Gardiner （ 1987 ）。

38

100% 檢驗（ e.g. 布疋、紙捲）。

c chart 的中央線及 C.L.均會改變， u chart 只有 C.L.

隨 n 改變。 當樣本數是個變數 僅可用 u chart ，不可用 c chart 。

另兩種可行之 control chart ：1. Average sample size ：

m

i i mnn1

/

2. Standardized （ runs and pattern-recognition ）：

zero.at linecenter theand 3 UCL-3,LCL

,/

i

ii

nu

uuZ

39

Example 4

紡織公司 檢驗染布 inspection unit = 每 50平方公尺 Data 如下表， control chart 如附圖。

= 500/50= 400/50

40

不同型式的 defects 。 將 defects依其 severity 分類並給予 weights 。 Demerit scheme

基本假設： Poisson indep. ,,, DCBA cccc

Class A Defects—Very Serious1. Completely unfit for service2. Cannot be easily corrected in the field3. Cause personal injury or property damage

Class B Defects—Serious1. Suffer a Class A operating failure2. Will certainly have reduced life or increase

maintenance cost

41

Class C Defects—Moderately Serious1. Fail in service2. Possibly have reduced life or increased

maintenance costs3. A major defect in finish appearance, or

quality of work

Class D Defects—Minor Minor defects in finish, appearance, or

quality of work

42

定義 number of demerits in the inspection unit ：

DCBA ccccD 10 50 100

weight

The demerit weights of Class A-100, Class B-50, Class C-10, and Class D-1 are used fairly widely in practice.

43

A sample of n inspection units is used. Then the number of demerits per unit is

n

Du （獨立 Poisson r.v.’s 的線性組合）

D is the total number of demerits in all n inspection units.

u

u

u

u

u

ˆ3LCL

lineCenter

ˆ3CL U

Control chart

unit.per defects D Class and C, Class B, Class

A, Class ofnumber average therepresent and ,,,

)10()50()100(ˆ and

1050100 where2/1222

DCBA

DCBAu

DCBA

uuuu

n

uuuu

uuuuu

44

其他可行的方法：

1. Two-class系統

2. 對每一種 defect class 採用各自的 C.C.

For the c chart, the OC curve plots the probability

of type II error against the true mean number of

defects c. The expression for is

where x is a Poisson random variable with

parameter c.

}|{}|{ cLCLxPcUCLxP

45

We will generate the O.C. curve for the c chart in Example 2

Inspection unit ： 100 printed circuit boards.共取 26 successive samples of 100 printed circuit boards.

22.333 UCL,48.63LCL ,85.1926

516 ccccc

OC curve

46

For the u chart, we may generate the OC curve from

[nUCL]

nLCLc

c-nu

c!

(nu)e

unUCLcnLCLP

unLCLcPunUCLcP

uLCLxPuUCLxP

}|{

}|{}|{

}|{}|{

≦nUCL 的最大整數 ≧nlCL 的最小整數

如附圖。

47

Dealing With Low-Defect levels （ PPM range 1000≦ ）

此時， u 及 c chart均 ineffective !

修正法：建立另一種 C.C.

— the time between successive occurrences of defects

c、 u chart 在非製造業亦被廣泛的應用。

48

Choice Between Attributes and Variables Control Charts

Variable C.C. ：

charts and charts, and SXRX

Attribute C.C. ：

charts and , ucP

當 quality characteristic 是無法測量時（如： color

of the item ），則採用 attribute C.C. 。

49

Variable C.C. 則提供比 Attribute C.C. 更有用的訊息，較

易找出造成 out of control 的原因。

就 process-capability 分析而言，亦較傾向於採用 variable

C.C. 。

Attribute C.C. 的優點為，可將數個 quality characteristic

同時考慮為 nonconforming 的標準，較 variable C.C. 考慮

multivariate C.C.簡單、經濟、省時。

50

如下圖，當 process mean 是 時，很少的不良品會被製

造出，若 process mean開始向上 shift ，則在其未到達

前， chart 會出現 strong nonrandom pattern ，或數

個 out of control 的點，然而 p chart 則會等到 mean已完全

shift 到 時，才會反應出來。

chart 較 p chart 更 powerful！

1

2

3

RX ,

RX ,

51

若以每個 unit 為檢測的基準， 雖然 variable type 的檢測

較貴且費時，然而相對而言其須要檢測的 units 數則較

少，此對於 destructive 的檢測是一個重要的考量。

對一個特定的 process shift level ，通常 Variable C.C.所需

的 sample size 較 Attribute C.C. 少。

52

Example 5

某一 quality characteristic 的標準值為 50 ，LSP=44 ， USP=56 （ 3-sigma specification limit ），即 ，當 時，希望 2 52 5.01

5223

50

n

n=9

USL Shift 後的值

Sample size on the chartX

53

)1(

)1()1(

2

11

ppk

n

n

ppkpp

n

ppkpp

Sample size on the P chart

∵ Specification limit is 3-sigma. ∴ p=0.0027

0202.0

)52|22

524(1)52|5644(11

xPxPp

n=79.13（≒ 80）

結論： chart is less expensive to operate.X

54

Guidelines for Implementing Control Charts

Remember, control charts are not just for process

surveillance; they should be used as an active, on-

line method for reduction of process variability.

1. Choosing the proper type of control charts.

2. Determining which process characteristics to control.

3. Determining where the charts should be implemented in the process.

4. Taking actions to improve processes as the result of SPC/control chart analysis.

5. Selecting data-collection systems and computer software.

55

Choosing the Proper Type of Control Chart

A. and R（ or and S） chartsX X

A new process is coming on stream, or a new product is

being manufactured by an existing process.

The process has being in operation for some time, but it

is chronically in trouble or unable to hold the specified

tolerances.

The process is in trouble, and the control charts can be

useful or diagnostic purposes （ troubleshooting ） .

Destructive testing （ or other expensive testing procedures ）

is required.

56

C. Control Charts for Individuals

B. Attributes Charts（ p charts, c charts, and u charts）

inconvenient or impossible to obtain more than one

measurement per sample, or repeat measurements

automated testing and inspection

available very slowly

57

Determining Which Characteristics to Control and Where to Put the Control Charts

At the beginning of a control charts program, control

charts should be applied to any product characteristics

or manufacturing operations believed to be important.

Action Taken to Improve Process

Process improvement is the primary objective of

statistical process control.

1. Statistical control

2. Capability

（如附圖）

58

Selection of Data-Collection Systems and Computer Software

There are several sources of free software. In addition to

the packages available on various personal computer

bulletin boards, the Journal of Quality Technology has

published computer programs in either BASIC or

FORTRAN since 1969.

（如附表）

59

Example 6

在電子工廠的實例，將 fraction nonconforming的 C.C.

轉換成 chart 及 R chart 並不能得到任何新的資訊，其中

X

iP̂

}ˆmin{- }ˆmax{ , ˆ5

1 5

1 iii i PPRPX

原因：若 inspection process 確定是來自 Binomial 分佈，則

即為 P 的 minimal sufficient statistics ，任何經由 所造

出的函數，並不能再提供任何額外的 information！

XX

如附圖。

分析結果（ Example 1 ）

1669.0ˆˆ

ˆ where

645.1Z 7.10

)11

)(ˆ1(ˆ

ˆˆ

1108.02450

ˆ

2150.0ˆ

21

2211

0.05

2`

210

54

312

1

nn

pnpnp

nnpp

ppZ

Dp

pp

i i

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The Poisson postulates

The Poisson distribution can be derived from a set of basic assumptions, sometimes called the Poisson postulates. These assumptions relate to the physical properties of the process under consideration. While, generally speaking, the assumptions are not very easy to verify, they do provide an experimenter with a set of guidelines for considering whether the Poisson will provide a reasonable model. For a more complete treatment of the Poisson postulates, see the classic text by Feller（ 1968） or Barr and Zehna（ 1983） .

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Theorem： For each t 0, let be an integer-valued random ≧variable with the following properties. （ Think of as denoting the number of arrivals in the time period from time 0 to time t.）

tN

tN

arrivals) ussimultaneo (no 01

lim .5

small) islength if length, period toalproprotiony probabilit (arrival

1lim 4.

length) periodon only depends arrivals of(number

d.distributey identicall are and 3.

t)independen are periods imedisjoint tin (arrivals

t.independen are and 2

arrivals) noh (start wit 01

0

0

0

t

)P(N

λt

)P(N

NNN

NN Nt . s

. N

tt

tt

tsts

sts

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).(~ is,that

,!

)(

integer any for then hold, 5-1 If

tPoissonNn

ten)P(N

n

t

nt

t

The postulates may also be interpreted as describing theBehavior of objects spatially（ for example, movement of insects） , giving the Poisson application in spatialDistributions.

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