1

1

2

3

فهرست مطالبمقدمه •:روشهاي پارامتري تخمين طيف••AR, MA, ARMA

:تخمين طيف مستقيم روشهاي•پريودوگرام •پريودوگرام واريانسو متوسط •)پريودوگرام متوسط گيري شده(روش بارتلت •

بارتلت واريانس تخمينو متوسط •)متوسط گيري اصالح شدة پريودوگرام(روش وِلش •

واريانس تخمين ولشمتوسط و •)هموارسازي پريودوگرام(توكي –روش بلكمن •

توكي-بلكمنتخمين و واريانس متوسط•مشخصه هاي عملكردي تخمين طيف به روش غير پارامتري•

4

چراحوزه فركانس ؟فركانس تجزيه وتحليل بسياري از سيگنالهاي حياتي در حوزه

يژگي موثر وراحتتر است و بمنظور بازنمايي و استحراج وبحث با در طبقه بندي كاربرد فراواني دارد كه در پايان اين م

.آن بيشتر آشنا خواهيد شد

وزه محاسبه سريع كانولوشن درح(الگوريتم هاي كاراوجود)فركانس

زيع درسيستمهاي فيزيولوژيكي ،اطالعات اغلب داراي تو.خاصي در حوزه فركانس است

در اغلب اطالعات ونويز در حوزه فركانس جدايي پذيرند؛.حاليكه در حوزه زمان اينگونه نمي باشد

5

6Some examples of EEG waves.

7

8

Spectral features - PSD Example: PSDs for resting and maths activities Can you see that there is more spectral power in the lower frequency

during maths activity as compared to resting?

Resting EEG Maths EEG

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15

20

25

30

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

9

طيف توانارهاي طيف توان وجود يا نبود الگوهاي تكرار شونده وساخت•

.دهمبسته رادر سيگنال حاصل ازيك فرايند نشان مي ده:راين الگوهاي ساختاري درحوزه وسيعي از كاربردها نظي•

پيش بيني داده ها،رمزنگاري سيگنال،آشكارسازي سيگنال ،گو طراحي فيلترهاي بهينه ،رديابي ،جهت يابي ، بازشناسي ال

وسيستم هاي تصميم گيري.مهم مي باشند

طيف توان ، توزيع توان سيگنال رادربين فركانس هاي •.مختلف بيان ميكند

10

رژي طيف چگالي توان براي سيگنالهاي ايستاكه داراي ان•ار محدود نبوده و داراي توان متوسط محدودي هستند بك

.مي رود طيف توان مطابق رابطه زير از روي اميد رياضي اندازه•

:تبديل فوريه سيگنال محاسبه مي شود

تخمين طيف توان چرا؟ به دو علت تخمين طيف:گنال يي سيايستاعدم (سيگنال دسترسي به طول ونمونه هاي محدود از )الف

)در بازه هاي زماني گسترده نويزي بودن داده ها)ب

2

0

)(1

)( lim0

fXET

f TT

xx

dexfX fjT

2)()(

11

12

Spectrum Estimation

Nonparametricmethods

Parametric methods

Max. entropyMethod

AR SpectrumestimationModified

periodogram

Periodogram

ARMA Spectrumestimation

MA Spectrumestimating

Bartlett’sMethod

Minimum VarianceMethod

Blackman-Tukey’sMethod

Welch’sMethod

Periodogramsmoothing

Averagingmodified

periodograms

13

:به روش پارامتري ) (PSDتخمين طيف توان

14

) : MEMروش ماكزيمم آنتروپي ( ARروش -1را يك s(w)اگر ورودي يك فيلتر باتابع تبديل . پيشنهاد شد Burgاين روش اولين بار توسط

:ت سيگنال سفيد در نظر بگيريم در اين صورت اختالف آنتروپي ورودي و خروجي به فرم زير اس

هاي ماكزيمم كردن آنتروپي بدليل نا محدود بودن تعداد سيگنال(با اعمال يك محدوديت :داريم ,و حل آن با روش ال گرانژ ) با طيف سفيد

15

: MAروش -2

PSD كه با ,يك فرايندMA مدل شده است بصورت زير تخمين زده مي شود:

bi ضرايبMA

16

: ARMAروش -3بنابراين مدلهاي .طيف توان تخمين زده شده شامل پيك و دره مي باشد ,در اكثر كاربردها ARMA(p,q) كاربردي تر ازAR(p)وMA(q) مي باشند.

:روشهاي گوناگوني وجود دارد

17

: Cadzowروش -1

17

11

1

( )( )

( )

B zH z

A z

18

: (PHD)روش – 2

...تنفسي و ,روده اي –سيگنالهاي معده اي , EEGدر بسياري از كاربردها مانند انواع خاصي از .سيگنال را بصورت چندين سينوسي بعالوه نويز در نظر مي گيرند

Pisarenko يك تخمين زننده براي تابعPSD يك سيگنال حاويP/2 سينوسي بعالوه نويز.پيشنهاد نموده است

از مزاياي آن مي توان به رزولوشن باال هنگاميكه. دراين روش به حل مقادير ويژه نياز دارد . اشاره نمود ,سينوسي ها مشخص باشند

.ولي نسبت به نويز حساس مي با شد و از لحاظ محاسباتي نا مناسب مي باشد

19

: Pronyروش -3

سينوسي مختلط Pدر اين روش نيز سيگنال را بصورت رشته اي از نمونه هاي .خاص در نظر مي گيرند فاز و دامنهميرا شده با فركانس و

و بايستي درجه مدل مي باشند) qو p(داراي درجه مساوي ARMAمدل (p) و ضرايب مدلAR ا تخمين زده شوند و نياز به ريشه يابي چند جمله ايه

.مي باشد

20

:تخمين طيف در مدل هاي پارامتري در مقابل غير پارامتري

.حتي بر روي قطعات كوچك ,سازگاري آماري بيشتر * . .تفسير و بررسي ساده تر طيف * . .پارامتر هاي طيف ) از لحاظ تفسير فيزيولوژيكي(محاسبه قابل اعتماد * . .عدم نياز به پنجره گذاري * . . رزولوشن فركانسي مستقل از تعداد داده * .

.پيچيده تر بودن روش و محاسبات * . . نياز به يك تعريف اوليه از مدل و درجه آن * .

But AR method is more sensitive to noise, so use periodogram

if there is a lot of noise in the signal

21

MEDf

MEANfcf

با HRتخمين طيفبررسي ARتغييردرجه مدل

)300طول داده ( در پانل سمت چپ ، خطوط

نشاندهنده باند عموديطيف.ميباشد

راست ، خطوط در پانل سمت )هخط تير( نشاندهندهعموديو )قطه چينن(

.ميباشد )نقطه ـخط(

7برابر dو aدرجه مدل در و AICمطابق با معيار

، 30برابر bو eدر .ميباشد 50برابر fوcودر

P=7 P=7

P=30 P=30

P=50 P=50

PSDبر ARبررسي اثر درجه مدل

Hz15.004.0

22

Illustration of line splitting caused by overestimating model order: actual PSD of second-order signal (solid);

PSD estimates using second (dot-dash) and eleventh (dash-dash) models

Parametric and non-parametric spectrum estimate of speech signal

0 20 40 60 80 100 120 140 160-1

-0.5

0

0.5

1Speech signal

n - >

Am

plitu

de -

>

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

- >

/ - >

Non-parametric spectrum estimateParameteric spectrum estimate - AR(10)

24

:تخمين طيف مستقيم روشهاي

خود تابع, يك فرآيند تصادفي استيشنري باشد اگر •:همبستگي آن برابر است با

• • - wienerطبق قضيه • khintchine وانطيف ت چگالي

:واهد بودخ تبديل فورية تابع خود همبستگي آن, سيگنال

][ txtxExx

def fjxxxx

2

2

0

)(1

)( lim0

fXET

f TT

xx

25

ي نم ؛چون اغلب به يك تابع نمونه دسترسي داريم•.را بدست آوريم توانيم

سترسي د خودهمبستگي ما فقط به متوسط زماني تابع •:داريم

, اشدب ارگاديكدفي در ممان اول و دوم ااگر فرآيند تص•:پس

0

002

1 T

Txx dttxtxT

R

xx

0

000 02

1limlim

T

TT

xxT

xx dttxtxT

R

26

0

000

0

0

0

0

0

0

0

0

])(2

1[lim))(()(

2

1

2

1

22

0

22

0

2

0

2

limT

T

f

Txx

Txx

T

T

ftj

fjT

T

T

T

T

T

fjxxxx

detxT

EfPEf

dtetxT

dedttxtxT

deRfP

27

The concentration/spread of power in frequency indicates the correlated or random character of a signal: (a) a predictable signal, (b) a random signal.

28

پريودگرامدر عمل با نمونه هاي يك سيگنال آنالوگ سروكار داريم كه با •

ه برداري نمون) بزرگتر از دو برابر پهناي باندسيگنال( فركانس :است شده

:برابر است با ) متوسط زماني(دنبالة خود همبستگي •

:تخمين طيف محاسبه مي گردد ،با گرفتن تبديل فوريه•

sF

)(nx 10 Nn

1

0

1 mN

nxx mnxnx

mNmr 1,,1,0 Nm

1

1

2N

Nm

fmjxxxx emrfP

29

بخاطر آن است كه فاكتور نرماليزاسيون •:يعني, تخمين بدون باياس باشد

: باشد داريم در صورتيكه•

پس تخمين سازگار است•

mN 1

nxx n

2

0lim

mrVar xxN

mmnxnxEmN

mrE xx

mN

nxx

1

0

1

n

xxxxxxxx mnmnnmN

NmrVar 2

2

30

,ارد واريانس زيادي د تخمين , براي مقادير بزرگ پارامترمي و اين بخاطرآن است كه تعداد نقاط ك صوصاً آنكهخ

زير براي بهبود اين امر از تخمين .براي تخمين بكار خواهد رفت:استفاده مي كنيم

س واريان، ولي اين تخمين . مي باشد كه داراي باياس • .كمتري دارد

m mrxxmN

1

0

1 mN

nxx mnxnx

Nmr

mmrE xxxxN

lim

mN

mmrE xxxx

1

mN

mxx

31

2221

0

2

1

1

2

1

0

))((1

)(11

1

nxFFTN

fXN

enxN

fP

emrfP

mnxnxN

mr

N

n

fnjxx

N

Nm

fmjxxxx

mN

nxx

2))((

1nxFFT

NfPxx

nxx n

2

.است مجانبي بدون باياسبه صورت • ).باشددر صورتيكه (مي كندواريانس آن نيز به صفر ميل•

تفاده اس است و از آن براي تخمين طيف قدرت تخمين سازگارپس اين :منيكمي

.كه اين معادله پريودوگرام ناميده مي شود•

32

Periodogram of a White Noise of unite variance and N=32

Sample realization

Estimated autocorrelationsequence

Periodogram

34

35

پريودوگرام واريانسو متوسط

مبستگي برابر تبديل فورية تابع خود ه زده شده متوسط طيف تخمين•.مي باشد) (Bartlettپنجره تابع مثلثي اين ، پنجره شده است

قدرت متوسط طيف تخميني برابر است با كانولوشن طيف چگالي•. ديل فورية پنجرة بارتلت ببا ت اصلي

طيف تخميني بصورت مجانبي بدون باياس است•

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1N N N

j fm j fm j fmxx xx xx xx

m N m N m N

mE P f E r m e E r m e m e

N

1

2 21

2

j fmxx xx xx B

m

E P f m e W f d

fememrE xxm

fmjxx

N

Nm

fmjxx

N

21

1

2lim

36

.ندبه سمت صفر ميل نمي ك به هر حال واريانس تخمين •:دنمثالً اگر داده ها داراي توزيع گوسي باش•

باشد نميلذا پريودوگرام تخميني سازگار از طيف چگالي قدرت

fPxx

ffPVar

fN

fNffPVar

xxxxN

xxxx

2

2

2

lim

2sin

2sin1

37

(a) Periodogram of White Noise (b) Periodogram of Colored Noise

38

ل چنانچه مشاهده شده تخمين طيف توان به روش پريودگرام حاص ف اصلي طيكانولوشن پنجره با طيف اصلي است و مانند اينست كه . ور مي نمايداز كانالي با پاسخ فركانسي معادل تبديل فوريه پنجره عب

اهش ك, بسته به نوع پنجره اي كه بر روي طيف توان اثر مي گذارد .رزولوشن و صحت تخمين متفاوتي را باعث مي شود

له كمترازدراثرپهناي غيرصفرلب اصلي،دو مولفه نزديك به هم با فاص•).smoothing smearing( درهم ادغام شده وقله پهنتري رابوجود مي آورند

به لبهاي غيرصفركناري باعث گسترش قدرت در حوزه فركانس•ر نقاط كناري كه سيگنال درآنها تواني ندارد، مي شود و به آن اث

).leakage(نشتي مي گويند اده اي كه در شكل بعدتاثير كانوالو سه نوع پنچره بر روي سيگنال س

طيلي ، براي پنجره مست. شامل دومولفه فركانسي است ديده مي شود تقريباً با عكس متناسب) 3dBپهناي لُب اصلي در (رزولوشن

. است

:تاثير پنجره گذاري:تاثير پنجره گذاري

TN

)/1( TNf

39

40

41

42

43

44

و ,پس طيف تخميني وضعيت هموار شده اي از طيف اصلی است •كم كردن واريانس به هموار شدن طيف و در ازاي آن از دست

ل رفتن رزولوشن فركانسي و مسئله نشت طيفی ناشی از طو. محدود داده مي انجامد

همين مطلب نيز در مورد افزايش تعداد نمونه با افزودن تعدادي•می گويند صادق zero paddingصفر كه اصطال حا به آن

. است

در اين روش .طيف توان هموارتر می شود zero paddingبا •بهام رزولوشن افزايش نمی يابد،ولي در تعيين پيک طيف توان ا

ود بنابر اين اگرتعداد نمونه های سيگنال محد. کمتري وجود دارد برای اينکه طيف قدرت را با دقت خوبی بدست آوريم ،, باشد

. روشی مناسب استنقطه داريم که از 50گرفتن FFTنقطه از يک سيگنال با 100بعنوان مثال با داشتن •

ا طيف به سيگنال يکسری صفر اضافه مي شود ت. نقطه طيف مناسب بدست نمي آيد 50اين.حاصل پيوسته تر باشد

45

0 50 100 150 2000

0.5

1 Signal in Frequency Domain

Frequency

Am

plitu

de

100 150 200 250 300

-2

0

2

Signal in Time Domain one periode

Time in msec

Am

plitu

de

0 50 100 150 200

-40

-20

0PSD Estimation via Periodogram with 3T width- window

Frequency

Pow

er/f

requ

ency

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

1Window in Time Domain

Time in msec

Am

plitu

de

0 50 100 150 200

-40

-20

0PSD Estimation via Periodogram with T width- window

Frequency

Pow

er/f

requ

ency

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

1Window in Time Domain

Time in msec

Am

plitu

de

0 50 100 150 200-100

-50

0PSD Estimation via Periodogram with Hann-Window

Frequency

Pow

er/f

requ

ency

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

1Hann-Window in Time Domain

Time in msec A

mpl

itude

تاثير پنجرهدر

تخمينطيف

46

)هپريودوگرام متوسط گيري شد( روش بارتلتر رزولوشن فركانسي د،چون تخمين ها براساس طول محدودي از داده ها است•

است كه در Nبهترين حالت مساوي با پهناي باند پنجرة مستطيلي بطول رزولوشناين روش ها درتمامي.است تقريباً برابر 3dBفركانس هاي

.ديابكا هش مي , واريانس براي كاهش دادن فركانسي :به روش زير عمل نمود بارتلت براي كاهش واريانس •

خش بخش بدون همپوشاني تقسيم مي شوند كه هر ب kبه Nداده هاي به طول 1.داده است Mداراي

:براي هر بخش پريودوگرام محاسبه مي شود2.

بخش متوسط گيري مي شود تا تخمين طيف به روش kپريودوگرام براي 3.: بارتلت محاسبه شود

21

0

21

M

n

fnji

ixx enx

MfP

11,0 kiiMnxnxi

1

0

1 k

i

ixx

Bxx fP

kfP

tN1

47

بارتلت واريانسو متوسط

مشخصة فرکانسی پنجرة بارتلت•

2

sin

sin1

f

fm

MfW B

others

MmM

mmWB

0

1

2

1

2

1

21

1

2

sin

sin11

d

f

Mf

Mem

M

mfPE xx

M

Mm

fmjxx

ixx

fPEfPEk

fPE ixx

k

i

ixx

Bxx

1

0

1

48

طيف واقعي بااز رابطه فوق مشاهده مي شود كه•در به Nكاهش طول داده از اثر. شده است كانوالو

و رزولوشن است kپنجرة افزايش پهناي آن با فاكتور .كاهش مي يابدفركانسي با اين فاكتور

k تور واريانس تخمين طيف قدرت به روش بارتلت با فاك• . نسبت عكس دارد

fWB

k

NM

2

2

1

02

2sin

2sin1

1

11

fM

fMf

k

fPVark

fPVark

fPVar

xx

ixx

k

i

ixx

Bxx

: بارتلتبه روش EEGيك سيگنال تخمين

سيگنال ورودي PSD :باال امين سگمنت11مربوط به PSD: وسط . سگمنت از سيگنالk=11ميانگين گيري شده با استفاده از PSD: پائين

هاي سيگنال ورودي تعداد نمونه. در تمامي موارد از پنجره مستطيلي استفاده شده استN=750 . تعداد نمونه ها در هر سگمنتM=64 .تمامي آرايه هايFFT با نمونه

.هرتز مي باشد 100فركانس نمونه برداري . محاسبه شده است L=1024هاي .هرتز مربوط به ريتم آلفاي مغز مي باشد 10پيك در فركانس

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0

2 0

4 0

6 0

P S D E s t i m a t i o n o f E E G C h a n n e l O 1 v i a P e r i o d o g r a m

Po

wer

/fre

qu

ency

(dB

/Hz)

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5

02 04 06 0

P S D E s t i m a t i o n o f E E G C h a n n e l O 1 v i a P e r i o d o g r a m o n e S e g m e n t

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5

4 0

6 0

P S D E s t i m a t i o n o f E E G C h a n n e l O 1 v i a B a r t l e t t

F r e q u e n c y ( H z )

50

51

.رهاي سيستولي استورموهرتز ناشي از م 250-120توان بيشتر در فركانس

:از باال به پائين سالم يك فرد PCGسيگنال از يك سيكل قلبي سيستولي روموربا م بيمار فرد PCGسيگنال از يك سيكل قلبي

پريودوگرام بخش سيستوليك سيگنال)ب سيكل قلبي 16ك سيستولي پريودوگرام ميانگين گيري شده از قسمتهاي) ج سيكنال پريودوگرام بخش دياستوليك ) د . سيكل قلبي 16دياستوليك شده از بخشهاي پريودوگرام ميانگين گيري) ه

0 100 200 300 400 500 600 700-5

0

5One Periode of PCG Signal

Time in msec

Am

plit

ud

e

50 100 150 200 250

-40

-20

PSD Estimation of PCG in Systol via Periodogram

Frequency(Hz) Po

wer

/fre

qu

ency

50 100 150 200 250-60

-40

-20

PSD Estimation of PCG in Dystol via Periodogram

Frequency Po

wer

/fre

qu

ency

50 100 150 200 250

-40-30-20

Mean of PSD Estimation of PCG in systol via Periodogram

Frequency Po

wer

/fre

qu

ency

50 100 150 200

-40

-30

-20

Mean of PSD Estimation of PCG in Dystol via Periodogram

Frequency

Po

wer

/fre

qu

ency

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-2-101

One Periode of PCG Signal

Time in msec

Am

pli

tud

e

50 100 150 200 250

-60

-40

-20PSD Estimation of PCG in Systol via Periodogram

Frequency(Hz) Po

wer

/fre

qu

ency

50 100 150 200 250

-60-40

-20PSD Estimation of PCG in Dystol via Periodogram

Frequency Pow

er/f

requ

ency

50 100 150 200 250-60

-40

Mean of PSD Estimation of PCG in systol via Periodogram

Frequency Pow

er/f

requ

ency

50 100 150 200 250-60

-40

Mean of PSD Estimation of PCG in Dystol via Periodogram

Frequency

Pow

er/f

requ

ency

52

Top to bottom:A sample PCG signal over one cardiac cycle of a normal subject (male, 23 years);periodogram of the systolic portion of the signal (approximately 0 − 0.4 s);averaged periodogram of the systolic parts of 16 cardiac cycles segmented;periodogram of the diastolic portion of the signal shown in the first plot(approximately 0.4 − 1.2 s);averaged periodogram of the diastolic parts of 16 cardiac cycles. The periodograms are on a

log scale (dB).

53

Top to bottom:A sample PCG signal over one cardiac cycle of a patient with systolic murmur, split S2, and opening snap of the mitral valve (female, 14 months;);periodogram of the systolic portion of the signal (approximately 0−0.28 s);

averaged periodogram of the systolic parts of 26 cardiac cycles segmented;periodogram of the diastolic portion of the signal shown in the first plot

(approximately 0.28 − 0.62 s);averaged periodogram of the diastolic parts of 26 cardiac cycles.

The periodograms are on a log scale (dB).

54

) همتوسط گيري پريودوگرام اصالح شد(روش وِلش :وِلش دو اصالح در روش بارتلت ايجاد كرد•

:لذا, او اجازه داده كه قطعات همپوشاني داشته باشند 1.

, باشد D=M اگر . ام است نقطة شروع براي دنبالة •% 50همپوشاني , باشد همپوشاني وجود ندارد و اگر

.داريمتيجة داده را از يك پنجره عبور داد و ن, قبل از محاسبه طيف 2.

:آن پريودوگرام اصالح شده استفاكتور نرماليزاسيون

iDnxnxi 1,,1,0

1,,1,0

Li

Mn

1

0

21 M

n

nwM

U

i iD

2

MD

21

0

21~

M

n

fnji

ixx enwnx

MUfP

55

:تخمين طيف قدرت در روش ولش متوسط پريودوگرام هاي فوق است

:برابر است با متوسط تخمين ولشمقدار •

: خواهيم داشت با تعريف •

1

0

1 L

i

ixx

wxx fP

LfP

1

0

~~1 L

i

ixx

ixx

wxx fPEfPE

LfPE

1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

1

1~

M

n

M

m

mnfjxx

M

n

M

m

mnfjii

ixx

emnmwnwMU

emxnxEmwnwMU

fPE

2

1

2

12 den nj

xxxx

2

1

2

1

1

0

1

0

21~ demwnwMU

fPEM

n

M

m

fmnjxx

ixx

21

0

21

M

n

fnjenwMU

fw

2

1

2

1 dfwfPE xxwxx

واريانس تخمين ولش

:ولش نشان داد كه , وجود ندارد در حاليكه همپوشاني•

ر واريانس تخمين ولش با پنجرة مثلثي براب, همپوشاني % 50در حالت •

:است با

fL

fPVar xxwxx

2

8

9

fL

fPVarL

fPVar xxixx

wxx

21~1

21

0

1

02

~~1fPEfPfPE

LfPVar w

xx

L

i

L

j

ixx

ixx

wxx

kL

kL 2

56

57

5 10 15 20 25 30 35 40 45

20

40

60

PSD Estimation of EEG Channel O1 via Periodogram

5 10 15 20 25 30 35 40 45

20

40

60

PSD Estimation of EEG Channel O1 via Periodogram one Segment

5 10 15 20 25 30 35 40 45

20

40

60

PSD Estimation of EEG Channel O1 via Welch

Frequency(Hz)

Po

wer

/fre

qu

ency

(d

B/H

z)

. EEGولش از سيگنال PSDتخمين

.مربوط به سيگنال ورودي PSD: از باال امين 11مربوط به PSD: در وسط

. سگمنت

ا ري شده بن گيميانگي PSD: در پائينسگمنت از k=11از استفاده. سيگنالته در تمامي موارد بكار رف پنجره هنينگ

. است

يز تعداد نمونه هاي سيگنال ورودي و ساپنجره هنينگ بكار رفته در محاسبه

PSD سيگنال وروديN=750.و سايز تعداد نمونه ها در هر سگمنت

هنينگ بكار رفته در پنجرهرين گيميانگي پريودوگرام

. M=64 شده

.هرتزمي باشد 100فركانس نمونه برداري .محاسبه شده استL=1024هاينمونه با FFTتمامي آرايه هاي) هموار سازي افزايش( پهن بودن لب اصلي پنجرة هنينگ نسبت به مستطيلي باعث كاهش بيشتر رزولوشن

. شده استك اصلي در مقابل پي، نشت فركانسي كمتري ايجاد كرده است , كوچك بودن لب هاي كناري در پنجرة هنينگ

.پهن تر شده است

58

59

Commonly used window functions: rectangular, Bartlett, Hamming, and Hanning windows with N = 256 (Hanning1), and Hanning window with N = 128 samples (Hanning2). All windows are centered at the 128th sample.

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

Bartlett PSD estimate of the o2 channel of the EEG signal.Top trace: PSD of the entire signal. Middle trace: PSD of the 11th segment. Bottom trace: Averaged

PSD using K = 11 segments of the signal. The rectangular window was (implicitly) used in all cases. Number of samples in the entire signal:N = 750. Number of samples in each segment: M = 64. All FFTarrays were computed with L = 1024 samples. Sampling frequency fs = 100 Hz.

71

Welch PSD estimate of the o2 channel of the EEG signal.Top trace: PSD of the entire signal. Middle trace: PSD of the 11th segment. Bottom trace: Averaged

PSD using K = 11 segments of the signal. The Hanning window was used in all cases. Number of samples in the entire signal and the size of the Hanning window used in computing the PSD of the entire signal: N = 750. Number of samples in each segment and the size of the Hanning window used in the averaged periodogram method: M = 64. All FFT arrays were computed with L = 1, 024 samples. Sampling frequency fs = 100 Hz.

72

Correlogram) هموارسازي پريودوگرام( توكي –روش بلكمن

mrxx mN

mw12 MMm

.

1

1

2M

Mn

fmjxx

BTxx emwmrfP

2

1

2

1 dfWPfP xxBTxx

پس در اين روش دنبالة خود همبستگي نمونه ها ابتدا از پنجره مي گذرند و س•.تبديل فورية آنها محاسبه مي شود

تخمين قابل ،هاي بزرگ mاين است كه براي دليل پنجره كردن• mوقتي . داده در تخمين بكار مي روند چون تعداد كمي ؛اعتماد نبوده

ستي با واريانس تخمين بسيار بزرگ است و اين تخمين باي, ميل مي كند N به: لذا. وزن كمتري در تخمين طيف بكار رود

با اين . صفر است بوده و براي داراي طول كه پنجرة •:در حوزة فركانس . تغيير داد تعريف مي توان حدود جمع را از

اثر پنجره كردن با هموارسازي پريودوگرام ظاهر مي شود و لذا واريانس آن•.)رزولوشن نيز كاهش مي يابد ( كاهش مي يابد

73

.تا تخمين واقعي شود) زوج در حول( بايستي متقارن باشد ••w(0)=1 وW(m) باافزايشm كاهش مي يابد:, بهتر است كه طيف پنجره غير منفي باشد •

. يك خاصيت مطلوب براي تخمين طيف است كه ط پنجره هاي هنينگ و همينگ علي رغم سطوح لب فرعي كم، شراي

.فوق الذكر باال را ندارند:توكي-بلكمنمتوسط تخمين •

تبديل فورية پنجرة بارتلت مي باشد در رابطه فوق •

mw0m

2

10 fforfPBTxx

2

1

2

1 dfWPEfPE xxBTxx

2

1

2

1 dWPE Bxxxx

2

1

2

12

1

2

1 ddfWWfPE BxxBTxx

fwB

74

:توكي در حوزه زمان-بلكمنمتوسط تخمين •

رض ع يعني, طوري انتخاب شود كه بايستي طول پنجرة •اشد تا هموارسازي اضافي پريودوگرام ب خيلي باريكتر از پنجره

:در اين شرايط. صورت پذيرد

1

1

21

1

2M

Mm

fmjBxx

M

Mm

fmjxx

BTxx emwmwmemwmrEfPE

others

NmN

mmwB

0

1

mwNM mwB

2

1

2

1 dfWfPE xxBTxx

fWdfWWdfWW BB

2

1

2

12

1

2

1

mw

75

توكي –واريانس تخمين به روش بلكمن

ز باريكتر ا و تابع,باشد در حالتيكه •:بنابراين, خواهد بود در همسايگي •

22 BTxx

BTxx

BTxx PEfPEfPVar

2

1

2

12

1

2

1

2 ddfWfWPPEfPE xxxx

BTxx

22

sin

sin

sin

sin1

N

N

N

NPPE xxxxxxxx

2

1

2

12

1

2

1

222

2

1

2

1

2

sin

sin

sin

sin

ddN

N

N

NfWfWdfWfPE xxxxxx

BTxx

MN

sin

sin

N

N

sin

sin

N

N fW

,

N

fWfWd

N

N

N

NfW xxxx

xx

2

1

2

1

22

sin

sin

sin

sin

76

:با, برابر خواهد بود با اين تقريب واريانس •

اريك با در نظر گرفتن تقريب زير به دليل بدر مرحله آخر•:فرض كرديم كه بودن

ريب باريك است تق در مقايسه با طيف قدرت واقعي هنگاميكه•:بهتر به صورت زير است

02

1

2

1 dfWfWxxxx

fW fxx

2

1

2

122

2

1

2

1

1

1

dfWN

dfWfWfWN

fPVar

xx

xxxxxxBTxx

1

1

222

1

2

122 11 M

Mmxxxx

BTxx mw

NfdW

NffPVar

fPBTxx

w0)( fW

77

:مشخصه هاي عملكردي تخمين طيف به روش غير پارامتري

ع بعنوان معياري براي ارزيابي روش هاي ارائه شده از نسبت مرب•سبت عكس اين ن. ميانگين به واريانس تخمين استفاده مي كنيم

خوانده مي شود (variability)تغييرپذيري

fPVar

fPEQ

Axx

Axx

A

2

78

روش پريودوگرام

:هاي بزرگ داريمN حال براي •

.ي باشدنم سازگارامّا ،است پريودوگرام بصورت مجانبي بدون باياسيعني •

2

1

2

1 dfWfPE Bxxxx

2

sin

sin1

fN

fN

NfW B

2

2

2sin

2sin1

fN

fNffPVar xxxx

2

1

2

1 0 ffWdWffPE xxxxBBxxxx

1

2

2

f

fQ

xx

xxP

ثابت است و به بستگي ندارد .و اين مسئله ضعف روش پريودوگرام مي باشد

ثابت است و به بستگي ندارد .و اين مسئله ضعف روش پريودوگرام مي باشد

PQN

79

روش بارتلت

:شدبا ثابت كه مقدار با • تخمين بارتلت بصورت مجانبي بدون باياس است•

تخمين سازگار است, افزايش يابد با افزايش اگر •

2

1

2

1 dfWfPE BxxBxx

2

2

2sin

2sin1

1

fM

fMf

kfPVar xx

Bxx

2

sin

sin1

fN

fN

MfWB

NM ,M

Nk

2

1

2

1 fdffWffPE xxBxxBxx

fk

fPVar xxBxx

21

kN

80

جرة مستطيلي لب اصلي پن رزولوشن فركانسي تخمين بارتلت با پهناي باند •:اندازه گيري مي شود

:تعداد محاسبات• 2با مبناي FFTاگر از . است و رزولوشن محاسبات براساس طول•

:با درنظر گرفتن تعداد ضربهاي مختلط, استفاده شود

طول :تعداد

تعداد محاسبات

M

NkQB

dB3

fN

f

NQ

fM

Mf B

1.19.0

9.09.0

Nf

fM

9.0fN

M

Nk 11.1

)9.0

(22

loglog22 f

NM

M

N M

FFT FFT

81

روش ولش

در حالت بدون همپوشاني

همپوشاني و پنجرة مثلثي% 50ا ب

است بصورت مجابني بدون باياستخمين ولش

.است تخمين سازگارپس تخمين ولش يك , واريانس آن به صفر ميل مي كند

21

0

21

M

n

fnjenwMU

fW 2

1

2

1 dfWfPE xxwxx

fL

fPVar xxwxx

21

fL

fPVar xxwxx

2

8

9

ffPE xxwxx

0fPVar wxx

NM ,

82

پهناي طيفي پنجرة مثلثي برابر است با

در حالت بدون همپوشاني همپوشاني% 50در حالت :تعداد محاسبات•

تعداد طول

تعداد محاسبات

ر براي پنجرة كردن ه, ضربهاي ديگري نيز نياز است عمل عالوه بر •:پس, بود نيازضرب ركورد داده

تعداد محاسبات نهايي

Mf

28.1

M

NLQW 9

16

9

8 fNQW 78.0

M

NLQW fNQW 39.1

fM

28.1FFTfNM

N 56.1

2FFT

)28.1

()(2

2 loglog22 f

NMM

M

N

M

N2FFT

M)

12.5()

28.1(2 loglog

22 fN

fNN

83

توكي –روش بلكمن

.است مين خود همبستگيخدنبالة پنجرة هموارسازي ت که

راي پنجرة مستطيلي ب

براي پنجرة مثلثي

.ت اس متوسط تخمين بصورت مجانبي بدون باياسواضح است كه جره براي پن پس رزولوشن فركانسي , است چون طول پنجره

:برابر است مثلثي

mw

fdfWfPE xxxxBTxx 2

1

2

1

1

1

22 1 M

Mmxx

BTxx mw

NffPVar

1

1

2

3

21 M

Mn N

Mnw

N

1

1

2 21 M

Mn N

Mnw

N

M

NQ BT 5.1

12 MdB3

fNfNQMM

f BT 34.264.0

5.164.0

2

28.1

84

ري توكي عملكرد بهت –ديده مي شود كه روش هاي ولش و بلكمن •. نسبت به بارتلت دارند

. افزايش مي يابد N با Q در هر سه روش• ،براي سطح مطلوبي از كيفيت N با افزايش

.يابدمي افزايشنيز رزولوشن فركانسي

تخمين روشكيفيت ضريببارتلت

%50 نيولش با همپوشا

توكي -بلكمن

fN11.1

fN39.1

fN34.2

85

, cross-spectrum(خصوصيات طيفي؛پس از تخمين •transfer function احتياج به دسته بندي دارد) و غيره:

:اين دسته بندي بر پايه خصدر يك باند فركانسي مش) يا گين انتقال ( طيف قدرت •

(HRV)تغييرات ضربان قلبي, EEG) : نسبتهاي قدرت (

گين يا فركانس ميان,پيك فركانس قدرت ( توزيع فركانسي •EEG , EMG , HRV) :فركانس لبه طيف, ميانه

HRVدر log-logشيب : مانند, ديگر خصوصيات •

:مثالهاي كاربردي از تخمين طيف:مثالهاي كاربردي از تخمين طيف

86

فرکانس ميانه•

فرکانس ميانگين•

2

1

2

1

f

ff

f

ffMEAN

dffS

dfffS

f

MED

MED

f

ff

f

ff

dffSdffS1

2

87

Spectral features – Peak frequency Peak frequency

Sometimes, we identify one or more peaks in the PSD plot and then compute the following parameters as features

Parameters Frequency – the actual frequency value of the peak Amplitude – the amplitude (i.e. PSD) value of the peak Width – the width of the peak computed using some threshold, eg. 10 dB

Area- Sometimes we also use the area under the peak as features This is computed as the sum of PSD values from say, ± 5 Hz

Example: in the figure, for peak 1 Frequency =25 Hz Amplitude = 35 dB Width (10 dB threshold) = 27-22+1=6 Area= sum the PSD values from

frequency 20 to 30 Hz.

This same sort of feature extraction could be done for peaks in time domain – like for EP signals,

88

Spectral features – Asymmetry ratio PSD

Asymmetry ratio PSD After obtaining the PSD, we can obtain the asymmetry ratio using

where P1 is the PSD in one channel and P2 is the power in another channel but in the opposite hemisphere.

This feature is useful when the mental activities that are studied exhibit inter-hemispheric difference

For example, maths activity exhibit a higher power spectrum in the left hemisphere whereas visual tasks do so in the right hemisphere

For example, ASPSD using O1 and O2 will be higher for maths activity as compared to visual activity

EEG

C4C3

P3 P4

O1 O2

A1 A2

21

21

PP

PPASPSD

89

Spectral features – Asymmetry ratio PSD -example In the example, the PSD plots for maths activity and object rotation activity are

shown ASPSD using O1 and O2 is computed The third plot shows ASPSD for maths activity and the last plot shows ASPSD for visual

activity If the visual plots for ASPSD is not very clear, we can further compute the total sum

of ASPSD as a feature The results, ASPSD should be higher for maths activity as compared to object rotation

0 20 40 60 80 100 120 140-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

ASPSD for object maths activity

Sum=0.3262

ASPSD for object rotation activity

Sum=-0.1433

0 20 40 60 80 100 120 140-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

PSD Rotation, O1 PSD Rotation, O2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

10

15

20

25

30

35

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

15

20

25

30

35

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

PSD Maths, O2PSD Maths, O1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

10

15

20

25

30

35

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

10

15

20

25

30

35

Frequency

Pow

er

Sp

ectr

um M

agni

tude

(d

B)

'If the visual plots for ASPSD is not very clear, we can further compute the total sum of ASPSD as a feature.

90

ه ماهيچ,انفاركتوس شديد ماهيچه قلبي, نرمال: طيف صداي قلبي براي حالتهاي ركانسهاي مشاهده مي شود كه دو مورد آخر افزايش درصد در ف.انفاركتوسي بهبود يافته

.پائين ديده مي شود

ه ماهيچ,انفاركتوس شديد ماهيچه قلبي, نرمال: طيف صداي قلبي براي حالتهاي ركانسهاي مشاهده مي شود كه دو مورد آخر افزايش درصد در ف.انفاركتوسي بهبود يافته

.پائين ديده مي شود

91

PSDهر . هاي ميانگين گيري شده ونرماليزه شده ازچهار بيمار تنگي آئورت در سطوح مختلفPSD به دوه انداز( گراديان فشار سيستوليك از طريق كاتتر. PAو منطقه پيش بيني CAمنطقه ثابت : قسمت تقسيم شده است

.براي هر بخش بدست آمده است PA/CAنسبت طيف قدرت ). mmHgگيري شده توسط كاتتر برحسب

PSDهر . هاي ميانگين گيري شده ونرماليزه شده ازچهار بيمار تنگي آئورت در سطوح مختلفPSD به دوه انداز( گراديان فشار سيستوليك از طريق كاتتر. PAو منطقه پيش بيني CAمنطقه ثابت : قسمت تقسيم شده است

.براي هر بخش بدست آمده است PA/CAنسبت طيف قدرت ). mmHgگيري شده توسط كاتتر برحسب

92

First heart sound spectra in the case of normal and degenerated porcine bioprosthetic valves implanted in the mitral position.

93

C.W. Dopplerمثالي از طيف•

•gray-scale ثبت شده ازداخل سرخرگ هاي كاروتيد••(a) نرمالدر حالت •(b) درصد گرفتگي در هشتاد.سرخرگ كاروتيد•همانطور كه در شكل ديده•در حالت تنگي شديد, مي شود•پيك طيف پهن تر شده و به•.طرف فركانسهاي باال مي رود•

94

.دميلي ثانيه اي مي توان آن را ايستا فرض نمو 10در پنجرة . سيگنال داپلر غيرايستاست.از مدلسازي استفاده شده است, سيگنال ايستا براي توليد يك•.اضافه شده است20dBتا 0از SNRبانويز ؛سپس به سيگنال •• FFT ,1024 نمونه سيگنال 256نقطه اي از.گرفته شده است 128براي تخمين طيف از پنجره همينگ •

)روش ولش( همپوشاني% 50نقطه اي و با .استفاده شده است

95

اي از انيهميلي ث ده متوالي ثبت بيستبراي روش شش بهقايسه تخمين طيف م.SNR 20dBشبيه سازي سيگنال داپلر در

96

مقايسه تكنيك هاي تخمين طيفمختلف SNR 20 dBدر متوالي ثبت 128 براي

ميلي ثانيه اي از 10داپلرشبيه سازي سيگنال (a) ميانگين و انحراف

استاندارد (b) واقعيميانگين و طيف

به منظور نمايش باياس .را نشان مي دهد

97

الطيف توان متغيير با زمان براي سيگنال داپلر يك شريان كاروتيد نرم

سه روش به تخمين طيفمقايسه (a) FFT. (b) ARMA (SVD) (c) AR (YW)

براي سگمنت از شريان كاروتيد نرمالدر سمت چپ. ميلي ثانيه اي 10

سه بعدي و در راست شكل .شكل دو بعدي آن نشان داده شده است

FFT داراي تغييرات زيادي در تخمين.مي باشد ARMA, MA,ARولي روش هاي

در حول پيك سيستوليك .بارزو هموار مي باشند

98

SCD (sudden cardiac death)بعنوان يك پيش بيني كننده PSD زا•.استفاده شده است

همپوشاني پنجرة % 50دقيقه اي با 2قطعه 400براي FFT ؛ساعت 24فرد براي 18متوسط گيري روي •به گروه براي تغييرات ضربان قلب براي سه گروه كه منحني بااليي مربوط PSDدر اين شكل . هنينگ

و منحني پائيني مربوط به گروه ) Non-SCD( منحني وسط مربوط به گروه دو) افراد نرمال( يك.است) SCD(سه

افراد نرمالافراد نرمال

Non-SCDNon-SCD

SCDSCD

99

.در طول خستگي رو به كاهش دارد EMGفركانسهاي

متاثر بر خستگي ماهيچه اي)بسبب فقدان خواب(يمركزبررسي خستگي :هدف

خستگيبسبب SEMGشيفت طيفمقايسه با حالت درMVCمحلي بعد از) MVCقبل از(غيرخستگي

(a)موردOM ، بدون خستگي(b)موردOM ، با خستگي(c)موردSH ، بدون خستگي(d)موردSH، با خستگي

MVC : ماكزيمم انقباضاراديOM:بدون خستگي مركزيSH :با خستگي مركزي

:مي توان EMGبا تعيين طيف .به خستگي عضله پي برد -1. بيماري عضالني را تشخيص داد-2).زبراي كنترل پروت( وضعيت عضله را از نظر انقباضي معين كرد -3

100