Embed Size (px)
Citation preview
1
Champs équiprojectifs, torseurs 1. Champs de vecteurs, champs affines.
2. Champs équiprojectifs.
3. Torseurs.
4. Axe central d’un torseur.
5. Invariant scalaire, comoment de deux torseurs.
6. Torseurs élémentaires : couples et glisseurs.
7. Décompositions d’un torseur en torseurs élémentaires.
8. Systèmes de glisseurs, de vecteurs glissants.
9. Produit vectoriel de deux torseurs.
10. Théorème de Petersen-Morley.
11. Annexe Maple.
Pierre-Jean Hormière _______________
Introduction
Les torseurs sont des outils mathématiques utilisés principalement en cinématique et en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements d’un solide et les actions mécaniques qu’il subit de la part d’un environnement extérieur. Leur origine remonte aux travaux du père jésuite et géomètre français Pierre Varignon (1654-1722).
Style, vocabulaire, terminologie, notations, les anciens cours de mathématiques sont diffi-ciles à lire. Les vieux traités de Commissaire et Cagnac, puis de Cagnac et Ramis, étudient longuement les propriétés des « systèmes de vecteurs glissants », précisant peu à peu les contours de l’ensemble dont ils sont les objets. Après le tournant structuraliste des années 1960, les cours commencent par définir la classe des champs équiprojectifs, et la munissent de ses différentes structures ; les systèmes de glisseurs, relégués au grenier des exemples, ne sont plus guère qu’une référence « vintage » aux anciens cours. Au fond, les vieux cours font l’analyse, et les plus récents la synthèse, de la théorie des torseurs. Mais ces exposés ont un ADN commun : la tendance irrépressible des professeurs de taupe à épuiser leur sujet, comme s’ils voulaient blinder leurs élèves. Cet exposé n’échappe pas à ce travers. L’anecdote suivante en fait foi : « Comme exemple d’espace vectoriel de dimension 6, vous pourriez citer les torseurs ! », a dit l’Inspecteur général Jean B*** aux professeurs de seconde médusés du lycée Fabert de Metz, un jour de printemps 1981. Je fus témoin de la scène, une scène d’autant plus surprenante que les torseurs allaient bientôt être retirés du programme de math sup ! Cela dit, M. l’Inspecteur général avait raison : quoiqu’il faille 9 réels pour définir un torseur (les coordonnées d’un point A, les composantes de la résultante et celles du moment en A), les torseurs forment, en effet, un bel exemple d’espace vectoriel de dimension 6 (et même une algèbre de Lie et un espace hyperbolique !) 1. Leur étude suppose connues les propriétés des endomorphismes antisymétriques des espaces euclidiens, ainsi que celles des produits vectoriel et mixte. Ce chapitre est inachevé, je le terminerai si j’ai le temps.
1 Ah ! comment ne pas avoir la nostalgie des années Giscard d’Estaing ? Le problème d’ENSI de
Chimie 1980 portait sur les… théorème de Baire et de Banach-Steinhaus, je n’invente rien…
2
1. Champs de vecteurs, champs affines. Définition 1 : Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie n, EEEE un espace affine attaché à E. Un champ de vecteurs sur une partie A de EEEE est une application de A dans E.
Représentation d’un champ de vecteurs.
Soit V : M ∈ A → )(MV ∈ E un champ de vecteurs sur A. Pour représenter V, il est commode
d’associer à chaque point M de A le vecteur MP = )(MV , autrement dit le représentant du vecteur
)(MV ayant M pour origine. Si A est infinie, comme on ne peut représenter tous les vecteurs MP , on donnera une idée du champ de vecteurs en choisissant un nombre fini suffisamment dense de points M dans A. Avec Maple, on utilisera les commandes fieldplot et fieldplot3d : > with(plots); > fieldplot([x+y,-2*x+y],x=-2..2,y=-2..2,thickness=2, color=blue);
Exemples de champs de vecteurs :
1) Champs uniformes. Un champ est dit uniforme s’il est constant.
2) Champs centraux.
Un champ est dit central s’il existe un point O tel que, pour tout point M ∈ A, les vecteurs )(MV et
OM soient colinéaires. C’est le cas des champs homothétie )(MV = αOM , et des champs
)(MV = OMOM et )(MV =
²OMOM définis sur EEEE − O, E et EEEE étant munis de normes associées.
3) Champs continus, différentiables. E et EEEE étant munis de leurs topologies usuelles, un champ de vecteurs est dit continu s’il est continu en tant qu’application de A dans E.
Lorsque A est une partie ouverte de EEEE, on parle de champ différentiable, de champ de classe Ck, etc.
Lorsque A est une partie quelconque de EEEE, un champ de vecteurs V sur A est dit différentiable, resp
de classe Ck, s’il existe un ouvert U contenant A et un champ de vecteurs W différentiable, resp. de
classe Ck sur U tel que V soit la restriction de W à A.
4) Champs affines.
Définition 2 : Un champ de vecteurs f sur EEEE est dit affine s’il existe un endomorphisme ϕ de E et un
point O de EEEE tels que ∀M ∈ EEEE f(M) = f(O) + ϕ(OM ).
S’il en est ainsi, la relation précédente est vraie pour tout point O, autrement dit :
3
∀ M, P ∈ EEEE f(M) = f(P) + ϕ( PM ).
L’endomorphisme ϕ est déterminé de manière unique par la donnée de f : on dit qu’il est l’endomorphisme associé au champ affine f, ou encore la partie linéaire de f.
Les champs affines sont les applications affines de EEEE dans l’espace affine canoniquement associé à E.
Définition 3 : On appelle repère affine (ou base affine) de EEEE tout (n+1)-uplet (A0, A1, …, An) de
points de EEEE tels que ( 10AA , 20AA , …, nAA0 ) soit une base de E.
Il est facile de montrer que cette propriété est indépendante du point A0 choisi.
Proposition 1 : Soit (A0, A1, …, An) un repère affine. Pour tout (n + 1)-uplet ( 0u , 1u , …, nu ) de
vecteurs de E, il existe un et un seul champ affine f sur EEEE tel que ∀k f(Ak) = ku .
Preuve : Procédons par analyse et par synthèse.
Analyse : Si un tel champ existe, et a pour partie linéaire ϕ, alors
Pour tout 1 ≤ k ≤ n, ϕ( kAA0 ) = f(Ak) – f(A0) = ku − 0u .
( 10AA , 20AA , …, nAA0 ) étant une base de E, ces conditions déterminent entièrement
l’endomorphisme ϕ. Si on leur adjoint la condition f(A0) = 0u , f est définie de manière unique.
Synthèse : Soient ϕ l’endomorphisme de E vérifiant, pour tout 1 ≤ k ≤ n, ϕ( kAA0 ) = ku − 0u ,
et f le champ affine défini par . ∀M ∈ EEEE f(M) = 0u + ϕ( MA0 ).
Alors f(A0) = 0u et, pour tout 1 ≤ k ≤ n, f(Ak) = 0u + ku − 0u = ku .
Proposition 2 : Un champ affine est uniforme ssi ϕ = 0.
Il est central de centre A ss’il existe λ ∈ R tel que ∀M f(M) = λ. AM .
Preuve : La première affirmation est évidente. Montrons la deuxième.
Si le champ affine f est central de centre A, ∀M ∃λ f(M) = λ. AM .
En particulier f(A) = 0 , donc f(M) − f(A) = ϕ( AM ) = λ. AM .
Ainsi ∀ x ∃λ ϕ( x ) = λ. x . On a vu en algèbre linéaire que les seules applications linéaires vérifiant cette propriété sont les homothéties.
Proposition 3 : Les champs affines sur EEEE forment un sous-espace vectoriel de dimension n + n2 de
l’espace vectoriel des champs de vecteurs sur EEEE.
Preuve : Cela découle de ce que f est entièrement défini par le couple ( f(O), ϕ) ∈ E×LLLL(E), la correspondance étant linéaire bijective, ou encore de ce que f est entièrement défini par le (n + 1)-uplet (f(A0), f(A1), …, f(An)) de vecteurs de E, où (A0, A1, …, An) est un repère affine.
Proposition 4 : Soit f un champ de vecteurs sur EEEE. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est un champ de classe C2 tel que f’’ = 0 ;
b) f est un champ de classe C1 et f’ est constant ;
c) f est un champ affine.
Preuve : voir cours sur les fonctions de plusieurs variables.
Si E E E E et E sont de dimension 3, rapportés à un repère (O, i , j ,k ), le champ
f : M(x, y, z) → f(M) = ( X, Y, Z )
4
est donné par ses composantes (X, Y, Z), fonctions de (x, y, z). Il est affine ssi chacune des fonctions
X, Y, Z est de classe C2 et a ses six dérivées partielles secondes nulles, ou encore sa matrice
hessienne nulle. En tout, 18 vérifications.
Plus généralement, si E E E E et E sont de dimension n, il faudra 2
)1²( +nn vérifications.
Si A est une partie de EEEE, un champ de vecteurs f sur A est dit affine s’il est la restriction à A d’un champ affine sur EEEE. Lorsque A engendre affinement EEEE, ce prolongement est unique.
2. Champs équiprojectifs. 2.1. Un exemple introductif.
Considérons dans l’espace euclidien usuel de dimension 3 un solide indéformable SSSS en mouvement,
mouvement supposé de classe C1. Soient M et N deux points quelconques de SSSS.
A l’instant t, le solide occupe la position SSSS(t), les points M(t) et N(t).
La fonction D : t → || )()( tNtM ||2 est constante, donc de dérivée nulle :
D’(t) = 2 ( )()( tNtM | dt
tNd )( −
dttMd )( ) = 0.
On dit qu’à l’instant t, le champ des vitesses V : M(t) → dt
tMd )( est « équiprojectif ».
2.2. Champs équiprojectifs.
Dans ce §, E est un espace euclidien de dimension n, EEEE un espace affine euclidien associé.
On note (x | y ) le produit scalaire des vecteurs x ety .
Définition 1 : Le champ de vecteurs f : EEEE → E est dit équiprojectif s’il vérifie :
∀ M, N ∈ EEEE ( MN | f(M) − f(N)) = 0.
Signification géométrique de cette propriété :
Supposons les points M et N distincts. Notons f(M) = MP et f(N) = NQ. Soient H et K les orthoprojections de P et Q sur la droite MN.
La condition ( MN | f(M)) = ( MN | f(N)) se traduit par : MH = NK .
En effet ( MN | f(M)) = ( MN |MP ) = ( MN |MH ) = MN . MH
Et ( MN | f(N)) = ( MN |NQ) = ( MN |NK ) = MN . NK
Autrement dit, comme son nom l’indique, un champ est équiprojectif si et seulement si, pour tout couple (M, N) de points distincts, les vecteurs f(M) et f(N) ont même orthoprojection sur la droite (MN).
Proposition 1 : Images d’un champ équiprojectif par une similitude. Soit f un champ équiprojectif.
5
a) Si s est une similitude quelconque de EEEE , f o s est un champ équiprojectif sur E.E.E.E.
b) Si σ est une similitude quelconque de E , σ o f est un champ équiprojectif sur E.E.E.E.
Preuve facile, laissée au lecteur.
L’interprétation physique de ce résultat est que la notion de champ équiprojectif n’est pas altérée si l’on change d’unité de longueur : après un changement arbitraire de cette unité, un champ équiprojectif reste équiprojectif.
Théorème 2 : Pour que le champ de vecteurs f : EEEE → E soit équiprojectif, il faut et il suffit qu’il soit affine et que l’endomorphisme associé ϕ soit antisymétrique.
Preuve : Nous supposons connue la notion d’endomorphisme antisymétrique, définie et étudiée dans le chapitre sur les Espaces euclidiens, § 5.
a) Supposons que le champ f est affine, et que l’endomorphisme associé ϕ est antisymétrique.
Alors ∀ M, N ∈ EEEE ( MN | f(M) − f(N)) = (MN | ϕ( MN )) = 0.
b) Réciproquement, soit f un champ équiprojectif.
Fixons un point A ∈ EEEE et définissons l’application ϕ : E → E par :
∀ x ∈ E ϕ( x ) = f(A + x ) – f(A). L’équiprojectivité de f implique :
∀ x , y ∈ E ( x | ϕ( x )) = ( y | ϕ( y )) = 0.
Puis : ( y − x | ϕ( y ) − ϕ( x )) = (y − x | f( A + y ) − f( A + x )) = 0.
Comme ( y − x | ϕ( y ) − ϕ( x )) = ( y | ϕ( y )) + ( x | ϕ( x )) − ( x | ϕ( y )) − ( y | ϕ( x ))
il vient : ( x | ϕ( y )) + ( y | ϕ( x )) = 0. Il reste à conclure via le lemme suivant laissé au lecteur :
Lemme : Toute application ϕ : E → E vérifiant
∀ x , y ∈ E ( x | ϕ( y )) + ( y | ϕ( x )) = 0. est linéaire.
Proposition 3 : L’ensemble des champs équiprojectifs sur EEEE est un sous-espace vectoriel de dimen-
sion n + 2
)1( −nn =
2)1( +nn
de l’espace vectoriel des champs affines.
Preuve : La première assertion est laissée au lecteur. Fixons un point O. L’application PO : f → ( f(O), ϕ ) est un isomorphisme de l’espace vectoriel des champs équiprojectifs sur E×A(E), où A(E) est l’espace vectoriel des endomorphismes antisymé-triques. On conclut aussitôt.
Proposition 4 : Soient f un champ affine sur EEEE, (A0, A1, …, An) un repère affine de EEEE,. Pour que f soit un champ équiprojectif, il faut et il suffit qu’il vérifie la condition suivante :
Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , ( ji AA | f(Aj) − f(Ai)) = 0.
Preuve : Seule la condition suffisante est à vérifier.
Soient donc f un champ affine sur EEEE, de partie linéaire ϕ, et (A0, A1, …, An) un repère affine tel que :
Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , ( ji AA | f(Aj) − f(Ai)) = 0.
On en déduit que, pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , ( ji AA | ϕ( ji AA )) = 0.
1ère conséquence : pour tout 1 ≤ k ≤ n , ( kAA0 | ϕ( kAA0 )) = 0. (*)
2ème conséquence : pour tout 1 ≤ i < j ≤ n ,
( ji AA | ϕ( ji AA )) = ( jAA0 − iAA0 | ϕ( jAA0 ) − ϕ( iAA0 )) = 0.
Si l’on développe, il vient :
6
( jAA0 | ϕ( jAA0 )) + ( iAA0 | ϕ( iAA0 )) − ( iAA0 | ϕ( jAA0 )) − ( jAA0 | ϕ( iAA0 )) = 0.
Compte tenu de (*), cela implique : ( iAA0 | ϕ( jAA0 )) + ( jAA0 | ϕ( iAA0 )) = 0.
Par bilinéarité, on en déduit : ∀ x , y ∈ E ( x | ϕ( y )) + ( y | ϕ( x )) = 0.
ϕ est antisymétrique. Cqfd.
Remarque : Soit (A0, A1, …, An) un repère affine de EEEE, Aff(EEEE, E) l’espace vectoriel des champs
affines sur EEEE, qui, rappelons-le, est de dimension n2 + n, et Equip(EEEE, E) le sous-espace des champs
équiprojectifs, qui est de dimension moitié, n(n + 1)/2.
Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , considérons la forme linéaire εij : f ∈ Aff( EEEE, E) → ( ji AA | f(Aj) − f(Ai)) . Il résulte de la prop 4 que Equip(EEEE, E) est l’intersection des noyaux de ces n(n + 1)/2 formes
linéaires. Par conséquent, ces formes linéaires εij sont indépendantes.
Théorème 5 : prolongement des champs équiprojectifs.
Soient SSSS une partie de EEEE, telle que EEEE soit la variété affine engendrée par SSSS, et f : SSSS → E un champ équiprojectif sur SSSS , c’est-à-dire vérifiant :
∀ M, N ∈ SSSS ( MN | f(M) − f(N)) = 0.
Alors f est la restriction à SSSS d’un champ équiprojectif g sur EEEE, et g est défini de manière unique.
Preuve :
Soit (A0, A1, …, An) un repère affine de EEEE formée de points de SSSS. Nous savons qu’il existe une
application affine unique g : EEEE → E vérifiant g(Ai) = f(Ai) pour 0 ≤ i ≤ n.
Cela montre déjà l’unicité du prolongement cherché. Ce champ g vérifie :
Pour tout 0 ≤ i < j ≤ n , ( ji AA | g(Aj) − g(Ai)) = ( ji AA | f(Aj) − f(Ai)) = 0.
En vertu de la prop 4, ce champ g est équiprojectif. Cqfd.
3. Torseurs. Dans toute la suite de ce chapitre, E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, EEEE un espace affine euclidien orienté associé. Nous supposons connues les définitions et les propriétés
du produit vectoriel x ∧∧∧∧ y et du produit mixte [ x , y , z ]. 3.0. Rappels.
Formule du double produit vectoriel :
x ∧∧∧∧ ( y ∧∧∧∧ z ) = ( x |z ). y − ( x | y ). z .
Pour vérifier élégamment cette formule, on peut observer que, si x est fixé, les deux membres sont
des formes bilinéaires alternées de (y , z ). Dès lors, il suffit de vérifier leur égalité pour
( y , z ) = (i , j ), ( j ,k ) et (k , i ), où (i , j ,k ) est une base orthonormée directe de E,
Formule de Jacobi : x ∧∧∧∧ ( y ∧∧∧∧ z ) + y ∧∧∧∧ ( z ∧∧∧∧ x ) + z ∧∧∧∧ ( x ∧∧∧∧ y ) = 0
Cette formule découle aisément de la formule du double produit vectoriel
Endomorphismes antisymétriques.
Pour tout vecteur a , l’application ϕ : x → a ∧∧∧∧ x est un endomorphisme antisymétrique de E,
c’est-à-dire tel que ∀ x (ϕ( x ) |x ) = 0, ou encore ∀( x , y ) (ϕ( x ) | y ) = − (ϕ( y ) |x ) .
Réciproquement, tout endomorphisme antisymétrique ϕ de E est de la forme ϕ : x → a ∧∧∧∧ x .
7
Ce vecteur a est unique, et donné par :
a = 21 [ i ∧∧∧∧ )(iϕ + j ∧∧∧∧ )( jϕ + k ∧∧∧∧ )(kϕ ]
où (i , j ,k ) est une base orthonormée directe de E,
Preuve : On sait bien que ( a ∧∧∧∧ x |x ) = 0.
( a ∧∧∧∧ x | y ) = − ( a ∧∧∧∧ y | x ) s’en déduit par dédoublement des variables.
Du reste, cela s’écrit [ a , x , y ] = − [ a , y , x ].
La formule du double produit vectoriel donne, pour tout vecteur unitaire x :
x ∧∧∧∧ )(xϕ = x ∧∧∧∧ ( R∧∧∧∧ x ) = ( x |x ). R − ( x |R ). x = R − ( x |R ). x .
Il suffit d’appliquer cette relation à i , j ,k , et d’additionner.
Division vectorielle. Soient a et b deux vecteurs tels que a ≠ 0 .
On a l’équivalence : l’équation a ∧∧∧∧ x = b (E) a au moins une solution ⇔ (a |b ) = 0. Si cette condition est remplie, les solutions de l’équation (E) sont données par
x = − ²aba∧ + λ a , où λ décrit R.
En particulier, lorsque x décrit E, a ∧∧∧∧ x décrit le plan a ⊥.
Enfin, l’identité ( a ∧∧∧∧ b |c ∧∧∧∧ d ) = ( a |c ).(b |d ) − ( a |d ).(b |c ).
Pour vérifier élégamment cette formule, fixons a et b . Les deux membres sont des formes
bilinéaires alternées de (c ,d ). Dès lors, il suffit de vérifier leur égalité pour
( c ,d ) = (i , j ), ( j ,k ) et (k , i ), où (i , j ,k ) est une base orthonormée directe de E, 3.1. Définitions.
Définition 1 : Un champ équiprojectif TTTT sur EEEE est aussi appelé un torseur. Pour tout point M de E E E E, le vecteur TTTT(M) est appelé moment (ou valeur) du torseur TTTT en M.
Il découle de ce qui précède que les torseurs forment un espace vectoriel de dimension 6. Grâces en soient rendues à M. l’Inspecteur général Jean B*** et bon courage aux professeurs de seconde !
Soient TTTT un torseur sur E E E E, ϕ l’endomorphisme antisymétrique tel que :
∀ P, Q ∈ EEEE TTTT(Q) = TTTT(P) + ϕ( PQ).
La matrice de ϕ relativement à une base orthonormée directe étant antisymétrique, il existe un
vecteur unique R∈ E tel que ∀ x ∈ E ϕ( x ) = R∧∧∧∧ x .
Ainsi : ∀ P, Q ∈ EEEE TTTT(Q) = TTTT(P) + R∧∧∧∧ PQ ( formule de Varignon ).
Théorème 2 : Pour qu’un champ sur l’espace euclidien orienté EEEE soit un torseur, il faut et il suffit
qu’il existe un vecteur R∈ E tel que :
∀ P, Q ∈ EEEE TTTT(Q) = TTTT(P) + R∧∧∧∧ PQ.
Définition 2 : Le vecteur R est appelé résultante, ou plus simplement vecteur, du torseur TTTT.
Proposition 3 : Pour que le torseur TTTT soit constant, il faut et il suffit que sa résultante R soit nulle.
8
Proposition 4 : Soit TTTT un torseur non constant de résultante R . Les moments de TTTT décrivent un plan
affine P perpendiculaire à R dans E. Les antécédents de chacun des vecteurs de P forment une droite
de direction R .
Preuve : Fixons le point O. On a : ∀M ∈ EEEE TTTT(M) = TTTT(O) + R∧∧∧∧ OM .
Lorsque M décrit E E E E , OM décrit E et R∧∧∧∧ OM décrit le plan vectoriel R⊥.
Par conséquent, TTTT(M) décrit le plan affine translaté P = TTTT(O) + R⊥ , plan qui a pour équation :
( R | TTTT(M)) = ( R | T T T T(O)).
Soit h un vecteur de P. TTTT(M) = h ⇔ TTTT(O) + R∧∧∧∧ OM = h ⇔ R∧∧∧∧ OM = h − TTTT(O) .
La division vectorielle montre qu’il y a une infinité de vecteurs OM vérifiant cette propriété ; ils
forment une droite affine de direction R . 3.2. Représentations d’un torseur.
Proposition 4 : Pour tout triplet (A, R ,G ) ∈ EEEE×E×E, il existe un unique torseur TTTT, de résultante R ,
tel que TTTT(A) = G .
Preuve : Si ce torseur existe, il est donné par
∀M ∈ EEEE TTTT(M) = G + R∧∧∧∧ AM .
Réciproquement, le champ de vecteur ainsi défini est un torseur, de résultante R , tel que TTTT(A) = G .
Notant T(EEEE) l’espace vectoriel des torseurs sur EEEE, l’application
Φ : (A, R ,G ) ∈ EEEE×E×E → T T T T ∈∈∈∈ T(EEEE)
ainsi définie est surjective. Mais elle n’est pas injective.
Proposition 5 : Pour que les triplets (A, R ,G ) et (B, S , H ) de EEEE×E×E définissent le même torseur,
il faut et il suffit qu’ils vérifient : R = S et H = G + R∧∧∧∧ AB .
Preuve : a) Si les triplets (A, R ,G ) et (B, S , H ) définissent le même torseur TTTT, alors :
R = S comme résultante de TTTT, et H = TTTT(B) ==== T T T T(A) + S∧∧∧∧ AB = TTTT(A) + R∧∧∧∧ AB = G + R∧∧∧∧ AB .
b) Réciproquement, supposons R = S et H = G + R∧∧∧∧ AB . Soit TTTT = Φ(B, S , H ).
Alors ∀M ∈ EEEE TTTT(M) = H + S∧∧∧∧ BM = G + R∧∧∧∧ AB + R∧∧∧∧ BM = G + R∧∧∧∧ AM .
Donc T = T = T = T = Φ(A, R ,G ). Cqfd.
On peut ainsi identifier T(EEEE) à l’ensemble quotient (EEEE×E×E)/RRRR , où RRRR est la relation d’équivalence
sur EEEE×E×E définie par (A, R ,G ) RRRR (B, S , H ) ⇔ [ R = S et H = G + R∧ AB ].
Nous dirons que le triplet (A, R ,G ) ∈ EEEE×E×E est un représentant du torseur T T T T si Φ(A, R ,G ) = T.T.T.T.
Proposition 6 : Fixons un point A de EEEE. L’application ΦA : (R ,G ) ∈ E×E → Φ(A, R ,G ) ∈ T(EEEE) est une bijection, et un isomorphisme d’espaces vectoriels.
L’application PA : T T T T ∈ T(EEEE) → ( R , TTTT(A)) ∈ E×E est un isomorphisme d’espaces vectoriels,
réciproque de ΦA. R et TTTT(A) sont appelés éléments de réduction du torseur TTTT au point A, ou encore coordonnées vectorielles de TTTT en A.
9
3.3. Equations du champ.
Rapportons EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ) .
Notons (a, b, c) les composantes de R . Et (X0, Y0, Z0) celles de TTTT(O) dans la base (i , j , k ). Si le point P a pour coordonnées (x, y, z), le vecteur TTTT(P) a pour composantes :
X = X0 + bz – cy
Y = Y0 + cx – az
Z = Z0 + ay – bx
Si A a pour coordonnées (xA, yA, zA), si (XA, YA, ZA) sont les composantes de TTTT(A) dans la base
( i , j , k ) et (a, b, c) celles de R , si enfin le point P a pour coordonnées (x, y, z), le vecteur TTTT(P) aura pour composantes : X = XA + b ( z – zA ) – c ( y – yA )
Y = YA + c ( x – xA ) – a ( z – zA )
Z = ZA + a ( y – yA ) – b ( x – xA ) 3.4. Critères d’égalité de deux torseurs.
Proposition 7 : Pour que deux torseurs soient égaux, il faut et il suffit qu’ils aient même résultante, et qu’il existe un point en lequel leurs moments soient égaux.
Preuve : cela découle aussitôt de ce qui précède.
Proposition 8 : Pour que deux torseurs soient égaux, il faut et il suffit qu’il existe trois points non alignés A, B et C en lesquels leurs moments soient égaux.
Preuve : Cela revient à dire que l’application linéaire
φ : T T T T ∈∈∈∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B), TTTT(C)) ∈ E×E×E.
est injective, autrement dit que son noyau est réduit au torseur nul.
Si TTTT(A) = TTTT(B) = TTTT(C) = 0 , R ∧∧∧∧ AB = R ∧∧∧∧ AC = 0 .
Le vecteur R est colinéaire à AB et à AC , vecteurs non nuls et non colinéaires.
Cela implique que R = 0 . Le torseur TTTT est constant, et nul en un point, donc nul. cqfd.
Remarque : L’application φ est injective, mais n’est pas bijective, puisque dim T(EEEE) = 6 et dim(E×E×E) = 9. En d’autres termes, les valeurs TTTT(A), TTTT(B) et TTTT(C) ne sont pas quelconques. Nous reviendrons sur ce point en exercice. 3.5. Exemples de torseurs.
1) Les « couples ».
On désigne sous ce terme les torseurs constants. On note CCCC = c(u ) le couple de moment u . Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 3 de T(EEEE), car isomorphe à E.
Avec les notations précédentes, c(u ) = Φ(A, 0 , u ), quel que soit le point A.
2) Les « glisseurs ».
Soit (A, R ) ∈ EEEE×E. Le champ de vecteurs GGGG : P → R∧∧∧∧ AP est un torseur de résultante R .
En effet, GGGG(Q) = GGGG(P) + R∧∧∧∧ AP . Les torseurs de ce type sont appelés « glisseurs ».
Ce glisseur est noté GGGG = g(A, R ).
Avec les notations précédentes, g(A, R ) = Φ(A, R , 0 ). Nous étudierons et caractériserons les glisseurs dans la suite.
10
3) Généralisation.
Soit (Ai, iR ) ∈ EEEE×E (1 ≤ i ≤ k). Le champ de vecteurs TTTT : P → ∑=
∧k
iii PAR
1
est un torseur de
résultante R = ∑=
k
iiR
1
(comme somme de glisseurs).
Soient I = [0, 1], s ∈ I → A(s) ∈ EEEE un arc paramétré continu et s ∈ I → )(sR ∈ E une fonction vectorielle continue. Considérons le champ défini sur EEEE par :
T T T T(P) = ∫ ∧1
0.)()( dsPsAsR .
Ce champ est un torseur, car :
T T T T(Q) = TTTT(P) + ∫ ∧1
0.)( dsPQsR = ∫
1
0.)( dssR ∧ PQ.
Ce torseur a pour résultante R = ∫1
0.)( dssR (version intégrale de l’exemple précédent).
4. Axe central d’un torseur.
Théorème et définition : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R . L’ensemble des
points P tels que TTTT(P) et R soient colinéaires est une droite affine ∆ de EEEE, de vecteur directeur R .
Cette droite est donnée par ∆ = P ; OP = ²
)(R
OTR∧ + λ R , λ ∈ R , le point O étant quelconque.
Elle est appelée axe central du torseur.
Preuve : Comme R ≠ 0 , TTTT(P) et R sont colinéaires ⇔ ∃α ∈ R TTTT(P) = α R .
Fixons un point O de EEEE. On a TTTT(P) = TTTT(O) + R ∧∧∧∧ OP = α R .
Il vient : (TTTT(O) | R) = α ||R ||2 , donc α =
²
))((
R
ROT, ce qui fixe la valeur de α.
Le vecteur OP doit vérifier R ∧∧∧∧ OP = α R − TTTT(O),
c’est-à-dire, en vertu de la division vectorielle : OP = ²
)(R
OTR∧ + λ R , λ ∈ R .
Réciproquement, si OP = ²
)(R
OTR∧ + λ R , par division vectorielle, on obtient :
TTTT(P) = TTTT(O) + R ∧∧∧∧ OP = T T T T(O) + R ∧∧∧∧ ²
)(R
OTR∧ = α R , où α =
²
))((
R
ROT.
Autre preuve : Fixons un point O de EEEE.
TTTT(P) et R colinéaires ⇔ R∧∧∧∧ TTTT(P) = 0 ⇔ R ∧∧∧∧ ( TTTT(O) + R ∧∧∧∧ OP ) = 0
⇔ R ∧∧∧∧ ( R ∧∧∧∧ OP ) = − R∧∧∧∧ TTTT(O) (*)
C’est une équation linéaire, d’inconnue OP , de la forme F(OP ) = − R∧ TTTT(O) ,
où F(x ) = R ∧∧∧∧ ( R ∧∧∧∧ x ). F est un endomorphisme symétrique, comme composé de deux endomorphismes antisymétriques.
Je dis que Ker F = λ R ; λ ∈ R .
En effet F(x ) = 0 ⇔ R ∧∧∧∧ x est colinéaire à R
⇔ R ∧∧∧∧ x = 0 , car R ∧∧∧∧ x est orthogonal à R .
11
⇔ x est colinéaire à R .
Du coup, Im F = ( Ker F )⊥ = λ R ; λ ∈ R ⊥
.
Comme − R∧∧∧∧ TTTT(O) est orthogonal à R , − R∧∧∧∧ TTTT(O) ∈ Im F.
Il existe donc un point P0 tel que F( 0OP ) = − R∧∧∧∧ TTTT(O), et les solutions de (*) forment la droite
affine ∆ passant par P0 et dirigée par R .
Reste à trouver un tel point P0. Cherchons-le de sorte que ( R | 0OP ) = 0, autrement dit cherchons
l’orthoprojection de O sur ∆.
Il vient 0OP = ²
)(R
OTR∧, qui satisfait bien ( R | 0OP ) = 0, donc (*).
Par conséquent la solution générale de (*) est OP = ²
)(R
OTR∧ + λ R , où λ décrit R .
L’ensemble cherché est la droite affine ∆ passant par P0 et dirigée par R . Cqfd.
Soient P et Q deux points de l’axe central ∆.
T T T T(Q) − TTTT(P) = R ∧∧∧∧ PQ = 0 puisque PQ est colinéaire à R .
Par conséquent le torseur TTTT est constant le long de l’axe central.
Il existe une constante réelle h telle que ∀A ∈ ∆ TTTT(A) = hR .
Que vaut cette constante h ? Nous connaissons un point de ∆, le point P0 trouvé ci-dessus.
T T T T(P0) = TTTT(O) + R∧∧∧∧ 0OP = TTTT(O) + R∧∧∧∧ ²
)(R
OTR∧ =
)²
)((R
OTRR .
En résumé :
Proposition 2 : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R et d’axe central ∆.
Le torseur TTTT prend des valeurs constantes le long de l’axe central ∆, et cette valeur vaut )
²)((
ROTR
R .
Ce vecteur, indépendant du point O choisi, est appelé invariant vectoriel du torseur.
Exemple : Soient (A, R ) ∈ EEEE×E, GGGG : P → R ∧∧∧∧ AP le glisseur associé.
Si R ≠ 0 , l’axe central de GGGG est la droite A + R. R .
Proposition 3 : Soient T T T T un torseur non constant sur EEEE, de résultante R et d’axe central ∆. L’axe central est le lieu des points P en lesquels le moment est de norme minimum.
Preuve : Soient O un point de l’axe central, P un point quelconque.
La relation T T T T(P) = TTTT(O) + R∧∧∧∧ OP implique
||TTTT(P)||2 = ||TTTT(O)||2 + ||R∧∧∧∧ OP ||2 + 2 ( TTTT(O) | R∧∧∧∧ OP ).
Or ce dernier terme est nul, car TTTT(O) est colinéaire à R .
Par conséquent ||TTTT(P)||2 = ||TTTT(O)||2 + ||R∧∧∧∧ OP ||2
Ainsi ||TTTT(P)||2 ≥ ||TTTT(O)||2 , avec égalité ssi OP est colinéaire à R , i.e. ssi P ∈ ∆. cqfd
Remarque : pour l’instant, seuls les torseurs de résultante non nulle ont un axe central ; les torseurs de résultante nulle, c’est-à-dire les couples, n’en ont pas. On remédie à cette situation en adoptant les conventions suivantes : On convient d’appeler axe central du torseur nul toute droite de EEEE. On convient d’appeler axe central d’un couple non nul toute droite parallèle à son moment.
12
Proposition 4 : Soit ∆ une droite affine. Les torseurs admettant ∆ comme axe central forment un plan vectoriel.
Preuve : Soient O un point de ∆, u un vecteur unitaire parallèle à ∆. Pour qu’un torseur de résultante non nulle TTTT admette ∆ comme axe central, il faut et il suffit que
PO(TTTT) = ( R , TTTT(O)) soit de la forme (λu , µu ), où λ ≠ 0. Pour qu’un torseur de résultante nulle TTTT admette ∆ comme axe central, il faut et il suffit que
PO(TTTT) = ( R , TTTT(O)) soit de la forme (0 , µu ). Donc, pour qu’un torseur quelconque TTTT admette ∆ comme axe central, il faut et il suffit que
PO(TTTT) = ( R , TTTT(O)) soit de la forme (λu , µu ), où λ et µ sont quelconques.
Les couples de la forme (λu , µu ) forment un plan vectoriel de E×E,
Equations cartésiennes de l’axe central.
Reprenant les notations de 3.2, le point P(x, y, z) appartient à l’axe central ssi aX =
bY =
cZ ,
autrement dit : a
bzcyX +−0 = b
azcxY −+0 = c
bxayZ −+0 ,
en convenant que si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être nul.
Simplification des équations du champ.
Soit T T T T un torseur non constant, de résultante R et d’axe central ∆. Choisissons un repère orthonormé
direct (O,i , j , k ) tel que R k = ∆. Soient (0, 0, Z0) les composantes de TTTT(O) dans la base (i , j , k )
et (0, 0, c) celles de R . Si P a pour coordonnées (x, y, z), TTTT(P) a pour composantes :
X = – cy , Y = cx , Z = Z0
||TTTT(P)||2 = X2 + Y
2 + Z
2 = c
2 ( x
2 + y
2 ) + Z0
2 est minimum ssi x = y = 0, autrement dit ssi P ∈ ∆.
L’invariant vectoriel de TTTT est Z0.k , son invariant scalaire cZ0.
5. Invariant scalaire, comoment de deux torseurs. 5.1. Comoment.
Théorème et définition 1 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs sur EEEE, de résultantes respectives 1R et 2R .
La fonction numérique θ définie sur EEEE par :
∀P ∈ EEEE θ(P) = ( 1R | TTTT2(P)) + ( 2R | TTTT1(P)).
est constante. Sa valeur est appelée comoment des torseurs TTTT1 et TTTT2 et notée CCCC(TTTT1 , TTTT2).
Preuve : Soient P et Q deux points quelconques de EEEE .
θ(Q) − θ(P) = ( 1R | TTTT2(Q) − TTTT2(P)) + ( 2R | TTTT1(Q) − TTTT1(P))
= (1R | 2R ∧∧∧∧ PQ) + ( 2R | 1R ∧∧∧∧ PQ)
= [ 1R , 2R , PQ] + [ 2R , 1R , PQ] = 0
par antisymétrie du produit mixte [ , , ] .
Corollaire 1 : Si TTTT1 = Φ(A1, 1R , 1G ) et TTTT2 = Φ(A2, 2R , 2G ) ,
C C C C(TTTT1 , TTTT2) = ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) + [ 1R , 2R , 12AA ]
= ( 1R | TTTT2(A2)) + ( 2R | TTTT1(A1)) + [ 1R , 2R , 12AA ] .
13
Preuve : CCCC(TTTT1 , TTTT2) = ( 1R | TTTT2(P)) + ( 2R | TTTT1(P))
= ( 1R | TTTT2(A1)) + ( 2R | TTTT1(A1))
= ( 1R | TTTT2(A2)) + ( 1R | 2R ∧∧∧∧ 12AA ) + ( 2R | TTTT1(A1))
= ( 1R | TTTT2(A2)) + [ 1R , 2R , 12AA ] + ( 2R | TTTT1(A1))
Corollaire 2 : comoment de couples et de glisseurs.
Si TTTT1 = c( 1u ) et TTTT2 = c( 2u ) , CCCC(TTTT1 , TTTT2) = 0
Si TTTT1 = c(u ) et TTTT2 = g(A, R ) , CCCC(TTTT1 , TTTT2) = (u |R ).
Si TTTT1 = g(A1, 1R ) et TTTT2 = g(A2, 2R ) , CCCC(TTTT1 , TTTT2) = [ 1R , 2R , 12AA ]
Définition 2 : Le réel q(TTTT) = ( R | TTTT(P)) , indépendant du point P, est appelé invariant scalaire du torseur TTTT .
Bien entendu, Q = 2q n’est autre que la forme quadratique associée au comoment.
Il découle du § précédent que si T T T T est un torseur non constant, de résultante R et d’axe central ∆, le
torseur TTTT prend des valeurs constantes sur ∆, et cette valeur vaut ²)(
RTq R , invariant vectoriel de TTTT.
Théorème 2 : L’application comoment CCCC : (TTTT1 , TTTT2) ∈ T(EEEE) × T(EEEE) → CCCC(TTTT1 , TTTT2) ∈ R est une forme bilinéaire symétrique sur T(EEEE), non dégénérée, de signature (3, 3).
Preuve : Le caractère bilinéaire symétrique est immédiat.
Rapportons EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j ,k ). Soient et (ai, bi, ci) les composantes de iR
et (Xi, Yi, Zi) celles de TTTTi(O) dans la base (i , j ,k ). Il vient :
C C C C(TTTT1 , TTTT2) = a1.X2 + b1.Y2 + c1.Z2 + a2.X1 + b2.Y1 + c2.Z1.
La forme quadratique associée est :
Q(TTTT) = 2 q(TTTT) = 2 ( R | TTTT(P)) = 2 ( a.X + b.Y + c.Z )
= ½ [ ( a + X )2
+ ( b + Y )2 + ( c + Z )
2 – ( a − X )
2 − ( b − Y )
2 − ( c − Z )
2 ]
Il s’agit d’une décomposition en carrés de Gauss (formes linéaires indépendantes). On en conclut aussitôt que Q, q et CCCC ont pour signature (3, 3). cqfd
Remarques : 1) La matrice de CCCC et de Q relativement à la base associée est
000100000010000001100000010000001000
.
Elle a pour valeurs propres 1, 1, 1, −1, −1, −1.
2) On aurait pu présenter les choses dans un autre ordre, en notant successivement que :
a) le réel qP(TTTT) = ( R | TTTT(P)) est indépendant du point P ;
b) 2q est une forme quadratique sur T(EEEE), dont la forme polaire est la forme bilinéaire symétrique
CCCCP : ( TTTT1 , TTTT2 ) → ( 1R | TTTT2(P)) + ( 2R | TTTT1(P)) ;
c) il résulte de a) que CCCCP( TTTT1 , TTTT2 ) est indépendant de P.
Corollaire : L’espace vectoriel quadratique réel (T(EEEE), CCCC, Q) est régulier, et c’est même un espace hyperbolique ou artinien.
Preuve : Voir mon chapitre d’Algèbre bilinéaire sur les Espaces vectoriels quadratiques réguliers.
14
Théorème 3 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes non nulles 1R et 2R , A1 et A2 des points
situés sur leurs axes centraux respectifs ∆1 et ∆2.
CCCC(TTTT1 , TTTT2) = [²)(
1
1
RTq
+ ²)(
2
2
RTq ].( 1R | 2R ) + [ 1R , 2R , 12AA ] .
Preuve :
CCCC(TTTT1 , TTTT2) = ( 1R | TTTT2(A2)) + ( 2R | TTTT1(A1)) + [ 1R , 2R , 12AA ] en vertu du corollaire 1 du th 1.
= ²)(
2
2
RTq ( 1R | 2R ) + ( 1R | 2R ∧∧∧∧ 12AA ) +
²)(
1
1
RTq ( 1R | 2R ). Cqfd.
Corollaire : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes non nulles 1R et 2R , ∆1 et ∆2 leurs axes centraux respectifs.
C C C C(TTTT1 , TTTT2) = [²)(
1
1
RTq
+ ²)(
2
2
RTq ].( 1R | 2R ) ± d(∆1, ∆2).|| 1R ∧∧∧∧ 2R ||.
Preuve : Supposons d’abord 1R ∧∧∧∧ 2R ≠ 0 . Les deux axes centraux ne sont pas parallèles.
Soit D leur perpendiculaire commune. Elle coupe ∆1 en A1 et ∆2 en A2. d(∆1, ∆2) = || 21 AA ||.
[ 1R , 2R , 12AA ] = [ 12AA , 1R , 2R ] = ( 12AA | 1R ∧∧∧∧ 2R )
= ± || 12AA ||.|| 1R ∧∧∧∧ 2R || , car les vecteurs 12AA et 1R ∧∧∧∧ 2R sont colinéaires
= ± d(∆1, ∆2).|| 1R ∧∧∧∧ 2R || . La formule ci-dessus est établie.
Si 1R ∧∧∧∧ 2R = 0 , 1R et 2R sont colinéaires, les deux axes centraux sont parallèles.
Et alors [ 1R , 2R , 12AA ] = 0. La formule ci-dessus reste valable. 5.2. Orthogonalités.
Définition 3 : Deux torseurs TTTT1 et TTTT2 de résultantes 1R et 2R sont dits
CCCC-orthogonaux (ce qu’on note TTTT1 ⊥ TTTT2) s’ils vérifient C C C C(TTTT1 , TTTT2) = 0.
orthogonaux (ce qu’on note TTTT1 ⊥⊥ TTTT2) s’ils vérifient : ( 1R | 2R ) = 0 et CCCC(TTTT1 , TTTT2) = 0.
Si TTTT1 = Φ(A, 1R , 1G ) et TTTT2 = Φ(A, 2R , 2G ) ,
T T T T1 ⊥ TTTT2 ⇔ ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) = 0
T T T T1 ⊥⊥ TTTT2 ⇔ ( 1R | 2R ) = 0 et ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) = 0
Si TTTT1 = Φ(A1, 1R , 1G ) et TTTT2 = Φ(A2, 2R , 2G ) ,
T T T T1 ⊥ TTTT2 ⇔ ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) + [ 1R , 2R , 12AA ] = 0
T T T T1 ⊥⊥ TTTT2 ⇔ ( 1R | 2R ) = 0 et ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) + [ 1R , 2R , 12AA ] = 0
Analytiquement :
− la CCCC -orthogonalité se traduit par une condition :
a1.X2 + b1.Y2 + c1.Z2 + a2.X1 + b2.Y1 + c2.Z1 = 0
− l’orthogonalité se traduit par deux conditions : a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0
a1.X2 + b1.Y2 + c1.Z2 + a2.X1 + b2.Y1 + c2.Z1 = 0
15
Exemples : a) Le seul torseur orthogonal à lui-même est le torseur nul. Les torseurs CCCC-orthogonaux à eux-mêmes seront étudiés au § 6.
b) Deux couples sont toujours orthogonaux. En effet, 1R = 2R = 0 .
Proposition 3 : Soit TTTT un torseur donné. L’ensemble des torseurs CCCC-orthogonaux (resp. orthogonaux) à TTTT est un sous-espace vectoriel de T(EEEE). i) Si TTTT = 0, ils sont tous deux de dimension 6. Si TTTT est non nul, le premier est de dimension 5. ii) Si TTTT est un couple non nul, l’orthogonal de TTTT est de dimension 5.
iii) Si TTTT a une résultante R non nulle, l’orthogonal de TTTT est de dimension 4.
Preuve : i) La première assertion est facile. Si TTTT est non nul, la forme linéaire CCCC(TTTT, .) est non nulle, car le comoment CCCC est une fbs non dégénérée, donc le CCCC–orthogonal de TTTT est de dimension 5.
ii) Si TTTT = c(u ) est un couple non nul, le torseur TTTT’ = Φ(A, R ,G ) est orthogonal à T T T T ssi (u |R ) = 0,
G étant quelconque. (R ,G ) décrit un espace de dimension 5.
iii) Si TTTT a une résultante R non nulle. Choisissons un repère orthonormé direct (O,i , j ,k ) tel que
TTTT(O) ait pour composantes (0, 0, Z0) et R pour composantes (0, 0, c), c ≠ 0.
Si TTTT2 a pour coordonnées (a2 , b2 , c2 , X2 , Y2 , Z2), l’orthogonalité de TTTT2 et TTTT se traduit par :
c.c2 = 0 et c.Z2 + c2.Z0 = 0
c’est-à-dire par c2 = 0 et Z2 = 0. cqfd.
Varainte : montrer que les formes linéaires
( 2R , 2G ) → ( 1R | 2R ) et ( 2R , 2G ) → ( 1R | 2G ) + ( 2R | 1G ) sont indépendantes.
Théorème 4 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes non nulles 1R et 2R . Ils sont orthogonaux si et seulement si leurs axes centraux se coupent à angle droit.
Preuve :
a) Si les axes centraux de TTTT1 et TTTT2 se coupent à angle droit, on a d’abord ( 1R | 2R ) = 0. De plus, si A est à l’intersection des deux axes centraux,
C C C C(TTTT1 , TTTT2) = ( 1R | TTTT2(A)) + ( 2R | TTTT1(A)) = ( h2 + h1 ).( 1R | 2R ) = 0.
b) Supposons réciproquement ( 1R | 2R ) = 0 et CCCC(TTTT1 , TTTT2) = 0.
Il résulte alors du corollaire du théorème 3 que d(∆1, ∆2).|| 1R ∧∧∧∧ 2R || = 0.
Comme 1R et 2R sont non nuls et orthogonaux, ils ne sont pas parallèles.
Donc 1R ∧∧∧∧ 2R ≠ 0 et d(∆1, ∆2) = 0. cqfd.
6. Torseurs élémentaires : couples et glisseurs. 6.1. Définition, inventaire.
Définition 1 : Un torseur TTTT est dit élémentaire s’il vérifie q(TTTT) = 0, autrement dit s’il est isotrope pour la forme quadratique q, ou encore s’il est CCCC-orthogonal à lui-même.
Le torseurs élémentaires sont parfois appelés « torseurs dégénérés ». Nous allons voir qu’il y a deux sortes de torseurs élémentaires, déjà rencontrés, et ayant des interprétations physiques différentes.
Soit TTTT un torseur élémentaire. Alors ∀∀∀∀P ∈∈∈∈ EEEE ( R | TTTT(P)) = 0.
Distinguons deux cas :
16
1er cas : R = 0 . La condition précédente est vérifiée. Le torseur est un champ constant, appelé couple.
2ème cas : R ≠ 0 . Soit ∆ l’axe central du torseur TTTT. Il existe un réel h tel que TTTT(A) = hR pour tout
point A ∈ ∆. Le point A étant fixé, on a q(TTTT) = (R |TTTT(A)) = h.||R ||2.
q(TTTT) = 0 équivaut à h = 0, donc à TTTT(A) = 0 pour tout point A ∈ ∆.
∀∀∀∀P ∈∈∈∈ EEEE ∀∀∀∀A ∈∈∈∈ ∆ TTTT(P) = R∧∧∧∧ AP = PA∧∧∧∧ R .
Réciproquement, s’il existe un point A tel que TTTT(A) = 0 , alors q(TTTT) = 0.
Proposition 1 : Les torseurs élémentaires sont de deux types : couples c(u ) et glisseurs g(A,R ).
Définition 2 : Un couple est un torseur constant, autrement dit de résultante nulle. Un glisseur est un torseur non constant dont l’invariant scalaire est nul, ou le torseur nul.
Proposition 2 : Pour qu’un torseur soit un glisseur, il faut et il suffit qu’il existe un point A ∈∈∈∈ EEEE tel
que TTTT(A) = 0 .
Proposition 3 : Les couples forment un sous-espace vectoriel de dimension 3 de T(EEEE), noté C(EEEE). Les glisseurs ne forment pas un sous-espace vectoriel de T(EEEE) : la somme de deux glisseurs n’est pas toujours un glisseur. Ils forment un cône symétrique de T(EEEE), noté G(EEEE).
Preuve : La première assertion est évidente. Si l’on note c(u ) le couple constant prenant la valeur u ,
l’application u ∈ E → c(u ) ∈ C(EEEE) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. 6.2. Descriptions des glisseurs.
Définition 3 : On appelle vecteur glissant tout couple (∆, R ) formé d’une droite affine ∆ de EEEE et
d’un vecteur non nul R de E parallèle à ∆. La droite ∆ est appelée support du vecteur glissant, le
vecteur R son vecteur-directeur.
Proposition 4 : La correspondance qui à un glisseur non nul GGGG associe le vecteur glissant (∆, R ), où
∆ est l’axe central de GGGG et R sa résultante, est bijective.
La bijection réciproque est notée g : (∆, R ) → GGGG = g(∆, R ). 6.3. Moment d’un torseur par rapport à un axe.
Appelons axe un couple D = (D, u ) formé d’une droite et d’un vecteur unitaire parallèle à D. Chaque droite D donne naissance à deux axes. Si TTTT est un torseur, et si A et B sont deux points de D, on a par équiprojectivité
(AB | TTTT(A)) = ( AB | TTTT(B)) , donc : (u | TTTT(A)) = (u | TTTT(B)).
Ce réel est indépendant du point A.
Définition : On appelle moment du torseur TTTT par rapport à l’axe D = (D, u ) la mesure algébrique de la projection du moment de TTTT en un point quelconque de D.
Ce moment est noté TTTT( D ).
Proposition : Le moment du torseur TTTT par rapport à l’axe D n’est autre que le comoment de TTTT et du
glisseur g(D, u ).
Preuve : Si A est un point de D, il vient :
C C C C(TTTT, g(D, u )) = CCCC(Φ(A, R , TTTT(A)), Φ(A, u , 0 )) = (u | TTTT(A)) = TTTT( D ).
17
Corollaire : Pour tout axe D = (D, u ), l’application TTTT → TTTT( D ) est une forme linéaire non nulle sur T(EEEE).
Corollaire : L’ensemble des torseurs ayant un moment nul par rapport à un axe est un hyperplan de T(EEEE), i.e. un sous-espace de dimension 5. 6.5. Exemple.
Rapportons EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ). Soient TTTT un torseur, (a, b, c) les
composantes de R , et (X0, Y0, Z0) celles de TTTT(O) dans la base (i , j , k ).
Alors TTTT = a.g(O, i ) + b.g(O, j ) + c.g(O, k ) + X0.c(i ) + Y0,c( j ) + Z0.c(k ).
Autrement dit (g(O, i ), g(O, j ), g(O, k ), c(i ), c( j ), c(k )) est une base de T(EEEE) formée de torseurs élémentaires : trois glisseurs, trois couples. La matrice de Gram du comoment relativement à cette base est :
000100000010000001100000010000001000
.
6.6. Espaces vectoriels de torseurs élémentaires.
1) Les couples forment un sous espace C(EEEE) de T(EEEE) de dimension 3.
En réalité, on a ici un bel exemple de suite exacte :
E → T(EEEE) → E
u → c(u )
T T T T ∈ T(EEEE) → R ∈ E.
L’ensemble G(EEEE) des glisseurs contient des sous-espaces vectoriels intéressants :
2) Soit A un point de EEEE. Considérons l’application TTTT ∈ T(EEEE) → TTTT(A) ∈ E.
Elle est linéaire surjective, car tout vecteur u vérifie par exemple u = TTTT(A), où TTTT = c(u ).
Son noyau est donc de dimension 3. Il est formé des torseurs nuls en A, autrement dit des glisseurs
dont l’axe passe par A (y compris le glisseur nul). Leur ensemble est noté GA(EEEE).
On a ici encore un bel exemple de suite exacte :
E → T(EEEE) → E
R → g(A,R )
T T T T ∈ T(EEEE) → TTTT(A) ∈ E.
3) Soient A et B deux points distincts de EEEE. Considérons l’application
TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B)) ∈ E×E.
Elle est linéaire, mais n’est ni injective, ni surjective. Son noyau GA(EEEE) ∩ GB(EEEE) est formé des torseurs nuls en A et B, autrement dit des glisseurs dont l’axe est la droite (AB) (y compris le
glisseur nul). Ces glisseurs forment une droite vectorielle, car il vérifient : TTTT(A) = 0 , R = λ AB .
4) Soient A, B et C trois points non alignés de EEEE. Considérons l’application
TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B), TTTT(C)) ∈ E×E×E.
18
Elle est linéaire injective, car le seul glisseur dont l’axe passe par A, B et C est le glisseur nul. On retrouve une propriété énoncée en 3.3.
5) Soit G un glisseur non nul, d’axe central ∆. Les glisseurs d’axe central ∆ et le glisseur nul sont les glisseurs de la forme λG, où λ décrit R. Ils forment une droite vectorielle incluse dans G(EEEE). Toutes les droites vectorielles incluses dans G(EEEE) sont de ce type. 6.7. Analytique.
Reprenant les notations de 3.2., les torseurs élémentaires sont ceux qui vérifient :
a.X0 + b.Y0 + c.Z0 = 0. Ils forment une hyperquadrique dans l’espace de dimension 6 T(EEEE).
Cette hyperquadrique contient le sous-espace de dimension 3 défini par a = b = c = 0 (les couples).
7. Décompositions d’un torseur en torseurs élémentaires. 7.1. Somme d’un glisseur et d’un couple.
Proposition 1 : Tout torseur T T T T peut s’écrire comme somme d’un glisseur et d’un couple.
Preuve : cela découle du résultat plus précis suivant :
Proposition 2 : Pour tout point A de EEEE, il existe un unique couple (GGGGA, CCCC) formé d’un glisseur GGGGA
dont l’axe passe par A et d’un couple CCCC tels que TTTT = GGGGA + CCCC.
Autrement dit on a la somme directe T(EEEE) = GA(EEEE) ⊕ C(EEEE).
Preuve : Les sous-espaces vectoriels GA(EEEE) et C(EEEE) de T(EEEE) sont de dimension 3 et leur intersection est 0, car le seul torseur qui soit à la fois couple et glisseur est le torseur nul.
Soient TTTT un torseur, (R , TTTT(A)) ses éléments de réduction au point A.
∀∀∀∀P ∈∈∈∈ EEEE TTTT(P) = TTTT(A) + R∧∧∧∧ AP .
On voit aussitôt que TTTT est la somme :
• du couple CCCCA égal au champ constant P → TTTT(A)
• du glisseur GGGGA défini par GGGGA(P) = R∧∧∧∧ AP . Si R ≠≠≠≠ 0 , l’axe central de GGGGA passe par A. 7.2. Somme de deux glisseurs.
Théorème : décomposition d’un couple en somme de deux glisseurs.
Pour que deux glisseurs GGGG1 et GGGG2 aient pour somme un couple CCCC, il faut et il suffit que leurs
résultantes soient opposées. Si GGGG1 et GGGG2 ont même axe central, CCCC = GGGG1 + GGGG2 = 0 ; s’ils ont des axes centraux parallèles et distincts, le moment C de CCCC est orthogonal à ces axes centraux et égal à
Corollaire : Tout couple CCCC de moment constant se décompose d’une infinité de manières comme
somme de deux glisseurs GGGG1 et GGGG2. Si CCCC = 0, GGGG1 et GGGG2 ont même axe et des résultantes opposées.
Sinon, GGGG1 et GGGG2 ont des axes parallèles, orthogonaux à C, des résultantes opposées et C = , d’où
Remarque : un glisseur représente un effort de traction, tandis qu’un couple, appliqué à un solide, tend à le faire tourner.
Théorème : Tout torseur TTTT de résultante non nulle se décompose d’une infinité de manières comme
somme de deux glisseurs. Si GGGG1 est un glisseur d’axe central non parallèle à R et tel que CCCC(TTTT, GGGG1), il y
a un glisseur unique GGGG2 tel que TTTT = GGGG1 + GGGG2.
19
Corollaire : Soient TTTT un torseur de résultante R non nulle, D une droite affine. Pour que TTTT se décompose en somme de deux glisseurs dont l’un admette D pour axe central, il suffit que D ne soit pas parallèle à R et ne soit pas une droite de moment nul de TTTT. La décomposition est alors unique.
8. Systèmes de glisseurs. Sur les systèmes de glisseurs existent toutes sortes de développements dans les vieux livres de taupe. Ne retenons que ce résultat :
Théorème du tétraèdre : Soit ABCD un tétraèdre propre, i.e. non aplati. Six glisseurs ayant pour axes centraux respectifs les arêtes de ce tétraèdre forment une base de l’espace vectoriel des torseurs.
Preuve : Notons GGGG1, GGGG2, …, GGGG6 les six glisseurs comme indiqué sur cette figure :
Cherchons la matrice de Gram du comoment relativement au sextuplet (GGGG1, GGGG2, …, GGGG6)
GGGG1, a un comoment nul avec GGGG1, …, GGGG5 , car c’est un glisseur dont l’axe rencontre les axes de GGGG1, …,
GGGG5. En revanche, CCCC(GGGG1, GGGG6) ≠ 0, car leurs axes ne se rencontrent pas.
De même, CCCC(GGGG2, GGGG5) ≠ 0 et C C C C(GGGG3, GGGG4) ≠ 0, tous les autres comoments étant nuls.
La matrice de Gram est donc de la forme
0000000000000000000000000
00000
αβ
γγ
βα
, où α, β et γ sont non nuls.
Cette matrice étant inversible, on en déduit que (GGGG1, GGGG2, …, GGGG6) est une base de T(EEEE). On peut donner bien d’autres démonstrations de ce théorème.
9. Produit vectoriel de deux torseurs. Commençons par rappeler l’identité de Jacobi, bien connue des élèves de Seconde :
∀( x , y , z ) ∈ E×E×E x ∧∧∧∧ ( y ∧∧∧∧ z ) + y ∧∧∧∧ ( z ∧∧∧∧ x ) + z ∧∧∧∧ ( x ∧∧∧∧ y ) = 0 .
Théorème et définition : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes respectives 1R et 2R .
Le champ de vecteurs TTTT défini par : TTTT(P) = 1R ∧∧∧∧ T T T T2(P) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(P).
est un torseur, de résultante R = 1R ∧∧∧∧ 2R .
Ce torseur est appelé produit vectoriel des torseurs T T T T1 et TTTT2 , et noté T T T T = TTTT1 ∧ TTTT2 .
20
Preuve : TTTT(Q) − TTTT(P) = 1R ∧∧∧∧ ( T T T T2(Q) − TTTT2(P) ) − 2R ∧∧∧∧ ( TTTT1(Q) − TTTT1(P) ).
= 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ PQ) − 2R ∧∧∧∧ ( 1R ∧∧∧∧ PQ)
= 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ PQ) + 2R ∧∧∧∧ ( PQ∧∧∧∧ 1R )
= (1R ∧∧∧∧ 2R ) ∧∧∧∧ PQ en vertu de l’identité de Jacobi.
Exemples :
Si TTTT1 = Φ(A, 1R , 1G ) et TTTT2 = Φ(A, 2R , 2G ) , TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 = Φ(A, 1R ∧∧∧∧ 2R , 1R ∧∧∧∧ 2G − 2R ∧∧∧∧ 1G ).
Si CCCC 1 = c(u ) et TTTT2 = Φ(A, 2R , 2G ) , TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 = c(u ∧∧∧∧ 2R ).
Si CCCC1 = c( 1u ) et CCCC2 = c( 2u ) , CCCC1 ∧∧∧∧ CCCC2 = 0.
Si GGGG1 = g(A, 1R ) et GGGG2 = g(A, 2R ) , GGGG1 ∧∧∧∧ GGGG2 = g(A, 1R ∧∧∧∧ 2R ).
Si GGGG1 = g(A1, 1R ) et GGGG2 = g(A2, 2R ) sont deux glisseurs, un rapide calcul montre que :
( GGGG1 ∧∧∧∧ GGGG2 )(P) = 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ 12AA ) + ( 1R ∧∧∧∧ 2R ) ∧∧∧∧ PA1 .
Autrement dit GGGG1 ∧∧∧∧ GGGG2 = Φ(A1 , 1R ∧∧∧∧ 2R , 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ 12AA ) ).
Théorème 2 : L’application ( TTTT1 , TTTT2 ) → TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est bilinéaire antisymétrique et vérifie l’identité de Jacobi :
T T T T1 ∧∧∧∧ ( TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3 ) + TTTT2 ∧∧∧∧ ( TTTT3 ∧∧∧∧ TTTT1 ) + TTTT3 ∧∧∧∧ ( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ) = 0 .
Preuve :
[TTTT1 ∧∧∧∧ ( TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3 )](M) = 1R ∧∧∧∧ (TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3)(M) − ( 2R ∧∧∧∧ 3R ) ∧∧∧∧ TTTT1(M)
= 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ T T T T3(M) − 3R ∧∧∧∧ TTTT2(M)) − ( 2R ∧∧∧∧ 3R ) ∧∧∧∧ TTTT1(M)
= 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ T T T T3(M)) − 1R ∧∧∧∧ ( 3R ∧∧∧∧ TTTT2(M)) − ( 2R ∧∧∧∧ 3R ) ∧∧∧∧ TTTT1(M).
[TTTT2 ∧∧∧∧ ( TTTT3 ∧∧∧∧ TTTT1 )](M) = 2R ∧∧∧∧ ( 3R ∧∧∧∧ T T T T1(M)) − 2R ∧∧∧∧ ( 1R ∧∧∧∧ TTTT3(M)) − ( 3R ∧∧∧∧ 1R ) ∧∧∧∧ TTTT2(M).
[TTTT3 ∧∧∧∧ ( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 )](M) = 3R ∧∧∧∧ ( 1R ∧∧∧∧ T T T T2(M)) − 3R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ TTTT1(M)) − ( 1R ∧∧∧∧ 2R ) ∧∧∧∧ TTTT3(M).
Par échange circulaire des indices. Si l’on additionne les trois égalités, il vient, en notant TTTT le torseur de gauche :
TTTT(M) = 1R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ T T T T3(M)) − 2R ∧∧∧∧ ( 1R ∧∧∧∧ TTTT3(M)) − ( 1R ∧∧∧∧ 2R ) ∧∧∧∧ TTTT3(M).
− 1R ∧∧∧∧ ( 3R ∧∧∧∧ TTTT2(M)) − ( 3R ∧∧∧∧ 1R ) ∧∧∧∧ TTTT2(M) + 3R ∧∧∧∧ ( 1R ∧∧∧∧ T T T T2(M)).
− ( 2R ∧∧∧∧ 3R ) ∧∧∧∧ TTTT1(M) + 2R ∧∧∧∧ ( 3R ∧∧∧∧ T T T T1(M)) − 3R ∧∧∧∧ ( 2R ∧∧∧∧ TTTT1(M)) = 0 .
en appliquant trois fois l’identité de Jacobi.
Il résulte de ce qui précède que T(EEEE) est une algèbre de Lie de dimension 6. Les glisseurs nuls en A en forment un sous-algèbre de Lie de dimension 3, les couples forment un idéal commutatif.
Proposition 3 : L’invariant scalaire de TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est donné par :
q( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ) = || 1R ||2.q(TTTT2) + || 2R ||2.q(TTTT1) − ( 1R | 2R ).CCCC(TTTT1 , TTTT2) .
Preuve :
q( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ) = ( 1R ∧∧∧∧ 2R | ( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 )(P)) = ( 1R ∧∧∧∧ 2R | 1R ∧∧∧∧ T T T T2(P) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(P) )
= ( 1R ∧∧∧∧ 2R | 1R ∧∧∧∧ T T T T2(P) ) − ( 1R ∧∧∧∧ 2R | 2R ∧∧∧∧ TTTT1(P) )
= || 1R ||2.q(TTTT2) + || 2R ||2.q(TTTT1) − ( 1R | 2R ).CCCC(TTTT1 , TTTT2) .
en utilisant l’identité : ( a ∧∧∧∧ b |c ∧∧∧∧ d ) = ( a |c ).(b |d ) − ( a |d ).(b |c ).
21
Corollaire : Si les torseurs TTTT1 et TTTT2 sont élémentaires, TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est élémentaire ssi :
( 1R | 2R ).CCCC(TTTT1 , TTTT2) = 0.
Proposition 4 : Le torseur TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est orthogonal à chacun des torseurs TTTT1 et TTTT2 .
Preuve : Le torseur TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est orthogonal au torseur TTTT1 car :
1) sa résultante 1R ∧∧∧∧ 2R est orthogonale à 1R .
2) CCCC(TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 , TTTT1) = ( 1R ∧∧∧∧ 2R | T T T T1(M)) + ((TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2)(M) | 1R )
= ( 1R ∧∧∧∧ 2R | T T T T1(M)) + (( 1R ∧∧∧∧ T T T T2(M) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(M) | 1R )
= [1R , 2R , T T T T1(M)] + [ 1R , TTTT2(M) , 1R ] − [ 2R , TTTT1(M), 1R ]
= [1R , 2R , T T T T1(M)] − [ 2R , TTTT1(M), 1R ] = 0
car le produit mixte est alterné et antisymétrique.
En échangeant les rôles, TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est orthogonal au torseur TTTT2 .
Théorème 5 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes respectives 1R et 2R .
i) Si 1R ∧∧∧∧ 2R = 0 , le torseur TTTT = TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est un couple.
ii) Si 1R ∧∧∧∧ 2R ≠ 0 , l’axe central du torseur TTTT = TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est la perpendiculaire commune des axes
centraux de TTTT1 et TTTT2 .
Preuve :
i) Si 1R ∧∧∧∧ 2R = 0 , le torseur TTTT = TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est de résultante nulle. C’est donc un couple.
C’est le couple TTTT = c( 1R ∧∧∧∧ T T T T2(P) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(P)), vecteur indépendant du point P.
ii) Si 1R ∧∧∧∧ 2R ≠ 0 , alors 1R et 2R sont non nuls et non colinéaires.
Nous venons de voir que TTTT = TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 est orthogonal à TTTT1 et à TTTT2 . En vertu de la prop 4 du § 5,
l’axe central de TTTT rencontre à angle droit les axes centraux de TTTT1 et de TTTT2. C’est donc leur perpendiculaire commune. CQFD
Proposition 6 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes non nulles 1R et 2R .
On a l’équivalence : TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 = 0 si et seulement si TTTT1 et TTTT2 ont même axe central.
Preuve :
a) Supposons que TTTT1 et TTTT2 ont même axe central ∆. Alors 1R et 2R sont colinéaires, donc 1R ∧∧∧∧ 2R =
0 . Si A est un point de l’axe central, TTTT(A) = 1R ∧∧∧∧ T T T T2(A) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(A) = ( h1 + h2 ).( 1R ∧∧∧∧ 2R ) = 0 .
b) Supposons TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 = 0. Alors 1R ∧∧∧∧ 2R = 0 . Les vecteurs 1R et 2R sont colinéaires, et les axes
centraux sont parallèles. Soit A un point de l’axe central de TTTT1.
TTTT(A) = 1R ∧∧∧∧ T T T T2(A) − 2R ∧∧∧∧ TTTT1(A) = 1R ∧∧∧∧ T T T T2(A) = 0
Par conséquent T T T T2(A) est colinéaire à 1R , donc A appartient à l’axe central de TTTT2. cqfd
22
11. Théorème de Petersen-Morley. Les torseurs sont utiles principalement en cinématique et en mécanique, mais les matheux ont une fâcheuse tendance à « tirer la couverture à eux » : quand ils s’emparent d’un sujet, ils l’approfon-dissent à leur guise, sans plus s’occuper de ses applications pratiques. S’ils en cherchent des applications, ce sont des applications purement mathématiques. Le théorème suivant, de nature purement géométrique, illustre bien cette marotte, et apparaît comme une cerise sur le gâteau.
Théorème de Petersen2-Morley
3 : Soient D1, D2, D3 trois droites affines non coplanaires, ∆1 la
perpendiculaire commune à D2 et D3, ∆2 la perpendiculaire commune à D3 et D1, ∆3 la
perpendiculaire commune à D1 et D2, et enfin Li la perpendiculaire commune à Di et ∆i (1 ≤ i ≤ 3).
Alors il existe une même droite L rencontrant chacune des droites Li à angle droit.
Preuve : Il existe des preuves purement géométriques de ce résultat. Nous allons donner une preuve utilisant les résultats du § précédent.
Soient TTTT1, TTTT2 et TTTT3 trois glisseurs d’axes centraux respectifs D1, D2 et D3 . Il résulte de ce qui précède que :
∆1 est l’axe central de TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3 ,
∆2 est l’axe central de TTTT3 ∧∧∧∧ TTTT1 , ∆3 est l’axe central de TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ,
L1 est l’axe central de TTTT1 ∧∧∧∧ ( TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3 ) , L2 est l’axe central de TTTT2 ∧∧∧∧ ( TTTT3 ∧∧∧∧ TTTT1 ) , L3 est l’axe central de TTTT3 ∧∧∧∧ ( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ) .
Les trois torseurs TTTT1 ∧∧∧∧ ( TTTT2 ∧∧∧∧ TTTT3 ) , TTTT2 ∧∧∧∧ ( TTTT3 ∧∧∧∧ TTTT1 ) et TTTT3 ∧∧∧∧ ( TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 ) ont des résultantes non nulles et ont une somme nulle en vertu de l’identité de Jacobi.
Proposition : Soient TTTT1 , TTTT2 et TTTT3 trois torseurs de résultantes non nulles, tels que TTTT1 + TTTT2 + TTTT3 = 0. Il existe au moins une droite rencontrant à angle droit les axes centraux de TTTT1 , TTTT2 et TTTT3.
Preuve : Notons 1R , 2R et 1R les résultantes respectives des trois torseurs.
Considérons le torseur TTTT = TTTT1 ∧∧∧∧ TTTT2 . Il est orthogonal à TTTT1 , TTTT2 et à T T T T3 = − TTTT1 − TTTT2 .
Si 1R et 2R sont non colinéaires, i.e. 1R ∧∧∧∧ 2R ≠ 0 , l’axe central de TTTT rencontre à angle droit les
axes centraux de TTTT1, TTTT2 et TTTT3.
Si 1R et 2R sont colinéaires, i.e. 1R ∧∧∧∧ 2R = 0 ,
2 Julius Peter Christian Petersen (Sorø, 1839 – Copenhague, 1910), mathématicien danois, un des fondateurs de la Société mathématique du Danemark en 1873. Il a introduit en 1898 le graphe de Petersen, qui possède 10 sommets et 15 arêtes ; ce graphe sert d’exemple et de contre-exemple dans plusieurs problèmes de théorie des graphes. 3 Frank Morley (Woodbridge, Suffolk, 1860 – Baltimore, Maryland, 1937), mathématicien anglo-américain surtout connu pour son enseignement et ses recherches en algèbre et en géométrie. Il a en prouvé le théorème de Morley en géométrie plane. Il a fait ses études au King’s College de Cambridge, avant de partir en Pennsylvanie en 1887. Il enseigna au Haverford College jusqu’en 1900, puis dirigea le département de mathématiques de l’université Johns-Hopkins. Il a dirigé une cinquantaine de doctorants, dirigé l’American Journal of Mathematics de 1900 à 1921 et publié plusieurs ouvrages.
23
11. Annexe Maple.
Ce programme suivant prend en argument un triplet (A, R ,G ), c’est-à-dire neuf réels, et étudie le
torseur TTTT = Φ(A, R ,G ).
> with(linalg): > torseur:=proc(A,R,G) > local q,M,x,y,z,lambda; M:=vector([x,y,z]); print(" moment de T en M : ",evalm(G+crossprod(R,ev alm(M-A)))); > q:=dotprod(R,G);print(" invariant scalaire de T : " ,q); > if q = 0 then print(" T est décomposé ");fi; > if iszero(R) then print (" T est le couple de momen t", G); > else if q = 0 then print(" T est un glisseur ");fi; > print(" axe central de T: ", scalarmul(crossprod(R,G),1/norm(R,2)^2)+scalarmul(R ,lambda));fi;end;
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([2,5,4]);G:=vector([3, -4,9]);torseur(A,R,G); := A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,2 5 4 := G [ ], ,3 -4 9
," moment de T en M : "[ ], , + − 3 5 z 4 y − + − 4 4 x 2 z + − 9 2 y 5 x ," invariant scalaire de T : "22
," axe central de T: " +
, ,
6145
-215
-2345
[ ], ,2 λ 5 λ 4 λ
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([0,0,0]);G:=vector([3, -4,9]);torseur(A,R,G); := A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,0 0 0 := G [ ], ,3 -4 9
," moment de T en M : "[ ], ,3 -4 9 ," invariant scalaire de T : "0
" T est décomposé " ," T est le couple de moment"[ ], ,3 -4 9
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([1,1,1]);G:=vector([4, -3,-1]);torseur(A,R,G);
:= A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,1 1 1 := G [ ], ,4 -3 -1 ," moment de T en M : "[ ], , + − 4 z y − + − 3 x z − + − 1 y x
," invariant scalaire de T : "0 " T est décomposé " " T est un glisseur "
," axe central de T: " +
, ,
23
53
-73
[ ], ,λ λ λ
_____________
24
Annexe Le jésuite Pierre Varignon (Caen, 1654 – Paris, 1722) fut un des géomètres français les plus célèbres de son temps, auteur d’importantes contributions à la statique, notamment par la formalisation du triangle des forces et des conditions d’équilibre en trois dimensions. Si l’on en croit la gravure ci-contre, il avait une bonne bouille…
Fils d’un architecte (le capital culturel, déjà !), Pierre Varignon se destine à la prêtrise, étudie la théologie et la philosophie au collège jésuite de Caen. La lecture d’un Euclide qui lui tomba sous la main éveilla son goût pour les mathématiques, et celle des ouvrages de Descartes détermina son choix. Ordonné prêtre, il vint à Paris en 1686 avec l’abbé de Saint-Pierre qui lui fit une pension de 300 livres. Son Projet d’une nouvelle mécanique lui vaut une chaire de mathématiques au collège Mazarin. En novembre 1688, il devient membre de la section de géométrie de l’Académie royale des sciences. Il est nommé premier titulaire par Louis XIV, le 28 janvier 1699. En 1706, il succède à Jean-Baptiste Du Hamel dans sa chaire de philosophie grecque et latine au Collège de France. Il est élu à l’Académie de Berlin en 1713 et à la Royal Society en 1714. La correspondance qu’il a entretenue avec Leibniz, Newton et surtout les frères Bernoulli lui a permis de devenir, avec le marquis de l’Hôpital, l’un des promoteurs les plus actifs de l’introduction en France du calcul différentiel et intégral créé par Leibniz.
En géométrie, le théorème de Varignon affirme que la figure obtenue en joignant les milieux des côtés d’un quadrilatère quelconque est un parallélogramme. Si l’on joint les milieux des côtés d’un carré, on obtient un carré ; si l’on fait de même avec un rectangle, on obtient un losange ; avec un losange, on obtient un rectangle. Ces propriétés, conséquences faciles du théorème de Thalès, étaient certainement connues avant lui.
En mécanique statique, Varignon démontre en 1688 la règle de composition des forces concourantes énoncée plus tôt par Simon Stevin, et par Jordanus Nemorarius (1225 - 1260).
En cinématique, il formalise les définitions de la vitesse instantanée et de l’accélération. Dans deux communications à l’Académie des sciences (5 juillet 1698 et 20 janvier 1700), il définit tout d’abord la notion de vitesse instantanée (qu’il nomme vitesse en chaque instant) puis celle d’accélération en appliquant le calcul différentiel de Leibinz à la trajectoire d’un corps. Il montre qu’il est possible de déduire l’accélération d’un corps à partir de sa vitesse instantanée par une simple opération de dérivation. Étonnamment, ces résultats ont été si rapidement adoptés par la communauté scientifique de son temps que leur auteur a été un peu oublié. Pourtant, en dépassant les méthodes géométriques de résolution des problèmes de mécanique du solide, il a ouvert la voie à d’Alembert et Lagrange : Varignon peut donc être considéré comme l'un des fondateurs de la mécanique analytique.
En instrumentation, il introduit en 1705 le manomètre, en adoptant le baromètre statique de Robert Boyle pour les expériences liées au développement des pompes à vide.
Très occupé par ses travaux et son enseignement, Varignon a laissé peu d’ouvrages. Ses disciples ont édité ses travaux d’après ses papiers. (source : wikipedia)
__________
25
Exercices
Exercice 1 : Dans l’espace euclidien orienté E de dimension 3, soient a , b et c trois vecteurs.
On suppose a et b libres. Résoudre l’équation a ∧∧∧∧ x + b ∧∧∧∧ y = c .
Solution :
1ère solution : En vertu des propriétés de la division vectorielle, il s’agit de démontrer que c est la
somme d’un vecteur orthogonal à a et d’un vecteur orthogonal à b .
Or E = a ⊥ + b ⊥
découle de dim( a ⊥ ∩ b ⊥
) = 1 et de la formule de Grassmann.
2ème solution : Comment résoudre concrètement l’équation a ∧∧∧∧ x + b ∧∧∧∧ y = c ?
Comme (a , b , a ∧∧∧∧ b ) est une base de E, écrivons c = pa + qb + r (a ∧∧∧∧ b )
et cherchons x et y sous la forme
x = α a + β b + γ (a ∧∧∧∧ b ) , y = λ a + µb + ν( a ∧∧∧∧ b ) ,
a ∧∧∧∧ x + b ∧∧∧∧ y = ( β − λ )(a ∧∧∧∧ b ) + γ [ (a |b ) a − ||a ||2 b ] + ν [ ||b ||
2a − (b |a )b ]
En identifiant on est ramené au système :
γ (a |b ) + ν ||b ||2 = p
γ ||a ||2
+ ν (b |a ) = − q β − λ = r
Les deux premières équations déterminent γ et ν de manière unique (système de Cramer). La dernière équation a une infinité de solutions, ce qui est logique.
Exercice 2 : A tout point M(x, y, z) de R3 on associe le vecteur f(M) de coordonnées :
X = 1 + (a – 2) y – b z , Y = (a – 4) x − 3b2 z , Z = 2 + b x + ( b
3 + 2b ) y ,
où a et b sont des paramètres réels. 1) Pour quelles valeurs de a et b ce champ de vecteur est-il équiprojectif ? 2) Pour chacune de ces valeurs, indiquer la résultante du torseur, son invariant scalaire et son axe central.
Solution :
Il est sous-entendu ici que R3 est muni de sa structure euclidienne canonique.
1) f est un champ affine, de matrice
+−−−−
02²304
20
3 bbbbaba
.
Cette matrice est antisymétrique ssi a – 2 = 4 – a et b3 + 2b = 3b
2 , i.e. a = 3 et b = 0, 1 ou 2.
2) Il reste à étudier les trois torseurs TTTT = Φ(O, R ,G ), où . G = [1, 0, 2] et
R = [0, 0, − 1] , [3, − 1, − 1] et [12, − 2, − 1]. Faisons-le à l’aide du programme Maple déjà cité.
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([0,0,-1]);G:=vector([1 ,0,2]);torseur(A,R,G); := A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,0 0 -1 := G [ ], ,1 0 2
," moment de T en M : "[ ], , + 1 y −x 2 ," invariant scalaire de T : "-2
," axe central de T: " + [ ], ,0 -1 0 [ ], ,0 0 −λ
26
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([3,-1,-1]);G:=vector([ 1,0,2]); torseur(A,R,G);
:= A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,3 -1 -1 := G [ ], ,1 0 2 ," moment de T en M : "[ ], , − + 1 z y − − x 3 z + + 2 3 y x
," invariant scalaire de T : "1
," axe central de T: " +
, ,
-211
-711
111
[ ], ,3 λ −λ −λ
> A:=vector([0,0,0]);R:=vector([12,-2,-1]);G:=vector( [1,0,2]); torseur(A,R,G);
:= A [ ], ,0 0 0 := R [ ], ,12 -2 -1
:= G [ ], ,1 0 2 ," moment de T en M : "[ ], , − + 1 2 z y − − x 12 z + + 2 12 y 2 x
," invariant scalaire de T : "10
," axe central de T: " +
, ,
-4149
-25149
2149
[ ], ,12 λ −2 λ −λ
Exercice 3 : Sans utiliser les résultats du chapitre, démontrer que :
∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ AM ⇔ G = H et R = S .
∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ BM ⇔ G = H + S∧∧∧∧ BA et R = S .
∀M ∈ EEEE ∑=
∧+p
iii AMRG
1
= ∑=
∧+q
jjj AMSH
1
⇔ ∑=
p
iiG
1
= ∑=
q
jjH
1
et ∑=
p
iiR
1
= ∑=
q
jjS
1
.
∀M ∈ EEEE ∑=
∧+p
iiii MARG
1
= ∑=
∧+q
jjjj MBSH
1
⇔
∑=
∧+p
iiii OARG
1
= ∑=
∧+q
jjjj OBSH
1
et ∑=
p
iiR
1
= ∑=
q
jjS
1
.
Solution :
a) Supposons ∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ AM .
Prenons M = A, alors G = H . Du coup ∀M ∈ EEEE R ∧∧∧∧ AM = S ∧∧∧∧ AM .
C’est-à-dire ∀M ∈ EEEE ( R − S) ∧∧∧∧ AM = 0 .
Ou encore ∀u ∈ E ( R − S) ∧∧∧∧ u = 0 .
Cela n’est possible que si R − S = 0 . Réciproque évidente.
b) Supposons ∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ BM .
Cela équivaut à ∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ BA + S∧∧∧∧ AM . On conclut à l’aide de a).
c) Supposons ∀M ∈ EEEE ∑=
∧+p
iii AMRG
1
= ∑=
∧+q
jjj AMSH
1
.
Cela s’écrit ∀M ∈ EEEE G + R∧∧∧∧ AM = H + S∧∧∧∧ AM .
où G = ∑=
p
iiG
1
, H = ∑=
q
jjH
1
, R = ∑=
p
iiR
1
et S = ∑=
q
jjS
1
. On conclut via a)
d) Enfin ∀M ∈ EEEE ∑=
∧+p
iiii MARG
1
= ∑=
∧+q
jjjj MBSH
1
27
équivaut à ∀M ∈ EEEE ∑=
∧+∧+p
iiiii OMROARG
1
= ∑=
∧+∧+q
jjjjj OMSOBSH
1
et l’on conclut via c). Exercice 4 : Reconnaître les torseurs
λ c(u ) + µ c(v ) , λ c(u ) + µ g(A, R ) , λ g(A, R ) + µ g(A, S) , λ g(A, R ) + µ g(B, S).
λ Φ(A , R , G ) + µ Φ(A , S , H ) , λ Φ(A , R , G ) + µ Φ(B , S , H ).
Réponses :
λ c(u ) + µ c(v ) = c(λu + µ.v )
λ c(u ) + µ g(A, R ) = Φ(A , µ R , λu )
λ g(A, R ) + µ g(A, S) = g(A , λ R + µ S)
λ g(A, R ) + µ g(B, S) = Φ(A, λ R + µ S , µ S∧∧∧∧ BA)
λ Φ(A , R , G ) + µ Φ(A , S , H ) = Φ(A , λ R + µ S , λ G + µ H )
λ Φ(A , R , G ) + µ Φ(B , S , H ) = Φ(A , λ R + µ S , λ G + µ H + µ S∧∧∧∧ BA) .
Exercice 5 : Coordonnées plückériennes.
1) Démontrer que les matrices de la forme
3
3
IAOI , où A décrit l’ensemble des matrices antisymé-
triques réelles 3×3, forment un sous-groupe multiplicatif de Gl6(R).
2) On rapporte EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ). Soient TTTT un torseur,
(a, b, c) les composantes de R ,
(X0, Y0, Z0) celles de TTTT(O) dans la base (i , j , k ) ,
(XA, YA, ZA) celles de TTTT(A) dans la base (i , j , k ).
Alors TTTT = a.g(O, i ) + b.g(O, j ) + c.g(O, k ) + X0.c(i ) + Y0,c( j ) + Z0.c(k ) , etc..
Quelle est la matrice de passage de BBBBO = (g(O, i ), g(O, j ), g(O, k ), c(i ), c( j ), c(k )) à
BBBBA = (g(A, i ), g(A, j ), g(A, k ), c(i ), c( j ), c(k )) ?
Quelle est la matrice de passage de BBBBA = (g(A, i ), g(A, j ), g(A, k ), c(i ), c( j ), c(k )) à
BBBBB = (g(B, i ), g(B, j ), g(B, k ), c(i ), c( j ), c(k )) ?
Solution :
1) L’application Α ∈ A3(R) →
3
3
IAOI ∈ Gl6(R) est un morphisme de groupes.
En effet
3
3
IAOI
3
3
IBOI =
+ 3
3
IBAOI . On conclut aussitôt.
Il en résulte que
3
3
IAOI a pour inverse
− 3
3
IAOI .
2) On a :
A
A
A
ZYX
=
O
O
O
ZYX
+
cba
∧∧∧∧
A
A
A
zyx
=
O
O
O
ZYX
−
−−
−
00
0
AA
AA
AA
xyxzyz
cba
28
D’où :
A
A
A
ZYXcba
=
−−
−
100001000010000100000010000001
AA
AA
AA
xyxzyz
.
O
O
O
ZYXcba
et
O
O
O
ZYXcba
=
−−
−
100001000010000100000010000001
AA
AA
AA
xyxzyz
A
A
A
ZYXcba
Il découle des formules de changement de base (voir cours de Calcul matriciel) que la matrice de
passage de BBBBO = (g(O, i ), g(O, j ), g(O, k ), c(i ), c( j ), c(k )) à
BBBBA = (g(A, i ), g(A, j ), g(A, k ), c(i ), c( j ), c(k )) est
−−
−
100001000010000100000010000001
AA
AA
AA
xyxzyz
.
A
A
A
ZYXcba
=
−−
−
100001000010000100000010000001
AA
AA
AA
xyxzyz
.
O
O
O
ZYXcba
=
−−
−
100001000010000100000010000001
AA
AA
AA
xyxzyz
−−
−
100001000010000100000010000001
BB
BB
BB
xyxzyz
B
B
B
ZYXcba
=
−−−−−−
100001000010000100000010000001
ABBA
BAAB
ABBA
xxyyxxzzyyzz
B
B
B
ZYXcba
Par conséquent, la matrice de passage de BBBBA = (g(A, i ), g(A, j ), g(A, k ), c(i ), c( j ), c(k )) à
BBBBB = (g(B, i ), g(B, j ), g(B, k ), c(i ), c( j ), c(k )) est
−−−−−−
100001000010000100000010000001
ABBA
BAAB
ABBA
xxyyxxzzyyzz
.
Exercice 6 : 1) Soient A et B deux points distincts de EEEE. On considère l’application :
TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B)) ∈ E×E. Quel est son noyau ? Quelle est son image ? 2) Soient A, B et C trois points non alignés de EEEE. On considère l’application :
TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B), TTTT(C)) ∈ E×E×E. Quel est son noyau ? Quelle est son image ? 3) Soient A, B, C et D quatre points sommets d’un vrai tétraèdre de EEEE. On considère l’application :
TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B), TTTT(C), TTTT(D)) ∈ E×E×E×E. Quel est son noyau ? Quelle est son image ?
Solution :
1) L’application ψ : TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B)) ∈ E×E est linéaire, mais n’est pas injective.
29
Son noyau GA(EEEE) ∩ GB(EEEE) est formé des torseurs nuls en A et B, autrement dit des glisseurs dont l’axe est la droite (AB) (y compris le glisseur nul). Ces glisseurs forment une droite vectorielle, car il
vérifient : TTTT(A) = 0 , R = λ AB .
Je dis que son image est Im ψ = ( G , H ) ∈ E×E ; (G −−−− H | AB ) = 0 .
L’inclusion Im ψ ⊂ ( G , H ) ∈ E×E ; (G −−−− H | AB ) = 0 découle de l’équiprojectivité.
Comme dim Im ψ = 5 et dim ( G , H ) ∈ E×E ; (G −−−− H | AB ) = 0 < 6, on conclut par égalité des dimensions.
2) L’application ψ : TTTT ∈ T(EEEE) → (TTTT(A), TTTT(B), TTTT(C)) ∈ E×E×E est linéaire injective, car le seul glisseur dont l’axe passe par A, B et C est le glisseur nul. En vertu du théorème du rang, Im ψ est un sous-espace de dimension 6 de E×E×E, ce qui signifie que les vecteurs TTTT(A), TTTT(B) et TTTT(C) ne sont pas quelconques. Ils satisfont à trois conditions linéaires indépendantes. Lesquelles ? Par équiprojectivité,
(TTTT(B) − TTTT(A) | AB ) = (TTTT(C) − TTTT(A) | AC ) = (TTTT(C) − TTTT(B) | BC ) = 0.
Je dis que Im ψ = ( G , H , K ) ∈ E×E ; ( H −−−− G | AB ) = ( K −−−− G | AC ) = ( K −−−− H |BC ) = 0 .
L’inclusion Im ψ ⊂ ( G , H , K ) ∈ E×E ; ( H −−−− G | AB ) = ( K −−−− G | AC ) = ( K −−−− H |BC ) = 0 . découle de l’équiprojectivité. Reste à montrer que
dim ( G , H , K ) ∈ E×E ; ( H −−−− G | AB ) = ( K −−−− G | AC ) = ( K −−−− H |BC ) = 0 = 6 . Pour cela, il faut établir que les trois formes linéaires
f : (G , H , K ) → ( H −−−− G | AB ) ,
g : (G , H , K ) → ( K −−−− G | AC )
et h : (G , H , K ) → ( K −−−− H |BC ) sont indépendantes. Je laisse cela au lecteur…
Exercice 7 : A quelle condition les glisseurs g(A, R ) et g(B, S) sont-ils égaux ?
Réponse : g(A, R ) = g(B, S) si et seulement si l’une des conditions est satisfaite :
R= S = 0 ou ( R= S ≠ 0 et ABest colinéaire à R). Exercice 8 : Décomposer les torseurs
M → ∑=
∧+p
iiii MARG
1
et M → ∫ ∧+1
0).)()()(( dsMsAsRsG
en somme d’un couple et d’un glisseur dont l’axe passe par A.
Solution : Il suffit d’écrire :
∑=
∧+p
iiii MARG
1
= ∑=
∧+p
iiii AARG
1
+ ∑=
p
iiR
1
)( ∧∧∧∧ AM
∫ ∧+1
0).)()()(( dsMsAsRsG = ∫ ∧+
1
0).)()()(( dsAsAsRsG + ( ∫
1
0.)( dssR ) ∧∧∧∧ AM
Exercice 9 : Soient TTTT un torseur de résultante R non nulle. Retrouver l’axe central de TTTT en choisissant un bon repère.
Solution : Rapportons EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ), choisi de telle sorte que R ait
pour composantes (0, 0, r), r = ||R || > 0. Soient (X0, Y0, Z0) celles de TTTT(O).
30
Si le point M a pour coordonnées (x, y, z), le vecteur TTTT(M) a pour composantes :
X = X0 – ry
Y = Y0 + rx
Z = Z0
TTTT(M) est colinéaire à R ssi X = Y = 0, i.e. x = − r
Y9 et y = r
X9 .
De plus TTTT(M) = α R ⇔ α = rZ9 =
)²
)((R
OTR.
Exercice 10 : Trouver et caractériser les torseurs perpendiculaires à une direction donnée, c’est-à-
dire vérifiant : ∃ k ∈ E , k ≠ 0 , ∀M ∈ EEEE ( k | TTTT(M)) = 0.
Solution :
1ère solution : Observons que, si k est fixé, ces torseurs forment un sous-espace vectoriel de T(EEEE).
Fixons un point O. La condition ∀M ∈ EEEE ( k | TTTT(M)) = 0
équivaut à (k | TTTT(O)) = 0 et ∀M ∈ EEEE ( k | TTTT(M) − TTTT(O)) = 0 ,
autrement dit à (k | TTTT(O)) = 0 et ∀M ∈ EEEE ( k |R∧∧∧∧ OM ) = 0 ,
ou encore à ( k | TTTT(O)) = 0 et ∀M ∈ EEEE [ k , R ,OM ] = 0 ,
ou encore à ( k | TTTT(O)) = 0 et ∀M ∈ EEEE ( k ∧∧∧∧ R |OM ) = 0 ,
ou encore à ( k | TTTT(O)) = 0 et k ∧∧∧∧ R = 0 ,
ou encore à ( k | TTTT(O)) = 0 et R colinéaire à k .
On en déduit aussitôt que le sous-espace vectoriel considéré est de dimension 3.
De plus ( k | TTTT(O)) = 0 et R colinéaire à k ⇒⇒⇒⇒ ( R | TTTT(O)) = q(TTTT) = 0 .
Tous les torseurs considérés sont élémentaires.
• Soit ce sont des couples c(u ) de moment k orthogonal à k ( plan vectoriel ) ;
• Soit ce sont des glisseurs g(∆, R ) dont l’axe central ∆ est parallèle à k .
2ème solution, analytique.
On peut supposer k unitaire, et rapporter EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ). Soient (a, b,
c) les composantes de R , (X0, Y0, Z0) celles de TTTT(O).
On veut que ( k | TTTT(M)) = 0 pour tout M, c’est-à-dire que Z0 + ay – bx = 0 pour tous (x, y, z).
Cela équivaut à a = b = Z0 = 0.
Les torseurs TTTT considérés ont pour coordonnées pluckériennes (0, 0, c, X0, Y0, 0). Ils forment un sous-espace vectoriel de T(EEEE) de dimension 3, sont tous élémentaires.
• Soit ce sont des couples c(u ) de moment k orthogonal à k ( plan vectoriel ) ;
• Soit ce sont des glisseurs g(∆, R ) dont l’axe central ∆ est parallèle à k .
Exercice 11 : Soient TTTT1 et TTTT2 deux torseurs de résultantes non nulles 1R et 2R . Démontrer analytiquement qu’ils sont orthogonaux si et seulement si leurs axes centraux se coupent à angle droit.
Solution :
Choisissons un repère orthonormé direct (O,i , j ,k ) tel que TTTT1(O) ait pour composantes (0, 0, Z0) et
R pour composantes (0, 0, c), c ≠ 0.
31
Si TTTT2 a pour coordonnées (a2 , b2 , c2 , X2 , Y2 , Z2), l’orthogonalité de TTTT1 et TTTT2 se traduit comme
on l’a vu, par : c2 = 0 et Z2 = 0.
L’axe central de TTTT1 est l’axe z’Oz. Celui de TTTT2 a pour équations, après calculs :
a2.y – b2.x = 0 , z = 22
22222 ..
baXbYa
é+− .
Il est horizontal et coupe à angle droit l’axe z’Oz au point (0, 0, 22
22
2222 ..ba
XbYa+− ). Cqfd.
Exercice 12 : Soient A, B, C trois points non alignés. Démontrer que tout torseur peut s’écrire comme somme de trois glisseurs, dont les axes passent respectivement par A, B et C. Cette décomposition est-elle unique ?
Solution : 1ère solution, directe.
Cherchons un triplet ( R , S ,T ) ∈ E×E×E tel que TTTT = g(A,R ) + g(B,S) + g(C,T )
Il doit vérifier ∀M TTTT(M) = R∧∧∧∧ AM + S∧∧∧∧ BM + T ∧∧∧∧ CM .
ou encore ∀M TTTT(M) = S∧∧∧∧ BA + T ∧∧∧∧ CA + ( R+ S+T ) ∧∧∧∧ AM .
Cela équivaut à S∧∧∧∧ BA + T ∧∧∧∧ CA = TTTT(A) et R + S + T = U , résultante de TTTT.
Or nous avons vu (exercice 1) qu’il existe des vecteurs S et T , non uniques, vérifiant
S∧∧∧∧ BA + T ∧∧∧∧ CA = TTTT(A).
Et il reste à poser R = U − S − T . 2ème solution :
Avec les notations du cours, il s’agit de démontrer que T(EEEE) = GA(EEEE) + GB(EEEE) + GC(EEEE) .
Chacun des sous-espaces GA(EEEE) , GB(EEEE) et GC(EEEE) est de dimension 3. Leur somme ne saurait être directe, sans quoi elle serait de dimension 9. Cela répond déjà à la deuxième question : la décomposition n’est pas unique.
Le sous-espace GA(EEEE) ∩ GB(EEEE) est formé des torseurs nuls en A et B, autrement dit des glisseurs dont l’axe est la droite (AB) (y compris le glisseur nul). Ces glisseurs forment une droite vectorielle,
car il vérifient : TTTT(A) = 0 , R = λ AB .
En vertu de la formule de Grassmann, GA(EEEE) + GB(EEEE) est de dimension 5.
Peut-on caractériser les torseurs éléments de GA(EEEE) + GB(EEEE) ?
Ils sont de la forme TTTT(M) = R∧∧∧∧ AM + S∧∧∧∧ BM = S∧∧∧∧ BA + ( R + S) ∧∧∧∧ AM .
Ils vérifient TTTT(A) = S∧∧∧∧ BA , donc (TTTT(A) | BA) = 0.
Réciproquement, si (TTTT(A) | BA) = 0, il existe un vecteur S tel que TTTT(A) = S∧∧∧∧ BA.
Il reste à poser R = T −−−− S , où T est la résultante de TTTT.
Conclusion : GA(EEEE) + GB(EEEE) est de dimension 5 : c’est un hyperplan de T(EEEE), ensemble des torseurs
TTTT tels que (TTTT(A) | BA) = 0.
Nous voilà en mesure de répondre à la question posée. Soit TTTT un torseur quelconque.
Cherchons un torseur TTTT’ tel que (TTTT’(A) | BA) = 0, et un glisseur G G G G dont l’axe passe par C tels que
T T T T = TTTT’ + G G G G .
Le torseur TTTT’ doit vérifier (TTTT’(A) | BA) = 0 et TTTT’(C) = TTTT(C).
Si 'R est sa résultante, T T T T’(A) = TTTT(C) + 'R ∧∧∧∧ CA.
32
Donc (TTTT(C) |BA) + ( 'R ∧∧∧∧ CA|BA) = 0 , i.e. (TTTT(C) |BA) + [ 'R , CA, BA] = 0 .
Il existe un vecteur 'R tel que [ 'R , CA, BA] = − (TTTT(C) |BA) .
Soit TTTT’ le torseur de résultante 'R tel que TTTT’(C) = TTTT(C).
Ce torseur vérifie (TTTT’(A) | BA) = 0 , donc est élément de : GA(EEEE) + GB(EEEE) Et TTTT − TTTT’ est nul en C, donc est un glisseur dont l’axe passe par C. cqfd.
Remarque : Compte tenu des dimensions, pour démontrer que T(EEEE) = GA(EEEE) + GB(EEEE) + GC(EEEE), il
suffit de montrer que GC(EEEE) n’est pas inclus dans GB(EEEE) + GC(EEEE).
Exercice 13 : Soient TTTT un torseur de résultante R et D une droite.
1) Lorsque M décrit D, trouver le lieu des points U tels que TTTT(M) = MU . 2) Lorsque M décrit D, quelle est la surface engendrée par la droite M + R TTTT(M) ?
Solution :
1) Soit D = A + R.u . Ecrivons TTTT(A) = AB . Soit M un point de D, AM = λu .
TTTT(M) = TTTT(A) + R∧∧∧∧ AM = AB + λ R∧∧∧∧ u = MU = AU −−−− λu . Donc BU = λ( R∧∧∧∧ u + u ).
Par conséquent, lorsque M décrit D, U décrit la droite D’ = B + R.( R∧∧∧∧ u + u ).
Il s’agit bien d’une droite, car R∧∧∧∧ u + u = 0 impliquerait u ⊥ u , donc u = 0 .
Exercice 14 : Soit TTTT un torseur de résultante R non nulle. Trouver le lieu des points P tels que ||TTTT(P)|| est constant.
Solution : 1ère solution : Soient O un point de l’axe central ∆, P un point quelconque.
La relation T T T T(P) = TTTT(O) + R∧∧∧∧ OP implique
||TTTT(P)||2 = ||TTTT(O)||2 + ||R∧∧∧∧ OP ||2 + 2 ( TTTT(O) | R∧∧∧∧ OP ).
Or ce dernier terme est nul, car TTTT(O) est colinéaire à R .
Par conséquent ||TTTT(P)||2 = ||TTTT(O)||2 + ||R∧∧∧∧ OP ||2
Ainsi ||TTTT(P)||2 ≥ ||TTTT(O)||2 , avec égalité ssi OP est colinéaire à R , i.e. ssi P ∈ ∆. • Si c < ||TTTT(O)|| , le lieu cherché est vide. • Si c = ||TTTT(O)|| , le lieu cherché est l’axe central. • Si c > ||TTTT(O)|| , le lieu cherché est l’ensemble des points P
||R∧∧∧∧ OP ||2 = c2 − ||TTTT(O)||2 .
Si H est l’orthoprojection de P sur le plan R⊥, cela équivaut à
||R ||2.||OH ||2 = c2 − ||TTTT(O)||2 .
On obtient un cylindre de révolution d’axe ∆.
2ème solution : Choisissons un repère orthonormé direct (O,i , j , k ) tel que R k = ∆. Soient (0, 0, Z0)
les composantes de TTTT(O) dans la base (i , j , k ) et (0, 0, r) celles de R . Si P a pour coordonnées (x, y, z), TTTT(P) a pour composantes :
X = – ry , Y = rx , Z = Z0
Alors ||TTTT(P)||2 = c2 ⇔ X
2 + Y
2 + Z
2 = r
2 ( x
2 + y
2 ) + Z0
2 = c
2
et l’on retrouve la discussion précédente.
33
Exercice 15 : Soit T(EEEE) l’espace vectoriel des torseurs sur EEEE, CCCC le comoment.
Indiquer une décomposition en somme directe T(EEEE) = T+ ⊕ T−
, où T+ et T−
sont des sous-espaces vectoriels de dimension 3 sur lesquels induit un produit scalaire, resp. l’opposé d’un produit scalaire.
Solution : Rapportons EEEE à un repère orthonormé direct (O,i , j ,k ). Soient et (ai, bi, ci) les
composantes de iR et (Xi, Yi, Zi) celles de TTTTi(O) dans la base (i , j ,k ). Il vient :
C C C C(TTTT1 , TTTT2) = a1.X2 + b1.Y2 + c1.Z2 + a2.X1 + b2.Y1 + c2.Z1.
La forme quadratique associée est :
Q(TTTT) = 2 q(TTTT) = 2 ( R | TTTT(P)) = 2 ( a.X + b.Y + c.Z )
= ½ [ ( a + X )2
+ ( b + Y )2 + ( c + Z )
2 – ( a − X )
2 − ( b − Y )
2 − ( c − Z )
2 ]
Soit T+ l’ensemble des torseurs TTTT de coordonnées (a, b, c, a, b, c), c’est-à-dire tels que R = TTTT(O)
T− l’ens des torseurs TTTT de coordonnées (a, b, c, −a, −b, −c), c’est-à-dire tels que R = − TTTT(O).
Ce sont deux sev de dimension 3, supplémentaires, et
Si TTTT ∈ T+ , Q(TTTT) = 2 ( R | TTTT(O)) = 2 ( a2
+ b2 + c
2 )
Si TTTT ∈ T− , Q(TTTT) = 2 ( R | TTTT(O)) = − 2 ( a2
+ b2 + c
2 )
Plus généralement, soient s un endomorphisme symétrique défini positif de E, s’ un endomorphisme défini négatif (par exemple – s).
Soit T+ l’ensemble des torseurs TTTT tels que s(R ) = TTTT(O)
T− l’ensemble des torseurs TTTT tels que s’(R ) = TTTT(O).
Ce sont deux sous-espaces de dimension 3 répondant à la question. Exercice 16 : Soient u un endomorphisme antisymétrique de E, A un point de EEEE.
Etudier l’ensemble de torseurs suivants : Φ(A, R , u(R )) ; R∈ E .
Solution : C’est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de T(EEEE), formé de torseurs élémentaires.
Précisons encore. Soit Ω le vecteur tel que u(R ) = Ω ∧∧∧∧ R , B le point tel que Ω = AB .
Si TTTT = Φ(A, R , u(R )) , TTTT(M) = u(R ) + R ∧∧∧∧ AM = Ω ∧∧∧∧ R + R ∧∧∧∧ AM = R ∧∧∧∧ BM .
Par conséquent, TTTT = g(B, R ). Les torseurs en question sont les glisseurs dont l’axe passe par B.
Exercice 17 : Soit TTTT un torseur de résultante R non nulle. Trouver le lieu des points M tels que R et TTTT(M) fassent un angle constant.
Solution : Exercice 18 : Soit TTTT un torseur. Trouver le lieu des points M où le moment TTTT(M) a une direction donnée (discuter selon la nature de TTTT).
Solution : Exercice 19 : Soit TTTT un torseur. Trouver le lieu des points M tels que le moment TTTT(M) fasse avec un plan P un angle donné α (discuter selon la nature de TTTT).
Solution :
34
Exercice 20 : Soient TTTT un torseur de résultante R non nulle, A un point n’appartenant pas à son axe
central ∆. Soit (O,i , j ,k ) un repère orthonormé direct de EEEE tel que O ∈ ∆, que OA soit colinéaire à
i et que k soit parallèle à ∆, et on pose OA = a i ( a ≠ 0 ).
Démontrer que l’ensemble des points M tels que les vecteurs AM et TTTT(M) soient colinéaires est la
« cubique gauche » d’équations paramétriques x = ²1 t
a+ , y =
²1 tat+ , z = t.
_____________
Bibliographie H. Commissaire et G. Cagnac : Cours de mathématiques spéciales, tome IV, Mécanique (Masson, 1942)
G. Cagnac, E. Ramis, J. Commeau : Nouveau cours de mathématiques spéciales, tome 3, chap. XIV, Vecteurs glissants (p. 336 à 374) (Masson, 1965)
Pierre Brousse : Mécanique, chap. 3 (Armand Colin, 1968)
Jacques Tuloup : Cours de Spéciales A’1 (Lycée du Parc, 1970 - 1971)
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès : Cours de mathématiques, tome 3, chap IV (Dunod, 1975)
