Chap 03 proof

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 3:Suy luận – Chứng minh

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung

1. Giới thiệu.

2. Các quy tắc suy luận

3. Phương pháp chứng minh.

Quy nạp toán học.

4. Phát biểu đệ quy.

5. Bài tập – Hỏi đáp.

Chương 3: Suy luận - Chứng minh 2


Giới thiệu


Hai vấn đề trong toán học:

1. Khi nào một suy luận toán học là ĐÚNG?

2. PHƢƠNG PHÁP nào để xây dựng các suyluận toán học?


Giới thiệu – Trong toán học



OK

Giới thiệu - Trong tin học


ProgramDữ liệu 1 Kết quả 1

ProgramDữ liệu 2 Kết quả 2

ProgramDữ liệu n Kết quả n

Hmmm!Tầm bậy!

OK


Các khái niệm

Định lý: theorem = a TRUE statement

một phát biểu hoặc công thức được suy luận ra từ các tiên đề dựa vào các quy tắc suy luận sự chứng minh.

Tiên đề (Axiom – còn gọi là định đề)

một mệnh đề không phụ thuộc vào sự chứng minh.

giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán học.

Giả thiết (Hypothesis)

Những mệnh đề/phát biểu đúng được sử dụng để tranh luận hoặc nghiên cứu.



Chứng minh là gì?


Quy tắc suy luận Định lý

Định lý đã được CM

Tiên đềGiả thiết

của định lý

Quy tắc suy luận = cơ chế rút ra kết luận từ những điềuđã được khẳng định khác.

Sự chứng minh có thể thực hiện bằng việc kết hợp cácbước chứng minh.


Các quy tắc suy luận (1)


Simplification(Luật rút gọn)

Addition(Luật cộng)

Modus ponens(Luật tách rời)


Các quy tắc suy luận (2)


Hypothetical syslogism (Tam đoạn

luận giả định)

Disjunctive syslogism(Tam đoạn luận

tuyển)

Modus tollens


Ví dụ

1. “Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới. Do đó Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới hoặc giải học sinh giỏi toán rời rạc cấp phường.”

2. “Trời thì nóng nực và bạn đang quăng bom. Do đó bạn đang quăng bom.”

3. “Nếu bạn chém gió thì bạn của bạn cảm lạnh. Nếu bạn của bạn cảm lạnh thì bạn ấy hắt xì. Vậy nếu bạn chém gió thì bạn của bạn hắt xì.”

4. “Nếu lợn biết lập trình thì gà biết chơi Game. Gà không biết chơi game. Vậy lợn biết lập trình.”



Quy tắc suy luận với lượng từ


Universal instantiation(Sự cụ thể hóa ∀)

Universal generalization(Sự tổng quát hóa ∀)

Existential instantiation(Sự cụ thể hóa ∃)

Existantial generalization(Sự tổng quát hóa ∃)

với bất kỳ

với một số

với một số


Phương pháp chứng minh

1. Chứng minh trực tiếp (direct).

2. Chứng minh gián tiếp (indirect).

3. Chứng minh bằng phản chứng (contradiction).

4. Chứng minh quy nạp (inductive).



1. Chứng minh trực tiếp

Chứng minh p q bằng cách chỉ ra:

“Nếu p là đúng thì q phải đúng”.

Ví dụ: “Nếu n là số lẻ thì n2 cũng là số lẻ”

CM: giả sử n lẻ thì n = 2k + 1

n2 = (2k + 1)2

= 4k2 + 4k + 1

= 2(k2+2k) + 1 (là số lẻ)



2. Chứng minh gián tiếp

Chứng minh p q bằng cách:

thực hiện chứng minh trực tiếp ¬q ¬p.

sử dụng (p → q) ⇔ (¬q → ¬p).

Ví dụ: “Nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ”

CM: Giả sử n chẵn (kết luận ở trên là FALSE): n = 2k

3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) (chẵn)

Vậy giả thiết là FALSE.

Định lý được chứng minh.



3. Chứng minh bằng phản chứng

Mô tả:

Cần chứng minh phát biểu p là T.

Giả sử tìm được mâu thuẫn q sao cho ¬p → q là T.

Tức (¬p → F) là T. Khi đó ¬p phải là F thì p là T.

Được sử dụng khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng r ¬r, tức mệnh đề ¬p → (r ¬r) là T.



3. Chứng minh bằng phản chứng

Ví dụ: “Chứng minh là số vô tỷ”

Giả sử là số hữu tỷ, tức trong đó avà b không có ước chung (phân số tối giản)

Khi đó hay .

Suy ra a2 là số chẵn hay a cũng là số chẵn.

Ta đặt vậy suy ra b là số chẵn.

Vậy phân số a/b là không tối giản Mâu thuẫn


2

2b

a2

2

2

2b

a 222 ab

ca 2 22 42 cb

)( rrp


4. Chứng minh bằng quy nạp

Tính được sắp tốt: một tiên đề cơ bản trên tập các số nguyên


Mọi tập hợp không rỗng các số nguyên không âmluôn luôn có phần tử nhỏ nhất.

}3,9,15,2,4,1{

}9,7,5,3,1{

2

1

S

S




Hai bƣớc chứng minh:

1. Bƣớc cơ bản: Chứng minh là TRUE.

2. Bƣớc quy nạp: CM là TRUE

)1(P

)1()( nPnPn

Phép chứng minh quy nạp thường dùng để chứngminh mệnh đề dạng

Sử dụng tính được sắp tốt của tập hợp.)(nPn



Ví dụ: “Tổng của n số nguyên lẻ không âm đầu tiên là n2.”

CM:

1. Bước cơ bản: với n = 1 ta thấy P(1) là TRUE.

2. Bước quy nạp: giả sử ta có giả thiết P(n) là TRUE

khi đó

Tức là P(n+1) là TRUE nếu P(n) là TRUE.


2)12(...531 nn

12)12()12(...531 2 nnnn2)1( n


Đệ quy (Recursion)

Recursive definition (định nghĩa đệ quy):

Đôi khi khó định nghĩa một đối tượng một cách tường minh.

Định nghĩa đối tượng bằng chính nó.

Ví dụ:

Bạn tặng quà sinh nhật cho bạn mình:

“Quà tặng là cái hộp quà đựng cái hộp quà”.









Định nghĩa đệ quy


Hai bƣớc:

1. Cho giá trị của hàm tại 0.

2. Công thức tính giá trị hàm tại số nguyên n

từ các giá trị hàm tại các số nhỏ hơn.

Còn gọi là định nghĩa quy nạp.


Định nghĩa đệ quy

Ví dụ:

1. Hàm giai thừa

Dễ thấy

Vì

Nên

2. Dãy Fibonacci:


!)( nnF

1)0( F

)1(!)1(...3.2.1)!1( nnnnn

)1).(()!1()1( nnFnnF

21

1

0

1

0

nnn fff

f

f


Thuật toán đệ quy


Giải bài toán ban đầu bằng cách rút gọn

nó thành bài toán giống nhƣ vậy nhƣng

có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn.

Ví dụ: thuật toán đệ quy tìm UCLN(a,b)

int UCLN(int a, int b){

if(a == 0) return b;

else return UCLN(b mod a, a);

}


Bài tập – Hỏi đáp

1. Chứng minh nếu a2 là số chẵn thì a cũng là số chẵn.

2. Viết hàm đệ quy (ngôn ngữ C) tính số Fibonacci thứ n.


Documents

Chap 03 proof