___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 4

1 : LES QUADRIPOLES

1-1 : Dfinition

Cest un systme deux accs 1 et 2 chacun des deux accs est caractris par uncouple de grandeurs dont le produit est une puissance

(1) (2)

I1 I2

V1 V2

I1 I2

Pour un quadriple lectrique les deux grandeurs sont la tension et le courant.Un quadriple est dit linaire lorsquil est possible de trouver des relations linaires

entre V1, V2, I1, I2. Dans ces conditions, lutilisation de lalgbre matricielle permet dedgager un certain nombre de proprits

Q

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 5

Les conditions de fermetures du quadriple permettent de dfinir compltement lesystme :

Z1 I1 I2E V1 V2 Z2

V1= E-Z1.I1V2= - Z2.I2

On a ainsi un systme linaire de quatre quations quatre inconnues.

I-2 : Matrices dun quadriple

Diffrent types de matrices peuvent relier les grandeurs tensions et courants

Matrice impdance Z =

ZZZZ

2221

1211

IIZV

V2

1

2

1

Matrice admittance ZY 1Matrice de transfert :T

I

VTIV

1

1

2

2

Matrice chaine (C) : TC 1Matrice Hybride h :

VIhIV 2121

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 6

Le tableau suivant rsume les formules de passage dun type de paramtres lautre( X est le dterminant de la matrice (X))

(Z) (Y) (T) (C) (h)

(Z)

Z11 Z12

Z 21 Z 22YY 12

YY 21 YY11C1

CT CACC

2111

CC21

C211

CC

2122

hh22

hh2212

hh2221 h22

1

(Y)ZZ22 ZZ 12

ZZ 21 ZZ11

Y11 Y12

Y21 Y22

BA B1

BT BD

CC

1222

CC12

C121 C

C1211

h111

hh1112

hh1121 h

T11

(T)ZZ

1222

ZZ12

Z121 Z

Z1211

YY

1211

Y 121

YY12

YY

1222

A B

C D

CC22 CC 12

CC 21 CC11

121h 1211hh

1222hh 12hh

(C)2111ZZ 21ZZ

211Z 2122ZZ

2122YY 211Y

21YY 2111YY

TD TB

TC TA

C11 C12

C21 C22

21hh 2111hh

2122hh 211h

YY22 CD

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 7

(h)22ZZ 2212ZZ

2221ZZ 221Z

111Y 1112YY

1121YY 11YY

AB A1

AT AC

2212CC 22C

C

221C 2221CC

h11 h12

h21 h22

1-3 : Impdances dentre et de sortie

Limpdance dentre Ze est limpdance vue des bornes dentre lorsque la sortie duquadriple est ferme sur limpdance de charge ZL

I1I1

V1QQ ZL1 V1 11IVZeQQ

On peut montrer que :LZZ

ZZZZe 222112

11.

Limpdance de sortie Zs est limpdance de Thevenin que voit la charge. Cest donclimpdance vue des bornes de sorties lorsque lentre est ferme par limpdance interne Zgdu gnrateur dattaque

I2I2

V2Zs

Zg V2 22IVZs

Q

Q

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 8

1-4 : Diffrents gains des quadriplesAmplification en tension :

12VVAv ( vide 120 VVAv pour I2=0)

Amplification en courant :12IIAI (en court circuit 12IIAICC pour V2=0)

Amplification en tension composite : ZgZeZeAvEVAg 2

Les expressions des diffrents gains sobtiennent en considrant les deux quations internesdu quadriple et la relation de fermeture : V2=-ZLI2

ZZZ ZZAv L L . .11 21 ; 11210 ZZAv

LI ZhhA .1 2221 ; 21hAICC

A chaque amplification A correspond un gain exprim en dB : G=20log10(A)

1-5 : Associations des quadriples

Association cascade : (C ) = (C) . (C)

I1 I2

V1V2

Association srie : (Z)= (Z) + (Z)I2

I1V'1 V2

V1 I1 I2 V2

V1 V2

(C) (C)

(Z)

(Z)

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 9

V1= V1 + V1V2= V2 + V2 Association parallle : (Y)= (Y) + (Y)

I1= I1 + I1 , I2= I2 + I2 Association Hybride :

Entres en srie et sorties en parallle hhh Entres en parallle et sorties en srie 111 hhh1-6 : Quadriples lmentaires

Cellule en T

I1 Z1 Z2 I2

V1 Z3 V2

323

331ZZZ

ZZZZ

32

3

321

2131

11

.1

ZZ

Z

ZZZZZZ

ZC

Cellule en

I1 Z3 I2

V1 Z1 Z2 V2

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 10

3111

111

23

331

ZZZ

ZZZY

13

213

21

323

1.111

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ

C

1-7 : Schmas quivalents des quadriples

A partir de la matrice impdance (Z)

I1 I2Z11 Z22

V1 V2Z12I2 Z21I1

A partir de la matrice admittance (Y)

1/Y221/Y11 Y21V1

Y12V2

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 11

A partir de la matrice hybride (h)

h11 1/h22h12V2 h21I1

1-8 : Classification des quadriples

Un quadriple est dit rciproque (QR) lorsque Z12=Z21 ou encore pour les autres matrices(Y12=Y21 , C= T = 1 , h21=-h12)Parmi les quadriples non rciproques (QNR) on distingue deux familles importantes : lesquadriples antirciproques (QAR) dfinis par Z12=-Z21 et les quadriples unilatraux (Z12=0 ,h12=0)Un quadriple est dit symtrique sil est totalement quivalent vu des accs (1) et (2) dans cecas Z12=Z21 et Z11=Z22Un quadriple est dit parfait lorsque :

R(Z11)=R(Z22=0)Z12+ Z*21=0

Dans ce cas : 1C .

5.9 - Matrice des impdances et des admittances d'un quadripleLa matrice [Z] se calcule au moyen du concept de circuit ouvert et de la source de courant. Onla nommematrice des impdances en circuit ouvert.

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 12

Z11 = impdance d'entre du diple si la sortie est en circuit ouvert.Z12 = impdance de transfert inverse du diple si l'entre est en circuit ouvert.Z21 = impdance de transfert directe du diple si la sortie est en circuit ouvert.Z22 = impdance de sortie du diplesi l'entre est en circuit ouvert.

La matrice [Y] se calcule au moyen du concept de court-circuit et de la source de tension. Onla nommematrice des admittances en court-circuit.

Y11 = admittance d'entre du diple si la sortie est en court-circuit.Y12 = admittance de transfert inverse du diple si l'entre est en court-circuit.Y21 = admittance de transfert directe du diple si la sortie est en court-circuit.Y22 = admittance de sortie du diple si l'entre est en court-circuit.

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 13

5.10-Exemple: Transformation T- ou -TMthode gnraleSoit les deux quadriples illustrs:

Calculez les valeurs des admittances du circuit en en fonction des impdances du circuit enT pour avoir deux quadriples quivalents.La matrice [Z] du circuit en T est:

La solution de ces quations donne:ExempleQuadriple en ligneCe quadriple (Fig.2.21) est rgi par les quations :

(2.96)

d'o :

(2.97)

Sa matrice de transfert est :

(2.98)

Quadriple en " I "

___________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ 14

Ce quadriple (Fig.2.22) est rgi par les quations

(2.99)

d'o :

(2.100)

Sa matrice de transfert est :

(2.101)

Quadriple en " -1"La matrice de transfert T de ce quadriple (Fig.2.23) est le produit de celles d'un quadripleen ligne et d'un autre en " I ". On a :

(2.102)

Quadriple en " "La matrice de transfert T de ce quadriple (Fig.2.24) est le produit de celles d'un quadripleen " I " et d'un autre en ligne. On a :

(2.103)

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______________________________________________________________________ 15