Chap-4 Dynamique Fluides Visqueux

5/22/2018 Chap-4 Dynamique Fluides Visqueux

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cours CIRA 1reanne PASCAL BIGOT1

Dans le chapitre prcdent, les forces de viscosit des fluides avaient t ngliges. A partirde ce chapitre, nous allons les prendre en compte dans les calculs. Le thorme de Bernoulli

devra tre complt, et diffrents rgimes dcoulement vont tre mis en vidence.

Commenons par rappeler le thorme de Bernoulli tel quil scrit pour un fluide parfait :

Le long dune L.C. :

teCzgv

p=++ ..

2

1

ce qui peut se rsumer par un diagramme pizomtrique :

Quelque soit le point choisi le long dune L.C., la somme des trois termes dnergie est

constante (pas de force de frottement, donc pas de perte nergtique).

Par ailleurs, les vitesses en diffrents points dune mme section sont identiques.

Quen est-il pour un fluide rel ?

I VITESSE MOYENNE, ENERGIE CINETIQUE MOYENNE

1) Utilisation des valeurs moyennesNous avions fait remarquer au chapitre prcdent que nous pouvions toujours utiliser la valeur

moyenne de la vitesse pour une section donne. Autrement dit, il est toujours possible de

travailler avec une valeur unique (la vitesse moyenne) plutt que de travailler avec toutes les

valeurs sur la section.

Par dfinition, la valeur moyenne de la vitesse sur la section S est :

MECA-FLU IV : DYNAMIQUE DES FLUIDESVISQUEUX ET INCOMPRESSIBLES

Soit une section S dun coulement,

on la dcompose en petits lments desurface idS voyant passer le fluide avec

une vitesse iv :


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= S

iimoy dSvS

v0

..1

la norme du rsultat trouv peut alors tre utilise pour calculer le dbit moyen, par la formule

usuelle :

moymoymoy vSvSQ .. ==

Mais, nous pouvons remarquer que le thorme de Bernoulli ne fait pas intervenir directement

la vitesse, mais son carr..Or, la moyenne du carr de la vitesse, qui scrit :

= S

iimoy dSvS

v0

2..

1)(

na a priori aucune raison dtre le carr de la moyenne :

En rsum, pour un fluide parfait, on pouvait crire le thorme de Bernoulli laide du dbit

volumique :

temoyCzg

S

Qp=++ .).(

2

1

pour un fluide PARFAIT

alors que ce nest plus possible pour un fluide rel.

On doit alors introduire un coefficient dnergie cintique :

)(

)(

moy

moy

v

v=

et le thorme de Bernoulli peut alors scrire :

te

moy Czgvp

=++ .).(.2

1

pour un fluide REEL

ou encore

temoyCzg

S

Qp=++ .).(.

2

1

pour un fluide REEL

2) Dans la pratiqueLe coefficient dnergie cintique a t dtermin dans diffrentes conditions :

en rgime laminaire, 2= en rgime turbulent, dans un tuyau rectiligne de section constante et aprs un parcours

suprieur 10 fois le diamtre, est gnralement compris entre 1,02 et 1,15 suivant larugosit de la paroi

pour les fluides parfaits, 1= (vident)En pratique (et cest ce que nous ferons dans la suite de ce cours) dans le cas de fluides

rels en coulement turbulent (soit la grande majorit des coulements industriels) on

prendra 1= sans que cela amne une erreur apprciable.

)()( moymoy vv


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II PERTE DE CHARGE DUN FLUIDE REEL1)Mise en vidence

On peut raliser lexprience suivante :Dans cette exprience, un rservoir, qui garde son niveau constant grce un systme de trop-

plein se dverse dans une canalisation sur laquelle sont disposes un certain nombre de prises

de pression statique. On constate :

que le niveau affich dans les prises de pression est diffrent que ce niveau diminue avec lloignement du rservoir que cette diminution est proportionnelle cet loignementOr, le thorme de Bernoulli tel que nous lavons crit prcdemment nous donne, entre A et

B par exemple :

BBB

AAA zgvpzgvp .

2.

2

22

++=++

avec, puisque la section du tube est constante : BA vv = et le tube horizontal : BA zz =

ce qui conduit BA pp = et donc, une mme hauteur dans les prises de pression ! ! !

Il y a contradiction

2) Origine de la contradictionPour trouver la source derreur, il faut remonter notre dmonstration du thorme deBernoulli.

Nous avions isol une cellule de fluide, et lui avions appliqu la R.F.D.. Mais, notre bilan de

forces ne comprenait que les forces pressantes agissant sur la cellule de fluide (une sur chaque

face), et son poids. Or, nous savons (et nous lavions dit ds le premier chapitre) quil y a desforces internes au fluide : les cellules de fluide frottent les unes sur les autres, les plus rapides

entranant les plus lentes, alors que les plus lentes retiennent les plus rapides.

Ce sont ces forces, que nous navons pas mis dans notre bilan qui font dfaut ici.

Alors, faisons le calcul me direz vous.Oui, mais cest pas simple, a devient mme trs

compliqu puisque ces forces (contraintes tangentielles) ne se manipulent facilement

quavec des tenseurs (tenseurs de contraintes).

Cest pourquoi, plutt que de chercher les quations exactes des fluides rels en

coulement, on prfre rajouter un terme dans le thorme de Bernoulli comme nous allons le

voir.


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Remarquons aussi que les quations exactes nont pas toujours de solutions analytiques

connues, et que seuls, quelques cas particuliers sont parfaitement rsolus.

3)Modification du thorme de BernoulliDans le chapitre prcdent, le thorme de Bernoulli a t interprt comme la somme de 3

termesdnergie

de pression de hauteur

---Commenons par le bilan nergtique par kg de fluide entre deux points (1)et (2) :

La conservation de lnergie nous dit que )2()1( TOTALETOTALE EE =De plus, nous savons que les forces de frottement (internes et sur la paroi) ont pour effet de

transformer une partie de lnergie de dpart en une autre forme dnergie : lnergie

thermique

Lnergie totale en (1) scrit : )1()1()1()1( epotentiellcintiquepressionTOTALE EEEE ++=

Soit : 1

2

11

1

2)1( gzvpETOTALE ++=

(pour 1 kg de fluide m = 1 kg ! !)

Tandis que lnergie totale en (2) sobtient par :

.2

2

22

2

2)2( frotTOTALE Egz

vpE +++=

o frotE est LENERGIE OBTENUE PAR FROTTEMENT, compte positivement(elle est bien sr loppose de lnergie perdue par frottement)

Ce qui donne :

Ou encore, dans sa forme pratique :

--- bilan de pression entre deux points (1) et (2) :la forme du thorme de Bernoulli est alors :

Le terme Cp est appel PERTE DE CHARGE entre les sections (1) et (2)Et la forme pratique est :

frotEgzvp

gzvp +++=++ 2

22

22

1

21

11

22

frotEgzvp

gzvp

+++=++ 2

2

221

2

11

22

Cpzgv

pzgv

p +++=++ 2

2

2221

2

111 ..

2

...

2

.

Cpzgv

pzgv

p +++=++ 2

2

221

2

11 ..

2

...

2

.


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--- bilan de hauteur entre deux points (1) et (2) :Cette fois la forme devient :

Qui scrira dans la pratique :

Le terme CH est appele PERTE DE CHARGE entre les sections (1) et (2)

REMARQUE : les trois termes frotE , Cp , et CH sont nomms indiffremment pertes de charge , mais bien sr, ils sexpriment dans des units diffrentes :

en joules (J) pour frotE en pascal ou en bar pour Cp en mtre pour CHIls sont compts tous trois POSITIVEMENT.

Le diagramme pizomtrique devient pour un fluide rel :

4)Ecoulement travers les machinesLorsquune machine hydraulique est prsente entre les sections (1) et (2) considres, il y a lencore un nouveau terme considrer.

CHz

g

v

g

pz

g

v

g

p+++=++ 2

2

22

21

2

11

1

22

CHzg

v

g

pz

g

v

g

p+++=++ 2

2

221

2

11

22


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Les deux types de machines quon peut rencontrer sont les POMPES et les TURBINES.

Les pompes sont des gnrateurs dnergie mcanique, alors que les turbines sont des

rcepteurs dnergie mcanique.

Lnergie mcanique MACHINEE amene (au sens algbrique) par la machine est :

compte POSITIVEMENTpour les POMPES compte NEGATIVEMENTpour les TURBINESLe thorme de Bernoulli vu en tant que bilan dnergie par kg de fluidescrit donc :

Soit, sous sa forme pratique :

Le bilan de pressionsexprime quant lui par :

Ou encore, en prenant les coefficients dnergie cintique 1 :

Le bilan en terme de hauteurest alors, dans sa forme la plus gnrale :

dexpression simplifie :

frotMACHINE Egzvp

Egzvp

+++=+++ 2

2

22

21

2

11

1

22

frotMACHINE Egzvp

Egzvp

+++=+++ 2

2

221

2

11

22

CMACHINE pzgv

ppzgv

p +++=+++ 2

2

2221

2

111 ..

2

...

2

.

CMACHINE pzgv

ppzgv

p +++=+++ 2

2

221

2

11 ..

2

...

2

.

CMACHINE Hzgv

gpHz

gv

gp +++=+++ 2

2

22

21

2

11

1

22

CMACHINE Hzg

v

g

pHz

g

v

g

p+++=+++ 2

2

221

2

11

22


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La suite de ce chapitre est consacr aux coulements dans les conduites

cylindriques, qui sont les plus utiliss industriellement.

Nous venons dintroduire dans le thorme de Bernoulli un terme de perte de charge.

Evidemment, il faut pouvoir calculer, ou plutt estimer la valeur de ce terme de perte de

charge.On considre habituellement DEUX types de perte de charge :

ECOULEMENT SANS BRUSQUE VARIATION DE VITESSE :dans une conduiterectiligne de section constante, ou dans un profil de conduite pousant la forme de la veine

de fluide, la vitesse varie trs lgrement, et la chute de pression est due aux seuls

frottements visqueux, on parle alors de PERTE DE CHARGE LINEAIRE, ou

REGULIERE. Ce type de perte de charge dpend en particulier de la longueur de la

conduite.

ECOULEMENT AVEC BRUSQUE VARIATION DE VITESSE :la vitesse peutvarier brutalement sur une courte distance (en norme, ou en direction), la chute de

pression qui en rsulte est surtout due dans ce cas la variation soudaine de la quantit de

mouvement du fluide. On parle dans ce cas de PERTE DE CHARGE SINGULIERE.

En premire approximation, la perte de charge dune installation SANS RAMIFICATION est

la somme des diffrentes pertes de charge, linaires et singulires.

III LES DIFFERENTS REGIMES DECOULEMENT1)Lexprience de REYNOLDSA force dexprimentations, lingnieur anglais Osborne Reynolds (1842 1912) a permis de

dcouvrir les caractristiques propres un fluide rel.Lexprience schmatise ci-dessous met en vidence les deux catgories dcoulement dun

fluide rel :

un petit tube permet dinjecter du colorant dans la conduite transparente o scoule de leau.

faible vitesse dcoulement (vanne lgrement ouverte) le colorant se distribuede faonordonne, suivant des lignes de direction parallles laxe de la conduite.


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Une augmentation du dbit (vanne trs ouverte) donne des lignes de courant chaotiques, lecolorant se diffuse de faon dsordonn, selon des lignes de courant enchevtres.

2)Le rgime laminaire

DANS UN REGIME LAMINAIRE, LES FORCES DE FROTTEMENT

VISQUEUX DOMINENT, ET IMPOSENT CE REGIME.

3) Le rgime turbulent

Ce mlange des L.C. favorise lhomognisation des vitesses et des transferts de quantit de

mouvement de matire et de chaleur.

DANS UN REGIME TURBULENT, LES TRANSFERTS DE QUANTITE

DE MOUVEMENT PAR CONVECTION DOMINENT, ET IMPOSENT CE

REGIME.

(on appelle CONVECTION un transport dune grandeur physique dun point un autre dunfluide par mouvement densemble de ses molcules)

Aux faibles vitesses, pour une conduite

cylindrique, la distribution des vitesses est,

pour ne section donne, parabolique.

Les couches glissent les unes sur les autres, et

les lignes de courant ne se mlangent pas. Lescellules de fluide gardent leur

individualit.

A partir de certaines valeur de vitesses

dcoulement, les L.C. ne sont plus parallles,

mais emmles. Les cellules de fluide sedplacent dans toutes les directions (mme

contre-courant). Le profil des vitesses est aplati.


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REMARQUES : le passage du rgime laminaire au rgime turbulent ne se fait pas pour une vitesse

particulire. Il existe un domaine o des variations de vitesse irrgulires prennent

naissance, cest unrgime incertain

en rgime turbulent, au voisinage de la paroi, la vitesse reste toujours trs faible, etlcoulement y est laminaire sur une faible paisseur appele couche limite laminaire

4)Le nombre de ReynoldsComment savoir si un rgime est ou sera laminaire ? turbulent ?

Reynolds a tudi linfluence des divers paramtres pour rpondre cette question.

Il eut lide dintroduire un nombre sans dimension, not depuis Re et nomm nombre

de Reynolds :

avec : - masse volumique du fluide

- v vitesse du fluide dans la conduite- D diamtre de la conduite- viscosit dynamique du fluide (RAPPEL :

dv

dz

S

F.

= en Pa.s )

0n vrifie aisment que le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension.

SIGNIFICATION PHYSIQUE :Le fluide est globalement soumis 2 forces :

celle que subirait le fluide sil tait parfait :dt

dvVamFINERTIE .. ==

celle qui rsulte des frottements :dx

dvSFfrot ..=

le rapport de ces deux forces ReF

F

frot

INERTIE =

ainsi, si Re est trs grand, il y a prdominance des forces dinertie, par contre, aux faibles

valeurs, cest la force de frottement qui domine.

IMPORTANCE PRATIQUE :

Ces valeurs peuvent varier lgrement dun ouvrage un autre, mais en pratique, les valeursne laissent pas dambigut. Elles seront franchement suprieures ou infrieure ces limites.

Dv

Re

..=

le rgime est LAMINAIRE pour Re 2000le rgime est TURBULENT pour Re 4000 le rgime est TRANSITOIRE ou TURBULENT entre 2000 et 4000


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REMARQUE IMPORTANTE :

Pour un fluide parfait, la viscosit est nulle et on serait tent de penser qualors le nombre deReynolds a une valeur infinie et que par consquent le fluide parfait est toujours en rgime

turbulent..IL NEN EST RIEN : il nest pas possible dextrapoler le modle de fluide parfait au modle

de fluide faible viscosit, puisque nous avons vu que pour un fluide rel la vitesse est nulle

au contact de la paroi, tandis que pour un fluide parfait, cette vitesse (la mme en tout point

dune section) ne lest pas.

Dailleurs, la distinction des deux types de rgime na pas cours pour un fluide parfait..

IV ETUDE DU REGIME LAMINAIRE (OU REGIME DE

POISEUILLE)1) Calcul de la vitesse

crire :

0=F ; lexpression de la force de frottement a t donne dans un chapitreprcdent :

dy

dvdSF

LATfrot ...= o LATdS est la surface latrale de la particule (nous

noterons dS la section de la particule de fluide).

Ainsi, en projection sur laxe Ox (direction du mouvement) :

0..cos...).().( =++dy

dvdSgdxdSdSdzzpdSzp

LAT o on reconnat : dzdx =cos.

en utilisant la pression statique dzgdpdp ..* += , lexpression devient :

dyydx

dpdv ..

2

1 *

=

Soit une canalisation incline, dans

laquelle existe un coulement. Etudions

cet coulement dans le cas dun rgime

permanent. Pour cela, isolons une

particule de fluide. Afin de respecter la

gomtrie du problme, la particule de

fluide est cylindrique, de rayon y et

de longueur dx .

Cette particule de fluide est soumise :

aux forces pressantes son poids la rsultante des forces de

frottement

De plus, en un point dtermin, le

rgime tant PERMANENT, on peut


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Or,ste

Cdx

dp=

*

cest la perte de charge linaire entre deux points 1 et 2:

L

p

xx

pp

dx

dp*

12

*

1

*

2

* =

=

Do : dyyx

pdv ..

2

1 *

=

qui donne aprs intgration :

]2

.[.

2

1)(

*ste

Cy

L

pdvyv +

== or, le long de la paroi v(y = 0) = 0 condition qui

permet dobtenir la constante dintgration, et finalement :

)(.

4

1)(

*

yR

L

pyv

=

LE PROFIL DES VITESSES EST PARABOLIQUE

2) Calcul du dbit

Le calcul donne :

*4

.128

pL

DQV

Cest la loi de HAGEN-POISEUILLE:

Les variations sont prises pour deux points (1) et (2) spars de la longueur L .

ATTENTION :cette formule nest pas celle dun dbit variable . En effet si la canalisation a une

section constante, le dbit ne varie pas, mais, plus la longueur L de canalisation estimportante, plus la pression statique ncessaire est importante.

Maintenant que nous connaissons le profil de vitesse,

nous pouvons calculer le dbit. Pour cela, imaginons

une surface lmentaire comprise entre les rayons y et

y+dy. Sur cette surface lmentaire dS la vitesse est

v(y), et le dbit travers dS est :

)(..2)(. yvdyyyvdSdQ ==

et le dbit total travers lacanalisation sobtient parintgration pour y allant de 0 R :

==RR

V dyyyRL

pyvydyQ

0

*

0

.)(.2

)(.2

).(128

4

zgpL

DQV +


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3) Vitesse moyenneElle sobtient facilement si on se rappelle que la vitesse moyenne est celle qui est utilise dans

la formule du dbit :

moyV vSectionQ .=

comme nous connaissons maintenant lexpression du dbit, lobtention de la vitesse moyenne

est aise :

moyvRRL

p...

8

4*

=

qui donne :

L

pRvmoy

*

..8

1 =

4)Perte de chargeEn coulement permanent, 0

=F avec ici : force motrice : ce sont les forces de pression et le poids, cest dire

*

2211 )]()[( pSgzpgzpS =++

force de frottement : SpFCfrot

.=

Lapplication du thorme de Bernoulli, en tenant compte des pertes de charge nous amne :*

ppC =

(la vitesse est la mme en (1) et en (2)..)A laide du rsultat prcdent, on obtient lexpression de la perte de charge en rgimelaminaire, pour une longueur L dune canalisation de diamtre D :

VC QD

Lp .

1284

= +

4

.. D

vQV = +

DvR

e

..= donnent :

D

L

R

vp

e

C.

..32= soit encore en faisant re-sortir le terme de pression dynamique :

D

LvRp e

C )...2

1.(

64

=Finalement, on retiendra le rsultat important suivant :

REMARQUE PRATIQUE :

D

LvpC )..

2

1.( = avec

eR

64=

en rgime laminaire


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Le coefficient de proportionnalit, que nous avons not f , est assez souvent not dans les preuves de CIRA Cest la notation que nous emploierons par la suite.

Retenons le rsultat important obtenu en rgime laminaire :

V REGIME TURBULENTDans lindustrie, la grande majorit des coulements sous pression est de nature turbulente.

1)Notion de turbulenceUn coulement est dit turbulent lorsque certaines des grandeurs caractristiques, comme la

pression p, la vitesse v, prsentent des variations rapides et alatoires. Les particules de

fluide ne se dplacent plus sur des L.C. rgulires, mais en tourbillons.

Le principe dtude consiste, en un point donn dun coulement permanent, crire la

vitesse instantane v(t) comme tant la somme de la vitesse moyenne dans le temps v et dun

terme variable v(t) qui porte toute linformation des fluctuations de vitesse en ce point :

)(')( tvvtv +=

En moyenne, sur un intervalle de temps assez grand, les fluctuations )(' tv sont nulles, aussi

dfinit-on une valeur efficace de ces fluctuations (tout comme on dfinit une valeur efficace

pour une tension) : 'vveff =

On value alors lintensit de la turbulence par le rapport :v

veff

Comme il a t prcis plus haut, le caractre turbulent dun coulement a pour consquence

un profil de vitesse plus rgulier (effet de moyenne) :

2)Etat de surface et diamtre des conduitesA tous les paramtres dj retenus dans le cas du rgime laminaire sen ajoute un nouveau : larugosit de la paroi.

EN REGIME LAMINAIRE, la perte de charge est proportionnelle

lnergie cintique du fluide :

D

Lvpc )..

2

1.( = quation de DARCY-WEISBACH

avec :

eR

64=


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Le profil des vitesses et la perte de charge dpendent fortement de la rugosit des parois en

rgime turbulent.

Pour une conduite de diamtre D , on dfinit une rugosit relativepar le quotientD

, o

est une paisseur moyenne caractrisant la hauteur, la forme, le nombre, et la rpartitiondes asprits. Cette grandeur est appele rugosit absolue.

Quelques exemples de rugosit absolue :MATIERE ETAT Rugosit absolue (en mm)

Tube tir (verre, cuivre, laiton) < 0,001

Tube industriel en laiton 0,025

Tuyau en acier lamin Neuf 0,05

Rouill 0,15 < < 0,25Bitum 0,015

Tuyau en acier soud Neuf 0,03 < < 0,1Rouill 0,4

Tuyau en fonte moul Neuf 0,25

Rouill 1 < < 1,5Bitum 0,1

Tuyau en ciment Brut 1 < < 3Liss 0,3 < < 0,8

Pour un dbit fix, le choix du diamtre de conduite est dict le plus souvent par la perte de

charge maximale admissible.

3)Perte de chargeEn rgime turbulent, les pertes de charge ne sont plus proportionnelles au dbit comme en

coulement laminaire : elles dpendent denVQ o lexposant n varie entre 1,8 et 2

suivant ltat de la paroi.

Mais, EN PRATIQUE, on considre que la perte de charge est proportionnelle au carr du

dbit.

a- en labsence dasprit :la perte de charge

Cp dpend des quantits

D

L,

eR , et .

2

1v cest dire les mmes quen

rgime laminaire. Aussi utilise-t-on encore lquation de Darcy-Weisbach :

D

Lvpc )..

2

1.( =

mais, le coefficient de perte de charge nest plus gal au rapport 64 sur eR ..


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b- en prsence dasprits :lexprience montre que lquation de Darcy-Weisbach est toujours valable, mais le

coefficient de perte de charge est fonction non seulement de eR mais aussi de la rugosit de

la paroi .

EN CONCLUSION :

les expressions de la perte de charge sont donnes dans tous les cas par lquation de

Darcy-Weisbach.

4)Expriences de NIKURADSE (1932)En 1932, Nikurads publia ses travaux au cours desquels il tudia linfluence de la rugosit

sur le profil des vitesses, dans des coulements en conduite cylindrique.

Il ralisait artificiellement les diffrentes rugosits en revtant la paroi intrieure de ses

conduites, de grains de sable calibrs par tamisage.

Ses rsultats sont rsums par la courbe suivante :

dans le domaine eR < 2000 :le coefficient de perte de charge vaut

eR

64= quel que soit ltat de la surface

dans le domaine 4000 < eR 105 jusqu lhorizontale :

le coefficient de perte de charge est donn par lquation de Karman-Prandtl :


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).

51,2log(.2

1

eR=

dans le domaine de lhorizontale :le coefficient de perte de charge est indpendant du nombre de Reynolds. Son expression est

donne par lautre formule de Karman-Prandtl :

).71,3

log(.21

D

=

Dans ce domaine, on dit que lcoulement est turbulent rugueux

5)Formule de COLEBROOK ; diagramme de MOODYPour les conduites industrielles, les valeurs de coefficient de perte de charge salignent sur

une courbe rgulire qui scarte lgrement de la courbe de Nikurads.

Une quation empirique a t propose par COLEBROOK en 1939 pour reprsenter la totalit

de la courbe, depuiseR = 4000 jusqu eR > 10

8 :

).

51,2

.71,3log(.2

1

e

RD+=

Quand tend vers zro, on retrouve lquation du rgime turbulent lisse, alors que lorsque tend vers linfini, on obtient le rgime turbulent rugueux.Il est souvent commode dutiliser une reprsentation graphique de en fonction de

eR ,

paramtre par les valeurs du rapportD

. Cest le diagramme de MOODY :


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VI LES PERTES DE CHARGE SINGULIERES

EXEMPLES DE SINGULARITES PRESENTES DANS UN ECOULEMENT

FORME DE LOBSTACLE COEFFICIENT DE LA PERTE DE CHARGESINGULIERE

2

2

1 )1(S

Sk =

1k

en pratique : 1,06 > k >1,1

2

2

1 ).(22,0S

Sk +=

5,0k

2)11

( =CC

k

avec3

1

2 )(41,059,0S

SCC +

5,0

2

106,0 )1.(.46,0S

SRk e =

2)1

1.( =

CCak avec sin=a pour < 90

a = 1 pour >90

CR : rayon de courbure du coude

LISSE :90

].).2

.(85,113,0[5,3

CR

Dk +=

RUGUEUX :5,0

).(42,0CR

Dk=


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Les pertes de charge singulires proviennent de la variation de la quantit de mouvement pdue une variation locale de gomtrie dans la conduite. Nous avons tudi dans le chapitre

prcdent les forces appliques aux conduites par le fluide. Ces forces ont pu tre calcules

grce au thorme dEuler.

IL EST IMPORTANT de bien comprendre que contrairement aux pertes de chargergulires tudies avant, les pertes de charge singulires ne sont dues qu la variation de

quantit de mouvement, et absolument pas aux frottements internes et sur la paroiCes

frottement seront dailleurs TOTALEMENTngligs dans les calculs de perte de charge

singulires !

Les calculs sont en gnral trs compliqus et dailleurs pas toujours faisables.

Mais les rsultats peuvent toujours tre prsents sous la forme gnrale :

)2

1..( vkpC = en terme de pression

)2

.(

g

vkHC = en terme de hauteur

Le tableau plac en tte de ce paragraphe donne lexpression de k pour quelques situations

courantes rencontres dans les coulements en canalisation cylindriques.

METHODE GENERALE DE CALCUL DUN RESEAU

lments en srie :lorsque des lments de conduites (tronons rectilignes et singularits) sont placs en srie, ilssont tous traverss par le mme dbit et la perte de charge totale apparat comme la somme de

toutes les pertes de charge (rgulires, et singulires) :

)..2

1).(( vkkp iC += (E)

Rapprochons lexpression gnrale obtenue pour les pertes de charge :D

LvpC ).

2

1.( =

de lexpression introduite ici : ).2

1.( vkp

C = , on constate quon peut exprimer le

coefficient k en longueur de conduite quivalente :

D

Lk e.= ou encore :

DkLe .=

eL reprsente la longueur de conduite quivalente qui donnerait la mme perte de charge

que la singularit tudie.

Finalement lquation (E) devient:

).

.

2

1].()(.[

sin CONDUITEgularits

eCONDUITEC

D

viLLp

+=


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lments en parallle :Cette fois, la perte de charge est commune tous les lments en parallle :

....321 ==== CCCCtotal pppp

et le dbit total est la somme des dbits des diffrentes branches (1), (2), (3).

VII ECOULEMENT A TRAVERS LES ORIFICES1)Formule de Torricelli

2) Orifice en paroi mince

On introduit alors un coefficient de contraction2S

SC C

C= dtermin exprimentalement, ainsi

quun coefficient VC qui corrige les inhomognits de vitesse locale dans le jet et les pertes

de charge (faibles) toujours prsentes, et on corrige lexpression ci-dessus par :

ghCCSQ VCV 2...2=

3) Orifice en paroi paisseDiffrents profils peuvent tre adopts afin dapprocher le dbit thorique :

Elle se dmontre facilement partir du thorme de

Bernoulli, et avec lhypothse dune section de rservoir

trs suprieure la section de louverture :

ghv 22 =

et, donc :

ghSQV 2.2=

La paroi est dite mince lorsque la veine de fluide ne touche

que larte intrieure de lorifice. Lcoulement peut avoir

lieu verticalement ou horizontalement, mais dans tous les

cas, la veine de fluide subit une contraction.

On noteCS la section minimale de la veine la sortie du

rservoir.


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4)Ecoulement travers les ajutagesCitons deux ajutages souvent rencontrs :

Dans lajutage de Poleni, la veine fluide a le mme profil que dans un rtrcissement brusque,

avec apparition dun dcollement et par suite dune contraction.

Dans lajutage de Borda, on obtient le coefficient de contraction le plus faible (0,5). Le tube

doit tre assez court pour que la veine ne puisse toucher la paroi.

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Chap-4 Dynamique Fluides Visqueux