Upload
ngohuong
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Gas Fermi pada Ground State
• Distribusi Fermi Dirac pada kondisi Ground State (T0) memiliki perilaku:
• 𝑛𝑝 =1
𝑒𝛽 𝜖𝑝−𝜇 +1 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜖𝑝 > 𝜇
1 𝜖𝑝 < 𝜇
• Hasil ini berarti:
Seluruh level energy di bawah nilai energy fermi (𝜖𝐹) terisi, sedangkan di atasnya kosong sama sekali. Kondisi seperti ini dikenal sebagai “degenerasi kuantum”.
• Apakah arti energy fermi?
• Berapakah energy fermi?
𝑛𝑝
𝜖𝐹 𝜖𝑝
1
0
Arti energi Fermi F
• Artinya : pada T=0 (Ground State), maka semua Fermion berusaha menempati level energi terendah, akan tetapikarena aturan Pauli, maka tidak semua bisa menempati level terendah!
• Sehingga Fermion akan menempati semua level terendahsampai dengan level dengan energy tertinggi yaitu F. Jadienergi Fermi adalah level energi tertinggi yg berisi Fermion pada kondisi Ground State.
• Berarti total partikel dengan energi di bawah F = N (untukkasus spinless Fermion, tiap level energi berisi 1).
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
• 𝜖𝐹 dapat ditentukan dari kondisi bahwa :
𝑁 = (2𝑆 + 1) 𝑝 𝑛𝑝 , jika T0 , maka 𝑁 = (2𝑆 + 1) 𝑝𝑝𝐹 𝑛𝑝
• Dengan 𝑝𝐹 adalah momentum fermi yg terkait dengan energy fermi melalui:
• 𝜖𝐹 =𝑝𝐹
2
2𝑚
• Pada ground state maka :
𝑁 = 2𝑆 + 1
𝑝
𝑝𝐹
1 =2𝑆 + 1 𝑉
ℎ3
0
𝑝𝐹
4𝜋𝑝2𝑑𝑝
𝑁 =4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉
3ℎ3𝑝𝐹
3 =4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉
3ℎ32𝑚𝜖𝐹
32
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
𝜖𝐹 =ℏ2
2𝑚
6𝜋2𝑁
𝑉 2𝑠 + 1
2/3
=ℏ2
2𝑚
6𝜋2𝑛
2𝑠 + 1
2/3
Dimana n=N/V adalah rapat partikel.
• Energi internal pada Ground State :
𝑈0 = (2𝑆 + 1)
𝜖≤𝜖𝐹
𝜖𝑝 = (2𝑆 + 1)
𝑝≤𝑝𝐹
𝑝2
2𝑚
𝑈0 =2𝑆 + 1 𝑉2𝜋
𝑚ℎ3
0
𝑝𝐹
𝑝4𝑑𝑝 = 2𝑆 + 1𝑉2𝜋
5𝑚ℎ3𝑝𝐹
5
Energi Rata-Rata Ground State
𝑈0 =2𝑆 + 1 𝑉2𝜋
𝑚ℎ3
0
𝑝𝐹
𝑝4𝑑𝑝 = 2𝑆 + 1𝑉2𝜋
5𝑚ℎ3𝑝𝐹
5
𝑈0 =2𝑆 + 1 2𝜋𝑉
5𝑚ℎ32𝑚𝜖𝐹
5/2
Energi dalam per partikel pada ground state: (tak bergantung S!)
𝑈0
𝑁=
2𝑆 + 1 2𝜋𝑉5𝑚ℎ3 2𝑚𝜖𝐹
52
4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉3ℎ3 2𝑚𝜖𝐹
32
=3
5𝜖𝐹
Zero Point Pressure
• Tetapi berlaku persamaa PV = 2/3U, sehingga pada T=0 (Ground state) ini juga berlaku:
• P0V = 2/3 U0 atau:
𝑃0𝑉 =2
3
3
5𝑁𝜖𝐹 → 𝑃0 =
2
5𝑛𝜖𝐹
Dengan n=N/V adalah kerapatan partikel.
• Adanya tekanan pada temperatur NOL ini disebabkan karenahanya 1 (kasus spinless) Fermion yg bisa di energi NOL, sisanya mesti bergerak, memiliki momentum! Sehingga menimbulkan tekanan.
Zero Point Pressure
• Contoh : elektron di logam 𝑛 ≈ 7x1028./m3. Elektron spin s=1/2, maka energi ferminya :
• 𝜖𝐹 =ℏ2
2𝑚
6𝜋2
2𝑠+1 𝑣
2/3
≈ 7𝑒𝑉,
• sehingga tekanan temperature nolnya : P0 =3x84x1010 Pa
(besar atau kecilkah nilai ini?)
Suhu Fermi dan Eksitasi
• Suhu Fermi didefinisikan sbg 𝑇𝐹 = 𝜖𝐹/𝑘
• Pada logam nilai 𝜖𝐹 ≈ 2 𝑒𝑉, yang terkait dengan 𝑇𝐹 ≈2𝑥104𝐾. Artinya pada suhu ruang boleh dibilang electron “membeku” pada ground state, kecuali sedikit yang dekat dengan tingkat fermi 𝜖𝐹 yg mengalami eksitasi. Rata-rata energy eksitasi per partikel ≈ 𝑘𝑇
• Hanya sekitar 𝑇
𝑇𝐹≈ 1.5%
electron yang dekat tingkat Fermi yang pindah ke tingkat eksitasi lebih tinggi.
Persamaan Keadaan Gas Fermi Ideal(secara umum)
• Trick : Eliminasi z dalam pers. Gas fermi
𝑃
𝑘𝑇=
1
𝜆3𝑓5
2𝑧 𝑑𝑎𝑛
1
𝑣=
1
𝜆3𝑓3
2𝑧 (1)
• Dengan 𝑣 =𝑉
𝑁𝑑𝑎𝑛 𝜆 =
ℎ
2𝜋𝑚𝑘𝑇
• Sebenarnya rumus (1) di atas adalah untuk kasus spinless(s=0)!!!
• Jikalau spin 0, maka mesti dimasukkan faktor koreksi (2s+1),
Sebab untuk setiap satu nilai momentum p terdapat ms=-s,-s+1,..,0,..,s yg berbeda bisa ditempati fermion dan semuanyamemiliki energi p yg sama.
Limit Klasik Gas Fermi
• Dengan koreksi ini mestinya bentuk yg lebih umum bagipasangan persamaan untuk Fermion adalah:
𝑃
𝑘𝑇=
(2𝑠 + 1)
𝜆3𝑓5
2𝑧 𝑑𝑎𝑛
1
𝑣=
(2𝑠 + 1)
𝜆3𝑓3
2𝑧 (2)
• Limit klasik (non degenerate Fermi Gas), jika (T tinggi)
kasus 𝑧 = 𝑒𝛽𝜇 ≪ 1
• Dalam kondisi ini, maka distribusi FD menjadi MB:
< 𝑛𝑝 > =1
𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑝 + 1≈ 𝑧𝑒−𝛽𝜖𝑝
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
• Mari kita tinjau kasus spinless Fermion:𝑃
𝑘𝑇=
1
𝜆3 𝑓52
𝑧 𝑑𝑎𝑛1
𝑣=
1
𝜆3 𝑓32
𝑧 (1)
• Untuk kasus z kecil maka:
𝑓3
2
𝑧 = 𝑧 −𝑧2
232
+⋯ 𝑑𝑎𝑛𝑓5
2
𝑧 = 𝑧 −𝑧2
252
(2)
• Sub. Pers. (2) ke (1) :𝑃
𝑘𝑇≈
1
𝜆3 (𝑧 −𝑧2
252
) 3𝑎
1
𝑣=
1
𝜆3 (𝑧 −𝑧2
232
) (3𝑏)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Tujuan kita mengeliminasi z dari (3a) dan (3b), dengan cara sbb:
Dari (3b)
𝜆3
𝑣= 𝑧 −
𝑧2
232
(4)
Pecahkan untuk z:
𝑧 = 2 1 ± 1 − 2𝑧0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑧0 =𝜆3
𝑣(5)
Untuk kecil, dpt diekspansi
1 + Δ 𝑛 = 1 + 𝑛Δ +n n − 1
2Δ2 + ⋯
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Dengan mempertahankan sampai order ke2, diperoleh:
1 − 2𝑧0 = 1 −1
22𝑧0 −
1
4𝑧0
2 + ⋯
Sehingga dengan mengingat z>0, maka (5) menjadi:
𝑧 ≈ 2 1 − 1 −1
22𝑧0 −
1
4𝑧0
2 + ⋯
= 𝑧0 +1
232
𝑧02 + ⋯ (6)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Memakai aproksimasi z ini, maka persamaan bagi P di (3a) menjadi:
𝑃
𝑘𝑇=
1
𝜆3𝑧0 +
1
23/2𝑧0
2 −
𝑧0 +1
232
𝑧02
2
252
+ ⋯
Mempertahankan suku hingga kuadratis:
𝑃
𝑘𝑇=
1
𝜆3𝑧0 +
1
23/2𝑧0
2 −1
25/2𝑧0
2 + ⋯ (7)
Arti Limit Klasik
Atau dengan sub. Nilai z0:
𝑃𝑣
𝑘𝑇= 1 +
1
252
𝜆3
𝑣+ ⋯ (8)
Bentuk terakhir ini dikenal sebagai ekspansi virial (variabelekspansinya (1/v). Pada orde-nol maka kembali diperolehhasil gas ideal:
𝑃𝑉
𝑘𝑇= 𝑁
Suku koreksi1
252
𝜆3
𝑣bukan hasil potensial interaksi antar
partikel melainkan murni efek kuantum dari Fermion.
Arti Limit Klasik
• Kita bisa memakai z0 untuk memahami arti aproksimasiz<<1.
𝑧0 =𝜆3
𝑣≪ 1 berarti 𝜆/𝑣1/3 ≪ 1 .
Tetapi v1/3 = L: jarak rata-rata antar partikel.
• Berarti aproksimasi ini meminta panjang gelombang thermal jauh lebih kecil dibandingkan jarak rata-rata antar partikel.
• Artinya efek kuantum dapat diabaikan, jadi partikel terbedakan seperti di kasus gas ideal klasik.
• Jadi z<<1 analog dengan kasus klasik yaitu T tinggi
Arti Limit Klasik
• Berhubung 1/T, maka << berarti T>>, dan juga v>> berarti N/V << atau low density of particles.
• Jadi aproksimasi klasik berlaku baik bilamana : temperaturtinggi kerapatan partikel rendah.
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
• Rezim ekstrim yg lainnya adalah jika𝜆3
𝑣≫ 1 atau berarti suhu
rendah dan kerapatan partikel besar. Akibatnya efek kuantum(eksklusi Pauli) menjadi nyata sekali. Fungsi f3/2 tidak bisadiaproksimasi dengan polynomial, akan tetapi mestidiekspansi dengan cara lain (spt dilakukan Sommerfeld, lih. K. Huang, atau appendix slide ini), yaitu :
𝑓3
2
(𝑧) =4
3 𝜋ln 𝑧
3
2 +𝜋2
8
1
ln 𝑧+ ⋯ (9)
• Jika kita pertahankan suku ke satu saja (yang akan bagus jikaT0):
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
𝜆3
𝑣=
4
3 𝜋ln 𝑧
32
Pecahkan bagi z, dan substitusi nilai akan diperoleh:
𝑧 = 𝑒𝛽𝜖𝐹 (10)
Dengan F energi Fermi yang didefinsikan sbb (lihat Ground state):
𝜖𝐹 =ℏ
2𝑚
6𝜋2
𝑣
2/3
(11)
Fermion Pada Temperatur Rendah
• Bagaimana perilaku Fermion pada T rendah tapi bukan ground state (T0). Telah diturunkan di (9)-(11), untuk order terendah(kasus spinless fermion):
𝜆3
𝑣=
4
3 𝜋ln 𝑧0
32
ln 𝑧0 =3 𝜋
4𝑣𝜆3
2/3
= 𝛽𝜖𝐹 =𝜖𝐹
𝑘𝑇=
𝑇𝐹
𝑇
• Dengan suhu Fermi didefinisikan sbg: F = kTF.
Fermion Pada Temperatur Rendah
• Untuk ketelitian yang lebih baik, maka:
𝜆3
𝑣=
4
3 𝜋[ ln 𝑧
32 +
𝜋2
8
1
ln 𝑧+ ⋯]
Atau dapat dituliskan
ln 𝑧0
32 = [ ln 𝑧
32 +
𝜋2
8
1
ln 𝑧+ ⋯ ]
Fermion Pada temperatur rendah
𝑇𝐹
𝑇
32
= [ ln 𝑧32 +
𝜋2
8
1
ln 𝑧+ ⋯ ]
Atau dapat disusun ulang menjadi:
ln 𝑧32 =
𝑇𝐹
𝑇
32
−𝜋2
8
1
ln 𝑧
Trick, suku ln 𝑧 di ruas kanan di aproksimasi dengan ln 𝑧0 =TF
T:
Sehingga menjadi :
ln 𝑧32 ≈
𝑇𝐹
𝑇
32
−𝜋2
8
𝑇𝐹
𝑇
−12
≈𝑇𝐹
𝑇
32
1 −𝜋2
8
𝑇𝐹
𝑇
−2
Fermion pada temperatur rendah
Selanjutnya dengan aproksimasi : (1+x)n=1+nx+…, maka:
ln 𝑧 ≈𝑇𝐹
𝑇1 −
𝜋2
12
𝑇
𝑇𝐹
2
Padahal z = e, maka untuk suhu rendah dekat ground state:
𝜇 𝑇 ≈ 𝜖𝐹 1 −𝜋2
12
𝑇
𝑇𝐹
2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5
/F
TTF
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2
n
E/EF
T=0.1T=0.01
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
• Energi total sistem Fermion diberikan oleh:
𝑈 = Σ𝑝𝜖𝑝𝑛𝑝 =𝑉
ℎ3
0
∞
𝑑3𝑝𝜖𝑝𝑛𝑝 =𝑉
ℎ3
0
∞𝜖𝑝
𝑒𝛽 𝜖𝑝−𝜇 + 1𝑑3𝑝
=4𝜋𝑉
ℎ3
0
∞𝑝2𝜖𝑝
𝑒𝛽 𝜖𝑝−𝜇 + 1𝑑𝑝
Dengan 𝜖𝑝 =𝑝2
2𝑚dan integrasi parsial akan diperoleh:
𝑈 =𝛽𝑉
20𝜋2𝑚2ℏ2
0
∞𝑝6 𝑒𝛽 𝜖𝑝−𝜇
𝑒𝛽 𝜖𝑝−𝜇 + 12 𝑑𝑝
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
• Karena kita tidak jauh dari T=0, maka pengali p6 dalamintegrand akan berpuncak di sekitar = F saja. Faktor p6
diuraikan di sekitar pF, maka Sommerfeld (lihat misalnya K Huang) mendapatkan:*)
𝑈 =3
5𝑁𝜖𝐹 1 +
5
12𝜋2
𝑘𝑇
𝜖𝐹
2
+ ⋯
Untuk hasil ini telah dimanfaatkan ungkapan bagi (T) pada suhurendah.
*) atau alternative penurunan di slide bagian belakang
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
• Persamaan keadaan segera diperoleh melalui:
𝑃𝑉 =2
3𝑈 =
2
5𝑁𝜖𝐹 1 +
5
12𝜋2
𝑘𝑇
𝜖𝐹
2
+ ⋯
• Hasil ini menunjukkan bahkan pada T=0 memang tekanantidak=0, sehingga perlu “mewadahi” Fermion bahkan padaT=0.
Aplikasi: Distribusi Fermion
• Teori Bintang Katai
• Diamagnetism Landau
• Paramagnetism Pauli
• De Haas-Van Alphen effect
• dll
Apendix: Fungsi Fermi
• Untuk suhu rendah (𝑧 = 𝑒𝛽𝜇 besar! ), maka 𝑓3
2
(𝑧) tak dapat
diuraikan dengan deret kuasa yg biasa.
• Tinjau kembali bentuk integralnya:
𝑓32
𝑧 =4
𝜋
0
∞
𝑑𝑥𝑥2
𝑧−1𝑒𝑥2+ 1
• Substitusi : 𝑦 = 𝑥2 𝑧 = 𝑒𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝛼 = ln(𝑧)
• Maka :
𝑓32
𝑧 =2
𝜋
0
∞
𝑑𝑦𝑦
𝑒𝑦−𝛼 + 1
Apendix: Fungsi Fermi
• Fungsi 1
𝑒𝑦−𝛼+1untuk suhu rendah akan mendekati fungsi
tangga di sekitar 𝑦 = 𝛼. Jadi derivativenya akan serupa delta dirac di sekitar 𝑦 = 𝛼. Sifat ini akan dimanfaatkan.
• Integrasi parsial
𝑑𝑉 = 𝑦𝑑𝑦 𝑈 =1
𝑒𝑦−𝛼 + 1
0
∞
𝑑𝑦𝑦
𝑒𝑦−𝛼 + 1=
23𝑦
32
𝑒𝑦−𝛼 + 10
∞
−2
3
0
∞
𝑑𝑦𝑦
32𝑒𝑦−𝛼
𝑒𝑦−𝛼 + 1 2
• Integrand berpuncak sekitar 𝑦 = 𝛼
Apendix: Fungsi Fermi
0
∞
𝑑𝑦𝑦
𝑒𝑦−𝛼 + 1= −
2
3
0
∞
𝑑𝑦𝑦
32𝑒𝑦−𝛼
𝑒𝑦−𝛼 + 1 2
• Substitusi lagi 𝑦 − 𝛼 = 𝑡
0
∞
𝑑𝑦𝑦
32𝑒𝑦−𝛼
𝑒𝑦−𝛼 + 1 2= 𝛼3/2
−𝛼
∞
𝑑𝑡1 +
𝑡𝛼
3/2
𝑒𝑡
𝑒𝑡 + 1 2
• Jika 𝛼 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 → ∞
−∞
∞
𝑑𝑡1 +
𝑡𝛼
3/2
𝑒𝑡
𝑒𝑡 + 1 2
Apendix: Fungsi Fermi
• Ekspansikan 1 + 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 +𝑛 𝑛−1
2!𝑥2 + ⋯ .
−∞
∞
𝑑𝑡 1 +3
2
𝑡
𝛼+
3
8
𝑡
𝛼
2
+ ⋯ .𝑒𝑡
𝑒𝑡 + 1 2
• Karena fungsi 𝑒𝑡
𝑒𝑡+1 2 adalah fungsi genap (simetrik thd x -
x), maka hanya suku suku terkait tn untuk n genap yang tak NOL.
• Definisikan
𝐼0 =
−∞
∞
𝑑𝑡𝑒𝑡
𝑒𝑡 + 1 2= 1
Apendix: Fungsi Fermi
• Selanjutnya:𝐼1 = 𝐼3 = ⋯ .= 0
Dan
𝐼𝑛 = 2 0∞ 𝑡𝑛𝑒𝑡
𝑒𝑡+1 2 𝑑𝑡 untuk n: genap.
Misalnya 𝐼2 =𝜋2
3
Sebagai catatan 𝐼𝑛 bisa dinyatakan dengan fungsi terkenal Riemann Zeta. Dengan uraian ini maka :
𝑓32
𝑧 =3
4 𝜋ln 𝑧 3/2 +
𝜋2
8
1
ln 𝑧+ … .
Apendix: Fungsi Fermi
𝑓32
𝑧 =3
4 𝜋ln 𝑧 3/2 1 +
𝜋2
8(ln 𝑧)−2 + … .
• Dengan cara serupa dapat diturunkan bahwa:
𝑓52
𝑧 =8
15 𝜋ln 𝑧 5/2 1 +
5𝜋2
8(ln 𝑧)−2 + … .
Apendix: Fungsi Fermi
• Energi rata-rata system
𝑈 = −𝜕
𝜕𝛽ln 𝜁 = 𝑘𝑇2
𝜕
𝜕𝑇ln 𝜁 = 𝑘𝑇2
𝜕
𝜕𝑇
𝑉
𝜆3𝑓5
2𝑧
𝑈 =3
2𝑘𝑇
𝑉
𝜆3𝑓5
2(𝑧)
Dengan bantuan:
𝑁 =𝑉
𝜆3𝑓3
2(𝑧)
Maka :
𝑈 =3
2𝑁𝑘𝑇 𝑓5
2(𝑧)/𝑓3
2𝑧