Chap05-loisDiscretes

1

Chapitre 5 Chapitre 5 Lois Lois discrètesdiscrètes

Loi binomialeLoi de PoissonLoi hypergéométrique

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesMTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

A P P L I C A T I O N SA P P L I C A T I O N Scontrôle (maîtrise) statistique de la qualité

SPC Statistical Process Control

Ø introduction au cartes de contrôlecarte np - carte p - carte c - carte u

Ø contrôle de la qualité des lots

plans d’échantillonnage pour accepter

ou rejeter des produits regroupés en lots

hors

programme

2

DéfinitionDéfinition

X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité commune de succès de θ

X i la v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, nX i = 1 avec probabilité θ ou X i = 0 avec probabilité 1 - θ X1, X2,…, X n sont indépendantes,

X = ∑ X i est appelée une variable aléatoire binomiale (loi binomiale)

notation : X ~ b( n, θ ) : X suit une loi binomiale de paramètres (n, θ)fonction de masse Statistica : BINOM(x ; θ ; n)

pX (x) = Prob(X = x) = Cnx θ x (1- θ ) n – x x = 0 , 1 , …., n

fonction de répartition Statistica : IBINOM(x ; θ ;n)x

F(x) = P(X ≤ x) = ∑ Cnk θ k ( 1- θ ) n - k (table disponible site WEB)

k = 0moyenne - variance – écart type

E[X] = n θ Var[X] = n θ ( l - θ ) ET[X] = [n θ ( l - θ )] 0,5

L O I B I N O M I A L EL O I B I N O M I A L E



3

n : taille de l’échantillon - paramètre contrôlable connu

θ : paramètre généralement inconnu

comment estimer θ ?

réponse : l’estimation de θ est θ = X / n

où X = nombre succès en n essais de Bernoulliremarque : le symbole au dessus d’un paramètre indique une estimation

propriétésa) erreur systématique = écart entre θ et E ( θ )^

= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) – θ = ( E(X) / n ) - θ = ( n θ / n) - θ = 0b) erreur aléatoire = Var ( θ ) (variabilité de l’estimation)

= Var( θ ) = θ ( 1 – θ ) / n ≤ 0,25 / n pour tout θ

remarque : les notions de l’estimation seront développées dans un autre chapitre


MTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesMTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesL O I B I N O M I A L EL O I B I N O M I A L E

4

Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)

binom0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINO M-21 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14


BINOM-31 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-41 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09


BINOM-51 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08


BINOM-61 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

n =30 θ=0,3 n=30 θ=0,5 n=30 θ=0,9

n=100 θ=0,3 n=100 θ=0,5 n= 100 θ=0,8

L O I B I N O M I A L E (n , θ)

Bernard CLÉMENT, PhD 4


5

L O I de P O I S S O N Épreuve consiste à recenser le nombre de ‘’succès’’ relatifs à des événements répartis dans le temps ou l’espace. fenêtre d’observation (épreuve)Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de BernoulliÉvénements sont étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un intervalle continu: on compte le nombre d’apparition d’un événement spécifique. Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée.

Définition (conditions) SI1. Stationnarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve

est la même pour toutes les unités;

2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant du nombre d’occurrence sur les autres unités

X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λOn écrit X ~ Poi (λ )

Fonction de masse

pX ( x ) = e – λ λ x / x ! x = 0, 1, 2, ….Bernard CLÉMENT, PhD


6

Fonction de répartition k = x

F (x ) =∑ e – λ λ k / k ! (table disponible site WEB)

k = 0Moyenne - variance - écart type

moyenne = E (X ) = λ Var ( X ) = λ ET ( X ) = λ0,5

Un critère essentiel pour une distribution Poissonmoyenne = variance

Ce critère seul n’est PAS SUFFISANT pour caractériser la distribution Poisson.

Les conditions (page 5) doivent être vérifiées mais cela n’est pas

facile en pratique.

Les tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) seront vusdans une autre chapitre.Ces tests permettent de vérifier si une loi est plausible mais pas de démontrer la loi.


MTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesMTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesL O I de P O I S S O N

7

Exemples

• nombre d’appels téléphoniques que reçoit un central particulier

durant une période de temps (durant une heure par exemple)

• nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection

• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, uneplaque de métal ,…… (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)

• nombre de personnes qui se présentent à un guichet durant une périodede temps

Important- les conditions d’observation constituent une « fenêtre »

- définir précisément cette fenêtre et maintenir constante

- le nombre d’occurrences est proportionnel à cette fenêtre



8


POI-11 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40


POI-51 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20


POI-201 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

λ = 1

λ = 5



L O I de P O I S S O N

λ = 20

9

Exemple 1 tissus en longueur de 50 mètres de long. rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables. On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts. Achèteriez vos tissus de ce fabricant ?

Solution hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface

+ unité surface assez petite alors une seule occurrence (en moyenne)

Si oui, le processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres

Sur 10 mètres, le processus est Poissonnien avec λ = 2 / 5 = 0,4

On cherche Prob ( X = 0 ) = e – 0,4 (0,4) 0/ 0! = 0,67

Quelle votre décision ? ………



10

Exemple 2 un composant critique d’une machine se brise, en moyenne, λ fois par période de temps. Combien ( k ) de composants devraient-onstocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α

(α = 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en

cas de bris sans attendre la livraison de nouveaux composants ?

Solution X nombre total de bris du composantOn suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λà résoudre : x=k

P( X ≤ k ) = ∑ e – λ λx / x ! = 1 - α k = ?x=0

Quelques valeurs (λ , α ) - utilisation de la fonction de répartition

λ 0.5 1 2 5 100α 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01k 3 4 4 5 5 6 9 11 117 123



11

Résultat addition de variables Poisson

Soit X 1, X 2, …, X k des variables aléatoires indépendantes de

loi Poisson de paramètres λ 1,, λ 2 , …, λ k respectivement.

Alors Y = ∑ X i est une variable de loi Poisson de

paramètre λ où λ = ∑ λ i

Résultat approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

Si n ≥ 100 et θ ≤ 0.10 et n θ ≤ 10 alors

on peut approximer la loi binomiale ( n, θ )

par une loi de Poisson de paramètre λ = n θ



12

Exemple 3 confection de vêtements plein air : V = R + P + D- Revêtement extérieur (R) + Pellicule imper (P) + Doublure iso (D)- 2 fournisseurs : fournisseur A et fournisseur B- vêtement = pantalon + anorak

- pantalon exige 3 mètres Anorak exige 2 mètres

Questions 1. variables suivent-elles une loi Poisson ? (données dispon.)

2. Calculer la probabilité que l’ensemble pantalon + anoraka) soit sans défectuosité ( X = 0) ?b) ait au plus une défectuosité ( X ≤ 1) ?

avec les tissus du fournisseur A

tableau nombre de défectuosités – données page suivante

échantillon de pièces provenant de fourn. A et fourn. B



13

échantillon

R-A P-A D-A R-B P-B D-B

1 1 1 2 4 0 2

2 4 0 2 1 1 0

3 4 3 1 0 1 1

4 1 1 0 4 3 1

5 1 3 4 2 4 4

6 1 2 2 1 2 1

7 6 4 3 3 0 2

8 4 3 6 1 2 1

9 4 2 4 3 0 0

10 2 3 2 2 1 4

11 4 5 4 2 3 3

12 2 2 4 2 0 4

13 0 0 0 1 4 3

14 0 1 1 4 4 3

15 1 0 4 3 4 0

16 2 1 4 1 2 3

17 2 0 1 2 2 0

18 3 1 1 3 4 2

19 2 2 2 0 3 2

20 1 1 4 3 3 1

Exemple 3 : suiteNombre de défectuositésrouleau de 50 mètresR = RevêtementP = Pellicule imperméableD = DoublureA : fournisseur AB : fournisseur BR-A : revêtement fourn. AP-A : pellicule fourn. AD-A : doublure fourn. AR-B : rev. fournisseur BP-B : pell. fournisseur BD-B : doub. fournisseur B



14

Exemple 3 : suite1. loi de Poisson ? R-A P-A D-A R-B P-B D-B

Moy 2,25 1,75 2,55 2,10 2,15 1,85Var 2,60 1,99 2,68 1,57 2,24 1,92

R-B ne semble pas suivre une loi de Poisson

2. Avec le fournisseur Alambda Anorak Pantalon totalR (2/ 50)*2,25 (3/50)*2,25 0,225P (2/ 50)*1,75 (3/50)*1,75 0,175 D (2/ 50)*2,55 (3/ 50)*2,55 0,255total 0,262 0,393 0,655 = λ

a) Prob ( X = 0, λ = 0,655 ) = 0,5194

b) Prob ( X ≤ 1, λ = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594



15

L O I H Y P E R G É O M É T R I Q U EL O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E

Définitionlot de N articles dont D articles sont non conformes etN – D articles sont conformeséchantillonnage sans remise de n articlesX = nombre d’articles non conformes dans l’échantillonX suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D)

Fonction de masse pX (x ) = C Dx C N-D

n–x / CNn x = 0, 1, … , n

Moyenne = E( X) = n D / N

Variance = Var(x) = n [ D/N) ] [1– (D/N) ] [ (N – n)/(N – 1) ]

Approximation par avec loi binomiale

Si n / N ≤ 0,05 et θ = D / N alors

H(n ; N ; D ) ≈ b(n ; θ )



16

Exemple : N = 1000 D = 50 n = 20

[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ] Prob ( X = 0 ) =

1000 ! / ( 20 ! 980 ! )

= 950 x 949 x …….. x 931_

1000 x 999 x ………x 981

= 0,3549

approximation par loi binomiale : θ = 50 / 1000 = 0,05 n = 20

P ( X = 0 ) = θ0 ( 1 – θ )20 = 0,95 20 = 0,3585


MTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesMTH2302 Probabilités et méthodes statistiquesL O I H Y P E R G É O M É T R I Q U EL O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E

17

APPLICATIONSAPPLICATIONS : : introduction au introduction au CContrôle ontrôle SStatistique de la tatistique de la QQualité ualité

méthodes§ plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits

sur la base d’un échantillonnage : « Acceptance Sampling »§ maîtrise statistique des processus : « SPC » ou « CSP »

cartes de contrôle processus :comportement stable (normal) ou anormal ?

§ analyse de capacité§ planification d’expériences : DOE – Taguchi§ analyse processus de mesure§ fiabilité§ Quality Function Deployment ( QFD )§ Six Sigma



18

Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart

RESSOURCES

APPROVISIONNEMENT

MATÉRIAUX

ÉQUIPEMENTSPERSONNELENVIRONNEMENT

PROCESSUSétapes

méthodesprocédures

PRODUITou

SERVICE

PARAMÈTRESMESURABLES

etCONTRÔLABLES

VALEUR AJOUTÉE

CARACTÉRISTIQUESCRITIQUES

pour laQUALITÉ :- MESURES

- COMPTAGES- ATTRIBUTS

X1, X2, X3, … YFonction detransfert f

Y =f (X1, X2,..)

cartes de contrôle deShewhart s’appliquent à Y



19

carte np et carte p : base loi binomialecarte c et carte u : base loi Poisson

BUT signaler la présence d’une «cause spéciale»

de la qui a produit un changement important

carte dans comportement statistique du processus.

Remarque : p représente le paramètre θ de la loi binomiale

c représente le paramètre λ de la loi Poisson

Carte c et u (COMPTAGES)c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe)u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)




Carte p et np (ATTRIBUT)p : fraction de pièces non-conforme échantillon de n

pièces (n peut être variable)np : nombre de pièces non conforme échantillon de n

pièces (n est fixe)

20

carte p np c un variable constant constant variable

LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en généralrègle de 3 sigma de Shewhart (inventeur des cartes)

Ligne Centrale CL = moyenne Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité)Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité)

Formules limites de contrôle : attributs et comptages

carte n p : np ± 3 [ np ( 1 – np ) ] 0.5

carte p : p ± 3 [np ( 1 – np) / n i ] 0.5

carte c : c ± 3 (c ) 0.5

carte u : u ± 3 (c / n i ) 0.5

Remarque : représente l’opération de faire la moyenne arithmétique

sur des donnéesBernard CLÉMENT, PhD



21

Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500 X = nombre défectueux

X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 3146 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40

Np Chart; variable: x-défHistogram of Np

0 1 2 3 4 5 6 75

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.033

30.500

46.967




22

Inspection à 100 % - 1 lot au hasard choisi chaque jour

échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons

X = nombre de pièces non conformes dans le lot

La taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre

Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable

jour n X_1 3350 312 3354 1133 1509 284 2190 205 2678 356 3252 687 4641 1398 3782 129 2993 3

10 3382 1711 3694 1412 3052 813 3477 2714 4051 4415 3042 70

P Chart; variable: n-defHistogram of P

0 1 2 3 4-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8

2 4 6 8 10 12 14

.00683

.01298

.01914



23

Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités

X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 1619 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25

Histogram of C

01

23

45

67

89

1011

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)

5 10 15 20 25

6.7628

20.269

33.776



24

Echant. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Aire 10 12 20 11 7 10 21 16 19 26

X 14 18 30 13 5 10 39 24 34 49

Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections

U Chart; variable: N_IMPERFHistogram of U

0 1 2 3 4 5-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.81952

1.5526

2.2857



25

Produits regroupés en lots(critère opérationnel à définir selon les circonstances et les besoins)

les plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère àl’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles (produits, composants)dans le but d’obtenir une information servant de base à :

juger le lot- accepter le lot en le déclarant de « qualité satisfaisante »- rejeter le lot ; continuer l’ inspection ? inspection rectificatrice ?

Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots



26

OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?

§ Réception de lots de matières premièresou de produits semi-fini provenant defournisseurs externes.

§ En cours de fabrication à des points decontrôle fixés par le processus.

§ Avant l'expédition des produits.



27

A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage§ Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.§ Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.§ Seule alternative si le test est destructif .§ Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.§ Décision plus rapide pour disposer du produit.§ Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.§ Conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité ne

sont pas élevées.

D É S A V A N T A G E S

§ risque du producteur = probabilité de rejeter un lot dequalité satisfaisante = alpha = α

§ risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot demauvaise qualité = beta = β



28

NOTATION - TERMINOLOGIE

N : nombre d’unités dans le lot = taille du lotn : nombre d’unités dans l’échantillonD : nombre d’unités non conformes dans le lotp = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lotX : nombre d’unités non conformes dans l’échantillonX / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillonc = Ac : nombre d’acceptation (plan simple)

si X <= c alors on accepte le lotsi X > c alors on rejette le lot

P a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité pα = alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité

β = beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité



29

AQL ( « Acceptable Quality Level »)proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client)

c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage

RQL ( « Rejectable quality level » )proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes)qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisantepar le consommateurc’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage

Plan d'échantillonnage défini par: (n, Ac, Re )



NOTATION - TERMINOLOGIE

30

RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS

DÉCISIONAccepter lot

Rejeter lot

bonne mauvaise

QUALITÉ LOT

1 - α

α

β

1 - β

α : risque du producteur

β : risque du consommateur



31

courbe caractéristique plan d’échantillonnage

0 AQ L RQ L

pproportionnon conforme

1

1 - α

β

0

P a ( p ) : probabilité accepter lot



32

Calcul de la probabilité d’accepter : P a ( p )

Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélever

Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise

p = D/N qualité du lot ( D = p N )X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon

X distribuée selon une loi de probabilité

Hypergéométrique ( N, D, n )



33

Calcul de la probabilité d’accepter Pa ( p )

∑=

−−

=C

xa

nN

xnpN

xpN

pP0

)1(

)( hypergéométrique (exacte)

xnxC

xpp

xn −

=

−

= ∑ )1(

0 Binomiale : si n / N < 0.1

∑=

−

=c

x

xnp

xnpe

0 !)(

Poisson : si p " petit " et n est " grand "

APPROXIMATION



34

EXEMPLE n = 89 c = 2

P 0,005 0,010 0,020 0,030 0,040 Pa 0,990 0,940 0,737 0,498 0,304

P 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 Pa 0,172 0,091 0,047 0,023 0,01

dd

da pp

dP −

=

−

=∑ 89

2

0

)1(89



35

Courbe caractéristique plan n = 89 c = 2Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c)

0.005 0.015 0.025 0.035 0.045 0.055 0.065 0.075 0.085 0.095 0.105-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Pa-

p



36

design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n = ? c = ?

trouver n et c tels que

Pa ( p1 ) = 1 - αPa ( p2 ) = β

Pa : fonction répartition (page 33)

p1 p2

p proportiond’articlesnon conformes

11 – α

β

0



Documents

Chap05-loisDiscretes