Chapitre 05-Etude Dynamique

7/18/2019 Chapitre 05-Etude Dynamique

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Ch ap it r e V Etu d e d y n am iq u e

CCHHAAPPIITTRREE 55

EEttuuddee ddyynnaammiiqquuee..




INTRODUCTION :

L’étude dynamique ; étape importante de l’étude de la structure ; à pour but ladétermination des MODES PROPRES de vibrations ainsi que les pulsations propresde la structures. Cela permettant la détermination des efforts appliqués à la structurelorsque cette dernière est sollicitée par un chargement dynamique (séisme ou vent).

I- MODELISATION DE LA STRUCTURE :

Rappelons que le nombre de degrés de libertés dynamiques est égal aunombre de composantes du déplacement des masses exprimées par les forcesd’inerties se développant dans celle-ci.

Ces déplacements sont évalués en un nombre de point de la structure,appelées NŒUDS où sont concentrées les masses. Dans le cas le plus générale unnœud possède six (6) mouvements possibles (trois translations et trois rotations) etle nombre de degrés de libertés d’une système donné est égal à : n = 6p (avec p :nombre de nœuds).

Dans le cas de structures de bâtiments, les degrés de libertés sont constituéspar les déplacements des nœuds situés à chaque niveau, dans l’hypothèse deplanchers infiniment rigide et dans le cas ou effectivement une grande partie de lamasse est concentrée aux niveaux des planchers. Ainsi, on peut affecter à chaquenœud la masse du niveau. Si la rigidité axiale des poteaux et des voiles estsupposées infinie, on aboutis au « MODELE BROCHETTE » :






L’écriture sous cette forme fait intervenir les deux grandeurs fondamentalescaractérisant l’oscillateur simple :

1- PULSATION PROPRE :m

kω

Où, de façon équivalente : la FREQUENCE PROPRE :m

k

2

1

2f

ππ

ω .

Où : la PERIODE PROPRE :k

m2

f

1T π .

2- POURCENTAGE D’AMORTISSEMENT CRITIQUE :cc

cmk2

c

ξ

Où : cc amortissement critique.

La résolution de l’équation (3) donnant la réponse de l’oscillateur simple est obtenuede façon classique en cherchant une solution de l’équation homogène, sans secondmembre [en posant : F(t)=0], et une solution particulière.

Remarques :

1- la résolution de l’équation homogène conduit à l’étude des vibrations libre.

2- la recherche de la solution particulière conduit à l’étude des vibrationsforcées.

II-B- SYSTEME A (n) DEGRES DE LIBERTES (n DDL) :

Dans ce qui a précédé, nous avons vue qu’il étais possible réduire l’étudedynamique d’une structure à celle d’une système à 1ddl, dont l’équilibre dynamiqueest régis par une équation différentielle du second ordre.




L’équation dynamique d’équilibre est :

tF)t(xM)t(xC)t(xK

................................................................... (4)

III- METHODES DE CALCULS :

De l’équation (4), on a le système d’équations différentielles :

tF)t(xM)t(xC)t(xK

Pour résoudre ce système on calcul se doit de calculer les pulsations et lesvecteurs propres. Deux méthodes s’offre à nous :

1- Méthode exacte ;

2- Méthode approchées.

III-A- METHODE EXACTE :




La nature de la réponse dépend des valeurs des racines de l’équationcaractéristique :

Δ=0 : système critique :

m

km2c0km4²c ωω

Ainsi : l’amortissement critique : ωm2c c

Δ>0 : système sur-critique :

ccc0km4²c

Δ=0 : système sous-critique :

ccc0km4²c

On a définie plus haut :cc

c

mk2

c

ξ

Et on définie : « la pseudo-pulsation » : ²1D ξωω

En génie civil ; on est dans le cas des système sous-critiques avec :

ωωξ D1.0;05.0

Ainsi, nous pouvons simplifier le système en un système « non amortie » :

L’équilibre s’écrit :

0)t(xK)t(xM

......................................................................................... (5)

Recherchons les solutions de la forme :




Détermination des pulsations propres :

0M²Kdet0M²K ωω ................................................................... (7)

L’équation (7) est un polynôme de degré n ; les racines de ce polynôme représententles pulsations propres (ωi) du système.

Avec : ω1 < ω2 < ω3 .......< ωn

Détermination des vecteurs propres :

A chaque pulsation propre (ωi) correspond un vecteur propre {φ}i déterminer à partir

de l’équation : 0M²Ki ωφ , en fixant l’une des composantes de { φ }i.

Les vecteurs propres ainsi obtenues, sont assemblés au sein d’une matrice dite :MATRICE MODALE [φ].

2- Résolution de l’équation (calcul de la réponse) :

Pour obtenir les vecteurs de réponse {x(t)}, on découple système par un passage enCOORDONEES MODALES (ou principales).

)t(F)t(xK)t(xM)t(F)t(xK)t(xM)5( T1T1T

φφφφφφφ

On pose :

φφ KK T

P : Matrice diagonale ;

MMT

Matrice diagonale




(8) est l’équation d’équilibre du système exprimé en coordonnée principales.

équationsn

)t(F)t(xk)t(xm

)t(F)t(xk)t(xm

PnPnPnPnPn

1P1PP1P1P

Après la détermination des vecteurs {xpi(t)}, on repasse en coordonnées réellesavec :

{xi(t)} = [φ] {xpi(t)}

III-B- METHODES ITERATIVE :

Elles permettent de déterminer les caractéristiques dynamiques d’unestructure (pulsations, périodes et vecteurs propres)




Soit le système (5) : 0)t(xK)t(xM

nous recherchons des solutions de la forme : tsin)t(x ωφ

tcos)t(x ωφω

tsin²)t(x ωφω

en substituant dans (5), on obtient : 0M²K ωφ ........................................ (9)

Soit : [S] : la matrice souplesse (flexibilité) ; avec [S]=[K]-1

0MKS9 i2i φω

2i

ii

i2i

i2i

1MS

idenditématrice::avec0MS

0MSKSS

ωφφ

ΙφωΙ

φω

iiiMS λ φφ .................................................................................... (10)

2i

i

1:avec

ωλ

Sur la base du système (10), le reste des calcul sera fait :

2- Etape de calcul :

- Détermination de la matrice masse [M].- Détermination de la matrice de souplesse [S].




2ème itération :

On peut maintenant déterminer une approximation plus exacte du vecteur

propre :

1

1k

1

2

1 y1

λ φ

On procède de la même manière que pour la première itération mais en

prennent comme approximation : 2

1φ

On continue avec le même processus jusqu'à convergence : i.e. :

j1

1 j1 φφ

Suite a cela pulsation propre du 1èr mode « ωi » et la période propre « Ti » :

ω

π

λ ω

2T

1i

j

i

2ème MODE :

On détermine la nouvelle matrice dynamique : [D’] ; tel que :

[D’] = [D] [T]

00

0010

aa1

T

n112

n11

n1nn1 m

m

a

φ

φ




III-C- COEFFICIENT DE PARTICIPATION MODAL :

Ce coefficient correspond à un mode de vibration propre, il définit le pourcentage

d’énergie absorbée durant ce mode. Il est donné par :

k2

kik

2kik

im

1

m

m

φ

φα

D’après le RPA (art. 4.3.4), le nombre de modes à prendre en compte est tel que :

∑αi > 90%

IV- CALCUL DE LA STRUCTURE :

VI-A- CARACTERISTIQUES DYNAMIQUES :

1- Matrice masse : (MN)

6.072 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 6.019 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 5.961 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 5.855 0 0 0 0 0 0

[M] = 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 5.855 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5.855 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 5.757 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5.686 00 0 0 0 0 0 0 0 0 6.218

Détermination de la matrice de souplesse [S] :




2- Matrice souplesse : sens x-x :

MN

m

5.57 8.26 10.38 12.83 15.28 17.73 20.18 22.62 25.07 27.52

8.26 18.05 27.52 37.31 47.10 56.90 66.69 76.48 86.27 96.06

10.38 27.52 44.66 68.48 89.31 110.13 130.96 151.78 172.61 193.43

12.83 37.31 68.48 103.77 139.74 175.71 211.68 247.66 283.63 319.60

[S] = 15.28 47.10 89.31 139.74 194.29 249.52 304.75 359.98 415.22 470.18 x 10-5

17.73 56.90 110.13 175.71 249.52 327.44 406.05 484.66 563.26 641.87

20.18 66.69 130.96 211.68 304.75 406.05 511.46 617.55 723.65 829.74

22.62 76.48 151.78 247.66 359.98 484.66 617.55 754.50 892.26 1029.9625.07 86.27 172.61 283.63 415.22 563.26 723.65 892.26 1064.99 1238.41

27.52 96.06 193.43 319.60 470.18 641.87 829.74 1029.96 1238.41 1450.97

3- Matrice souplesse : sens y-y :

MN

m

9.67 18.53 32.30 34.40 42.58 50.59 55.69 66.78 74.88 82.9818.5

3 50.91 82.98 115.36 147.75 180.13 212.52 244.63 277.29 309.6832.3

0 82.98149.5

9 218.46 287.34 356.21 425.09 493.96 563.03 631.7234.4

0115.3

6218.4

6 335.17 454.14 573.11 692.08 811.05 930.031049.0

0[S]=

42.58

147.75

287.34 454.14 634.60 817.22 999.90

1182.57

1365.25

1547.92

x 10-

5

50.59

180.13

356.21 573.11 817.22

1074.63

1334.92

1594.63

1854.89

2114.88

55.69

212.52

425.09 692.08 999.90

1334.92

1683.56

2034.46

2384.67

2735.76

66 7 244 6 493 9 1182 5 1594 6 2034 4 2487 6 2943 0 3398 4




7.7922.4

6 40.83 60.76 81.8 1102.8

7123.9

3142.5

9161.2

7198.7

2[D1] = [S].[M]

= 9.28

28.3

5 53.24 81.81

113.7

5

146.0

9

178.4

2

207.2

5

236.1

0

292.3

4

x 10-

5

10.77

34.25 65.65

102.87

146.09

191.71

237.73

279.04

320.27

399.09

12.25

40.14 78.07

123.93

178.42

237.73

299.44

355.55

411.47

515.90

13.74

46.04 90.49

145.00

210.76

283.75

361.56

434.39

507.34

640.39

15.22

51.93

102.90

166.06

243.10

329.77

423.68

513.71

605.55

769.99

16.7

1

57.8

2

115.3

1

187.1

2

275.2

8

375.7

9

485.7

9

592.9

8

704.1

6

902.1

6

1 re

itération : 2 me

itération :

0 0.000 0.019 0.001

0 0.001 0.066 0.002

0 0.001 0.133 0.004

0 0.002 0.220 0.006

Φ 1 = 0 Y = 0.003 Φ 1 = 0.324 Y = 0.009

0 0.004 0.442 0.0120 0.005 0.572 0.015

0 0.006 0.710 0.018

0 0.008 0.854 0.022

1 0.009 1.000 0.025

λ = 0.009 λ = 0.025

3 me

itération : 4 me

itération :

0.022 0.001 0.022 0.0010.074 0.002 0.074 0.002

0.147 0.004 0.147 0.004

0.239 0.006 0.239 0.006




0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

[T1] = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Matrice dynamique :

0 -6.27 -15.80 -27.64 -42.02 -58.14 -75.47 -92.04 -108.91 -138.96

0 -5.78 -16.16 -30.22 -47.90 -68.17 -90.23 -111.57 -133.36 -171.42

0 -4.36 -14.31 -25.35 -42.60 -63.09 -85.85 -108.23 -131.17 -170.31

0 -3.41 -9.79 -20.16 -35.50 -54.86 -77.00 -99.27 -122.25 -160.55

[D2] = [D1].[T] = 0 -2.46 -7.03 -14.55 -25.96 -41.76 -60.88 -80.78 -101.56 -135.52 x 10

-5

0 -1.50 -4.29 -8.94 -16.02 -26.25 -39.93 -55.17 -71.52 -97.37

0 -0.55 -1.53 -3.33 -6.09 -10.34 -16.58 -24.84 -34.45 -49.15

0 0.42 1.25 2.34 3.93 5.67 7.30 8.00 7.48 6.99

0 1.38 4.00 7.95 13.87 21.58 31.05 41.13 51.56 68.00

0 2.33 6.76 13.58 23.67 37.51 54.84 74.28 96.09 131.64

1ére itération : 2ème itération :

0 -0.00139 -1.05566 -0.000230 -0.00171 -1.30224 -0.00048

0 -0.00170 -1.29383 -0.00066

0 -0.00161 -1.21969 -0.00081






λ = 0.00023 λ = 0.00014

3ème itération : 4ème itération :

1.57866 0.00012 1.12307 0.00010

1.81251 0.00016 1.45952 0.000141.20364 0.00012 1.06976 0.00011

0.56467 0.00008 0.68437 0.00007

Φ 3 = -0.30210 Y = -0.00001 Φ 3 = -0.12846 Y = -0.00001

-0.89004 -0.00009 -0.78077 -0.00008

-1.02781 -0.00011 -1.02470 -0.00010

-0.66958 -0.00008 -0.72779 -0.00008

0.06779 0.00000 0.01707 0.00000

1.00000 0.00011 1.00000 0.00010

λ = 0.00011 λ = 0.00010

5ème itération :

1.011 0.00010

1.356 0.00013 Conclusion :

1.035 0.00010

0.704 0.00007 ω² = 10088.040

Φ 3 = -0.080 Y = -0.00001 ω = 100.439 rad/s

-0.743 -0.00007 T = 0.063 s

-1.019 -0.00010-0.745 -0.00007

0.001 0.00000

1.000 0.00010

λ = 0.00010

4- Coefficients de participations :

1ér mode :

0.022 6.072 0.135 0.003

0.074 6.019 0.448 0.033




-0.808 5.855 -4.732 3.825

-0.512 5.855 -2.999 1.536

-0.081 5.757 -0.467 0.038

0.439 5.686 2.494 1.0941.000 6.218 6.218 6.218

∑ m = 59.132 (∑m Φ) ² = 350.449 ∑m Φ² = 27.352

α2 (%) = 21.668

3èmer

mode :

1.011 6.072 5.875 5.685

1.356 6.019 7.911 10.397

1.035 5.961 6.081 6.202

0.704 5.855 4.164 2.961

Φ 3 = -0.080 m = 5.855 m Φ = -0.352 m Φ² = 0.021

-0.743 5.855 -4.254 3.091-1.019 5.855 -5.953 6.053

-0.745 5.757 -4.333 3.261

0.001 5.686 -0.040 0.000

1.000 6.218 6.218 6.218

∑ m = 59.132 (∑m Φ)² = 234.572 ∑m Φ² = 43.890

α3 (%) = 9.038

Conclusion : ∑ αi = 96.083 %




45.47

166.91

335.65

544.50

799.31

1085.98

1396.15

1694.41

1998.23

2541.67

50.3

8

186.4

0

376.6

0

614.1

6

906.2

6

1238.1

9

1601.7

0

1956.6

1

2324.3

6

2978.7

8


0 0.00052 0.01732 0.00163

0 0.00193 0.06464 0.00596

0 0.00393 0.13186 0.01200

0 0.00652 0.21896 0.01965

Φ 1 = 0 Y = 0.00962 Φ 1 = 0.32310 Y = 0.028600 0.01315 0.44144 0.03854

0 0.01701 0.57103 0.04917

0 0.02113 0.70936 0.06026

0 0.02542 0.85326 0.07159

1 0.02979 1.00000 0.08301

λ = 0.02979 λ = 0.08301

3ème itération : 4ème itération :0.020 0.002 0.020 0.002

0.072 0.006 0.072 0.006

0.145 0.012 0.145 0.012

0.237 0.020 0.237 0.020

Φ 1 = 0.345 Y = 0.029 Φ 1 = 0.345 Y = 0.029

0.464 0.039 0.465 0.039

0.592 0.050 0.593 0.050

0.726 0.061 0.726 0.061

0.862 0.073 0.863 0.0731.000 0.085 1.000 0.085

λ = 0.085 λ = 0.085




Matrice dynamique :

0-

10.16-

23.20 -48.14 -74.41-

104.17-

138.02-

167.11-

198.53-

254.07

0-

10.17-

31.84 -63.21-

103.72-

150.73-

202.31-

252.79-

304.04-

392.77

0-

21.20-

52.57-

100.05-

163.42-

238.10-

320.76-

401.89-

484.81-

627.68

0 -6.34-

20.75 -46.56 -87.36-

140.20-

201.54-

264.02-

328.56-

434.69

0 -4.87-

15.58 -34.64 -65.70-

110.40-

165.59-

223.93-

284.95-

382.92x 10

-

5

[D2] = [D1].[T]= 0 -3.02 -9.68 -21.51 -41.03 -70.46

-110.71

-156.89

-206.17

-283.47

0 5.24 9.00 12.15 13.55 11.41 3.46 -12.03 -32.04 -58.57

0 0.14 1.38 3.52 6.62 10.08 13.29 13.20 9.03 3.05

0 1.95 7.01 16.02 30.40 50.44 75.47 103.30 131.98 175.78

0 3.61 12.4 2 28.52 54.20 90.68 138.21 193.44 256.30 357.06


0 -0.003 -0.712 -0.001

0 -0.004 -1.100 -0.001

0 -0.006 -1.758 -0.002

0 -0.004 -1.217 -0.003Φ 2 = 0 Y = -0.004 Φ 2 = -1.072 Y = -0.003

0 -0.003 -0.794 -0.002

0 -0.001 -0.164 -0.001

0 0 000 0 009 0 000




-0.699 -0.002 -0.697 -0.002

-0.887 -0.002 -0.886 -0.002

Φ 2 = -0.937 Y = -0.002 Φ 2 = -0.937 Y = -0.002

-0.815 -0.002 -0.815 -0.002-0.524 -0.001 -0.525 -0.001

-0.090 0.000 -0.090 0.000

0.434 0.001 0.434 0.001

1.000 0.002 1.000 0.002

λ = 0.00218 λ = 0.00218

Conclusion :

ω² = 458.395ω = 21.410 rad/s

T = 0.293 s

3- Le troisième mode :

Matrice de balayage :

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -3.00 -6.37 -11.41 -18.07 -26.16 -34.79 -43.99 -58.95

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0




0 0.00265 2.23498 0.00053

0 0.00174 1.46199 0.00060

0 0.00477 4.01754 0.00074

0 -0.00035 -0.29614 0.00034Φ 3 = 0 Y = -0.00074 Φ 3 = -0.61961 Y = -0.00005

-1 -0.00090 -0.75385 -0.00038

0 -0.00284 -2.39318 -0.00057

0 -0.00013 -0.10653 -0.00034

0 0.00045 0.38296 0.00003

1 0.00119 1.00000 0.00047

λ = 0.00119 λ = 0.00047

3ème itération : 4ème itération :1.12735 0.00029 0.86074 0.00026

1.27399 0.00039 1.13093 0.00035

1.57549 0.00048 1.40034 0.00043

0.71332 0.00025 0.73024 0.00024

Φ 3 = -0.11414 Y = -0.00001 Φ 3 = -0.01802 Y = 0.00000

-0.80395 -0.00024 -0.71050 -0.00022

-1.20598 -0.00039 -1.14171 -0.00036

-0.71625 -0.00026 -0.75571 -0.00025

0.06997 0.00000 0.01186 0.000001.00000 0.00034 1.00000 0.00032

λ = 0.00034 λ = 0.00032

5ème itération :

0.81825 0.00026

1.08946 0.00034 Conclusion :

1.35156 0.00042

0.73608 0.00023 ω² = 3165.086

Φ 3 = 0.00718 Y = 0.00000 ω = 56.259 rad /s-0.68749 -0.00022 T = 0.112 s

-1.12468 -0.00035

-0.76782 -0.00024




∑ m = 59.132 (∑m Φ)² = 692.848 ∑m Φ² = 17.993

α1 (%) = 65.12

2èmer

mode :

-0.160 6.072 -0.978 0.158

-0.427 6.019 -2.579 1.105

-0.697 5.961 -4.164 2.909

-0.886 5.855 -5.192 4.605

Φ 2 = -0.937 m = 5.855 m Φ = -5.488 m Φ² = 5.145

-0.815 5.855 -4.770 3.887

-0.525 5.855 -3.069 1.609

-0.090 5.757 -0.518 0.047

0.434 5.686 2.469 1.072

1.000 6.218 6.218 6.218

∑ m = 59.132 (∑m Φ)² = 326.635 ∑m Φ² = 26.753

α2 (%) = 20.65

3ème

mode :

0.818 6.072 4.881 3.924

1.089 6.019 6.470 6.954

1.352 5.961 7.968 10.650

0.736 5.855 4.315 3.180

Φ 3 = 0.007 m = 5.855 m Φ = 0.092 m Φ² = 0.001-0.687 5.855 -3.976 2.700

-1.125 5.855 -6.556 7.342

-0.768 5.757 -4.442 3.427



Ch ap itr e V Etu d e d y n am iq u e

90

Modes propres (sens x-x)

mode I

mode II

mode III



Ch ap itr e V Etu d e d y n am iq u e

91

Modes propres (sens y-y)

mode I

mode II

mode III

Documents

Chapitre 05-Etude Dynamique