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Le moment cinétique
chapitre 10
1.
2.
3.
4.
Quiz de bienvenue
Soit une rotation, représentée par l’opérateur dans l’espace de Hilbert, ce
qui signifie qu’une fonction d’onde tournée sous l’action de cette rotation
s’écrit . On considère un système décrit par l’hamiltonien supposé
invariant sous l’action de cette rotation. Quelle est la relation ci-dessous la
plus générale qui soit toujours vérifiée ?
Si vous avez changé de canal, tapez: [Ch]-[4]-[1]-[Ch] ou [Go]-[4]-[1]-[Go]
1.
Le moment cinétique orbital
On ne peut pas connaître simultanément les différentes composantes
cartésiennes du moment cinétique!
De même :
L’observable moment cinétique
L’observable
Il est donc possible de mesurer simultanément la norme du moment
cinétique et l’une de ses composantes cartésiennes.
De même : et
(voir QCM)
2.
Moment cinétique et rotations
Représentation d’une rotation dans l’espace de Hilbert
On considère l’effet d’une rotation d’un angle
autour de l’axe sur une fonction d’onde
Représentation d’une rotation infinitésimale
sont les générateurs infinitésimaux du groupe des rotations.
On considère une rotation d’un angle autour de l’axe .
Invariance et commutation Soit un système invariant par l’opération représentée par dans l’espace de Hilbert.
Donc
Mais
Invariance par rotation et moment cinétique
Invariance par rotation : Pour tout axe et tout angle
Ceci est vrai en particulier pour les petits angles.
On peut donc chercher une base propre commune à et l’une des
composantes cartésiennes de
On choisit traditionnellement :
3.
Le problème général
d’une observable de moment cinétique
Recherche des états propres communs de
Elie Cartan
1869 - 1951
Les valeurs propres de sont positives ou nulles.
On les note :
Les valeurs propres de et
On appelle l’espace propre commun à et associé aux valeurs
propres respectives et
Les opérateurs et
Alors : et (voir QCM)
Action de et sur un vecteur propre commun
Que dire de ?
Calcul de la norme de avec
1/2
0 1/2 1 3/2 2
1
3/2
2
-1/2
-1
-3/2
-2
Valeurs autorisées pour j et m
Vecteurs propres et valeurs propres de
1/2
0 1/2 1 3/2 2
1
3/2
2
-1/2
-1
-3/2
-2
Soit une base propre de
On définit la base standard selon la relation
4.
Application au moment cinétique orbital
En coordonnées sphériques, on a
C’est un peu fastidieux, mais on peut également montrer (exercice)
Expression des opérateurs en coordonnées sphériques
La variable radiale r n’intervient pas
Variables radiales et angulaires
Les valeurs propres de et
Mais : entier entier
0 1 2
1
2
-1
-2
est une fonction réelle qui s’annule fois dans l’intervalle
Legendre
1752 - 1833
Les harmoniques sphériques
Cas
est un opérateur différentiel linéaire du premier ordre Solution unique.
On montre
On applique la relation de récurrence :
(PC)
Quelles sont les valeurs de et pour l’harmonique sphérique
représentée ci-dessous ?
Reconnaissez l’harmonique sphérique (1)
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
Quelles sont les valeurs de et pour l’harmonique sphérique
représentée ci-dessous ?
Reconnaissez l’harmonique sphérique (2)
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
Représentation graphique des harmoniques sphériques
est une fonction réelle qui s’annule fois dans l’intervalle
5.
Rotation d’une molécule diatomique
1. Dimension 1
2. Dimension 2
3. Dimension 3
4. Dimension infinie
On modélise l’état de rotation d’une molécule
diatomique à l’aide de l’orientation d’un
« rotateur rigide », repérée par les angles q et j.
Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert
correspondant ?
Espace de Hilbert associé à un « rotateur rigide »
Hamiltonien d’un rotateur rigide
Energie cinétique de rotation :
Moment d’inertie :
Mécanique classique
Mécanique quantique
Illustrations expérimentales
Niveaux rotationnels de molécules froides de Cs2
Fioretti et al., Eur. Phys. J. D 5, 389 (1999)
Laboratoire Aimé Cotton, Orsay
Spectre rotationnel du monoxyde de carbone (infrarouge lointain)
Fleming & Chamberlain, J. Infrared Phys. 14, 277 (1974)
115
GHz
Spectroscopie rotationnelle de la nébuleuse d’Orion
Conclusion
1/2
0 1/2 1 3/2 2
1
3/2
2
-1/2
-1
-3/2
-2 Cas du moment cinétique orbital
Que dire des valeurs demi-entières de ?
