CHAPITRE 2

Élasticité

Équations d’équilibre

Équations de compatibilité géométrique

Champs de contrainte et Fonctions d’Airy

Applications

Équations d’équilibre

DCL

Équations d’Équilibre

Fx=0

Fy=0

0dxdyFdxdyy

dxdyy

dydx

0dxdyFdxdyy

dydxx

dxdy

yxy

xyy

yxyy

xxy

xyx

xxyx

Fx

Fy

Équations d’équilibre 2D et 3D

0

0

yxyy

xxyx

Fxy

Fyx

x

xyx

xy

yx

yx

y

y

0

0

0

zyzxzz

yyzxyy

xxzxyx

Fzxz

Fzxy

Fzyx

Conditions aux rives

Forces de surface en 2D

A/R

A/R

A/R

zz

yy

xx

A/R

A/R

yy

xx

m

m

yyxy

xyxx

Forces de surface en 3D

x

y

x x xy xz

y xy y yz

z xz yz z

m n

m n

m n

Équation de compatibilité

z

w= z

z

u

x

w= xz

z

v

y

w= yz

x

u= x

y

v= y

x

v

y

u= xy

yxxy xyyx

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

yx

u

x

u

yyx

2

3

2

2

2

2

xy

v

y

v

xxy

yx

v

yx

u

x

v

y

u

yx=

yxxy

2

3

2

322

État plan de déformation

yxxy xyyx

2

2

2

2

2

)(E zyxx 1

)(E zxyy 1

01

)(E yxzz

Gxy

xy

yxx E 1

1 2

xyy E 1

1 2

xyxy

xy E

)(

G

12

yx

)(x

)(y

xyxyyx

2

2

2

2

2

211

y

F

x

F

yxyx

yxyxxy

2

2

2

22

2

0

0

yxyy

xxyx

Fxy

Fyx

22xy xyx x x

x 2

2 2y xy y xy y

y 2

F F 0

x x y x x y x

F F 0

y y x y y x y

Compatibilité

Équilibre

d’où

État plan de déformation (suite)

y

F

x

F

yxyx yxyxxy

2

2

2

22

2

y

F

x

F

yx

yxyx 1

12

2

2

2

yx

)(x

)(y

xyxyyx

2

2

2

2

2

211

Équation de Compatibilité Géométrique

Équilibre

Compatibilité

02

2

2

2

yxyxEn l’absence des forces

volumiques

État plan de contrainte

yxxy xyyx

2

2

2

2

2

)(E zyxx 1

)(E zxyy 1

)(E yxzz 1

Gxy

xy

0

0

yxyy

xxyx

Fxy

Fyx

Compatibilité

Équilibre

yxx E

1

xyy E

1

yxyxz E

1

xyxy

xy E

)(

G

12

y

F

x

F

yxyx

yx 12

2

2

2

Équation de Compatibilité Géométrique

02

2

2

2

yxyx

En l’absence des

forces volumiques

Champs de contrainte (fonctions d’Airy)

Équation de Compatibilité Géométrique

champ de contrainte, (x,y) tel que les conditions aux rives sont satisfaites

Et en fonction de (x,y)

2

2

y x

2

2

x y

yx xy

2

024

4

22

4

4

4

yyxx

02

2

2

2

yxyx

04

Équation biharmonique

Champs de contrainte (suite)

222

222 22

yc

xybxa

222

2

cy

x

222

2

ax

y

22

2

byx

xy

C’est une plaque soumise à

1- Contrainte normale cte suivant x

2- Contrainte normale cte suivant y

3- Contrainte de cisaillement cte suivant xy

Champs de contrainte (suite)

C’est le cas d’une poutre en flexion pure

contrainte normale suivant x

varie linéairement avec y

332323333 y

6

dxy

2

cyx

2

bx

6

a

ydxcy

x 3323

2

ybxax

y 3323

2

333

2

cxbyx

xy

0333 cba

siyd x 3

0 y

0 xy

Champs de contrainte (suite)

Aucun intérêt pratique

443422434444 1262612

ye

xyd

yxc

yxb

xa

2444

242

42

2 y)ac(xydxcy

x

244

242

42

ycxybxax

y

244

2442

22

2y

dxycx

b

yx xy

Champs de contrainte (suite)

C’est un cas hypothétique

2444

242

42

2 y)ac(xydxcy

x

244

242

42

ycxybxax

y

244

2442

22

2y

dxycx

b

yx xy

xyd x 4

0 y

24

2y

d xy

0

0

44

44

ec

ba

443422434444 1262612

ye

xyd

yxc

yxb

xa

22

4cd xy 22

4cd xy Lcd x 4

L

c

c

22

4cd xy

22

4cd xy

O x

y

Champs de contrainte (suite)

xyd x 4

0 y

)yc(d

xy224

2

344 6

xyd

xycd 24

2 2

xycd

xyd 2434

24 26

xydy

x 42

4

2

02

4

2

x

y

24244

2

22c

dy

d

yx xy

22

4cd xy 22

4cd xy Lcd x 4

L

c

c

O x

y

Champs de contrainte (suite)

C’est le cas d’une poutre encastrée avec charge concentrée a son extrémité

xyd x 4

0 y

)yc(d

xy224

2

I

Pxy

I

My x

Théorie de la flexion des poutres

Théorie de l’élasticité P

y

x

343

2cddyP

c

cxy

33

3

2

12

21c

cI

22

2

1

21 yc

ycycQ

1

I

PQ

It

VQ xy

2243

224

3

232

32yc

d

c

yc½dc xy

xyd

c

xydc x 43

43

32

32

Coordonnées polaires

sinry

cosrx

x

ytan

yxr

1

222

r

sin

r

y

x

cosr

x

x

r

2

r

cos

r

x

y

sinr

y

y

r

2

y

y

x

x

r

r

cos

rsin

yry

r

y

r

sin

rcos

xrx

r

x

Coordonnées polaires (suite)

Équations d’équilibre

0 = F + r

r

+ r

0 = F + r

r +

r

rr

rrrr

21

1

2

2

2

11

rrr

r

2

2

r

rrrrr r

111 2

2

champ de contrainte, (r,) tel que les conditions aux rives sont satisfaites

FrF

Coordonnées polaires (suite)

Équation de compatibilité

r

v

u

r

r

v

r

u

v

r

r

u

r

r

1

1

rrrr

rrrrrrrr 2

2

2

2

22

2 11121

2

2

22

2

2

2

2

22 11

rrrryx

011 2

2

2

22

2224

rrrr

0

12

22

dr

d

rdr

d rrr

Déformation

Pour les problèmes axisymétriques 2D

or

0d

d

Plaque avec trou centrale

Équations des contraintes en

2o1 y

2

)cos(rsinr oo

2142

2221

Contraintes loin du trou

(transformation de la contrainte o)

2

2

2

11

rrr

r

2

2

r

rrrrr r

111 2

2

champ de contrainte, (r,)

0d

d

Plaque avec trou centrale (suite)

)cos(r o

214

21

champ de contrainte, (r,)

011

dr

dfr

dr

d

rdr

dr

dr

d

r

0grdr

d

r

1

dr

dr

dr

d

r

1

dr

dr 2

33

3

21 22 cosgf

rlnrararlnaaf 24

2321

28

47

265

rararaag

011 2

2

2

22

2224

rrrr

011

12

2

2

22

2

122

14

rrrr

011

22

2

2

22

2

222

24

rrrr

)r(gget)r(ff

02cos(...)(...)24

Plaque avec trou centrale (suite)

2sin2cosr

a2

r

a6ra6a2

2cosr

a6ra12a2

r

aa2)rln23(a

2cosr

a4

r

a6a2

r

aa2)rln21(a

25

482

76r

482

7622

34

25

48

622

34r

Conditions aux rives

trouduloincellespardonnéessontressionsexpLes

aetadoncetfiniesvaleursdesontesintcontralesrà 00 74

0

0

r

r

brà

brà

2 2 4o o

r 2 2 4

2 4o o

2 4

2 4o

r 2 4

b b b 1 1 4 3 cos2

2 r 2 r r

b b 1 1 3 cos2

2 r 2 r

b b 1 2 3 sin 2

2 r r

Finalement

Plaque avec trou centrale (suite)

Contraintes en fonction de (r,)

bwPour 4

Concentration de contrainte

on 3

4

ontmax ,K 233

)(exp42,2 érimentalKt

omax 3

Théorie

érimentalexp

Chargement avec force concentréeCompression d’un bout en pointe

0d

d

sin Prc

r

coscP r

2

0

0 r

Équations des contraintes en

2

2

2r r

1

rr

1

2

2

r

rrrrr r

111 2

2

champ de contrainte, (r,)

d coscPrd cosdF cosP r 0

2

042

Conditions aux rives

)sin2 r(2

cosP2 r

0 0 r

) sin2(2

c

1

; 0 r

Chargement avec force concentréeFlexion d’un bout en pointe

0d

d

11 sin cFr

r

coscF r

12

0

0 r

Équations des contraintes en

2

2

2

11

rrr

r

2

2

r

rrrrr r

111 2

2

champ de contrainte, (r,)

Conditions aux rives

) sin2r(2

sinF r

2 0 0 r

) sin2(2

c

1

12

2

12

112

2

1 2

d coscFrd cosdF cosF r

; 0 r

Chargement avec force concentréeForce concentrée sur une surface plane

) sin2r(2

cosP r

2

0 0 r

r

cosP r

2

0 0 r

Solution pour

compression d’un

bout en pointe

2

0 0 r

d

P r

2

d

rcos

) sin2r(2

sinF r

2

0 0 r

r

sinF r

2

0 0 r

Solution pour

flexion d’un

bout en pointe

2

Si F est perpendiculaire à P on obtient

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées cartésiennes

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires

Champs de contrainte de quelques cas connusen état plan coordonnées polaires

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires

Champs de contrainte de quelques cas connus en état plan coordonnées polaires