Chapitre 3 Régime fréquentiel variable - ufrssmt.org · Chapitre 3 –Régime fréquentiel variable 08/06/2014 UFHB –UFR SSMT –L1 Tronc commun 3 2. Fonction de transfert Autre

Chapitre 3 – Régime fréquentiel variable 08/06/2014

UFHB – UFR SSMT – L1 Tronc commun 1

Chapitre 3

Régime fréquentiel variable

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1 . Introduction

Chapitre 1 + chapitre 2 : détermination des tensions et des courants d’un circuitalimenté par une source à fréquence constante.

Chapitre 3 : Maintien de l’amplitude du signal constante et variation de lafréquence du signal réponse fréquentielle du circuit

Réponse fréquentielle d’un circuit représentation de la fonctionde transfert du circuit en fonction de la pulsation, la pulsation variant de 0 àl’infini.

Application des réponses fréquentielles : télécommunications (filtres électriquespour la radio, la télévision, les systèmes de téléphonie, …), systèmes decommande.

2



2. Fonction de transfert

Outil efficace pour la détermination de la réponse fréquentielle d’un circuit

: sortie du circuit (élément de tension ou courant)

: entrée du circuit (tension ou courant de source)

H

X

YH

Y

X

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4 types de fonctions de transfert:

Gain en tension

Gain en courant

Impédance de transfert

Admittance de transfert

e

s

V

VH

e

s

I

IH

e

s

I

VH

e

s

V

IH

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Autre expression de H(ω):

et ne sont pas forcement les mêmes expressions que les fonctions d’entrée et de sortie respectivement.

Racines de : les zéros de

Racines de : les pôles de

Astuce : remplacer jω par s temporairement lorsqu’on travaille avec H(ω) puis remplacer s par jω à la fin.

D

NH

N D

N

D

H

H

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3. Echelle des décibels

• Difficulté de représenter rapidement les graphes de l’amplitude et de la phase d’une fonction de transfert.

• Possibilité d’obtention de la réponse fréquentielle à partir du diagramme de Bode.

• Les diagrammes de Bode font appel aux logarithmes et aux décibels

Petit rappel sur les logarithmes

1.

2.

3.

4.

2121 PlogPlogPPlog

2121 PlogPlogP/Plog

PlognPlog n

01log

6




Gain en bels

Gain en décibels (dB)

Aucun changement au niveau de la puissance :

Une des raisons pour lesquelles le logarithme est utilisé : le logarithme de l’inverse d’une quantité est simplement l’opposé du logarithme de cette quantité

1

210

P

Plog bels de NombreG

1

2

10dBlog 10G

P

P

21 PP 0GdB

12 P2P 32log 10G10dB

12 P5.0P 35.0log 10G 10dB

7


Expression du gain en termes du rapport de la tension ou du courant

On a donc :

1

2

11

R

VP

2

2

22

R

VP

1

2

1

2

2

210

1

210dB

R/V

R/Vlog 10

P

Plog 10G

2

110

2

1

210

R

Rlog 10

V

Vlog 10

1

210

1

210

R

Rlog 10

V

Vlog 20

8




Lorsque (supposition souvent adoptée)

Si on part de et pour on a alors :

Remarques :

• 10 log est utilisé pour les puissances, 20log est utilisé pour les courants et les tensions

•La valeur en dB est une mesure logarithmique du rapport entre deux variables de même type elle s’applique aux calculs de gain en tension et en courant. Elle ne s’applique pas aux calculs de fonctions de transfert d’impédance et d’admittance

12RR

1

210dB

V

Vlog 20G

2

111 IRP 2

222 IRP 12 RR

1

210dB

I

Ilog 20G

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4. Diagramme de Bode

Construction du diagramme de Bode : On utilise une échelle logarithmique pour l’axe des fréquences et une échelle linéaire pour la représentation de l’amplitude et la représentation de la phase (amplitude en décibels et phase en degrés en fonction de la fréquence).

Les diagrammes de Bode contiennent la même information que les tracés non logarithmiques. Leur principal avantage provient du fait qu’ils sont beaucoup plus faciles à construire.

On a :

Soit

La partie réelle de ln H est une fonction de l’amplitude tandis que la partie imaginaire est la phase.

jHeHH

jHlnelnHlnHln j

10




11


•Diagramme du gain : tracé en décibels en fonction de la fréquence

•Diagramme de la phase : tracé en degrés en fonction de la fréquence

Les deux diagrammes doivent être tracés sur du papier semilog

Forme standard du diagramme de Bode:

Hlog20H 10dB

.../j/2j1p/j1

.../j/2j1z/j1jKH

2

nn21

2

kk11

1

12




Forme standard constitué de combinaison de différents facteurs (7 dans exemple précédent) :

- Un gain K

- Un pôle ou un zéro à l’origine

- Un pôle simple ou zéro simple

- Un pôle quadratique ou zéro quadratique

La diagramme de Bode est obtenu par le tracé de chaque facteur séparément puis par l’assemblage graphique de l’ensemble

1j

j

1/pj11/ 1/zj1

2

nn2 /j/2j1/1

2

kk1 /j/2j1

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Terme constant :

- Amplitude :

- Phase :

Klog20 10

K

180

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Zéro (jω) à l’origine:

- Amplitude : (pente 20 dB/décade)

- Phase :

-Pôle à l’origine:

Le diagramme de Bode est identique excepté que la pente de l’amplitude est de -20 dB/décade tandis que la phase est -90°.

Pour , où N est un entier, la représentation de l’amplitude aura une pente de 20N dB/décade tandis que la phase sera de 90N degrés

10log20

90

1j

Nj

15


Zéro simple:

- Amplitude :

- Phase :

Amplitude :

lorsque

lorsque

L’amplitude peut donc être représentée par une valeur nulle (droite de pente nulle) pour de petites valeurs de ω et par une droite de pente 20 dB/décade pour de grandes valeurs de ω.

Fréquence de coupure : fréquence où les deux droites se rencontrent

1/zj1

110 /zj1log20

1

1 z/tan

01log20z

j1log20H 10

1

10dB

0

1

10

1

10dBz

log20z

j1log20H

1z16




Zéro simple:

On peut constater que l’approximation n’est pas loin de la courbe réelle hormis à la fréquence de coupure, où on a : et une déviation de :1z

dB 32log201j1log20 1010

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Zéro simple:

Phase :

On fait l’approximation suivante :

,90

z ,45

0 ,0

ztan 1

1

1

1

1

1

z10pour 90

zpour 45

10zpour 0

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Zéro simple:

Phase :

La droite entre et a une pente de 45° par décade

Remarque :

Les tracés de Bode pourle pôle sont similaires au tracé de Bode pour le zéro excepté la fréquence de coupure qui se situe à , l’amplitude a une pente de -20 dB/décade et la phase a une pente de -45°/décade

10.1z 110z

1/pj11

1/zj1 1p

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Pôle quadratique:

- Amplitude :

- Phase :

Amplitude :

lorsque

lorsque

L’amplitude est donc constituée de deux asymptôtes : l’une avec une pente nulle pour et l’autre avec une pente de -40 dB/décade pour .

Avec la fréquence de coupure.

2

nn2 /j/2j11

2nn210 /j/2j1log20

2

nn2

1 12tan

0j2j

1log20H

2

nn

210dB

0

n

10

2

nn

210dB log40

j2j1log20H

n n

n20




Pôle quadratique:

Amplitude :

La différence avec la courbe réelle est surtout due au coefficient d’amortissement

21


Pôle quadratique:

Amplitude :

La différence avec la courbe réelle est surtout due au coefficient d’amortissement

22




Pôle quadratique:

Phase :

La phase est représentée par une droite de pente 90° par décade commençant à

et finissant à .

La différence entre la courbe réelle et l’approximation est (comme pour l’amplitude) fonction de l’amortissement.

,180

,90-

0 ,0

1

2tan n2

n

n21

10n n10

23


Pôle quadratique:

Phase :

24




Résumé

25


Résumé

26




Exemple : Construire le diagramme de Bode de la fonction de transfert suivante :

Amplitude :

Phase :

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10j2j

j200H

10j12j1

j10H

10tan2/tan9010j12j1

j1011

2

j1log20jlog2010log20H 101010dB

10

j1log20 10

10tan

2tan90 11


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