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Introduction
• Il est toujours possible d’associer à une variable
aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de
probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente
indéfiniment, les fréquences observées pour le
phénomène étudié tendent vers les probabilités et les
distributions observées vers les distributions de
probabilité ou loi de probabilité.
Identifier la loi de probabilité suivie par une variable
aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le
choix des méthodes employées pour répondre à une
question biologique donnée (chapitre 5 et 6).
.2
)1(
où d'
2
)1(
1...)1(
...321
2
1
...321
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1
1
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++++=
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n
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n
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n
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n
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∑
∑
∑
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1
2
2
1
2
22
1
2
22
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2
2
1
2
22
nnni
nnni
nnnni
nn
n
i
n
n
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n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
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a on ailleursPar
( ) ( ) ( )
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si 1npour vraieest formule La
avoir doit on
que supposonsest Posons
1.npour vraieest
formule La
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1
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2
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2
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2
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=
∑
∑
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nnn
nnn
nS
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n
n
n
in
n
i
Loi de Poisson
n.réalisatio demoyen nombre leest où
contrainte la sous , lorsque
,1
:suivante propriété la vérifiebinomiale loi la (fixé) 1entier chaquePour
λ
λnp
n
k!
eλp)(pCk)P(S
kλk
knkk
nn
=
+∞→
→−==
≥−
−
Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4
et λ=25.
Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson
pour n=100, λλλλ=1, p=0.01
Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une
loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λλλλ, on peut utiliser une loi de Poisson.
Binomiale Poisson
( )
( )
( )
k
kn
n
k
kn
n
kn
n
n
k
kn
n
n
kn
nk
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knk
knkk
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n
ekn
n
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n
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n
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n
k
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n
k
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λλ
λλ
λλ
λλ
λ
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a on ) (i.e. Striling de formule la aprésd' Mais
a oneffet En
Démonstration
résultat. le oùd'
quand
Donc
a oneffet En
quemontrer a reste il conclurePour
,
1111ln
lim
2
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2
2
11ln)(ln)(
+∞→→=
−+−
+−+−
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−−
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−−
−
+∞→
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kn
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kn
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kn
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kn
λn
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n
eekn
n
kλkn
kλOknkλ
kn
nkn
kn
nkn
kn
nkn
kn
k
kn
n
λ
λλ
λ
λ
λ
Rappel: 1 litre=1000 cm3
Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5.
On suppose aussi que le nombre de colonie par boite
est le même que le nombre moyen de bactéries par boites
Loi binomiale négative (des temps d’attente)
Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on
désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves
indépendantes, pour avoir n succès.
Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
usuelles. méthodes des
par intégrale cettecalculer paspeut neon car 1)( que admettraOn -
=∫+∞
∞
dxxf