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Chapitre 6 :
Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables
Christelle MELODELIMAAnnée universitaire 2011/2012
Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
UE4 : Evaluation des méthodes d’analyses appliquéesaux sciences de la vie et de la santé – Analyse
I. Fonction de plusieurs variables
Exemple :
f(x,y) = 4x+3y
I. Fonction de plusieurs variables
II. Dérivées partielles
a. Dérivées partielles premières en M0
II. Dérivées partielles
II. Dérivées partielles
b. Fonctions dérivées partielles premières
Exemple : Calculer les dérivées partielles de la fonction suivante
y = constante x = constante
II. Dérivées partielles
c. Fonctions dérivées partielles secondes
II. Dérivées partielles
Exemple : Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction suivante
II. Dérivées partielles
Exemple :
Calculer les dérivées partielles premières et secondes
II. Dérivées partiellesExemple :
II. Dérivées partielles
d. Généralisation : fonction de 3 variables f(x,y,z)
III. Différentielle totale
a. Fonction de deux variables f(x,y)
III. Différentielle totale
a. Fonction de deux variables f(x,y)
III. Différentielle totale
y
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
III. Différentielle totale
Exemple : Calculer la différentielle totale de
III. Différentielle totale
Exemple :
Donner une approximation de la variation de volume d’uncylindre droit de rayon r=10 cm et de hauteur h=50 cm quand raugmente de 1 cm et h diminue de 2 cm.
III. Différentielle totale
IV. Différentielle logarithmique
a. Définition
IV. Différentielle logarithmique
b. Propriétés
IV. Différentielle logarithmique
Exemple :
IV. Différentielle logarithmiqueCorrection :
IV. Différentielle logarithmique
c. Intérêt de la différentielle logarithmique
La différentielle logarithmique df/f d’une fonction de plusieurs variables réalise une approximation de la variation relative :
Exemple :
IV. Différentielle logarithmiqueCorrection :
IV. Différentielle logarithmique
V. Application au calcul d’incertitudes
V. Application au calcul d’incertitudes
On parle de majoration physique : on se place dans le cas le plus défavorable où toutes les erreurs commises sur les différentes grandeurs indépendantes se cumulent.
On cherche la limite supérieur de l’erreur commise sur g en déterminant la limite supérieur de la valeur absolue de dgou de dg/g.
V. Application au calcul d’incertitudes
Théorème : La valeur absolue d’une somme algébrique est inférieur ou égale à la somme des valeurs absolues des différents termes.
V. Application au calcul d’incertitudes
V. Application au calcul d’incertitudes
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