Chapitre 7 – La fonction exponentielle · Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 7 - La fonction exponentielle 3) Limites a) En -∞ On sait que lim x 0+ ln x =−∞

Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 7 - La fonction exponentielle

Chapitre 7 – La fonction exponentielle

A) Définition

1) Rappel et définition

La fonction logarithme népérien ln(x) est une fonction strictement croissante, définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[, dont l’image parcourt R tout entier, soit ]-∞ ; +∞[.

C’est donc une bijection entre ces deux ensembles et on peut définir sa fonction réciproque, qu’on appellera exponentielle, et qu’on notera exp(x).

Autrement dit : y = exp(x) <=> x = ln(y)

2) Propriétés

Toutes les propriétés de ln(x) vont amener leurs propriétés réciproques dans exp(x), soit :

a) Pour tout x, exp(x) > 0

En effet pour qu’on ait y = exp(x), il faut ln(y) = x, ce qui impose y > 0.

b) ln (exp(x)) = x pour tout réel x

En effet, si y = exp(x), ln(y) = x et ln(y) = ln(exp(x))

c) exp(ln(x)) = x pour tout x > 0

Car y = exp(x) et x = ln(y) d’où y = exp (ln(y))

d) exp(a + b) = exp (a) x exp(b)

En effet, ln(exp(a) exp(b)) = ln(exp(a)) + ln(exp(b)) = a + b et ln(exp(a + b) = a + bD’où le résultat puisque ln étant croissante, ln(x) = ln(y) ==> x = y.

e) exp(0) = 1 et exp(1) = e

En effet ln(1) = 0 donc exp(0) = exp(ln(1)) = 1Et ln(e) = 1 donc exp(ln(e)) = e = exp(1)

f) exp(n) = e n pour tout entier n

En effet, ln(exp(n)) = n = n ln(e) = ln(en).

3) Notation

Compte tenu du 2f), on conviendra de noter pour tout x réel :exp( x)=ex

C’est une extension à ℝ de la définition des puissances entières d’un nombre.On écrira donc (propriétés du 2)) :- e x

> 0 pour tout x∈ℝ

- e ln( x)=x pour tout x∈ℝ

+* (c.à.d x réel strictement positif)

- ln(ex)=x pour tout x∈ℝ

+*

- e1=e , e0

=1 et ea b=ea eb pour tout couple de réels (a, b).

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4) Applications

a) Soit y = e -ln(x)

Alors y = eln(1/x) = 1/x

b) Soit y = (e x ) n

Alors ln(y) = ln((ex)n) = n ln(ex) = nxDonc y = enx

c) Soit y=1

ex

Alors ln y =ln 1

e x=−ln e x

=−x

D’où y = e-x.

d) Soit y=ex

e z

Alors y=e x×

1

ez=ex

×e− z=ex−z

e) Résumé

e x

n=en x e−x

=1

e x e x – y=

e x

e y

4) Exemples

a) Simplifier y=e2 x

e3x

b) Résoudree2x

e3x =2

c) Résoudre e2 x2 e3 x

B) Étude de la fonction e x

1) Ensemble de définition

exp(x) étant la réciproque de ln(x), son domaine de définition est ℝ et son image ℝ+

2) Dérivée

(ex)’ = ex, donc la dérivée est > 0 sur ℝ .

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3) Limites

a) En - ∞

On sait que limx0+

ln x=−∞

Donc on aura limx –∞

ex=0

On peut aussi dire que ex et ln(x) étant deux fonctions réciproques, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x ("on intervertit y et x").

b) En + ∞

limx0+

ln x=−∞ , donc réciproquement limx –∞

ex=0 aussi.

En résumé : limx –∞

ex =0 et limx –∞

ex =0

4) Tableau de variation

x – ∞ 0 1 + ∞

f '(x) + + +

f(x)0

1 e+ ∞

5) Courbe

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C) Dérivées et Primitives

1) Dérivation

(e u )’ = u' e u pour toute fonction u(x)

(Exercices pour les vacances : Problèmes: 39 et 40 page 230 + exercices 1 à 6 page 121)

Exemples :Dériver les fonctions suivantes :

a) e 3x+1

b) xe 2x

c) e 3x² - 2x

d) e x

x

2) Primitives

Primitives de u’e u : F(x) = e u + c

Exemples :

Trouver les primitives de :

a) e 3x

b) e 4x-1

c) xe 2x²+5

d) 3xe x²+2

D) Fonctions puissances : la fonction x a avec a nombre réel quelconque

1) Définition

On sait calculer xn quand n est u entier naturel.

On y arrive aussi si n est négatif en posant x−n=

1

xn .

De même on peut calculer x½ car si on suit les règles des exposants, on a (x½ )² = x½*2 = x1 = x, donc x½ est tout simplement la racine carrée de x, √ x .

On peut aller plus loin en calculant les racines nièmes de x, par exemple si y=5√32 , c’est que y5=32 ,

c’est à dire que y = 2 car 2*2*2*2*2 = 32.

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De même, on peut généraliser la puissance à tout nombre rationnel en posant : xpq =( q√ x )

p .

Mais il y a bien plus simple : pour étendre ces définitions à xa avec a réel quelconque, on peut utiliser le fait que eln(x) = x, soit :

x a=(e ln(x ))a=ea ln(x ) . Ceci ne fonctionne cependant que pour x positif puisqu’on doit utiliser ln(x).

2) Étude de la fonction f(x) = x a

a) Domaine de définition

Comme il est dit plus haut, x doit être positif, donc Df = ]0 ; +∞[.

b) Dérivée

On a (eu)’ = u’ eu. On aura donc :

(xa) '=(ea ln( x)

) '=ax

ea ln( x)=

a

e ln(x)ea ln (x)

=aea lln( x)−ln( x)=a e(a−1)ln (x)

=a xa−1soit :

( xa)’=a xa−1 (on reconnaît le ( xn

) ’=n xn−1 déjà vu pour n entier).

Exercice : retrouver les dérivées de1

xn=x−n

et de √ x=x12 à l’aide de la formule ci-dessus.

Prenons la forme ea ln(x) pour faciliter l’étude (on sait que l’exponentielle est toujours positive) :

( xa)'=a e(a−1) ln( x )

Le signe de cette dérivée va être celui de a, puisque l’exponentielle est toujours positive.

D’où : Pour tout x, si a < 0, f’(x) < 0 et si a > 0, f’(x) > 0.

c) Limites aux bornes du domaine (0 et + ∞)

Prenons la forme ea ln(x) pour faciliter l’étude (on sait que l’exponentielle est toujours positive) :

. Lorsque x tend vers zéro :

limx→ 0

(ln( x))=−∞ donc :

- Si a > 0, limx→ 0

(a ln ( x))=−∞ ce qui implique limx→ 0

(ea ln (x))=0 , donc Si a> 0, lim

x →0( xa

)=0.

- Si a < 0, limx→0

(a ln( x))=+∞ ce qui implique limx→0

(ea ln (x))=+ ∞ , donc Si a> 0, lim

x →0( xa

)=+∞ .

. Lorsque x tend vers +∞ :

limx→+ ∞

(ln( x))=+ ∞ donc :

- Si a > 0, limx→+ ∞

(a ln ( x))=+∞ ce qui implique limx→+ ∞

(ea ln(x))=+ ∞ , donc Si a> 0, lim

x →+ ∞(x a

)=+ ∞ .

- Si a < 0, limx→+ ∞

(a ln ( x))=−∞ ce qui implique limx→+ ∞

(ea ln(x))=0 , donc Si a> 0, lim

x →+ ∞(x a

)=0 . .

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d) Tableaux de variation

On aura donc les tableaux de variation suivants :Si a > 0 :

x 0 1 +∞

a xa-1 + a +

xa+∞

1 0

Si a < 0 :x 0 1 +∞

a xa-1 - a -

xa+∞ 1 0

e) Représentations graphiques :

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3) Croissances comparées, limites

Pour tous a et b tels que 0 < a < b, les courbes qui croissent de plus en plus vite sont, dans l'ordre du plus rapide au plus lent : ex, xb, xa, et ln(x).

Autrement dit,

a) limx∞ ex

xb =∞ b) limx∞ xb

xa =∞ c) limx∞

xa

ln x=∞

Démonstration

a)ex

xb =ex

ebln x=ex – b ln x=e

x 1 – bln x

x

, or limx∞

ln x

x =0 (voir Chapitre 5)

donc limx∞

1 – bln x

x =1 d’où limx∞ ex

xb = limx∞

e x=∞ .

b)xb

xa =xb –a=e b– a ln x

Or b > a donc b – a > 0 et comme ln(x) → +∞ lorsque x → +∞, la limite est bien +∞ aussi.

c) On pose y = xa. Lorsque x → +∞, on aura aussi y → +∞ car a > 0.

On a alorslim

x∞ xa

ln x= limy ∞

y

ln y1a = lim

y ∞y

ln y a = lim

y ∞ ay

ln y=∞

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Car on sait que limx∞

xln x=∞ et que a est positif.

Exemples d’application :Trouver la limite quand x → +∞ de :I) f(x) = e x−x 2

II) f(x) = 3 ln x – 3x

III) f(x) =e x

4– 10 x ln x

Devoir :

exercice 63 page 127

DS :

exercice 62 page 127

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La fonction exponentielle – Fiche de révision

Définition

y = exp(x) <=> x = ln(y)

Propriétés

e0=1 e1

=e≈2,71828

ln (e x)=x e ln ( x)=x

ea+b=ea eb

ea – b=

ea

eb

(ea)b=ea b b√ea=e

ab

e x= y⇔ x=ln ( y) ln ( x)= y⇔ x=e y

Dérivée et primitives

(ex ) '=e x Si f ( x )=ex ,F ( x )=e x

(eu ) '=u ' eu Si f ( x )=u ' eu ,F ( x )=eu

(ea x+b) '=a eax+b

Si f ( x )=ea x+b ,F (x )=ea x+ b

a

Puissances réelles d’un réel

Définition : x a=ea ln (x )

Limites

Avec b > a : ex l’emporte sur xb qui l’emporte sur xa qui l’emporte sur ln(x)

limx∞ ex

xb =∞ limx∞ xb

xa =∞ limx∞

xln x=∞

limx→+∞ ( xb

e x )=0 limx→+∞ ( xa

xb)=0 limx→+∞

( ln( x )

x )=0

limx→−∞

( xb e x)=0 (avec b entier) limx→ 0+

( xb

xa)=0limx→0

( xa ln ( x))=0

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