Chapitre 9

La roue

La roue est une invention très ancienne et sans aucun doute un des mécanismes lesplus importants. Parce qu’elle permet de réduire la friction dans le déplacement decharges, elle est à la base de nos moyens de transport.

Bien que le principe d’un corps (sphère, cylindre, cerceau...) qui roule soit simple,sa mise en application dans le transport requiert un certain développement technolo-gique afin d’assurer l’intégrité et la fluidité du mécanisme. La figure 9.1 présente uneroue de vélo haute performance. Cette roue est à la fois légère, robuste et rigide touten o�rant un minimum de frottement dans le roulement sur son axe.

Dans ce chapitre nous aborderons trois concepts fondamentaux pour l’étude duroulement. Soit le moment d’inertie, le moment de force (présenté au chapitre 6) etl’énergie cinétique de rotation.

Figure 9.1 – Une roue de vélo haute performance (source Campagnolo.com).

91

92 Physique des mécanismes

9.1 Le moment d’inertie

Nous avons vu à la section 2.2 que lorsque la force résultante sur un corps est non nullecelui-ci accélère. Plus la masse du corps est élevée, plus l’accélération sera faible. Lamasse est donc une mesure de l’inertie du corps. On peut de façon similaire caractériserl’inertie d’une particule en rotation autour d’un axe (figure 9.2).

· = F‹R = Ma

t

R = M(–R)R = MR

2– ∆ · = I–. (9.1)

I = MR

2 est appelé moment d’inertie et représente le niveau de résistance à l’accé-lération angulaire de la particule.

Lorsqu’un corps, et non une particule, a une masse distribuée sur un volumenon négligeable, son moment d’inertie est donné par la somme de tous les momentsd’inertie des éléments de masse m

i

de ce corps.

I =ÿ

m

i

r

2i

. (9.2)

Cependant pour calculer les moments d’inertie des corps, on doit la plupart dutemps utiliser le calcul intégral. Dans le cadre de ce cours nous nous référerons auxéquations du tableau B.1 qui présente les moments d’inertie de certains corps.

Attention ! Le moment d’inertie d’un corps dépend de la position de l’axe de rotation.Un même corps n’aura pas toujours le même moment d’inertie.

Exemple 9.1

La figure 9.3 illustre une masse m faisant se dévider une corde légère enrouléesur un cyclindre de masse M . Trouvez l’accélération a de la masse m.

Solution

Chapitre 9. La roue 93

RM

M

θ

at

mi

Figure 9.2 – Une masse sur un disque tournant autour d’un axe.

m

T

mg

R

M T

Figure 9.3 – Cylindre sur lequel une corde enroulée se dévide.

94 Physique des mécanismes

Exemple 9.2

Calculez l’accélération des masses m et M de la machine d’Atwood présentée à lafigure 9.4 si la poulie a un moment d’inertie I et un rayon R.

Solution

Puisque la poulie a un moment d’inertie non négligeable, les tensions dans les deuxbrins ne sont plus égales. Les équations de la section 4.1 deviennent

F

M

= T1 ≠ Mg = Ma

M

∆ T1 = M(g + a

M

) (9.3)

F

m

= T2 ≠ mg = ma

m

∆ T2 = m(g + a

m

) (9.4)

a

M

= ≠a

m

= ≠a. (9.5)

De plus, il faut inclure l’équation qui détermine l’accélération de la poulie (commela corde ne glisse pas sur la poulie, l’accélération sur le périmètre de la poulie seraégale à l’accélération des masses)

Chapitre 9. La roue 95

M

mT1

T2

Mg

mg

T2T1R

Figure 9.4 – Machine d’Atwood avec poulie de masse non négligeable.

96 Physique des mécanismes

9.2 Théorème des axes parallèles

Le moment d’inertie d’un corps dépend de la position de son axe de rotation. Il fautdonc calculer le moment d’inertie approprié pour chaque position de l’axe de rotation.Si on connaît le moment d’inertie autour d’un axe A parallèle à l’axe B situé à unedistance d de l’axe A (figure 9.5) alors le moment d’inertie du corps par rapport àl’axe B est donné par

I

B

= I

A

+ Md

2. (9.6)

9.3 Le roulement

Soit un corps roulant sans glisser sur un plan incliné tel qu’illustré à la figure 9.6. Àchaque instant le point de contact entre le corps et le plan incliné peut être considérécomme un pivot autour duquel le corps tourne. C’est e�ectivement le seul point ducorps qui ne bouge pas puisqu’il est en contact avec le plan et qu’il n’y a pas deglissement. La force gravitationnelle, qui s’applique au centre de gravité, produit unmoment de force par rapport au point de contact avec le plan incliné.

· = I– (9.7)

MgR sin ◊ = (Icg

+ MR

2) a

R

(9.8)

a = g sin ◊

I

cg

/MR

2 + 1 . (9.9)

Tableau 9.1 – Accélération pour di�érents corps en roulement sur un plan incliné.

Corps I

cg

a

Cerceau mince MR

2 12g sin ◊

Sphère creuse 23MR

2 35g sin ◊

Cylindre plein 12MR

2 23g sin ◊

Sphère pleine 25MR

2 57g sin ◊

Chapitre 9. La roue 97

RA

RB

dA B

Figure 9.5 – Deux axes de rotation parallèles.

θ

θ

Mg

Mg sinθ

R

at

Figure 9.6 – Un disque roulant le long d’un plan incliné.

98 Physique des mécanismes

9.4 Énergie cinétique de rotation

Une masse ponctuelle M tournant à une vitesse v et située à une distance R d’un axede rotation (figure 9.7) a une énergie cinétique

K = 12Mv

2 = 12M(Ê2

R

2) = 12IÊ

2. (9.10)

Si cette masse est distribuée sur un volume non négligeable, alors I doit être calculéselon l’équation 9.2. Dans le cadre de ce cours on se référera donc au tableau B.1 pourtrouver les valeurs de I.

Exemple 9.3

Soit une tige uniforme de longueur L et de masse M dont l’une des extrémités estmunie d’un pivot sans frottement lui permettant de tourner librement (figure 9.8). Latige est lâchée à l’état de repos, en position horizontale.

a) Quelle est sa vitesse angulaire lorsqu’elle se trouve à sa position la plus basse.

b) Déterminez la vitesse linéaire du centre de gravité et la vitesse linéaire du pointle plus bas de la tige lorsqu’elle est en position verticale.

Solution

Chapitre 9. La roue 99

RM

M

θ

vt

Figure 9.7 – Une masse tournant autour d’un pivot.

Mg

cg

h

L

Figure 9.8 – Une tige dont une extrémité est fixée à un pivot.

100 Physique des mécanismes

9.5 Exercices

9.1 Un moment de force de 32,0 Nm exercé sur une roue lui imprime une accélérationangulaire de 25,0 rad/s2. Quel est le moment d’inertie de la roue ?

9.2 Les deux masses d’une machine d’Atwood sont respectivement M = 500 g etm = 460 g. La poulie de rayon r = 5, 0 cm est montée sur des roulements àbilles sans frottement. Quand on libère les masses du repos, la masse la pluslourde descend de 75,0 cm en 5,0 s.

(a) Quelle est l’accélération des blocs ?

(b) Quelle est la tension dans le brin qui supporte le bloc le plus lourd ?

(c) Quelle est la tension dans le brin qui supporte le bloc le plus léger ?

(d) Quelle est l’accélération angulaire de la poulie ?

(e) Quel est son moment d’inertie ?

9.3 Deux blocs A et B, chacun de masse m, sont suspendus aux extrémités d’une tigede masse négligeable de longueur L1 +L2, ou L1 = 20, 0 cm et L2 = 80, 0 cm. Onmaintient la tige horizontalement sur le point d’appui, puis on la lâche. Quellessont les accélérations initiales de chacun des blocs ?

L1 L2

mm

9.4 On attache une masse de 12 kg à une cordeenroulée autour d’une roue homogène derayon r = 10 cm. Initialement au repos,la masse glisse vers le bas du plan inclinésans frottement avec une accélération de2,0 m/s2. En supposant que l’essieu de laroue soit exempt de frottement, déterminez

30°

10 cm

Chapitre 9. La roue 101

(a) la tension dans la corde,

(b) la masse de la roue et

(c) la vitesse angulaire de la roue 2 s après s’être mise à tourner.

9.5 Une longue tige uniforme de longueur L et de masseM pivote sur une goupille horizontale sans frotte-ment, fixée à l’une de ses extrémités. Initialementau repos, la tige est lâchée en position verticale.Au moment où la tige est en position horizontale,déterminez

(a) sa vitesse angulaire et

(b) son accélération angulaire.

L

9.6 Chacune des pales du rotor de l’hélicoptère ci-contre a une longueur de 5,30 m et une masse de240 kg. Le rotor tourne à 350 tours/min.

(a) Quel est le moment d’inertie de l’ensemble durotor par rapport à l’axe de rotation ? (Consi-dérez que les pales sont des tiges minces)

(b) Quelle est l’énergie cinétique de rotation to-tale ?

9.7 Une personne fait rouler un tonneau cylindrique en poussant une planche ap-puyée sur ce tonneau. Celui-ci se déplace sur une distance L/2. Le tonneau roulerégulièrement sans glisser ; la planche ne glisse pas sur le tonneau.

(a) Quelle longueur de planche passe sur le tonneau ?

(b) Quelle distance la personne parcourt-elle ?

L L/2

102 Physique des mécanismes

9.8 Soit deux rampes de même longueur et de même in-clinaison. Un bloc glisse sans frottement sur la pre-mière ; une sphère roule sans glisser sur la seconde.Le bloc et la sphère ont la même masse, et partentdu repos au point A pour descendre jusqu’au pointB.

(a) Durant cette descente, le travail qu’e�ectue laforce gravitationnelle sur le bloc est-il supé-rieur, inférieur ou égal au travail qu’e�ectuecette force sur la sphère ?

(b) Au point B, quel objet a la plus grande vi-tesse ?

A

A

B

B

9.9 Une sphère pleine homogène descend un plan incliné en roulant sans glisser.

(a) Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que l’accélération linéaire du centrede la sphère soit de 0,10g ?

(b) Si un bloc glissait sans frottement le plan incliné au même angle, sonaccélération serait-elle supérieure, inférieure ou égale à 0,10g ? pourquoi ?

9.10 Une petite bille pleine de massem et de rayon r roule sans glissersur une rampe en forme de bouclede rayon R ∫ r. Elle part du re-pos à partir d’un point situé surla partie rectiligne de la piste. Dequelle hauteur initiale h au-dessusdu bas de la rampe doit-on laisseraller la bille pour que celle-ci soitsur le point de perdre le contactavec la piste en haut de la boucle ?

r

R