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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des fluides" 1

Cinématique des fluides

Chapitre III : Description du fluide en mouvement

Contents

1 Le modèle du fluide continu 2

2 Champ des vitesses dans un fluide 22.1 Description de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Description d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Compatibilité de deux descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Représentation et visualisation des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4.1 Approche lagrangienne : trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.2 Approche eulérienne : lignes de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.3 Approche expérimentale : ligne d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4.4 Visualisation des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Cas particulier des écoulements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6 Exemple : mouvement d’un cylindre dans un fluide initialement au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6.2 Etude dans le référentiel R′ lié au cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6.3 Etude dans le référentiel R lié au fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Dérivée particulaire d’un champ 73.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Expression en description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Application à l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Densités de courant et débits 94.1 Débit volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Sources et puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Surface de contrôle et surface particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4.1 Bilan sur un système ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4.2 Bilan sur un système fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Equation de conservation de la masse 105.1 Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne . . . . . . . . . . . . 105.2 Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrangienne . . . . . . . . . . 11

5.2.1 Dérivée particulaire d’une grandeur G∗(t) =∫∫∫

V ∗ g(r, t)dτ extensive (HP) . . . . . . . . . . . . . . . 115.2.2 Bilan de masse en description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Ecoulements particuliers 126.1 Evolution d’un volume élémentaire de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 Rappels sur l’interprétation physique des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3 Cas du régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4 Cas d’un fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.5 Cas d’un écoulement incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.6 Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.6.2 Potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.6.3 Exemple de la tornade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7 Analogies avec l’électromagnétisme 18

2 Mécanique des fluides. Chapitre III : Description du fluide en mouvement

Cinématique des fluides

Chapitre III : Description du fluide en mouvementObjectifs :

• Description lagrangienne et eulérienne du fluide; dérivée particulaire.

• Introduction des densités de courant, débits; équation de conservation de la masse.

1 Le modèle du fluide continu

Rappel :

• Un fluide est un milieu matériel continu, déformable, qui peut s’écouler.

• Modèle du fluide continu :

— on n’étudie pas individuellement chaque particule.

— Les grandeurs physiques définies dans le fluide sont des moyennes sur des éléments de volume dτ mésoscopiques(typiquement 1µm), c’est à dire à la fois petit devant les dimensions macroscopiques et suffisamment grand devantles dimensions microscopiques pour contenir un grand nombre de molécules de fluide.

2 Champ des vitesses dans un fluide

2.1 Description de Lagrange

Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques, physiquement fermés,appelés particules fluides. On suit l’évolution au cours du temps d’une de ces particules fluides : Mi.

La description lagrangienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points attachés à la matière : c’est ladescription utilisée en mécanique du point.Cette description est bien adaptée pour l’écriture des définitions et théorèmes de la mécanique.Soit Mi une particule fluide et vi son vecteur vitesse (vi est défini, comme toutes les grandeurs physiques dans le fluide, envaleur moyenne sur l’élément de volume. Il se confond en fait avec la vitesse de son centre d’inertie). Soit

−−→OM i le vecteur

position de la particule fluide. On a alors :

vi =d−−→OM i

dt=

(dxidt

)i+

(d yidt

)j +

(d zidt

)k = vi(t)

Cette vitesse ne dépend explicitement que du temps (les coordonnées d’espace sont des fonctions du temps). Plus précisé-ment vi(t) dépend de t et de la position à l’origine des temps de la particule fluide: vi(t) = V (ro, t).

Mécanique des fluides. Chapitre III : Description du fluide en mouvement 3

2.2 Description d’Euler

Pour décrire le fluide, on le découpe en éléments de volume mésoscopiques fixes dans le référentiel d’étudedonc physiquement ouverts si le fluide bouge.

La description eulérienne consiste donc à définir les grandeurs physiques en des points fixes du référentiel. La descriptioneulérienne est bien adaptée pour effectuer des analogies avec l’électromagnétisme (établissement d’équations locales).Dans cette description la vitesse en un point M du fluide est une fonction de deux variables indépendantes M et t :

v = v(r, t)

2.3 Compatibilité de deux descriptions

• En description lagrangienne, le vecteur vitesse v d’un pointM du fluide est le vecteur de la particule fluide qui l’entoure.

• En description eulérienne, le vecteur vitesse v d’un pointM du fluide à un instant t est le vecteur vitesse de la particulefluide qui se trouve en M à cet instant t.

A chaque instant, les lignes de champ des vitesses dans les deux descriptions coïncident. Une même vitesse peut êtreanalysée de deux façons différentes.

2.4 Représentation et visualisation des écoulements

2.4.1 Approche lagrangienne : trajectoire

Dans la description lagrangienne, on suit l’évolution d’une particule de fluide.La trajectoire d’une particule fluide est définie comme le chemin suivi par cette particule au cours du temps, c’est-à-direl’ensemble des positions successives de cette particule au cours de son mouvement. On peut les visualiser expérimentalementen photographiant en pose prolongée le déplacement d’un traceur émis pendant un temps très court en un point du fluide(colorant, particules diffusant la lumière, bulles d’hydrogène, ... ). On les obtient mathématiquement par intégrationtemporelle du champ de vitesse lagrangien V (ro, t)

r(t) = ro +∫ ttoV (ro, t

′)dt′ trajectoire d’une particule fluide

2.4.2 Approche eulérienne : lignes de courants

Les lignes de courants sont les lignes du champ de vecteurs v ; elles sont définies comme étant les tangentes en chaque pointau vecteur vitesse v(x, y, z, to) à un instant donné to. Un tube de courant est l’ensemble des lignes de courants s’appuyantsur un contour fermé. On peut visualiser expérimentalement les lignes de courants en faisant une photo en légère pose d’unensemble de particules: la direction des segments obtenus donne celle du vecteur vitesse ; leur longueur est proportionnelleau module de la vitesse.Mathématiquement, ces lignes sont définies par l’ensemble des pointsM(x, y, z) tels qu’un déplacement élémentaire d M(dx, dy, dz)le long de la ligne soit colinéaire au vecteur vitesse v ; ceci peut s’exprimer par :

d M ∧ v = 0 soitdx

vx=dy

vy=dz

vzle long d’une ligne de courants

On obtient l’équation des lignes de courants par intégration de ces deux équations différentielles.


2.4.3 Approche expérimentale : ligne d’émission

Une ligne d’émission représente l’ensemble des positions successives des particules fluides ayant coïncidé à un instant antérieuravec un pointMo(xo, yo, zo). Elles sont obtenues expérimentalement par émission continue d’un traceur (colorant par exemple)au point Mo, et photographie instantanée de l’ensemble des positions du traceur.

2.4.4 Visualisation des écoulements

Voir en annexe les techniques utilisées pour visualiser les écoulements.

2.5 Cas particulier des écoulements stationnaires

Un écoulement stationnaire est tel que tous les champs définis dans le fluide sont indépendants du temps,et en particulier le champ des vitesses.Dans une telle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps : v(r, t) = v(r)Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d’émission coïncident.

En effet, les différentes particules « marquées» émises d’un même point au cours du temps ont les mêmes trajectoires :celles-ci représentent donc en même temps les lignes d’émission.Par ailleurs, le vecteur vitesse local (indépendant du temps) est tangent en chaque point aux trajectoires qui représententdonc également les lignes de courants.Au contraire, dans le cas d’un écoulement non stationnaire (par exemple dans le cas d’un obstacle qui se déplace dans unrécipient où le fluide est au repos loin de l’obstacle), ces différentes lignes sont en général distinctes, et la correspondanceentre elles est difficile à étudier. On s’intéresse alors en général aux lignes de courants à l’intérieur du fluide.

Remarque :

Selon le référentiel dans lequel on se place l’écoulement peut être statonnaire ou non stationnaire : cas du cylindreen translation avec une vitesse Vo constante dans le fluide initialement au repos :

• dans le référentiel lié au cylindre, le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps : les lignes decourants sont confondues avec les trajectoires;

• dans le référentiel lié au fluide initialement au repos, le champ de vitesse dépend explicitement du temps : leslignes de courants ne sont plus confondues avec les trajectoires.

2.6 Exemple : mouvement d’un cylindre dans un fluide initialement au repos

2.6.1 Position du problème

Un cylindre de rayon a se déplace à la vitesse V0 constante, perpendiculaire à ses génératrices, dans un fluide initialement aurepos.Soit R le référentiel lié au fluide initialement au repos, repéré par le système d’axe orthonormé, fixe R (O;ex,ey,ez) avecV0 = −V0ex (V0 > 0) et (Oz) parallèle aux génératrices du cylindre.Soit R′ le référentiel lié au cylindre, repéré par le système de coordonnées polaires R′ (O′;er,eθ,ez) ayant pour origine l’axedu cylindre passant par le point O′. A t = 0, on supposera que O et O′ sont confondus.On admet que le champ des vitesses dans le référentiel R′ est donné par :

v′ (r, θ, t) =

∣∣∣∣V0(1− a2/r2) cos θer−V0(1 + a2/r2) sin θeθ

2.6.2 Etude dans le référentiel R′ lié au cylindre

2.6.2.1 Lignes de courants dans le référentiel R′ lié au cylindreLes lignes de courants à un instant t = t0 sont les lignes de champ de v′ (r, θ, t0). Leur équation différentielle est :

dr

vr (r, θ, t0)=

rdθ

vθ (r, θ, t0)

⇒ dr

V0(1− a2/r2) cos θ=

rdθ

−V0(1 + a2/r2) sin θ

⇒−(1 + a2/r2)

r − a2/r dr =cos θ

sin θdθ

⇒ r − a2/r = A/ sin θ

L’allure des lignes de courants peut être obtenue par voie informatique :


> wi t h(pl ot s):

> s: =seq(i mpl i ci t pl ot ((r-1/r)*si n(t het a)=i /10, r=1. . 5, t het a=0. . 2*Pi , coords=pol ar,

numpoi nt s=1000, col or=COLOR(HUE, (i +20)/40)), i =-20. . 20):

> cyl i ndre: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED,

col or=bl ack, t hi ckness=3):

> di spl ay(s , cyl i ndre);

2.6.2.2 Trajectoire dans le référentiel R′ lié au cylindreDans le référentiel R′ lié au cylindre la vitesse d’une particule fluide est

v′ (r, θ, t) =

∣∣∣∣V0(1− a2/r2) cos θer−V0(1 + a2/r2) sin θeθ

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

[V0a2

r2(sin2 θ − cos2 θ

)+ V0

]ex

[−2V0

a2

r2sin θ cos θ

]ey

sin θ = y′/r et cos θ = x′/r avec r2 = x′2 + y′2 ⇒ v′ (x′, y′, t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

[V0

(a2

x′2 + y′2

)(y′2 − x′2x′2 + y′2

)+ V0

]ex

[−2V0

(a2

x′2 + y′2

)(x′y′

x′2 + y′2

)]ey

Pour obtenir le système d’équations différentielles donnant la trajectoire il suffit d’écrire :

v′ (x′, y′, t) =

(dx′

dt

)ex +

(dy′

dt

)ey ⇒

dx′

dt= V0

(a2

x′2 + y′2

)(y′2 − x′2x′2 + y′2

)+ V0

dy′

dt= −2V0

(a2

x′2 + y′2

)(x′y′

x′2 + y′2

)

Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous :

> wi t h(DEt ool s):

> eq1: =di f f (x(t ), t )=1+(y(t )^2-x(t )^2)/(x(t )^2+y(t )^2)^2;

> eq2: =di f f (y(t ), t )=-2*(y(t )*x(t ))/(x(t )^2+y(t )^2)^2;

> ci : =seq(seq([x(0)=j , y(0)=i /2+0. 1], i =0. . 10), j =-5. . -1):

> g: =DEpl ot ([eq1, eq2], [x(t ), y(t )], t =0. . 5, [ci ], s t eps i ze=. 1, l i necol or=t ,met hod=rkf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6], arrows=NONE):

> cyl i ndre: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, t hi ckness=3):

> pl ot s[di spl ay](g, cyl i ndre);


2.6.2.3 ConclusionDans le référentiel R′ lié au cylindre, l’écoulement est stationnaire : nous constatons que les lignes de courants et les

trajectoires sont bien confondues.

2.6.3 Etude dans le référentiel R lié au fluide

2.6.3.1 Lignes de courants dans le référentiel R lié au fluideLes lignes de courants à un instant t = t0 sont les lignes de champ de v (r, θ, t0) = v′ (r, θ, t0) + V0 = v′ (r, θ, t0) +

V0 [− cos θer + sin θeθ].Leur équation différentielle est :

dr

vr (r, θ, t0)− V0 cos θ=

rdθ

vθ (r, θ, t0) + V0 sin θ

⇒ dr

V0(−a2/r2) cos θ=

rdθ

−V0(a2/r2) sin θ

⇒ dr

r=cos θ

sin θdθ

⇒ r = A sin θ

On reconnaît l’équation d’un cercle de rayon A/2 et de centre (x′ = 0, y′ = A/2) :

> s: =seq(pl ot ([i *s i n(t het a), t het a, t het a=0. . 2*Pi ], numpoi nt s=2000, coords=pol ar,col or= COLOR(HUE, i /10), scal i ng=CONSTRAINED, t hi ckness=2), i =1. . 10):

> cyl i ndre: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar, scal i ng=CONSTRAINED,col or=bl ack, t hi ckness=3, vi ew=[-4. . 4, -1. . 5]):

> pl ot s[di spl ay](s , cyl i ndre);

2.6.3.2 Trajectoire dans le référentiel R lié au fluideDans le référentiel R lié au fluide la vitesse d’une particule fluide est

v (r, θ, t) = v′ (r, θ, t0) + V0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

[V0a2

r2(sin2 θ − cos2 θ

)]ex

[−2V0

a2

r2sin θ cos θ

]ey

sin θ = y′/r et cos θ = x′/r avec r2 = x′2 + y′2 et x′ = x+ V0t et y′ = y

⇒ v′ (x, y, t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

[V0

(a2

(x+ V0t)2+ y2

)(y2 − (x+ V0t)2

x′2 + y2

)]ex

[−2V0

(a2

(x+ V0t)2+ y2

)((x+ V0t) y

(x+ V0t)2+ y2

)]ey


Pour obtenir le système d’équations différentielles donnant la trajectoire il suffit d’écrire :

v′ (x, y, t) =

(dx

dt

)ex +

(dy

dt

)ey ⇒

dx′

dt= V0

(a

(x+ V0t)2+ y2

)2 (y2 − (x+ V0t)2

)

dy′

dt= −2V0

(a

(x+ V0t)2+ y2

)2(x+ V0t) y

Une résolution numérique donne les tracés ci-dessous :

> eq1: =di f f (x(t ), t )=(y(t )^2-(x(t )+t )^2)/((x(t )+t )^2+y(t )^2)^2;

> eq2: =di f f (y(t ), t )=-2*(y(t )*(x(t )+t ))/((x(t )+t )^2+y(t )^2)^2;

> g: =DEpl ot ([eq1, eq2], [x(t ), y(t )], t =-5. . 5, [ci ], st epsi ze=. 1,l i necol or=t , met hod=rkf 45, vi ew=[-6. . 2, -1. . 6]):

> ci : =seq(seq([x(0)=j , y(0)=i +0. 1], i =0. . 5), j =-5. . -1):

> cyl i ndre: =pl ot ([1, t het a, t het a=0. . 2*Pi ], coords=pol ar,scal i ng=CONSTRAINED, col or=bl ack, t hi ckness=3):

> pl ot s[di spl ay](g, cyl i ndre);

2.6.3.3 ConclusionDans le référentiel R lié au fluide, l’écoulement n’est plus stationnaire : nous constatons que les lignes de courants et les

trajectoires ne sont plus confondues.En superposant les deux tracés précédents on constate qu’il y a bien compatibilité entre les approches lagragienne et eulérienne.

3 Dérivée particulaire d’un champ

3.1 Définition

La dérivée particulaire d’une grandeur physique g associée à une particule fluide est la dérivée par rapport au tempscalculée par un opérateur fixé à cette particule fluide. Cette dérivée est notée Dg

Dt .


Exemple : cas d’un automobiliste mesurant les variations de la température extérieure en fonction du temps touten se déplaçant.

3.2 Expression en description eulérienne

Pour dériver g(r, t), il faut tenir compte du fait que le champ peut varier au cours du temps en chaque point de l’espace etdu fait que la particule voit une variation du champ à cause de son déplacement propre pendant dt:

Dg

Dt=g(r + dr, t+ dt)− g(r, t)

dtavec dr = v(M, t)dt

La dérivée particulaire ou dérivée totale est la somme d’une dérivée locale et d’une dérivée convective :Dg

Dt=∂g

∂t+(v.−−→grad

)g

démonstration :

Dg =

(∂g

∂t

)

r

dt+

(∂g

∂x

)

y,z,t

dx+

(∂g

∂y

)

z,x,t

dy +

(∂g

∂z

)

x,y,t

dz

Dg =

(∂g

∂t

)

r

dt+

(∂g

∂x

)

y,z,t

dx

dtdt+

(∂g

∂y

)

z,x,t

dy

dtdt+

(∂g

∂z

)

x,y,t

dz

dtdt

⇒ Dg

dt=

(∂g

∂t

)

r

+

(∂g

∂x

)

y,z,t

dx

dt+

(∂g

∂y

)

z,x,t

dy

dt+

(∂g

∂z

)

x,y,t

dz

dt

=

(∂g

∂t

)

r

+

[dx

dt

(∂.

∂x

)+dy

dt

(∂.

∂y

)+dz

dt

(∂.

∂z

)]g

=

(∂g

∂t

)

r

+(v.−−→grad

)g

3.3 Application à l’accélération

D’après le paragraphe précédent, l’accélération d’une particule fluide s’obtient à partir du champ eulérien des vitesses :

a =Dv(r, t)

Dt=

(∂v

∂t

)

r

+(v.−−→grad

)v accélération d’une particule fluide

La description lagragienne étant équivalente on peut aussi écrire :

a =d V (ro, t)

dt

Remarque : On démontre que :

a =Dv(r, t)

Dt=

(∂v

∂t

)

r

+1

2

−−→grad

(v2)− v ∧

(−→rotv

)accélération d’une particule fluide

Exercice 1 : A ccélération d’une particule fluide

Démontrer l’égalité précédente en coordonnées cartésiennes.

Exercice 2 : Exemple de calcul à partir des deux descriptions lagrangienne et eulérienne

Soit un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses, défini dans un référentiel (O,x, y, z), dans la région x > 0et y > 0 est

v(r, t) = −kxex + kyey

1) Que peut-on dire de cet écoulement ?

2) Déterminer les trajectoires des particules et les lignes de courants.

3) Même question avec un écoulement tridimensionnel

v(r, t) = −kxex + kyey + aω cosωtez

4) On reprend l’écoulement bidimensionnel. Déterminer, dans les deux descriptions, l’accélération d’une particule fluide.


Exercice 3 : Ecoulement plan stationnaire d’un fluide parfait

On étudie l’écoulement plan stationnaire d’un fluide parfait, noté (E), de champ de vitesse locale au pointM(x, y, z) : v = −3x2y ex + 3xy2 ey1) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courants du fluide.

2) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide P ,de coordonnées (x0, y0, 0) à l’instantt = 0, et que l’on suit dans son mouvement (description lagrangienne).

3) Exprimer la vitesse instantanée vp(t) de la particule P et l’accélération a(t) de cette particule, à l’aide desconstantes x0 et y0, à partir de la description lagrangienne étudiée à la deuxième question.

4) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E) en utilisant une description eulérienne: on se place au point d’observation M fixe.

4 Densités de courant et débits

4.1 Débit volumique

Soit une surface élémentaire orientée dS = dS n, centrée sur M , fixe dans le référentiel d’étude. Soit d2V le volumeélémentaire de fluide qui traverse dS pendant la durée dt.Par définition, le débit volumique élémentaire du fluide à travers dS est la grandeur dDv telle que d2V = dDvdt.Le volume élémentaire de fluide qui traverse dS pendant la durée dt est un cylindre élémentaire de base dS et de génératriceudt = v(M, t)dt.On a donc :

d2V = v(M, t)dt.dS et donc dDv = v(M, t).dS = v(M, t).dS n

le débit volumique élémentaire apparaît donc comme le flux élémentaire du ”vecteur densité volumique de courant de volume”soit le vecteur vitesse :

Soit S une surface, orientée, fixe dans le référentiel d’étude.Le débit volumique Dv du fluide à travers S est la somme des débits volumiques élémentaires dDv

Dv =

∫∫

S

dDv = φ =

∫∫

S

dφ =

∫∫

S

j(M, t).dS =

∫∫

S

v(M, t).dS

dans le cas d’une surface fermée, avec les conventions habituelles, nous obtiendrons le débit volumique sortant

Dv =

∫∫

S

© j(M, t).dS =

∫∫

S

© v(M, t).dS

Le débit volumique s’exprime en m3. s−1.

4.2 Débit massique

Soit une surface élémentaire orientée dS = dS n, centrée surM , fixe dans le référentiel d’étude. Soit d2m la masse élémentairede fluide qui traverse dS pendant la durée dt.Par définition, le débit massique élémentaire du fluide à travers dS est la grandeur dDm telle que d2m = dDmdt.La masse élémentaire de fluide qui traverse dS pendant la durée dt est contenue dans un cylindre élémentaire de base dS etde génératrice udt = v(M, t)dt.On a donc

d2m = ρ(M, t)v(M, t)dt.dS et donc dDm = ρ(M, t)v(M, t).dS = ρ(M, t)v(M, t).dS n

le débit massique élémentaire apparaît donc comme le flux élémentaire du vecteur densité volumique de courant de masse

dDm = dφ = j(M, t).dS avec j(M, t) = ρ(M, t)v(M, t)


Soit S une surface, orientée, fixe dans le référentiel d’étude.Le débit massique Dm du fluide à travers S est la somme des débits massiques élémentaires dDv

Dm =

∫∫

S

dDm = φ =

∫∫

S

dφ =

∫∫

S

j(M, t).dS =

∫∫

S

ρ(M, t)v(M, t).dS

dans le cas d’une surface fermée, avec les conventions habituelles, nous obtiendrons le débit massique sortant

Dm =

∫∫

S

© j(M, t).dS =

∫∫

S

© ρ(M, t)v(M, t).dS

Le débit massique s’exprime en kg3. s−1.

4.3 Sources et puits

Il existe parfois en certains points d’un écoulement de fluide des apparitions (sources) ou des disparitions (puits) de fluide.On peut alors leurs associer un débit Dv,sources ou Dm,sources grandeur algébrique.

4.4 Surface de contrôle et surface particulaire

Lors de l’écriture de bilan en mécanique des fluides, nous pouvons raisonner sur un système fermé ou sur un système ouvert :

4.4.1 Bilan sur un système ouvert

On considère une surface fermée S, appelée surface de contrôle, fixe dans le référentiel d’étude.Sauf dans le cas d’un fluide au repos, il y a circulation de matière entre le volume de contrôle (volume délimité par la surfacede contrôle) et le milieu extérieur.Cette approche correspond à la description eulérienne.

4.4.2 Bilan sur un système fermé

On considère une quantité déterminée de fluide délimitée par une surface fermée S∗ liée au fluide appelée surface particulaire.Tous les points de cette surface se déplacent à la même vitesse que le fluide. Il n’y a donc aucun transfert de matière entrele volume particulaire (volume délimité par la surface particulaire) et le milieu extérieur.Cette approche correspond à la description lagrangienne.

5 Equation de conservation de la masse

Nous effectuons un bilan de masse en considérant successivement un système ouvert puis un système fermé.

5.1 Bilan de masse sur un volume de contrôle - équation de continuité - approche eulérienne

Soit une région de l’espace contenant un fluide de masse volumique ρ(r, t).Soit une surface de contrôle S (donc fixe dans le référentiel d’étude). Soit V le volume de contrôle associé.La masse totale M (t) contenue à l’instant t dans V est :

M(t) =

∫∫∫

V

ρ(r, t)dτ

Pour un volume de contrôle (donc fixé) c’est à priori une fonction du temps. En effet si ρ varie au cours du temps alors Mpeut varier de dM entre t et t+ dt avec

dM

dt=d

dt

(∫∫∫

V

ρ(r, t)dτ

)=

∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ

On suppose qu’il n’y a ni source ni puits de masse, la variation de M est donc liée à un transport de matière à travers lasurface de contrôle S.D’après le paragraphe 4.2."Débit massique" :

dM = −Dmdt = −(∫∫

S

© j(M, t).dS

)dt = −

(∫∫

S


)dt

on obtient alors : ∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ = −

∫∫

S



d’après le théorème de Green-Ostrogradsky :∫∫

S

© ρ(M, t)v(M, t).dS =

∫∫∫

V

div [ρ(M, t)v(M, t)] dτ

donc∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ = −

∫∫∫

V

div [ρ(M, t)v(M, t)] dτ

⇒∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ +

∫∫∫

V

div [ρ(M, t)v(M, t)] dτ = 0

⇒∫∫∫

V

(∂ρ(r, t)

∂t+ div [ρ(M, t)v(M, t)]

)dτ = 0

l’égalité précédente est vrai quel que soit le volume V d’où :

∂ρ(r, t)

∂t+ div [ρ(M, t)v(M, t)] = 0

Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V (de contrôle) sans source se traduit par :• l’équation intégrale de conservation de la masse :∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S

© ρ(M, t)v(M, t).dS = 0

• l’équation locale de conservation de la masse :∂ρ(r, t)

∂t+ div [ρ(M, t)v(M, t)] = 0

Remarques :

1) si le milieu contient des sources on a∫∫∫

V

∂ρ(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S

©ρ(M, t)v(M, t).dS = Dm,sources ;

2) l’équation locale de conservation de la masse s’écrit aussiDρ

Dt+ ρ div v = 0.

5.2 Bilan de masse sur un volume particulaire - équation de continuité - approche lagrang-ienne

5.2.1 Dérivée particulaire d’une grandeur G∗(t) =∫∫∫

V ∗ g(r, t)dτ extensive (HP)

Soit une région de l’espace contenant un fluide.Soit une surface particulaire S∗ (donc se déplaçant à la même vitesse que le fluide). Soit V ∗ le volume particulaire associé.La grandeur extensive G∗ associée au volume particulaire à l’instant t est

G∗(t) =

∫∫∫

V

g(r, t)dτ

On cherche à calculer la dérivée particulaire de G∗ :

DG∗

Dt=G∗(t+ dt)−G∗(t)

dt=

∫∫∫V ∗(t+dt)

g(r, t+ dt)dτ −∫∫∫

V ∗(t)g(r, t)dτ

dt

avec V ∗(t) (respectivement V ∗(t+ dt)) le volume particulaire à l’instant t (respectivement t+ dt) :


∫∫∫

V ∗(t+dt)

g(r, t+ dt)dτ =

∫∫∫

V ∗(t)

g(r, t+ dt)dτ +

∫∫∫

δV ∗1

g(r, t+ dt)dτ −∫∫∫

δV ∗2

g(r, t+ dt)dτ

On a donc :

DG∗

Dt=

[∫∫∫V ∗(t)

g(r, t+ dt)dτ +∫∫∫

δV ∗1g(r, t+ dt)dτ −

∫∫∫δV ∗

2g(r, t+ dt)dτ

]−[∫∫∫

V ∗(t)g(r, t)dτ

]

dt

=

[∫∫∫V ∗(t)

g(r, t+ dt)dτ −∫∫∫

V ∗(t)g(r, t)dτ

]+[∫∫∫


∫∫∫δV ∗

2g(r, t+ dt)dτ

]

dt

=

[∫∫∫V ∗(t)

[g(r, t+ dt)− g(r, t)] dτ]+[∫∫∫


∫∫∫δV ∗

2g(r, t+ dt)dτ

]

dt

=

∫∫∫V ∗(t)

∂g(r,t)∂t dt dτ +

[∫∫∫δV ∗

1g(r, t+ dt)dτ −

∫∫∫δV ∗

2g(r, t+ dt)dτ

]

dt

Les volumes δV ∗1 et δV∗2 correspondent aux différents petits cylindres de base dS = dS N et de génératrice dh = v dt. On a

donc :∫∫∫

δV ∗1

g(r, t+ dt)dτ −∫∫∫

δV ∗2

g(r, t+ dt)dτ =

∫∫

S∗© g(P, t)v(P, t).dt.dS (P )

⇒ DG∗

Dt=

∫∫∫

V ∗

∂g(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S∗© g(P, t)v(P, t).dS

La dérivée particulaireDG∗

Dtde la grandeur G∗ est la somme de deux termes :

• une variation locale∫∫∫

V ∗

∂g(r, t)

∂tdτ ;

• une variation convective∫∫

S∗© g(P, t)v(P, t).dS ;

DGDt =

∫∫∫

V

∂g(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S∗© g(P, t)v(P, t).dS

5.2.2 Bilan de masse en description lagrangienne

Soit une région de l’espace contenant un fluide de masse volumique ρ(r, t).Soit une surface particulaire S∗ (donc se déplaçant à la même vitesse que le fluide). Soit V ∗ le volume particulaire associé.La masse totale M∗ contenue à l’instant t dans V ∗ est une constante ; sa dérivée particulaire est donc nulle :

DM∗

Dt=

∫∫∫

V ∗

∂ρ(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S∗© ρ(P, t)v(P, t).dS = 0

On retrouve bien le même résultat qu’en description eulérienne :

Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume lié au fluide V ∗ (volume particulaire) sans sourcese traduit par :

• l’équation intégrale de conservation de la masse :∫∫∫

V ∗

∂ρ(r, t)

∂tdτ +

∫∫

S∗© ρ(M, t)v(M, t).dS = 0

• l’équation locale de conservation de la masse :∂ρ(r, t)

∂t+ div [ρ(M, t)v(M, t)] = 0

6 Ecoulements particuliers

6.1 Evolution d’un volume élémentaire de fluide

Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un volume élémentaire de fluide combine trois aspects locaux :


• La dilatation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans une tuyère et la visualisation de la dilatationdes particules fluides

• La rotation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans l’oeil d’une tornade et la visualisation de larotation des particules fluides

• La déformation : ci-dessous on trouvera la simulation d’un écoulement dans un dièdre droit et la visualisation de ladéformation des particules fluides

6.2 Rappels sur l’interprétation physique des opérateurs

• On rappelle que la divergence représente le flux sortant localement par unité de volume :.divb = limdτ→0

δφdτ .

Dans le cas particulier ou b = v, on obtient div v = limdτ→0

δφdτ . δφ est le flux élémentaire du vecteur vitesse v soit

δφ = v.dS = dDv = débit volumique élémentaire du fluide à travers dS soit δφ = d2Vdt avec d2V le volume élémentaire

de fluide qui traverse dS pendant la durée dt.


Localement, le taux de variation relative de volume par unité de temps est égal à la divergence du champ des vitesses :

divv = limdτ→0

d2V

dtdτ

=1

dtlimdτ→0

d2V

dτ=1

dtlimdτ→0

∆(dτ)

dτ

• on rappelle que la projection du rotionnel sur un axe représente la circulation locale par unité d’aire autour de cet axe:(−→rot a

).n = limdS→0

δCdS . on admet que :

Localement, le champ des vitesses d’un fluide peut être semblable à celui d’un solide de vecteur rotationinstantanée Ω. Cette rotation particulière (tourbillon) du fluide en un point M existe si le rotationnel duchamp des vitesses

−→rotv = 2 Ω (Ω représentant le vecteur tourbillon) est non nul.

Localement, le champ des vitesses d’un fluide renseigne sur l’existence de tourbillons dans ce fluide parl’intermédiaire de son rotationnel.

6.3 Cas du régime stationnaire

En régime stationnaire tous les champs sont indépendants du temps ”∂.

∂t= 0”.

En particulier div (ρv) = −∂ρ∂t= 0. On a donc:

• Dm =∫∫

S

© ρ(M, t)v(M, t).dS = 0 : le débit massique se conserve ;

• div [ρ(M, t)v(M, t)] = 0 : le vecteur j(M, t) = ρ(M, t)v(M, t) est à flux conservatif.

Remarque : on rappelle qu’en régime stationnaire le champ des vitesses est également indépendant du temps et dans unetelle situation le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement du temps :

v(r, t) = v(r)

Dans ce cas, les lignes de courants, les trajectoires et les lignes d’émission coïncident.

6.4 Cas d’un fluide incompressible

Pour un fluide incompressible ρ est une constante caractéristique du fluide donc ∂ρ∂t = 0, on retrouve les mêmes résultats

que dans le cas du régime stationnaire :

• Dm =∫∫

S

© ρ(M, t)v(M, t).dS = 0 : les débits massique et volumique se conserve ;

• div [ρ(M, t)v(M, t)] = 0 : le vecteur j(M, t) = ρ(M, t)v(M, t) est à flux conservatif ainsi que le vecteur v(M, t).

ce dernier résultat se retrouve grâce à

Dρ

Dt+ ρ div v = 0 avec

Dρ

Dt= 0 soit divv = 0

Exercice 4 : Ecoulement de fluide incompressible dans une tuyère

Soit un écoulement de fluide incompressible dans une conduite possédant un rétrécissement.

La section diminue de S1 vers S2. La vitesse du fluide est supposée constante en section, v1 au niveau de S1 etv2 au niveau de S2.

Quelle relation lie v1, v2, S1 et S2 ? Conclure.

Décrire les lignes de courant.

S1 S2v1 v2


6.5 Cas d’un écoulement incompressible

Réciproquement si div v = 0 alorsDρ

Dt= 0 : chaque particule fluide a une masse volumique constante au cours de son

déplacement mais rien n’impose l’égalité entre les différentes particules fluides. Dans une telle situation le fluide n’est pasobligatoirement incompressible mais nous dirons qu’il s’agit d’un écoulement incompressible : le vecteur vitesse est à fluxconservatif (on aura alors des vitesses plus importantes dans les zones où les lignes de courants se resserrent) : pour unécoulement incompressible, le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant.

Pour un écoulement incompressible le vecteur vitesse est à flux conservatif :div v = 0

Exercice 5 : Ecoulement tronconique

Un fluide parfait incompressible s’écoule à travers une conduite tronconique de section S1 en A1 et de section S2en A2.

1) Traduire la conservation du débit volumique du fluide (on pourra admettre que la vitesse locale est uniformesur une section droite de l’écoulement).

2) Cette relation est-elle encore valable si le fluide est compressible ? Quelle relation peut-on écrire si le régimeest permanent unidimensionnel ?

3) Quelle est la variation du débit volumique du fluide à travers S2 lorsque la masse volumique du fluide varie de2% entre les points A1 et A2 ?

6.6 Ecoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires

6.6.1 Définitions

• Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon Ω = 1

2

−→rotv est nul en tout point de l’espace,

v est à circulation conservative et les lignes de courants ne peuvent être fermées.

• Si le vecteur tourbillon Ω = 1

2

−→rotv est non nul en au moins un point donné de l’espace,

l’écoulement est dit tourbillonnaire.

6.6.2 Potentiel des vitesses

Un écoulement non tourbillonnaire est tel que en tout point de l’espace−→rotv = 0, v dérive donc d’un potentiel scalaire :

Un écoulement non tourbillonnaire dérive d’un potentiel scalaire défini à une constante additive près :−→rotv = 0⇐⇒ ∃ φ tel que v = −−→grad φ

• En chaque point le vecteur v est orthogonal aux surfaces φ = cste.• Si l’écoulement est de plus incompressible alors div v = 0 soit ∆φ = 0 équation de Laplace

On montre que si un fluide part du repos et si la viscosité est négligeable, son écoulement est irrotationnel.

6.6.3 Exemple de la tornade

6.6.3.1 Position du problèmeUne tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de vent violent et tourbillonnant ».

Un modèle simplifié de la tornade la présente comme un écoulement de fluide présentant une symétrie de révolution autourd’un axe ez.Le champ des vitesses associé est de la forme (en coordonnées cylindriques) :

pour r < a : v(r) = rΩeθpour r > a : v(r) = Ωa2

r eθ

C’est un champ orthoradial dont le module ne dépend que de la distance r à l’axe.À l’intérieur d’un cylindre de rayon a , qui constitue « l’oeil » de la tornade, la vitesse croît linéairement de 0 à sa valeurmaximale quand r varie de 0 à a puis décroit jusqu’à l’infini où le fluide est au repos.


6.6.3.2 Propriétés

1. L’écoulement est incompressible :En coordonnées cylindriques :

div v =1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂

∂θ(vθ) +

∂

∂z(vz)

∀r v(r) = v (r)eθ ⇒ div v = 0⇒ l’écoulement est incompressible

2. Le vecteur tourbillon est donné par

Ω =1

2

−→rot v =

Ωez pour r < a0 pour r > a

3. Lignes de courants et les trajectoires :L’écoulement est stationnaire : les lignes de courants et les trajectoires sont confondues.v(r) = vθ(r) = v (r)eθ ⇒ les lignes de courants sont des cercles centrés sur l’axe (Oz).

6.6.3.3 Circulation - Cas limite du vortex

1. On suppose connu le vecteur tourbillon.

Ω =

Ωez pour r < a0 pour r > a

Calculons la circulation du vecteur vitesse sur une ligne de courants :

C =

∮

cercle de rayonr

v.d/ =

∫∫−→rot v.dS =

∫∫2Ω.dS =

2Ωπr2 pour r < a2Ωπa2 pour r > a

on peut en déduire l’expression de v :

C =

∮

cercle de rayon r

v.d/ =

∮

cercle de rayon r

v (r)eθ.d/ = v (r)

∮

cercle de rayon r

eθ.d/ = v (r) 2πr

⇒ v =

rΩeθ pour r < aΩa2

r eθ pour r > a

2. Vortex

Un VORTEX est le cas limite de la tornade quand a tend vers 0 tout en maintenant la circulation constante

Le champ de vitesse d’un vortex est donc de la forme :

v =C

2πreθ pour r = 0


Le champ des vitesses semble non tourbillonnaire car−→rot v = 0 mais il y a une singularité en r = 0 (‖v‖ → ∞).

On a alors :

C =

∮

cercle de rayonr

v.d/ = 0 avec−→rot v = 0

Exercice 6 : Ecoulement dans un dièdre

A l’intérieur d’un dièdre droit, limité par les plans x = 0 et y = 0, le champ des vitesses d’un écoulementpermanent incompressible d’un fluide parfait est v = A(−x. ux + y. uy) avec A = cste positive.1) Montrer que ce champ vérifie la loi de conservation de la masse.

2) Déterminer l’équation et l’allure des lignes de champ.

3) Déterminer l’accélération a au point M(x, y) du fluide, par deux méthodes.

4) Montrer que cet écoulement est irrotationnel. Surfaces équipotentielles ?

Exercice 7 : Ecoulement irrotationnel

Un fluide parfait incompressible s’écoule à l’intérieur d’un tuyau d’axe vertical Oz,de section non uniforme. Enrégime permanent, le champ des vitesse au pointM du fluide, de coordonnées cylindriques (r, θ, z) est de la formev = 2Kr.er +K

′z.ez.

1.a) Exprimer la constante K′ en fonction de la constante positive K. Dans la suite du problème, les résultats nedevront pas faire intervenir la constante K′, mais seulement la constante K.

1.b) Montrer que l’écoulement considéré est irrotationnel.

2) Déterminer le vecteur accélération a du fluide en chaque point M(r, θ, z) de l’écoulement.

3) Déterminer le potentiel des vitesses ϕ(r, z) et calculer son laplacien.

4) Déterminer l’équation des lignes de courants et tracer leur allure.

Exercice 8 : Ecoulement autour d’un cylindre

Loin d’un cylindre d’axe Oz et de rayon a,l’écoulement d’un fluide est uniforme : v = v0 ex. En présence ducylindre, l’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel. Un point M du fluide est repéré par sescoordonnées cylindriques (r, θ, z).

1) Montrer que le champ des vitesses du fluide, de composantes radiale et orthoradiale en M : vr = (A −B/r2) cos θ, vθ = −(A+B/r2) sin θ peut décrire l’écoulement étudié. Calculer les constantes A et B.2) Calculer le potentiel ϕ (r, θ) des vitesses. Calculer ∆ϕ. Conclure.

3) Déterminer l’équation des lignes de courants de cet écoulement.

Exercice 9 : Ecoulement autour d’un cylindre en rotation

Soit l’écoulement E irrotationnel permanent d’un fluide incompressible de masse volumique µ autour d’un cylindre,d’axe Oz et de rayon R, qui tourne autour de Oz à la vitesse angulaire Ω = Ωez ; le fluide a, très loin du cylindre,la vitesse v0 = v0 ex, de direction perpendiculaire à Oz. Un point M du fluide sera repéré par ses coordonnéescylindriques (r, θ, z).L’écoulement E peut être considéré comme la superposition de deux écoulements :


- l’écoulement E1, de potentiel des vitesses ϕ1 = −(1 +R2/r2)r.v0. cos θ, correspondant au cylindre fixe dans lefluide en écoulement uniforme de vitesse v0 = v0 ex à l’infini ;

- l’écoulement E2, de potentiel des vitesses ϕ1 = −k θ, correspondant au cylindre tournant (Ω = Ωez) dans lefluide au repos très loin du cylindre (k = cste positive).

1) Déterminer le champ des vitesses v du fluide en M(r, θ, z).

2) Calculer la circulation C du champ de vitesse de l’écoulement E, d’abord en fonction de k, puis en fonction deR et Ω.

3) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre a = k/(Rv0), le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)position(s) dans un plan de section droite du cylindre.

Exercice 10 : Tornade

Une tornade assimilée à un écoulement parfait, permanent, incompressible de l’air, de masse volumique µ =1, 3 kg.m−3, est caractérisée par le vecteur tourbillon Ω = Ωez, supposé uniforme à l’intérieur de l’œil de latornade, cylindre d’axe Oz et de rayon a = 50m, et nul à l’extérieur de l’œil.

1) Exprimer la loi des vitesses v(r) à l’intérieur et à l’extérieur de l’œil. Graphe de v(r)?

2) La vitesse maximale de la tornade est vmax = 180km/h. Justifier le caractère incompressible de l’écoulement.Calculer Ω.

3) Montrer que pour r > a, la tornade est équivalente à un vortex dont on calculera l’intensité C. En déduire lepotentiel des vitesses.

4) Calculer la valeur maximale de dépression de la tornade. Montrer qu’un toit de masse surfacique 100 kg/m2,horizontal, et simplement posé, peut être soulevé au passage de la tornade.

7 Analogies avec l’électromagnétisme

Deux types d’analogies peuvent être envisagés suivant que l’écoulement est incompressible (champ de vitesse de divergencenulle), ou irrotationnel (champ de vitesse de rotationnel nul).Il est possible de façon très générale de représenter un champ de vecteurs v comme la somme de trois termes :

v = v1 + v2 + v3

• Le premier champ v1 correspond à une rotation locale avec une vitesse angulaire :

Ω =1

2

−→rotv

Ce champ vérifie :div v1 = 0

La détermination de ce champ de vitesse peut être faite en analogie complète avec les problèmes de magnétisme descourants dans l’approximation des régimes quasi permanents. La vorticité correspond à la densité de courant électrique,la vitesse à l’excitation magnétique. Ces écoulements sont dits rotationnels.

Ecoulement incompressible et tourbillonnaire

Mécanique des fluides :Magnétostatique :

−→rotv1 = 2Ω et div v1 = 0−→rot B = µ0j et div B = 0

• Le deuxième champ v2 satisfait simultanément les relations :−→rotv2 = 0 et div v2 = 0

Les écoulements correspondants, dits écoulements potentiels, correspondent aux problèmes d’électrostatique dans le vide; l’analogue de la vitesse est le champ électrique et on introduit dans ce cas un potentiel des vitesses φ, analogue dupotentiel électrique, tel que v =

−−→grad φ. Ce type d’écoulement interviendra toutes les fois que l’on pourra négliger les

effets de la viscosité.

Ecoulement incompressible et potentiel

Mécanique des fluides :

−→rotv2 = 0 , div v1 = 0 , v2 =

−−→grad φ , ∆φ = 0

Electrostatiqueen dehors des charges

−→rot E = 0 , div E = 0 , E =

−−→grad V , ∆V = 0


• Enfin, la composante v3 prend en compte les effets de dilatation volumique elle est telle que :−→rotv3 = 0 et div v3 = div v

Cette contribution correspond au champ électrique créé par une distribution de charges ; il sera en général peu importantet n’interviendra pas pour les fluides incompressibles.

Exercice 11 : Superposition d’un puits bidimensionnel et d’un vortex

Déterminer le champ des vitesses résultant de la superposition d’un puits (débit linéique Dv1) et d’un vortex(circulation C) de même axe. Représenter les lignes de courants.

Exercice 12 : Ecoulement autour d’une sphère

Un écoulement permanent, uniforme, incompressible et irrotationnel d’un fluide parfait est défini par : v0 = v0 ex (ex =vecteur unitaire). Plaçons dans cet écoulement une sphère de centre 0 et de rayon a,et résolvons cet exercice par analogieavec une situation électrostatique :Nous connaissons le champ E1 créé en M par un dipôle p = −p ex placé en O.On considère la superposition du champ uniforme E0 = E0 ex et du champ E1 produit par le dipôle.1) Exprimer, en coordonnées sphériques, les composantes du champ résultant E.2) A quelle condition sur p, ce champ est-il orthoradial en tous points d’une sphère de rayon a ? Quelles sont les conditions

aux limites vérifiées par le champ E pour r→∞ et pour r = a ? Quelle démarche proposez-vous pour résoudre le problèmed’hydrodynamique proposé ?3) Déduire les composantes du vecteur vitesse v de l’écoulement du fluide autour de la sphère. Donner l’équation des

lignes de champ correspondant à cet écoulement et tracer leurs allures.4) Déduire, de l’allure de ces lignes de champ, les zones de faibles vitesses et les zones de fortes vitesses. Calculer le

module du vecteur v à la surface de la sphère, et vérifier les résultats de votre analyse qualitative.

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Chapitre III : Description du uide en mouvementsertella.free.fr/cours_psi_physique/mecanique des fluides/mecaflu... · • Un ’uide est un milieu matériel continu , ... Elles sontobtenues