Chapitre n°12 : Variables aléatoires

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Chapitre n°12 : Variables aléatoiresC12.a – Savoir calculer l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire.C12.b - Savoir calculer une espérance et une variance de combinaisons linéaires de variables aléatoires qui suivent une même loi de probabilité.C12.c* - Savoir utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.C12.d* - Savoir utiliser l’inégalité de concentration (pour trouver la taille d’un échantillon)C12.e* - Savoir utiliser la loi des grands nombres.

LES N° DES EXERCICES FONT RÉFÉRENCE AU MANUEL SESAMATH MAGNARDDISPONIBLE EN LIGNE ICI :

https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/?ouvrage=mstsspe_2020

(on peut y accéder ici : https://manuel.sesamath.net )

Activité d'approche n°1 : Espérance, variance et écart-type

X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant :

n 1 2 3 4

xi -4 7 12 20P(X = xi) 1

213

112

112

Y est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant :

n 1 2 3 4

xi -2 7 12 13P(X = xi) 1

213

112

112

On rappelle :L’espérance E[X] est donnée par la formule :

E[X] = ∑i=1

n

x i × P ( X =xi )=∑i=1

n

xi × P ( X=xi )

∑i=1

n

P ( X=xi )

.

Interprétation : si on effectue un grand nombre de fois l’expérience, la moyenne de toutes les valeurs prises par la variable aléatoire s’approchera de cette valeur.La variance V[X] est donnée par la formule :

V[X] = ∑i=1

n

( xi−E [ X ] )2× P ( X=xi ) = E [ ( X – E [ X ])

¿ ]

Interprétation : la variance mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : c’est une mesure de la dispersion des données autour de l’espérance.

L’écart-type σ(X) est donnée par la formule : σ(X) = √V [ X ].Interprétation : l’écart-type mesure la dispersion des données autour de l’espérance.

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1. Calculer l’espérance E[X]. Interpréter le résultat.2. Calculer la variance V[X].3. Calculer l’écart-type σ(X). 4. Calculer l’espérance E[Y].5. Calculer la variance V[Y].6. Calculer l’écart-type σ(Y). Comparer à σ(X) et interpréter le résultat.

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Espérance et écart-type C12.a - Niv1 - Savoir calculer la moyenne et l’écart-type d’une variable aléatoire.

Définition n°1 : Univers, Variable aléatoire, Loi de probabilité.Soit une expérience aléatoire (tirage d’un dé, d’une boule dans une urne, d’une personne dans une population…)On appelle univers (souvent désigné par Ω ) l’ensemble de toutes les é……………………………………. é…………………………………... possibles (respectivement une f………….., une b………………., une p…………………..., etc.)On appelle variable aléatoire d’un univers Ω une f………………… ... qui, à chaque é……………………………………. é……………………………………, associe un n……………………….. (ici, respectivement : le …. d’une face, le ….. d’une boule, la t……………. de la personne)On appelle loi de probabilité le t…………………………………... qui donne, pour chacune des i………………. de chaque é……………………………………. é……………………………………par la variable aléatoire, la p………………………………... associée.

Exemple n°1 :Une urne contient 4 boules indiscernables au toucher, que l’on nomme B1, B2, B3 et B4 , et que l’on numérote de 1 à 4. On tire au hasard deux boules dans cette urne, puis on les y remet. On s’intéresse à la somme des numéros des boules.Donner l’univers, décrire la variable aléatoire, et établir la loi de probabilité.

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Définition n°2 : Espérance, Variance et Écart-type L’espérance E[X] est donnée par la formule :

E[X] = ∑i=1

...

…× P ( X =… )=∑i=1

...

…× P ( X =….)

∑i=1

...

P ( X =xi )

.

Interprétation : si on effectue un grand nombre de fois l’expérience, la m……………………….. de toutes les valeurs prises par la variable aléatoire s’approchera de l’e……………………………………Rapport avec la « moyenne pondérée » : …………………………………………………...La variance V[X] est donnée par la formule :

V[X] = ∑i=1

n

(…−… ... )2× P (…… …… ) = E[ ( ... – ……. )2 ]

Interprétation : la variance mesure la moyenne des carrés des é…………. à la moyenne : c’est une mesure de la d………………………... des données autour de l’espérance.L’écart-type σ(X) est donnée par la formule : σ(X) = …………...Interprétation : l’écart-type mesure la d………………………... des données autour de l’espérance.

Exemple n°2 :On reprend l’exemple précédent.Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.

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USAGE DE LA CALCULATRICEPour calculer automatiquement, à la calculatrice, l’espérance, l’écart-type, les quartiles et la médiane :

Une remarque importante :On ne peut rentrer en effectif une fraction ou un nombre décimal. En revanche, on peut multiplier toutes les probabilités par un même multiplicateur de façon à ce que

l’on retombe sur des nombres entiers (exemple : si les probabilités sont 15

, 110

, etc.,

on multiplie chaque probabilité par …. pour avoir des effectifs entiers)ATTENTION : il ne s’agit pas d’une estimation d’une population par un échantillon, donc, il s’agit de la variance de l’échantillon (on divise par n, et non par n – 1)

1) Accéder au menu statistiquesCASIO :

TI :

NUMWORKS :

2) Entrer les données :CASIO :

TI :

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NUMWORKS :

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3) Afficher les résultats :CASIO :

TI :

NUMWORKS :

FIN du cours n°1

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Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester (cours n°1)

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°38

On lance six fois successivement une pièce de monnaie non équilibrée dont laprobabilité de tomber sur PILE est 0,4 et on considère la variable aléatoire X donnant le nombre de PILE obtenus. Calculer P(X=2).

(Se tester – Cours 1) - Exercice n°1 Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher, que l’on nomme chacune Bi (i variant de 1 à 5), et que l’on numérote de 1 à 5. On tire au hasard deux boules dans cette urne, puis on les y remet. On s’intéresse au produit des numéros des boules.1. Donner l’univers, décrire la variable aléatoire, et établir la loi de probabilité.2. Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.

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Indices et résultatsEx.1 : 1. Univers :Ω={( B1 ; B2 ) ; (B1; B3 ); ( B1 ; B4 ) ; ( B1 ; B5 ) ; (B2 ; B1) ; ( B2 ; B3 ) ; ( B2 ; B4) ; ( B2 ; B5 ) ; ( B3 ; B1 ) ;

( B3 ; B2 ); ( B3; B4 ) ; ( B3 ; B5) ; ( B4 ; B1 ); ( B4 ; B2) ; ( B4 ; B3 ) ; (B4 ; B5) ; ( B5 ; B1) ; ( B5 ; B2) ;

( B5 ; B3) ; ( B5 ; B4 )}

Variable aléatoire : ( B1 ; B2 )→2;( B1 ; B3) →3;( B1 ; B4 )→ 4;( B1 ; B5)→5;( B2 ; B1 )→2;

( B2 ; B3 )→6;( B2 ; B4) →8;( B2 ; B5 )→10;( B3 ; B1) →3;( B3 ; B2 )→6;( B3 ; B4 )→12;

( B3 ; B5) →15;( B4 ; B1 )→ 4;( B4 ; B2) →8;( B4 ; B3 )→12;( B4 ; B5 )→ 20;( B5 ; B1)→5;

( B5 ; B2 )→10;( B5 ; B3) →15;( B5 ; B4 )→ 20Loi de probabilité :

P ( X =2 )=2

20, P ( X =3)=

220

, P ( X =4 )=220

, P ( X=5 )=220

,

P ( X =6 )=220

, P ( X=8 )=220

, P ( X =10 )=220

, P ( X =12 )=220

,

P ( X =15 )=220

, P ( X=20 )=220

2. E ( X )=6 ,V ( X )=3 , σ ( X )=√3Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester (cours n°1)


Dériver la fonction f définie par f(x) = (-2x -8)(4x3 +4x-8}.( On ne demande pas de développer la fonction dérivée obtenue).

(Se tester – Cours 1) - Exercice n°2 Une urne contient 3 boules indiscernables au toucher, que l’on nomme chacune Bi (i variant de 1 à 3), et que l’on numérote de 1 à 3. On tire au hasard deux boules dans cette urne, puis on les y remet. On s’intéresse à la somme des numéros des boules.1. Donner l’univers, décrire la variable aléatoire, et établir la loi de probabilité.2. Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de cette variable aléatoire.

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Indices et résultatsEx.1 : 1. Univers : Ω={( B1 ; B2 ) ;( B1; B3 ) ; ( B2 ; B1 ) ; (B2 ; B3) ; ( B3 ; B1) ; ( B3 ; B2 )}

Variable aléatoire : ( B1 ; B2 )→3;( B1 ; B3) →4;( B2 ; B1 )→3;( B2 ; B3 )→5;( B3 ; B1) →4;

( B3 ; B2 )→5Loi de probabilité :

P ( X =3)=26

, P ( X =4 )=26

, P ( X =5)=26

2. E [ X ]=4 ,V [ X ]=83

,σ ( X )=√83

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1Interrogation n°1

Objectif : C12.a – Savoir calculer l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire.

Activité d'approche n°2 : E(aX+b), V(aX+b)On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.Un premier jeu permet de gagner 10 euros si le nombre est pair et de perdre 5 euros sinon.Un deuxième jeu , indépendant du premier, permet de gagner 5 euros si le nombre est 1 ou 2 ; de gagner 2 euros si le nombre est 3 et de perdre 1 euro sinon.X1 est la variable aléatoire donnant le gain au premier jeu, X2 est la variable aléatoiredonnant le gain au deuxième jeu.1. Déterminer les lois de probabilité de X1 et X2.2. Calculer E[X1] et E[X2]. Que peut-on en déduire pour chacun des jeux ?3. Calculer V[X1] et V[X2]. Que peut-on en déduire pour chacun des jeux ?3. On note Z la variable aléatoire donnant la somme du triple des gains du premier jeu et du gain du deuxième jeux. On écrit : Z=3X1+X2.

a. Que gagne-t-on si on fait 1 avec le dé ?b. Déterminer toutes les valeurs prises par Z (on les nommera z1, z2, etc.).c. Donner la loi de probabilité de Z.d. Calculer E[Z] et comparer avec 3E[X1]+E[X2].e. Calculer V[Z] et comparer avec 9V[X1]+V[X2].

4. Démonstration générale (univers de cardinal fini) : soit Ω un univers de cardinal fini n, ω1, ω2, … ωn les éventualités élémentaires de Ω (qui forment donc une partition de Ω ) et deux variables aléatoires X et Y de cet univers Ω . Soit a un réel.

a. Démontrer que E[aX+Y]=aE[X]+E[Y].b. Démontrer que V[aX+Y]=a²V[X]+V[Y]

FIN de l’activité n°2Cours n°2 : Somme de variables aléatoires

C12.b - Savoir calculer une espérance et une variance de combinaisons linéaires de variables aléatoires qui suivent une même loi de probabilité.Propriété n°1 : E[ a X+Y], V[ a X+Y]

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Soit Ω un univers de cardinal fini n, X et Y deux variables aléatoires de cet univers, supposées indépendantes l’une de l’autre (c’est à dire que l’expérience associée à X ne modifie pas les valeurs de Y), a un nombre réel. Alors :a. E[aX+Y] = …………………………b. V[aX+Y]=……………..

Exemple n°1 :Une roue de loterie comporte cinq secteurs angulaires égaux. Les deux premiers secteurs valent 300 points, le troisième vaut 100 points et les deux derniers secteurs valent – 400 points. On fait tourner 4 fois de suite cette roue et on gagne la somme depoints obtenus lors des 4 lancers de roues.Z est la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu.Calculer E(Z) et V(Z).

Définition n°1 : échantillon d’une variable aléatoire.

Une liste (X1 ; X2 ; ... ; Xn) de v…………………... aléatoires i………………………………….. suivant toutes la même loi est appelée échantillon de taille n associé à cette loi (ou à une variable aléatoire X suivant cette loi).

Propriété n°2 : E[X] et V[X] pour la somme et de la moyenne d’un échantillon

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Soit un échantillon de taille n (X1, X2, X3, … …, Xn) d’une variable aléatoire X. On pose: - la somme des variables de l’échantillon : Sn = X1 + X2 + X3 + … … + Xn

- la moyenne des variables de l’échantillon : Mn = S n

nAlors : E[Sn] = ……… et V[Sn] = ……………E[Mn] = ……… et V[Mn] = ……………

Démonstration :Conséquences de la propriété n°1

Exemple n°2 :On lance un dé équilibré à six faces : une face porte le nombre 1, deux faces portent le nombre 2 et trois faces portent le nombre 3.Soit X la variable aléatoire donnant le nombre obtenu.a. Donner la loi de probabilité de X.b. Calculer E[X] et V[X].c. On lance 4 fois le dé et on définit la variable aléatoire Y comme la somme des résultats. Calculer E[Y] et V[Y]. Interpréter les résultats.d. On s’intéresse à la variable aléatoire Z qui donne la moyenne des résultats des 4 lancers. Calculer E[Z] et V[Z]. Interpréter les résultats.

FIN du cours n°2 Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester (cours n°2)

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°10Complétez :

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limn→∞

un →

÷ limn→∞

vn ↓L<0 L>0 L=0 +∞ –∞

vn → L '=0 , vn <0

........ ........ ........ ........ ........

vn → L '=0 , vn >0

........ ........ ........ ........ ........

vn → L '=0 , vn alternée

........ ........ ........ ........ ........

(Se tester – Cours 2) - Exercice n°3 Une roue de loterie comporte 5 secteurs angulaires égaux. Les deux premiers secteursvalent 400 points, le troisième vaut 100 points et les derniers secteurs valent – 400 points. On fait tourner 4 fois de suite cette roue et on gagne la somme de points obtenus lors des 4 lancers de roues.Z est la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu.Calculer E[Z] et V[Z].(Se tester – Cours 2) - Exercice n°4

On lance un dé équilibré à 6 faces : une face porte le nombre 2, deux faces portent le nombre 4 et la ou les autres faces portent le nombre 5.Soit X la variable aléatoire donnant le nombre obtenu.a. Donner la loi de probabilité de X.b. Calculer E[X] et V[X].c. On lance 4 fois le dé et on définit la variable aléatoire Y comme la somme des résultats. Calculer E[Y] et V[Y]. Interpréter les résultats.d. On s’intéresse à la variable aléatoire Z qui donne la moyenne des résultats des 4 lancers. Calculer E[Z] et V[Z]. Interpréter les résultats.

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Indices et résultats

Ex.1 : E[X]=80, V[X]=−8120

Ex.2 : a. Loi de probabilité : P(X=2)=16

, P(X=4)=13

, P(X=5)=12

. b. E[X]=256

, V[X]=

4136

. c. E[Y]=503

,V[Y]=419

. d. E[Z]=256

, V[Z]=41

144.

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2 Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester (cours n°2)


Compléter :n ! = ……………………………………….

Le nombre de p-uplet est : ……………………….

Le nombre d’arrangements de p éléments pris parmi n éléments est : ………………

Le nombre de permutations de n éléments est : …………………….

Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n éléments est : ………………

(Se tester – Cours 2) - Exercice n°5 Une roue de loterie comporte 6 secteurs angulaires égaux. Les deux premiers secteursvalent 200 points, le troisième vaut 100 points et les derniers secteurs valent – 300 points. On fait tourner 4 fois de suite cette roue et on gagne la somme de points obtenus lors des 4 lancers de roues.Z est la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu.Calculer E[Z] et V[Z].(Se tester – Cours 2) - Exercice n°6

On lance un dé équilibré à 4 faces : une face porte le nombre 1, deux faces portent le nombre 4 et la ou les autres faces portent le nombre 6.Soit X la variable aléatoire donnant le nombre obtenu.a. Donner la loi de probabilité de X.b. Calculer E[X] et V[X].c. On lance 4 fois le dé et on définit la variable aléatoire Y comme la somme des résultats. Calculer E[Y] et V[Y]. Interpréter les résultats.d. On s’intéresse à la variable aléatoire Z qui donne la moyenne des résultats des 4 lancers. Calculer E[Z] et V[Z]. Interpréter les résultats.

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Ex.1 : E[X]=−800

3, V[X]=−

649

Ex.2 : a. Loi de probabilité : P(X=1)=14

, P(X=4)=12

, P(X=6)=34

. b. E[X]=274

, V[X]=

39932

. c. E[Y]=27,V[Y]=3998

. d. E[Z]=274

, V[Z]=399128

.


Objectif : C12.b - Savoir calculer une espérance et une variance de combinaisons linéaires de variables aléatoires qui suivent une même loi de probabilité.

(Cours 2) Exercice n°7Soient Xi des variables qui suivent une même loi de Bernoulli de paramètre p (autrement dit, c’est une expérience à deux issues (succès et échec), la probabilité de l’une étant p).a. Calculer E[Xi].b. Soit Y la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p. Montrer que Y est la somme de n variables Xi.c. En déduire E[Y].

(Cours 2) Exercice n°8Ex.43 p.420


Résultats des exercices du cours 2

1er ex : a. E[Xi]=p b. Indication : k succès …. c. np.2ème ex : 1. 1,25 (on gagne en moyenne 1,25 euros par partie si on joue un grand nombre de fois). 28,687 5 2.a. Z=2X b. E[Z]=2,5 , V[Z]=114,75 3.a. Y=X+1, b. 2,25 .

(Y) σ ≈ 5,36.3ème ex : 1. Temps total de trajet 2. E[X]=7,5 et E[Y]=6 3. 13,5 : Myriam passera en moyenne 13 min 30 s dans les transports.

Activité d'approche n°3 : Lien entre éloignement à lamoyenne et probabilité

PréliminaireCompléter : P(|X-E[X]| ⩽ k) = P(………. ⩽ X ⩽ …………) = P( (X ……….) … (X …………))P(|X-E[X]| ⩽ k) = P( X ……….) … P( X ……….)

Partie AOn considère la variable aléatoire X donnant le gain à un jeu de grattage dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

xi 0 2 4 6 10 20 100 1 000 25 000P(X=xi) 0,682 0,1435 0,103 0,0363 0,0225 0,0126 9,73 × 10-5 2 × 10-6 7 × 10-7

1. Montrer que, au millième près, E[X]=1,423 (on pourra utiliser la calculatrice).

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2. Déterminer les probabilités suivantes :a. P(|X – E[X]| 15) b. P(|X – E[X]| 100) c. P(|X – E[X]| 10 000)

3. Que constate-t-on ?Partie B

1. Montrer que, à l’entier près, V[X]=450 (on pourra utiliser la calculatrice).

2. Calculer V [ X ]

k2 pour :

a. k = 15 b. k = 100 c. k = 10 000

3. Comparer P(|X – E[X]| k) et V [ X ]

k2 dans les trois cas. Quelle conjecture peut être

faite ?

FIN de l’activité n°3Cours n°3 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

C12.c* - Savoir utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.Propriété n°1 (admise) : Inégalité de Bienaymé-TchebychevSoit Ω un univers, X une variable aléatoire de cet univers, E[X] son espérance, V[X] sa variance, et k un nombre réel. Alors :

P(|X – E[X]| …..) ⩽ V [ X ]

……

P(|X – E[X]| ⩽ …..) ⩽ 1 – V [ X ]

……

Exemple n°1 :Dans une usine, la variable aléatoire L donnant la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard a pour espérance E(L) = 1,2 3m et pour variance V(L) = 0,01 5m.a. Si la largeur n’appartient pas à ]1,1 ; 1,3[, la puce n’est pas commercialisable. Déterminer une majoration de la probabilité que la puce ne soit pas commercialisable.

b. Déterminer une majoration de la probabilité que la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard soit en dehors d’un intervalle de largeur dix fois l’écart-type, centré sur l’espérance.

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Compléter :n ! = ……………………………………….

Le nombre de p-uplet est : ……………………….

Le nombre d’arrangements de p éléments pris parmi n éléments est : ………………

Le nombre de permutations de n éléments est : …………………….

Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n éléments est : ………………

( Se tester – Cours 3) - Exercice n°10 Dans une usine, la variable aléatoire L donnant la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard a pour espérance E(L) = 1,1 µm et pour variance V(L) = 5*10^-02 µm.a. Si la largeur n’appartient pas à ]1 ; 1[, la puce n’est pas commercialisable. Déterminer une majoration de la probabilité que la puce ne soit pas commercialisable.b. Déterminer une majoration de la probabilité que la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard soit en dehors d’un intervalle de largeur 12 fois l’écart-type, centré sur l’espérance.

16/26



Ex.1 : a. P(|L – 1,1| 0,1) ⩽ 1

200. b. P(|L – 1,1| 6σ) ⩽

136

.


Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°7Complétez :

limn→∞

un →

× limn→∞

vn ↓L<0 L>0 L=0

L '<0 ........ ........ ........

L '>0 ........ ........ ........

L '=0 ........ ........ ........

( Se tester – Cours 3) - Exercice n°11 Dans une usine, la variable aléatoire L donnant la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard a pour espérance E(L) = 1,9 µm et pour variance V(L) = 9*10^-02 µm.a. Si la largeur n’appartient pas à ]1,8 ; 1,8[, la puce n’est pas commercialisable. Déterminer une majoration de la probabilité que la puce ne soit pas commercialisable.b. Déterminer une majoration de la probabilité que la largeur en micromètre du pont d’un transistor d’une puce électronique prise au hasard soit en dehors d’un intervalle de largeur 12 fois l’écart-type, centré sur l’espérance.

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Ex.1 : a. P(|L – 1,9| 0,1) ⩽ 90000000

10000000000. b. P(|L – 1,9| 6σ) ⩽

136

.


Objectif : C12.c* - Savoir utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.




1er ex : 1.a. Réponse fournie. b. La probabilité qu’une personne prise au hasard dans la population consomme 90 litres ou moins, ou 210 litres ou plus, est inférieure à 0,25 (1 personne sur 4). 2. Réponse fournie.2ème ex : 1. P(|M-E(M)|<2 (M)) σ 0,75 2.a. P(|M-E(M)| 40) ⩽ 0,0625 b. P(M 90) ⩽0,0525.

Activité d'approche n°4 : Loi des grands nombres

On considère une pièce de monnaie équilibrée que l’on lance n fois. Pour tout entier i entre 1 et n, on appelle Xi la variable aléatoire égale à 1 si le résultat du i-ème lancer est PILE et 0 sinon.1. Déterminer E[Xi] et V[XI] pour i entier entre 1 et n.

2. Soit Mn = X 1+ X 2+...+ X n

n. Donner une majoration de P(|Mn – 0,5| k), où k est un

réel positif donné.3. Soit k = 0,1.

a. Déterminer un entier n1 à partir duquel on a nécessairement P(|Mn – 0,5| k⩾ ) ⩽ 0,01.b. Déterminer un entier n2 à partir duquel on a nécessairement P(|Mn – 0,5| k) ⩾ ⩽0,001.c. Montrer que lim

n→+∞P (|M n – 0,5|⩾ k )=0.

d. Que peut-on en déduire pour la valeur de Mn quand n devient grand ?4. Reprendre la question 3 avec k réel positif quelconque.5. Sachant que Mn est la fréquence d’apparition de « pile » sur n lancers, interpréter ce résultat.

FIN de l’activité n°3Cours n°4 : Loi des grands nombres

C12.d* - Savoir utiliser l’inégalité de concentration (pour trouver la taille d’un échantillon)C12.e* - Savoir utiliser la loi des grands nombres.Propriété n°1 : Inégalité de concentration

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Soit Ω un univers, X1 , X2, …, Xn un échantillon de variables aléatoires de même espérance µ et de même variance v. Soit Mn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.Alors on a, pour tout réel k positif :

P(|Mn – 2| k ) ⩽ v

nk2

Démonstration :

Exemple n°1 :On lance 100 fois un dé à 8 faces. Xi est la variable aléatoire donnant le résultat du i-ème lancer.a. Calculer E[Xi] et V[Xi].b. Soit M100 la variable aléatoire moyenne des 100 lancers. Majorer la probabilité que l’écart entre M100 et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,5.

Propriété n°2 : Loi (faible) des grands nombres

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Soit Ω un univers, X1 , X2, …, Xn un échantillon de variables aléatoires de même espérance µ et de même variance v. Soit Mn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.Alors on a, pour tout réel k positif :limn→+∞

P (|Mn – 5|⩾ k )=0

Démonstration : cf activité 4Exemple n°2 :

On reprend l’exemple n°1, cette fois-ci avec n lancers :Déterminer n pour que la probabilité que l’écart entre Mn et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,5, soit inférieure à 0,01.



Compléter :

1. La fonction ln est définie et continue sur …...........................2. Pour tout réel x positif, eln x = …...3. Pour tout réel x, ln (ex ) = ……

4. La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ......

.

( Se tester – Cours 3) - Exercice n°14 On lance 100 fois un dé à 6 faces. Xi est la variable aléatoire donnant le résultat du i-ème lancer.a. Calculer E[Xi] et V[Xi].

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b. Soit M 100 la variable aléatoire moyenne des 100 lancers. Majorer la probabilité que

l’écart entre M 100 et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,25 .c. Déterminer n pour que la probabilité que l’écart entre Mn et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,25, soit inférieure à 0,01.

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Ex.1 : a. 72

et 5512

b. 2.29166666781253.1250000015625

c. 7333.33333333333



Soient a un réel, et soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait, au voisinage de a : f(x)⩽g(x) Alors :

Si ………………………………….. alors …...................................................…

Si ………………………………….. alors …...................................................…

( Se tester – Cours 3) - Exercice n°15 On lance 100 fois un dé à 8 faces. Xi est la variable aléatoire donnant le résultat du i-ème lancer.a. Calculer E[Xi] et V[Xi].b. Soit M 100 la variable aléatoire moyenne des 100 lancers. Majorer la probabilité que

l’écart entre M 100 et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,5 .c. Déterminer n pour que la probabilité que l’écart entre Mn et E[Xi] soit supérieur ou égal à 0,5, soit inférieure à 0,01.

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Ex.1 : a. 92

et 214

b. 21

100 c. 2100


Objectif : C12.d* - Savoir utiliser l’inégalité de concentration (pour trouver la taille d’un échantillon)Objectif : C12.e* - Savoir utiliser la loi des grands nombres.







1er ex : 1. E[B]=0,91, V[B]=0,9019 2.a. ≈ 0,015 b. b) Cela veut dire que la probabilité que le nombre de buts marqués en moyenne par match sur cette saison soit inférieur à – 0,18 ou supérieur à 2 c’est-à-dire soit supérieur à 2, est inférieure ou égale à0,015 environ.2ème ex : 1. E[G]=-1,5, V[G]=2,35 2. 0,94125 3. Il a raison.

3ème ex : 1. X1 : P(X=0)=15

, P(X=2)=715

, P(X=3)=13

– X2 : P(X=-5)=13

, P(X=-2)=15

,

P(X=0)=715

– X3 : P(X=0)=45

, P(X=10)=15

– Z=X1+X2+X3. 2. E[Z]=2815

: sur un gd

nombre de parties, on peut espérer gagner en moyenne 1,87 euros par partie. 3.a. Sn

représente le gain total en ayant joué n parties. b. E[Sn]= 2815

n c. 54 fois.

4ème ex : 1.a. X ∈ ]-inf ;6]U[12; + ∞ [ n’est pas centré sur l’espérance. b. Réponse fournie c. 0,25 2.a. Même raison que 1.a. b. Réponse fournie c. ≈ 0,89.5ème ex : 1.a. E[X]=2,5 et V[X]=1,25 b. 10 000 2.a. La probabilité que le résultat soit 4 est 0,35 et non 0,25 (par exemple si a = 0,7 alors r vaut d’abord 3 mais prend ensuite la valeur 4 qui est renvoyée). b. P(Y=1)=0,25, P(Y=2)=0,25, P(Y=3)=0,15, P(Y=4)=0,35 c. E[Y]=2,6 et V[Y]=1,44 3. Sous la condition que les valeurs renvoyées par la fonction sont indépendantes. 4.a. De E[Y] b. C’est assez probable (0,9424) c. On joue 10 000 fois.

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Documents

Chapitre n°12 : Variables aléatoires