Chapitre VII

Tests d’hypothèses

• Hypothèse Ho: valeur d’un paramètre de la population qu’on veut tester (ex. contenu moyen, pourcentage annoncé)

• H1: hypothèse contraire• Méthode: analyse d’un échantillon• Conclusion: acceptation ou refus de Ho• Région critique: valeurs de l’échantillon où Ho

est rejetée• Région d’acceptation: la valeur de l’échantillon

tombe dans l’intervalle de confiance

• Bonne décision? Quatre cas possibles:

• Ho est vraie Ho est fausse• Ho acceptée juste erreur de type II• Ho refusée erreur de type I juste

• Erreur de type I: P(refus Ho/Ho est vraie)=α

• Erreur de type II: P(acceptation Ho / Ho est fausse)=β

Erreurs dans les jugements

• Ho: imputé innocent• imputé

jugement coupable innocent• condamné OK erreur de type I• libéré erreur de type II OK

• Règle : minimiser l’erreur de type I. Il vaut mieux libérer un coupable que de condamner un innocent

71

71.71

71.71

71.71

x=70.8

valeur p

71.71

αo

β1

Régions critiques

• Test unilatéral, région critique à gauche: Ho: µ = 75 ; H1: µ = 70 (ou µ<75)

• Test unilatéral, région critique à droite Ho: µ = 75 ; H1: µ = 80 (ou µ > 75)

• Test bilatéral, région critique à gauche et àdroite Ho: µ = 75 ; H1: µ ≠ 75

Ho rejetée, test unilatéral

1) x tombe dans la région critique

7571.7170x

x=70.8

2)

I z I > 1.645

z=-2.1

z=70.8-75 =-2.12

3) valeur p = 0.018 < 0.05

α=5%

Ho rejetée, test bilatéral (p. 52)

1) x tombe dans la région critique

0.58 0.59 0.60 0.61 0.62

0.6216

x=0.63

0.5784

2)2.5% (α) 2.5%

z=2.73

3) valeur p=0.0064 < 0.05

z = 0.63-0.6 = 2.73

0.011

I z I > 1.96

valeur p

x=0.630.57

normalcdf(0.63,1.E99,0.6,0.011)=0.003193 x 2 = 0.00 64 < 0.05

Commande TI-83/84Introduire les données dans L1 avec Stat/Edit(si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 1:Z-Test• Pour Inpt choisir Data si données brutes ou Stats si

données déjà élaborées• Mettre la valeur de Ho (µo)• Mettre la valeur de σ (estimateur s si σ inconnu)• Mettre L1 pour List et 1 pour Freq• Si données élaborées, mettre x et n• Choisir si bilatéral (µ1 ≠µo), unilatéral à gauche

(µ1 <µo) ou à droite (µ1>µo)• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la

valeur p du test

Commande MINITAB• Pour MINITAB, introduire les données dans C1• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test

Z à 1 échantillon• Sélectionner C1, introduire la valeur de Sigma

(σ) (ou s) et de Ho (µo: Moyenne du test)• Aller dans Options et choisir pour Alternative:

« différent de » si test bilatéral, « inférieur à » si unilatéral à gauche (µ1<µo) et « supérieur à » si unilatéral à droite (µ1>µo)

• Vous obtenez z et la valeur p (P)

Commande EXCEL• Introduire les données• Chercher Test.Z dans les fonctions statistiques

• Introduire la plage des données dans Matrice• Mettre la valeur à tester (µo)

• Introduire σ (ou s)• EXCEL donne la valeur p dans le cas d’une région

critique à droite.

• Si la région critique est à gauche, prendre la contre-probabilité

• Si le test est bilatéral, prendre le double de la valeur p du test unilatéral

révision

Commande TI-83/84

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 5:1-PropZTest

• Mettre la valeur de Ho (po)• Introduire x (nombre de succès) et n

(grandeur de l’échantillon)• Choisir si bilatéral (p1≠po), unilatéral à gauche

(p1 < po) ou à droite (p1>po)• En pressant CALCULATE vous obtenez z et

la valeur p du test

Commandes MINITAB• Introduire les données dans C1 (ex. OUI=1, NON=0)• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ 1

proportion• Sélectionner C1.• Cocher Données récapitulées, introduire le nombre

d’essais et le nombre de succès si vous avez des données élaborées.

• Aller dans Options et introduire po pour Tester la proportion. Choisir pour Alternative «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si p1<po et «supérieur à» si p1>po

• Cocher Utiliser le test et l’intervalle basés sur la loi normale.

Commande TI-83/84Introduire les données dans L1 et L2 avec Stat/Edit(si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 3:2-SampZTest• Pour Inpt choisir Data si données brutes ou Stats si

données déjà élaborées• Mettre les valeurs de σ1 et σ2 (ou s1 et s2)• Mettre L1 et L2, Freq1 et Freq2. Si données

élaborées, mettre x1 , n1 , x2 , n2

• Choisir si test bilatéral (µ1≠µ2), unilatéral à gauche (µ1<µ2) ou unilatéral à droite (µ1>µ2)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du test

Commande TI-83/84Aller dans STAT/TESTS et choisir 6:2-PropZTest

• Introduire x1, n1, x2, n2 (nombres de succès et grandeurs des échantillons)

• Choisir si test bilatéral p1 ≠ p2 ; unilatéral à gauche (p1 < p2) ou à droite (p1 > p2)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du test

Commandes MINITAB• Introduire les données dans C1 et C2 (ex. OUI=1, NON=0)• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ 2 proportions• Cocher Echantillons dans deux colonnes. Sélectionner C1 et

C2.• Cocher Données récapitulées, introduire les nombres d’essais

et les nombres de succès si vous avez des données élaborées.

• Aller dans Options. Pour Tester la différence, mettre la différence de l’hypothèse Ho (peut être ≠ 0 dans MINITAB). Choisir «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche et «supérieur à» si unilatéral à droite

• Cocher Utiliser l’estimation regroupée de p pour le test• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du

test (P).

Commande TI-83/84Introduire les données dans L1 avec Stat/Edit(si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 2:T-Test• Pour Inpt choisir Data si données brutes ou Stats si

données déjà élaborées• Introduire la valeur de µo

• Mettre L1 pour List et 1 pour Freq• Si données élaborées, mettre x, s et n• Choisir µ1≠µo si test bilatéral, µ1<µo si unilatéral à

gauche et µ1>µo si unilatéral à droite• En pressant CALCULATE vous obtenez t et la

valeur du test

Commande MINITAB • Introduire les données dans C1• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test

t à 1 échantillon• Sélectionner C1• Introduire la valeur de µo pour Moyenne du test• Aller dans Options et mettre «différent de» si

test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche et «supérieur à» si unilatéral à droite

• Vous obtenez t et la valeur p du test (P)

Commande TI-83/84Introduire les données dans L1 et L2 avec Stat/Edit(si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 2:2-SampTTest• Pour Inpt choisir Data si données brutes ou Stats si

données déjà élaborées• Mettre L1 et L2 pour List1 et List2 et 1 pour Freq• Si données élaborées, mettre x1, s1, n1, x2, s2, n2

• Choisir µ1≠µ2 si test bilatéral, µ1<µ2 si unilatéral àgauche et µ1>µ2

• Pour Pooled choisir No si σ1 ≠ σ2

• En pressant CALCULATE vous obtenez t et la valeur p du test

Commande MINITAB • Introduire les données dans C1 et C2• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test t à 2

échantillons• Choisir Echantillons dans plusieurs colonnes• Sélectionner C1 pour Premier et C2 pour Deuxième• Cocher Assumer variances égales si σ1=σ2• Aller dans Options et introduire 0 si µ1=µ2 pour

Moyenne du test (MINITAB permet des différences ≠0). Pour Alternative, choisir «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche, «supérieur à» si unilatéral à droite

• MINITAB donne t et la valeur p du test (P)

Commande EXCEL• Introduire les données• Chercher TEST.STUDENT dans les fonctions

statistiques• Introduire les plages des données dans Matrice 1 et

Matrice 2• Introduire 1 pour Uni/Bilatéral si test unilatéral et 2 si

bilatéral• Pour Type, choisir 2 si σ1=σ2 et 3 si σ1≠σ2

• EXCEL donne la valeur p dans le cas d’une région critique à gauche (µ1<µ2).

• Si la région critique est à droite (µ1>µ2), prendre la contre-probabilité de la région à gauche

= 5%,

71.71

71.71

71.71

71.71

10%

Commande TI-83/84• Calcul de la région critique optimale avec une

probabilité conditionnelle binomiale• Introduire les proportions dans L1, les probabilités a

priori dans L2, les pertes implicites si Ho acceptée dans L3 et les pertes implicites si Ho refusée dans L4 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir PBRCO• Introduire la grandeur de l’échantillon• Pour trouver la grandeur optimale de l’échantillon,

essayer avec différentes valeurs et comparer• Ce programme ne fait pas partie des programmes

standard de la TI. Vous devez le télécharger (voir page web du cours)