Chapter 01Mechanical Properties of Materials

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

1.1 บทนำ��

• จุ�ดประสงค์�ของวิ�ช�นำ��เพื่��อต้�องก�รอธิ�บ�ยเก��ยวิก!บก�รส!มผั!สก!นำระหวิ%�งวิ!ต้ถุ�แข(ง 2 ช��นำ

• ก�รส!มผั!ส (Contact) นำ!�นำอ�จุจุะเป)นำลั!กษณะของ ย�ดหย�%นำอย%�งเด�ยวิ (pure elastic) หร�ออ�จุจุะเป)นำ

ลั!กษณะของพื่ลั�สต้�กร%วิมด�วิยก(ได�• แต้%ก%อนำท��จุะท��ก�รศึ/กษ�เก��ยวิก!บก�รส!มผั!สระหวิ%�งวิ!ต้ถุ�

นำ!�นำ เร�จุ��เป)นำท��จุะต้�องทร�บถุ/งหลั!กก�รของก�รเส�ยร0ปแบบย�ดหย�%นำ แลัะ แบบพื่ลั�สต้�กเส�ยก%อนำ

• ด!งนำ!�นำในำบทนำ��จุะได�ทบทวินำถุ/งหลั!กก�รท�งกลัศึ�สต้ร�ของวิ!สด�เส�ยก%อนำ

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.1 แรงระหว่�างอะตอม (Forces between atoms)

• ค์วิ�มแข(งแรงของวิ!สด�นำ!�นำข/�นำอย0%ก!บค์วิ�มแข(งแรงของพื่!นำธิะท�งเค์ม�

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.1 แรงระหว่�างอะตอม (Forces between atoms)

• จุ�กร0ปจุะเห(นำวิ%�ถุ��ต้�องก�รท��จุะเลั��อนำอะต้อมให�แยกออกจุ�กก!นำ หร�อ เข��ห�ก!นำนำ!�นำ จุะเป)นำท��จุะต้�องให�แรงเข��ไป

• โดยท��แรงท��กระท��จุะม�ค์%�เท%�ก!บ

โดยท�� x ค์�อ ระยะท��ต้�องก�รเค์ลั��อนำท��อะต้อมให�ออกจุ�ก ต้��แหนำ%งสมด�ลั

kxF

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.2 Hooke’s Law• จุ�กร0ปท��แลั�วิจุะเห(นำวิ%�ขนำ�ดของแรงส0งส�ดท��ใช�ในำก�ร

ท��ลั�ยพื่!นำธิะนำ!�นำจุะเร�ยกวิ%� Cohesive Strength• ด!งนำ!�นำส�ม�รถุท��จุะเข�ยนำขนำ�ดของแรงท��กระท��ท��ต้��แหนำ%ง

ต้%�งๆได�เท%�ก!บ

โดยท�� L ค์�อ ระยะห%�งระหวิ%�งต้��แหนำ%งสมด�ลัก!บต้��แหนำ%ง

ของ Fmax

xL

F

L

xSinFF

22max

max

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.2 Hooke’s Law• หร�อจุะส�ม�รถุเข�ยนำอย0%ในำเทอมของค์วิ�มเค์�นำได�เท%�ก!บ

โดยท�� max ค์�อ ค์%�ค์วิ�มแข(งแรงของวิ!สด�ท�งทฤษฎี� (Theoretical Tensile Strength)

• ในำขณะท�� ค์วิ�มเค์ร�ยด (Strain): เท%�ก!บ

xL

x

2max

OL

x

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.2 Hooke’s Law• ด!งนำ!�นำ

• จุะเห(นำวิ%�เทอมในำวิงเลั(บนำ!�นำเป)นำค์%�ค์งท�� เร�ยกวิ%�เป)นำค์%� โมด0ลั!ส (modulus)

• ในำท�งปฏิ�บ!ต้�นำ!�นำวิ!สด�จุะไม%แข(งแรงกวิ%�ค์%�ค์วิ�มแข(งท�งทฤษฎี�ได�

• โดยท!�วิไปจุะอ%อนำแอกวิ%�เนำ��องจุ�กม� slip เก�ดข/�นำในำโค์รงสร��งผัลั/ก

EL

LO

2max

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.3 Strain Energy• เม��อม�ก�รใส%แรงกระท��ต้%อวิ!ต้ถุ�จุะท��ให�เก�ดก�รเส�ยร0ปข/�นำ

เท%�ก!บ dx ส%งผัลัม�ก�รเปลั��ยนำแปลังของพื่ลั!งง�นำศึ!กย�ภ�ยในำ dW เท%�ก!บ

• ค์%�พื่ลั!งง�นำศึ!กย� (Potential Energy) นำ��จุะถุ0กเร�ยกวิ%� Strain Energy

FdxdW

2

2

1kxkxdxW

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.4 Surface energy• อะต้อมท��อย0%ภ�ยในำเนำ��อวิ!สด�จุะอย0%ในำสมด�ลัระหวิ%�ง

แรงด/งด0ดก!บแรงผัลั!กระหวิ%�งอะต้อม• อะต้อม A อย0%ภ�ยในำเนำ��อวิ!สด� ค์%�แรงด/งด0ดก!บแรงผัลั!กจุะ

ม�ค์%�เท%�ก!นำท�กท�ศึท�กท�ง ท��ให�อะต้อมอย0%ห%�งก!บอะต้อมอ��นำเท%�ก!นำท�กท�ศึท�ง

A

B

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.4 Surface Energy• ในำขณะท��อะต้อม B จุะถุ0กด/งด0ดด�วิยอะต้อมด��นำลั%�งเพื่�ยง

อย%�งเด�ยวิ แลัะในำขณะเด�ยวิก!นำก(จุะถุ0กแรงผัลั!กจุ�กอะต้อมด��นำลั%�งเหม�อนำก!นำ

• แต้%เนำ��องจุ�กแรงด/งด0ดนำ!�นำเป)นำแรงระยะไกลั (Long-range) แต้%ในำขณะท��แรงผัลั!กนำ!�นำเป)นำแรงระยะใกลั�

(Short-range)• ด!งนำ!�นำอะต้อม B จุะถุ0กแรงด0ดกระท��ม�กกวิ%� ซึ่/�งจุะส%งผัลั

ให�อะต้อม B เค์ลั��อนำท��เข��ม�ด��นำในำจุนำกระท!�งแรงผัลั!กม�ค์%�ม�กข/�นำ แลัะอย0%ในำสมด�ลั

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.5 Stress• ค์วิ�มเค์�นำ (Stress) เป)นำค์%�ท�งวิ�ศึวิกรรมซึ่/�งหม�ยถุ/งค์%�

ค์วิ�มจุ�ของแรงต้%อหนำ/�งหนำ%วิยพื่��นำท��ท��ร !บแรงนำ!�นำๆ• ค์วิ�มเค์�นำด/งแลัะค์วิ�มเค์�นำกดเป)นำค์%�ค์วิ�มเค์�นำท��กระท��ในำ

ท�ศึท�งต้!�งฉ�กก!บระนำ�บท��ก��ลั!งพื่�จุ�รณ�• ค์วิ�มเค์�นำเฉ�อนำ (Shear Stress) เก�ดในำท�ศึท�งขนำ�นำ

ก!บผั�วิ

x

y

z

Fx

Fy

Fz

dzdx

dy

dydz

dFxxx

dydz

dFyxy

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.5 Stress• เม��อพื่�จุ�รณ�อณ0ของวิ!สด�ท��ร !บค์วิ�มเค์�นำนำ!�นำ จุะม�ค์วิ�มเค์�นำ

กระท�� โดยส�ม�รถุเข�ยนำอย0%ในำร0ปของเมทร�กซึ่�ได�ด!งนำ��

zzzyzx

yzyyyx

xyxyxx

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.5 Stress• ค์วิ�มเค์�นำท��เก�ดข/�นำนำ!�นำส�ม�รถุแบ%งออกเป)นำ 2 ส%วินำค์�อ

mean stress แลัะ stress deviations

โดยท��

• Mean Stress เป)นำค์วิ�มเค์�นำท��ท��ให�เก�ดก�รเปลั��ยนำแปลังขนำ�ด (Volume)

• ในำขณะท�� Deviatoric Stress เป)นำค์วิ�มเค์�นำท��ท��ให�เก�ดก�รเปลั��ยนำแปลังร0ปร%�ง (Shape)

mzzzyzx

yzmyyyx

xyxymxx

m

m

m

zzzyzx

yzyyyx

xyxyxx

00

00

00

zyxm 3

1

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.5 Stress• ค์%�ค์วิ�มเค์�นำท��ม�มต้%�ง ๆ

2cos2sin2

1xyyxyx

2sin2cos2

1

2

1xyyxyxx

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.6 Strain• ค์วิ�มเค์ร�ยด (Strain) เป)นำค์%�ก�รย�ดต้!วิของวิ!สด�จุ�ก

ก�รท��ม�ค์วิ�มเค์�นำม�กระท�� ส�ม�รถุเข�ยนำได�ด!งนำ��

• โดยท�� ค์วิ�มเค์ร�ยดด!งกลั%�วิเป)นำ Normal Strain ถุ��ม�ค์%�เป)นำ + แสดงวิ%�วิ!สด�นำ!�นำร!บแรงด/ง ในำขณะท��ถุ��เป)นำ -

แสดงวิ%�ร!บแรงกดอย0%

x

u xx

y

u yy

z

u zz

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.6 Strain• ค์วิ�มเค์ร�ยดเฉ�อนำ (Shear strains) แสดงถุ/งก�ร

เปลั��ยนำแปลังร0ปร%�งของวิ!สด� ส�ม�รถุเข�ยนำได�เป)นำ

• เม��อพื่�จุ�รณ�ม�มของก�รเส�ยร0ปส�ม�รถุเข�ยนำได�เป)นำ

• โดยท��

x

u

y

u yxxy 2

1

y

u

z

uzy

yz 2

1

x

u

z

u zxxz 2

1

x

u

z

u zxxz

y

u

z

uzy

yz

x

u

y

u yxxy

ijij 2

1

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.6 Strain• สมก�รส��หร!บค์วิ�มเค์ร�ยดบนำระบบแกนำสมม�ต้ร (Axis-

symmetric Coordinate system)

• แลัะส��หร!บค์วิ�มเค์ร�ยดเฉ�อนำ (Shear Strain)

• ส��หร!บกรณ�ของแกนำสมม�ต้ร (Axis-symmetric) นำ!�นำค์%�ไม%ข/�นำอย0%ก!บ ด!งนำ!�นำ

r

urr

u

rr

ur 1

z

u zz

r

u

z

u zrrz

rr

u

rr

u

r

u 1z

uu

rz

z

1

r

urr

r

urz

u zz

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.7 Poisson’s ratio• Poisson’s ratio นำ!�นำเป)นำอ!ต้ร�ส%วินำระหวิ%�งก�รหดต้!วิ

ของวิ!สด�ในำแนำวิหนำ/�งต้%อก�รขย�ยต้!วิของวิ!สด�ในำอ�กแนำวิหนำ/�ง

• ส�ม�รถุเข�ยนำเป)นำสมก�รได�ด!งนำ��

L

L

W

W

P

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.8 Linear Elasticity (Generalised Hooke’s Law)

• ส��หร!บเทอมท!�วิไปส��หร!บค์วิ�มส!มพื่!นำธิ�ระหวิ%�งค์วิ�มเค์�นำแลัะค์วิ�มเค์ร�ยดส�ม�รถุเข�ยนำได�เท%�ก!บ

• แลัะส�ม�รถุเข�ยนำได�เป)นำ

klijklij E

zyxx E

1

xzyy E

1

yxzz E

1

xyxy G 1

yzyz G 1

xzxz G 1

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.8 Linear Elasticity (Generalised Hooke’s Law)

• โดยท�� G เป)นำค์%� Shear modulus ม�ค์วิ�มส!มพื่!นำธิ�ก!บค์%� E ด!งนำ��

• แลัะส��หร!บแกนำทรงกระบอกจุะได�วิ%�

12

EG

zrr E

1

rzE

1

rzz E

1

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.9 2D Plane Stress, Plane Strain and States of Stress

• ลั!กษณะของค์วิ�มเค์�นำข/�นำอย0%ก!บขนำ�ดของช��นำง�นำแลัะลั!กษณะของก�รรองร!บ

• ระนำ�บค์วิ�มเค์�นำ (Plane Stress) แลัะ ระนำ�บค์วิ�มเค์ร�ยด (Plane Strain) เป)นำสองลั!กษณะของ

พื่ฤต้�กรรมของช��นำง�นำในำก�รร!บแรงในำสองม�ต้�• โดยท!�วิไป เร�ใช�ระนำ�บค์วิ�มเค์ร�ยดก!บกรณ�ของช��นำง�นำท��

หนำ� (thick) แลัะใช�ระนำ�บค์วิ�มเค์�นำก!บช��นำง�นำท��บ�ง (thin)

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.9 2D Plane Stress, Plane Strain and States of Stress

Plane Stress Plane Strain

Specimen Geometry Thin Thick

Normal Stresses z = 0 z = (x+y)

z = (r+)

Shear Stresses xz = 0 yz = 0 xz = 0 yz = 0

Normal Strains z = -(/E)(x +y) z = 0

Shearing Strains xz = 0 yz = 0 xz = 0 yz = 0

Stiffness E E/(1-2)

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.10 Principal Stresses• ในำห!วิข�อนำ��จุะห�ค์%�ของค์วิ�มเค์�นำหลั!ก (Principal

Stresses) 1 2 แลัะ 3

• โดยท��ค์วิ�มเค์�นำหลั!กค์�อค์วิ�มเค์�นำท��กระท��ต้!�งฉ�กก!บระนำ�บท��ไม%ม�ค์วิ�มเค์�นำเฉ�อนำกระท��

• ค์%�ค์วิ�มเค์�นำหลั!กส�ม�รถุห�ได�จุ�ก

22,1 22 xy

yxyx

yx

xyP

22tan

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.10 Principal Stresses• แลัะในำขณะเด�:ยวิก!นำก(ส�ม�รถุท��จุะห�ค์%�ค์วิ�มเค์�นำเฉ�อนำ

ส0งส�ดได�เท%�ก!บ

xy

yxs

22tan

2

2

max 2 xyyx

212

1

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.10 Principal Stresses• ส��หร!บระบบแกนำสมม�ต้รจุะได�วิ%�

21max 2

1

22,1 22

rrr

zr

rzP

2

2tan

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.11 Equations of Equilibrium and Compatibility

• “Equations of stress equilibrium and strain compatibility describe the nature of the variation in

stresses and strains throughout the specimen. These equations have particular relevance for the

determination of stresses and strains in systems which cannot be analyzed by a consideration of

stress alone.” • เม��อช��นำง�นำร!บแรงแลัะอย0%ในำสมด�ลั แลัะจุะได�วิ%�0

zyxxzxyx

0

zyxyzyyx

0

zyxzzyzx

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.11 Equations of Equilibrium and Compatibility

• ก�รเส�ยร0ปจุะต้�องสอดค์ลั�องก!บ compatibility condition แลัะส�ม�รถุเข�ยนำได�เป)นำ

yxxyxyyx

2

2

2

2

2

zyyzyzzy

2

2

2

2

2

xzzxzxxz

2

2

2

2

2

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.11 Equations of Equilibrium and Compatibility

• ส��หร!บแกนำสมม�ต้ร จุะได�วิ%�0

1

rzrrrrzrr

021

rzrrrzr

01

rzrrrzzzrz

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.12 Saint-Venant’s Principle• หลั!กของ Saint-Venant เป)นำก�รกลั%�วิถุ/งก�รวิ�เค์ร�ะห�

ค์วิ�มเค์�นำส��หร!บโค์รงสร��งท�งวิ�ศึวิกรรม• หลั!กก�รนำ��กลั%�วิวิ%� ในำกรณ�ท��แรงแลัะโมเมนำต้�ลั!พื่ธิ�ม�ค์%�ไม%ม�

ก�รเปลั��ยนำแปลังนำ!�นำจุะได�วิ%� ค์วิ�มเค์�นำแลัะค์วิ�มเค์ร�ยด แลัะก�รเส�ยร0ปของวิ!สด�ท��อย0%ห%�งจุ�กต้��แหนำ%งของแรงกระท��

นำ!�นำ จุะไม%ข/�นำอย0%ก!บประเภทของแรงนำ!�นำๆ• ต้!วิอย%�งเช%นำ ก�รกดของห!วิกด ก�รเส�ยร0ป ณ ต้��แหนำ%งใต้�

ห!วิกดจุะข/�นำอย0%ก!บลั!กษณะของห!วิกด แต้%ในำขณะท��ต้��แหนำ%งห%�งออกจุะไม%ข/�นำอย0%ก!บลั!กษณะของห!วิกด

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.13 Hydrostatic Stress and Stress deviation

• จุ�กท��ได�กลั%�วิไปแลั�วิวิ%�ค์วิ�มเค์�นำท��กระท��ต้%ออณ0ของวิ!สด�นำ!�นำ จุะส�ม�รถุแบ%งออกเป)นำสองส%วินำค์�อ– Mean or Average component แลัะ

– Deviatoric Component

• โดยท��

• ในำท��นำ��เร�ส�ม�รถุเร�ยก Mean Stress นำ��วิ%�เป)นำค์วิ�มเค์�นำอ�ทกสถุ�ต้ย�ได� (hydrostatic component)

3213

1

3

1 zyxm

1.2 ก�รย�ดหย�%นำ (Elasticity)

1.2.14 Visualizing Stresses• ม!นำเป)นำก�รย�กท��จุะแสดงค์%�ค์วิ�มเค์�นำของวิ!สด�

• แต้%ก(ส�ม�รถุแสดงผัลัของค์วิ�มเค์�นำในำลั!กษณะของ stress contours

• เป)นำก�รแสดงเส�นำของค์วิ�มเค์�นำค์งท�� ซึ่/�งจุะท��ให�เห(นำลั!กษณะของก�รกระจุ�ยของค์วิ�มเค์�นำได�

1.3 Plasticity

1.3.1 Equations of Plastic flow• ค์วิ�มหนำ�ด (Viscosity) เป)นำค์%�ค์วิ�มต้��นำท�นำต้%อก�รไหลั

ค์%�ส!มประส�ทธิ�; ส�ม�รถุเข�ยนำได�เป)นำ

• สมก�รของก�รไหลัของของไหลัในำปร�ม�ต้รก�รไหลัค์งท�� ร0 �จุ!กก!นำในำช��อ Navier-Stokes equations

dt

d zyzy

dz

ud y

1.3 Plasticity

1.3.1 Equations of Plastic flow

zyxx

2

1

3

1

xzyy

2

1

3

1

yxzz

2

1

3

1

yzyz

1 zxzx

1

xyxy

1

y

u

x

uxy

xy

โดยท��

Navier-stokes Equation

1.4 Stress Failure Criteria

1.4.1 Tresca failure Criterion• ค์วิ�มเค์�นำเฉ�อนำ (shear stress) เป)นำค์วิ�มเค์�นำท��ส��ค์!ญ

ส��หร!บก�รเก�ดก�รค์ร�ก• Tresca ได�เสนำอไวิ�วิ%�ก�รเส�ยร0ปแบบพื่ลั�สต้�กจุะเก�ดข/�นำ

เม��อค์%�ค์วิ�มเค์�นำเฉ�อนำส0งส�ดม�ค์%�เท%�ก!บค์ร/�งหนำ/�งของค์%�ค์วิ�มเค์�นำค์ร�กของวิ!สด�

Y2

1

2

131max

1.4 Stress Failure Criteria

1.4.2 Von Mises failure Criterion• ในำก�รวิ�เค์ร�ะห�นำ!�นำ ค์%�ก�รบ�ดเบ��ยวินำ!�นำจุะถุ0กพื่�จุ�รณ�

ม�กกวิ%� ค์%�ค์วิ�มเค์�นำอ�ทกสถุ�ต้ย�• องค์�ประกอบของค์%�ค์วิ�มเค์�นำบ�ดเบ��ยวิม�ค์%�เท%�ก!บ

• จุะส�ม�รถุเข�ยนำเกณฑ์�ของ Von Mises ได�วิ%�

md 11

md 33

md 22

2132

322

212

1 Y