Chapter 1 : Number Systems · POS (Product of Sum) f(A,B,C) = ๚ m( 1,2,5,7) การเขียนสมการลอจิกจากตารางความจริง

บทที่ 4 ลอจิกเกต

(Logic Gates)

Department of Informatics.

Faculty of Science and Technology.

Phuket Rajabhat University.

Phuket, THAILAND.

Page 2

ลอจิกเกตพื้นฐาน

oลอจิกเกต (Logic Gates) คือ วงจรอิเล็กทรอนิกส์พื้นฐานซึ่งท าหน้าที่เป็นสวิตท์อิเล็คทรอนิกส์ที่ท าการประมวลผลข้อมูลจาก Input แล้วให้ Output ออกมา โดยการประมวลผลจะใช้ฟังก์ชันตรรกะแบบไบนารี

oในวงจรดิจิทัลมีลอจิกเกตพื้นฐานที่ใช้กันอยู่ 9 ตัว เช่น

o AND/NAND Gate

o OR/NOR Gate

o Exclusive-OR/Exclusive-NOR Gate

o Inverter Gate หรือ NOT Gate

o Buffer Gate

o Three State Buffer Gate

Page 3

AND Gate

oเงื่อนไขในการท างาน (Condition)

if A = 1 AND B = 1 then x = 1 otherwise x = 0

oแผนภาพวงจรลอจิก (Graphic Symbol)

oพีชคณิตฟังก์ชัน (Algebraic Function)

X = AB หรือ X = A•B

oตารางการท างาน/ตารางความจริง Input Output

A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Page 4

NAND Gate





X = (AB)’


A B X 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Page 5

OR Gate


if A = 1 OR B = 1 then x = 1 otherwise x = 0



X = A+B


A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Page 6

NOR Gate





X = (A+B)’


A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Page 7

Exclusive-OR Gate


if A != B then x = 1 otherwise x = 0



X = A B หรือ X = A’B + AB’


A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Page 8

Exclusive-NOR Gate


if A = B then x = 1 otherwise x = 0



X = (A B)’ หรือ X = A’B’ + AB


A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Page 9

Inverter Gate หรือ NOT Gate


if A = 0 then X = 1

If A = 1 then X = 0



X = A’


A X 0 1 1 0

Page 10

Buffer Gate


X = A



X = A


A X 0 0 1 1

Page 11

Three State Buffer Gate


if B = 1 then X = A

If B = 0 then X = High Impedance



B A X 0 0 NA 0 1 NA 1 0 0 1 1 1

Page 12

รูปแบบของสมการลอจิก

Sum of Product (SOP) (ผลรวมของผลคูณ)

ตัวอย่าง : f(A,B) = AB + A’B’ + A’B + AB’

f(A, B, C) = AB + ABC + A’B’C

เรียกแต่ละเทอมว่า มินเทอม (Min Term)

Product of Sum (POS) (ผลคูณของผลรวม)

ตัวอย่าง : f(A,B) = (A + B) (A’+ B’) (A’ + B) (A + B’)

f(A, B, C) = (A + B) (A + B + C) (A’ + B’ + C)

เรียกแต่ละเทอมว่า แมกซ์เทอม (Max Term)

Page 13

การเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิก

แยกส่วนสมการลอจิกออกระหว่างการบวกกับการคูณ

ส่วนที่บวกแทนด้วย OR Gate

ส่วนที่คูณแทนด้วย AND Gate

ส่วนทีเ่ป็นคอมพลีเมนต์ให้แทนด้วย NOT Gate

เขียนจากส่วนย่อยไปหาส่วนใหญ่

Page 14

ตัวอย่าง : X = A’B + AB’

ตัวอย่าง : X = ABC’ + AB

การเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิก (ต่อ)

Page 15

ตัวอย่าง : X = (A’ + B) (A + B’)

ตัวอย่าง : X = (A + B + C’) (A + B)

การเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิก (ต่อ)

Page 16

การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิก

เขียนสมการลอจิกจาก Output ของแต่ละ Gate

น าสมการลอจิกที่ได้มารวมกันตามคุณสมบัติของ Gate นั้น ๆ

เขียนจากส่วนย่อยไปหาส่วนใหญ่

Page 17

ตัวอย่าง : จงหาสมการลอจิกของ X

1=AB

2=A B

3=AB + (A B)

การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิก (ต่อ)

Page 18

ตัวอย่าง : จงหาสมการลอจิกของ X

1 = A+B

2 = (A+B)C

3 = (A’ D)’

4 = (A+B)C + (A’ D)’

การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิก (ต่อ)

Page 19

การเขียนสมการลอจิกจากตารางความจริง

มินเทอม คือ การเขียนสมการลอจิกของแต่ละเทอมในรูปของผลคูณ

ตัวอย่าง : AB, A’B, ABC

ค่าของตัวแปรปกติจะถูกแทนค่าด้วย 1 เช่น A, B, C

ค่าของตัวแปรที่มีเครื่องหมายคอมพลีเมนต์จะถูกแทนค่าด้วย 0 เช่น A’, B’, C’

Page 20

การเขียนสมการลอจิกจากตารางความจริง (ต่อ)

แมกซ์เทอม คือ การเขียนสมการลอจิกของแต่ละเทอมในรูปของผลบวก

ตัวอย่าง : A + B, A’ + B, A + B + C

ค่าของตัวแปรปกติจะถูกแทนค่าด้วย 0 เช่น A, B, C

ค่าของตัวแปรที่มีเครื่องหมายคอมพลีเมนต์จะถูกแทนค่าด้วย 1 เช่น A’, B’, C’

Page 21

ตารางความจริงที่มีตัวแปร 2 ตัวแปร

A B มินเทอม แมกซ์เทอม

0 0 0 A’B’ A + B

1 0 1 A’B A + B’

2 1 0 AB’ A’ + B

3 1 1 AB A’ + B’


Page 22

ตารางความจริงที่มีตัวแปร 3 ตัวแปร

A B C มินเทอม แมกซ์เทอม 0 0 0 0 A’B’C’ A+B+C 1 0 0 1 A’B’C A+B+C’ 2 0 1 0 A’BC’ A+B’+C 3 0 1 1 A’BC A+B’+C’ 4 1 0 0 AB’C’ A’+B+C 5 1 0 1 AB’C A’+B+C’ 6 1 1 0 ABC’ A’+B’+C 7 1 1 1 ABC A’+B’+C’


Page 23

ตารางความจริงที่มีตัวแปร 4 ตัวแปร A B C D มินเทอม แมกซ์เทอม 0 0 0 0 0 A’B’C’D’ A+B+C+D 1 0 0 0 1 A’B’C’D A+B+C+D’ 2 0 0 1 0 A’B’CD’ A+B+C’+D 3 0 0 1 1 A’B’CD A+B+C’+D’ 4 0 1 0 0 A’BC’D’ A+B’+C+D 5 0 1 0 1 A’BC’D A+B’+C+D’ 6 0 1 1 0 A’BCD’ A+B’+C’+D 7 0 1 1 1 A’BCD A+B’+C’+D’ 8 1 0 0 0 AB’C’D’ A’+B+C+D 9 1 0 0 1 AB’C’D A’+B+C+D’ 10 1 0 1 0 AB’CD’ A’+B+C’+D 11 1 0 1 1 AB’CD A’+B+C’+D’ 12 1 1 0 0 ABC’D’ A’+B’+C+D 13 1 1 0 1 ABC’D A’+B’+C+D’ 14 1 1 1 0 ABCD’ A’+B’+C’+D 15 1 1 1 1 ABCD A’+B’+C’+D’


Page 24

ตัวอย่าง : จงเขียนสมการลอจิกทั้งแบบ SOP และ POS

A B X

0 0 0 1 A’B’

1 0 1 0 A+B’

2 1 0 1 AB’

3 1 1 0 A’+B’

SOP=A’B’ + AB’

POS=(A+B’) (A’+B’)


Page 25

ตัวอย่าง : จงเขียนสมการลอจิกทั้งแบบ SOP และ POS A B C X 0 0 0 0 1 A’B’C’ 1 0 0 1 0 A+B+C’ 2 0 1 0 0 A+B’+C 3 0 1 1 1 A’BC 4 1 0 0 1 AB’C’ 5 1 0 1 0 A’+B+C’ 6 1 1 0 1 ABC’ 7 1 1 1 0 A’+B’+C’ SOP=A’B’C’ + A’BC + AB’C’ + ABC’ POS=(A+B+C’) (A+B’+C) (A’+B+C’) (A’+B’+C’)


Page 26

เพ่ือให้ง่ายในการเขียนอาจใช้สัญลักษณ์แทนดังนี้

SOP (Sum of Product)

f(A,B,C) = ٤m(0,3,4,6) POS (Product of Sum) f(A,B,C) = ๚m(1,2,5,7)


Page 27

ตัวอย่าง : f(A,B,C) = ٤m(2,3,4,5)

010 011 100 101

f(A,B,C) = A’BC’ + A’BC + AB’C’ + AB’C

ตัวอย่าง : f(A,B) = ٤m(0,1,2)

00 01 10

f(A,B) = A’B’ + A’B + AB’


Page 28

ตัวอย่าง : f(A,B,C) = ๚m(2,3,4,5)

010 011 100 101

f(A,B,C) = (A+B’+C) (A+B’+C’) (A’+B+C) (A’+B+C’)

ตัวอย่าง : f(A,B) = ๚m(0,1,2)

00 01 10

f(A,B) = (A+B) (A+B’) (A’+B)


Page 29

การออกแบบวงจรลอจิก

ออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิก (Boolean Algebra)

ออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริง (Truth Table)

ออกแบบวงจรลอจิกจากไดอะแกรมของเวลา (Timing Diagram)

Page 30

น าสมการลอจิกมาท าการลดรูปด้วยทฤษฎีของบูลีนเพื่อให้ได้สมการที่ดีที่สุด

น าสมการลอจิกที่ได้มาสร้างวงจรลอจิก

การออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิก

Page 31

ตัวอย่าง : จงออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิกต่อไปนี้

X=A’B+AB+AC’+AB’C’

ท าการลดรูปสมการด้วยทฤษฎีของบูลีน

=B(A’+A) + AC’(1+B’)

=B+AC’

การออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิก (ต่อ)

Page 32

ตัวอย่าง : จงออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิกต่อไปนี้

X=A’BC+AB’C+ABC+BC’

ท าการลดรูปสมการด้วยทฤษฎีของบูลีน

=BC(A’+A) + AB’C + BC’

=B(C+C’)+AB’C

=B+AB’C

=B+AC

การออกแบบวงจรลอจิกจากสมการลอจิก (ต่อ)

Page 33

ท าได้ 2 วิธี

เขียนสมการลอจิกจาก Output ของตารางความจริงในรูปแบบ SOP โดยเขียนสมการลอจิกแต่ละเทอมในรูปของมินเทอม (สนใจเฉพาะค่าที่เป็น 1)

เขียนสมการลอจิกจาก Output ของตารางความจริงในรูปแบบ POS โดยเขียนสมการลอจิกแต่ละเทอมในรูปของแมกซ์เทอม (สนใจเฉพาะค่าที่เป็น 0)

การออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริง

Page 34

ตัวอย่าง : จงออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริงต่อไปนี้

A B X X=A’B’+AB’

0 0 1 A’B’ X=B’(A’+A)

0 1 0 X=B’

1 0 1 AB’

1 1 0

การออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริง (ต่อ)

Page 35

ตัวอย่าง : จงออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริงต่อไปนี้ในรูปของ POS

A B X X=(A+B’)(A’+B’)

0 0 1 X=AA’+AB’+A’B’+B’B’

0 1 0 A+B’ X=0+B’(A+A’)+B’

1 0 1 X=B’

1 1 0 A’+B’


Page 36

ตัวอย่าง : จงออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจริงต่อไปนี้

A B C X 0 0 0 0 0 0 1 1 A’B’C 0 1 0 1 A’BC’ 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 AB’C 1 1 0 0 1 1 1 1 ABC


Page 37

X=A’B’C+A’BC’+AB’C+ABC

X=B’C(A’+A) + B(A’C’ +AC)

X=B’C+B (A C)’


Page 38

ไดอะแกรมเวลา (Timing Diagram) คือกราฟที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Input และ Output

การออกแบบวงจรลอจิกจากไดอะแกรมเวลา

Page 39

การออกแบบวงจรลอจิกจากไดอะแกรมเวลา (ต่อ)

จากไดอะแกรมเวลา (Timing Diagram) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปตารางความจริงได ้

Page 40

เขียนสมการลอจิกจากตารางความจริง

X=A’BC’+A’BC+ABC

X=A’B(C’+C)+ABC

X=A’B+ABC

X=B(A’+AC)

X=B(A’+C)

การออกแบบวงจรลอจิกจากไดอะแกรมเวลา (ต่อ)

Page 41

EXERCISE

1. Convert the following expressions into sum of products and product of

sums:

(a) (AB +C)(B + C’D)

(b) x’ + x(x + y’)(y + z’)

2. Draw the logic diagram corresponding to the following Boolean

expressions without simplifying and simplifying them:

(a) BC’ + AB + ACD

(b) (A + B)(C + D)(A’ + B + D)

(c) (AB + A’B’)(CD’ + C’D)

Documents

Chapter 1 : Number Systems · POS (Product of Sum) f(A,B,C) = ๚ m( 1,2,5,7) การเขียนสมการลอจิกจากตารางความจริง